1.2 數學模型及常見的重要函數

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1 函數(functions)與

模型(models)

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1.2 數學模型及常見的重要函數

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3 3

數學模型

數學模型是以數學的方式(例如使用函數或方程式)進行對 真實世界現象的描述,如討論人口數目、對產品的需求、自 由落體的速度、化學反應中化合物的濃度、個人壽命的期望 值或者減少廢氣排放的花費。

建立數學模型,目的就是幫助我們了解這些現象,甚至可能 可以對未來行為做出預測。

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數學模型

下圖一描述了數學建模的歷程。

圖一

數學建模的過程 真實現象

與問題 構造建模 數學模型

解題、分析 結論

應用、解釋 預測

反覆試驗

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5 5

數學模型

當然,數學模型並不能完全精確地表現出我們想要探討的問 題,通常多是理想化的情況。然而一個好的模型就是能夠經 過簡化真實狀況,方便我們計算而最後得到精確度尚準的有 用結論。

因此重要的是,數學模型能實現或逼近到如何的真實情況,

最終仍需要交由自然世界來檢驗。

在這些模型當中我們發展出許多不同種的函數用以表現這個 世界中的某些定律或者關係,在接下來的課程中我們將會討 論這些函數的行為,以及跟它們相關的模型。

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線性模型

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7 7

線性模型

我們說 y 是 x 的線性函數 (linear function) ,表示 y 對 x 的函 數圖形在座標平面上是一條直線。

利用點斜式我們可以直接將函數的式子寫下:

y = f(x) = mx + b

其中 m 為斜率, n 為 y 軸截距。

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線性模型

線性函數的特徵便是成長的速率是固定的。

下圖二為線性函數 f(x) = 3x – 2 的圖,表格中列舉函數部分 的值。

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9 9

線性函數

注意到表格中所取樣的樣點, x 每增加 0.1 , f(x) 的值便會 增加 0.3 。

因此 f(x) 增加的速度是 x 增加的三倍。所以我們也可以知道,

直線的斜率,也即是 f(x) 對 x 的變化率。

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範例一

(a) 乾燥的空氣上升後會擴散並漸漸冷卻。假設地表溫度為 攝氏二十度,距地表一公里高處的溫度為攝氏十度,假設 溫度對高度的變化是線性模型,試寫下溫度 T (單位為度) 對高度 (單位為公里) 的函數。

(b) 畫出上述函數的圖形,試問圖形的斜率之意義為何?

(c) 試以此模型,推測距地表 2.5 公里高處之溫度

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11 11

範例一 (a) / 解

由於我們假設溫度 T 對高度 h 的變化是線性模型,因此我們 可寫下

T = mh + b

地表溫度為 20 ,因此

20 = m

0 + b = b 計算得 b = 20 。

一公里高處溫度為 10 ,代入計算得 10 = m

1 + 20

因此我們得到斜率 m = -10 ,並得到函數如下:

T = –10h + 20

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範例一 (b) / 解

函數圖如下圖三。

斜率為 m = –10C/km 也就是溫度對高度的變化率,高度每 升高一公里,溫度降十度。

cont’d

(13)

13 13

範例一 (c) / 解

利用同一個公式,在高度 2.5 公里處,計算溫度得

T = –10(2.5) + 20 = –5C

cont’d

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線性模型

建模時,若我們沒有實際的物理定律、法則可以應用,我們 可以構造一個經驗模型 (empirical model) ,由所有收集到 的資料做為基礎。

例如假設我們現在手上有一系列的資料點,此時我們就是想 尋找一條曲線通過這些資料點,而這條曲線便大致上表現這 些資料的行為、走向。

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15 15

多項式

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多項式

多項式函數是指如下這樣的函數

P(x) = a

n

x

n + an–1

x

n–1 + . . . + a2

x

2 + a1

x + a

0

其中 n 是非負整數,而 a0, a1, a2, . . ., an 為常數,我們稱為 多項式的各項係數 (coefficients) 。

在微積分課程裡,多項式的定義域大多是實數 。 另外,若領導項係數 an

0 ,則 n 就稱為此多項式的度數 (degree) 。

下列是一個度數為六次的多項式。

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17 17

多項式

一次的多項式,其形式為 P(x) = mx + b ,其實就是我們上 一節提到的線性函數。

二次多項式,其形為 P(x) = ax2 + bx + c ,也是我們很常會 遇到的函數,通常稱為二次函數 (quadratic function)

