假設 S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，則 ＋) 所以 S＝100×1012 ＝5050 S＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ 99 ＋100 S＝100＋ 99 ＋ 98 ＋…＋ 2 ＋ 1 2S＝101＋101＋101＋…＋101＋101＝100×101
1−2 等差級數
本節課程學習重點： ◎能了解等差級數的意義。 ◎能導出等差級數的求和公式。 ◎能利用等差級數公式解決日常生活中的問題。 一、等差級數的和： ◎級數：將一個數列的各項依次用「＋」號連接起來，就稱為一個級數。 【說明】例如：已知一數列 2 , 3 , 6 , 7 , 10 , 13，則 2＋3＋6＋7＋10＋13 稱為級數。 ◎等差級數：將一個等差數列的各項依次用「＋」號連接起來，就稱為一個等差級數。 【說明】例如：已知一數列 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12，則 2＋4＋6＋8＋10＋12 稱為等差級數。 ◎等差級數和：等差級數總和的值，就稱為該等差級數的和。【說明】已知 a1 , a2 ,…, an為一等差數列，則 a1＋a2＋…＋an稱為等差級數，且 a1＋a2＋…＋an的值
稱為此等差級數的和。 例如：已知一等差數列 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11，則 1＋3＋5＋7＋9＋11 稱為等差級數， 且 1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，稱 36 為此等差級數的和。 ◎探討 1＋2＋3＋…＋10＝？ 【說明】(1)圖(一)是由一些鋼珠所排出來的圖形，鋼珠的總個數為 1＋2＋3＋…＋10。 (2)複製一個相同的圖形並翻轉，如圖(二)，鋼珠的總個數仍為 1＋2＋3＋…＋10。 (3)假設 S＝1＋2＋3＋…＋10，將圖(一)、圖(二)合併成圖(三)，則合併成長方形後的 鋼珠總個數為 2S。 (4)圖(三)中由鋼珠所排成的長方形共有 11×10＝110 個鋼珠。 (5)可知 S＝10×11 2 ＝55。 圖(一) 圖(二) 圖(三)
◎數學史：相傳數學家高斯(Carl Friedrich Gauss)在 10 歲時，老師在數學課上出了一道難題： 「1＋2＋3＋…＋99＋100＝？」給學生計算，老師心想趁學生做題時，可以休息一下， 但不到幾秒鐘，高斯就舉手說出答案是 5050，讓老師吃了一驚。
練習 1：請依照高斯計算和的方法，求 1 到 100 中所有偶數的和。
◎等差級數前 n 項的和：
一個等差級數從第 1 項加到第 n 項的和，就稱為此等差級數前 n 項的和，以 Sn來表示，
即 Sn＝a1＋a2＋…＋an。
【說明】例如：等差級數 3＋6＋9＋12＋15＋18 中，S1＝3；S2＝3＋6；S3＝3＋6＋9；…；
S6＝3＋6＋9＋12＋15＋18。
◎等差級數前 n 項和的公式：
已知一等差級數的首項 a1，末項 an，項數為 n，公差為 d，若等差級數的和 Sn＝a1＋a2＋…＋an，
則(1)Sn＝ 項數×(首項＋末項) 2 ＝ n(a1＋an) 2 。(梯形求和公式)(使用時機：知道第 n 項(末項)時。) (2)Sn＝ n[2×a1＋(n－1)×d] 2 。(使用時機：不知道第 n 項(末項)時。) 【說明】利用高斯計算和的方法，來推導此等差級數和的公式。 因為等差級數自第 2 項起，每一項都比它的前一項多一個公差 d，也就是說，每一項都比 它的後一項少一個公差 d。根據這個特性可以寫出下面的算式： 所以 2Sn＝n(a1＋an)，即 Sn＝ n(a1＋an) 2 。 如果題目中不知道末項為多少時，則利用 an＝a1＋(n－1)×d 代入等差級數和的公式中， 得到：Sn＝ n[a1＋a1＋(n－1)×d] 2 ＝ n[2a1＋(n－1)×d] 2 。 【觀念釐清】等差級數的和＝中間項×項數。(梯形求和公式) 練習 2：若等差級數共 10 項，其首項為 38，公差為－3，則此等差級數的和為多少？ 練習 3：若等差級數共 15 項，其首項為－14，公差為 3，則此等差級數的和為多少？
