共整合模型在經濟成長模型的應用與實證檢驗

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

共整合模型在經濟成長模型的應用與實證檢驗

An Application of Cointegration Analysis to the Growth Models

計畫別類：個別型計畫整合型計畫計畫編號： NSC 89-2415-H-002-013 執行期間：民 88 年 8 月 1 日至民 89 年 7 月 31 日個別型計畫：計畫主持人：林建甫共同主持人：整合型計畫：總計畫主持人：子計畫主持人：註：整合型計畫總報告與子計畫成果報告請分開編印各成一冊，彙整一起繳送國科會。處理方式：可立即對外提供參考 (請打 X) 一年後可立即對外提供參考兩年後可立即對外提供參考 (必要時，本會得延展發表時限) 執行單位：台灣大學經濟學系中華民國： 89 年 10 月 1 日

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共整合模型在經濟成長模型的應用與實證檢驗

林建甫台大經濟系

摘要

本文乃是將計量經濟學晚近發展的共整合觀念應用到各種經濟成長的模型，做一有系統的探討。起先我們先推導非隨機的經濟成長模型所能隱含的長期均衡觀念，然後加入隨機的誤差項成為可估計的計量模型，然後分別歸納成共整合關係式，及關係式中所代表的係數限制及調整。我們探討的模型有Solow-Swan模型、Ramsey 模型、Lucas 模型(人力資本的內生成長模型)、AK 模型、Aghion-Howitt模型 (創新的內生成長模型)及技術擴散的內生成長模型。而計量的實證研究，我們並探討技術進步及勞動的外生性，及估計模型係數的穩定性。我們以台灣的資料去做實證的探討，但是由實證的結果來看，本文欲檢定的長期均衡關係可能太過嚴苛。恆定狀態假設可能較適合跨國的橫斷面分析，單一經濟體如台灣很可能尚未到達恆定狀態。關鍵詞：共整合觀念，經濟成長，內生性，長期均衡，係數的穩定性 第一節前言

經濟成長的模型最早是 Harrod 和 Domar 在 1940 的模型，在 Solow(1956) 的新古典模型出現後，內生成長理論出現之前，以 Solow 模型為基礎的成長理論則一直被用來做為理論和實證上的研究。 Solow 模型假設生產函數和市場形態符合古典理論，即完全競爭，封閉體系，規模報酬不變，邊際資本報酬遞減等等。另外再假設外生儲蓄率和人口成長率。該模型中，經濟成長和實體資本累積速度 (換句話說也就是與儲蓄率 )有著密切的關係，因為在以上條件下求取模型定態條件，經濟模型的長期均衡取決於外生且假設為固定的儲蓄率和人口成長率，但是提高儲蓄率只能改善最後定態時的每人產出水準，並不能改變每人經濟成長率在定態時等於零的結果。改良型的 Solow 模型中 (見 3-1 推導 )，加入了人力資本的變數，但仍然假設為外生，因此定態

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時的每人經濟成長率等於外生的人力資本進步率。一個經濟體的長期成長率只取決於外生的人力資本進步率，所以政府政策如鼓勵儲蓄並無法影響長期經濟成長率。這個涵義和一般人認為東亞國家經濟成長的經驗不符合，因為四小龍不但每人所得水準比一般發展中國家高，而且每人所得成長率似乎也長期處在比較高的水準。

1965 年 Cass 和 Koopmans 將動態方法和 Ramsey 的最適消費儲蓄選擇的觀念重新應用到成長模型上稱為 Ramsey 模型，其他一階齊次生產函數和市場競爭的假設仍然相同，使得每期儲蓄率，消費和產出成長率等在定態之前均不是固定外生，而是最適內生。然而在長期均衡上， Ramsey 模型和 Solow 模型一樣，到最後平均每人成長率要等於外生人力資本進步率 (特別說明長期每人的產出水準可以因為期初技術水準提昇而增加，但其成長率仍然無法改變 )。如果我們更進一步接受和經濟體的結構參數有差異，如儲蓄率和生產函數數的不同，則以上的古典成長模型隱含了條件收斂 (conditional convergence) 的結果，意指各經濟體有自己不同的恆定狀態 (每人產出和消費等變數 )，而經濟體低於自己的長期恆定狀態愈遠，則經濟成長率愈高。另一角度來說，若是結構參數相近的地區如美國各洲之間或西歐諸國，則會有每人產出和經濟成長率成反相關係的情形，然而結構參數差異很大的國家，則不必然有這個關係。這個結果與事實大致相符。由於這些模型對技術進步的外生假設，隱含經濟體任何行為均無法控制技術進步以使成長率增加，譬如研發，教育，或是政府政策，此與現實世界或有不同，尤其亞洲四小龍的表現，讓很多人相信經濟成長的成就，可經由一些政府政策或其他的方法獲致，而不是死死地受制於固定外生的技術進步。另一方面很多研究經濟成長的學者也希望貧窮落後國家的經濟成長，有擺脫現狀的可能性，以上成長模型的政策意涵並無法滿足這些需要。到了八十年代，成長領域的焦點集中到了內生成長理論上，以 Romer 和 Lucas 為起始。這些新成長理論的共通處是認為經濟成長的主要動力來自於技術的改變，而且技術是生產過程中的一種內生投入。此外，由於認為知識之為一種人力資本的特殊性質，他們也改變了新古典成長模型中生產函數為規模報酬不變和市場為完全競爭的假設。內生成長模型依成長動力源又可分