同樣的三次多項式

P(x) = ax

3 + bx2 + cx + d

a 

0 也稱為三次函數 (cubic function) 。

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多項式

二次函數的圖形是所謂的拋物線,可以透過平移 y = ax2 得 到。從下圖可以注意到,當 a > 0 時,拋物線的開口向上;

反之當 a < 0 ,開口向下。

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19 19

多項式

下圖八分別刻劃的三次、四次、五次函數的圖形。

圖八

(20)

範例四

今假設有一球自 CN 塔的瞭望台 (離地 450 公尺高) 落下,

其離地高度 h 紀錄如下表二。

試決定一模型滿足各項資料點並利 用此模型推測此球落地之時間。

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21 21

範例四 / 解

我們從圖表的資料可以描出離散點圖如下。

若我們想找出曲線通過這些資料點,會發現線性函數似乎不 太合適。

圖九

球落下的點圖

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範例四 / 解

另一方面,資料點的趨勢比較像是落在一個拋物線上,因此 我們選擇使用二次函數模型。

利用電腦解方程式可以得到下列這個近似的二次曲線(電腦 大多採用最小平方法 least square method 逼近)

h = 449.36 + 0.96t – 4.90t

2

cont’d

(23)

23 23

範例四 / 解

將前面解得的函數繪出,得到下圖十。可以看得出來圖形與 資料點吻合的情況還不錯。

最後,我們想知道落地時間,於是便考慮解方程式 –4.90t2 + 0.96t + 449.36 = 0

Figure 10

Quadratic model for a falling ball

cont’d

(24)

範例四 / 解

由二次方程式的公式解可得

其正根的近似值為 t  9.67 ,因此我們可以預測落地時間大 約是 9.67 秒後左右。

cont’d

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25 25

冪函數

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冪函數

這種形式的函數 f(x) = xa ,其中 a 為一常數,被稱為冪函數 (power function) 。我們考慮幾種情況:

(i)

a = n 其中 n 為正整數

後面的圖十一為 f(x) = xn 其中 n = 1, 2, 3, 4, 5 的函數圖形。

其中 n = 1,2 是我們最常見的直線 y = x 跟拋物線 y = x2

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27 27

冪函數

f(x) = xn n = 1, 2, 3, 4, 5 的圖形

圖十一

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冪函數

正整數次數的冪函數,其圖形大致上跟其次數 n 的奇偶性有 關。

若 n 為偶數,則 f(x) = xn 為偶函數,其圖形與拋物線 y = x2 相似;

若 n 為奇數,則 f(x) = xn 為奇函數,其圖形與拋物線 y = x3 相似。

(29)

29 29

冪函數

從下圖十二我們可以觀察到,當次數 n 增加,在 0 的附近更 平,而當 |x|  1 時更陡。

冪函數家族

圖十二

(30)

冪函數

(ii)

a = 1/n 當 n 為正整數

給定這樣的函數 我們稱為根式函數 (root function) 。例如 n = 2 時,我們有平方根函數 (square root function) 其定義域為 [0, ),函數圖形即為 y =

x

2 的上半部分。

(31)

31 31

冪函數

對偶數次的 n , n 次方根函數 其圖形大致上類似於 平方根函數

當 n = 3 時,我們有立方根函數(cubic root function)

然而跟平方根不一樣的是,其定義域為整個實數 ,由於每 個實數都存在一個立方根。立方根函數圖形如下。對其他

其中 n 為奇數 (n > 3) 其圖形基本上類似

立方根函數圖

圖十三 (b)

(32)

冪函數

(iii)

a = –1

倒數函數 (reciprocal function) f(x) = x–1 = 1/x 的圖形如下。

其圖形滿足方程式 y = 1/x 或者另一種形式 xy = 1 。事實上 這個圖形是以 x, y 兩軸為漸近線的雙曲線。

(33)

33 33

冪函數

我們常可以在物理或者化學中見到倒數函數,例如波以耳定 律 (Boyle’s Law) 當溫度固定時,氣體的體積 V 與壓力 P 成 反比,式子如下

其中 C 為一常數。

V 對 P 的函數圖形如右,由於我們 只考慮正值,此圖形也就是類似前 述雙曲線的右半部分。

Figure 15

Volume as a function of pressure at constant temperature

(34)

