1.2 數學模型及常見的重要函數

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1 函數(functions)與

模型(models)

1.2 數學模型及常見的重要函數

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數學模型

數學模型是以數學的方式（例如使用函數或方程式）進行對 真實世界現象的描述，如討論人口數目、對產品的需求、自 由落體的速度、化學反應中化合物的濃度、個人壽命的期望 值或者減少廢氣排放的花費。

建立數學模型，目的就是幫助我們了解這些現象，甚至可能 可以對未來行為做出預測。

數學模型

下圖一描述了數學建模的歷程。

圖一

數學建模的過程 真實現象

與問題 構造建模 數學模型

解題、分析 結論

應用、解釋 預測

反覆試驗

5 5

數學模型

當然，數學模型並不能完全精確地表現出我們想要探討的問 題，通常多是理想化的情況。然而一個好的模型就是能夠經 過簡化真實狀況，方便我們計算而最後得到精確度尚準的有 用結論。

因此重要的是，數學模型能實現或逼近到如何的真實情況，

最終仍需要交由自然世界來檢驗。

在這些模型當中我們發展出許多不同種的函數用以表現這個 世界中的某些定律或者關係，在接下來的課程中我們將會討 論這些函數的行為，以及跟它們相關的模型。

線性模型

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線性模型

我們說 y 是 x 的線性函數 (linear function) ，表示 y 對 x 的函 數圖形在座標平面上是一條直線。

利用點斜式我們可以直接將函數的式子寫下：

y = f(x) = mx + b

線性模型

線性函數的特徵便是成長的速率是固定的。

下圖二為線性函數 f(x) = 3x – 2 的圖，表格中列舉函數部分 的值。

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線性函數

注意到表格中所取樣的樣點， x 每增加 0.1 ， f(x) 的值便會 增加 0.3 。

因此 f(x) 增加的速度是 x 增加的三倍。所以我們也可以知道，

直線的斜率，也即是 f(x) 對 x 的變化率。

範例一

(a) 乾燥的空氣上升後會擴散並漸漸冷卻。假設地表溫度為 攝氏二十度，距地表一公里高處的溫度為攝氏十度，假設 溫度對高度的變化是線性模型，試寫下溫度 T (單位為度) 對高度 (單位為公里) 的函數。

(b) 畫出上述函數的圖形，試問圖形的斜率之意義為何？

(c) 試以此模型，推測距地表 2.5 公里高處之溫度

11 11

範例一 (a) / 解

由於我們假設溫度 T 對高度 h 的變化是線性模型，因此我們 可寫下

T = mh + b

20 = m

•

一公里高處溫度為 10 ，代入計算得 10 = m

•

因此我們得到斜率 m = -10 ，並得到函數如下：

T = –10h + 20

範例一 (b) / 解

函數圖如下圖三。

斜率為 m = –10C/km 也就是溫度對高度的變化率，高度每 升高一公里，溫度降十度。

cont’d

13 13

範例一 (c) / 解

利用同一個公式，在高度 2.5 公里處，計算溫度得

T = –10(2.5) + 20 = –5C

cont’d

線性模型

建模時，若我們沒有實際的物理定律、法則可以應用，我們 可以構造一個經驗模型 (empirical model) ，由所有收集到 的資料做為基礎。

例如假設我們現在手上有一系列的資料點，此時我們就是想 尋找一條曲線通過這些資料點，而這條曲線便大致上表現這 些資料的行為、走向。

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多項式

多項式

多項式函數是指如下這樣的函數

P(x) = a

x

x

x

x + a

其中 n 是非負整數，而 a₀, a₁, a₂, . . ., a_n 為常數，我們稱為 多項式的各項係數 (coefficients) 。

在微積分課程裡，多項式的定義域大多是實數 。 另外，若領導項係數 a_n



下列是一個度數為六次的多項式。

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多項式

一次的多項式，其形式為 P(x) = mx + b ，其實就是我們上 一節提到的線性函數。

二次多項式，其形為 P(x) = ax² + bx + c ，也是我們很常會 遇到的函數，通常稱為二次函數 (quadratic function)