練習 4：求等差級數 8＋15＋22＋…＋92 的和。(Hint：先求出項數 n) 練習 5：求等差級數 31＋25＋19＋…＋(－41)的和。 練習 6：設一等差級數的首項為 5，末項為 34，和為 234，求此等差級數的項數及公差。 練習 7：設一等差級數的首項為 6，末項為 42，和為 360，求此等差級數的項數及公差。 練習 8：若等差級數 2＋9＋16＋…前 n 項的和為 335，則 n＝？(Hint：項數 n 須為正整數) 練習 9：設等差級數 3＋11＋19＋…前 n 項的和為 248，求 n 的值。
……第 3 層… … ………第 2 層 …………第 1 層 練習 10：有一等差級數 43＋39＋35＋…，請問： (1)第幾項起開始為負數？ (2)若前 m 項的和為最大，則 m＝？ 練習 11：有一等差級數 54＋48＋42＋…，請問： (1)第幾項起開始為負數？ (2)若前 n 項的和為最大，則 n＝？ 練習 12：一音樂廳共有 15 排座位，若第一排有 16 個座位，而每一排都比前一排多 2 個座位， 則這個音樂廳共有多少個座位？ 練習 13：一家戲院共有 12 排座位，若最後一排有 42 個座位，而每一排都比後一排少 2 個座位， 則這家戲院共有多少個座位？ 練習 14：大賣場的奶粉罐堆疊如右圖，已知最上層有 1 罐奶粉， 第 2 層有 3 罐，…依次每層比其上一層多 2 罐。若總共 有 100 罐，則這些奶粉罐總共疊了幾層？
練習 15：阿寶玩疊積木，若下面一層的積木都比上面一層的積木多 3 個，且第一層有 23 個積木， 若共疊了 100 個積木，則(1)這些積木共有幾層？ (2)最上面一層會有幾個積木？ 練習 16：用棋子排出空心的正三角形，如下圖，觀察圖形的規律並回答問題： … 第 1 個 第 2 個 第 3 個 第 4 個 如果要排第 1 個到第 20 個圖形，共需要幾個棋子？ 練習 17：用棋子排出空心的正方形，如下圖，觀察圖形的規律並回答問題： … 第 1 個 第 2 個 第 3 個 第 4 個 如果要排第 1 個到第 10 個圖形，共需要幾個棋子？ ◎補充： ◎碎形數列：(fractal sequence) Clark. Kimberling 將下列這個數列稱作碎形數列： 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 3 , 6 , 2 , 7 , 4 , 8 , 1 , 9 , 5 , 10 , 3 , 11 , 6 , 12 , … 觀察這個數列的奇數項，剛好是自然數數列，而且也是每個數字第一次出現的地方。若是把奇數項 從數列中刪去，所得到的數列會與原來的數列一模一樣，也就是說碎形數列擁有「自我相似性」。 (如果將每一個第一次出現的數刪除，可以發現剩下的數列會與原來的一樣。) 將第一次出現的數刪除： ＼1 , 1 , ＼2 , 1 , ＼3 , 2 , ＼4 , 1 , ＼5 , 3 , ＼6 , 2 , ＼7 , 4 , ＼8 , 1 , ＼9 , 5 , ＼10 , 3 , ＼11 , 6 , ＼12 , … 會得到： 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 3 , 6 , … 與原來的數列完全相同！
◎費氏數列：(在生活中的應用很廣，有興趣者可找資料自行研究。) 費氏數列也叫做「費波那契數列」，是中世紀的義大利數學家費波那契(Leonardo Fibonacci， 西元 1170～1250 年)在其著作算盤書(Liber Abaci)中提到的「月兔問題」裡所推導出來的數列， 題目：假定每一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以 再生一對小兔子。現在籠子裡有一對剛生下來的小兔子，請問一年後，若兔子沒有死亡， 則籠子裡應該有幾對兔子？ 月分 成兔 幼兔 總對數 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 由上表可以看出，從第三個月開始，每個月的兔子對數等於其前兩個月的兔子對數的總和。 