零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計

國

立

交

通

大

學

電機學院 IC 設計產業研發碩士班

碩

士

論

文

零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計

Blind Channel Estimation for Zero-Padding Orthogonal Frequency

Division Multiplexing Systems

研究生：許堯勝

指導教授：吳卓諭 博士

零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計

Blind Channel Estimation for Zero-Padding Orthogonal Frequency

Division Multiplexing Systems

研究生:許堯勝 Student:Yao-Shang Hsu

指導教授:吳卓諭 博士 Advisor:Jwo-Yuh Wu

國立交通大學

電機學院 IC 產業研發碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to College of Electrical and Computer Engineering National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements For the Degree of

Master in

Industrial Technology R & D Master Program on IC Design

July 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計

學生:許堯勝

指導教授:吳卓諭 博士

國立交通大學電機學院產業研發碩士班

摘要

本論文提出一個經由盲蔽判別一個零填補之正交分頻多工系統通道以還原符元的 方法。其判別方式是利用所接收訊號形成的自相關矩陣，計算出其通道係數乘積矩陣， 再對一個由通道係數乘積矩陣所形成的厄米特矩陣作特徵分解。其通道係數向量，即為 此厄米特矩陣經特徵分解後的最大特徵值所對應的特徵向量。所得的特徵向量與真實向 量之間，存在了一個常數倍數的關係。而本文也提出了經由設計訓練符元的方式來得到 真實的系統通道係數向量與計算而得的特徵向量之間的常數倍數。 為了減少通道雜訊對於估計通道準確度的影響，本文提出了利用觀察雜訊子空間與 系統通道係數乘積子空間的相關程度來設計零填補之正交分頻多工系統的最佳週期性 編碼序列。應用了最佳週期性編碼序列計算出通道之後，本篇論文以強制歸零等化器來 還原符元。將實證結果與子空間方法比較後，首先，比起子空間法，本篇論文所提出的 方法在計算上更為簡單。在低訊雜比與低傳送區塊的情況下，得到了較準確的通道估計 與較低的錯誤率。 關鍵詞：正交分頻多工系統、零填補、盲蔽式通道估計、最佳週期性編碼序列

Blind Channel Estimation for Zero-Padding Orthogonal Frequency

Division Multiplexing Systems

Student: Yao-Shang Hsu Advisor: Jwo-Yuh Wu

Industrial Technology R & D Master Program of

Electrical and Computer Engineering College

National Chiao Tung University

ABSTRACT

In this thesis, we proposed a blind channel identification scheme for zero-padding orthogonal frequency division multiplexing systems with periodic modulating sequence. The proposed method uses the block system model and exploits the channel matrix when some zeros are padded into the source block signal. When block signal is received, we can use its autocorrelation matrix to compute the products of channel coefficient. The channel impulse response vector can be identified, up to a scalar ambiguity, by computing the eigenvector associated with the maximal eigenvalue of a Hermitian matrix, which is formed by the products of channel coefficient. To remove the scalar ambiguity, we design the training symbols which are inserted in the data blocks.

To minimize the decrease of channel estimation accuracy caused by channel noise, we design the optimal periodic modulating sequence for zero-padding orthogonal frequency division multiplexing by observing the orthogonality between the noise subspace and the channel product coefficient subspace. After applying the optimal periodic modulating sequence to identify the channel impulse response, zero-forcing equalizer is used to recover the symbol. Comparing to the subspace method, the proposed method is simpler in computation. In the low SNR regime and less data blocks, the proposed method has better performance in channel estimation accuracy and lower symbol error rate.

Keywords: orthogonal frequency division multiplxing, zero-padding, blind channel

誌謝

能夠順利完成研究所學業與論文，我最要感謝的莫過於我的指導老師吳卓諭博士， 無論是用嚴謹的態度來要求我研究的進度與心態，或是適時的關心我的生活，每在研究 徬徨時都給予我最適切的協助與指導。點點滴滴，在在都感受到能夠成為老師的學生， 是一件很榮幸的事。對此，我要對老師表示我最真摯的謝忱。 在研究期間，也非常感謝我的實驗室同學致翔，無數個夜晚的討論，一起熬夜研究， 一起宵夜，每當有研究上的困難，你總是第一個能夠一起討論的人，研究所同窗相互扶 持的情誼，難以磨滅。 在交大這一段時間，我還要感謝網球隊的教練與夥伴們，有你們，增添了我在學習 生活之外的無數精彩。尤其是詹益欣教練，對我的幫助在任何方面都很大，對他的感謝， 難以言表。 論文寫作期間，謝謝致翔、政洋的互相幫忙。也感謝惠方、祉君以及球隊的學弟學 妹們的鼓勵與打氣，讓我在非常的時刻感受到溫暖，有繼續往前的動力，謝謝你們。 謹以這本論文，獻給我最親愛的爸爸媽媽與家人，長久以來，你們無私的愛與包容， 無時無刻的支持與鼓勵，讓我得以順利的完成研究所的學業，真的非常感謝。

許堯勝 謹誌 民國九十八年七月

目錄

摘要 ... i  誌謝 ... iii  目錄 ... iv  圖目錄 ... vi  名詞縮寫表 ... vii  運算符號表 ... viii  第一章  緒論 ... 1  第二章文獻回顧與系統模型 ... 3  2.1 正交分頻多工系統傳輸原理 ... 4  2.1.1 子載波的正交性 ... 6  2.1.2 保護區間與循環字首 ... 7  2.1.3 正交分頻多工系統的優缺點 ... 8  2.2 基本假設 ... 10  2.3 循環字首傳送之正交分頻多工系統 ... 11  2.4 零填補傳送之正交分頻多工系統 ... 14  2.5 循環字首與零填補之正交分頻多工系統優缺點比較 ... 16  2.6 子空間法 ... 17  第三章  盲蔽式通道估計 ... 19  3.1 零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計 ... 19  3.1.1 通道判別方程式 ... 19  3.1.2 通道係數乘積的計算 ... 22  3.1.3 通道脈衝響應的判別 ... 24  3.2 最佳週期性編碼序列設計 ... 25  3.2.1 最佳化的條件 ... 25  3.2.2 最佳解 ... 27  3.3 訓練符元的設計 ... 33  3.3.1 常數倍數的確定 ... 33  3.4 演算法 ... 35  3.5 模擬結果 ... 36 

