自組式量子點偏振螢光之理論研究

國立交通大學

電子物理學系

碩 士 論 文

自組式量子點偏振螢光之理論研究

Theoretical studies of polarized photoluminescence

Spectrum of self-assembled quantum dots

研 究 生：尤文廷

指導教授：鄭舜仁 教授

i

自組式量子點偏振螢光之理論研究

Theoretical studies of polarized photoluminescence

Spectrum of self-assembled quantum dots

研 究 生：尤文廷 Student：Wen-Ting You 指導教授：鄭舜仁 教授 Advisor：Shun-Jen Cheng 國 立 交 通 大 學 電子物理研究所 碩 士 論 文 A Thesis

Submitted to Department of Electrophysics College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in Electrophysics

March 2010

HsinChu, Taiwan, Republic of China

ii 自組式量子點偏振螢光之理論研究 學生：尤文廷 指導教授：鄭舜仁 博士 國立交通大學電子物理研究所碩士班 摘要 本篇文章主要是探討激子(電子-電洞對)在自組式量子點中所釋 放的旋光。文章中利用k p. 多能帶理論以及波包近似法理解激子中電 子和電洞的性質，接著將於系統中引入重電洞、輕電洞耦合並使用費 米黃金定律了解其對激子所釋放出旋光的影響。而關於重電洞、輕電 洞的耦合包含兩大因素：(1)Luttinger-Kohn Hamiltonian因為量子點得 不對稱性(形狀、應力)而產生耦合 (2)激子間的交換能。結果發現其 耦合效應的強弱會影響線性偏振光的能量劈裂大小，甚至可以發現有 一個臨界點(能量簡併)會造成X、Y方向線偏振光能量反轉；量子點 的不對稱性會造成光學的異相性；激子能量劈裂差距和光學異相性程 度(極化率)具有成正比的關係。

iii

Theoretical studies of polarized photoluminescence Spectrum of self-assembled quantum dots

Student：Wen-Ting You Advisor：Shun-Jen Cheng

Department of Electrophysics National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis presents a theoretical study of polarized

photoluminescence spectrum of a single spin exciton confined in a

strained self-assembled quantum dot (QD). The electronic structure of an

exciton in QD is studied in the framework of four-band strain k p⋅

model. The time-dependent perturbation theory is employed to calculate the polarized emission spectrum of strained quantum dot. The study shows that the effect of heavy- and light-hole (HH and LH) mixing is especially pronounced in quantum dots with lateral shape deformation and is essential in the polarized photoluminescence spectrum of QD. The HH-LH mixing results in pronounced optical anisotropy and substantially renormalize the magnitude of fine structure splitting between the bright exciton states of deformed QD.

iv 致謝 這兩年多的碩士生活裡，首先感謝鄭舜仁老師兩年多來的指導， 讓我不僅對固態物理以及理論計算有所了解，更使我的求學生涯由單 純的讀書跨入了嚴謹的研究領域。並感謝口試委員在口試上所提出的 寶貴意見，使得研究內容更趨於完備。 在固態理論研究室的碩士研究學習過程中，也很感謝盧書楷、黃 上瑜、陳彥廷學長給予研究上的意見以及碩士生活的參考指標；還有 感謝共同度過碩士生活的趙虔震學長以及陳勇達同學在課業上的討 論；也要感謝廖禹淮、許克銘、徐燁、曾浤鈞等學弟妹在各方面提供 各種不同的參考意見；同時也要感謝張文豪實驗室的林家賢同學提供 實驗數據並撥空與我討論研究內容。 而在求學的過程中更感謝父母對我的長久以來的支持，以及家人 親戚的鼓勵，使我得以無後顧之憂的持續這十幾年來學習，直至如今 所完成的碩士論文。而所要感謝的人太多，最後對所有曾經給予我幫 助的人說一聲謝謝。

v 目錄： 中文摘要……… ii 英文摘要………... iii 致謝………... iv 目錄……… v 表目錄……….. vii 圖目錄………. viii 第一章、導論……… 01 1.1 簡介………. 01 1.2 研究動機………. 01 1.3 章節概要………. 04 第二章、量子點的電子結構……… 06 2.1 自組示量子點簡介………. 06 2.2 電子的電子結構………. 08 2.3 電洞的電子結構………. 09 2.4 電洞的基底波函數………. 13 第三章、激子的電子結構與交互作用……… 18 3.1 固定軌道模型………. 18 3.2 激子的波函數………. 20 3.3 激子的交互作用………. 26 3.4 激子的 Hamiltonian……… 28 第四章、結果與討論……… 36 4.1 激子系統不具有重電洞、輕電洞耦合………. 36 4.2 激子系統中加入重電洞、輕電洞耦合………. 43 4.3 討論………. 53

vi

第五章、結論……… 65

附錄A……… 66

附錄B……… 73

vii 表目錄： 表2.2.1、電子 Bloch function 的定義及符號……… 08 表2.3.1、電洞 Bloch function 的定義及符號……… 09 表2.3.2、式子(2.3.2)中的矩陣元素………. 12 表2.3.3、式子(2.3.2)矩陣元素所使用的參數………. 13 表3.2.1、定義激子符號所對應波函數、總角動量……… 22 表3.4.1、式子(3.4.1)矩陣參數列表………. 29 表3.4.2、文章所使用的估計參數……… 35 表4.1.1、式子(4.1.1)矩陣的特徵值和特徵向量………. 36、38 表4.1.2、各個激子基底所釋放旋光振幅的 θ 函數……… 37 表4.1.3、將基態、第一激發態旋光區分為 πx、πy旋光………… 40 表4.2.1、將(圖 4.2.1)的線性偏振旋光區分為 πx、πy……… 45 表4.3.1、參數對旋光特性影響………. 53 表A.1、各個激子基底所釋放旋光振幅的 θ 函數………. 70 表A.2、定義矩陣基底所對應波函數、總角動量……… 71 表B.1、新基底所釋放旋光特性……… 76 表B.2、2X2 矩陣特徵值、特徵向量……… 79

