95
物理教育學刊
2009, 第十卷第一期, 95-116
Chinese Physics Education 2009, 10(1), 95-116
「重力」教學的困境與突破
陳瓊森
1顧炳宏
2楊孟欣
1邱
儀
1 1 國立彰化師範大學 物理系 2 國立彰化師範大學 科學教育研究所壹、「重力」教學的困境突破
牛頓運動定律和萬有引力(重力)構成力 學的兩個主要部份，牛頓運動定律在日常生 活中就很容易觀測，也就比較容易設計教學 所需的實驗或活動，但萬有引力僅在至少其 中一個作用體為星體時才容易觀測到，因此 「重力」(gravity)單元缺乏實驗或活動，一般 物理教科書在「重力」這一章，通常只能整 理結果地敘述和說明萬有引力定律與刻普勒 定律的內容，因而使得高中和大學物理教師 通常也只能用採用傳統講述法來教這一章， 很難設計出實驗或活動，這使得「重力」這 一章，不管是對教師的教學，或是對學生的 學習而言，都屬於物理課程裡很沒趣的一章。貳、從科學史尋找「重力」的真實
例子來突破教學的困境
但如果我們在力學的科學史多下一些功 夫，回顧牛頓發展的萬有引力定律過程，就 可以發現萬有引力並不是孤立的，更不是牛 頓坐在蘋果樹下偶然發現的，它是無數人血 汗的努力及經驗累積所得來的成果。誠如牛 頓所說的，他是站在巨人的肩膀上。再加上 他的偉大創見，才能成就曠世的偉大發現。 因此，惟有回歸到科學史來探究萬有引力定 律的發展過程，我們才能設計出好的活動， 呈現萬有引力定律的真實例子，也才能夠有 效幫助學生深刻體會萬有引力定律。參、美麗傳說中的物理考題:蘋果
與月亮
有關牛頓的傳說，最為人所津津樂道 的，就是牛頓坐在蘋果樹下，被掉落的蘋果 打到，他從萬物皆會向下(地心)掉落，因而 領悟出地心引力定律(附帶值得一提的是： 「地心引力」乃是很容易讓人誤解的名詞， 比較好的術語是「萬有引力」)，而為了感念 這棵蘋果樹，包括我國在內的很多國家，都 種植了這棵蘋果樹的分支後代。然而針對學 物理的學生來說，這個美麗的傳說應該有一 個更好的說法，那就是牛頓坐在蘋果樹下望 著月亮時，被掉落的蘋果打到，牛頓受到啟 發，因而領悟出「月亮繞著地球旋轉」與「蘋 果以自由落體加速度掉落」，乃是基於同樣的 萬有引力。以上就是學生所要學習有關萬有 引力定律的一個重要的課題，或者可以當成 回家作業，也可以是一個很好的考試題目： 回家作業三、牛頓的第一個問題：根據傳說， 牛頓之所以能夠推導出萬有引力定律，乃是 因為他坐在蘋果樹下望著月亮時，被掉下來 的蘋果打到，受到啟發，因而領悟出「月亮 繞著地球旋轉」與「蘋果以自由落體加速度教學心得
掉落」，乃是基於同樣的萬有引力。請說明牛 頓的推導過程。(Hint:利用陰曆月亮繞地球的 週期 T 為 27.3 天與上題月球和地球的距離為 3.84×108 m 來推導。) 要正確解答以上題目，學生不只要學會 自 由 落 體 加 速 度 g 、 牛 頓 第 二 運 動 定 律 F=ma 、 與 等 速 率 圓 周 運 動 向 心 力
r
v
m
F
2=
，還要知道陰曆月亮繞地球的週期 T 為 27.3 天，以及月球和地球的距離為 3.84×108 m，而其中有些是牛頓先前研究的 結果，有些則是牛頓的前人有關天文學研究 的成果。 以下是上述題目的一個參考解答： Sol: 牛頓思考質量為 m1的蘋果在地球表面 受力做自由落體等加速運動 F1＝m1a1 a1=g1=9.8 m/s 2 質量為 m2的月球繞著地球做等速率圓周運 動 F2＝m2a2 2 2 2 2r
v
a
=
其中r2為月球和地 球的距離，v2為月球的移動速率，其與繞地 球週期T2的關係為 2 2 22
T
r
v
=
π
把 兩 式 子 結 合 ， 牛 頓 發 現 2 2 8 2 2 2 2 2 2 2 0.00272 / ) 3 . 27 24 60 60 ( ) 10 84 . 3 ( 4 4 s m s m T r a g = × × × × = = = π π3600
1
/
80
.