第四章  符元還原 ... 45 

4.1 強制歸零等化器 ... 45 

4.2 模擬結果 ... 46 

第五章  結論 ... 52 

圖目錄

圖 2-1 有N個子載波的連續時間之正交分頻多工系統傳送端說明 ... 4  圖 2-2 有N個子載波的連續時間之正交分頻多工系統接收端說明 ... 5  圖 2-3 離散時間之正交分頻多工系統傳送與接收端說明 ... 6  圖 2-4 符元間干擾與保護區間說明 ... 7  圖 2-5 子載波間干擾說明 ... 8  圖 2-6 循環字首說明 ... 8  圖 2-7 以循環字首加入保護區間以消除符元間干擾與子載波間干擾說明 ... 8  圖 2-8 循環字首傳送之正交分頻多工系統說明 ... 11  圖 2-9 零填補傳送之正交分頻多工系統 ... 14  圖 2-10 應用週期性編碼序列之零填補正交分頻多工系統 ... 15  圖 3-1 訊雜比為 0DB，最佳週期性編碼序列與非最佳週期性編碼序列之正規化的均方差對傳送區塊比較 圖 ... 37  圖 3-2 訊雜比為 0DB，本方法與子空間法之正規化的均方差對傳送區塊數目圖 ... 39  圖 3-3 訊雜比為 20DB,，本方法與子空間之正規化的均方差對傳送區塊數目圖 ... 39  圖 3-4 傳送區塊數目為 50，本方法與子空間法之正規化的均方差對訊雜比圖 ... 40  圖 3-5 訊雜比為 0DB，本方法應用最小平方法與訓練符元方法之正規化的均方差對傳送區塊數目圖 .... 41  圖 3-6 訊雜比為 20DB，本方法應用最小平方法與訓練符元方法之正規化的均方差對傳送區塊數目圖 .. 41  圖 3-7 傳送區塊數目為 300，本方法應用最小平方法與訓練符元方法之正規化的均方差對訊雜比圖 ... 42  圖 3-8 訊雜比為 0DB，應用訓練符元方法於本方法與子空間法之正規化的均方差對傳送區塊數目圖 .... 43  圖 3-9 訊雜比為 20DB，應用訓練符元方法於本方法與子空間法之正規化的均方差對傳送區塊數目圖 .. 43  圖 3-10 傳送區塊數目為 300，應用訓練符元方法於本方法與子空間法之正規化的均方差對訊雜比圖 ... 44  圖 4-1 零填補正交分頻多工系統傳送與接收端說明圖 ... 45  圖 4-2 傳送區塊數目為 300，最佳週期性編碼序列與非最佳週期性編碼序列之符元還原錯誤率比較圖 . 47  圖 4-3 傳送區塊數目為 500，本方法與子空間法之符元還原錯誤率比較圖 ... 48  圖 4-4 傳送區塊數目為 100，本方法與子空間法之符元還原錯誤率比較圖 ... 48  圖 4-5 傳送區塊數目為 500，本方法應用最小平方法與訓練符元方法的符元還原錯誤率比較圖 ... 49  圖 4-6 傳送區塊數目為 500，本方法應用最小平方法與訓練符元方法在傳送訊號為 16-QAM調變下的符元 還原錯誤率比較圖 ... 50  圖 4-7 傳送區塊數目為 300，應用訓練符元於本方法與子空間法的符元還原錯誤率比較圖 ... 51 

名詞縮寫表

ADSL Asymmetric Digital Subscriber Line

BCCB Block Circulant with Circulant Block

CP Cyclic Prefix

FFT Fast Fourier Transform

FIR Finite Impulse Response

HDSL High-speed Digital Subscriber Line

IBI Interblock Interference

ICI Intercarrier Interference

IFFT Inverse Fast Fourier Transform

ISI Intersymbol Interference

MIMO Multiple Input Multiple Output

NMSE Normalized Mean Square Error

OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing

QAM Quadrature Amplitude Modulation

QPSK Quadrature Phase Shift Keying

SER Symbol Error Rate

SISO Single Input Single Output

SNR Signal to Noise Ratio

VDSL Very-high-speed Digital Subscriber Line

運算符號表

⋅ 歐基里德範數(Euclidean Norm)

* 共軛運算(Conjugate) ()

δ ⋅ 克羅內克函數(Kronecker Delta Function)

⊗ 克羅內克乘積(Kronecker Product） { } E ⋅ 期望值運算(Expectation) vec()⋅ 向量單行化(Vectorization) ()_{⋅ 轉置(Transpose)} T ()_{⋅ 厄米特運算(Hermitian)} H

第一章 緒論

近年來，正交分頻多工系統(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM) 被 廣泛的應用在通訊系統上，固定線路的網路應用就有高速式數位用戶迴路(High-speed Digital Subscriber Line, HDSL) ， 超 高 速 式 數 位 用 戶 迴 路 (Very-high-speed Digital Subscriber Line, VDSL) 以及非對稱式數位用戶迴路(Asymmetric Digital Subscriber Line, ADSL)。在無線區域網路應用上，包含有歐規的HiperLAN 2 以及美規的IEEE 802.11a 和 IEEE 802.11g 也採用正交分頻多工系統技術，在行動通訊網路應用上，也是第四代行動 通訊(4G)系統的發展技術之一[1]。

因為正交分頻多工系統被如此廣泛的應用，為了提升其可靠性，準確的估計通道是 一個被討論的議題。通道估計的方法通常分成兩種，一個是經由訓練符元(Training Symbol)的方式，另一個是經由盲蔽式通道估計(Blind Channel Estimation)的方式，前者 利用了訓練符元的序列來達成通道估計的目標，後者則是利用了接收訊號的特性來估計 通道[2]。利用後者的方法來估計通道，可以有效的降低使用領航符元(Pilot)的個數，減 少訓練符元的資源消耗，顯然的提高了頻寬的利用效率。利用盲蔽式通道估計的方法， 常利用了週期性編碼序列(Periodic Modulating Sequence)，最先在[3]被提出，並且被廣泛 的研究。許多在單輸入單輸出(Single Input Single Output, SISO)/多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)傳送系統中關於週期性編碼序列的研究被提出[4]，第一個 應用了週期性編碼序列對於單輸入/單輸出的單載波循環字首區塊傳送系統上的盲蔽式 通道估計在[5]被提出，其方法探討了在一個循環結構(Circulant Structure)下，如何計算 關於通道的係數乘積，並且其通道脈衝響應向量的方向可以經由特徵分解一個厄米特矩 陣所得到。在本篇論文中，也應用了週期性編碼序列進行分析。 正交分頻多工系統利用了將串行(Serial)的資料轉變成並行(Parallel)的資料作傳輸， 因而可以進行更快的資料傳輸，並且使用了區塊傳送(Block Transmission)的方式進行分 析[6]，當區塊傳送的時候，在連續的區塊間會有區塊間的影響(Interblock Interference, IBI)，為了消除區塊間影響，在每個區塊之間會插入一個大於或等於通道階數(Channel Order)的保護區間(Guard Period)，有循環字首(Cyclic Prefix)或是零填補(Zero Padding)的 方式，循環字首複製了每個傳送區塊的最後數個個數大於或等於通道階數的元素，並將 這些元素置放在每個區塊的開頭，並在接收端將其移除。而零填補的方式則是將個數大 於或等於通道階數的零項填補進每個傳送的區塊，如此一來，連續的區塊之間將不會互

相影響，並且可以有效的在接收端被還原。而零填補的傳送方式比起循環字首的傳送方 式的優點在於其還原符元的能力，不用考慮通道零點的位置，這也是在這篇論文中，考 慮採用了零填補的正交分頻多工系統的原因。 本篇論文提出了一個關於零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計方法，並且 利用了估計出來的通道特性來還原符元。經由適當的安排，可以將接收訊號的自相關矩 陣與通道係數乘積形成一組線性的方程式，並由這組線性方程式解出通道係數乘積。接 著由通道係數乘積所形成的厄米特矩陣，將其作特徵分解之後，找出其最大的特徵值所 對應的特徵向量，即為通道脈衝響應係數所形成的向量(以下簡稱通道係數向量)，並且 與真實的向量之間存在一個常數倍數的關係。這個通道估計的計算過程，將完全取決於 週期性編碼序列，在本篇論文中週期性編碼序列的設計目標是將雜訊對於通道估計的影 響降到最低。 本篇論文的組織如下，第二章的內容為正交分頻多工系統的回顧與系統模型，並且 介紹了與本篇論文作比較的方法，稱為子空間法。第三章會說明如何針對零填補的正交 分頻多工系統進行盲蔽式通道判別以及最佳週期性編碼序列設計並加上模擬結果說明， 第四章則提到應用等化器消除通道對符元的影響來還原符元，並觀察其錯誤率。第五章 會對整篇論文作一個總結。