viii 圖目錄： 圖1.2.1、理想狀態下量子點中雙激子系統串聯放射示意圖… 03 圖1.2.2、實際量子點所測的螢光光譜，截自參考文獻[8]…… 03 圖1.3.1、實驗量測 PL 圖、旋光極座標圖、FSS-polarizability 關係圖………... 05 圖2.1.1、量子點形狀(a) 110 方向 (b) 110 方向，截自參考 文獻[10]………... 06 圖2.1.2、模擬長方體量子點(X 方向 16nm，Y 方向 12nm，Z 方向4nm)導電帶位能………. 07 圖2.3.1、單激子(電子-電洞對)系統示意圖……… 10

圖3.1.1、固定軌域的模型(“rigid orbital” model)示意圖……… 18

圖3.1.2、透鏡形狀量子點因應力造成的位能剖面圖………… 20 圖3.2.1、左示透鏡形量子點的位能剖視圖，右示臆測的重電 洞、輕電洞的基態波包方程式………. 25 圖3.4.1、各激子間能階關係圖……… 30 圖3.4.2、同於圖 3.1.2，截自參考文獻[17]………. 31 圖3.4.3、以 comsol 模擬長方體量子點(GaAs/InAs)因應力所造 成的位能剖面圖，沿[1 0 0]方向、沿[0 0 1]方向………….. 31 圖3.4.4、長方體量子點模擬的應力分佈……… 33

ix 圖4.1.1、(表 4.1.2)中 θ 在實空間中的示意圖………. 37 圖4.1.2、對(4.1.4a)作圖，左為 XY 座標，右為極座標……… 39 圖4.1.3、對(4.1.4b)作圖，左為 XY 座標，右為極座標……… 40 圖4.1.4、所模擬的量子點形狀之示意圖，以 X 為長軸……… 42 圖4.1.5、模擬重電洞、輕電洞未耦合的結果，含 PL 圖、極座 標圖………... 42 圖4.2.1、重電洞耦合輕電洞對激子能量的影響……… 43 圖4.2.2、如何區分偏振旋光為 πx、πy的範例圖……… 45 圖4.2.2、以∆lh為變數且φS=0 的能量模擬結果示意圖………… 47 圖4.2.3、模擬重、輕電洞耦合且 φS=0 的結果，分別(a) ∆lh-FSS (b) ∆lh-Intensity (c) ∆lh-極化率 (d)極化率- FSS……….. 48 圖4.2.4、模擬重、輕電洞耦合且 φS=0 的結果，並分別繪出強 耦合(∆lh=50meV)以及弱耦合(∆lh=350meV)的 PL 圖、極座 標圖………... 48 圖4.2.5、以∆lh為變數且φS≠0 的能量模擬結果示意圖……… 50 圖4.2.6、模擬重、輕電洞耦合且 φS≠0 的結果，分別(a) ∆lh-FSS (b) ∆lh-Intensity (c) ∆lh-極化率 (d)極化率- FSS……….. 50 圖4.2.7、模擬重、輕電洞耦合且 φS≠0 的結果，並分別繪出 強耦合(∆lh=50meV)以及弱耦合(∆lh=350meV)的 PL 圖、極

x 座標圖………... 51 圖4.2.8、模擬結果與解析結果的比較……… 55 圖4.2.9、新基底的能量分析示意圖，並考慮 ρS≠0、φS=0o系統 之後的變化... 57 圖4.2.10、新基底的能量分析示意圖，並考慮 ρS≠0、φS=0o系 統之後的變化... 58 圖4.2.11、實驗量測 FSS 對極化率(polarizability)作圖，且左為 量子點以長軸為X 軸，右為量子點以長軸為 Y 軸………. 59 圖4.2.12、模擬“FSS-極化率”關係圖，增加 φs個數的結果…… 60 圖4.2.13、當 ρS≠0、φS=0 的系統下，πx、πy線性偏振旋光夾 角的模擬結果………... 62 圖4.2.14、當 ρS≠0、φS≠0(10o)的系統下，πx、πy線性偏振旋 光夾角的模擬結果………... 63 圖4.2.15、當 ρS≠0、φS≠0(10o)的系統下，“FSS-πx、πy夾角＂ 和“FSS- Polarizability＂的模擬結果以及實驗數據比對… 64 圖A.1、起始態為一個激子，藉由釋放光(微擾)，轉變為類似 真空的最終態………... 66 圖A.2、檢偏器的偏振方向………. 72 圖B.1、微擾法的示意圖，可以將矩陣縮小………. 77

1

第一章 導論

1.1 簡介

隨著量子力學理論的漸趨完備，人們開始思考著量子力學的應用， 因此近年開始有量子資訊(quantum information)[1,2]一類的研究發展， 而單就量子資訊的名詞看來，可以知道它和以往的資訊科學必有一部 分相似的概念，但卻亦有其不同之處。以往的資訊科學中的基礎單位 是位元(bit)，位元是用來代表一個非 0 即 1 的狀態，所以資訊科學便 是利用此二次進位來處理所有資料；而量子資訊方面亦是產生兩個狀 態(古典資訊的 0 和 1)，但極為不同的是兩個狀態乃為量子態，量子 態具備不同於古典能態的兩大特性：(1)疊加性 (2)糾纏態的特性，這 兩種特性直接的說明兩個量子態之間不是「非 0 即 1」的關係。疊加 性是指當兩個正交的量子態經過疊加後亦屬於量子態，所以少量的量 子位元可以創造出許多量子態，提升了資訊科學的儲存或計算空間； 兩狀態間的糾纏態則指出了它們之間具有強烈的相干性以及非定域 性(Non-locality)，利用於量子計算(不具有古典的邏輯運算)可加速某 些困難的計算，也可利用於量子傳輸(quantum teleportation)以及量子 密碼學(quantum cryptography)[3]使得訊息可以保密傳輸。 1.2 研究動機 當要發展這一類的應用學，必然要先創造出屬於量子態的量子位