同樣的三次多項式

P(x) = ax

a 

多項式

二次函數的圖形是所謂的拋物線，可以透過平移 y = ax² 得 到。從下圖可以注意到，當 a > 0 時，拋物線的開口向上；

反之當 a < 0 ，開口向下。

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多項式

下圖八分別刻劃的三次、四次、五次函數的圖形。

圖八

範例四

今假設有一球自 CN 塔的瞭望台 (離地 450 公尺高) 落下，

其離地高度 h 紀錄如下表二。

試決定一模型滿足各項資料點並利 用此模型推測此球落地之時間。

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範例四 / 解

我們從圖表的資料可以描出離散點圖如下。

若我們想找出曲線通過這些資料點，會發現線性函數似乎不 太合適。

圖九

球落下的點圖

範例四 / 解

另一方面，資料點的趨勢比較像是落在一個拋物線上，因此 我們選擇使用二次函數模型。

利用電腦解方程式可以得到下列這個近似的二次曲線（電腦 大多採用最小平方法 least square method 逼近）

h = 449.36 + 0.96t – 4.90t

cont’d

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範例四 / 解

將前面解得的函數繪出，得到下圖十。可以看得出來圖形與 資料點吻合的情況還不錯。

最後，我們想知道落地時間，於是便考慮解方程式 –4.90t² + 0.96t + 449.36 = 0

Figure 10

Quadratic model for a falling ball

cont’d

範例四 / 解

由二次方程式的公式解可得

其正根的近似值為 t  9.67 ，因此我們可以預測落地時間大 約是 9.67 秒後左右。

cont’d

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冪函數

冪函數

這種形式的函數 f(x) = x^a ，其中 a 為一常數，被稱為冪函數 (power function) 。我們考慮幾種情況：

(i)

後面的圖十一為 f(x) = xⁿ 其中 n = 1, 2, 3, 4, 5 的函數圖形。

其中 n = 1,2 是我們最常見的直線 y = x 跟拋物線 y = x² 。

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冪函數

f(x) = xⁿ n = 1, 2, 3, 4, 5 的圖形

圖十一

冪函數

正整數次數的冪函數，其圖形大致上跟其次數 n 的奇偶性有 關。

若 n 為偶數，則 f(x) = xⁿ 為偶函數，其圖形與拋物線 y = x² 相似；

若 n 為奇數，則 f(x) = xⁿ 為奇函數，其圖形與拋物線 y = x³ 相似。

29 29

冪函數

從下圖十二我們可以觀察到，當次數 n 增加，在 0 的附近更 平，而當 |x|  1 時更陡。

冪函數家族

圖十二

冪函數

(ii)

給定這樣的函數 我們稱為根式函數 (root function) 。例如 n = 2 時，我們有平方根函數 (square root function) 其定義域為 [0, )，函數圖形即為 y =

x

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冪函數

對偶數次的 n ， n 次方根函數 其圖形大致上類似於 平方根函數

當 n = 3 時，我們有立方根函數(cubic root function)

然而跟平方根不一樣的是，其定義域為整個實數 ，由於每 個實數都存在一個立方根。立方根函數圖形如下。對其他

其中 n 為奇數 (n > 3) 其圖形基本上類似

立方根函數圖

圖十三 (b)

冪函數

(iii)