第二章文獻回顧與系統模型

這個章節會介紹關於正交分頻多工系統是如何運作的，首先會作系統的概述，包括 傳送端與接收端。接著會說明數位實現的方式，針對每一個區塊作討論，包括對訊號如 何調變，反快速傅立葉轉換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)與快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform, FFT)，接著描述關於正交分頻多工系統子載波(Subcarrier)的正交性 (Orthogonality)與應用保護區間以及循環字首的原因，最後會對正交分頻多工系統的優缺 點作一個總結。在 2.2 節，描述了本篇論文所採用的基本假設。在 2.3 與 2.4 節分別介紹 關於正交分頻多工系統的傳輸技術，其中包括了加入循環字首的傳送方式，以及零填補 的傳送方式，這兩個方式都是為了要消除符元間干擾(Intersymbol Interference, ISI)而發 展，其中，加入循環字首來消除符元間的干擾是一個很常被使用的方式，使用循環字首 的方式比較方便在頻率域上的等化(Equalization)。雖然如此，但是在還原符元上，會遭 受到通道零點的限制。而另外一個傳送方式，稱為零填補傳送方式，不用考慮通道零點 的限制，而有比較好的訊號還原能力，在 2.3，2.4 節會敘述這兩種傳送方式的系統模型， 並在 2.4 節介紹本篇論文所採用的加入週期性編碼序列的零填補正交分頻多工系統的模 型。2.5 節介紹循環字首與零填補的優缺點比較，2.6 節介紹另一種盲蔽式估計通道的方 法，稱為子空間法，在第三、四章會用來與本篇論文的結果作比較。

2.1 正交分頻多工系統傳輸原理

1 2 ( ) N t φ − 1 2 N X − 2 2 N X − 2 2 ( ) N t φ − 2 N X − 2 ( ) N t φ − 2 N X − 1 2 N X − iii

∑

1 2 2 2 1 ( ) k, 0 N j f t k N k s t X e t T T π − =− =

∑

≤ ≤ ( ) s t 圖 2-1 有N個子載波的連續時間之正交分頻多工系統傳送端說明 圖 2-1 為一個連續時間之正交分頻多工系統傳送端的說明圖，首先為 M-相位鍵移 (M-Phase Shift Keying)或是 M-QAM (Multi-Level Quadrature Amplitude Modulation)的傳

送資料X_k， 1 2 2 N N k = − − ，經過了串並轉換，接著資料會經由不同的子載波進行傳 輸。其數學表示式如下， 1 2 2 ( ) , 0 ( ) 0, otherwise N k k N k X t t T s t φ − =− ⎧⎪⎪ ⎪⎪ ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩

∑

(2-1) 其中 ( ) 1 j2 f Tk k t e T π φ = ，為其第 個子載波，頻率為k f_k k T = ，T為正交分頻多工系統的 週期。

1 2 * ( ) N t φ − 2 2 * ( ) N t φ − 2 * ( ) N t φ −

( )

0 T dt

∫

i

( )

0 T dt

∫

i

( )

0 T dt

∫

i 1 2 N Y − 2 2 N Y − 2 N Y − ( ) r t 圖 2-2 有N 個子載波的連續時間之正交分頻多工系統接收端說明 圖 2-2 為一個連續時間的正交分頻多工系統的接收端，所收到的訊號經過如下的解 調之後，再經過並串轉換，得到了所接受的訊號符元。 1 2 ₂ * 0 0 2 1 ( ) ( ) N k j T T j t T j j k N k Y s t t dt X e dt T π φ − ₋ =− =

_∫

=

∑

_∫

=X_j (2-2) 接下來要說明關於正交分頻多工系統的數位實現方式，如果我們對 作取樣 (Sampling)，取樣區間為 ( ) s t d T T N = ，則其公式如下，

{ }

1 2 ₂ 2 1 , 0 1 [ ] ( ) 0, otherwise d N k j n N k N t nT k k X e n N N s n s t IDFT X π − = =− ⎧⎪⎪ ⎪⎪ ≤ ≤ − ⎪⎪ = = ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ =

∑

(2-3) [ ] s n 即為N 個輸入資料符元作反離散快速傅立葉轉換，同理可知，Y 即為_j 個 作離 散快速傅立葉轉換。由此，正交分頻多工系統的數位實現方式中，傳送端的調變方式為 將訊號作反離散快速傅立葉轉換再經過數位/類比轉換器(Digital to Analog Converter)，而 接收端的調變方式為類比/數位轉換器(Analog to Digital Converter)再經過離散快速傅立 葉轉換。並由圖 2-3 說明[7]。

1 2 N X − 2 2 N X − 2 N X − [ ] s n ( ) s t 1 2 N Y − 2 2 N Y − 2 N Y − [ ] r n ( ) r t 圖 2-3 離散時間之正交分頻多工系統傳送與接收端說明

2.1.1 子載波的正交性

在正交分頻多工系統的傳輸上面，為了避免接收訊號的混亂，將高速串行的資料分 成數個並行的低速傳送資料。系統使用了多個子載波來傳輸資料，在這些子載波之間， 需要彼此正交，以避免子載波之間的干擾。為了確保載送在不同子載波之間的訊號是正 交的，子載波的頻率間隔需要有一定的限制。 當兩個不同的子載波滿足(2-4)式稱為正交(Orthogonal)[8]。 (2-4) * 1( ) ( )2 0 1( ) 2 ( ) 0 x t x t dt X f X f df ∞ ∞ −∞ −∞ = ⇔ =

∫

∫

*

2.1.2 保護區間與循環字首

本節所要介紹的是關於為何正交分頻多工系統要應用保護區間以及循環字首，再說 明之前，需要知道的是關於正交分頻多工系統中的符元間干擾與子載波之間的干擾 (Intercarrier Interference)。符元間干擾的原因是，在多重路徑通道下，符元與符元之間可 能會出現延遲的時間，在延遲情況下所收到的正交分頻多工符元會對未延遲情況下所收 到的下一個符元產生干擾，這樣的情況稱為符元間干擾。為了要解決符元之間的干擾， 在連續的正交分頻多工系統符元之間，插入一段不含任何資料的保護區間，只要延遲的 區間小於保護區間，則符元間干擾就不會產生，如圖 2-4 所示[9]。 圖 2-4 符元間干擾與保護區間說明 如此，可以成功的消除了符元間的干擾。但是插入空白的保護區間，會產生一個問題。 若是在不同的子載波之間有延遲的情況，則插入一段空白的保護區間，在同一個傅立葉 轉換區間內會喪失子載波之間的正交性，造成在解調的時候會有子載波之間的干擾，如 圖 2-5 所示。

圖 2-5 子載波間干擾說明 為了要解決子載波之間的干擾，將一個正交分頻多工系統的符元的尾端，複製到其 前端的保護區間，可以保證所有的有延遲的子載波，在傅立葉轉換區間上都有整數倍的 週期，可以成功的消除子載波之間的干擾。並以圖 2-6，圖 2-7 說明。 g N N 圖 2-6 循環字首說明 圖 2-7 以循環字首加入保護區間以消除符元間干擾與子載波間干擾說明

2.1.3 正交分頻多工系統的優缺點

這一節會對正交分頻多工系統的優缺點作簡單的總結。首先，正交分頻多工系統的 優點如下，

(1) 抵抗延遲擴散的影響，保護區間的設計避免了延遲擴散所造成的符元間干擾。 (2) 有效對抗頻率選擇性衰減通道(Frequency-Selective Fading Channel)，因為正交分

