國中數學4 1 2等差級數

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假設 S=1+2+3+…+99+100,則 +) 所以 S=100×1012 =5050 S= 1 + 2 + 3 +…+ 99 +100 S=100+ 99 + 98 +…+ 2 + 1 2S=101+101+101+…+101+101=100×101

1−2 等差級數

本節課程學習重點: ◎能了解等差級數的意義。 ◎能導出等差級數的求和公式。 ◎能利用等差級數公式解決日常生活中的問題。 一、等差級數的和: ◎級數:將一個數列的各項依次用「+」號連接起來,就稱為一個級數。 【說明】例如:已知一數列 2 , 3 , 6 , 7 , 10 , 13,則 2+3+6+7+10+13 稱為級數。 ◎等差級數:將一個等差數列的各項依次用「+」號連接起來,就稱為一個等差級數。 【說明】例如:已知一數列 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12,則 2+4+6+8+10+12 稱為等差級數。 ◎等差級數和:等差級數總和的值,就稱為該等差級數的和。

【說明】已知 a1 , a2 ,…, an為一等差數列,則 a1+a2+…+an稱為等差級數,且 a1+a2+…+an的值

稱為此等差級數的和。 例如:已知一等差數列 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11,則 1+3+5+7+9+11 稱為等差級數, 且 1+3+5+7+9+11=36,稱 36 為此等差級數的和。 ◎探討 1+2+3+…+10=? 【說明】(1)圖(一)是由一些鋼珠所排出來的圖形,鋼珠的總個數為 1+2+3+…+10。 (2)複製一個相同的圖形並翻轉,如圖(二),鋼珠的總個數仍為 1+2+3+…+10。 (3)假設 S=1+2+3+…+10,將圖(一)、圖(二)合併成圖(三),則合併成長方形後的 鋼珠總個數為 2S。 (4)圖(三)中由鋼珠所排成的長方形共有 11×10=110 個鋼珠。 (5)可知 S=10×11 2 =55。 圖(一) 圖(二) 圖(三)

◎數學史:相傳數學家高斯(Carl Friedrich Gauss)在 10 歲時,老師在數學課上出了一道難題: 「1+2+3+…+99+100=?」給學生計算,老師心想趁學生做題時,可以休息一下, 但不到幾秒鐘,高斯就舉手說出答案是 5050,讓老師吃了一驚。

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練習 1:請依照高斯計算和的方法,求 1 到 100 中所有偶數的和。

◎等差級數前 n 項的和:

一個等差級數從第 1 項加到第 n 項的和,就稱為此等差級數前 n 項的和,以 Sn來表示,

即 Sn=a1+a2+…+an

【說明】例如:等差級數 3+6+9+12+15+18 中,S1=3;S2=3+6;S3=3+6+9;…;

S6=3+6+9+12+15+18。

◎等差級數前 n 項和的公式:

已知一等差級數的首項 a1,末項 an,項數為 n,公差為 d,若等差級數的和 Sn=a1+a2+…+an

則(1)Sn= 項數×(首項+末項) 2 = n(a1+an) 2 。(梯形求和公式)(使用時機:知道第 n 項(末項)時。) (2)Snn[2×a1+(n-1)×d] 2 。(使用時機:不知道第 n 項(末項)時。) 【說明】利用高斯計算和的方法,來推導此等差級數和的公式。 因為等差級數自第 2 項起,每一項都比它的前一項多一個公差 d,也就是說,每一項都比 它的後一項少一個公差 d。根據這個特性可以寫出下面的算式: 所以 2Sn=n(a1+an),即 Snn(a1+an) 2 如果題目中不知道末項為多少時,則利用 an=a1+(n-1)×d 代入等差級數和的公式中, 得到:Snn[a1+a1+(n-1)×d] 2 = n[2a1+(n-1)×d] 2 。 【觀念釐清】等差級數的和=中間項×項數。(梯形求和公式) 練習 2:若等差級數共 10 項,其首項為 38,公差為-3,則此等差級數的和為多少? 練習 3:若等差級數共 15 項,其首項為-14,公差為 3,則此等差級數的和為多少?