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為兩大類。第一種是強調可儲存要素投入 (人力和實體資本 )的外部性和要素累積的內生成長模型，統稱要素累積模型。第二種則是研究發展模型，強調經濟成長的動力來自於 R and D。以下分別說明。第一類的模型又分為外部性模型和人力資本模型。Romer(1986)的經濟成長模型再對 Ramsey 模型做修改，重點是考慮到產業的外溢效果而產生外部經濟，即使沒有技術進步和人力資本進步，長期定態時，每人經濟成長率也會維持一正值，是一些參數如生產係數，折舊率，時間偏好率等等的函數。經濟成長的動力來源是整個社會 (不是各別廠商 )的生產函數規模報酬遞增。結果是時間偏好率較低和跨期替代彈性大的經濟體儲蓄率會較高，長期經濟成長率也會較高。此外提升技術水準也可以使長期 (其實也是短期，因為沒有傳遞動態，直接跳到長期均衡 )經濟成長率增加。這個結果和外生成長理論不同，外生成長理論中，儲蓄率和技術水準的高低不影響長期經濟成長率。另外一種想法是維持每人長期所得成長的來源不是外部經濟，而是人力資本的內生技術進步，也就是每人生產函數是每人實體資本和人力資本的一階齊次函數，但是人力資本的累積是和實體資本一樣要從單一種類產出裡面來投注，因此人力資本的累積成為廠商最適化時必須考慮到的內生變數。這種人力資本模型可以導成 AK 模型 (3-4 節 )，也就導成每人產出只是每人實體資本的函數 (因為在最適選擇下人力資本一定會跟實體本呈一固定比例 )，而且實體資本的邊際生產力不變。 AK 模型的型式違反 Inada condition，這是產生內生成長的關鍵因素。表面上看起來實體資本邊際生產力不變似乎不合理，但是如果把這個資本看成是還包含實體資本和人力資本，生產知識和公共建設和設施等等的綜合變數，則邊際生產力不變的情形則可以合理化。最適化結果隱函的重要意義與上面 Romer 的外部效果模型一樣，都是時間偏好率較低和跨期替代彈性大的經濟體儲蓄率會較高，長期 (同時也是短期 )經濟成長率也會較高。其實上面的 Romer 外部性模型也可以導成 AK 模型型式，差別在於不能用社會規畫者極大化解，所以最適解並不相同，但是隱含的重要結果是差不多的。 Lucas(1988)再對以上 AK 模型和 Romer 的模型加以擴充，使模型中包含實體資本累積之外還包括人力資本累積機能 (人力訓練 )，而人力資本累積的方式不是從單一產出直接去投注，而是人力資本另外再由勞動者的受訓時間

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和訓練用資本透過一個函數產生。重要的結論除了即使沒有嚴格定義的 TFP 技術進步，長期每人經濟仍能持續成長之外，還有複均衡路徑的可能性，造成兩個經濟情況起初相似的經濟體，由於其中一個國家的人力資本累積和消費比例增加的較快，而使得在長期定態均衡時每人消費水準，投資水準，人力資本水準可能產生很大的差異。所以原始的 Lucas 模型是屬於強調人力資本訓練的人力資本模型。而本文的實證模型則為混合 Romer(1986) 和 Lucas(1988)的模型，一併考慮外部性和人力資本訓練，推導過程詳見 3-3。第二大類的模型是研發模型。研發模型的理論基礎是，研發造成技術進步，而技術進步促使經濟成長。而技術進步的形式又分為兩種方向。一是表現在中間財或最終財的種類增加，第二種是表現在產品品質的提昇。然而要廠商保有研發的動力而不會讓利潤完全被模仿者吃掉，勢必不能維持古典成長理論中完全競爭的假設，而要給予研發單位或是從事創新的廠商特定程度的壟斷能力使其產生研發創新的誘因。產品種類的擴充最早的設計是 Romer(1987)把種類增加定位在中間財的使用，中間財種類增加代表專業分工，可以降低生產成本，帶動經濟成長 Romer(1990)則加入了中間財種類增加的來源為研發投入的設定。 Grossman and Helpman(1991)則設計為最終產品的種類擴充，並且考慮產品多樣化對效用函數的正面影響，經濟成長表現在最終產品種類愈多，消費者的效用愈大。

研發模型的第二類為產品質提昇的模型，以 Aghion and Howitt (1992,1998)為代表。 1998 的模型為，技術進步表現在中間財的品質改善。中間財市場為多部門獨占，其他市場包括研發部門為完全競爭 (其他設定詳見 3-5)。主要結論為，長期恆定狀態時，研發投入為固定，產出的對數值為 random walk with a drift。而對平均經濟成長率影響為正向的參數為，創新的數量，投入研發的勞動力的數量和研發函數的生產力，影響為負的參數為時間偏好率。除了以上廣為討論的資本累積模型和研發模型兩大類之外，其他成長理論則考慮金融介的發展和國際貿易的盛行對經濟成長的影響。雖然內生成長模型分為以上兩大類，但本文的實證對象僅限於第一類的資本累積模型。研發模型的實證資料比較複雜，以總體經濟角度在產品種類和品質提昇的認定上比較困難，更大的問題是研發模型所需的一些重要變數如研發投入，技術

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人員數量和技術參數等資訊，國內在 1987 年才開始有比較詳細可供研究的年資料，資料長度不足以做時間序列的實證分析。故而本文只在 3-5 和 3-6 部分推導兩種研發模型所預示的共積關係和隱含的 VECM 模型參數，但沒有進行實證分析。 第二節過去實證的文獻與不足 在早期以 Solow 模型為基本架構並且沒有考慮到人力資本因素的成長模型只能解釋一些短期上變動的隱含意義。在實證上當然不能令人滿意。很多情況下資本和勞動的分額的估計值非常不合理，有的時候會做出勞動生產係數為負值，或著是兩種投入要素的分額的比例差距太大，這是因為沒有加入人力資本變數的設定誤差造成的估計錯誤。 Lucas(1988)說在傳統實證上，純勞動力成長和實體資本成長只能解釋不到一半的經濟成長，因此他強調人力資本對經濟成長的重要性非常大。之後 Barro(1991)分別用跨國資料和美國各州資料探討以基礎教育代表的人力資本變數對經濟成長的貢獻，結果支持 Lucas 的說法。其他文獻雖然均肯定人力資本對經濟成長的重要，但不同的研究結果差異很大。在考慮人力資本以後，以改良型 Solow 外生成長模型 (即本文 3-1 的模型 ) 做實證，結果好了很多。代表性的文獻為 Mankiw， Romer and Weil(1992)，他們用以上方法應用到一系列的跨國資料上，結果顯示改良的 Solow 模型似乎可以良好地解釋經濟成長的情形，並且支持古典生產函數，甚至可以解釋為什麼存在長期的各國貧富差距 (文中認為改良的 Solow 模型可以解釋 80%各國所得水準的差異，也就是儲蓄，教育水準，和人口成長的差異等等是造成各國所得水準差異的主因 )。

在國外的時間序列方面，首先參考 Chou and Wong(1997)對香港經濟成長所做的研究。該文章以知識外溢效果對人力資本或技術進步的理論為基礎，透過進口資本財，外國人在香港直接投資和進口造成的邊做邊學等等變數，探討技術進步對影響經濟成長的重要性。他們的方法是盡可能地將各種內生成長理論所提到，可能影響經濟成長的因素，都加入模型中當做解釋變數，進而直接估計這些因素對經濟成長的貢獻，也可以看做是對多種內生成長理論的政策意涵做綜合的檢定。該文章用二階段共積分析法，結果是除了實體