頻多工系統將原本的通道分割成許多子通道，於是當子通道數目夠多的時候，會 呈現平坦的特性，也就是只有通道增益(Gain)的影響。不至於有嚴重的失真。 (3) 多載波傳輸下，假設固定了子載波的個數，若讓頻率間隔是1_T的整數倍，T 為 子載波個數，則子載波之間會保持正交性，若頻率間隔為1_T，則所有子載波在 保持正交性的情況下所占去的頻寬和最小，在多載波傳輸下有較高的頻譜效率。 而正交分頻多工系統的缺點有[1]， (1) 同步(Synchronization)的問題，正交分頻多工系統需要精確的同步，分為符元同步 與頻率同步。符元同步中，可能出現的問題有時序的錯誤，若取樣的的時間點不 準確會造成符元之間的干擾。第二個出現的問題為載波相位雜訊所造成的子載波 正交性喪失，而有子載波之間的干擾。頻率同步會發生的問題為，取樣頻率同步 問題與載波頻率同步問題。取樣頻率同步問題中，當取樣頻率有漂移現象時，會 造成符元間的干擾，使得符元錯誤率(Symbol Error Rate)上升。載波頻率同步的問 題則因為傳送端與接收端的振盪器所震盪的頻率不同造成頻率誤差以及因為都 卜勒偏移(Doppler Shift)造成頻率偏移。

(2) 有比較高的峰值平均功率比(Peak-to-Average Power Ratio)，當子載波都在同相位 的時候，峰值平均功率比會增大。造成硬體上實現的複雜度與成本會變大。

2.2 基本假設

在本篇論文中，使用了以下假設，

(1) 來源的訊號序列 是獨立同分佈(Independent Identical Distributed, i.i.d.)，且平均值 為零(Zero Mean)，並滿足克羅內克函數如下，

( )n

s ( ) ( )*

( )

Es k s l =δk −l ， δ i( )為克羅內克函數(Kronecker Delta Function)

(2) 通道雜訊是白色高斯可加成性雜訊(Additional White Gaussian Noise, AWGN)，平均值

為零(Zero Mean)，有變異數為σ_v2，並且與來源訊號相互無關(uncorrelated)

(3) 假設通道階數L的上限L 為已知，循環字首的長度L_cp與零填補的長度L_zp滿足

2.3 循環字首傳送之正交分頻多工系統

IFFT Append P/S FIR Channel

CP ( )n s S/P ( ) s n ( ) h n ⊕ ( ) v n ( )n y ( )n x w( )n ( )n u Remove CP S/P ( ) w n ( ) u n ( ) t n 圖 2-8 循環字首傳送之正交分頻多工系統說明 圖 2-8 為一個應用循環字首的正交分頻多工傳送系統， 為來源的訊號，經過了 串並轉換後，我們把並行的傳輸，用區塊傳送來表示[10]，假設一次傳送M 個訊號，則 有如下的定義， ( ) s n ( )n s ( ) ( )

[

( )n = s nM s nM +M −1 T,n 0 s

]

> (2-5) 這個定義也同樣適用於 。在傳送前， 會先經過反快速傅立葉轉換，並加上循環 字首以及並串轉換。首先，快速傅立葉轉換矩陣之定義如下， ( )n y s( )n 2 1 2 / ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 , 1 M j M M M w w w e M w w π − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥} = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ F (2-6) 而反快速傅立葉轉換矩陣定義如下， 2 1 1 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 , 1 M / j M M M w w w e M w w π − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥} = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ F (2-7) 接著我們先看關於加上循環字首若以數學式表示將會是甚麼形式，加上循環字首就是將 向 量 中 的 最 後 個 值 ， 重 複 放 到 其 向 量 的 最 上 方 ， 形 成 向 量 ， 假 設 ，這個行為可以用以下的矩陣乘法來描述， ( )n x ( L >L CP L rder ( )n w CP Channel O )

( )n = _d ( )n w A x (2-8) 其中， LCP (M LCP) LCP (M Lcp)M，並將 定義為N。 d M M × − _{+ ×} × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 I A I M +Lcp

向量 在經過並串轉換之後，會經由等效的有限脈衝響應(Finite Impulse Response,

FIR)通道傳送，而有限脈衝響應的通道輸入與輸出的關係式如下， ( )n w (2-9) 0 ( ) ( ) ( ) L l t n h l w n l = =

∑

− 其中，L為通道的階數，有L +1個係數(tap) 。 由(2-9)式，如果我們把連續N個輸出訊號表示出來，會有以下的結果， ( 0) (0) ( ) (1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) (0) ( 1) (1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) (0) ( 1) (1) ( 2) ( ) ( t nN h w nN h w nN h L w nN L t nN h w nN h w nN h L w nN L t nN N h w nN N h w nN N h L w nN N L + = + − + − + = + + + − + + − = + − + + − + + − − 1) 並由上述的數學式，因為我們的目標是用區塊傳送來分析，所以作了以下定義， 1 ( ) ( ) ( 1) N t nN n t nN N × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ _{+ −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ t (2-10) ( )n t 與輸入訊號w( )n 有著以下的關係， 1 0 (0) 0 0 0 0 ( ) (1) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) (0) h h L h h L h h L n n h L h ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥} +_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎣ ⎦ H H t w w(n −1) (2-11) 其中， 0 N N× ∈ H ，是一個以

[

_{h(0) h L( )0 0}

]

T _∈ N×1_{為第一行的下三角 Toeplitz 矩陣} (2-12) 1 N N × ∈ H ，是一個以

[

0 0 ( )h L h(1)

]

∈ 1×N為第一列的上三角 Toeplitz 矩陣 (2-13) 由(2-11)式，我們將 FIR 的輸入輸出關係以區塊方式來呈現，並觀察t( )n 是由這個時刻

的輸入訊號 ，與上個時刻的輸入訊號 所共同決定。而循環字首與零填補的 的傳送方式設計就是為了要消除這個現象。希望同一時刻的輸出訊號 能完全的被該 時刻的輸入訊號 決定。 ( )n w CP L 0 m M ( )n s (0) ( ) 0 h L (n −1 w ( ) ( )n = + v ) n ( ) m y R u (n y 0 1 0 m = + = + s R (1) ( ) 0 0 (0) L h L h ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (0 1 − ₊ F s v ) n n ⎥ ∈ ⎥ ( )n t ( )n −

]

M×1 ( )n w cp L I (n s 0 接著，在接收端接收了經 FIR 通道傳送的訊號，並且加上平均是零，變異數為 的 白色高斯加成性雜訊，於是在訊號 經過了串並轉換後，形成了u ， 2 v σ ( ) u n ( )n n u t (2-14) 在除去了前 個值之後，得到了訊號 ，這個動作稱為移除循環字首，這個動作可 以由下面的矩陣運算來表示。 ( y ( )n = (2-15) 其中， cp ( ) M M L M M × + × × ⎡ ⎤ = _{⎢⎣ ⎥⎦} ∈ R 於是，從傳送訊號 經由反快速傅立葉轉換，加上循環字首，並串轉換，經由 FIR 通 道傳送，串並轉換，移除循環字首之後，得到了 ，並且由以下的式子，可以得到關 於傳送訊號 與收到的訊號 之間的數學模型[5]。 ) ) ( )n y 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) m d d m d n n n n − − − − = y R H A F H A F s R H A F s GF s (2-16) 其中，G (2-17) 0 ( ) 0 0 ( ) M M h h h h L × ⎢ = ⎢ 矩陣G 具有一個特殊的結構，稱為循環矩陣，以 為其第一行， 至此，我們成功的將循環字首的正交分頻多工系統傳輸，以區塊傳送的方式表示出來， 並且不失一般性的表示如下，

[

h ) h L( )0 0T ∈ = y G (2-18)