有理函數

(35)

35 35

有理函數

有理函數 (rational function) 為可以表示成兩個多項式相除 的函數,形式如下

其中 P, Q 分別為多項式。其定義域 為所有 Q(x)  0 的數。

最簡單的有理函數例子即為前述的倒 數函數,其定義域為 {x | x

0 } 。

倒數函數

圖十四

(36)

有理函數

再看一個例子,給定函數

此 f(x) 之定義域為 {x|x

 2} 。其函數圖形如下圖十六:

(37)

37 37

代數函數

(38)

代數函數

除了有理函數之外,我們更近一步考慮開根號。

我們稱函數 f 為代數函數 (algebraic function) ,表示他是 由四則運算及開根號所組成。

以下是幾個例子:

(39)

39 39

代數函數

代數函數的圖形有非常多種類,下圖十七列出其中的幾種可 能。

圖十七

(40)

代數函數

代數函數的一個經典例子來自於狹義相對論。

靜質量為 m0 以速度 v 運動的物體,其質量隨著運動速度變 化的公式為

其中 c 為真空中的光速 3.0 x 105 km/s 。

(41)

41 41

三角函數

(42)

三角函數

以下我們角度的單位一律使用弧度 (radian measure) ,即 單位圓上該角度所對映到的圓弧長度。

例如 f(x) = sin x

其中 sin x 表示弧度 x 的正弦值,

(43)

43 43

三角函數

以下為正弦 (sine) 與餘弦函數 (cosine) 的圖形。

圖十八

(b) g(x) = cos x (a) ƒ(x) = sin x

(44)

三角函數

從圖上我們可以觀察 sin 與 cos 函數的定義域為整個實數 ( , ) ,其值域為閉區間 [-1,1] 。

因此對所有實數 x ,我們有

或者以絕對值函數表示可以寫成

|sin x|  1 |cos x|  1

(45)

45 45

三角函數

我們還可以觀察到 sine 函數的零點都在

的整數倍:

sin x = 0 對於 x = n, n 為整數

另外 sine 與 cosine 還有一個重要的性質 --- 週期性,他們的 週期都是 2 。

也就是說,對任意的 x ,均有

(46)

三角函數

正切函數(tangent function) 是 sine 與 cosine 函數的比值。

其函數圖形如右。

從定義可以注意到, tan 函數在 cos 函數的零點沒有定義,也就 是當 x = 

/2, 3

/2, . . . .

另外其值域為 ( , ).

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47 47

三角函數

跟 sin, cos 函數比較不一樣的是, tan 函數的週期為

: 即對任意 x ,有

tan(x +

) = tan x

最後剩下的三個三角函數餘切 (cotangent)、正割(secant)、

餘割(cosecant) ,分別為 tan, cos 以及 sin 函數的倒數。

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指數函數

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49 49

形如此者的函數 f (x) = ax ,其中 a > 0 ,我們稱之為指數函 數 (exponential function) 。

下圖兩個函數圖形分別為 y = 2x and y = (0.5)x

兩者的定義域均為 ( , ) ,而其值域為 (0, ).

指數函數

圖二十

(a) y = 2x (b) y = (o.5)x

(50)

指數函數

指數函數是自然環境中非常常見的函數,

例如生物族群的數目是指數成長的: ax , a > 1 ; 或者放射性元素的濃度會以指數衰減: ax , a < 1 。

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51 51

對數函數

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對數函數

對數函數 (logarithmic functions) 我們以 f(x) = logax 表示,

其中底數 a 為一正值的常數。

對數函數的一種定義,我們可以定成指數函數的反函數。

右圖二十一中,畫出了幾個不同底數的對數函數圖形。

從圖形中觀察知,對數的定義域 為(0, ) ,其值域為 ( , ) 另外對數函數為遞增函數,在過 了 x = 1 之後其成長開始趨緩。

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範例五

區分並討論下列各函數。

(a) f(x) = 5x (b) g(x) = x5 (c)

(d) u(t) = 1 – t + 5t4

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範例五 / 解

(a) f(x) = 5

x 是指數函數,其中 x 為指數。

(b) g(x) = x5 為冪函數,其中 x 為底數。

或者可以看成 5 次的多項式函數。

(c) 為代數函數。

(d) u(t) = 1 – t + 5t4 是一個四次多項式。

Figure

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