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資本和勞動力之外，外人投資，教育支出，本地生產和進口數量都對經濟成長有重要貢獻。這篇文章有一個重要的陳述，即直接估計濟成長的要素變化對經濟成長的影響，可以更正確且明顯地看出技術進步的程度。因為如果正確的模型包含的解釋變數有如上述，那麼以往廣為使用的殘差估計法 (估計生產函數殘差中不能被實體資本和勞動人口變化所釋的部分 )，則有模型誤設 (misspecification error)的問題。在本土時間序列研究方面，本文重要的參考文獻為 Chou(1995)和 Tallman and Wang(1994)。 Chou 的文章是根據 Mankiw， Romer and Weil(1992)的方法，但是做的是台灣的時間序列分析。他們的方法沒有直接估計生產函數型式，因為他們感興趣的生產函數參數如儲蓄率，人口成長率，和人力資本進步率也包含在消費決定式的參數之中，所以只估計檢定消費決定式，結果也是肯定台灣的人力資本累積對長期每人所得的貢獻。此外他們的實證結果也認為因為台灣是小型開放經濟體系，所以國際貿易造成的知識外溢效果對人力資本的提昇很有幫助，呼應了國際貿易和經濟成長的相關理論，也就是貿易需求導向的政策，是台灣和四小龍這些小型開放經濟體經濟快速成長的核心動力。 Tallman and Wang(1994)則是估計台灣的生產函數，他們考慮各種不同的教育指標來代理人力資本變數，以找出最能合乎合理的投入要素報酬分額並且解釋力顯著的人力資本變數，結果他們認為台灣的人力資本累積對經濟成長的貢獻高達百分之四十，因而給內生成長理論提供了很強的證據 (而該篇文章的名稱為 ”台灣的人力資本和內生成長的證據 ”)。該文章的實證不是引用共積分析的結果，因為他們用共積分析找不出合理或顯著的估計結果。然而仔細地研讀內生成長理論將可以發現，證實人力資本的重要並不意味證實了內生成長，應該說人力資本在生產中占有很重要的比重將可以為特定類型的內生成長理論提供一個很大的空間，但不能說人力資本重要就認定有內生成長存在。譬如 AK 模型可由人力資本修正的古典生產函數導成，所以人力資本在生產函數中的角色是一樣的，差別是在人力資本的累積方式是外生還是內生。只要假設人力資本的進步是外生的，並且生產函數符合古典假設，基本上還是屬於外生成長模型。所以想要進一步對內生成長模型獲得實證上更確定的支持，不只要對生產函數做估計，理想的方法還要對均衡時變數間的關係做檢定，因為不同的成長模型對均衡時變數間的關係有不同的

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預示，這也是本文用共積分析的用意之一。內生成長的模型來源還包括改變對生產函數規模報酬固定的假設，包括資本外部性和知識外溢效果等等。有關是否有外部性的實證研究，有 Caballero and Lyons(1990)使用歐洲四國和美國的資料，以總要素生產力衡量技術進步以檢定外部性，認為有外部性存在。但也有其他類似的文獻或是以產業角度的研究否定資本外部性。

在知識外溢效果方面， Benhabib and Joranovic. (1991)則認為若技術進步為外生而產出和資本為內生，則表現在實體資本上的知識外溢效果不存在。由以上看來，對於生產函數有沒有因為外部經濟產生的規模遞增並沒有一致的結果。在 AK 模型和研發造成的內生成長方面 (有些可以導成 AK 模型形式 )，前者預測每人長期經濟成長率和投資率有關係，後者則預測每人經濟成長率和投入研發的資源有很大的關係， Jones(1995a,b)的實證研究結果則無法證實 AK 模型和研發模型的觀點。最後說明本文以單國時間資料來做共積分析的用處和意義。前面提到有關人力資本的研究大多是以跨國資料來進行，譬如 Barro 使用正規教育的人力資本代理變數 (期初的教育程度 )來看人力資本對經濟成長的影響，而不同學者用類似方法的研究結果差異很大。誇國實證結果不一致可能的原因是由於各國人力資本的代理變數衡量不一，因為基本教育的品質各國不同，且各級教育對生產的貢獻的重要性也可能因時因地而不同，另外國情不同，如政經穩定度，政府經濟政策產業結構等等整體環境的差異，沒有將這些變數考慮進去的話，就有可能產生人力資本的估計數值不能充分反應各國人力資本差異。使用單一國家的時間序列則可以降低這方面的顧慮，因為可以把其他的差異影響降到最小。此外共積分析還可以探究長期的均衡關係，檢定長期均衡和短期調整參數符不符合特定成長模型預示的均衡結果和檢定變數的外生性。 第三節模型 3-1 T h e Solow-Swa n M od el 3-1-1 理論模型

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α α − = 1 0 t ( t t) T a K AL Y (3.1) 生產函數， Yt為產出 Kt為固定資本存量，At為人力資本，Lt為勞動人 t t t I K K = −δ ∆ (3.2) 資本累積， It 為毛投資 ,δ為固定資本折舊率 t t t S sY I = = 均衡條件， St 為儲蓄， s 為儲蓄率 g A_t = ∆ln 外生人力資本技術進步率 n L_t = ∆ln 外生勞動成長進步率令 t t t t L A Y yˆ = 每有效勞動力產出 t t t t L A K kˆ = 每有效勞動力資本存量則生產函數寫為 α t t a k yˆ = ₀ˆ (3.3) 對時間微分可得每有效勞動力資本存量的時間路徑為 t t t _sa _k _n _g _k t k d _ˆ ) ( ˆ ˆ 0 δ α = α − + + (3.4) 每有效勞動力資本存量成長率路徑為

