談數理兼備的人材培育
陳宜良(台大數學系) 2005,04,23 一、數理兼備人材的需求 傳統上，數學和物理是一家。物理學家探索物質世界的規律性、建立數學模 型、發展解決數學模型的方法，從而對物質世界有一根本的了解。數學家探索樣 式的規律性、本質性、不同樣式間的共通性，從而建立理論架構，並發展數學方 法，以對抽象世界作根本性的了解。由此看來，數學家和物理學家本質上是一樣 的。數學的突破往往造成其他科學的連鎖突破，而科學的進展也一直都在催生各 種新數學的發展。在傳統大英國協的體制裡，應用數學、力學、理論物理是放在 同一個學系。在這種數學和物理交融的體制裡，過去孕育了許多數理兼備的科學 家和數學家。許多重大的發明或突破，都是數理兼備的人才所促成。舉計算機為 例，計算機發明的關鍵人物有二：Turing 與 Von Neumann。Turing 提出 Universal Machine 的概念，被尊稱為計算機科學之父。他在英國劍橋大學的那段時間，對 邏輯、機率、量子力學均有深入之學習。Von Neumann 大學時是念化工系，研究 所是念數學。他是現代電腦架構的提出者，也是計算科學的先驅。20 世紀計算 機的發明，促成許多學門都在進行數量化的革命，特別是生命科學與社會科學。 這些學門科學化的歷程也是遵循物理科學發展的模式：探索規律性、建立數學模 型、發展理論架構。這個歷程，十分需要數學家和物理學家的協助與參與。又， 在傳統科學與工程的領域裡，近 50 年來由於有了強力的計算工具，使得各學門 所用的數學更加深化。這個數量化與數學深化的潮流促成了數學科學與計算科學 的發展，也彰顯了數理兼備人材的普遍需要。 二、兩個國外的例子 要談我國數理兼備人材的培育，我們先看兩個外國的例子： (1)法國培育數理兼備人材的模式 法國高等教育的學制如下：高中會考及格者進入普通綜合大學或技術學院就 讀第一階段(相當大學一、二年級)，結業者獲頒大學通識文憑或科技文憑，第一 階段結業生約有 57%的學子繼續第二階段。第二階段第一年結業獲學士學位，第 二年結業獲碩士學位。約 35%持碩士學位者進入博士預備班，35%博士預備班學 生進入博士班(以上錄自駐法台北代表處文化組 2003 年資料)。在大學第一階 段，法國政府自 1991 年起，創立高等學院預備班(CPGE)的制度。CPGE 幾乎全是 公費，它錄取高中會考最優秀的前 10%的學生(2002/2003 年為 72000 人)，給他 們作紮實的學術基礎訓練。CPGE 共設六種學程：數學/物理、物理/化學、化學/ 生物、物理/技術/工程、商學/經濟、文學/哲學，其中數學/物理便是一種數理 兼備的學程。底下我僅就這方面的情況作報告。2002/2003 年 CPGE 的數學/物理 學程，全法國共收 11000 名學生。在授課時數上，每週數學 12 小時，物理/化學 8 小時，外語 2 小時，文學/哲學 2 小時，工程或電腦 2 小時。修業的模式為白天上課，晚上作演習。每人每週一次一小時的數學口試，每二週一次一小時的物 理口試，要求十分嚴格。在內容方面，包括分析學(含高等微積分、一些複變、 基礎的實分析、富氏級數等）、線性代數、微分方程、歐氏幾何等，其中微分方 程是重點。在物理方面則有力學、熱力學、電磁學及少許的流體力學。 CPGE 畢業率約為 75﹪，未能畢業者回流至普通大學的第一階段。CPGE 畢 業生出路很廣，通過多種考試(或競試)後可繼續走學術、工程、軍校等路線。每 一種考試為期一周，通過四種考試的學生可有六十幾所大學供選擇。最優秀的一 批則進入高等師範學院，走學術路線，其中數學科每年收 450 人。這些高等師範 學院學生將來若不繼續走學術研究路線，則可回流作為 CPGE 的教師。（以上資料 由 Lyon 大學 C. Villani 教授所提供）。 法國預備學校的制度提供年輕時期數理兼備的紮實訓練。一般學生 18 歲進入 CPGE 學程，20 歲結業。若走學術路線，25 歲可得博士學位。這個制度創造理論 科學發展的優越條件。 (2)美國的模式 美國高中的學制有兩個特點，第一是富彈性，以跑班制的方式允許每一個人 依自己的學習速度來學習，第二是 AP 學程的設計，突破高中與大學的籓籬，使 有能力向上學的學生，有機會學到大一的課程。AP 是 Advanced Placement 的簡 寫，它是 1950 年代創立的私人的教育機構，提供各種高中到大學的進階替代課 程及相關之檢定考試，比如 AP 微積分 AB 為單變量微積分，BC 為較深之單變量 微積分。AP 物理為帶微積分的物理。