所以每個月的兔子對數應該是 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…， 可知第十二個月的時候，籠子裡就有 144 對兔子了。 將這些兔子的數目所構成的數列稱為「費氏數列」，其特點是：數列中從第三項起，每一項 等於前面兩項的和。 再看一個有趣的題目： 從一個邊長為 1 的正方形開始，在其右邊加一個正方形， 使兩個正方形拼起來為矩形；在兩個正方形的上方加第 3 個 正方形，使三個正方形拼起來仍為矩形；按照逆時針的方向， 即右→上→左→下→右→…，不斷增加正方形，如右圖，則 第 10 個正方形的邊長應該是多少？ 把第 n 個正方形的邊長依序列出如下： n 1 2 3 4 5 6 7 8 … 邊長 1 1 2 3 5 8 13 21 … 由上表可以看出，從第 3 個正方形開始，每個正方形的邊長等於其前兩個正方形邊長的和。 所以所有的正方形邊長應該依序是 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、…， 可知第 10 個正方形的邊長就是 55。 這些邊長形成的數列就是「費氏數列」，其特點是：數列中從第三項起，每一項都等於前面 兩項的和。 若將費氏數列的後項除以前項，在項數非常大時，該比值正巧會接近黃金比例(約為 1.618)。 自然界中很多花瓣數是 3、5、8；向日葵種子以順時針與逆時針排列的螺線數有 34 和 55、55 和 89、89 和 144 等；這些也都是費氏數列裡的數。有興趣者可以到圖書館或上網查詢。 自我評量 1. 設一等差級數共有十五項，其首項為 44，公差為－3，試求(1)末項，(2)總和。
… … 2. 求 1 到 1000 中所有 3 的倍數的和。 3. 若等差級數 3 4 ＋1 1 4 ＋1 3 4 ＋… 前 n 項的和為 20，則 n＝？ 4. 設一等差級數的首項為－40，第 17 項為 8，請問： (1) 第幾項起開始為正數？ (2) 若前 n 項的和為最小，則 n＝？ 此時 Sn的最小值為多少？ 5. 如右圖，用一些棋子排出正六邊形，由內而外共排了 6 圈。 已知最內圈每邊 3 顆棋子，往外每圈每邊增加 2 顆(即由內 向外算起第 2 圈每邊 5 顆，第 3 圈每邊 7 顆，…)，則完成 此圖形共需要幾顆棋子？ 習作 1. 求等差級數 7＋15＋23＋…＋167 的和。 2. 設一等差級數的首項為－5，末項為 91，和為 731，則這個等差級數的項數及公差分別是多少？
3. 已知一等差級數 25＋21＋17＋…到前 n 項和為－80，試求 n。 4. 小哲想買一臺電腦，簽約時先付 15000 元的頭期款，餘款分 20 期付清。已知這 20 期餘款金額恰成 等差數列，且第一期 800 元，第二期、第三期共 1540 元，則此電腦總價為多少元？ 5. 某表演廣場共有 25 排座位，每一排都比前一排多 2 個座位，已知最後一排有 90 個座位，則此表演 廣場共有多少個座位？ 6. 設一等差級數的首項為 47，第 7 項為 29，則 (1)這個等差級數從第幾項開始為負數？ (2)若這個等差級數的前 n 項和為最大，求 Sn為多少？
7. 若等差數列共有 23 項，且 a1＋a23＝10，則(1)a2＋a22＝？ (2)a12＝？ (3)a1＋a2＋a3＋…＋a23＝？
8. 請根據右圖的規律，求出第 15 層有幾個正方體積木？
第 3 層 第 2 層 第 1 層
類題補充 1. 根據下圖的規律，圖(八)有 個 。 圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四) … 2. 一等差數列的首項為 8、公差為 3，則此等差數列第 20 項到第 30 項的和為多少？
3. 已知一等差級數 a1＋a2＋a3＋…＋a20的總和等於 568，若將各項值都加上 5，則所形成新的級數
總和為多少？ 4. 設一等差級數前 n 項的和為 n (3n＋5) 2 ，則此級數的第 9 項為多少？ 5. 若一等差級數的首項為 15，公差為－2，則前 10 項的和比前 9 項的和多了多少？ 6. 一等差數列共 10 項，已知奇數項的和為 320，偶數項的和為 480，則此數列的公差為 。 7. 有一等差級數 76＋72＋68＋…，則 n＝ 時，前 n 項的和最大。
