以狀態空間模型分析常見的經濟資料 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系碩士學位論文. 以狀態空間模型分析常見的經濟資料政治大 The Analysis of 立 Economic Data by State-space Model. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. n. al v i n Ch 指導教授：翁久幸 e n g c h i U 博士研究生：莊雅婷撰. 中華民國. 一百零三. 年. 六月.

(2) 摘要在統計中有許多估計參數的方法，像是點估計中的動差法、最大概似估計法、最小平方法，和區間估計等等。在動態的時間序列裡常會使用到狀態空間模型 (State–space model)來處理動態時間序列模型中未觀測到的狀態變數。在計量經濟中常常會包含許多未觀測到的狀態變數，例如：事前實質利率、永久所得等等，因此狀態空間模型在計量經濟學中有很廣泛的運用。. 政治大 (Kalman filter)為輔助分析工具，藉以分析三筆常見的經濟資料：美國實質國內生立本論文以狀態空間模型(State－space model)表示模型，再以卡爾曼濾波器. ‧ 國. 學. 產毛額(U.S. Real GDP)、西德州中級原油價格(West Texas Intermediate Crude Oil)，以及國際黃金價格，想從分析的資料中得知觀測值的變異主要源自模型中的隨機. ‧. 趨勢項或是平穩循環項。. sit. y. Nat. al. er. io. 得到的結論為：在美國實質國內生產毛額(U.S. Real GDP)資料裡發現資料研. v. n. 究期間的長短，所得到的結論會有所不同，在短期時間的資料裡，觀測值的變異. Ch. engchi. i n U. 主要源自平穩循環項，而在長期時間的資料裡則相反；在西德州中級原油價格 (West Texas Intermediate Crude Oil)，以及國際黃金價格的資料分析中，得知觀測值的變異主要來自隨機趨勢項。. 關鍵詞：狀態空間模型、卡爾曼濾波器、最大概似估計法、狀態變數. I.

(3) Abstract There are many methods to estimate parameter in statistic, such as the method of moment, maximum likelihood estimation (MLE), least squares estimates (LSE), and interval estimation etc. State-space models always deal with the dynamic time series models that have unobserved state variables. Econometrics often involves many unobserved state variables, for instance, the ex ante real rate of interest, permanent income etc. State-space models have a wide range of applications in econometrics.. 政治大 This study analysis three 立common economic data, U.S real gross domestic. ‧ 國. 學. product, West Texas intermediate crude oil price, and gold price, by using the state-space model to represent the time series model, and the Kalman filter, the basic. ‧. tool to deal with the state-space model.. sit. y. Nat. n. al. er. io. In U.S real GDP data, the different research period may affect the conclusions. In. i n U. v. the short period, the variation of observed data is mainly from the stationary cyclical. Ch. engchi. component. On the contrary, in the long period, the variation of observed data is mainly from the stochastic trend term. In WTI oil price and gold price data, the variation of observed data is mainly from stochastic trend component.. Keywords：state-space model, Kalman filter, maximum likelihood estimation, state variable.. II.

(4) 致謝在這研究所兩年裡，我學到很多，不僅僅是在學術上，也對自己的未來方向和規畫有更深一層的認知，畢業並不代表學習的結束，是人生另一段旅程的開始，在另一段旅程中仍要持續的學習，更需要我專注和努力不懈的學習。感謝我的指導教授翁久幸老師，從選擇論文題材開始到口試當天，一直在身邊叮嚀提醒以及從旁協助教導，才讓我能順利的完成這篇碩士論文；謝謝我的家人，在我回家時讓我感受到家裡的溫暖，提供我一個避風港；謝謝我的朋友們，在我遇到困難時能提供我意見和鼓勵我；最後感謝我的男朋友徐榮忠，因為你我才能如此順遂的完成我的學業，在我遇到困境跟低潮時仍盡力的陪在我身邊，因為你更豐富了我這兩年的碩士生生涯。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. III. i n U. v.

(5) 目錄第一章. 緒論............................................................................................................ 1. 第一節. 研究動機與目的................................................................................ 1. 第二節. 文獻探討............................................................................................ 3. 第三節. 研究架構............................................................................................ 4. 第二章. 狀態空間模型與卡爾曼濾波器介紹........................................................ 5. 第一節. 狀態空間模型介紹............................................................................ 5. 第二節. 卡爾曼濾波器介紹............................................................................ 9. 第三章. 研究方法.................................................................................................. 12. 第四章. 實證研究.................................................................................................. 19. 立. 學. 第二節. 資料來源與說明.............................................................................. 19. ‧ 國. 第一節. 政治大. 重要結論.......................................................................................... 33. y. Nat. 第二節. ‧. 第一節. 結論與建議.............................................................................................. 33. 建議與討論...................................................................................... 34. sit. 第五章. 實證結果.......................................................................................... 20. n. al. er. io. 參考文獻...................................................................................................................... 35. Ch. engchi. IV. i n U. v.

(6) 第一章緒論第一節研究動機與目的. 在統計學的初段課程裡總會告訴我們每個分配、每條迴歸式裡、每個時間序列裡的參數真實值為何，隨著課程的深入會得知從一筆資料裡得到的資訊其實不會那麼多，更何況是參數的真實值，因此衍伸出許多估計參數的方法，包括點估計中的動差法、最大概似估計法、最小平方法，和區間估計。根據不同的狀況，各有各的使用時機。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 在動態的時間序列裡會使用狀態空間模型(State–space model)來處理動態時間序列模型中未觀測到的變數。在經濟學中常會包含許多未觀測到的變數，像是. ‧. 事前利率、永久所得等等，因此狀態空間模型在計量經濟學中有很廣泛的運用。. sit. y. Nat. al. er. io. 在統計學與計量經濟學中，有越來越多的文獻在探討狀態空間模型的實用性. v. n. 且能廣泛的應用在各個領域中，在計量經濟學的應用上普遍不會注意到狀態變數. Ch. engchi. i n U. 隨著參數的隨機差分方程會有一些轉變的特性，所以在估計初的參數估計量會有些不準確，因此要如何較精確的估計這些狀態變數就成為一個值得探討的議題。. 為了解決估計參數上的精準性，在 1981 年計量經濟學家 Harvey[2]在他早期的書籍和一系列的論文中引進了在控制工程裡常使用的卡爾曼濾波器(Kalman filter)，將預測誤差做分解來解決在參數估計值的精準性。卡爾曼濾波器是經由一連串的遞迴式計算，根據在時間 t 時所得到的已知資訊來估計在時間 t 下的未觀測到的變數。. 1.