2 元，而在量子力學中大多屬於極小尺度的探討，因此量子態應該也是 創造於極小尺度，所以原子或是分子便是一個不錯的選擇，但是在現 實中要捕捉到一個原子或分子並非是易於處理的事，因此便往創造類 原子或類分子模型方向發展，進而產生了所謂的量子點系統。而量子 點是否真的易於創造量子態？這並不是一個肯定的答案，但是光就量 子點的特性(1)屬於小尺度 (2)具有離散的能階狀態 (3)可以控制發出 單光子，便足以構成量子點研究的原因。 而如何利用量子點創造出所謂的量子糾纏態，便有人提出當激發 電子從導電帶激發至價電帶時，分別在價電帶和導電帶分別產生電洞 以及電子，而電子、電洞相互牽引形成所謂激子(exciton)得準粒子， 發光激子具角動量±1，當電子、電洞的再結合(recombination)便會釋 放出光子，利用所釋放光子為“左/右旋光(或水平/垂直偏振)＂的特 性當作量子位元。當激發了雙電子使之同時存在於激發態時，這便是 雙激子系統，雙激子系統由排列組合可以知道具有兩種釋放雙光子的 路徑，如(圖 1.2.1a)所示分別為紅線及藍線的兩條路徑，且兩路徑因 為角動量守恆關係而將先後釋放出左、右(或右、左)旋光，不過兩路 徑的中間暫態的單激子能量簡併，使得這兩種路徑彼此間形成不可分 辨的關係，因此不知先釋放左旋光還是右旋光，使得先後釋放的旋光 形成雙量子位元[4,5] 。

3 (a) (b) 圖1.2.1、理想狀態下量子點中雙激子系統，串聯放射(cascade emmission) (a) BiexcitonÆexcitonÆvacuum，連續發出的光子因能量簡併而路徑不可分辨[6] (b) 高度糾纏態將會連續釋放左(右)、右(左)旋光[7] (圖 1.2.2)、 (a、c、d)實際量子點的實驗螢光光譜(photoluminescence spectrum) (b)量子點雙激子系統釋放螢光之能量示意圖，與(圖 1.2.1a)比較 H 代表水平線偏振，V 代表垂直線偏振[8]

4 但是在實驗上的量測(圖 1.2.2)和預期中理想狀態(圖 1.2.1)有所出 入：(1)單激子釋放的螢光能量並非簡併，因交換能而劈裂 (2)螢光偏 振不是糾纏態的圓偏振光，而是相同性質的線性偏振光 (3)螢光具有 光學各方異向性(optical anisotropy)。以上的差異性均展現出雙光子被 釋放的過程得以分辨，失去了當作量子位元的重要條件(糾纏態)[8]， 而此篇文章將探討的是在激子系統中考慮輕電洞和重電洞的耦合項 所造成的影響，而其中包含 (1)Luttinger-Kohn Hamiltonian (2)交換能， 兩者所產生的重、輕電洞耦合項，而且還因為重、輕電洞的能量差距 的大小影響這兩項的耦合強度。 1.3 章節概要 第一章主要先介紹本篇文章所探討自組式量子點所釋放旋光，以 及其實際上有何應用。第二章則用 k.p 原理、波包近似法介紹電子、 電洞的電子結構。第三章先利用第二章所介紹電子、電洞的電子結構 (矩陣)去得到激子的電子結構系統，並且加入了電子、電洞間的交互 作用項，其中的電子、電洞交換能以spin Hamiltonian 型式展開，接 著便可得到激子的Hamiltonian。第四章則是此文章最主要的部分， 先模擬出激子不具重電洞、輕電洞耦合系統之結果，再進而模擬激子 系統加入重電洞、輕電洞耦合的系統，所得模擬結果藉由Fermi’s golden rule 可分析出其旋光特性，並且將與實驗(圖 1.3.1)做個比較，

5 最後則對所模擬之結果進行探討，其中包含利用P.O.Lőwdiu method [9]的一種為擾方法去解析結果。第五章對本篇文章做總結討論，並 思考其後的發展性。 (a) (b) (c) (圖 1.3.1)、(a)實驗上所量測的 PL 圖 (b)旋光極座標圖 (c) 實驗量測 FSS 對極化率(polarizability)作圖，於之後章 節再對 FSS 與 polarizability 定義 資料來源：張文豪老師實驗室

6

第二章 量子點的電子結構

2.1 自組式量子點簡介 自組式量子點形成是因為異質介面間的晶格長度不匹配，進而產 生了應力使得材料變形而突起，所以其形狀類似於島狀(圖 2.1.1)或是 截角金字塔。 圖2.1.1、量子點形狀(a) 110 方向 (b) 110 方向

資料來源：J. Marquez, et al, Appl. Phys. Lett. 78, 2309 (2001). [10] 量子點被稱之為一種準零維系統，是因為其三個維度均被侷限，因此 形成了一個三維的有限深位能井，而得以類似於原子系統將電子、電 洞侷限住，甚至於其電子、電洞能態亦產生了離散的能階，由於自組 式量子點是因應力擠壓而產生，而擠壓的過程改變了量子點附近的晶 格偏移，導致材料的位能改變(圖 2.1.2)，所以位能主要受(1)量子點形 狀 (2)量子點材料成分 (3)應力分佈的主要三要素構成[11]，參考文獻 [12]便是以金字塔形狀之量子點為例的文章。