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練習 4:求等差級數 8+15+22+…+92 的和。(Hint:先求出項數 n) 練習 5:求等差級數 31+25+19+…+(-41)的和。 練習 6:設一等差級數的首項為 5,末項為 34,和為 234,求此等差級數的項數及公差。 練習 7:設一等差級數的首項為 6,末項為 42,和為 360,求此等差級數的項數及公差。 練習 8:若等差級數 2+9+16+…前 n 項的和為 335,則 n=?(Hint:項數 n 須為正整數) 練習 9:設等差級數 3+11+19+…前 n 項的和為 248,求 n 的值。

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……第 3 層 … ………第 2 層 …………第 1 層 練習 10:有一等差級數 43+39+35+…,請問: (1)第幾項起開始為負數? (2)若前 m 項的和為最大,則 m=? 練習 11:有一等差級數 54+48+42+…,請問: (1)第幾項起開始為負數? (2)若前 n 項的和為最大,則 n=? 練習 12:一音樂廳共有 15 排座位,若第一排有 16 個座位,而每一排都比前一排多 2 個座位, 則這個音樂廳共有多少個座位? 練習 13:一家戲院共有 12 排座位,若最後一排有 42 個座位,而每一排都比後一排少 2 個座位, 則這家戲院共有多少個座位? 練習 14:大賣場的奶粉罐堆疊如右圖,已知最上層有 1 罐奶粉, 第 2 層有 3 罐,…依次每層比其上一層多 2 罐。若總共 有 100 罐,則這些奶粉罐總共疊了幾層?

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練習 15:阿寶玩疊積木,若下面一層的積木都比上面一層的積木多 3 個,且第一層有 23 個積木, 若共疊了 100 個積木,則(1)這些積木共有幾層? (2)最上面一層會有幾個積木? 練習 16:用棋子排出空心的正三角形,如下圖,觀察圖形的規律並回答問題: … 第 1 個 第 2 個 第 3 個 第 4 個 如果要排第 1 個到第 20 個圖形,共需要幾個棋子? 練習 17:用棋子排出空心的正方形,如下圖,觀察圖形的規律並回答問題: … 第 1 個 第 2 個 第 3 個 第 4 個 如果要排第 1 個到第 10 個圖形,共需要幾個棋子? ◎補充: ◎碎形數列:(fractal sequence) Clark. Kimberling 將下列這個數列稱作碎形數列: 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 3 , 6 , 2 , 7 , 4 , 8 , 1 , 9 , 5 , 10 , 3 , 11 , 6 , 12 , … 觀察這個數列的奇數項,剛好是自然數數列,而且也是每個數字第一次出現的地方。若是把奇數項 從數列中刪去,所得到的數列會與原來的數列一模一樣,也就是說碎形數列擁有「自我相似性」。 (如果將每一個第一次出現的數刪除,可以發現剩下的數列會與原來的一樣。) 將第一次出現的數刪除: \1 , 1 , \2 , 1 , \3 , 2 , \4 , 1 , \5 , 3 , \6 , 2 , \7 , 4 , \8 , 1 , \9 , 5 , \10 , 3 , \11 , 6 , \12 , … 會得到: 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 3 , 6 , … 與原來的數列完全相同!