(7) 狀態空間模型一開始是使用在控制工程裡，自從 Harvey[2]將卡爾曼濾波器引進計量經濟領域中後，許多計量經濟裡的模型都可用狀態空間模型表示，包括：係數會隨著時間變動的迴歸模型，自我迴歸移動平均模型(ARMA model)和時間序列中包含未觀測到的變數，將狀態空間模型寫下後，就可以使用卡爾曼濾波器估計未知的狀態變數。時至今日，相關的研究探討已經蓬勃發展，不管是在統計領域中、計量經濟學中，抑或是工業工程中，狀態空間模型和卡爾曼濾波器在估計未知變數上是一有效率的方法，因此本篇論文主要是在探討在不同的資料中使用狀態空間模型和卡爾曼濾波器能得到什麼樣的結果。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(8) 第二節文獻探討. 狀態空間模型表示法最早於 1960 由 R.E. Kalman[3]提出，他指出將動態系統用狀態空間模型表示的基本觀念在於“狀態”這個概念，這是表示在所得到的有限資訊中必須知道它過往的行為模式，因此可以去預測未來的走向。他也指出必須明確規範如何從一個狀態轉換成另一個狀態的模型，因此必須透過狀態轉換去描述動態系統。Kalman 利用狀態空間模型發展出一遞迴式用於估計動態系統中的參數，這一遞迴式以 Kalman 的名字命名，稱為 Kalman Filter。. 政治大 1982 年，Nelson 和 Plosser[5]對許多總體經濟裡的美國實質 GNP、名目 GNP、立. 就業率、失業率等等資料進行分析，他們將觀測值分解為不平穩的長期因素. ‧ 國. 學. (secular component)和平穩的循環因素(cyclical component)，在他們的分析中得到. ‧. 以下結論：觀測值的總變異中，不平穩的長期因素佔了絕大的部分，模型中符合. y. Nat. 平穩條件的波動或是平穩循環因素並不能解釋大部分的變異，因此應將觀察值的. er. io. sit. 變異主要分配在不平穩的長期因素裡。. al. n. v i n 1986 年，Clark[1]運用了狀態空間模型和卡爾曼濾波器分析美國實質國民生 Ch engchi U. 產毛額(Real GNP)季資料，以及工業生產指數(Industrial Production Index)月資料，他將模型中的觀測值分解為隨機趨勢項和平穩循環項，相對於 Nelson 與 Plosser[5] 的分解。在工業生產指數的分析裡知道觀測值的總變異主要來自平穩循環項，且隨機趨勢項是比較平滑而非隨機；在美國實質國民生產毛額的分析裡得到觀測值的總變異並無法明確的分配給隨機趨勢項或是平穩循環項。. 1997 年，Welch 和 Bishop[6]對離散型 Kalman Filter 有一入門介紹，Kalman Filter 估計參數的流程可分為兩部分：時間更新方程和測量更新方程。時間更新方程式是對現有的狀態及誤差共變異數估計量做一個先驗估計；測量更新方程式 3.

(9) 則是根據時間更新方程式中得到的先驗估計量再做修訂，成為後驗估計量。. 第三節研究架構. 本論文的架構如下，第一章：緒論，探討狀態空間模型和卡爾曼濾波器在估計未知變數上的廣泛應用；以及文獻探討中介紹有關狀態空間模型裡卡爾曼濾波器的研究。第二章：狀態空間模型與卡爾曼濾波器介紹，介紹狀態空間模型一般的表示法和卡爾曼濾波器，再舉幾個例子。第三章：研究方法，介紹 Nelson 和. 政治大第四章：實證研究，利用所蒐集到的三筆不同資料與模型做結合，對於實驗結果立 Plosser，Clark 的相關研究；以及對美國國內生產毛額(Real GDP)進行模擬研究。. 進行討論。第五章：結論與建議，提出結論。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 4. i n U. v.

(10) 第二章狀態空間模型與卡爾曼濾波器介紹第一節狀態空間模型介紹. 狀態空間模型最早是使用在控制工程裡，狀態空間在動態系統分析中是一個非常實用的工具，自從計量經濟學家 Harvey[2]將狀態空間模型引進計量經濟領域後，許多學者就廣泛的將此模型應用在經濟領域裡面，其中包含動態的經濟時間序列模型等等，許多計量經濟模型皆可以用狀態空間表示法表達後再使用卡爾曼濾波器估計參數。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 狀態空間模型主要有兩個優點：(1)狀態空間模型將未知的狀態變數與觀察值做連結，構成模型。(2)狀態空間模型和卡爾曼濾波器互相輔助，以最大概似. ‧. 估計法(Maximum likelihood estimation)求出參數估計量。狀態空間模型分成兩部. sit. y. Nat. 分：測量方程描述資料和未觀測到的狀態變數之間的關係；轉移方程描述未觀測. n. al. er. io. 到狀態變數的變動狀況。. 狀態空間模型一般型式：. Ch. engchi. 測量方程： yt = H βt + Azt + et ， i .i .d .. et  N ( 0, R) ，轉移方程：. βt = µ + F βt −1 + vt ， i .i .d .. vt  N ( 0, Q) ，. 5. i n U. v.

(11) yt : 時間 t 下的觀測值，為 n ×1 向量，. βt : 時間 t 下的未知狀態變數，為 k ×1 向量， zt : 時間 t 下的已知變數，為 r ×1 向量，. µ : 為 k ×1 向量， et 、 vt : 分別為 n × 1 、 k ×1 誤差向量，且兩個向量相互獨立， H 、 A 、 F : 為相對應的矩陣， R 、 Q : 為誤差的共變異數矩陣。. 政治大型(ARIMA model)和線性迴歸等等，以下給三個狀態空間模型表示法的例子。立. 狀態空間模型的使用範圍很廣泛，包含計量經濟中自我迴歸整合移動平均模. ‧ 國. 學. (一) AR(2)模型. i .i .d .. (. ). ‧. yt = δ + φ1 yt −1 + φ2 yt − 2 + et ， et  N 0, σ 2 ，. al. n → yt =δ + φ1 ( yt −1 − δ *. *. ) + φ ( yC h− δe)n+ w ， h i gc 2. t −2. *. t. → yt = δ * + φ1β 0,t −1 + φ2 β 0,t − 2 + wt ，. sit er. yt = (1 − φ1 − φ2 ) δ * + φ1 yt −1 + φ2 yt −2 + wt ，. io. →. y. Nat. 令 δ= δ * (1 − φ1 − φ2 ) ，則. i n U. v. (2.1.1). * 其中令 β 0,t= yt − δ 。. (2.1.1)式可以表示成狀態空間模型，其中測量方程式為：.  β 0t   wt  yt = δ * + [1 0]  + ，  β 0,t −1   0 . 6.