7 圖2.1.2、 以緊束縛法(Tight-binding)模擬透鏡形狀量子點的位能剖面圖(Z 方 向)，而虛線代表沒有應力影響下的位能剖面圖，至於點線則為受應 力影響後的位能剖面圖。 資料來源：Phys. Rev. B 74, 195339 (2006) [13]

在半導體材料中具有少量電子存在並負責傳輸的導電帶，以及 幾乎填滿電子的價電帶，然而還是有部分未填電子的空軌域，價電帶 的電子會因空軌域而產生流動或是交互作用，但是價電帶的電子相當 多，若要確確實實的計算這些電子是一項近乎不可能的任務，所以有 人提出了電洞的想法，而這個想法便是將價電帶中的空軌域視為一個 性質跟電子完全相反的粒子，而半導體中的電洞又可分為能量相近的 輕電洞以及重電洞。然而當量子點因應力而形成時，重、輕電洞也因 為應力以及量子侷限的關係而產生劈裂(圖 2.1.2)，而重電洞顧名思義 知道有效質量較大比較容易形成量子侷限，所以電洞的基態基本上屬 於重電洞，不過輕電洞仍會對重電洞進行混成，因此若要考慮兩者混 成，至少要使用四能帶Luttinger Kohn 模型的

k p

.

理論。

8 2.2 電子的電子結構 在考慮量子點中電子的電子結構時，文章中主要是以 k.p 理論的 單能態模型[14]以及波包近似法[14]為基礎。因此電子波函數可表示 成：

( )

_{, ,}

( )

e e i gi r ue c s_{e z} re Ψ = r r (2.2.1) (2.2.1)中的第一項波函數 e

( )

i e g rr 為波包方程式( envelope function )，而 第二項波函數 _,

( )

z c s e u rr 則為 Bloch function。 為了方便起見而定義下列符好以表示電子的Bloch function： 符號代表 Bloch function 原子對應的軌道形態 e ↑ u_{c, 1/ 2+}

( )

rr_e S,↑ e ↓ u_{c, 1/ 2−}

( )

rr_e S,↓ 表2.2.1、電子 Bloch function 的定義及符號

由波函數的型式和單能態有效質量理論(single-band effective mass theory)，可以得到波函數和能量的Schrodinger equation： e e e e i i i H g =E g (2.2.2a)

( )

2 * 0 2 e e e e QD i i i e p V r g E g m m ⎡ ⎤ + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r _(2.2.2b) (2.2.2b)中的m*_e為電子的有效質量，且Schrodinger equation和自旋無 關，所以每一個軌道波函數都有自旋上、下兩個態而形成二重簡併。

9 2.3 電洞的電子結構 由參考文獻[15]知道價電帶的混成將會對量子點釋放之旋光產 生影響，因此本篇文章中最主要討論的是重電洞、輕電洞的耦合對在 激子系統發光過程的影響，所以電洞的電子結構主要是以k.p 理論的 多能態模型 [14]以及波包近似法[14]為基礎。而寫下電洞的波函數：

( )

( )

, 3/ 2, 1/ 2 , , , h h i i j h j h j_{v z} v z v z f r u r =± ± Ψ =

∑

r r _(2.3.1) (2.3.1)相似於電子的波函數型式， _{, ,}h

( )

i j_{v z} h f rr 為電洞的波包方程式而

( )

, , v j_{v z} h

u rr 為電洞的Bloch function，列下電洞 Bloch function 的波函數

並定義其符號如下。 表 2.3.1、電洞 Bloch function 的定義及符號 分類 電洞觀點 電子觀點 符號 Bloch function 原子對應的軌道形態 重電洞 heavy hole h ⇓ u_{v, 3/ 2+}

( )

rr_h 1

(

)

, 2 PX iPY − + ↑ h ⇑ u_{v, 3/ 2−}

( )

rr_h 1

(

)

, 2 PX −iPY ↓ 輕電洞 light hole h ↓ u_{v, 1/ 2+}

( )

rr_h 1

(

)

, 2 , 3 6 PX iPY PZ − + ↓ + ↑ h ↑ u_{v, 1/ 2−}

( )

rr_h 1

(

)

, 2 , 3 6 PX −iPY ↑ + PZ ↓ 備註： 表中箭頭符號的方向和所對應 Bloch function 的 jz值不一樣， 因為前者為電洞觀點，後者為電子觀點 在此對(表 2.3.1)中的電洞觀點、電子觀點稍做解釋。激子的再結

10 合(recombination)代表了電子從導電帶跳回了價電帶的空軌域中(電 洞)，所以激子的總角動量(M)等於電子(se,z)和空軌域總角動量(jv,z)的 差值，則可寫成數學式M=se,z-jv,z；若將具一空軌域的價電帶視為電洞， 則電洞的角動量(jh,z)為空軌域角動量的反號(-jv,z)，而總角動量反而等 於電子和電洞總角動量的加總，同樣寫成數學示M=se,z-(-jh,z)= se,z+ jh,z， 因此空軌域以電洞觀點看待比較直觀，所以文章中關於電洞的符號 (箭頭)均為電洞觀點(圖 2.3.1)。至於電洞波函數(Bloch function 以及 envelope function)的部分，由於在實空間中電子為真實存在的粒子， 而電洞只是空軌域非真實粒子，所以在利用波函數做物理計算時仍然 以電子觀點為準。 圖2.3.1、單激子(電子-電洞對)系統示意圖

11 由波函數的型式和

k p

.

