# 《数值分析》15

## Full text

(1)

(2)

:

### 亿)

1991 1992 1993 1994 1995 1996

11.5 12 12.5

1991 1992 1993 1994 1995 1996 0

5 10 15

2.

### 极坐标数据拟合慧星轨道方程

2.70 2.00 1.61 1.20 1.02 48 67 83 108 126

90

180 0

1

(3)

### 离散数据的最小二乘逼近

-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.277 0.895 -1.565 3.456 3.060 4.856 3.898

3.

:

(4)

### 线性拟合与二次拟合

x x1 x2 ··· xm

f(x) y1 y2 ··· ym

m ym

y y c

c x

x x

2 1

2 1 2

1

1 1 1

GX=F

1 2

1 1

2

1 c x y

c

2 2

2

1 c x y

c

m

m y

x c

c1 2

3

(5)

2

2 || ||2

min

R

X

= F – GX

=

=

=

### (X, G

TGX) – 2(X, GTF )+(F, F) f(X) = (X, GTGX) – 2(X, GTF ) 

)]

, (

2 )

, [(

min )

(

min2 f X 2 X GTGX X GTF

R X R

X

22

||

|| GX  F

GTG XGT F

F GX 

(6)

### 

m

k c c xk yk

r c

c S

1

2 2 2 1

2 2

1 , ) || || [( ) ]

(

GX=F 

TGX=GTF

m

j j

m

j j

m

j j

m m

T

x x

x m

x x x x

x G x

G

1 2 1

2 1 1

2 1

1 1 1 1

1 1

1 2 1

1 2

1

1 1 1

m j j T

m m

j j j m

y y

G F y

x x x x y

y

  

  

   

      

 

5

(7)

: 设拟合曲线方程为

898 . 3

856 . 4

060 . 3

456 . 3

565 . 1

895 . 0

277 . 0

3 1

2 1

1 1

0 1

1 1

2 1

3 1

2 1

c

c

### 

x c c

x) 1 2

(

-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.277 0.895 -1.565 3.456 3.060 4.856 3.898

8955 .

0 ,

0464 .

2 2

1 c

c

=3.4142

(8)

### 引例5 实验数据3次多项式拟合

-3 -2 -1 0 1 2 3 -0.277 0.895 -1.565 3.456 3.060 4.856 3.898

:

1 2 3 4

1 3 9 27 0.277

1 2 4 8 0.895

1 1 1 1 1.565

1 0 0 0 3.456

1 1 1 1 3.060

1 2 4 8 4.856

1 3 9 27 3.898

c c c c

 

 

  

 

 

 

3 3 2 2

2

) 1

(x c c x c x c x

7531 .

1 ,

0563 .

2 2

1 c

c

2 = 2.9007

1225 .

0 ,

0025 .

0 4

3 c

c

7

(9)

(10)

### 离散数据表

x x1 x2 ··· xm

f(x) y1 y2 ··· ym

0

0

1

1

n

n

12 ) sin(

12 ) cos(

)

(x a0 a1x a2x

9

(11)

) ( )

(x n a j x

j j

## 

0

f(xj

j

1 1)

(x  y

2 2)

(x  y

3 3)

(x  y

m

m y

x ) (

m m n

n m

m

n n

y y y

a a a

x x

x

x x

x

x x

x

2 1 1

0

1 0

2 2

1 2

0

1 1

1 1

0

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

(

m > n+1

(12)

0 2 0

1 0 0

xm

x x

ym

y y

F

2 1

) , (

) , (

) , (

) ,

( )

, ( ) ,

(

) ,

( )

, ( ) ,

(

) ,

( )

, ( ) ,

(

1 0 1

0

1 0

1 1

1 0

1

0 1

0 0

0

y y

y

a a a

n n n

n n

n

n n

]

[ 0 1 n

G

GX=F  GTGX=GTF

2 1

m n

n n

n

x x x

···

1 2 1

1 1 1

xm

x x

11

(13)

) 215 .

0 exp(

79 . 9 )

(t t t

u  

(14)

k

k

k

tm

t t G

1 1 1

2 1

13

(15)

) 215 .

0 exp(

79 . 9 )

(t t t

u  

) 215 .

0 exp(

) 215 .

0 1

( 79 . 9 )

(t t t

u   

(16)

) ,

(

) ,

( )

, (

) ,

(

) ,

( )

, (

1 0 1

0 1

1 0

1

1 0

0 0

y y a

a

) ,

(

) ,

( )

, (

) ,

(

1 0 1

0 1

1 0

0

y y a

a

0 0

0 0

 y

a  ( , )

) , (

1 1

1 1

 y a 

) ) (

, (

) , ) (

) ( ,

(

) , ) (

( 1

1 1

0 1 0

0

0 y x y x

x

15

(17)

### MATLAB中的多项式拟合命令

P = polyfit(X,Y,n)

P

0xn

1xn-1

n-1x

n 计算结果为系数

0

1

n-1

n

y

(18)

## 思考与练习

1. 收集中国人口数据和世界人口数据,利用数 据拟合方法分析人口变化规律。

2. 收集我国粮食生产数据,分析总产量或亩产 量变化规律。

3. 收集近四年我国高考人数数据,分析并预测 今后几年内参加高考人数变化规律。

4. 收集血液中酒精含量测试数据,分析人体内 酒精浓度变化规律。

17

(19)

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## References

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