2.4 零填補傳送之正交分頻多工系統

( )n s ( ) s n ( ) h n ⊕ ( ) v n ( )n y ( )n x w( )n w n( ) ( ) y n ( ) t n 圖 2-9 零填補傳送之正交分頻多工系統 圖 2-9 為零填補傳送之正交分頻多工系統之表示，與循環字首傳送之正交分頻多工 系統不同的是，在訊號經過了反快速傅立葉轉換之後，會填補一些零項，主要的原因也 是為了消除 ISI，與循環字首傳送之正交分頻多工系統數學模型建立相同的是，加上零 項的動作，可以用矩陣的方式表示，並且由矩陣的相乘，推導出關於零填補傳送之正交 分頻多工系統的區塊傳送的數學模型。以下為其推導，與上一節相同的，我們可以經由 (2-9)式推得 與 的關係，如(2-11)式，如果我們將零填補的作用看成一個矩陣， 稱為 ，則(2-11)式會變成下列數學式。 ( )n t N M× ( )n w ZP∈ T t( )n =H T x0 ZP ( )n +H T x n1 ZP ( −1) (2-19) 其中，H₀，H₁與(2-12)，(2-13)定義相同。 為了要消除 IBI，如果H₁可以右乘一個矩陣，使得T H_{ZP 1} =0 ，又觀察矩陣 ，只在最 後 1 H L個行是有值存在的，若將矩陣T_ZP定義如下[11]， ( ) ZP 0 M M L M L M I _{+ ×} × ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}∈ ⎣ ⎦ T ，M + =L N _(2-20) ZP T 的定義，對於矩陣 ， 來說，作用將會是刪去最後的 行，對於訊號 來說， 作用則是在向量的末端再填補L個零項。由此可知，零填補的正交分頻多工系統的區塊 傳送數學模型如下， 0 H H₁ L x( )n 0 0 1 1 0 0 1 0 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ZP ZP ZP ZP ZP n n n n n n n n n n − − − − = + − + = + − = + = + y H T x H T x v H T F s H T F s v H T F s v HF s v n + (2-21)

其中， (2-22) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N M ZP h h L h h L × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = =_{⎢ ⎥} ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ H H T ⎦ 並且不失一般性的，將零填補之正交分頻多工系統的數學模型表示如下， (2-23) 1 − = + y HF s v 在本篇論文中，針對零填補之正交分頻多工系統作盲蔽式的通道估計，並且在傳送訊號 端，應用了週期性編碼序列，於是系統的模型如下， ⊗ ( ) p n ( )n u ( ) s n ( ) h n ⊕ ( ) v n ( )n y ( )n x w( )n w n( ) ( ) y n ( ) t n ( ) u n 圖 2-10 應用週期性編碼序列之零填補正交分頻多工系統 其中p n( ),0≤ ≤n M−1是週期性的編碼序列，以區塊型式表示如下， 由圖(2-10)可知u n( )=p n s n( ) ( )， 並且由向量表示如下， ( )

[

( ) ( 1) , 0 (2-24) T n = u nM u nM +M − n u

]

≥ n + u( )n =Ds( ) (2-25) 其中D為一個大小為M M× 的對角矩陣，對角元素值為p n( ),0≤ ≤n M−1 而不失一般性的將系統方程式表示如下， 1 − = y HF Ds v _(2-26) 其中，H，F−1皆與之前定義相同。

2.5 循環字首與零填補之正交分頻多工系統優缺點比較

這一節要介紹的是關於循環字首與零填補之正交分頻多工系統的比較。首先，如果 以符元還原的角度來看，循環字首與零填補之正交分頻多工系統各有其優缺點。由(2-18) 的循環字首系統方程式可以知道，循環字首之正交分頻多工系統的系統通道矩陣是一個 循環矩陣，若將循環字首的正交分頻多工系統作頻率域的等化，會有以下的關係 Fy=D s_n +Fv (2-27) 其中，Dn是循環矩陣 G 經過分解之後所得的對角方陣，且 。  2 / 0 [ ] ( ) L il M ii l D h l e− π = =

∑

由(2-27)  可以知道循環字首的輸入訊號與所接收到訊號的在頻率域上有一對一的 關係，這個關係所帶來的好處是能有比較簡單的等化器設計(one tap equalizer)，但是這 個關係也有其缺點，其缺點是若是遇到了通道係數的頻率零點，則會有資料流失(data loss)的可能而無法還原。而在零填補之正交分頻多工系統中，則不會有這個可能，因為 其系統通道矩陣是一個滿秩的矩陣，就算遇到了通道系數的零點，只要通道係數不全為 零，則其系統通道矩陣還是一個滿秩的矩陣，保證了符元的還原，只是比起循環字首的 等化器設計，零填補傳送方式在等化器設計上較為複雜。接著以功率的觀點來看，循環 字首的傳送方式需要複製一段資料於循環字首傳送，比起零填補的傳送方式需要消耗更 多的功率。而在符元間干擾與子載波間干擾的觀點看來，因為循環字首消除了符元間干 擾，並且保持了子載波之間的正交性，而沒有子載波間的干擾。而在零填補的傳送方式 中，則會有子載波之間的干擾產生。 

2.6 子空間法

這一節所要介紹的是用來與本篇論文所提出的估計通道的方法作比較的方法，稱 為子空間法(Subspace Method)[2]。這個用來實行通道估計的方法是假設已經完全了解所 收到的訊號的自相關矩陣(Autocorrelation Matrix)。而子空間方法的主要概念就是將所收 到的訊號做分解，分解成訊號與雜訊的子空間，之後再適當的定義出所要討論的子空間 問題。 考慮了所收到的訊號向量 的自相關矩陣，假設傳送訊號 是 i.i.d，加上所定 義的 FFT， IFFT 矩陣是正交矩陣，可以推導出其自相關矩陣 ( )n y s n( ) (2-28) 2 (0) [ ( ) ( ) ]H H M L E n n σ ₊ = = + y R y y HH I 其中σ2

:

雜訊功率

，

IM L+

:

維度為M +L之單位矩陣， ( ) ( ) H∈ M L+ ×M L+ HH 為一個厄米特 矩陣。 由(2-23)式，可以很清楚的看出訊號的子空間是矩陣 的行向量的線性組合，因此 這些行向量屬於訊號的子空間。假設通道的脈衝響應不是全為零，由 的形式可知，H 是一個滿秩(Full Rank)的矩陣，也就是訊號的子空間的秩是 H H M ，因此，雜訊子空間的秩 就為L。根據上述觀察，若對矩陣 作奇異值分解(Singularvalue Decomposition)可以 得到， (0) y R 2 2 0 (0) [ ] [ ] 0 H s M s w s w L σ σ ⎡Λ + ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ y I R U U U U I (2-29) , : s w U U 分別是訊號以及雜訊子空間的正交單範基底 : s M M Λ 元素為正值的 × 的對角矩陣 其中U_w包含了矩陣Ry(0)的最小奇異值(Singularvalue)所對應的向量。因為 0 H w S = U U ， 並且U ，_s 分別為訊號以及雜訊子空間的基底，任何在雜訊子空間中的向量都會與訊 號子空間中的向量互相正交，而 中的行向量都在訊號的子空間中，因此任何在雜訊子 空間中長度為 w U H M+L的向量v,

[

1

]

T M L v v ₊ v= _L ，會使得v HH =0，又因為矩陣 的形 式，於是 H H v H 可以被改寫成下式v H h VH = T *=0 *的符號代表取共軛，而V為一個漢克矩陣(Hankel)[12]，其維度為(L + ×M1) ，並且由 v中的元素組成，形式如下

⎦ (2-30) 1 2 2 3 1 1 2 M M L L M L v v v v v v v v v + + + + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ V L L M M L M L 將h VH 取共軛之後會得到， h VV hH H =0 _(2-31) 上式對於任何在雜訊空間中的向量v都成立，若現在存在一組L個在雜訊空間中的向量， 1 L v _Lv ，則會有， 1 0 H L H i i i= = =