理論的多能態模型，可以得到波函數和能量的 Schrodinger equation，並藉由波包近似法：

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

3/ 2 1/ 2 + 1/ 2 + _{3/ 2} 0 0 0 0 h h h h k h k QD k h k QD k h k QD k h k QD v v v v P P Q Q S R f r V P P S Q Q R _{f r} V P P f r R Q Q S V P P f r R S Q Q V ε ε ε ε ε ε ε ε + + + − + ₋ ⇓ ↓ ↑ ⇑ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − + ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{− +} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ _{+ ⎥ ⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r r r r

( )

( )

( )

( )

3/ 2 1/ 2 1/ 2 3/ 2 h h h h h f r f r f r f r

E

+ + − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢_⎣ ⎥_⎦ r r r r …………(2.3.2a)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

3/ 2 3/ 2 1/ 2 + 1/ 2 + 3/ 2 0 0 0 0 h h h h k k h h k k QD k k _h k k QD k k h k k QD h k k k k QD hh lh lh hh h P Q S S R R _{f r f r} V P Q S S R R f r f V P Q f r R R S S V P Q f r R R S S V

E

ε ε ε ε ε ε ε ε + + + + − + − ⇓ ↓ ↑ ⇑ + ⎡ ⎤ − + + ⎢ _{⎥ ⎡ ⎤} + ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{− ⎥ ⎢ ⎥} ⎢_{− + + ⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{+ ⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥ =} ⎢ ₋ ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ _{+ +} ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ + ⎥_{⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} + ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} + + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r r r r r

( )

( )

( )

1/ 2 1/ 2 3/ 2 h h h r f r f r + − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r r r …………(2.3.2b) (2.3.2a)、(2.3.2b)和一般的參考書籍[14]中的式子在能量上相差了一個 負號，因為一般參考書籍的價電帶Schrodinger equation為電子觀點， 然而本文章對於電洞的Schrodinger equation則採用電洞觀點，其間

12 的轉換如(圖 2.3.1)。至於(2.3.2a)到(2.3.2b)之間的不同在於用 QD hh V 、 QD lh V 分別取代了Pε +Qε +VQDv 、 v QD P_ε −Q_ε +V ，而P_ε、Q_ε 均是來自於應力 項，所以 QD hh V 、 QD lh V 分別代表了重電洞、輕電洞在Schrodinger equation 中的位能項，其中包含了應力，也說明了應力對重電洞、輕電洞的影 響明顯不同。 表2.3.2、式子(2.3.2)中的矩陣元素 動量部分 重電洞(P+Q)、 輕電洞(P-Q) 2 2 2 2 1 2 2 2 0 2 k P m γ x y z ⎛ ⎞ − ∂ ∂ ∂ = _⎜ + + _⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ h 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 k Q m γ x y z ⎛ ⎞ − ∂ ∂ ∂ = _⎜ + − _⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ h 耦合項 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 2 2 k R i m γ x y γ x y ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ − ∂ ∂ ∂ = _⎢− _⎜ − _⎟+ _{⎜ ⎟⎥} ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ h 2 3 0 3 k S i m γ z x y ⎡ ⎛ ⎞⎤ − ∂ ∂ ∂ = _⎢ ⋅ _⎜ − _⎟⎥ ∂ ∂_⎝ ∂ _⎠ ⎣ ⎦ h 應力部分 (strain) 重電洞(P+Q)、 輕電洞(P-Q)

( )

v xx

( )

yy

( )

zz

( )

P rε r = −a ⎡⎣ε rr +ε rr +ε rr ⎦⎤

( )

( )

( )

2

( )

2 xx yy zz b Q r_ε r = − ⎡_⎣ε rr +ε rr − ε rr _⎦⎤ 耦合項

( )

3

( )

( )

( )

2 xx yy xy b R r_ε r = ⋅ ⎡_⎣ε rr −ε rr _⎦⎤−idε rr

( )

xz

( )

yz

( )

S_ε rr = −d_⎣⎡ε rr −iε rr ⎤_⎦

13 單位 IncGa1-cAs ， 0≦c≦1 InAs GaAs 1

γ

無 1/[(1-c)/7.10+c/19.7] 19.7 7.10 2

γ

無 _{1/[(1-c)/2.02+c/8.4] 8.4 2.02} 3

γ

無 1/[(1-c)/2.91+c/9.3] 9.3 2.91 c a meV -8013+2933c -5060 -8013 g a meV -8233+2153c -6080 -8233 b meV -1824+24c -1800 -1824 d meV -5062+1462c -3600 -5062 備註： ac為導電帶之參數，ag為導電帶、價電帶差距參數，因此 (2.3.2)矩陣元素中的價電帶參數av表示為ac −ag 表2.3.3、式子(2.3.2)矩陣元素所使用的參數 資料來源：Phys. Rev. B, 59, 5688[16] 2.4 電洞的基底波函數 為了探討重電洞、輕電洞的耦合效應，可以採用重電洞、輕電洞 未耦合時的eigenstate 為基底，而重電洞、輕電洞未耦合系統即為 (2.3.2b)刪去非對角項，形成(2.4.1)的矩陣。

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k QD k k QD k k QD k k QD hh lh lh hh P Q V P Q V P Q V P Q V ⎡ + + ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{− +} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦ (2.4.1) 因此重電洞、輕電洞的方程式將可以獨立形成，而不再具有相關性。 可分別定義為(2.4.2a)、(2.4.2b)，其中(2.4.2a)的Ehh i_, 為重電洞第i 個能 階的能量，而(2.4.2b) 的Elh i_, 為輕電洞第i 個能階的能量。 重電洞：

(

)

, 3/ 2 , , 3/ 2 hh k k QD i hh i i P +Q +V g _± = E g _{± (2.4.2a)}

14 輕電洞：

(

)

, 1/ 2 , , 1/ 2 lh k k QD i lh i i P −Q +V g _± = E g _{± (2.4.2b)} 由(2.4.2a)、(2.4.2b)的定義將可以把前一小節中重電洞波包方程式 ( h_{3/ 2} f_± )和輕電洞波包方程式( f_±h_{1/ 2})以g_{i, 3/ 2±} 、g_{i, 1/ 2±} 為基底展開 , z z j i i j i f =

