《数值分析》14

(1)

《数值分析》14

主要内容：

样条插值的算例 三次样条的概念

用一阶导数表示的样条 三次样条的极性

(2)

例1. 飞机机翼剖面图 1.数据采集

2. 数据样条插值

X 0 -0.4552 -0.6913 -0.8640 -0.9689 -0.9996 Y 0 0.3285 0.3467 0.2716 0.1408 -0.0160

S=sqrt(diff(x).^2+diff(y).^2);

S=[0,S];Sk=cumsum(S);

sk=linspace(0,Sk(end),24);

xt=spline(Sk,x,sk);

yt=spline(Sk,y,sk);

样条插值的算例

1

(3)

样条插值的算例

例2:龙格函数的插值逼近

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1

1

2

) 1

( x x

f  

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1

7结点等距插值 7结点切比雪夫插值

7结点样条插值

7结点埃尔米特插值 ^-5 ⁰ ⁵

0 0.5 1

-5 0 5

0 0.5 1

2

(4)

三次样条的概念

定义 5.4： 给定区间[a , b]上的一个分划:

a = x

₀ < x₁ < … < x_n

= b

已知

f(x

_j) = y_j (j = 0,1,···,n), ^如果















 , ] [

), (

] ,

[ ),

(

] , [ ),

( )

(

1 2 1 2

1 0 1

n n

n x x x x

S

x x x

x S

x x x

x S x

S 

满足: (1) S(x)^在

[x

_j

， x

_{j+ 1}

]

^{上为三次多项式};

⁽²⁾

S” (x)

^在区间

[a，b]

^上连续^; ⁽³⁾ S(x_j

) = y

_j

( j = 0,1,···,n).

则称

S(x)

^{为三次样条插值函数}^. ³

(5)

用一阶导数表示的样条

当

x∈[x

_j, x_{j+ 1}] ( j= 0,1,…n-1 )时 S_j(x)= a_j

+ b

_j

x + c

_j

x

² + d_j

x

³

插值条件

: S(x

_j) = y_j( j = 0,1,···,n)

连续性条件: S(x_j

+0) =S(x

_j

-0)

( j = 1,···,n-1)

S’(x

_j

+0) =S’(x

_j

-0)

( j = 1,···,n-1)

S”(x

_j

+0) =S”(x

_j

-0)

( j = 1,···,n-1) 由样条定义,可建立方程(4n-2)个！！

Why?

n个三次多项式(每个三次多项式是4个待定系数), 待定系数

共4n个！！

4

(6)

(1)自然边界条件

: S”(x

₀)=0, S”(x_n)=0

例

5.7：

已知

f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1.验证下

面分段三次多项式是自然样条函数.

(2)周期边界条件

: S’(x

₀)=S’(x_n), S”(x₀)=S”(x_n) (3)固定边界条件

: S’(x

₀)=f ’(x₀), S’(x_n)=f ’(x_n)





















] , [ ,

] , [ ) ,

(

1 2 0

3 2

1

0 2 1

3 2

1

2 3

x x

x

x x

x x S

证:显然

S (  1 )  1 S (  1 ) 1 S ( 0  )  S ( 0  )  0

⁵

(7)

求导数得



















 

] 1 , 0 [ ,

2 3 3

] 0 , 1 [ ,

2 3 3 )

(

2 2

x x x

x x x x

S

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y= x² y= S (x)













 

 3 3, [0, 1] ] 0 , 1 [ ,

3 ) 3

( x x

x x x

S

显然

2 ) 3 1

(    S 

2 ) 3

1  ( 

S S  ( 0  )  S  ( 0  )  0 0

) 1 (  

S  S  (  1 ) 0 S  ( 0  )  S  ( 0  )  3

所以,S(x)是满足插值条件且二

阶导函数连续的分段三次多项式

6

(8)

分段Hermite插值公式导出的三次样条方法

已知函数表 x x₀ x₁ ··· x_n f(x) y₀ y₁ ··· y_n

设

f(x)

^{在各插值节点}

x

_j^{处的一阶导数为}

m

_j

(未知)

取

x

_j+1 – x_j = h，( j = 0,1,2,···,n).^当

x

^∈[x_j, x_{j+ 1}]^时^,

分段Hermite^插值

2 1 2 1

1

2 1 2 1

1 1 2

2 1



 

 







 

 

 



j j j

j j j j

j j

h m x x x

x h m

x x x

x

h y x x

h x y x

h x x

h x x x

S

) )(

( )

)(

(

) )(

( )

)(

( )

(

7

(9)

由

S”(x)连续

：有等式: S”(x_j

+ 0)=S”(x

_j

– 0)

1 2

1( ) ( )( )

h x x x

x

x _j ^j

j

 

 _





1 2

2

1 )( )

( )

( h

x x

h x

x x ^j ^j

j



 

 ^



1 2

1( ) (1 2 )( )

h x x

h

x

x x^j ^j

j



 

 ^





1 )2

)(

( )

( h

x x x

x

x _j ^j

j

 

 ^



考虑

S”(x)

^在区间[x_j, x_j+1]^和[x_j-1 , x_j]^上表达式.