美國一半以上的高中會提供 AP 課程，另外 社區大學也會提供。美國高中生修完數科 AP 課程的情形非常普遍。在 2000 年時， 有 84 萬的高中生參加 141 萬個 AP 測驗，參與 AP 課程的學生每個人平均修了 1.5 個 AP 科目。又以賓州州大為例，約有 40﹪的新生已修畢 AP 的 Calculus AB。 在大學裡，針對這些跑得快的學生，各理科學系通常都設有榮譽學程，提供 加速學習管道，俾使這些學生能在一、二年內平順接上高階課程。而為培養數理 兼備的人才，許多大學也設有整合科學的學程（Integrated Science Program）。 以西北大學為例，它的整合科學學程挑選最好的大一新生，提供紮實的數學和物 理課程，使學生能在一年後銜接上數學、物理、化學等高階課程。一般來說，這 種整合科學學程的畢業生會有二至三個主修專業。由於有紮實的數理兼備的基 礎，這些學生畢業後十分受到名校的歡迎。 三、我國的問題 法國人口約為台灣的 2.5 倍，美國人口約為台灣的 11 倍，他們的學術能力、 經濟力、國力都遠超過我們，這和他們擁有許多高素質的人口數有關。法國一年 可培養數理兼備、基礎紮實的年輕學子(20 歲前)11000 人。美國大學新生通過 AP Calculus AB 檢定考試約 10 萬人。反觀台灣，能在 20 歲時具備紮實數理基 礎的學生實在寥寥無幾。即使大學畢業，以台大為例，數學系的畢業生能懂到電 磁學的實在很少；物理系的學生能懂得基礎實分析的也十分稀少。這當然不是學 生不用功，而是制度造成的。
以下是我認為幾個制度上的問題 (一) 大學部分 1.資優生進入大學後，沒有相關的配套訓練來奠定他們堅實的數學與物理基礎。 2.大學裡也沒有數理兼備的學程設計。 3.現行輔系制度中，一般選修學分不能計入輔系學分，有礙於數理兼備人材的培 育。 4.許多數學系的課都太純數學導向，但高階數學課在大學和研究所有普遍性的需 求，而一般大學卻缺乏有效率的應用數學課程與學程。 5.現階段台灣數理兼備的師資太少。 針對上列五個問題，我認為有兩項制度值得推動： 1.大學輔系制度應作一些調整。目前輔系的學分屬於 128 畢業學分的外加學分， 應撤除此限制，以導引學生將 128 學分內之一般選修學分，規劃為輔系學分， 以獲得第二專長，此舉將有利於學科學的學生獲得數學輔系學位，而學數學的 學生也較有機會獲得其他科學的輔系學位。如此將可以培養一些數理兼備的人 才。 2.鼓勵有好條件的大學辦理數理兼備的榮譽學程，來堅實資優生的數學與物理基 礎。 (二)高中部分 1.我國高中的根本問題是學制僵化，有能力的學生缺乏向上學習的機會，不須 學或不能學的學生卻被勉強學習許多不必要的東西，比如說高一上的基礎物 理、化學、生物對許多理工傾向的好學生常常是浪費時間，而數學中許多課題 對學文科的學生也沒有必要。這個問題在未來施行高一、高二不分流的政策後 會更加嚴重。 2.高中數學的內容過於形式化，未能與生活以及科學結合，大部分學生都不知道 數學有何用。 3.數學與物理的學習不協調。高二開始學物理，但那時學生的數學基礎仍十分薄 弱。另一方面，數學的學習卻走得太慢，學生的心力常被許多人為的難題羈絆 住，缺乏效率。 4.目前學測分兩級(基本學力測驗與指定考科)，題數少，每題配分重，出題老師 為求鑑別率，難免將題目設計得巧妙，這導引了高中數學現場充滿了許多人為 難題以及各種技巧。 針對上述 1-4 的問題，我提出幾點看法： 1.高中學制應走向彈性化，可實施跑班制，跑班可以五班或十班的班群為單位。 2.數學科的內容應再檢討，應掌握數學精簡的本質，並與生活和科學作適當的 結合。數學選修時數應增加，95暫綱高三每學期3學分的設計，對學理工的學 生是不足夠的，與美國的AP課程的標準也有相當之落差。選修課程的編纂可以 主題作為學習單元(如三角學、解析幾何、微積分、機率與統計等)，並允許依個 人的需求做適當組合。
3 學科能力測驗與指定科目考試的時間均應增長，讓學生有時間思考，使考試不 成為記憶與反應速度的競賽，並調整目前高中數學題目刁鑽化的走向。 4.引進 AP 課程以及相關之檢定考試，並得列為大學入學甄試項目。AP 之師資可 由退休教授和未續做研究之博士擔任。 這些有關高中學制以及考試制度的變革，牽涉甚廣，宜經過審慎的研究後， 再去推動。這個研究，至少應包括跨國比較、現況分析及衝擊的評估。同時實施 過程中也應建立評鑑機制，並定期檢討。環顧先進國家數理兼備人才濟濟，而我 國數理兼備的人材培育仍有許多瓶頸，當知這變革是亟需的。