(12) 轉移方程式為：.  β 0t  φ1 φ2   β 0,t −1   wt  = β   + ，   0,t −1   1 0   β 0,t − 2   0  可由 AR(2)模型推論到 AR(p)模型。. (二)係數隨著時間改變的迴歸模型(The Time-Varying-Parameter Model) 此迴歸模型亦可以用狀態空間模型來表示，此模型的表示方式如下： i .i .d .. (. ). = yt β1t x1t + β 2t x2t + ⋅⋅⋅ + β mt xmt + et， et  N 0, σ 2 ，. ( βit − δ= i). (2.1.2). 政治大. σ i2 ) ， i = 1, 2,..., m ， φi ( βi ,t −1 − δ i ) + vit ， vit  N ( 0, i .i .d .. 立. (2.1.3). (2.1.3)式可整理成： βit =+ δ i* φi βi ,t −1 + vit ，其中令 δ i*=. 學. ‧ 國. 其中外生變數 xit 和誤差 et 無關，且 E ( et vis ) = 0 ， ∀t 和 s ， i = 1, 2,..., m ，. (1 − φi ) δ i ，. ‧. 因此模型最終表示方式為：. (. ). y. i .i .d .. er. io. βit =+ δ i* φi βi ,t −1 + vit ， vit  N ( 0, σ i2 ) ， i = 1, 2,..., m ，. n. al. i n 將(2.1.4)式、(2.1.5)式表示成狀態空間模型，其中 Ch engchi U 測量方程式為：. yt. [ x1t. x2t.  β1t  β   xmt ]  2t  + et ，       β mt . 轉移方程式為：.  β1t  δ1*  φ1 0  β   *   0 φ  2 δ 2  +   2t  =             *   β mt  δ m   0 0 . 0   β1,t −1   v1t    0   β 2,t −1   v2t  。 +            φm   β m,t −1  vmt  7. (2.1.4). sit. Nat. i .i .d .. = yt β1t x1t + β 2t x2t + ⋅⋅⋅ + β mt xmt + et， et  N 0, σ 2 ，. v. (2.1.5).

(13) (三)動態因子模型(Dynamic Factor Model) 假設動態因子模型中兩個平穩變數 y1t 、 y2t ，和一個變數 ct ，模型表示如下 = y1t γ 1ct + z1t ，. (2.1.6). = y2t γ 2 ct + z2t ，. (2.1.7) i .i .d .. ) ， ct φ1ct −1 + vt ， vt  N ( 0,1 =. (. i .i .d .. (2.1.8). ). = zit α i zi ,t −1 + eit ， eit  N 0, σ i2 ， i = 1, 2，. (2.1.9). vt 、 e1t ，和 e2t 三個誤差，兩兩相互獨立。. 政治大. 可將(2.1.6)式－(2.1.9)式表示成狀態空間模型，其中：. 立. 學. ‧ 國. 測量方程式為：. y. sit. n. al. er. φ1 0 0   ct −1   vt    0 α 0   z1,t −1  +  e1t  。 1   0 0 α 2   z2,t −1  e2t . io.  ct  z  =  1t   z2t . Nat. 轉移方程式為：. ‧.  ct   y1t  γ 1 1 0     y  = γ 0 1  z1t  ，  2t   2  z   2t . Ch. engchi. i n U. v. 狀態空間模型在計量經濟應用上非常多樣化，不只在上述的例子上可使用，時間數列中常使用的自我迴歸移動平均模型(ARMA model)、包含未觀測變數的模型、模型中有隨機趨勢項，或是非線性模型皆可使用狀態空間模型表示法。. 8.

(14) 第二節卡爾曼濾波器介紹. 卡爾曼濾波器是一種用來估計未知狀態變數的方法，是透過一連串的遞迴式得到最佳化的估計量，只要知道上一個時間點的狀態變數估計量以及當下時間點的觀測值 yt ，不需要全部的觀測值和過去的狀態變數估計量，就可以使用卡爾曼濾波器估計狀態變數，在給定合適的資訊下，卡爾曼濾波器會找到最小均方差 (Minimum Mean Square Error)的狀態變數估計量。. 政治大和卡爾曼平滑法(smoothig) 。卡爾曼濾波器(basic filter)是根據在時間 t 下所得到的立. 根據資訊多寡的使用下，卡爾曼濾波器可分為兩種：卡爾曼濾波器(basic filter). ‧ 國. 學. 所有訊息估計未知狀態變數；卡爾曼平滑法(smoothing)是根據在全部時間 T 下得到的所有資訊估計未知狀態變數。上述兩種濾波器是先使用卡爾曼濾波器(basic. ‧. filter)，得到所有的估計量，再從最大的資訊集合得到的估計量到最小的資訊集. al. er. io. sit. y. Nat. 合得到的估計量代入卡爾曼平滑法中，得到更精確的估計結果。. v. n. 卡爾曼濾波器(basic filter)的操作流程包括兩個階段：預測以及更新。在預測. Ch. engchi. i n U. 階段，卡爾曼濾波器根據上個時間點的狀態變數估計量估計當下的狀態變數；在更新的階段，卡爾曼濾波器根據當下的觀測值 yt 更新預測階段的狀態變數估計量，以得到更加精確的新估計結果。將線性動態系統表示成狀態空間表示法後，在給定合宜的資訊後就可以使用卡爾曼濾波器估計未知狀態變數，以下為符號定義：. ψ : 資訊集合。. βt|t −1 = E ( βt | ψ t −1 ) : 給定時間 t − 1 下的資訊集合， βt 的估計量。   Pt|t −1 = E  ( βt − βt|t −1 )( βt − βt|t −1 )′  : 給定時間 t − 1 下的資訊集合， βt 的共變異數矩  . 陣。 9.