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◎費氏數列:(在生活中的應用很廣,有興趣者可找資料自行研究。) 費氏數列也叫做「費波那契數列」,是中世紀的義大利數學家費波那契(Leonardo Fibonacci, 西元 1170~1250 年)在其著作算盤書(Liber Abaci)中提到的「月兔問題」裡所推導出來的數列, 題目:假定每一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子,其後每隔一個月又可以 再生一對小兔子。現在籠子裡有一對剛生下來的小兔子,請問一年後,若兔子沒有死亡, 則籠子裡應該有幾對兔子? 月分 成兔 幼兔 總對數 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 由上表可以看出,從第三個月開始,每個月的兔子對數等於其前兩個月的兔子對數的總和。 所以每個月的兔子對數應該是 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…, 可知第十二個月的時候,籠子裡就有 144 對兔子了。 將這些兔子的數目所構成的數列稱為「費氏數列」,其特點是:數列中從第三項起,每一項 等於前面兩項的和。 再看一個有趣的題目: 從一個邊長為 1 的正方形開始,在其右邊加一個正方形, 使兩個正方形拼起來為矩形;在兩個正方形的上方加第 3 個 正方形,使三個正方形拼起來仍為矩形;按照逆時針的方向, 即右→上→左→下→右→…,不斷增加正方形,如右圖,則 第 10 個正方形的邊長應該是多少? 把第 n 個正方形的邊長依序列出如下: n 1 2 3 4 5 6 7 8 … 邊長 1 1 2 3 5 8 13 21 … 由上表可以看出,從第 3 個正方形開始,每個正方形的邊長等於其前兩個正方形邊長的和。 所以所有的正方形邊長應該依序是 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、…, 可知第 10 個正方形的邊長就是 55。 這些邊長形成的數列就是「費氏數列」,其特點是:數列中從第三項起,每一項都等於前面 兩項的和。 若將費氏數列的後項除以前項,在項數非常大時,該比值正巧會接近黃金比例(約為 1.618)。 自然界中很多花瓣數是 3、5、8;向日葵種子以順時針與逆時針排列的螺線數有 34 和 55、55 和 89、89 和 144 等;這些也都是費氏數列裡的數。有興趣者可以到圖書館或上網查詢。 自我評量 1. 設一等差級數共有十五項,其首項為 44,公差為-3,試求(1)末項,(2)總和。

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… … 2. 求 1 到 1000 中所有 3 的倍數的和。 3. 若等差級數 3 4 +1 1 4 +1 3 4 +… 前 n 項的和為 20,則 n=? 4. 設一等差級數的首項為-40,第 17 項為 8,請問: (1) 第幾項起開始為正數? (2) 若前 n 項的和為最小,則 n=? 此時 Sn的最小值為多少? 5. 如右圖,用一些棋子排出正六邊形,由內而外共排了 6 圈。 已知最內圈每邊 3 顆棋子,往外每圈每邊增加 2 顆(即由內 向外算起第 2 圈每邊 5 顆,第 3 圈每邊 7 顆,…),則完成 此圖形共需要幾顆棋子? 習作 1. 求等差級數 7+15+23+…+167 的和。 2. 設一等差級數的首項為-5,末項為 91,和為 731,則這個等差級數的項數及公差分別是多少?

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3. 已知一等差級數 25+21+17+…到前 n 項和為-80,試求 n。 4. 小哲想買一臺電腦,簽約時先付 15000 元的頭期款,餘款分 20 期付清。已知這 20 期餘款金額恰成 等差數列,且第一期 800 元,第二期、第三期共 1540 元,則此電腦總價為多少元? 5. 某表演廣場共有 25 排座位,每一排都比前一排多 2 個座位,已知最後一排有 90 個座位,則此表演 廣場共有多少個座位? 6. 設一等差級數的首項為 47,第 7 項為 29,則 (1)這個等差級數從第幾項開始為負數? (2)若這個等差級數的前 n 項和為最大,求 Sn為多少?

7. 若等差數列共有 23 項,且 a1+a23=10,則(1)a2+a22=? (2)a12=? (3)a1+a2+a3+…+a23=?

8. 請根據右圖的規律,求出第 15 層有幾個正方體積木?

第 3 層 第 2 層 第 1 層

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類題補充 1. 根據下圖的規律,圖(八)有 個 。 圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) … 2. 一等差數列的首項為 8、公差為 3,則此等差數列第 20 項到第 30 項的和為多少?