∑

c g⋅ _(2.4.3) 如此一來便能明確得寫下電洞的波函數： , 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 + + + + − − − − ⎛ ⋅ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _⋅ ⎟ ⎜ ⎟ Ψ = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

i i i n n n h i j m m j j j c g c g c g c g , 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 + + + + − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_⎜ ⋅ _{⎟ ⎜}+ ⋅ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +_⎜ ⋅ _⎟+_⎜ ⋅ _⎟ ⎝ _{⎠ ⎝} ⎠

∑

∑

∑

∑

i i n n i n j m j j m j c g c g c g c g (2.4.4) 當寫下了電洞的波函數後，將以此為基底將電洞的Hamiltonian 當作 矩陣展開。 首先將(2.4.4)簡化為均只有基態波包方程式(i 等於 0)的電洞波函數為 例子，先列下此波函數： 0, 3/ 2 0, 3/ 2 , 3/ 2 0, 1/ 2 0, 1/ 2 , 1/ 2 0, 1/ 2 0, 1/ 2 , 1/ 2 0, 3/ 2 0, 3/ 2 , 3/ 2 + + + + + + − − − − − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ v v v v c g u c g u c g u c g u

15 因此取

(

_⎣⎡g_{0, 3/ 2+} ⋅u_{v, 3/ 2+} ⎤ ⎡_{⎦ ⎣}, g_{0, 1/ 2+} ⋅u_{v, 1/ 2+} ⎤ ⎡_{⎦ ⎣}, g_{0, 1/ 2−} ⋅u_{v, 1/ 2− ⎦ ⎣}⎤ ⎡, g_{0, 3/ 2−} ⋅u_{v, 3/ 2−} ⎤_⎦

)

為基底，而Hh表示為電洞 Hamiltonain，其矩陣元素計算如下。 矩陣第一列、第一行元素： 0, 3/ 2 , 3/ 2 h , 3/ 2 0, 3/ 2 0, 3/ 2 0, 3/ 2 ,0 H v v hh k k QD hh g u u g g P Q V g E + + + + + + = + + = 矩陣第二列、第二行元素： 0, 1/ 2 , 1/ 2 h , 1/ 2 0, 1/ 2 0, 1/ 2 0, 1/ 2 ,0 H v v lh k k QD lh g u u g g P Q V g E + + + + + + = − + = 矩陣第一列、第二行元素：

(

)

( )

0, 3/ 2 , 3/ 2 h , 1/ 2 0, 1/ 2 0, 3/ 2 0, 1/ 2 2 0, 3/ 2 3 0, 1/ 2 0 0,0 H 3 v v k g u u g g S S g g i S r g m z x y S ε ε

γ

+ + + + + + + + = − + ⎛− ⎡ ∂ ∂⎛ ∂ ⎞⎤ ⎞ = −⎜_{⎜ ⎢} ⋅ _⎜ − _⎟⎥+ ⎟_⎟ ∂ ∂_⎝ ∂ _⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ = − h 矩陣第二列、第一行元素：(因為矩陣為 Hermitian) 0, 1/ 2 , 1/ 2 h , 3/ 2 0, 3/ 2 0,0 H v v g u u g S + + + + + = − 矩陣第一列、第三行元素：

( )

0, 3/ 2 , 3/ 2 h , 1/ 2 0, 1/ 2 0, 3/ 2 0, 1/ 2 2 2 2 2 0, 3/ 2 2 2 2 3 0, 1/ 2 0 0,0 H 3 2 2 v v k g u u g g R R g g i R r g m x y x y R ε ε

γ

γ

+ + − − + − + − = + ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ − ∂ ∂ ∂ = _⎢− _⎜ − _⎟+ _{⎜ ⎟⎥}+ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ = h

16 同理可得全部的16 個矩陣元素，並且排列如下(2.4.4) , 3/ 2 0, 3/ 2 , 1/ 2 0, 1/ 2 , 1/ 2 0, 1/ 2 , 3/ 2 0, 3/ 2 ,0 0,0 0,0 0,0 0,0 ,0 0,0 0,0 0,0 ,0 0,0 0,0 0,0 0,0 ,0 0,0 00 0 0 0 0 v v v v hh lh lh hh h u g u g u g u g E S R S E R R E S R S E

H

δ

δ

δ

δ

+ + + + − − − − + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _⋅ ⎥ ⎣ ⎦ …………(2.4.5) 當要做較為精準的計算時，勢必會增加電洞的基底數，因此將其基底 數擴展到第f 個激發態時，矩陣亦擴展如下。 , 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , , , , , 3/ 2 , 3/ 2 , , , , , 1/ 2 , 1/ 2 , , , , , 1/ 2 , 1/ 2 , , , 3/ 2 , 3/ 2 0 0 0 0 + + − − + + − − + + + + + + − − + + − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ v v v v j j j j hh i i j i j i j v i i j lh i i j i j v i i j lh i i j i j v i i j i j hh v i i j h u u u u g g g g E S R u g S E R u g R E S u g R S E u g

H

δ

δ

δ

, , ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ i

δ

i j⎦ …………(2.4.6a)

17 0, 3/2 0, 3/2 0, 1/2 0, 1/2 0, 1/2 0, 1/2 0, 3/2 0, 3/2 , 3/2 , 3 , 1/2 , 1/2 , 3/2 0 00 4 4 4 4 0 4 4 4 4 f f f f f c c f c c h h c c c c h c c f f f c h h _c c

H

H

E

H

H

+ + + + − − − − + + + − − ⎡ ⎤ ⎡ _{⎤ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{× × ⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ ⎥_{⎢ ⎥=} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} × × ⎢ ⎥ ⎣ _{⎦ ⎢⎣ ⎥⎦} LLLL M M M O M M M M O M LLLL /2 , 1/2 , 1/2 , 3/2 f f f c c c + − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ …………(2.4.6b) 因此有了電洞的波函數將能由，重、輕電洞的波函數組合而得，並由 (2.4.6b)可以計算出其彼此間的關係。