(15) βt|t = E ( βt | ψ t ) : 給定時間 t 下的資訊集合， βt 的估計量。   Pt|t =E  ( βt − βt|t )( βt − βt|t )′  : 給定時間 t 下的資訊集合， βt 的共變異數矩陣。  . = yt|t −1 E ( yt = | ψ t −1 ) H t βt|t −1 + Azt : 給定時間 t − 1 下， yt 的預測值。. ηt|t −= yt − yt|t −1 : 預測誤差。 1. (. ). ht|t −1 = E ηt2|t −1 : 預測誤差的條件變異數。. βt|T = E ( βt | ψ T ) : 給定所有時間 T 的資訊集合， βt 的估計量。   Pt|T =E  ( βt − βt|T )( βt − βt|T )′  : 給定所有時間 T 的資訊集合，βt 的共變異數矩陣。  . 政治大. io. ht|t −1. 1. ( 2π ). al. n. T. n. n. ht|t −1. e. e. − 1η t|t −1h t|t −1η Tt|t −1 ， 2. . v i ( ) n Ch U engchi. = ⇒ L (θ ) log Π ft ( yt | yt −1, y= t − 2 ,, y2 , y1 ) t =1. T. . y. Nat =. ( 2π ). . − 1  yt − yt|t −1 ht′|t −1 yt − yt|t −1  2   . er. ft ( yt | yt −1, yt − 2 ,, y2 , y1 ) =. . 1. ‧. ‧ 國. i .i .d. 學. 若假設 yt 符合常態分配： yt | ψ t −1  N ( yt|t −1, ht|t −1 ) ，則. sit. 立. 1 1 n ln ( 2π ) ht|t −1 − ∑ηt|t −1ht|t −1ηt′|t −1 ， ∑ 2 2. 卡爾曼濾波器根據上式進行參數估計，經過一連串遞迴式，最後得到最大概似估計量。下述為卡爾曼濾波器(basic filter)和卡爾曼平滑法(smoothing)的遞迴式：卡爾曼濾波器(basic filter)： (1)預測方程式：. βt|t −1= µ + F βt −1|t −1 = Pt|t −1 FPt −1|t −1 F ′ + Q 10.

(16) ηt|t −1 = yt − yt|t −1 = yt − H βt|t −1 − Azt = ht|t −1 HPt|t −1 H ′ + R (2)更新方程式： = βt|t βt|t −1 + K tηt|t −1 = Pt|t Pt|t −1 + K t HPt|t −1 ，其中 K t 是卡爾曼權重， K t = Pt|t −1 H ′ht−|t1−1 。. 卡爾曼平滑法(smoothing)：. 政治大. βt|T =βt|t + Pt|t F ′Pt +−1|1 t ( βt +1|T − F βt|t − µ ). 立. Pt|T = Pt|t + Pt|t F ′Pt +−1|1 t ( Pt +1|T − Pt +1|t ) Pt +−1|1 t′ FPt|t′ 。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 11. i n U. v.

(17) 第三章研究方法 Nelson 和 Plosser[5]對許多總體經濟裡的經濟資料進行分析，像是美國實質 GNP、名目 GNP、就業率、失業率等等，他們將觀測值分解為不平穩的長期因素(secular component)和平穩的循環因素(cyclical component)，當中的不穩定因素引起的波動或震盪並不會隨著時間的增長而消逝，因此其變異並不會隨著時間增加而減少；而平穩循環因素所造成的干擾或變異會隨著時間增加而消散，因此將不穩定因素均歸類在長期因素(secular component)裡，且相對於平穩的循環因素，. 政治大結論：觀測值的總變異中，不平穩的長期因素佔了絕大的部分，模型中符合平穩立不平穩的長期因素在短暫的時間內的波動並不會太大，在他們的分析中得到以下. ‧. ‧ 國. 學. 條件的波動或是平穩循環因素並不能解釋大部分的變異。. Nelson 和 Plosser 所分析的經濟資料皆為年資料，但年平均資料會忽略掉季. sit. y. Nat. 資料或是月資料裡所包含的訊息，Clark[1]應用狀態空間模型分析美國實質國民. al. er. io. 生產毛額(Real GNP)季資料，以及工業生產指數(Industrial Production Index)月資. v. n. 料，且為了分辨趨勢項是否為隨機，他提出模型為(3.1)式－(3.4)式：. Ch. engchi. Y= Tt + Ct ， t. i n U. (3.1) i .i .d .. (. ). Tt = dt −1 + Tt −1 + vt ，vt ~ N 0, σ v2 ， i .i .d .. (3.2). (. ). (3.3). (. ). (3.4). Φ ( L ) Ct = et ， et ~ N 0, σ e2 ， i .i .d .. = dt dt −1 + wt，wt ~ N 0, σ w2 ，. 其中觀測值( Yt )包含了隨機趨勢項( Tt )和平穩循環項( Ct )，且 Φ ( L ) = 1 − φ1 L − φ2 L2。若 σ v 不為 0 且 σ w 為 0，則(3.2)式會是一個隨機漫步過程再加上一固定常數的漂移項( d 0 )；若 σ v 較大，則(3.2)式會比較不平滑；若 σ v 、 σ w 皆為 0，則(3.2)式為 12.

(18) 一般的線性趨勢模型( = Tt td 0 + T0 )。因此(3.1)式－(3.4)式包含了許多可能出現的情況。. 狀態空間表示法：測量方程式：.  Tt  C  yt = [1 1 0 0]  t  ， Ct −1     dt  轉移方程式：. 立. 1   Tt −1   vt  0   Ct −1   et  ， + 0  Ct − 2   0      1   dt −1   wt . ‧. ‧ 國. 1 0 0 0 φ φ 1 2  0 1 0  0 0 0. 學.  Tt  C   t  = Ct −1     dt . 政治大. y. Nat. sit. 將(3.1)式－(3.4)式表示成狀態空間模型後，再使用卡爾曼濾波器估計參數，. n. al. er. io. 進而得到最大概似估計量。Clark 在工業生產指數的月資料分析中發現趨勢項是. i n U. v. 比較平滑的，而非隨機，且有充分的證據顯示觀測值( Yt )的總變異應該平均的分. Ch. engchi. 配給平滑的趨勢項跟平穩的循環項。在美國國民生產毛額(Real GNP)的季資料分析中可以得知趨勢項隨著時間的增加會相對的變平滑，在美國國民生產毛額的資料分析裡無法將觀測值( Yt )的總變異精確的分配給趨勢項和循環項。. 1986 年，Clark[1]分析美國實質 GNP 的季資料，爾後 Kim 和 Nelson[4]延續使用 Clark 所提出的模型，為上述的(3.1)式－(3.3)式，用來分析 1952：II－1995： III 的美國實質國內生產毛額(Real GDP)的季資料。因美國在 1970 及 1980 年代期間，面臨到生產力和勞動力兩者成長率下降的現象，因此(3.4)式中的漂移項( dt ). 13.