9
/
00272
.
0
2 2 _ _ 1 2=
=
=
s
m
s
m
g
g
g
g
earth at moon at 牛頓再比較60
.
2
10
37
.
6
10
84
.
3
6 8 1 2=
×
×
=
m
m
r
r
牛頓發現 60.2 的平方幾乎等於 3600，因 此他推想： 1. 如果 g 值在地球的表面為 9.8。 2. 如果重力和 g 值隨著距離平方成反比而減 少。 3. 這個重力和 g 值使得月球以 27.3 天的週期 繞著月球做等速率圓周運動 牛頓因而推論出重力與距離平方成反比 的定律 2r
GMm
F
=
＃ 然而光憑著上述蘋果與月亮同受地球之 吸引力而運動的單一例子，並不能說就此「證 明」了萬有引力與距離平方成反比的定律， 牛頓還運用許多前人在天文學上的研究成 果，特別是太陽系裡行星受到太陽之萬有引 力而橢圓週期運動，才能令人信服萬有引力 定律的存在，而這些前人在天文學上的研究 成果，除了幫助牛頓發展萬有引力定律之 外，也是我們設計以下萬有引力定律教學活 動的最好來源。肆、地球為什麼是圓球體
生活在廣大無垠的大地，許多古人都認 為大地是平的，但早在希臘時代，就有學者 證明地球是圓的，並且計算出地球的半徑， 但不知道為什麼中世紀的人包括學者普遍接 受大地是平的說法。 在真正更廣大無垠的大海航行，當可以 開始看到遠方的船時，乃是先看到船的桅而 非一開始就看到整艘船，這證明了地球是圓 的而不是平的。但哥白尼對地球是圓球體的 推論方式，更有助於以下我們對於了解行星 與太陽系的關係，他提出的證據是：越往北 移動，北極星就升得越高；越往南移動，則 越低。伍、地球半徑為何
回家作業一、說明古希臘人如何測量地球的 半徑。(請繪圖說明之) Sol: 以下參考《數理化通俗演義》第三回： 人類第一次測量地球埃拉托色尼認真地講述起來："你知道，離亞 里山大里亞 5000 斯塔迪姆(埃及長度計算單 位)有一個城市叫塞恩，夏至那天，陽光可以 直射到井底，說明光線與塞恩城的地面垂 直，而在我們亞里山大里亞的物體卻有一個 短短的影子。我就拿這一根竹竿在亞里山大 里亞廣場上這麼一立，就能算出這兩個城市 與地球球所形成的夾角，再一量這兩個城市 間的距離…" "...就能推出地球的周長。妙！妙！"整天研 究三角、圓弧的阿基米德心有靈犀，一點就 通。他不等埃拉托色尼說完就著急地問：" 夾角多大？" "7 又 1/5 度。" "距離多少？" "五千斯塔 迪姆。" "呵，地球周長 25 萬斯塔迪姆。" 阿基米傳 說的這個數字合四萬公里，與我們近代測得 數字僅差一百公里。 回家作業二、說明古人如何測量出月球和地 球的距離為 3.84×108 m。 Sol: 參考圖 1，如果從地球上 A 點看，月球 S 剛好在地平線上，而同時從地球上 B 點 看，月球剛好在天頂處，這個夾角就叫做月 球 S 的地平視差，月球的平均赤道地平視差 是 57'02.6"，運用上題的地球半徑，就可以 算出月球和地球的距離約為 3.84×108 m。再 利用圖中的月球視半徑，可以算出地球的半 徑。
陸、行星與恆星的差別