3. 已知一等差級數 a1+a2+a3+…+a20的總和等於 568,若將各項值都加上 5,則所形成新的級數

總和為多少? 4. 設一等差級數前 n 項的和為 n (3n+5) 2 ,則此級數的第 9 項為多少? 5. 若一等差級數的首項為 15,公差為-2,則前 10 項的和比前 9 項的和多了多少? 6. 一等差數列共 10 項,已知奇數項的和為 320,偶數項的和為 480,則此數列的公差為 。 7. 有一等差級數 76+72+68+…,則 n= 時,前 n 項的和最大。

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8. 一直升機從高空投放救援物資,第一秒落下 5 公尺,以後每秒落下的距離都比前一秒增加 10 公尺。 若物資投出 13 秒後落地,則 (1)此救援物資第 13 秒落下的距離為多少? (2)直升機投放物資時,離地面的高度是多少公尺? 9. 在-30 和 230 之間插入 n 個數,使其成一等差數列,且此數列各項的總和為 1200,則 n= 。 10. 從 200 到 800 的正整數中,被 7 除餘 3 的數,其總和是 。 11. 求 10+11-12+13+14-15+…至第 100 項的值= 。 12. 下圖為六邊形數,則圖(10)的六邊形數中,共有 個點。 圖(1) 圖(2) 圖(3) 圖(4) … 圖(5) 13. 一等差數列前 n 項的和為 Sn=n2+2n,則 an= 。(以 n 表示)

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14. 若 Sn表示一等差級數前 n 項的和,設 S10=60,S20=150,則 S30= 。

(Hint:等差數列中,連續 n 項的和也會形成新的等差數列,即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差。)

15. 等差級數 a1+a2+a3+…+a15=270,則 a8=?(Hint:等差級數的和=中間項×項數。)

16. 觀察下列算式: 12=1;12-22=-(1+2);12-22+32=(1+2+3);12-22+32-42=-(1+2+3+4) 則 12-22+32-42+…+492=? 17. 兩等差數列第 n 項比為(4n-3):(5n+1),則前 4 項和之比=? 18. 有一數列 1 , 5 , 10 , 15 , …,若將此數列分組如下表: (1) (5 , 10) (15 , 20 , 25) (30 , 35 , 40 , 45) … (a1 , a2 , …, a10) 第一組 第二組 第三組 第四組 … 第十組 試問:(1) 第五組數列? (2) a1=? (3) a1+a2+…+a10=? 19. 等差級數 12 1 2+11 1 4+10+8 3 4+…+第 n 項的和是 61 1 4,則 n=?

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第一層 ………… 第二層 ……… 第三層 …… 第四層 … 1 3 5 13 15 17 19 9 7 11 20. 將正整數 1、2、3、4、…,按下圖的方式開始書寫,其中 2 是第一次轉彎點上的數,4、7、11 分別 是第二、三、四次轉彎點上的數,依此規則繼續下去,試問第十五次轉彎點上的數是多少? 7 1 2 3 4 5 9 10 1 1 12 13 14 15 16 28 29 30 31 32 17 27 18 26 19 25 20 24 21 23 6 8 22 21. 已知一個多邊形的周長為 78 公分,其邊長形成公差為 2 公分的等差數列,已知最長的邊長為 18 公分,則此多邊形的邊數為 。 22. 將數列 1 , 3 , 5 , …按照右圖的順序排列下去,請問: (1)由第十一層的左邊算起,第 5 個數字為 。 (2)排完一到十一層,所有數字的總和為 。 23. 設一等差級數的首項為 47,第七項為 29,則 (1)這個等差級數從第 項開始為負數。 (2)這個等差級數的前 n 項和為最大,則 Sn為 。 (3)這個等差級數從第 項開始的級數和為負數。

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加強練習

1. 若計畫每天舉啞鈴鍛練,第一天做 5 下,第二天做 8 下,第三天做 11 下,…依此類推,則兩週後, 共做了 下。

2. 若等差級數 a1+a2+a3+a4+a5=90,則下列何者錯誤?

(A) a3=36 (B) a1+a3=2a2 (C) a2+a4=36 (D) a1 , a3 , a5為等差數列

3. 若一等差級數的前十項之和為前五項之和的 4 倍,則首項:公差=? (A) 1:2 (B) 2:1 (C) 1:4 (D) 4:1

4. 對於等差級數 Sn=a1+a2+…+an,下列敘述何者錯誤?