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) ( ˆ ˆ ln 1 0 δ α ₋ ₊ ₊ =_sa _k − _n _g dt k d t t _(3.5) 定態 (steady state)時 * ˆ ˆ ˆ k k dt k d t t = ₌₀ α δ −     + + = 1 1 0 * ˆ g n sa k 取對數進一步寫成     + + − = δ α n g sa k* 0 ln 1 1 ˆ ln (3.6) 3-1-2 計量化模型 以上模型設定及推導屬連續時間，而實際操作則是間斷時間資料。要用對數線性化的方法和間斷逼近把均衡條件化成差分型式以利計量分析。 (3.1)取對數可得 t t t t t a K A L y Y ln 0 ln (1 )ln (1 )ln 1 ln = +α + −α + −α + 定態時每有效勞動資本存量為定值如 (3.6)式 t t k y k 2 * ˆ ln ˆ ln = + t t g y A 3 ln = + ∆ t t n y L 4 ln = + ∆ 又 t t t t L A K kˆ = 得 t t t t t a K A L y Y ln 0 ln (1 )ln (1 )ln 1 ln = +α + −α + −α + (3.7) t t t t A L k y K 2 * ln ln ln ln − − = + (3.8) t t g y A 3 ln = + ∆ (3.9) t t n y L 4 ln = + ∆ (3.10) 其中 (y1_t,y2_t,y3_t,y4_t)為穩定隨機過程。特別說明理論模型中Y_t,K_t,A_t,L_t四變數符合式 (3.7) 和 (3,8) 的共整合關

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係， (3.7)式是生產函數， (3.8)式是長期定態，第四章將會檢定資料上這兩個共整合關係成不成立。另外由生產函數和定態條件可推得每有效勞動產出成長率亦為零，或者是每勞動產出成長率為外生人力資本進步率，這也是模型中每勞動人口產出可以不斷成長的來源。傳遞動態 ) ( ˆ ˆ log 1 0 δ α ₋ ₊ ₊ =_sa _k − _n _g dt k d t t 經過對數線性化 (Log-linearization) ) ˆ log ˆ (log ˆ log * k k dt k d t t =β − 其中β =(1−α)(g+n+δ) 間斷逼近 (Discrete approximation)得到 ) ˆ log ˆ (log ˆ logk_t =− k_t ₁− k* ∆ β ₋ 或 ) ˆ log ˆ (log ) ( log Ä K_t = g +n −â k_t₋₁ − k* (3.11) 1 2 ) ( log = + − ₋ ∆ Kt g n βyt (3.11*) 由 (1)到 (5) ) ( ln ) 1 ( ln ) 1 ( ln ln = ∆ + − ∆ + − ∆ + ₁ − ₁₋₁ ∆ Y_t α K_t α L_t α A_t y_t y_t t t t t g n y y y Y ( ) ₂ ₁ ₁_, ₁ ₁ ln = + − − + ∆ αβ ₋ ₋ (3.12) 設定 y1_t為 i.i.d t t y L d3( ) 3 =∈3 ∈3t~iid(0,σ33) t t y L d4( ) 4 =∈4 ∈4t~iid(0,σ44) 最後 (3.11)和 (3.12)以及外生的勞動力和人力資本形成 VECM 型式

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            ∈ ∈ ∈ +                         −             + + =             ∆ ∆ ∆ ∆ − − t t t t t t t t t t y y y n g n g n g L L d A L d K Y 4 3 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 , 0 , 1 ln ) ( ln ) ( ln ln β αβ 3-1-3 計量分析 A. 檢定先驗模型隱函的共積結果 B. 估計資料顯示的共積關係 . C. 檢定成長模型隱含的 VECM 的短期調整參數限制和常數項 D. 檢定 A 和_t L 的外生性_t E. 檢定估計結果的穩定性 3-2 T h e R a m sey M od el Ramsay 模型考慮家計部門和廠商部門極大化選擇，故有消費變數加入模型之中。 (本模型參見 Barro-Sala-i-Martin 第二章 ) 3-2-1 理論模型 生產函數 α α − = 1 0 t ( t t) t a K AL Y α t t a k yˆ = ₀ˆ 令 t t t t t t t t L A K k L A Y yˆ = , ˆ = t t t t t t _L K k L Y y = , = (b)r n t L = 勞動人口成長率 (c)r g t A = 外生人力資本進步率 (d)極大化

∫

∞ − − − − − 0 ) ( 1 1 1 at e ct ρ ut θ θ 終身效用函數 ,θ為跨期替代率 ,ρ為時間偏好率 , 為跨期替代函數固定之效用函數 s.t. k&_t =w_t +s_tk_t −c_t −nk_t −δk_t 固定資本累積限制

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t t t t c nk k y − − −δ = 最適消費配置 ) ( 1 p r c c t t t = − θ & (3.13) (e)極大化利潤時，實體資本邊際生產力等於資本租金價格 = ∂ ∂ t T K Y ä r_t + 又 , ˆ ˆ t t t t t k y K Y γ ∂ = ∂ ∂ δ α −α ₌ ₊ t t r k a0 ˆ1 推得 0αˆα 1δ − = t t a k r (3.14) (f) cˆ_t,kˆ_t最適路徑 ) ˆ ( 1 1 p k c c t t t = α − −δ − θ α & (3. 15 ) 定義 t t t L C c = In t t t t t t _A c L A C cˆ = = g c c c c t t t t = & − & ˆ ˆ 用 (3. 15 )代入則得 ) ˆ ( 1 ˆ ˆ 1 0 k p g a c c t t θ δ α θ α ₋ ₋ ₋ = − & (3.16)

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另外從 = − −(n+δ) k c k y k k t t t t t t & g k k k k t t t t = &− & ˆ ; t t t t k y k y ˆ ˆ = , t t t t k c k c ₌ ˆ ˆ 得到 ˆ _ˆ ˆ _ˆ ˆ _ˆ (n g) k c k y k k t t t t t t = − − +δ + & (3.17) 3-2-2 定態 由 (3.17)同乘 k 知定態時 : 0 ˆ ) ( ˆ ˆ* − * − + + * = k g n c y δ 0 ˆ ) ( ˆ ˆ* * * 0k −c − n+ g+ k = a α δ (3.18) 由 (3.16)等於零可得 : g p k a0αˆ*α−1 =δ + −θ (3.19) α θ δ α −     + + = 1 1 0 * ˆ g p a k (3.19) 代入 (3.18) * * ˆ ) ( ˆ p g n g k c     + + ₋ ₊ ₊ = δ α θ δ (3.20) 由此可以看出在長期定態時，每有效勞動力之固定資本存量和消費量為定值。原則上我們要檢定資料支不支持這個理論模型預示的定態數值。 3-2-3 傳遞動態 ) ˆ ( 1 0 a₀αkt 1 δ p θg θ α ₋ ₋ ₋ = −