18

第三章 激子的電子結構與交互作用：

激子由電子和電洞所組成，可以列出其Hamiltonian 的成分 d ex X e h eh eh H = H + H −V +V (3.0.1) (3.0.1)中第一項為電子 Hamiltonian，第二項為電洞 Hamiltonian，第三 項由直接庫侖作用力造成Hamiltonian，第四項則由電子、電洞的交 換能的Hamiltonian[19]。

3.1 固定軌道模型(Rigid Orbital Model)

有了激子完整的 Hamiltonian (3.0.1)之後便可以逐一的計算各項 的能量，而(3.0.1)的第一項以及第二項可以分別由前面章節所提的方 法求得，但是在所有的模擬系統(不論是物理還是其他領域)，當所取 樣品數、基底越多的時候，模擬的結果越精確。不過本文章在此所做 的討論並不包含精確性的計算，而只是對量子點的旋光特性作定性上 的探討，因此文章將採取“固定軌道模型”進行模擬。 陰影的部分代表所耦合 成分較低，因此暫時不 考慮。

19 而所謂的“固定軌道模型”是針對於已混成的電子或電洞軌道部 份，當要計算的軌域因耦合而有所混成時僅採取最主要的部份，至於 次要部份則當作少量的影響將其省略，(圖 3.1.1)即為其示意圖。激子 系統中的電子軌域從黃上瑜學長的有限差分法模擬結果知道，其基態 波包方程式主要類似於氫原子S 型軌道方程式[11]，因此電子軌域僅 僅採用基態的波包方程式；而激子系統的電洞軌域由於有重電洞、輕 電洞的混成效應，不過由多能態模型的模擬得知重電洞基態的波包方 程式和電子一樣，屬於氫原子S 型軌道方程式且侷限於量子點中，至 於所混成的輕電洞則可能包含了各種類型，而利用“固定軌道模型” 便可以化簡問題，如今在此文章中假設重電洞、輕電洞混成的主要軌 道(基態所佔最大比例的軌道)均類似於於氫原子 S 型軌道且侷限於量 子點中，此種假設則應該近似於參考文獻[17]的量子點形狀(lens shape)，因為重電洞、輕電洞的位能 VhhQD 、VlhQD相似，如(圖 2.1.2)、 (圖 3.1.2)所示，所以便有可能跟假設雷同，兩者的基態波包方程式均 屬於氫原子S 型軌道方程式且侷限於量子點中。

20 圖3.1.2、為透鏡形狀量子點因應力造成的位能剖面圖[17] 3.2 激子的波函數 至目前為止，已經探討單一粒子(電子、電洞)的 Hamiltonian，因 此也知道電子、電洞的波函數(2.2.1)、(2.4.3a)、(2.4.3b)，但是激子乃 是由電子和電洞所組成，所以此一小節將要利用電子、電洞波函數來 介紹激子的波函數。因為我們大多是在做矩陣的計算，所以可以由線 性代數的方法來處理，電子和電洞為不同的空間集合，因此將兩個單 一粒子組合時可以將它理解為兩個集合的聯集。

(

He +Hh

)

⎣⎡

ψ

e

( )

re ⊗

ψ

h

( ) (

rh ⎤⎦ = Ee +Eh

)

⎡⎣

ψ

e

( )

re ⊗

ψ

h

( )

rh ⎤⎦ r r r r

21

( )

( )

_{( )}

, 3/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 0 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 + + + + + + + − − − − − − − ⎡ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⎢ ⎜ ⎟ ⎡ ⎧⎪ ⎤ ⎢⎝ ⎠ = ⊗ =⎢ ⎨ ⎥⊗_⎢⎛ ⎞ ⎪ ⎢ ⎩ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢_⎜ ⋅ _⎟⋅ ⎢⎝ ⎠ ⎢ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣

∑

∑

∑

∑

r r r i i v i n n v n c e e

exciton electron hole e

c e m m v m j j v j c g u c g u u r g r u r c g u c g u

ψ

ψ

ψ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ …………(3.2.1) 文章中所考慮的系統屬於固定軌域模型(“rigid orbital” modelÎ僅考

慮最低能態的部分)，因此便可以簡化系統的複雜程度，將波包方程 式餘留下基態的部分；至於會耦合重電洞的輕電洞部分，一樣採取固 定軌域模型，僅考慮其中一個軌域能態(輕電洞的基態波包方程式)對 重電洞耦合。因此系統中的激子波函數便可以簡單列下：

( )

( )

_{( )}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0, 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 0, 1/ 2 , 1/ 2 0 , 1/ 2 0, 1/ 2 , 1/ 2 0, 3/ 2 , 3/ 2 + + + + + − − − − − ⎡ ⋅ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎧_⎪ ⎤ _⎢ ⋅ _⎥ =_{⎢ ⎨ ⎥}⋅_{⎢ ⎥} ⋅ ⎪ ⎢ ⎩ ⎥ ⎣ _{⎦ ⎢ ⎥} ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ r r r r r r r r r r r h h v h h c e h v h e exciton e h c e h v h h h v h g r u r u r g r u r g r u r g r u r g r u r

ψ

(3.2.2) 這一些激子的波函數中，並非均藉由發光而釋放能量，只有當其 總角動量等於±1 才會放出光子(自旋量等於 1)，而激子的總角動量(M) 由電子總角動量(se,z)和電洞總角動量(jh,z)加總而得。為了方便起見將 以簡單符號來代表激子波函數(3.2.1a)、(3.2.1b)，並同時列下其總角

