《数值分析》15

《数值分析》15

主要内容： 离散数据的最小二乘逼近

线性拟合与二次拟合

数据拟合的线性模型

一次多项式拟合公式

离散数据的最小二乘逼近

引例1.我国上世纪90年代初人口数量(单位

:

亿)

1991 1992 1993 1994 1995 1996

11.5 12 12.5

1991 1992 1993 1994 1995 1996 0

5 10 15

引例

2.

极坐标数据拟合慧星轨道方程

2.70 2.00 1.61 1.20 1.02 48 67 83 108 126

年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996

数量

11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24

90

180 0

1

离散数据的最小二乘逼近

-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.277 0.895 -1.565 3.456 3.060 4.856 3.898

引例

3.

离散数据的多项式 (1、3、5、6)拟合实验

:

线性拟合与二次拟合

x x₁ x₂ ··· x_m

f(x) y₁ y₂ ··· y_m

离散数据的线性拟合

求拟合函数 :

















 



 





















m ym

y y c

c x

x x

 



2 1

2 1 2

1

1 1 1

 GX=F

超定方程组

x c c

x )

_{1 2}

(  





1 1

2

1 c x y

c  

2 2

2

1 c x y

c  

m

m y

x c

c₁ ₂ 

3

线性拟合与二次拟合

2

2 || ||2

min

GX F

R

X 

最小二乘问题



方程组

的残差向量: r

= F – GX

=

(GX–F , GX–F )

=

(GX, GX) – 2(GX, F )+(F, F)

=

(X, G

^TGX) – 2(X, G^TF )+(F, F) f(X) = (X, G^TGX) – 2(X, G^TF ) 

)]

, (

2 )

, [(

min )

(

min₂ f X ₂ X G^TGX X G^TF

R X R

X  





22

||

|| GX  F

) (

)

(

G^TG X  G^T F

 F GX 

线性拟合与二次拟合











 ^m

k c c xk yk

r c

c S

1

2 2 2 1

2 2

1 , ) || || [( ) ]

(

超定方程组 :

GX=F 

正规方程组 : G

^TGX=G^TF





































 



 











 m

j j

m

j j

m

j j

m m

T

x x

x m

x x x x

x G x

G

1 2 1

2 1 1

2 1

1 1 1 1

1 1









1 2 1

1 2

1

1 1 1

m j j T

m m

j j j m

y y

G F y

x x x x y

y





   

   

     

         

 

 







 

5

线性拟合与二次拟合

引例4 实验数据线性拟合

。

解

: ^{设拟合曲线方程为}

































 



 







































898 . 3

856 . 4

060 . 3

456 . 3

565 . 1

895 . 0

277 . 0

3 1

2 1

1 1

0 1

1 1

2 1

3 1

2 1

c

c



x c c

x) _{1 2}

(  



-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.277 0.895 -1.565 3.456 3.060 4.856 3.898

8955 .

0 ,

0464 .

2 ₂

1  c 

c

残差

2范数: || r||

=3.4142

线性拟合与二次拟合

引例5 实验数据3次多项式拟合

。

-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.277 0.895 -1.565 3.456 3.060 4.856 3.898

解

: ^设

1 2 3 4

1 3 9 27 0.277

1 2 4 8 0.895

1 1 1 1 1.565

1 0 0 0 3.456

1 1 1 1 3.060

1 2 4 8 4.856

1 3 9 27 3.898

c c c c

  

   

     

    

      

     

    

    

    

   

   

   



3 3 2 2

2

) 1

(x  c  c x  c x  c x



7531 .

1 ,

0563 .

2 ₂

1  c 

c

残差

2范数: || r||

₂ = 2.9007

1225 .

0 ,

0025 .