8. 一直升機從高空投放救援物資，第一秒落下 5 公尺，以後每秒落下的距離都比前一秒增加 10 公尺。 若物資投出 13 秒後落地，則 (1)此救援物資第 13 秒落下的距離為多少？ (2)直升機投放物資時，離地面的高度是多少公尺？ 9. 在－30 和 230 之間插入 n 個數，使其成一等差數列，且此數列各項的總和為 1200，則 n＝ 。 10. 從 200 到 800 的正整數中，被 7 除餘 3 的數，其總和是 。 11. 求 10＋11－12＋13＋14－15＋…至第 100 項的值＝ 。 12. 下圖為六邊形數，則圖(10)的六邊形數中，共有 個點。 圖(1) 圖(2) 圖(3) 圖(4) … 圖(5) 13. 一等差數列前 n 項的和為 Sn＝n2＋2n，則 an＝ 。(以 n 表示)
14. 若 Sn表示一等差級數前 n 項的和，設 S10＝60，S20＝150，則 S30＝ 。
(Hint：等差數列中，連續 n 項的和也會形成新的等差數列，即 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差。)
15. 等差級數 a1＋a2＋a3＋…＋a15＝270，則 a8＝？(Hint：等差級數的和＝中間項×項數。)
16. 觀察下列算式： 12＝1；12－22＝－(1＋2)；12－22＋32＝(1＋2＋3)；12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4) 則 12－22＋32－42＋…＋492＝？ 17. 兩等差數列第 n 項比為(4n－3)：(5n＋1)，則前 4 項和之比＝？ 18. 有一數列 1 , 5 , 10 , 15 , …，若將此數列分組如下表： (1) (5 , 10) (15 , 20 , 25) (30 , 35 , 40 , 45) … (a1 , a2 , …, a10) 第一組 第二組 第三組 第四組 … 第十組 試問：(1) 第五組數列？ (2) a1＝？ (3) a1＋a2＋…＋a10＝？ 19. 等差級數 12 1 2＋11 1 4＋10＋8 3 4＋…＋第 n 項的和是 61 1 4，則 n＝？
第一層 ………… 第二層 ……… 第三層 …… 第四層 … 1 3 5 13 15 17 19 9 7 11 20. 將正整數 1、2、3、4、…，按下圖的方式開始書寫，其中 2 是第一次轉彎點上的數，4、7、11 分別 是第二、三、四次轉彎點上的數，依此規則繼續下去，試問第十五次轉彎點上的數是多少？ 7 1 2 3 4 5 9 10 1 1 12 13 14 15 16 28 29 30 31 32 17 27 18 26 19 25 20 24 21 23 6 8 22 21. 已知一個多邊形的周長為 78 公分，其邊長形成公差為 2 公分的等差數列，已知最長的邊長為 18 公分，則此多邊形的邊數為 。 22. 將數列 1 , 3 , 5 , …按照右圖的順序排列下去，請問： (1)由第十一層的左邊算起，第 5 個數字為 。 (2)排完一到十一層，所有數字的總和為 。 23. 設一等差級數的首項為 47，第七項為 29，則 (1)這個等差級數從第 項開始為負數。 (2)這個等差級數的前 n 項和為最大，則 Sn為 。 (3)這個等差級數從第 項開始的級數和為負數。
加強練習
1. 若計畫每天舉啞鈴鍛練，第一天做 5 下，第二天做 8 下，第三天做 11 下，…依此類推，則兩週後， 共做了 下。
2. 若等差級數 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝90，則下列何者錯誤？
(A) a3＝36 (B) a1＋a3＝2a2 (C) a2＋a4＝36 (D) a1 , a3 , a5為等差數列
3. 若一等差級數的前十項之和為前五項之和的 4 倍，則首項：公差＝？ (A) 1：2 (B) 2：1 (C) 1：4 (D) 4：1
4. 對於等差級數 Sn＝a1＋a2＋…＋an，下列敘述何者錯誤？