当

x∈[x

_j, x_j+1]^时^, S(x) ^{由基函数组合而成}

8

(10)









 





 

 

 



 

 









2 2

1 1 3

2 1 2

3

6 2 2

8 1

2 2 8 1

h h

h x x x

h x x

h h

h x x x

h x x

j j

x j x

j j

j

x j x

j j

j

] )

( ) (

[ ) (

] )

( ) (

[ ) (





















 











 









h x h

x x

h x x

h x h

x x

h x x

j j

x x j

j j

j

x x j

j j

j

2 2

4

4 2

4

1 2 1 2

1 2 2

] )

( ) (

[ ) (

] )

( ) (

[ ) (



1 1

) (

) 0 (



 

 

 

j j

j

m x

y x

x S





9

(11)

1 2 1

2

2 4

6 0   6 

_

 

_



_j



_j _j _j

m

_j

m h y h

y h x h

S ( )

j j

j

m

m h y h

y h x h

S  (  0 )  6

₂ _₁

 6

₂

 2

_₁

 4

同理,有

联立得：

) 3 (

4

₁ ₁ ₁

1   





_j



_j



_j



_j

j

y y

m h m

m

( j=1, 2, ···, n-1 )

j j

j

m

m h y h

y h h

4 2

6

2 1



2



1





_ _

1 2 1

2

6 4 2

6 



 





_j _j _j

m

_j

m h y h

y h h



10

(12)

自然样条的导数值满足:

] [ ₁ ₀

1

0 3

2 y y

m h

m    _n_₁  2 _n  3 [ y_n  y_n_₁] m h

m

2 0 4

6 ) 6

0 (

₀

  

₂ ₀



₂ ₁



₀



₁



 m

m h y h

y h x h

S

4 0 2

6 ) 6

0 (  

₂ ₁



₂



₁

 



_n _n_ _n _n_

m

_n

m h y h

y h x h

S

设自然边界条件成立,即

) 3 (

4

₁ ₁ ₁

1   





_j



_j



_j



_j

j

y y

m h m

m

( j=1, 2, ···, n-1 ) ₁₁

(13)

MATLAB

样条命令:

yi = spline(x, y, xi)

x=-5:5;y=1./(1+x.^2);

xi=-5:0.1:5;f=1./(1+xi.^2);

yi=spline(x,y,xi); error=max(abs(yi-f)) plot(x,y,'o',xi,f,xi,yi,'r')

error = 0.0220

-5 0 5

0 0.5 1

曲率比较：计算公式 ₂ ₃_/₂ ) ) (

1 (

|

y

K



y



 

12

(14)

三次样条的极性

样条插值函数的极性

设f(x)∈C²[a, b], 对于a = x₀ < x₁ < … < x_n = b,有 f(x_j)=y_j(j=0,1,···,n).S(x)是满足S(x_j)=y_j(j=0,1,···,n) 的三次自然样条.则有

||S”(x)||≤||f”(x)||

 ^ ^ ^

 

 

^b

a

f x S x dx

x S

x

f ( ) ( ) ||

²

[ ( ) ( )]

² 证明:

||



 ^ ^ ^ ^ ^ ^



^b

a b

a

[ f ( x )]

²

dx 2 f ( x ) S ( x ) dx [ S ( x )]

²

dx

2

2 [ ( ) ( )] ( ) || ||

||

|| f

^b

f x S x S x dx S

a

     

 

 

13

(15)



_a^b^[ ^f ^⁽^x⁾ ^ ^S ^⁽^x^)]^S ^⁽^x⁾^dx ^ ^ _a^b^[ ^f ^⁽ ^x⁾ ^ ^S^⁽^x^)]^S ^⁽^x⁾^dx





 



 ⁿ _

j

x x

j f x S x ^j_j

S

1 [ ( ) ( )] ₁ 0

所以 0 ||

f

 

S

 ||² ||

f

 ||²  ||

S

 ||²

2

|| ||

||

|| S   f 

即



_a^b

^[ ^S ^ ⁽ ^x ^)]

²

^dx ^ 

_a^b

^[ ^f ^ ⁽ ^x ^)]

²

^dx

样条函数S(x)^在[a, b]^{上的总曲率最小}

.

14

(16)

学到了什么？

样条插值的算例 三次样条的概念

用一阶导数表示的样条 三次样条的极性