∑

h Wh W V V (2-32) 其中V_i，i= L L1, , 是對應的v_i,i=1,_L,L所形成的漢克矩陣， ，是找出通道 脈衝響應的方程式，從此式可知h是相對於零，也就是矩陣 最小的奇異值所對應的 奇異向量。 0 H = h Wh W 於是應用子空間方法來估計通道脈衝響應向量的演算法如下 1. 求出 _{(0) [ ( ) ( ) ]}H H 2 M L E n n σ ₊ = = + y R y y HH I 2. 對Ry(0)作奇異值分解 3. 可以由U_w的行向量，求得在雜訊空間中的L個向量v。 4. 求出相對於這 L 個向量v的漢克矩陣，並利用 1 L H i i i= =

∑

W V V 求出W。 5. 對W作奇異值分解，找出最小的奇異值所對應的奇異向量，即為通道脈衝響應所 對應的向量。 應用此方法所得到的通道響應向量，存在著一個常數尚待確定，因為若 滿足了 ， h 0 H = h Wh αh 也同樣滿足。本論文中會提出關於如何估計此常數的方法，會在之後的 3.3.1 節提到。

第三章 盲蔽式通道估計

3.1 零填補之正交分頻多工系統的盲蔽式通道估計

3.1.1 通道判別方程式

首先，考慮在這個零填補之正交分頻多工系統下，沒有雜訊的情況如何求得通道脈 衝響應。也就是 ，首先，觀察系統的通道矩陣 的結構，現在已知系統通道 矩陣的結構如下， (0) ( ) h _{L L}h ⎦ H (3-1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 N M h h h L h h L h L × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ H 為了要更進一步的了解這個矩陣，首先，定義一個置換矩陣(Permutation Matrix) ， 0 0 1 1 0 0 0 1 0 N N× ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J (3-2) 根據系統矩陣H的結構，H將可以用其第一個行向量來表示，其表示方式如下式， 1 M − ⎡ ⎤ = ⎢_⎣ ⎥_⎦ H g Jg J g (3-3) 其中，g=

[

h(0) h L( )0 0

]

T ∈ N×1。 根據了基本假設，可以計算出所收到訊號的自相關函數的矩陣如下， 1 (0) ( ) H( ) T H H E n n − = = = y R y y HF DD FH HCH (3-4)

其中 C為一個大小為M M× 的循環矩陣。

在(3-4)式的推導中，因為化簡後發現矩陣 C具有 −1 2 的形式，而 為一個

F D F D2 M M× 的

對角方陣，並且由Lemma 3.1可以知道矩陣 C為一個循環矩陣(Circulant Matrix)，並將其 第一行的行向量定義如下， ( ) ( ) 1 0 1 M P P M × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P (3-5) Lemma 3.1 ，C為一個循環矩陣， 為一個大小為N 的快速 傅立葉轉換矩陣[12]。 1 _{( )} n diag n − = C F F v F_n F_n ×N 以下定義了另外一個置換矩陣，J，其大小為 M M× _， 0 0 1 1 0 0 0 1 0 M M× ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J (3-6) 由(3-5)，(3-6)式可以順利的將循環矩陣 C 用其第一行的行向量中的元素表示如下， ( ) 1 0 M j j P j − = =

∑

C J (3-7) 因為H的第一行行向量包含了通道脈衝響應的未知數，所以我們想要知道在所收到 的訊號的自相關函數矩陣當中，通道脈衝響應的未知數是以甚麼形式存在。由(3-3)，(3-4)， (3-7)式，可以得到下式， ( )

( )

0 1 1 0 1 (0) H M M j j M H T P j − − = − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _{⎢⎣ ⎥⎦}⋅ ⋅_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∑

y g I R g Jg J g J g J (3-8) 並且經由進一步的化簡得到(3-9)式，

( ) 1

( )

( )

1 1 0 0 (0) j M M M i j i j i H T i H T j i i j P j − − _{+ −} − ₋ = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

y R J gg J J gg J (3-9) 由(3-9)的矩陣方程式可以定義出對於未知數 而言的 個非線性的方程 式，但是如果我們將未知數定義成通道響應係數的乘積，即是將 看成一個未知 數，將會得到 個線性的方程式。再者，(3-9)式是由 (0) ( ) h _{L L}h 2 N * ( )h ( ) h k l 2 N M 個數學形式相同的矩陣的權和， 而我們所要的資訊為 H gg ，如果要順利的將gg 從(3.9)式中改寫，需要下面這個性質。 H Lemma 3.2 矩陣方程式 1 K k k k= =

∑

A XB C vec( ) vec( ⎡ _⊗ ⎤ ₌ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ X 可以被等效的表示成 [12]。 1 ) K T k k k=

∑

B A C 根據這個性質，(3-9)式可以改寫成下式，

(

)

1 ( ) 1 1

(

)

0 0 vec (0) vec j M M M i j i i j i H j i i j P j − − − + − − = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⊗ ⊗ ⎦

∑

∑

∑

y Q R J J J J gg 2 (3-10) 定義矩陣Q為一個大小為N2×N 的矩陣如下， ( ) 1 1 1 0 0 j M M M i j i i j i j i i j P j − − − + − − = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ ⊗ ⊗

∑

∑

∑

Q J J J J 2 (3-11) 根據克羅內克乘積(Kronecker Product)的定義[12]，(2.10)式可以被重新安排成(3-12) 式的一般表示式，在(3-12)式子中，這個大小為 的矩陣Q，是由下列M 個循環 矩陣以及L個大小為N 的零矩陣為第一行組成。 2 N ×N N × 矩陣Q的一般表示式如下， 2 2 0 1 1 1 1 1 0 M M N N M M − − × − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥}∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c 0 0 c c c c 0 Q 0 0 0 0 c c _(3-12)

其中c_j ∈ N N× ，0≤ ≤j M −1，為一循環矩陣，共有M 個，並以_{J P 與}j _L個零為

其第一個行向量。矩陣Q有個特殊的形式，其中的每一個區塊間是循環的，並且區塊內

也是循環矩陣，這個結構稱為循環的區塊有區塊間循環(Block Circulant with Circulant Block, BCCB)[13]。

3.1.2 通道係數乘積的計算

為了要求得通道的係數乘積 ，對於0 , ，我們需要更進一步的對 (3-10)式當中的 vec 作分析，根據(3-3)式，向量g 包含了 個通道脈衝響應的未 知數， ，並接著有 個零。由此可知， 中的元素個數有 個， 卻只有其中的 個是非零項。以下，我們更進一步的分析 ，希望能將(3-10)式 中的 vec 中的零項移除，並且得出在 vec 的零項移除後，(3-10)式中的矩陣Q的 相對應的化簡型式。 * ( ) ( ) h k h l 1 N −L− k l L ≤ ≤ gg ) (gg ) n L ≤ ≤ 2 (L +1) H ∈ ⎥⎦ N ∈ ⎥⎦ 1) 1 L + H H gg ( ), 0 h n (_ggH) 2 N (_ggH 首先定義， (3-13)

[

_{h(0) h L( )}

]