(19) 一樣繼續使用 Clark 所提出的模型，是一個隨機漫步過程。為了讓資料更具有較佳的解釋性，因此對實質 GDP 做對數轉換(logarithm transformation)。. 關於 Nelson 和 Plosser 與 Clark 的討論，可以參考 Kim 和 Nelson[4]一書。. 本研究將 1952：II－1995：III 的美國實質國內生產毛額(Real GDP)季資料做一模擬研究，其中模型也延續使用 Clark[1]的模型：(3.1)式－(3.4)式。此處需要估計的參數共有 5 個： θ = (φ、 1 φ、 2 σ、 v σ、 e σ w ) 。將(3.1)式－(3.4)式寫成狀態空間. 政治大估計出的最大概似估計量也會有所不同，以下是使用兩種不同的初始值得到的結立模型後，在使用卡爾曼濾波器時須先設定參數的初始值，因初始值給定的不同，. ‧ 國. 學. 果。. (1)第一組初始值設定：. ‧. (φ1、φ2、σ v、σ e、σ w ) = ( 0.5、0.5、0.0003253、0.0003551、0.0007169 ). y. Nat. al. 1.2610 -0.4717 0.8597 0.0810 0.1946 106.6577. n. φ1 φ2. 估計量. σv σe. Ch. engchi. σw. Log likelihood. er. io. 參數. sit. 表(一)：Real GDP 參數最大概似估計量(1952：II－1995：III). i n U. v. 表(一)列出參數的最大概似估計量，由表中可以得到 σ v > σ e ，因此在這組初始值設定下，觀測值的變異主要是分配給隨機趨勢項，而非平穩循環項。圖(一)，圖(二)分別為取對數後的實質 GDP 和其隨機趨勢項，和實質 GDP 的平穩循環項。圖(一)為取對數後的實質 GDP 與其隨機趨勢項，可以看出隨機趨勢項的值和取對數後實質 GDP 的值很接近，且在一些轉折處，像是 1953：III－1954：I，實質 14.

(20) GDP 有些許的下滑，隨機趨勢項仍可以準確的知道實質 GDP 的走向。圖(二)為取對數後實質 GDP 的平穩循環項，因為初始值設定的關係導致前幾期的循環值跳動很大，經過時間的拉長，循環值呈現出小幅度的震盪，因此變異也會慢慢變小。. 圖(一)：取對數後的實質 GDP 與其隨機趨勢項. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. 圖(二)：取對數後實質 GDP 的平穩循環項. n. al. Ch. engchi. 15. i n U. v.

(21) (2)第二組初始值設定：. σ w ) (1.1、 − 0.3、 0.0003253、 0.0003551、 0.0007169 ) (φ1、φ2、σ v、σ e、= 表(二)：美國 Real GDP 參數最大概似估計量(1952：II－1995：III) 參數. 估計量. φ1 φ2. 1.1001 -0.2988 0.0032 0.0045 0.0196 109.9516. σv σe σw. Log likelihood. 政治大相較於第一組初始值，第二組初始值只改變前兩個參數 φ 和 φ ，表(二)列出立 1. 2. ‧ 國. 學. 在第二組初始值設定下所得到的參數最大概似估計量。由表中可以知道此處的. σ v < σ e ，因此在這組初始值下進行估計會得到實質 GDP 的變異主要分配給平穩. ‧. 循環項，而非隨機循環項的結果。圖(三)，圖(四)分別為取對數後實質 GDP 和其. sit. y. Nat. 隨機趨勢項，和取對數後實質 GDP 的平穩循環項。圖(三)看出前期的隨機趨勢. io. er. 項的值明顯偏離實質 GDP，因此前期的隨機趨勢項無法準確知道實質 GDP 的走向。圖(四)為取對數後的平穩循環項，前幾期平穩循環項的值因為初始值設定的. al. n. v i n Ch 關係跳動較明顯，但隨著時間增加，循環項的值漸漸趨近於 0，變異也慢慢變小。 engchi U. 比較表(一)及表(二)，因為表(二) Log likelihood 的值較大，因此相較於第一組的初始值，第二組初始值為較佳的初始值設定。. 16.

(22) 圖(三)：取對數後的實質 GDP 與其隨機趨勢項. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖(四)：取對數後實質 GDP 的平穩循環項. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 從上述的研究模擬發現隨著初始值設定的不同，得到的結果也會不同。在第一組的初始值設定所得到的估計量可以得知實質 GDP 的變異主要來自隨機趨勢項(因 σ v > σ e )；在第二組初始值的設定下所得到的估計量可以知道實質 GDP 的 17.

(23) 變異主要來自平穩循環項(因 σ v < σ e )。因此在美國實質國內生產毛額(Real GDP) 資料下，並無法明確的將變異分配在隨機趨勢項或是平穩循環項，這和 Clark[1] 所提出的結論相互呼應。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 18. i n U. v.

(24) 第四章實證研究第一節資料來源與說明. 本研究共選取了三筆不同的資料，分別是美國的國內生產毛額(Real GDP)、西德州中級(West Texas Intermediate 或 WTI)原油價格，和國際黃金價格。. 一、資料來源. 政治大 Analysis 或 BEA)取得。立. (1)美國國內生產毛額(Real GDP)：從美國經濟分析局(Bureau of Economic. (2)西德州中級原油價格(WTI Crude Oil)：從美國能源資訊局(Energy. ‧ 國. 學. Information Administration 或 EIA)取得。. er. io. sit. y. Nat. 二、資料說明. ‧. (3)國際黃金價格：取自 IndexMundi 網站。. (1)美國國內生產毛額(Real GDP)：研究期間從 1947 年第一季到 2014 年第一季的. n. al. 季資料，共 269 筆資料。. Ch. engchi. i n U. v. (2)西德州中級原油價格(WTI oil price)：研究期間從 1986 年 1 月到 2014 年 2 月的月資料，共 338 筆資料。 (3)國際黃金價格：研究期間從 1984 年 4 月到 2014 年 2 月的月資料，共 359 筆資料。. 此處三筆資料都以美元為計價單位，分別將這三筆資料做對數轉換 (logarithm transformation)，通常會對總體經濟資料，或是財務型資料的初步處理上會對資料做對數轉換，目的是在資料進行轉換後會具有較佳的解釋性。. 19.

(25) 第二節實證結果. 本研究採用 1987 年 Clark[1]文中所使用的單變量模型，模型為下述(4.2.1)式－(4.2.4)式： y= st + ct， t. (4.2.1). (. i .i .d .. ). st = dt −1 + st −1 + vt , vt  N 0, σ v2 ，. (. i .i .d .. (4.2.2). ). ct =φ1ct −1 + φ2 ct − 2 + et , et  N 0, σ e2 ，. (4.2.3). 政治大 y : 資料觀測值； s : 隨機趨勢項；立 c : 平穩循環項； d : 漂移項。 (. i .i .d .. ). = dt dt −1 + wt , wt  N 0, σ w2 ， t. t. t. 學. ‧ 國. t. (4.2.4). 分別將三筆經濟資料表示成隨機趨勢項和平穩循環項的線性組合，見方程式. ‧. (4.2.1)，隨機趨勢項為 AR(1)再加上一漂移項，見(4.2.2)式；平穩循環項是一 AR(2). sit er. al. n. 測量方程式：. io. 狀態空間表示法：. y. Nat. 模型，見(4.2.3)式；漂移項為一個隨機漫步過程，見(4.2.4)式。.  st  c  yt = [1 1 0 0]  t  ， ct −1     dt . Ch. engchi. 轉移方程式：.  st  c   t  = ct −1     dt . 1 0 0 0 φ φ 1 2  0 1 0  0 0 0. 1   st −1   vt  0   ct −1   et  ， + 0   ct − 2   0      1   dt −1   wt . 此模型預估計的參數： θ = (φ、 1 φ、 2 σ、 v σ、 e σw )。 20. i n U. v.