現在，連小學生對行星與恆星的差別都 能朗朗上口，可是卻很少人真正好好地觀測 過星星。回顧科學史，要分別行星與恆星的 不同，乃是要許多先賢無數努力的才能成就 的，而其成果，不只推翻地球是宇宙中心且 證明地球與行星繞著太陽旋轉，也間接促成 牛頓發現萬有引力定律，如果不了解這些， 那麼就算會說出行星與恆星的差別，也只是 人云亦云的背誦而已。 現代由於光害的普遍，學生很難有機會 欣賞滿天星斗的美麗景像，如果能安排一次 的高山遊樂區之旅，就能帶領學生到達無光 害的欣賞星星，如果欣賞的時間稍為長些， 就能有初步的觀測，至少觀察到隨著時間一 秒一分一小時的過去，天上的星星絕大部份 都是繞著北極星在旋轉，好像不是繞著地球 在旋轉。如果沒有機會帶學生觀測星星，至 少可以帶學生上網站欣賞星星，例如維基百 科的北極星條目下就可以欣賞到星星繞著北 極星旋轉。進一步的體會則是星座。 圖 1但天空上最特別的星星，除了太陽與月 亮之外，那就是行星了。天上就只有少數幾 顆星星，不像絕大部份星星那樣繞著北極星 在旋轉，他們的行進路徑非常複雜，當然還 是要等到伽利略發明望遠鏡之後，人們才能 夠更仔細地觀測這些特別的星星，也才能進 一步分析其行進的路徑。圖 2 是 Tycho Brahe 非常仔細地觀察一顆行星之後所繪出的路徑 圖，注意圖 2 中呈現的是不同日期大約同一 時辰的星星位置圖，因此一般星星的位置是 靜止的，而行星卻沿著非常複雜的路徑前 進。Tycho Brahe 還沒有時間分析這些資料就 過世了，這個任務就留給他的助手刻普勒 (Johannes Kepler)經過多年的分析後，發展出 刻普勒三大行星運動定律。這才給了之後的 牛頓能有良好的基礎來用理論和數學發展他 的萬有引力定律。 圖 2 行星行進的複雜的路徑其實就是數 學上所稱的外擺線(epicycloid)，我們可以在 一個大馬達上裝一個大轉盤，在大轉盤的邊 緣上，再裝上一個小馬達裝小大轉盤的子系 統，讓學生觀察小轉盤邊緣上一點的行進路 線，那就是外擺線。外擺線是由兩個旋轉的 系統所形成，這意味著我們觀測到以外擺線 行進的行星，可能就是兩個旋轉的系統所形 成的，學生也因此而比較能體會，前人如何 能從行星以外擺線行進的數據，推導出從地 球在自轉，而行星則是繞著太陽在旋轉。 等到伽利略發明望遠鏡後，其實就更容 易直接看出行星與恆星的差別。只要有一個 簡單的低倍率望遠鏡，就可以讓學生觀察到 月亮表面的凹凸不平而非光滑如鏡，也可以 直接觀察行星與恆星的差別：與肉眼觀察來 比較，透過望遠鏡觀察，行星變大了，而其 它的星星則還是一樣是一個「點」。除此之 外，也很容易觀察到木星有衛星，以及金星 和月亮一 樣 有周期性 的 圓缺變化( 位相變 化)。此時我們就可以要學生分組討論：為什 圖 2
麼用望遠鏡來看，行星變大了，而其它的星 星則還是一樣是一個「點」？當然其原因乃 是行星距離我們比較近，而其它的星星(非行 星)雖然比較大，但距我們比較遠，其遠的程 度遠大於其大的程度，因此在望遠鏡中看起 來還是一樣是一個「點」。另外一個小組討論 的題目，則是關於伽利略發明望遠鏡後，如 何把他觀測到金星的(圓缺)位相變化，作為 證明哥白尼的日心說的有力證據？
柒、牛頓的第二個問題
牛頓推導出萬有引力定律與距離平方成 反比後，並沒有很快出版他的成果，而是在 22 年後才在他偉大的曠世鉅作 Mathematical Principles of Natural Philosophy 一書中才出 現，因為原先他不知道如何解決「質點與一 個星球之間的萬有引力等於星球所有的質量 都集中在其質心」的問題。試證球殼在球殼 外產生位能的作用等於所有質量都集中在球 心。再進一步推演球殼在球殼外產生之重力 等於所有質量都集中在球心，以及球體在球 體外產生之重力等於所有質量都集中在球 心。捌、橢圓的學習活動