倒數函數 (reciprocal function) f(x) = x^–1 = 1/x 的圖形如下。

其圖形滿足方程式 y = 1/x 或者另一種形式 xy = 1 。事實上 這個圖形是以 x, y 兩軸為漸近線的雙曲線。

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冪函數

我們常可以在物理或者化學中見到倒數函數，例如波以耳定 律 (Boyle’s Law) 當溫度固定時，氣體的體積 V 與壓力 P 成 反比，式子如下

其中 C 為一常數。

V 對 P 的函數圖形如右，由於我們 只考慮正值，此圖形也就是類似前 述雙曲線的右半部分。

Figure 15

Volume as a function of pressure at constant temperature

有理函數

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有理函數

有理函數 (rational function) 為可以表示成兩個多項式相除 的函數，形式如下

其中 P, Q 分別為多項式。其定義域 為所有 Q(x)  0 的數。

最簡單的有理函數例子即為前述的倒 數函數，其定義域為 {x | x



倒數函數

圖十四

有理函數

再看一個例子，給定函數

此 f(x) 之定義域為 {x|x

 2} 。其函數圖形如下圖十六：

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代數函數

代數函數

除了有理函數之外，我們更近一步考慮開根號。

我們稱函數 f 為代數函數 (algebraic function) ，表示他是 由四則運算及開根號所組成。

以下是幾個例子：

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代數函數

代數函數的圖形有非常多種類，下圖十七列出其中的幾種可 能。

圖十七

代數函數

代數函數的一個經典例子來自於狹義相對論。

靜質量為 m₀ 以速度 v 運動的物體，其質量隨著運動速度變 化的公式為

其中 c 為真空中的光速 3.0 x 10⁵ km/s 。

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三角函數

三角函數

以下我們角度的單位一律使用弧度 (radian measure) ，即 單位圓上該角度所對映到的圓弧長度。

例如 f(x) = sin x

，

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三角函數

以下為正弦 (sine) 與餘弦函數 (cosine) 的圖形。

圖十八

(b) g(x) = cos x (a) ƒ(x) = sin x

三角函數

從圖上我們可以觀察 sin 與 cos 函數的定義域為整個實數 ( , ) ，其值域為閉區間 [-1,1] 。

因此對所有實數 x ，我們有

或者以絕對值函數表示可以寫成

|sin x|  1 |cos x|  1

45 45

三角函數

我們還可以觀察到 sine 函數的零點都在



sin x = 0 對於 x = n, n 為整數

另外 sine 與 cosine 還有一個重要的性質 --- 週期性，他們的 週期都是 2 。

也就是說，對任意的 x ，均有

三角函數

正切函數(tangent function) 是 sine 與 cosine 函數的比值。

其函數圖形如右。

從定義可以注意到， tan 函數在 cos 函數的零點沒有定義，也就 是當 x = 





另外其值域為 ( , ).

47 47

三角函數

跟 sin, cos 函數比較不一樣的是， tan 函數的週期為



tan(x +



最後剩下的三個三角函數餘切 (cotangent)、正割(secant)、

餘割(cosecant) ，分別為 tan, cos 以及 sin 函數的倒數。

指數函數

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形如此者的函數 f (x) = a^x ，其中 a > 0 ，我們稱之為指數函 數 (exponential function) 。

下圖兩個函數圖形分別為 y = 2^x and y = (0.5)^x

。

指數函數

圖二十

(a) y = 2^x (b) y = (o.5)^x

指數函數

指數函數是自然環境中非常常見的函數，

例如生物族群的數目是指數成長的： a^x , a > 1 ； 或者放射性元素的濃度會以指數衰減： a^x , a < 1 。

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對數函數

對數函數

對數函數 (logarithmic functions) 我們以 f(x) = log_ax 表示，

其中底數 a 為一正值的常數。

對數函數的一種定義，我們可以定成指數函數的反函數。

右圖二十一中，畫出了幾個不同底數的對數函數圖形。

從圖形中觀察知，對數的定義域 為(0, ) ，其值域為 ( , ) 另外對數函數為遞增函數，在過 了 x = 1 之後其成長開始趨緩。

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範例五

區分並討論下列各函數。

(a) f(x) = 5^x (b) g(x) = x⁵ (c)

(d) u(t) = 1 – t + 5t⁴

範例五 / 解

(a) f(x) = 5

(b) g(x) = x⁵ 為冪函數，其中 x 為底數。

或者可以看成 5 次的多項式函數。

(c) 為代數函數。

(d) u(t) = 1 – t + 5t⁴ 是一個四次多項式。