(26) 由模型可以看出觀測值的變異來自隨機趨勢項和平穩循環項，從參數 σ v2 和. σ e2 的估計值大小可以知道觀測值的變異主要來自何處，若 σ v2 > σ e2 ，則觀測值變異主要來自隨機趨勢項；若 σ v2 < σ e2 ，則平穩循環項的變異主要佔了觀測值變異的大部分；但也有可能兩者的變異相差不大，因此無法明確知道觀測值的變異主要來自哪一項。在使用卡爾曼濾波器時，須先給定未知變數一適當的初始值，因此我們嘗試幾組初始值，每次估計時會有一概似函數值，再從得到的概似函數值中挑選出最大的那一組為最適當的初始值。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i n U. v.

(27) (一)、美國國內生產毛額(Real GDP) 本研究將 Kim 和 Nelson[4]一書中美國實質 GDP 的研究時間向前延長至 1947 年第一季和向後延長至 2014 年第一季，因為時間拉長，所得到的結果和 Kim 和 Nelson 的實例結果並不相似。在計算概似函數值時，須先給定一些初始值，再從這些初始值挑出一組使得概似函數值達到最大。. 初始值給定：.  st  0  c  0  t   未知狀態變數向量的初始值為：   ， ct −1  0      0   dt . 立. 政治大. n. a. l C1、0.0001) ， σ v : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.00. hengchi. y. er. io. 其中 σ v 、 σ e 、 σ w 的初始值分別為以下 5 個常數：. sit. Nat. 參數 θ 的初始值為：( φ1 = 0.5 、 φ2 = 0.5 、 σ v 、 σ e 、 σ w )，. ‧. ‧ 國. 學. 0 0  0.01 0  0 0.01 0 0   狀態變數的共變異數的初始值為：，  0 0 0.01 0    0 0 0.01  0. i n U. v. σ e : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) ，. σ w : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) ，. 此處讓未知狀態變數向量、其共變異數、參數 φ1 和 φ2 初始值固定，只變動 σ v 、. σ e 和 σ w 的初始值，因此共會得到 125 個概似函數值，在從這 125 個概似函數值中取出最大的概似函數值，相對應的參數設定值為最恰當的初始值，最後較適當的參數初始值 θ 0 = ( φ1 = 0.5、φ2 = 0.5、σ v = 0.0001、σ e = 0.0001、σ w = 0.01 )。 22.

(28) 表(三)列出模型中未知參數的估計量，可以看到 σ v > σ e 且 σ e2 幾乎為零，表示在觀測值的變異中，隨機趨勢項的變異佔了絕大部分，因此可以知道實質 GDP 的變異主要來自隨機趨勢項。. 表(三)：美國國內生產毛額(Real GDP)的未知參數估計量(1947 : I－2014 : I) 參數. 估計量. φ1 φ2. 0.5166 0.4668 0.0022 0.0009 0.0203. σv σe σw. 立. Log likelihood. 政治大 114.0093. ‧ 國. 學. 圖(五)至圖(七)分別為實質 GDP 時間序列圖、實質 GDP 與隨機趨勢項圖，. ‧. 和實質 GDP 的平穩循環項圖。圖(五)實質 GDP 時間序列圖可以知道隨著經濟的. sit. y. Nat. 發展，美國國人的國內生產毛額也隨著增加，雖然期間伴隨著些許的重大金融風. io. er. 暴，但整體上實質 GDP 仍是呈現上升的現象。圖(六)實質 GDP 與其隨機趨勢項圖，因為初始值的關係導致前幾期的隨機趨勢項明顯的與實質 GDP 有落差，因. al. n. v i n Ch 此前幾期隨機趨勢項無法有效的知道實質的變動傾向，但隨著時間的增加， e n g GDP chi U 隨機趨勢項越來越接近實質 GDP，與實質 GDP 的差距越來越小，因此比較能知道實質 GDP 的變動方向。圖(七)是實質 GDP 的平穩循環項圖，也因為初始值的原故，使得前幾期平穩循環項有劇烈跳動的現象，變異較大。由圖(六)、圖(七) 也可以知道隨著時間的增加，平穩循環項的變異在實質 GDP 變異中所佔據的比例應會越來越少，也從得到的估計量值中驗證了這個現象。. 23.

(29) 圖(五)：取對數後的實質 GDP 時間序列圖(1947：I－2014：I). 9 8 6. 7. Log( Real GDP ). Time series plot of log real G. 1950. 立. 政治大. 1960. 1970. 1980. 1990. 2000. 2010. Time. ‧. ‧ 國. 學. 圖(六)：取對數後的實質 GDP 和其隨機趨勢項. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 24. i n U. v.

(30) 圖(七)：取對數後實質 GDP 平穩循環項. 立. 政治大. ‧ 國. 學 ‧. (二)、西德州中級原油價格(WTI oil price). y. Nat. 在計算概似函數值時，須先給定一些初始值，再從這些初始值中挑出一組使. n. al. er. io. 初始值給定：. sit. 得概似函數值達到最大，則這一組參數設定值為較適當的初始值。. Ch.  st  0  c  0  t   未知狀態變數的初始值為：   ， ct −1  0      0   dt . engchi. i n U. v. 0 0  0.01 0  0 0.01 0 0   狀態變數共變異數的初始值為：  0 0 0.01 0    0 0 0.01  0 參數 θ 的初始值為：( φ1 = 0.5 、 φ2 = 0.5 、 σ v 、 σ e 、 σ w )，其中 σ v 、 σ e 、 σ w 分別為以下的 5 個常數：. σ v : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) ， 25.