T L+1 = h 是所要求的通道係數向量。並且根據(3-3)可以得到， (3-14) (3-15) ( 1) 1 T T T N L− − × ⎡ ⎤ = ⎢⎣ g h 0 ( 1) ( 1) H N L− − × +L = ⎢⎣ hh 0 0 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) L N L H N N L N L + × − − _× − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 gg 由(3-15)可以知道 中，前 個行向量包含了所要求的通道係數的乘積與若干 零項，後 個行向量則都是零向量。將 作矩陣的單行化(vectorization)之後， 每N 個看成一個區間，則會有L 個區間會有值，剩下的 個區間會全部都是 零項。於是根據(3-10)式，第一步的化簡就是將這些在 中 個區間的零 項消除，也就是消除了N N 個零。相對應的消除了在(3-10)中的矩陣 的最後 個行向量。 H gg L +1 1 + − − 1 N −L − 1) L − − H gg 1 N −L − (_ggH) vec N −L −1 ( L Q ( N N

(

)

(

)

vec (0) _{= ⋅}vec H y R Q gg (3-16)

其中， Q為刪除了Q的最後N −L −1個行向量所得到的矩陣。 vec

(

)

H gg 為刪除了 vec(_ggH)中最後_{N N( − − 1)L} 個零之後所得的向量。 1)

)

在(3-16)式中，順利的將 vec(_ggH)中最後_{N N( − −L} 個零刪除並化簡了矩陣Q， 為了進一步的化簡vec

(

gg ，定義了H gg 如下， H ( 1) ( 1) H H N L− − × +L ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ hh gg 0 (3-17) 由(3-15)可以知道gg 與H _hhH 的關係如下， 1 ( 1) L H H N L + × + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ I gg hh 0 (3-18) 定義， ( ) 1 1 ( 1) ( 1) 0 L N L L N L L + × + − − × + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ − − − − ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ I J (3-19) 由(3-18)以及Lemma 3.2可知，

(

)

(

1

)

(

)

vec H T vec H L+ L = ⊗ ⋅ gg I J hh (3-20) 由(3-16)，(3-20)兩式，可以順利的將(3-10)式化簡為下式，

(

)

(

1

)

(

)

vec (0) vec H L+ L = ⋅ ⊗ ⋅ y Q R Q I J hh (3-21)

(3-20)式中，我們將Q I⋅

(

_L+1⊗J_L

)

定義為 Q，若 為一個滿秩(Full Column Rank)的矩陣， 則從(3-21)式當中通道的係數乘積可以唯一的被決定如下，

1 vec(_hhH)₌(_{Q Q}H )− _QHvec(_R (0)) y ) (3-22)

3.1.3 通道脈衝響應的判別

從(3-22)式中，經由已知 以及 Q ，可以得到通道係數的乘積， ， ，為了要得到通道係數的解，我們將這些通道係數的乘積形成以下大小為 的厄米特矩陣(Hermitian Matrix)，其定義如下， (0) y R _{h k h l( ) ( )}* 0≤k l, ≤L (L + ×1) (L +1 , 0 , =[ k l]≤ ≤k l L H H ，其中 * , ( ) ( ) k l =h k h l H _(3-23) 理論上，矩陣H 是一個單秩(Rank One)矩陣，並且可以被分解成_{H= hh}H ，其中 即在(3-13)式中的定義，關於矩陣 1 L+ ∈ h H 為一個單秩的矩陣，這個事實可以很明顯 的經由對矩陣H 的行向量，作高斯消去法，就可以觀察得到。 系統的通道脈衝響應h(0), , ( )h L 可以經由以下步驟得到，首先先計算矩陣H 的特 徵值，找出這些特徵值中的最大值，接著找出其所對應的特徵向量。經由這方式所找出 來的特徵向量，即為系統的通道脈衝響應 所形成的向量的常數倍。在本論 文之後的章節會提到關於如何得到這個常數。 (0), , ( ) h h L

3.2 最佳週期性編碼序列設計

在這個章節中，我們將雜訊的情況考慮進來，探討如何設計週期性編碼序列使得雜 訊對所要訊號的影響達到最低。首先，會先推導出在雜訊存在的時候，所收到的訊號的 自相關矩陣的數學形式。接著遵循3-1節的流程，得到關於系統的通道係數乘積解。在 這個過程中，經由觀察雜訊在以甚麼數學形式存在，提出了如何量化雜訊對於訊號的影 響，以及設計週期性編碼序列的設計條件。接著得出在本系統下，量化雜訊對於訊號的 影響之後的通解，藉由這些通解，設計出最佳化的週期性編碼序列。

3.2.1 最佳化的條件

以下的討論，假設了系統的通道階數已知，由 (2-26)，我們可以推導出當雜訊存在 的時候，所收到的區塊訊號的自相關矩陣，其推導如下， ( ) ( )

[

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2 1 1 1 2 0 0 (0) ( )( ) ( )( ) H H T H H H v N j M M M i j i j i H T i H T v N j i i j E n n E n n n n E n n n n P j σ σ − − _{+ −} − ₋ = = = = ⎡ ⎤ = _⎣ + + _⎦ ⎡ ⎤ = _⎣ + + _⎦ = + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦

∑

∑

∑

y -1 -1 -1 R y y HF Ds v HF Ds v HF Ds v s D FH v HCH I + J gg J J gg J I (3-24) 得到了所收到的區塊訊號的自相關矩陣之後，應用了與3-1節中，推導如何計算系統通 道係數乘積相同的流程，可以得到當雜訊存在的時候的矩陣方程式如下，

(

)

( )

(

)

1 1 1 2 0 0 2

vec (0) P vec vec( )

vec vec( ) j M M M i j i i j i H v N j i i j H v N j σ σ − − − + − − = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ = ⋅ + ⊗ ⊗

∑

∑

∑

y R J J J J gg Q hh I + I

)

(3-25) 因為雜訊的變異數大小 為未知，一般情況下，我們無法從包含了雜訊的訊號下，得到 關於 的真實解。取而代之的是，當我們收到包含了雜訊的訊號之後，得出了 訊號的自相關矩陣 ，由已知的 ，計算出最小平方解。其方程式如下， 2 v σ )

(

vec _hhH (0 y R R_y(0)

1 2 1 N vec( ) ( ) vec( (0)) vec( ) ( ) vec( ) H H H LS H H H v σ − − = = + y hh Q Q Q R hh Q Q Q I (3-26) 從(3.26)式可以很清楚的看出，若是要 的最小平方解等於真實解，其雜訊所存 在的項 必須要與 Q的值域空間正交，也就是下列的條件， vec(_hhH) N vec( )I N vec( )=0 H Q I _(3-27) 如果把(3-26)式中的 看成是我們所想要的訊號，則Q的值域空間定義了訊號的 子空間，而 則定義了雜訊的子空間，而(3-27)式則是要求訊號的子空間要與雜 訊的子空間互相正交。而實際上，矩陣 Q是由矩陣Q經過了刪除了 中的零項所 對應的行向量處理而得來，矩陣 是由循環矩陣C的第一行中的元素所組成，而矩陣C 的第一行元素又是完全由週期性編碼序列所決定的。

(

vec _hhH ) N

)

2_vec( v σ I vec(_ggH) Q 於是(3-27)式，就是我們如何設計週期性編碼序列的條件，亦即問題變成是，如何 挑選適當的週期性編碼序列，能夠滿足(3-27)式中的正交條件，或者是，如果滿足正交 條件是不可能的，那該如何盡可能的接近，讓雜訊的影響變的最小。因為以上的需求， 我們需要知道矩陣QT 與vec( )I_N 的正交性，於是我們提出了以下檢驗方式， vec( ) ( )= vec( ) H i N H i i γ ⋅ q I q IN 1) (3-28) (3-28) 式 當 中 ， ， 為 矩 陣 的 第i 個 行 向 量 。 且 (3-28) 式 定 義 了 當 ，向量的序對｛ q ｝的相關(或正交)的程度。也就是說(3-28)式 將會找出所有訊號的分量中受到雜訊的影響程度。並且能提供一個有效用來測量訊號與 雜訊子空間正交性的方法。而當 的值越小的時候，代表雜訊對訊號的影響程度越小， 而且可以幫助我們在估計通道的時候有比較高的準確率。為了達成這個目的，設計週期 性編碼序列的問題就如下所述，在下列兩個條件成立的情況下，我們希望 能夠被最小 化。 2 ₁ N i × ∈ q Q N 2 1≤ ≤i (L+ _i,vec( )I γ γ