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) ˆ ˆ ( 1 ˆ ˆ ₁ _* 1 0 − − ₋ = _α α α θ a k k c c t t t & 對數線性化得 ) ˆ log ˆ (log ˆ ) 1 ( 1 ˆ ˆ * 1 * 0 * k k k a c c t t t t = α α − α− − θ 用 (3.19)的結果代入得 ) ˆ log ˆ )(log )( 1 ( 1 ˆ ˆ _* k k g p c c t t t = α − δ + +θ − θ & 同理 ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 0 δ α ₋ ₋ ₊ ₊ = − _n _g k c k a k k t t t t t & ) ( ˆ ˆ ˆ 0 * * 1 * 0 δ α ₋ ₋ ₊ ₊ = − _n _g k c k a

(

)

(

)

[

* *

]

* * * 1 * 0 ln(ˆ) ln ˆ ln ˆ ln ˆ ˆ ˆ ) ˆ log ˆ (log ˆ ) 1 ( ˆ ˆ k k c c k c k k k a k k t t t t t t = α − α− − − − − − & 由 (3.19)和 (3.20)簡化 :

[

]

(

)

) ˆ ln ˆ (ln ) ( ˆ ln ˆ ln ) 1 ( ˆ ˆ * * c c g p g n k k g n p k k t t t t −             + + − + + + − − − − = α θ δ δ θ 3-2-4　計量模型 A .長期關係        = − − + = + = + = + = t t t t t t t t t t t t Y k a y Y k a Y y y Y c c Y k k 4 0 3 * 0 3 * 2 * 1 * ˆ ln ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln α α 或者

(16)

       + = − − − − − + = − − + = − − + = − − t t t t t t t t t t t t t t t t t Y a A L K Y Y y A L Y Y c A L C Y k A L K 4 0 3 * 2 * 1 * ln ln ) 1 ( ln ) 1 ( ln ln ˆ ln ln ln ln ˆ ln ln ln ln ˆ ln ln ln ln α α α 取其中三者為共積關係 B . 傳遞動態 t t t t k k c c k 1 * 1 12 * 1 11(ln ˆ ln ˆ ) (lnˆ lnˆ ) ˆ log = − + − +∈ ∆ µ ₋ µ ₋ ) ˆ ln ˆ (ln ˆ logct = 21 kt 1 − k* ∆ µ ₋       + + − = + + − + + = − − − = ) ( 1 ) ( , ) 1 ( 21 12 11 g p g p g n g n p θ δ θ α µ α θ δ δ µ θ µ

但∆logkˆt =∆logKt −∆logLt −∆logAt =∆logKt −(n+ g) 同理 ∆logcˆ_t =∆logC_t −(n+g) 所以                 + + + +                 +         − −                 =                 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ − − n g n g n g n g y y c c k k L A Y C K t t t t t t t t t t t t 5 4 3 2 1 * 1 * 1 12 12 11 21 11 ˆ ln ˆ ln ˆ ln ˆ ln 0 0 0 0 0 ln ln ln ln ln ε ε ε αµ µ αµ µ µ 設定 t t y A 4 ln = ∆ d₁(L)y₄_t =ε_t₄ t t y L 5 ln = ∆ d2(L)y5t =εt4     + = ∆ + = ∆ * 5 2 * 4 1 ln ) ( ln ) ( n L L d g A L d t t t t ε ε 3-3 L u ca s 人力資本內生成長模型 — 同時考慮人力資本外部性和單部門人 力資本訓練 本節結合 Romer(1986)的人力資本外部性模型和 Lucas(19 )的人力資本

(17)

訓練模型，推導均衡條件和模型預示的長期定態和 VECM 型式 . 3-3-1 理論模型 A . 模型要件 (1) 生產函數 γ α α ) ( ) ( _t _t 1 _t t t AK u H H Y = − (3.21) 此處各變數均以每人為單位， u 在原理論中為一人在一期總工時中用 於生產的比例， H 為個人人力資本存量， H 為其他人的人力資本平均水 準，由於外部性會影響到該人的產出。 (2)人力資本累積 H t t t _u H H& ₌_β₍₁₋ ₎₋_δ _(3.22) 用於生產以外的時間比例用於人力訓練， β 為人力訓練生產係數， δ T為人力資本折舊。 (3)實體資本累積 t t k t t t t K K C Y K K& ₌ − −δ _(3.23) k t t t t t t K C H H n AKα α γ − −δ = −1₍ ₎1− ₍ ₎ (4)消費者選擇行為 : 選擇 c_t,n_t,t₀ Max imize

∫

∞ − − − − 0 1 1 1 dt c ct pt θ θ 極大化效用函數 Subject to (3.21),(3.22),(3.23) 一階條件 : 最適人力資本配置

(18)

t t t t t K C u n n ₌ ₍₁₋ ₊ ₎₊ ₍ ₋ ₎ ₋ ` _α _γ α β δ α α β (3.24) 最適消費配置 ) ( 1 1 1 1 K t t t t t _AK _H _u _p C C _δ θ θ α α α γ α ₋ ₊ = − − + − & (3.25) B . 簡化變數由於該系統均衡時 Y, K, C,H 都會不斷成長，所以不會有固定值，要分析定態情形就要以變數比例表示，為了方便起見我們將變數重新定義如下令      = = − + − t t t t t t K C X H K W 1 1 α γ α 則式 (3.22),(3.23),(3.24),(3.25)可以寫為               − − = − − = + − = = − − + + − = − − − k t t t K H t H k t c t t u t t u x u Aw u p Aw u u x u B B t t t t t δ γ δ β γ δ θ θ α γ γ γ α α δ α α γ α α α 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( & 以上各式分別為個別變數的成長率，則 t t t K H w _α γ δ α γ γ 1 1 − + − + = _            − + − + − + − + − + − + − = − − H K t t t t u x Bn B Aw δ α γ α δ α γ α α γ α α α 1 1 1 1 1 1 1 1 (3.27) t t t c K x γ γ γ = − ) ( 1 ) 1 ( á 1 1_t á _t _K p ä_K è ä x a Aw è á ₋ ₊ ₊ ₋ ₊ = − − _(3.28)

(19)

C .簡化變數系統的定態定態時 =0, =0 t t u x γ γ and =0 t w γ                       − + − + − − + − + − + − + − = = − − + + − =       ₋       − + + − − − − − H K K B Bu x u Aw x u B B p x u Aw δ α γ α δ α γ α α γ α γ α α γ α α θ θ δ θ α α α α α 1 1 1 1 1 1 0 0 ) ( ) 1 ( 0 1 1 ) 1 ( * * * * * * * * * 1 1 1 1 定態解為

(

)

(

)

_[

_]