(31) σ e : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) ，. σ w : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) 。. 此處固定未知狀態變數、狀態變數的共變異數、參數 φ1 ，和 φ2 的初始值，只讓 σ v 、 σ e ，和 σ w 變動，因此總共會得到 125 個概似函數值，從這 125 個概似函數值中找出最大概似函數值，其相對應的參數設定值為較適當的初始值。最終最大概似函數值取完對數後為 −45.19307 ，其最大概似函數值相對應的參數設定值為 θ = ( φ1 = 0.5 、 φ2 = 0.5 、 σ v = 0.01 、 σ e = 0.01 、 σ w = 0.0001 )。表(四)列出了. 治政大在模型中未知參數的估計量，可以觀察到 σ > σ ，隨機趨勢項的變異佔了觀測立 v. e. 值變異的大部分，且兩者變異的差距有些距離，因此可以知道 WTI 原油價格的. ‧ 國. 學. 變異主要來自隨機趨勢項，非平穩循環項。. ‧. n. al. 0.5000 0.5001 0.0116 0.0085 0.0002 -45.1931. σv. σe σw. Ch. engchi. Log likelihood. sit. io. φ1 φ2. 估計值. er. 參數. y. Nat. 表(四)：WTI 原油價格的未知參數估計量(1986 : 1 月－2014 : 2 月). i n U. v. 圖(八)至圖(十)WTI 原油價格、WTI 原油價格與其隨機趨勢項，和 WTI 的平穩循環項。由圖(八)的時間序列圖看得出 WTI 原油價格變動的相當劇烈，在 2000 年之前，油價大致上維持在一水準間，除了 1990 年的波斯灣戰爭使得原油短缺，因此油價一度攀升；2000 年之後，由於能源耗竭為機，油價呈現一上漲的傾向，儘管期間有一些波動但總體上油價仍在一上漲的趨勢，在 2007-2008 年的金融海嘯期間，油價更來到最高點。圖(九)為取對數後的 WTI原油價格與其隨機趨勢項， 26.

(32) 在前幾期的隨機趨勢項和原油價格明顯的有落差是因為初始值設定的關係，表示前幾期的隨機趨勢項無法明確的知道油價的變動趨勢，爾後的隨機趨勢項和油價的差距看似保持在一定的範圍裡，但也發現隨機趨勢項一直都在 WTI 原油價格的底下，因此在油價下跌的時期，隨機趨勢項下跌的值會比實際值還要來的小，例如：在 2007-2008 年金融海嘯後油價開始下跌，在油價的最低點時，可以看到隨機趨勢項的值比真實原油價格更來的低；且隨機趨勢項在上漲跟下跌的時間都會筆 WTI 原油價格上漲跟下跌的時間來的慢一些，例如：在 1990 年因波斯灣戰爭使的油價飆漲，但在油價上漲到最高點時，隨機趨勢項卻還沒來到最高點。圖. 政治大環項變動十分劇烈，隨著時間增加，循環項在循環項平均的附近小幅度的震盪，立. (十)是取對數後 WTI 原油價格的平穩循環項，因為初始值的原因使得前幾期的循. 變異也慢慢變小。圖(九)、圖(十)也可以看出隨機趨勢項與平穩循環項的變異大. ‧ 國. 學. 小，雖然循環項一開始劇烈的跳動，但隨著時間的增加可以知道平穩循環項的變. ‧. 異佔 WTI 原油價格的變異應會越來越少。. y. Nat. Time series plot of log WTI o. 4.5. engchi. v. 3.0. 3.5. 4.0. Ch. i n U. 2.5. Log( WTI Oil Price ). n. al. er. io. sit. 圖(八)：取對數後的 WTI 原油價格時間序列圖(1986：1 月－2014：2 月). 1985. 1990. 1995. 2000 Time. 27. 2005. 2010. 2015.

(33) 圖(九)：取對數後的 WTI 原油價格和其隨機趨勢項. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖(十)：取對數後的 WTI 原油價格平穩循環項. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 28. i n U. v.

(34) (三)、國際黃金價格在計算概似函數值時，須先給定一些初始值，再從這些初始值中挑出一組使得概似函數值達到最大，則這一組參數設定值為較適當的初始值。初始值給定：.  st  0  c  0  t   未知狀態變數的初始值為：   ， ct −1  0      0   dt  0 0  0.01 0  0 0.01 0 0   狀態變數共變異數的初始值為：  0 0 0.01 0    0 0 0.01  0. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 參數 θ 的初始值為：( φ1 = 0.5 、 φ2 = 0.5 、 σ v 、 σ e 、 σ w )，其中 σ v 、 σ e 、 σ w 的初始值分別為底下的 5 個常數：. ‧. σ v : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) ，. y. Nat. n. Ch. engchi. er. io. a l0.001、0.0001) 。 σ w : ( 0.1、 0.01、 0.005、. sit. σ e : ( 0.1、 0.01、 0.005、 0.001、 0.0001) ，. i n U. v. 在這裡我們固定未知狀態變數、狀態變數共變異數、參數 φ1，和 φ2 的初始值，只讓其餘的參數 σ v 、 σ e ，和 σ w 變動，所以共會得到 125 個概似函數值，再從這 125 個概似函數值中找出最大概似函數值，其相對應的參數 σ v 、σ e ，和 σ w 為最佳的初始值。最終最大概似函數值為 100.9653 ，與最大概似函數值相對應的參數設定值為 θ = ( φ1 = 0.5 、 φ2 = 0.5 、 σ v = 0.1 、 σ e = 0.01 、 σ w = 0.001 )，因此讓這組參數設定值為初始值。表(五)列出國際黃金價格模型中未知參數的估計量，從表中可以得到 σ v > σ e ，隨 29.

(35) 機趨勢項的變異佔了觀測值總變異很大的部分，且兩者的差異有點大，因此國際黃金價格的主要變異來自隨機趨勢項，非平穩循環項。. 表(五)：國際黃金價格未知參數估計量(1984：4 月－2014：2 月) 參數. 估計值. φ1 φ2. 0.5000 0.5001 0.1011 0.0100 0.0027 100.6563. σv. σe σw. Log likelihood. 立. 政治大. 圖(十一)至圖(十三)分別為國際黃金價格時間序列圖、國際黃金價格與其隨. ‧ 國. 學. 機趨勢項圖、和國際黃金價格的平穩循環項圖。由圖(十一)的時間序列圖可以發現國際黃金價格的變動十分劇烈，在 2000 年之前黃金價格雖然時高時低，但還. ‧. 可以看出國際黃金價格仍維持在一水平；2000 年後，黃金價格一直處於一個上. Nat. sit. y. 漲的狀態，到了 2005 年後因美國政府的赤字有越來越嚴重的現象，因此投資者. n. al. er. io. 會傾向將錢投入國際黃金市場，於是黃金價格上漲的現象越發明顯，上漲的幅度. i n U. v. 也增加許多。圖(十二)為取對數後的黃金價格和其隨機趨勢項，前幾期的隨機趨. Ch. engchi. 勢項變動劇烈的原因是因為初始值設定的關係，隨著時間增加，隨機趨勢項的值和黃金價格仍有一些微的差距，但這差距有慢慢的減少，雖然隨機趨勢項仍有跟著黃金價格的波動而波動，但波動後的隨機趨勢項值明顯比波動後的黃金價格小上許多。圖(十三)為取對數後黃金價格的平穩循環項，因為初始值設定的原故，使得前幾期的循環項變動非常劇烈，但隨著時間的增加，循環項漸漸趨近於一固定值，劇烈變動的現象慢慢趨緩，變異也變比較小。圖(十二)、圖(十三)也可以看出隨機趨勢項和平穩循環項兩者變異的大小，雖然循環項一開始變動比較劇烈，但隨著時間增加，變動的現象也較不明顯，因此循環項的變異也慢慢變小；反之，相對於平穩循環項，隨機趨勢項的變動起伏一直都較明顯，並沒有隨著時間的增 30.