條件一: 1 2 0 1 ( ) 1 M n p n M − = =

∑

(3-29) 條件二: (3-30) 2 ( ) 0, 0 1 p n ≥ >δ ≤ ≤n M− 條件一是將單一個區塊傳送的平均功率單範化，而條件二是保證編碼序列的功率會 比某一個臨界值大，這個臨界值能讓我們在還原符元的時候，不會讓我們遭遇到因為傳 送的功率太小而有等化上的困難[5]。 在(3-26)式當中，另一個用來增加最小平方估計精準度的方式是最小化雜訊影響項 的範數平方，也就是， 2 ₍ H ₎ 1 H_{vec( )}2 v σ _{Q Q} − _{Q I} N 1 ，但是這個方法在我們設定的兩個條件下， 其方程式會使得 呈現非線性的情況，似乎沒有比較好的方法去得到一個最佳解。 於是我們提出的方法是，挑選適當的 使得能最佳的滿足正交的條件，即(3-28)式。 ( )' p n s ( ) p n

3.2.2 最佳解

在這一節裡，要得到關於如何設計週期性編碼序列的最佳解，也就是最不受雜訊影 響的解。在(3-27)的條件下我們要檢驗的是矩陣 Q，但是以下我們提出的方法是可以經 由檢驗矩陣Q來達到等同於檢驗矩陣 Q的目標。這麼作的原因是因為矩陣 Q的BCCB結 構，會使得檢驗的過程比較簡單而且易於說明。首先我們會先回顧在本系統下的矩陣Q 與矩陣 Q的一般式，並且提出一個表示矩陣中某一個行向量的表示法，接著說明此表示 方法應用在這兩個矩陣下會分別指向不同的行，但為相同的行向量。然後給出關於 Q的 行向量應用了(3-28)式的一般解，解中會清楚的表示出不同的行向量的相關係數值。並 經由所推導出的一般解，提出如何設計 ， 。又 是完全由 ， ，所決定，於是在決定如何設計 後，我們會說明 與 的關係， 並且給出 的最佳解。 ( ) P i p i( 0 i M ( p i ( ) P i 0≤ ≤i M − 1 P i( ) ( ) P i ) ≤ ≤ − ( ) p i ) 根據(3-12)式，可知矩陣Q的一般式如下，

2 2 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 M M M N N M − − − × − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥} ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c c c c c Q c c 其中c_j ∈ N N× ，0≤ ≤j M −1，為一循環矩陣，共有M 個，並以J P 與L 個零為j 其第一個行向量，以下為其一般式， 2 2 0 1 _{( 1)} 0 1 0 0 0 0 0 0 M _{N L} M − _{× +} − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥}∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c c Q c c _(3-31) 其中c_j ∈ N L× +( 1)，0≤ ≤j M −1為Q中相對應的循環矩陣去除了最後 行，共有M個，並以 ( 1 N − L+ ) j J P 與L 個零為其第一個行向量。 由以上的區塊表示方式可以知道 Q中的任何一個行向量都在Q中，若以下列方式來 表示 Q中的第i個行向量，可以一對一的表示 Q中的任何一個行向量，並根據這樣的表 示方式，可以表示出Q中的部分行向量。 以下定義一組序對( , ，用以表示在一個以區塊表示法來表示的矩陣， ， 此以區塊表示法表示的矩陣，我們用下列的方法來表示第i個行向量如下， ) α β α β ∈,

[

]

columni =column (α− × 每個區塊中所包含的行向量個數)+1) ( β (3-32) 1≤α ≤ 矩陣的行向量個數( _{每個區塊所包含的行向量個數}) 1≤ ≤ 每個區塊中所包含的行向量個數β ( )

所以對於一個區塊表示法的矩陣，若是我們要表示其中第i個行向量，另一個看法 就是第 個區塊的第 個行向量，所以用這樣的看法來看矩陣 Q的第i行，其表示方法 如下， α β ( 1)( 1) , 1 , ( 1 i = α− L+ +β ≤α β≤ L+ ) ) ) N (3-33) 值得一提的是，若以組成 Q的所有序對( , ，1 , 。同一組( , 在 表示Q上，會指向第( 1 行，指向 Q中第( 1 行，但是其行 向量會與 Q中的相同。並且所有這些序對( , ，1 , ，所指向的Q中的這 些行向量，即為組成 Q的行向量。 ( − + ) α β β ) α β (L 1 α β ≤ ≤ + )(L 1 α − + (L 1) α β ≤ ≤ + ) α β β ) N 1) α + ) + Fact 3.1：當以( , ，1 , 來表示矩陣Q與矩陣 Q的其中一個行向量 時，雖然指向不同的行，但是其行向量相同。 ) α β ≤α β ≤(L +1 現在，我們想要知道 的結果，首先先把 的第一個行向量(也是矩陣Q的 第一個行向量)如下的表示， vec( ) H i q I Q 2 0 1 1 1 ₁ 1 1 1 ( ) 1 0 0 0 0 L L _N M L N L × × _× − × × × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J P J P q J P (3-34) 定義， 2 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 N ×N ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⎢ ⎥}∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ J (3-35) 由Fact 3.1可以知道要找出Q中的第i行，則先找出一組( , ，並求出在Q中相對應 的行向量即得。於是要求 c( 這個問題，就轉變成求 ) ) α β vec( H ve ) i qH I N qj IN ，j =(α−1)N +β，

1≤α β, ≤(L+ )1 c( ) ，而其推導如下， 1 1 ( 1) 1 1 vec( ) ( ) vec( ) ( ) ve H j H j N N N H N α β − − + − = = q I J q I J q I (3-36) 由於矩陣Q的循環的區塊有區塊間循環結構(BCCB)，可以知道J(α−1)N+ −β 1q 此項，可以₁ 化簡如下， 1 1 0 1 1 1 ( 1) 1 1 ₁ 1 1 1 1 ( 1 ) 1 0 0 0 ( ) 0 0 0 N N L N H L M L N L β α β β β α × × − × − + − − × − − × × + − × ⎧⎡ ⎤ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ _{⎡ ⎤}⎥ ⎪⎪⎢ _{⎢ ⎥}⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎢ _{⎢ ⎥}⎥ ⎪ _{⎣ ⎦} ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎡ ⎤ = ⎢⎨_{⎪⎢ ⎢ ⎥}⎥_⎥ ⎪_⎢ ⎢ ⎥_⎥ ⎪ _{⎢ ⎥} ⎪⎢ ⎣ ⎦⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ _{⎡ ⎤}⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪ _{⎢ ⎥} ⎪⎢ _{⎢ ⎥}⎥ ⎢ _{⎢⎣ ⎥⎦}⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ J P J J P J q J J P J H ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎪⎪⎪ (3-37) (3-37)中，由於矩陣Q的區塊循環的關係， ( 1) 1 1 N α− + −β J q n e 將會使得第一行向量，往下 移了( 個區塊，再因為每個區塊都是循環矩陣，所以每個區塊中的行向量往下移了 個元素。於是(3-36)可以化簡如下，其中 為單位標準向量。 1) α − 1 β − 1 1 ( 1) 1 1 vec( ) ( ) vec( ) ( ) ve H j H j N N N H N α β − − + − = = q I J q I c( ) J q I