在本文的最後部份，我們將探討如何幫 助學生學習牛頓要處理的第三個問題：在橢 圓軌道上運動之行星，乃是受到與距離平方 成反比的萬有引力定律的作用。要探討這個 問題，學生必須對橢圓有相當深入的理解。 雖然學生在高中數學課會學到橢圓，但其學 習過程很少是以活動為主，在大一普通物理 的課堂裡，我們發現學生都只會背誦極少數 有關橢圓的典型公式，很少具備橢圓的程序 性知識，因此需要設計良好的橢圓學習活 動，才能幫助學生學習橢圓軌道的平方反比 定律。 橢圓的學習活動就是要學生從動手繪製 實際的橢圓，再由此進入橢圓的數學世界。 繪製實際橢圓最好的練習之一，就是要每一 小組的學生依實際比例繪製太陽系的內行星 和外行星之軌道圖組各一份，每一位學生至 少繪兩個橢圓，並且在其所繪的橢圓旁簽名。 繪製實際橢圓時，就必須體會橢圓的形 狀可以用叫做橢圓的離心率ε
的一個數來表 達，對於如圖 3 所示有半長軸 a 和半短軸 b 的橢圓，離心率是 2 21
a
b
−
=
ε
，離心率越 大，a 與 b 的比率就越大，因此橢圓被更加 拉長。a
c
=
ε
，如果 c 等於從中心到任一焦 點的距離，則距離 c 叫做橢圓的線性離心 率。在兩個焦點間的距離是 2aε。離心率是 小於 1 大於等於 0 的正數。離心率 0 表示 著兩個焦點重合而這個橢圓是圓。 當學生依實際比例繪製地球繞太陽的橢 圓軌道時，知道若短軸 b=4.0000cm，長軸 a = 4.0006cm，就會發現地球的軌道其實更像一 個圓，也才比較能進一步體會地球春夏秋冬 的冷熱四季變化，主要不是來自於地球與太 陽距離的遠近，例如北半球的夏至反而是地 球運行到遠日點，地球四季冷熱變化，主要 起因於地球自轉軸偏斜所造成之陽光照射角 度的變化所造成的。玖、如何繪製高品質的橢圓
一般常用來繪製橢圓方法，就是取一細 繩長度等於 AB，繩子一端固定於 F1 處，另 一端固定於 F2 處，將筆放在 X 處，拉直細 繩，慢慢移動筆，即可描繪出橢圓。但是這 樣繪製橢圓會有一個問題，那就是筆在通過A、B 兩點時，繩子會被要固定繩兩端的 F1 與 F2 處的釘子卡到，而只要有一些誤差， 起點和終點沒有辦法連接成為完美的橢圓， 就很難進行「橢圓軌道與距離平方成反比之 引力定律」的實驗活動。 因此我們推薦以下方法來幫助學生在一 般實驗室繪製高品質的橢圓：首先取一塊長 方形的木板，以膠帶在木板上貼滿白紙，再 畫出長軸線、短軸線與中心點。 其次取一段大略長度的釣魚線，將其兩 端綁起來打死結，將其撐直以測量此封閉曲 線的長度為 2L，要以此封閉曲線來繪製高品 質的橢圓，則 2L=2a+2
ε
a (Why?)，先決定 你要的離心率ε
，即可計算半長軸 a 與焦點 和中心的距離ε
a。 用兩個長腳圖釘分別固定在兩個焦點 上，其座標位置分別為(+ε
a, 0)與(-ε
a, 0)。 把準備好的總長度 2L 的封閉釣魚曲線環繞 兩個長腳圖釘，再以一支鉛筆用力撐直封閉 釣魚曲線以繪製出高品質的橢圓。拾、如何繪出橢圓上任何一點的切線?
