应用：奇异值分解
线性代数课程
2019 年 5 月 1 日
照片文件的大小
例子 小明手机的摄像头是 1300 万像素的，则一张 照片的大小是多少？ 每种颜色可用红、绿、蓝按不同比例混合得到． 每个像素的颜色需要用 3 个字节来表示． 每张 1300 万像素的照片大约为 37 兆大小． 但是，小明手机里每张照片的实际大小均在 5 兆左右！ 问题 如何减少照片文件的大小，且尽量保持不失真？照片文件的大小
例子 小明手机的摄像头是 1300 万像素的，则一张 照片的大小是多少？ 每种颜色可用红、绿、蓝按不同比例混合得到． 每个像素的颜色需要用 3 个字节来表示． 每张 1300 万像素的照片大约为 37 兆大小． 但是，小明手机里每张照片的实际大小均在 5 兆左右！ 问题 如何减少照片文件的大小，且尽量保持不失真？照片文件的大小
例子 小明手机的摄像头是 1300 万像素的，则一张 照片的大小是多少？ 每种颜色可用红、绿、蓝按不同比例混合得到． 每个像素的颜色需要用 3 个字节来表示． 每张 1300 万像素的照片大约为 37 兆大小． 但是，小明手机里每张照片的实际大小均在 5 兆左右！ 问题 如何减少照片文件的大小，且尽量保持不失真？照片文件的大小
例子 小明手机的摄像头是 1300 万像素的，则一张 照片的大小是多少？ 每种颜色可用红、绿、蓝按不同比例混合得到． 每个像素的颜色需要用 3 个字节来表示． 每张 1300 万像素的照片大约为 37 兆大小． 但是，小明手机里每张照片的实际大小均在 5 兆左右！ 问题 如何减少照片文件的大小，且尽量保持不失真？照片文件的大小
例子 小明手机的摄像头是 1300 万像素的，则一张 照片的大小是多少？ 每种颜色可用红、绿、蓝按不同比例混合得到． 每个像素的颜色需要用 3 个字节来表示． 每张 1300 万像素的照片大约为 37 兆大小． 但是，小明手机里每张照片的实际大小均在 5 兆左右！ 问题 如何减少照片文件的大小，且尽量保持不失真？照片文件的大小
例子 小明手机的摄像头是 1300 万像素的，则一张 照片的大小是多少？ 每种颜色可用红、绿、蓝按不同比例混合得到． 每个像素的颜色需要用 3 个字节来表示． 每张 1300 万像素的照片大约为 37 兆大小． 但是，小明手机里每张照片的实际大小均在 5 兆左右！ 问题 如何减少照片文件的大小，且尽量保持不失真？对称阵的特征值分解
若 A 为 n 阶实对称阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ = Λ, 其中 Λ = λ1 . .. λn . 不妨设 Q = (α1,· · · ,αn)，r(A) = r，而 λ1,· · · ,λr 为全部非零特征值．则有 A= QΛQT = λ1α1αT1+ · · · + λrαrαrT对称阵的特征值分解
若 A 为 n 阶实对称阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ = Λ, 其中 Λ = λ1 . .. λn . 不妨设 Q = (α1,· · · ,αn)，r(A) = r， 而 λ1,· · · ,λr 为全部非零特征值．则有 A= QΛQT = λ1α1αT1+ · · · + λrαrαrT对称阵的特征值分解
若 A 为 n 阶实对称阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ = Λ, 其中 Λ = λ1 . .. λn . 不妨设 Q = (α1,· · · ,αn)，r(A) = r，而 λ1,· · · ,λr 为全部非零特征值． 则有 A= QΛQT = λ1α1αT1+ · · · + λrαrαrT对称阵的特征值分解
若 A 为 n 阶实对称阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ = Λ, 其中 Λ = λ1 . .. λn . 不妨设 Q = (α1,· · · ,αn)，r(A) = r，而 λ1,· · · ,λr 为全部非零特征值．则有 A= QΛQT = λ1α1αT1+ · · · + λrαrαrT矩阵的奇异值分解
若 A 为 m× n 的实矩阵，则 ATA 为对称阵． 因此存 在正交矩阵 V，使得 VTATAV = Λ, 其中 Λ= λ1 . .. λn . 其中 λ1,· · · ,λn 为对称阵 ATA 的全部特征值．矩阵的奇异值分解
若 A 为 m× n 的实矩阵，则 ATA 为对称阵．因此存 在正交矩阵 V，使得 VTATAV = Λ, 其中 Λ= λ1 . .. λn . 其中 λ1,· · · ,λn 为对称阵 ATA 的全部特征值．矩阵的奇异值分解
若 A 为 m× n 的实矩阵，则 ATA 为对称阵．因此存 在正交矩阵 V，使得 VTATAV = Λ, 其中 Λ= λ1 . .. λn . 其中 λ1,· · · ,λn 为对称阵 ATA 的全部特征值．矩阵的奇异值分解
若 A 为 m× n 的实矩阵，则存在 m 阶正交矩阵 U 和 n 阶正交矩阵 V，以及 σ1 ¾ σ2¾ · · ·¾ σr > 0，使得 A = UVT, 其中 = D O ! , D= σ1 . .. σr . 称 σ 为矩阵的奇异值，称上式为矩阵的奇异值分解． 令 U = (1,· · · ,m), V = (1,· · · ,n)．则有 A = σ11T1+ σ22T2+ · · · + σrrrT矩阵的奇异值分解
若 A 为 m× n 的实矩阵，则存在 m 阶正交矩阵 U 和 n 阶正交矩阵 V，以及 σ1 ¾ σ2¾ · · ·¾ σr > 0，使得 A = UVT, 其中 = D O ! , D= σ1 . .. σr . 称 σ 为矩阵的奇异值，称上式为矩阵的奇异值分解． 令 U = (1,· · · ,m), V = (1,· · · ,n)．则有 A = σ11T1+ σ22T2+ · · · + σrrrT矩阵的奇异值分解
若 A 为 m× n 的实矩阵，则存在 m 阶正交矩阵 U 和 n 阶正交矩阵 V，以及 σ1 ¾ σ2¾ · · ·¾ σr > 0，使得 A = UVT, 其中 = D O ! , D= σ1 . .. σr . 称 σ 为矩阵的奇异值，称上式为矩阵的奇异值分解． 令 U = (1,· · · ,m), V = (1,· · · ,n)．则有 A = σ11T1+ σ22T2+ · · · + σrrrT莱娜图
Lena
S¨
oderberg
1972 年
原图
A = A1+ A2+ · · · + Ar
= σ11T1+ σ22T2
+ · · · + σrrrT
原图 A = A1+ A2+ · · · + Ar = σ11T1+ σ22T2 + · · · + σrrrT 前 2% 前 5% 前 10%
原图 A = A1+ A2+ · · · + Ar = σ11T1+ σ22T2 + · · · + σrrrT 前 2% 前 5% 前 10%
原图
A = A1+ A2+ · · · + Ar
= σ11T1+ σ22T2
+ · · · + σrrrT
例子 设 j = 1，对所有 , j．即 A= 1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 · · · · 1 1 · · · 1 m×n 则 ATA 仅有一个非零特征值 λ 1 = mn．因此 σ1 = p mn，且有奇异值分解 A =pmn· 1 p m ... 1 p · 1 p n · · · 1 p n