(A) Sn表示等差數列 a1 , a2 , a3 , …前 n 項的和 (B) S5－S4＝公差 d (C) Sn－Sn－1＝an (D) Sn＝ a1＋an 2 × n 5. 設 a , b , c 三數成等差數列，且三數總和為 315，求 a＋c＝ 。 6. 右圖為 5×5 的正方格，若在每個空格內填上一個數字使得每一橫列 由左而右均為公差為 d1的數列，每一縱列由上而下均為公差為 d2的 等差數列，試求：(1) a＝ ；(2)所有數字總和為 。 7. 一等差級數共有 7 項，若奇數項的和為偶數項和的兩倍，則此級數的 第 4 項為 。 8. 將等差級數的各項都乘以 5，則新的等差級數和是原級數和的 倍。 9. 某屆世界棒球經典大賽的總獎金是 1000 萬美元，獎金先由打進前八強的球隊依名次作不同比例的 分配，原則為第八名分得總獎金的 1%，第七名分得總獎金的 4%，第六名分得總獎金的 7%，…， 以此類推。獎金分配的百分比依序形成等差數列，前八名的獎金分配完後，剩下獎金做為個人獎， 則個人獎的獎金為多少？ 10. 有一等差級數共 12 項，其中第 6 項與第 7 項的和是 12，則此級數和為多少？ (A) 36 (B) 72 (C) 144 (D) 288 11. 有一等差數列共有 21 項，正中央的三項和為 129，末三項和為 237，則下列敘述何者錯誤？ (A)首項為 3 (B)公差為 4 (C)第七項為 27 (D) 21 項總和為 945 12. 設一等差數列前 10 項的和為 20，前 20 項的和為 10，則前 30 項的和是多少？ (A)－20 (B)－30 (C)－40 (D)－50 13. 已知 n 為正整數，則 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝？ (A) 2n－1 (B) n2 (C) (n＋1)2 (D) (n－1)2 14. 有一等差級數，首項是 6，公差是 4 3，奇數項的和比偶數項的和大 26，則此等差級數有 項。 15. 如下圖，有 4 個由圓組成的圖形，若依照這些圖的規則繼續畫下去，畫到第 10 個圖，則圖(10)中 所有小圓內數字的總和為 。 … 圖(1) 1 圖(2) 3 3 3 圖(3) 5 5 5 5 5 5 圖(4) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 16. 求 1 2＋( 1 3＋ 2 3)＋( 1 4＋ 2 4＋ 3 4)＋( 1 5＋ 2 5＋ 3 5＋ 4 5)＋…＋( 1 61＋ 2 61＋ 3 61＋…＋ 60 61)之值為 。 17. 有一等差數列 a1 , a2 , a3 , …，已知 a6＋a7＋a8＋…＋a15＝70，則 a3＋a4＋a5＋…＋a18＝ 。
18. 等差級數前 n 項的和是 n2－2n，則首項為 ，公差為 。 19. 計算 1＋2＋3＋…＋49＋50＋49＋…＋3＋2＋1 之值為 。 20. 已知一次函數 f(x)＝5x－3，則 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＋f(9)＋f(10)＝ 。 21. 已知 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7為等差數列，且 a2＋a6＝10，則此等差級數的和為 。 22. 一飛機從高空投擲炸彈，第一秒落下 4.9 公尺，以後每秒落下的距離都比前一秒增加 9.8 公尺， 即第二秒落下 14.7 公尺。若此炸彈投出 26 秒後著地爆炸，則 (1)此炸彈第 26 秒落下的距離為多少公尺？ (2)飛機投擲炸彈時，離地面的高度是多少公尺？ 列 行 a 18 15 9
Ans：1. 343；2.(A)；3.(A)；4.(B)；5. 210；6.(1)－4，(2) 350；7. 0；8. 5；9.80 萬美元；10.(B)； 11.(D)；12.(B)；13.(B)；14. 31；15. 1045；16. 915；17. 112；18.－1，2；19. 2500；20. 245； 21. 35；22.(1) 249.9 公尺，(2) 3312.4 公尺。