                          − + − − +     − − + = − + + − = − + − − = − + −           ₋ ₊ ₊ − − = − − ) 31 . 3 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 30 . 3 ( ) ( ) 1 ( 1 1 ) 29 . 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 * 1 1 * * * * * u ä á ã á ä u á ã á A B w u ã á á B ã á á B x á ã á è B á ö when ã ã á è B p ä è ö á ä B á u á H K H K D . 另一組簡化變數系統

(

ut,xt,zt

)

三變數，其中 α α− − = 1 1 t t t w u z 則 * * * 1 1 1 ä u á ã á ã a á A B z +      − − − + − − = (3.32) H K δ α γ α δ δ − + − − = 1 1 * 又 lnz_t =(1−α)(lnn_t −lnw_t) ) ln )(ln 1 ( _t _t zt = −α n − w γ (3.33)

(20)

且     ₋ ₋ + + − = θ θ δ θ α γ_xt ( 1)Az_t x_t _K(1 1) p (3.34) t t n u x B B t =α (1−α +γ)+α (α −γ) − γ (3.35) 又 γ_u* =0 u x_t B B ₋ ₊ ₊ ₋ ₋ = * ) ( ) 1 ( 0 α γ α γ α α (3.36) (3.35)減 (3.36)式得到            − − − − − = − − + − + − − − = − + −       − = − − − − = ) 40 . 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 39 . 3 ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) 38 . 3 ( ) ( ) ( ) 37 . 3 ( ) ( ) )( ( * * * * * * * * * u u B á ã z z A á ã u u B á ã á x x z z A ã x x z z A è è á ã x x u u ã á á B ã t t z t t t w t t x t t u t t t t (3.37)-(3.40)經過對數線性轉換得到          − − − − − = − + − − = − − − − = ) ln (ln ) ln (ln ) 1 ( ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ( * * * * * * * * * * * * u u u z z Az x x x z z Az x x x u u u B t t z t t x t t u t t t α γβ α γ θ θ α γ γ α α γ 經間斷逼近          − − − − − = ∆ − + − − = ∆ − − − − = ∆ − − − − − − ) ln (ln ) ln (ln ) 1 ( ln ) ln (ln ) ln (ln ln ) ln (ln ) ln (ln ) ( ln * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * u u u z z Az z x x x z z Az x x x x u u u B u t t t t t t t t t α γβ α θ θ α γ α α 3-3-2 計量化模型 (A)從 (3.21),(3.29),(3.30) 和 (3.31)式

(21)

       + = + = + = + = + − − − − − t t t t t t t t t t t t y w w y x x y u u A y H u K Y 4 * 3 * 2 * 1 ln ln ln ln ln ln ln ln ) 1 ( ln ) 1 ( ln ln α α α γ 其中 ( y1_t,y2_t,y3_t,y4_t) 為穩定序列過程。又 lnx_t =lnC_t −lnK_t t t t K H w ln 1 1 ln ln α γ α − + − − = 得到        + − + = − + = − + − − + = − t t t t t t t t t t y u A K Y y w H K y x K C 1 3 * 2 * ln ) 1 ( ln ln ln ln 1 1 ln ln ln ln α α α γ α t t t t H C K Y, , , .中有三個共積關係 (B)Y_T,H_t,K_t,C_t的傳遞動態令 * * * * , , , _K _H _C Y γ γ γ γ 為Y_t,K_t,H_t 和C 在定態時的成長率_t * * * * 0 * _C _K x K C γ γ γ γ γ − = = ⇒ = * * * * 1 1 0 1 1 * _H K H c w _α γ γ α γ α γ α γ γ γ − + − = ⇒ = − + − + = 由(3.21)式可導成 * * * * ) 1 ( ) 1 ( _H _u K Y αγ α γ γ α γ γ = + − + + − * K γ = 因此     + − − = = = = * * * * * * 1 1 γ γ α α γ γ γ γ γ H Y C K (a) H 的成長率_t 由 (3.22), γ_H =B(1−u_t)−δ_H H t H B u δ γ* = (1− * )− 相減得 ) ( * * u u B _t H H =γ − − γ

(22)

對數線性化得 ) ln (ln * * * u u Bu _t H H =γ − − γ 間斷逼近 ) ln (ln ) ( ln 1 * * u u u B u_t = − _t − ∆ α γ ₋ α (a) u 的成長率_t ) ln (ln ) ln (ln ) ( ln 1 * * 1 * x x x u u u B u_t = − _t − − _t − ∆ α γ ₋ ₋ α (b) 由 (3.25) 和w 的定義知_t ) ( 1 1 1 p w u A _K ct = − − − − _δ α θ γ α α ) ( 1 1 1 * p w u A _K c = − − − − _δ α θ γ α α ) ( 1 * * z z A _t t ct =γ +_θ α − γ 對數線性化 ) ln (ln 1 * * * z z z A _t ct =γ +_θ α − γ 間斷逼近 ) ln (ln 1 * 1 * * z z z A _t ct =γ +_θ α − − γ (c) K 的成長率_t xt ct Kt γ γ γ = − ≒ * + A− z*(1−α +θ)(lnz_t₋₁ −lnz*)−x*(lnx_t₋₁ −lnx*) θ α γ (e) Y 的成長率_t 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( − + − + + − ₋ + = _Kt _t _Ht _t _t Yt αγ α γu α γ γ Y Y γ * * * * ) 1 ( ) 1 ( _u _H K Y αγ α r α γ γ γ = + − + − + 1 1 1 * * * * * ) )( 1 ( ) )( 1 ( ) ( − + − − + − + − + − ₋ + = _Y _Kt _K _ut _u _Ht _H _t _t Y γ α γ γ α γ γ α γ γ γ Y Y γ 注意其中 ) ln )(ln 1 ( lnz_t = −α u_t − w_t ) ln )(ln 1 ( ) ln )(ln 1 ( ln lnzt − zt* = −α ut − u* − −α wt − w* 整理最後得如下 VECM 型式

(23)