0 ₄

3   c  

c

7

线性拟合与二次拟合

中国人口数据 1991--2008(单位:亿)

年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

人数 11.5 11.7 11.8 11.9 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

人数 12.6 12.7 12.8 12.9 13.0 13.0 13.1 13.2 13.2

数据拟合的线性模型

离散数据表

x x₁ x₂ ··· x_m

f(x) y₁ y₂ ··· y_m

线性模型

) (

) (

) (

)

( x a

₀



₀

x a

₁



₁

x a

_n



_n

x

     

收集 24小时室外温度数据

(每小时记录一次),以三角 函数作数据拟合

12 ) sin(

12 ) cos(

)

(x a₀ a₁  x a₂  x

   

三角函数

9

数据拟合的线性模型

) ( )

(x ⁿ a _j x

j j









0

拟合函数 :

拟合数据 :

f(x_j

)= y

_j

, ( j = 1,2,3,···, m )

1 1)

(x  y



2 2)

(x  y



3 3)

(x  y



m

m y

x ) (

 ···

····



















































m m n

n m

m

n n

y y y

a a a

x x

x

x x

x

x x

x



















2 1 1

0

1 0

2 2

1 2

0

1 1

1 1

0

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

(



















m > n⁺¹

超定方程组

数据拟合的线性模型

系数矩阵按列分块



















) (

) (

) (

0 2 0

1 0 0

xm

x x







 





















ym

y y

F 

2 1



















































) , (

) , (

) , (

) ,

( )

, ( ) ,

(

) ,

( )

, ( ) ,

(

) ,

( )

, ( ) ,

(

1 0 1

0

1 0

1 1

1 0

1

0 1

0 0

0

y y

y

a a a

n n n

n n

n

n n



 









 

 







   



 











 



















































]

[ _{0 1 n}

G  ^ ^ _ ^

GX=F  G^TGX=G^TF



















) (

) (

) (

2 1

m n

n n

n

x x x







 

··· 

正规方程组的解称为超定方程组的最小二乘解



















) (

) (

) (

1 2 1

1 1 1

xm

x x







 



11

数据拟合的线性模型

药物浓度模型：考虑药品针剂注射后，血液中药物浓度的 衰减曲线。模型为

) exp(

)

( t ct bt

u  

T小时 1 2 3 4 5 6 7 8 u浓度 8.0 12.3 15.5 16.8 17.1 15.8 15.2 14.0

) 215 .

0 exp(

79 . 9 )

(t t t

u  

数据拟合的线性模型

) exp(

)

( t ct bt

u  

bt t

c t

u ( )  ln  ln  ln

拟合函数 对数变换

线性模型 t

t bt u

c ln ( )

ln   a

ln c 

令 ^即 c  exp(a )

由数据 ,得超定方程组

k

k

t

k

bt u

a   ln

高矩阵

























tm

t t G

1 1 1

2 1





13

数据拟合的线性模型

) 215 .

0 exp(

79 . 9 )

(t t t

u  

最大值点 : t0=1/0.215=4.6512, u(t0)=16.7513 求 u(t1)=16.7513/2; 半衰期: t1= 12.4574,

) 215 .

0 exp(

) 215 .

0 1

( 79 . 9 )

(t t t

u   

数据拟合的线性模型



 



 



 







 





) ,

(

) ,

( )

, (

) ,

(

) ,

( )

, (

1 0 1

0 1

1 0

1

1 0

0 0

y y a

a  











































 



 



 







 





) ,

(

) ,

( )

, (

) ,

(

1 0 1

0 1

1 0

0

y y a

a  

























) ,

(

) ,

(

0 0

0  0 

 

 y

a  ( , )

) , (

1 1

1  1 

 

 y a 

) ) (

, (

) , ) (

) ( ,

(

) , ) (

( ₁

1 1

0 1 0

0

0 y x y x

x







 











_^ _^  _^ _^

15

一次多项式拟合公式

MATLAB中的多项式拟合命令

P = polyfit(X,Y,n)

求出

(最小二乘意义下)n次拟合多项式

P

(x)=a

₀xⁿ

+ a

₁x^n-1

+ ··· + a

_n-1x

+ a

_n 计算结果为系数

: P=[ a

₀

, a

₁

, ··· , a

_n-1

, a

_n

]

多项式求值命令

y

1=polyval(P, x)

其中

,P是n次多项式的系数, x是自变量的

值

, y1是多项式在x处的值

思考与练习

1. 收集中国人口数据和世界人口数据,利用数 据拟合方法分析人口变化规律。

2. 收集我国粮食生产数据,分析总产量或亩产 量变化规律。

3. 收集近四年我国高考人数数据,分析并预测 今后几年内参加高考人数变化规律。

4. 收集血液中酒精含量测试数据,分析人体内 酒精浓度变化规律。

17

学到了什么？

离散数据的最小二乘逼近 线性拟合与二次拟合

数据拟合的线性模型

一次多项式拟合公式