學生繪製出高品質的橢圓之後，要進行 「橢圓軌道與距離平方成反比之引力定律」 的實驗活動，必須繪出橢圓上任何一點的切 線，這時就要用到橢圓的第二個作圖的方 法：如圖 4 所示，在以 S 為圓心以 SM 為半 徑的圓內取異於圓心 S 的一點 F，在圓上取 一動點 M ，作 M 與 F 之中垂線，此線與 直線 MO 交於點 P，則 P 點軌跡即為橢 圓！ 我們可以運用上述繪製橢圓的方法來繪 出已知橢圓上任何一點的切線，但如果繪製 以 SM 為半徑的大圓，會使得整個圖形太大 而變得不易準備與處理，因此我們介紹以下 只繪此所須之 M 點即可的方法： 如圖 5 所示，從主焦點 S 畫 SP 線段之 延長線，使其長度為 2a(記得 SP+FP=2a)，設 端點為點 M，畫自點 M 連至另一焦點 F 間 之線段 MF，取線段 MF 之中垂線，此中垂 線會剛好與橢圓交於一點(P 點)，故此中垂線 即為橢圓 P 點之切線。(Why?)\拾壹、「重力」實驗活動:橢圓軌
道與距離平方反比定律
刻普勒運用前人觀測行星的數據整理出 三大行星運動，已經確立行星乃是在橢圓軌 道上運行，牛頓要在這個基礎上發展出與距 M F P S 圖 3 圖 4離平方成反比之萬有引力定律，就必須證明 橢圓軌道與距離平方成反比之萬有引力定律 之間的關係，但用微積分來證明是後來的 事，而通常也要到物理系二年級的理論力學 科才有可以做這方面的數學推導。Jeffrey Prentis 等人(2007)在《The Physics Teacher》 發表的一篇有關橢圓軌道與平方反比定律的 文章，介紹如何運用牛頓的「PQRST 公式」 法，來幫助高中與大一學生學習橢圓軌道與 平方反比定律，以上是我們整理成三小時普 物實驗的活動介紹。
一、實驗簡介
根據傳說，牛頓之所以能夠推導出萬有 引力定律，乃是因為他坐在蘋果樹下望著月 亮時，被掉下來的蘋果打到，受到啟發，因 而領悟出「月亮繞著地球旋轉」與「蘋果以 自由落體加速度掉落」，乃是基於同樣的萬有 引力(與距離平方成反比)。 牛頓推導出萬有引力定律與距離平方成 反比後，並沒有很快出版他的成果，而是在 22 年後，在他偉大的曠世鉅作 Mathematical Principles of Natural Philosophy 一書中才發 表他的成果，因為原先他不知道如何解決「質 點與一個星球之間的萬有引力等於星球所有 的質量都集中在其質心」的問題。 牛頓接下來要處理的第三個問題乃是： 「在橢圓軌道上運動之行星乃是受到與距離 平方成反比的萬有引力定律的作用」的問 題，牛頓的方法稱為「PQRST 公式」(the “PQRST” Formula)：不管任何一種運動軌 道，這個公式都可以藉由線段的測量，就能 找出作用力的大小，不需要用到微積分。 如圖 6 簡示牛頓的「PQRST 公式」。假 設一個行星原來的位置在 P 點，如果沒有受 到太陽 S 的作用力，這個行星就會沿著 PR 線段(橢圓在 P 點的切線)等速直線前進，當 受到位於橢圓軌道焦點位置 S 點之太陽的作 用力，就會沿著橢圓軌道前進到 Q 點。 我們可以把它想像成一個拋體運動類似 的問題：物體水平拋出，若在地面，物體不 受垂直之 y 方向的力，就會在 x 方向等速前 進，若是在空中，物體因為受到 y 方向重力 的作用，前進的軌道就會是向下偏轉的拋物 線軌道。 假設在很短的一段時間∆t內，物體因為 受到來自 S 點方向重力的作用，前進的軌道 就會是向下偏轉距離 2)
(
2
1
a
t
d
=
∆
，其中的 加速度 a 乃是因為受到 F=ma 之力的影響， P M P S F 圖 5 圖 6因此作用力 2
)
(
2
t
md
F
∆
=
。如果不知道 m 的大小，我們可以先寫成 2)
( t
d
F
∆
∝
再根據開普勒第二定律，行星在相同 的時間掃過相同的面積，因此上式就可以 改寫成 2)
( A
d
F
∝
，觀察以上之「PQRST 公 式 」 圖 ， 上 式 可 以 改 寫 成 F 2)
(
SP
QT
QR
F
×
∝
二、實驗要求
(一)如圖 7 以木板的中心做為橢圓的中心， 先繪製一個離心率ε