       + − + − + − + = − + = − + − + − + = − + − + = − − − − − − − − − − t t t yu t yt t Yw Yt t Hw Ht t Eu t Ku t Kw Kt t Cu t Cw ct y y u u x x w w u u u u x x w w u u w w H 1 1 , 1 * 1 * 1 * 1 * * 1 * * 1 * 1 * 1 * * 1 * 1 * ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln µ µ µ γ γ µ γ γ µ µ µ γ γ µ µ γ γ                                      + − + − + − + − +                  − +        =       ∆ ∆ ∆ ∆ − − − − − − − t t Ku t t Hu t t cu t t yu t t t Kw Kw cw yw yt H t t t t u u u u u u y u u y y y K H C Y 4 * 1 3 * 1 2 * 1 1 * 1 1 3 1 2 1 1 * * * * ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln ) ln (ln 00 0 0 0 0 1 ln ln ln ln ε µ ε µ ε µ µ µ µ µ µ µ γ γ γ γ 3-4　 AK 模型 3-4-1　 A K 模型推導 人力資本和實體資本單部門模型 (Barro-Sala-i-Martin Chapter 4.2)，本小節的目的是要說明，當每人生產函數對每人實體資本和人力資本為規模報酬不變，且人力資本累積和實體資本一樣從單一產品中注入時，則人力資本會變為內生選擇，此種模型可化為看似對實體資本 K 邊際報酬不變的 AK 模型。這種設定只是可以化為 AK 模型中的其中一種模型，目的是在說明 AK 模型的合理性。變數仍然以每人為單位 K 和 H 分別為實體資本和人力資本 α α − = 1 H BK Y α −       = 1 K H BK 生產函數 α α −      = ∂ ∂ 1 K H B K Y α α −      − = ∂ ∂ K H B H Y ) 1 ( 令 R_K(R_H)為要素租金，則兩種資本報酬分別為 R_K −δ_K和 R_H −δ_H 其中 ) ( _H K δ δ 為折舊率，假設 K Y R_K ∂ ∂ = ， H Y R_H =∂ _∂ , 由於模型假設體系生產單一產品，人力資本累積的來源和商品或實體資本相同，所以市場均衡時滿足兩種資本報酬率相同

(24)

H H K K R R −δ = −δ 可得 _K _H K H B K H B δ α δ α α α −      − = −       − ) 1 ( 1 解為 h B A K H H K = =       ₍_α_, _,_δ _,_δ ₎ _{為一定值} K A B Y= ⋅ AK Y= 即為 AK 模型的型式其中 A=A⋅B 3-4-2 A K 模型 生產函數 K A Y= ⋅ k A y= ⋅ 其中 L Y y L K k= , = (a) 家計單位極大化 at c e U p nt t θ θ − = ∞ − − −

∫

0 ₁1 ) ( s.t. k&=k(r −n)−c 資本累積限制式 其中 r :報酬率 n : 人口成長率 最適消費配置 ) ( 1 p r c c ₌ ₋ θ & (b) 廠商行為資本邊際生產力 r +δ ⇒r = A−δ 均衡成長     − − − = − − = t t t t t C n A k k p A c c ) ( ) ( 1 δ δ θ & & t t t t k C n A k k& ₌₍ ₋_δ ₋ ₎₋ Barro-Sala-i-Martin 證明 (p.143)

(25)

) ( ) (t k K C =φ n p A− − + − = θ θ θ δ φ ( )( 1) ) ( 1 p A k k c c t t t t = = −δ − θ & & 又從 y_t = Ak_t 得 t t t c k t t y _y y _γ _γ γ = & = = 而典型的 AK 模型沒有傳遞動態 3-4-3 長期關係 生產函數 A K Y log log log − = (3.41) 兩種資本存量 A K H log log log − = (3.42) 原來的生產函數 0 log ) 1 ( log log logY− B−á K− −á H = (3.43) (3.42)式乘上α + (3.43)式 = (3.41)式 所以上三式中有兩個線性獨立共積關係 3-4-4 計量化模型    + = − = − − − − t t t t t t t y A K H y H K B Y 2 1 log log log log ) 1 ( log log log α α t t t H K Y, , 三個變數中有兩個共積關係又儲蓄率為 ) ( 1 δ δ ₌ ₊ + = = K K A Y K K Y S s &

(26)

    ₊ ₊ = 1(γ n δ) A K ) 1 ( s Y C ₌ ₋ ) 1 ( ln lnC− Y= −s 所以Y_t,K_t,H_t,C_t中有三個共積關係      + = − + = − − − + − = − ) 46 . 3 ( log log log ) 45 . 3 ( log log ) 1 ( log log ) 44 . 3 ( ) ln( ln ln 2 1 3 t t t t t t t t t t y A K H y B H á K á Y y s Y C 式 (3.45)也可換為 * 1 log log logY− K= A+Y_t 動態 t t t t t t t t C H K Y 4 3 2 1 log log log log ε γ ε γ ε γ ε γ + = ∆ + = ∆ + = ∆ + = ∆ ) ( 1 p A− − = δ θ γ VECM 型式為             +           • +             =             ∆ ∆ ∆ ∆ − − − 4 3 2 1 1 3 1 2 1 ) ( log log log log t t t t t t t t t t t y y y C H K Y ε ε ε ε γ γ γ γ 第四節實證的共積分析法 共積 (Cointegration) 分析法近來成為總體資料時間序列資料計量分析流行使用的方法，因為它改進了許多傳統時間序列方法的缺失。 VAR 法是以 OLS 為解法，不能解決非穩定序列 (nonstationary variable) 的虛假迴歸的問題，而將經濟變數取差分之後再用 VAR 法雖然可以避開這個問題，但是卻會失去探索變數間長期均衡關係的資訊。總體經濟的研究雖然對變數背後最可

(27)

能的 DGP 很有興趣，但結構性的經濟理論仍是許多學者關注的焦點，以本文的經濟成長實證為例，最基本的目的是要檢視哪些經濟成長模型可以大致符合台灣的總體時間序列資料。而不同的經濟理論都有不同的結構設定和先驗的結論，所以結構分析法 (structural method)計量方法或許適合這個工作，但是結構分析法的問題在於沒有明確的方法去比較不同的理論對資料的適切程度好壞，同時內生變數存在於等號兩邊的問題也使得估變的困難。而本文想要對不同模型的長期均衡結果做檢定，仍是以共積分析較為理想。共積是指兩個以上且 I(1)以上的經濟變數如果有共同的資料產生特性，那麼經過某個特定的線性組合後的資料會產生降階的情形（ Granger1986）。這種情形的發生代表這些經濟變數存有長期的均衡關係。 Granger 和 Engle(1987)並提供一個以經濟變數之線組合的殘差來檢定均衡假說的方法，該穩定的線性組合稱為共積方程式。這個觀念由 Granger 提出後受到廣泛的應用，且在方法上也不斷的改進，到 1989 年 J ohansen 發展出以概似估計為基礎的 (likelihood based)的共積分析法，本文所應用的計量方法就是以 johansen 89 到 95 年間據此發展出來的估計和各種檢定方法。以下簡述 Johansen 的分析原理。