(36) 加而減緩，因此變異並沒有變小。圖(七)：取對數後的國際黃金價格時間序列圖(1984：4 月－2014：2 月). 7.0 6.5 6.0. Log( Gold Price ). 7.5. Time series plot of log gold p. 1985. 1990. 1995. 2000. 2005. 學. ‧ 國. 5.5. 立. 政治大 2010. 2015. Time. ‧ y. Nat. n. al. er. io. sit. 圖(八)：取對數後的國際黃金價格和其隨機趨勢項. Ch. engchi. 31. i n U. v.

(37) 圖(九)：國際黃金價格的平穩循環項. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 32. i n U. v.

(38) 第五章結論與建議第一節重要結論. 利用狀態空間模型表示時間序列模型，利用狀態空間模型將觀測值和未知狀態變數做連結，以及描述未知狀態變數的變動情形，構成模型。將模型用狀態空間模型表示完後，再使用卡爾曼濾波器，以最大概似估計法估計參數，經過一連串的數學遞迴式得到最佳的參數估計量。本論文使用 Clark[1]所提出的模型分別去分析三筆經濟資料。. 立. 政治大. 一、美國實質國內生產毛額(Real GDP)：. ‧ 國. 學. 同 Kim 和 Nelson 研究分析的資料相同，但不同的是資料時間的長短，本論文將. ‧. 資料研究期間前後拉長至 1947 年第一季和 2014 年第一季，所得到的結果也不相. y. Nat. 同。在 Kim 和 Nelson 分析的結論裡觀測值的變異主要來自平穩循環項，但隨機. er. io. sit. 趨勢項的變異和平穩循環項的變異差距並不大，這和 Nelson 與 Plosser 所得到的分析結論不同。將資料時間拉長至 1947 年第一季和 2014 年第一季後所得到的分. al. n. v i n 析結果和 Kim 與 Nelson 分析的結果相反，從分析的結果得知觀測值的變異主要 Ch engchi U 源自隨機趨勢項，且隨機趨勢項和平穩循環項的變異差距較大，這個資料期間的分析結果和 Nelson 與 Plosser 的分析結論一致。. 二、西德州中級原油價格(WTI Crude Oil)： WTI 原油價格在 2000 年之前維持在一水平間，雖然在 1990 年原油價格大幅上漲，但 1990 年結束後油價又回到水平；WTI 原油價格在 2000 年過後就一直處於上升的狀態，但期間價格有時暴跌有時暴漲，價格震盪非常劇烈，且隨機趨勢項跟著原油價格呈現大幅度的波動，雖然隨機趨勢項並沒有及時隨著原油價格變動而改變，但在 WTI 原油價格資料分析中得到觀測值的變異主要源自隨機趨勢 33.

(39) 項，而非平穩循環項，兩者的差距約為 0.0031，差異並不是很明顯。三、國際黃金價格：在 2000 年以前，國際黃金價格一直在一水準間來回波動；2000 年之後便呈現一上升的趨勢，在 2005 年因為美國政府財政赤字日益嚴重，導致美元在國際市場間走弱，因此投資者傾向將資金投入國際黃金市場，因此使得黃金價格持續上漲，在國際黃金價格資料分析裡知道觀測值的變異主要來自隨機趨勢項，而不是平穩循環項，且兩者的差距約為 0.0911，兩者差異有點明顯。. 政治大 Nelson 與 Plosser 的分析結論是一致的，在觀測值中的總變異來源主要是源自隨立. 在西德州中級原油價格和國際黃金價格這兩筆資料裡，所得到的分析結果和. 學 sit. io. er. Nat. 第二節建議與討論. y. 剩下的變異分配給平穩循環項。. ‧. ‧ 國. 機趨勢項，而非平穩循環項，因此應將觀測值的變異主要分配隨機趨勢項，再將. 1. 在美國實質 GDP、WTI 原油價格，和國際黃金價格三筆資料中，都使用同一. al. n. v i n 個模型來估計未知參數和分析，可能會散失些許資料裡隱藏的訊息。也許可以 Ch engchi U. 先從基本的資料分析中去找出一些較恰當的模型，根據一些選模準則，例如： AIC、 SBC 等等，從其中挑選出一個最佳的模型. 2. 在第四章第二節的實證結果中，依序將三筆資料分析中所得到的參數收斂值當成初始值，代入模型中再次進行估計，所得到的結果並不一定較好。在美國實質 GDP，和 WTI 原油價格資料所得的分析結果反而比代入原先的初始值所得到的分析結果還差；但在國際黃金價格中，若將參數的收斂值當初始值在代入模型進行估計後，所得到的估計結果會比原先初始值所得的分析結果還來的好。 34.

(40) 參考文獻. 1. CLARK, Peter K. The cyclical component of US economic activity. The Quarterly Journal of Economics, 1987, 797-814.. 2. HARVEY, A. C. Time Series Models. 1981.. 3. KALMAN, Rudolph Emil. A new approach to linear filtering and prediction. 政治大. problems. Journal of Fluids Engineering, 1960, 82.1: 35-45.. 立. ‧ 國. 學. 4. KIM, Chang-Jin; NELSON, Charles R. State-space models with regime switching. Cambridge, Mass, 1999.. ‧ sit. y. Nat. 5. NELSON, Charles R.; PLOSSER, Charles R. Trends and random walks in. n. al. er. io. macroeconmic time series: some evidence and implications. Journal of monetary economics, 1982, 10.2: 139-162.. Ch. engchi. i n U. v. 6. WELCH, Greg; BISHOP, Gary. An introduction to the Kalman filter. 1995.. 35.

(41)