=0.6 的橢圓，再以 同樣的中心繪製兩個不同離心率的橢 圓。 ( 二 ) 選 擇 其 中 的 一 個 橢 圓 ， 進 行 下 列 「PQRST 公式步驟」： 1.慣性路徑：首先選定行星在橢圓軌道上 原來的位置 P 點，行星在此處受到來自 焦點位置 S 點之太陽的作用力，繪出 P 點的切線(註一)，若行星沒有受到作用 力，會沿切線等速前進。 2.未來位置：選擇在一段短時間∆t後行星 在橢圓軌道上的位置 Q 點。 3.偏移線：從 Q 點繪製與 SP 線段平行的 偏移線，令此偏移線線與 P 點切線的交 點為 R 點，測量偏移線段 QR。 4.時間線：從 Q 點繪製與 SP 線段垂直的 時間線，令其與與 SP 線段的交點為 T 點，測量線段 QT，此即為時間三角形 之高。 5.測量作用力 F：測量並計算行星在 P 點 所受之力 F，其與 2)
(
SP
QT
QR
×
成正比。 6.微積分的極限：在 P 點附近再找其它四 個以上之末位置 Q 點(讓 Q 點愈來愈靠 近 P 點)，重覆上述步驟，以求出數個作 用力 F 與距離 r(即 SP 線段長)的對應 值，觀察 F 值的差別是否愈來愈小，推 圖 7導出當∆t趨近於 0 (即 QÆP)時精確的 作用力 F 與距離 r(即 SP 線段長)的對應 值。 (三)另外在橢圓軌道上找數個不同之原來位 置 P 點，重覆上述步驟二之「PQRST 公 式步驟」，找出數組精確的作用力 F 與距 離 r(即 SP 線段長)的對應值。 (四)運用 Excell 繪製「作用力 F 與距離 r(即 SP 線段長)的關係圖」。並且討論可能的 誤差來源。
三、主要器材：(如表 1)
四、預習內容
1. 橢圓定義：數種不同的橢圓定義與繪製方 法。 2. 橢圓之離心率。 3. 開普勒行星運動三大定律。 4. 牛頓如何推導出「月亮繞著地球旋轉」與 「蘋果以自由落體加速度掉落」，乃是基 於同樣的萬有引力。 (Hint:利用陰曆月亮 繞地球的週期 T 為 27.3 天與上題月球和 地球的距離為 3.84×108 m 來推導。) 註一：如何繪出橢圓上任何一點(P)的切 線？ 從主焦點 S 畫 SP 線段之延長線，使其 長度為 2a(記得 SP+FP=2a)，設端點為點 M，畫自點 M 連至另一焦點 F 間之線段 MF，取線段 MF 之中垂線，此中垂線會剛 好與橢圓交於一點(P 點)，故此中垂線即為 橢圓 P 點之切線。拾貳、結語
牛頓運動定律和萬有引力(重力)構成力 學的兩個主要部份，但萬有引力不易觀測， 因此「重力」單元缺乏實驗或活動，高中和 大學物理教師通常也只能用採用傳統講述法 來教這一章，這使得「重力」這一章，不管 是對教師的教學，或是對學生的學習而言， 都屬於物理課程裡很沒趣的一章。如果我們 在力學的科學史多下一些功夫，回顧牛頓發 展的萬有引力定律過程，就可以發現萬有引 力並不是孤立的，更不是牛頓坐在蘋果樹下 偶然發現的，它是無數人血汗的努力及經驗 累積所得來的成果。 本文介紹數個從科學史改編的萬有引力 定律活動，讓學生有機會實際動手操作與討 論，有如走過一趟精彩的科學旅程，對萬有 引力定律的理解也就更為深入，上課也變得 有趣多了。當然這趟旅程會多少包括哥白尼 主張太陽為中心的宇宙觀的論證過程，對人 類的思維具有非常重要的意涵。 限於篇幅，本文未介紹刻普勒運三大行 星運動定律的教學，但運用同樣的原理，我 們也可以設計一些活動，例如製作一個橢圓 的軌道車軌道，模擬行星繞日運動，調整橢 圓軌道的傾斜角度，造成上坡時減速，坡時 表 1 器材(規格) 數量 器材(規格) 數量 木板 1 圖釘 2 釣魚線 白紙 尺 鉛筆加速，以模擬行星運動，加深學生對橢圓軌 道運行的理解。
參考文獻
1. 梁衡(1985)：數理化通俗演義。新竹：理 藝 2. 蘇明俊(2004)： 93 年 5 月 5 日月全食， 天 文 教 育 雙 月 刊 第 二 期 ， 引 自 http://www.tyhs.edu.tw/campus/AE02.pdf 3. Halliday, Resnick, Walker. (2008)Fundamentals of Physics,8th ed.
4. Prentis. Jeffrey, et. al (2007). Elliptical Orbit
2
/
1 r
⇒
Force. The Physics Teacher, Vol. 45, January.5. Rogers, E.M. (1960). Physics for the inquiring mind: The methods, nature, and philosophy of physical science. Princeton, NJ: Princeton University Press.