4.1 J oh a n sen 的分析原理

J ohansen 方法由 VAR 出發， VAR 較之 structural method 是較一般化的 DGP，而具有共積關係的經濟變數可以整理為 VAR 裡的一種特殊情況，因而對先驗的經濟理論的檢定即是檢定資料是否符合 VAR 裡的這種特殊情況。 VAR(k)模型經過移項可以整理為 :

∑

− = − − + + + = 1 1 1 k i t t i t i t t Y Y D Y Π Γ ∆ Φ ε ∆ 　　　　 (4.1) 其中 Yt 為要探討的經濟變數形成的向量，Ｄｔ為季節虛擬變數。這個型 式跟把變數取一階差分再來做 VAR 很相似，差別在這裡多了一項 Π Ｙｔ－１， J ohansen 的方法就是利用這一項透露出一階差分 VAR 沒有辦法透露出的長期均衡資訊。如果Ｙｔ中的變數均為Ｉ (1)，而且有 r 個共積向量，也就是有 r

(28)

種Ｙｔ的獨立線性組合可以降階成Ｉ (0)，則可以表達成以下的 reduced rank condition ' αβ = Π 其中 α 和 β 為 n×r的矩陣， rank 為 r， n 為Ｙ裡經濟變數的個數，則 (4-1)可改 寫為誤差修正模型（ reduced form error correction model）：

∑

− = − − + + + = 1 1 1 ' k i t t i t i t t Y Y D Y αβ Γ∆ Φ ε ∆ 　　　 (4.2) 令最多有 r 個共積向量的模型假設稱為Ｈ (r)，由於在Ｈ (r)中 rank(Π )一定小 於或等於 r，所以 ), ( ) ( ) ( H r H k H 0 ⊂Λ ⊂ ⊂Λ ⊂ 其中Ｈ (k)為 unrestricted VAR 模型，而Ｈ (０ )則對應於 Π ＝０，也就是先取 差分再做 VAR 的模型，Ｈ (r)則介於兩者之間，為受限之 VAR 模型，也是虛 無假設其有 r 條共積關係的模型。此模型設定限制了內生變數的長期行為以使其收斂於共積關係，而同時允許短期的誤差修正動態，共積項即為誤差修正項，因為偏離長期均衡的部分會被短期調整所修正。 4-2 檢定共積向量的數目 一開始可能不知道有幾個共積關係，所以在估計變數共積矩陣 β 之前， 要先檢定 rank(Π )＝ｒ的虛無假設是否成立以決定共積向量的數目，同時經 濟理論先驗上會暗示有特定個共積向量，我們會希望檢定出來的共積向量數目會跟理論暗示的數目一樣，或者是大於模型暗示的數目。虛無假設 H0 : rank(β ) = r，令此假設下的模型稱為 K１

令 Z0 t = ∆Yt ， Z1 t = Yt - 1， Z2 t(n(k-1)+ m) = (∆Yt - 1’, … . ,∆Yt - K + 1’,Dt’)’ ，且

(29)

Z0 t = αβ’ Z1 t + ΨZ2 t + εt , t = 1,2,… ..T εt ~ N(0,Ω) (4.3) 則除去常數的概似函數為 logL(Ψ,α, β, Ω) ) Z Z â á Z ( ) Z Z â á Z ( Ψ _2t Ω Ψ _2t Ω − ′ − ′ − ′ − − =

∑

= − t t T t t t -Tlog 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 (4.4) 針對Ψ的一階條件(Z₀_t −áâ′ Z₁_t − ΨˆZ_2t)Z₂'_t = 0，求出Ψ的估計式代回 (4-4) 為 concentrated 概似函數 logL(α, β, Ω) ) R R ( ) R R ( _t _1t T t t Ù áâ â á 2 1 Ù Tlog 2 1 0 1 1 1 0t − ′ ′ − ′ − − =

∑

= − 其中 R0 t為 Z0 t對 Z1 t做 OLS 得的殘差項，R0 t 為 Z1 t對 Z1 t 做 OLS 所得的殘差項。上式等同於迴歸式 t t 1 0t áâ R å R = ′ +ˆ (4.5)

參考 Anderson(1951)的 reduced rank regression 方法估計此迴歸式 (原理略過 )。令 Si j = T- 1ΣtRi tR’j t， i,j = 0,1，計算矩陣 S1 1- 1S1 0S0 0- 1S 0 1 的特徵值 0 ëˆ ëˆ 1> ₁ >Λ > _m > ，與特徵向量Vˆ=(vˆ₁,Λ ,vˆ_m)，其中特徵向量符合Vˆ′S11Vˆ= I_n的標準化。則 ) ˆ , , ˆ ( ˆ 1 vr v Λ = β trace 檢定統計量

(30)

∑

+ = − − = = − n 1 r i i 1 H(r)|H(n)) T log(1 ë ) K ( Q log 2 而其他參數則由 βˆ 代入 (4-2)用 OLS 求出。 4-3 對共積向量 β 的限制做假設檢定 由上小節的檢定我們可以決定出一組經濟變數中共積向量的數目。但上節算出的 βˆ 不一定是具有經濟意義的共積向量，因為任意兩個共積向量的線 性組合仍然是共積向量，所以 βˆ 只是共積向量的 base space。本節的目的就是 根據經濟理論上的先驗判斷來認定出一組或數組共積向量，同時檢定該經濟理論對均衡狀況的描述是否符合資料的表現。對共積向量的檢定隨假設型式的不同而方法也稍有不同， 4-3-1 是所有共積向量是否均符合相同限制的檢定， 4-3-2 及 4-3-3 是對某單一特定的共積向量是否符合限制做檢定， 4-3-4 則對 r 條共積向量是否分別符合不同限制做聯合的檢定。並討論有關認定上的問題。 4-3-1 r 個共積向量符合相同限制 J ohansen(1988)最早的受限概似估計是考慮 r 個共積向量全部符合相同的限制。譬如所有的共積向量都不包含某個變數，或是所有共積向量的兩個 變數維持固定的比例等。對共積向量的限制表達為 D Yt - 1， D 為 n × q 階矩陣，例如要檢定四個變數中的第一個變數不包含在共積關係中，限制可表達為             =                           =               = − − − − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 2 4 3 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 t t t t t t t t y y y y y y y Y D' D 此時 q = 3。因此 (4-2)改寫為受限的 VAR 型式