(A) Sn表示等差數列 a1 , a2 , a3 , …前 n 項的和 (B) S5-S4=公差 d (C) Sn-Sn1=an (D) Sn a1+an 2 × n 5. 設 a , b , c 三數成等差數列,且三數總和為 315,求 a+c= 。 6. 右圖為 5×5 的正方格,若在每個空格內填上一個數字使得每一橫列 由左而右均為公差為 d1的數列,每一縱列由上而下均為公差為 d2的 等差數列,試求:(1) a= ;(2)所有數字總和為 。 7. 一等差級數共有 7 項,若奇數項的和為偶數項和的兩倍,則此級數的 第 4 項為 。 8. 將等差級數的各項都乘以 5,則新的等差級數和是原級數和的 倍。 9. 某屆世界棒球經典大賽的總獎金是 1000 萬美元,獎金先由打進前八強的球隊依名次作不同比例的 分配,原則為第八名分得總獎金的 1%,第七名分得總獎金的 4%,第六名分得總獎金的 7%,…, 以此類推。獎金分配的百分比依序形成等差數列,前八名的獎金分配完後,剩下獎金做為個人獎, 則個人獎的獎金為多少? 10. 有一等差級數共 12 項,其中第 6 項與第 7 項的和是 12,則此級數和為多少? (A) 36 (B) 72 (C) 144 (D) 288 11. 有一等差數列共有 21 項,正中央的三項和為 129,末三項和為 237,則下列敘述何者錯誤? (A)首項為 3 (B)公差為 4 (C)第七項為 27 (D) 21 項總和為 945 12. 設一等差數列前 10 項的和為 20,前 20 項的和為 10,則前 30 項的和是多少? (A)-20 (B)-30 (C)-40 (D)-50 13. 已知 n 為正整數,則 1+3+5+…+(2n-1)=? (A) 2n-1 (B) n2 (C) (n+1)2 (D) (n-1)2 14. 有一等差級數,首項是 6,公差是 4 3,奇數項的和比偶數項的和大 26,則此等差級數有 項。 15. 如下圖,有 4 個由圓組成的圖形,若依照這些圖的規則繼續畫下去,畫到第 10 個圖,則圖(10)中 所有小圓內數字的總和為 。 … 圖(1) 1 圖(2) 3 3 3 圖(3) 5 5 5 5 5 5 圖(4) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 16. 求 1 2+( 1 3+ 2 3)+( 1 4+ 2 4+ 3 4)+( 1 5+ 2 5+ 3 5+ 4 5)+…+( 1 61+ 2 61+ 3 61+…+ 60 61)之值為 。 17. 有一等差數列 a1 , a2 , a3 , …,已知 a6+a7+a8+…+a15=70,則 a3+a4+a5+…+a18= 。

18. 等差級數前 n 項的和是 n2-2n,則首項為 ,公差為 。 19. 計算 1+2+3+…+49+50+49+…+3+2+1 之值為 。 20. 已知一次函數 f(x)=5x-3,則 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)+f(9)+f(10)= 。 21. 已知 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7為等差數列,且 a2+a6=10,則此等差級數的和為 。 22. 一飛機從高空投擲炸彈,第一秒落下 4.9 公尺,以後每秒落下的距離都比前一秒增加 9.8 公尺, 即第二秒落下 14.7 公尺。若此炸彈投出 26 秒後著地爆炸,則 (1)此炸彈第 26 秒落下的距離為多少公尺? (2)飛機投擲炸彈時,離地面的高度是多少公尺? 列 行 a 18 15 9

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Ans:1. 343;2.(A);3.(A);4.(B);5. 210;6.(1)-4,(2) 350;7. 0;8. 5;9.80 萬美元;10.(B); 11.(D);12.(B);13.(B);14. 31;15. 1045;16. 915;17. 112;18.-1,2;19. 2500;20. 245; 21. 35;22.(1) 249.9 公尺,(2) 3312.4 公尺。

數據

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參考文獻

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