22 波函數 符號 se,z jh,z M 波包方程式 Bloch

( ) ( )

0 3/2 e h e h g r gr rr u_e,1/2

( )

r ur_{e v,3/2}

( )

rr_h ↑ ⇓_{e h 1/2 -3/2 -1} Bright exciton

( ) ( )

0 1/2 e h e h g r gr rr u_e,1/2

( )

r ur_{e v,1/2}

( )

rr_h ↑ ↓_{e h 1/2 -1/2 0} Dark exciton

( )

( )

0 1/2 e h e h g r gr ₋ rr u_e,1/2

( )

r ur_{e v, 1/2−}

( )

rr_h ↑ ↑_{e h 1/2 1/2 1} Bright exciton

( )

( )

0 3/2 e h e h g r gr ₋ rr u_e,1/2

( )

r ur_{e v, 3/2−}

( )

rr_h ↑ ⇑_{e h 1/2 3/2 2} Dark exciton

( ) ( )

0 3/2 e h e h g r gr rr u_{e, 1/2−}

( )

r ur_{e v,3/2}

( )

rr_h ↓ ⇓_{e h -1/2 -3/2 -2} Dark exciton

( ) ( )

0 1/2 e h e h g r gr rr u_{e, 1/2−}

( )

r ur_{e v,1/2}

( )

rr_h ↓ ↓_{e h -1/2 -1/2 -1} Bright exciton

( )

( )

0 1/2 e h e h g r gr ₋ rr u_{e, 1/2−}

( )

r ur_{e v, 1/2−}

( )

rr_h ↓ ↑_{e h -1/2 1/2 0} Dark exciton

( )

( )

0 3/2 e h e h g r gr ₋ rr u_{e, 1/2−}

( )

r ur_{e v, 3/2−}

( )

rr_h ↓ ⇑_{e h -1/2 3/2 1} Bright exciton 備註：M 為激子的總角動量，由電子和電洞總角動量加總而得， 所以 M= se,z+ jh,z。 表 3.2.1、定義激子符號所對應波函數、總角動量 回到本節最初的式子(3.0.1)，由於文章主要探討旋光特性，因此只以 Bright exciton 為基底將 Hamiltonian 展開成矩陣型式。

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 , 1/2 3/2 , 3/2 0 , 1/2 3/2 , 3/2 0 , 1/2 1/2 , 1/2 0 , 1/2 1/2 , 1/2 + + + − − − + − − − + + ⎡ ↑ ⇓ ⎤ ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ _{↓ ⇑} ⎥ _⋅ ⎢ _{⎥ =} ⎢ _{↑ ↑} ⎥ _⋅ ⎢ ⎥ ⎢ _{↓ ↓} ⎥ _⋅ ⎣ ⎦ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r h e _{e h} e e h h h e _{e h} e e h h h e _{e h} e e h h e e h h e _{e h} e h e v e h e v e h e v e h e v r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

g

u

g

u

g

u

g

u

g

u

g

u

g

u

g

u

( )

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ h ⎦ (3.2.3) 因此矩陣向量表示波函數如下：

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 0 , 1/ 2 3/ 2 , 3/ 2 1 2 0 , 1/ 2 3/ 2 , 3/ 2 2 3 _{3 0 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2} 4 4 0 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 + + + − − − + − − − + + ⎡ ⋅ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ _{+ ⎡⎣ ⋅ ⎤⎦} ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ _{+ ⎡ ⋅ ⎤} ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ _{+ ⎡ ⋅ ⎤} ⎣ ⎦ r r r r r r r r r r r r r r r r e h e e e h v h e h e e e h v h e h e e e h v h e h e e e h v h c g r u r g r u r c c g r u r g r u r c c _{c g r u r g r u r} c c g r u r g r u r

23

以此四個基底對Bright exciton 的首兩個 Hamiltonian(He、Hh)做矩陣

展開，將會形成16 個矩陣元素，而其矩陣元素的計算如下： ≡ = + − d + ex e h eh eh ij ij ij ij i H j H H H V V 矩陣第一列、第一行：

(

)

(

)

(

)

e h ₁₁ , 3/ 2 3/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 3/ 2 , 3/ 2 0 , 1/ 2 e , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 3/ 2 0 , 1/ 2 , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 h , 3/ 2 3/ 2 ,0 H + H H + H H H + + + + + + + + + + + + + + + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + h e e h v e e v e e h h e e v v e e h h e e v v e hh u g u g g u g u g u u g g u u g g u u g g u u g E E 矩陣第二列、第二行：

(

e h

)

₂₂ , 3/ 2 3/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 3/ 2 , 3/ 2 ,0 H + H = ₋ ⋅ ₋ ⋅ ₋ ⋅ H + H ⋅ ₋ ⋅ ₋ ⋅ ₋ = + h e e h v e e v e hh u g u g g u g u E E 矩陣第三列、第三行：

(

)

(

)

(

)

e h 33 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 0 , 1/ 2 e , 1/ 2 0 1/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 1/ 2 0 , 1/ 2 , 1/ 2 0 1/ 2 , 1/ 2 h , 1/ 2 1/ 2 ,0 H + H H + H H H − − + + − − + + − − − − + + − − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + h e e h v e e v e e h h e e v v e e h h e e v v e lh u g u g g u g u g u u g g u u g g u u g g u u g E E 矩陣第四列、第四行：

(

e h

)

44 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 ,0 H + H = ₊ ⋅ ₊ ⋅ ₋ ⋅ H + H ⋅ ₋ ⋅ ₊ ⋅ ₊ = + h e e h v e e v e lh u g u g g u g u E E 矩陣第一列、第三行：

(

)

(

)

(

)

e h 13 , 3/ 2 3/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 0 , 1/ 2 e , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 1/ 2 0 , 1/ 2 , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 h , 1/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2 H + H H + H H H + + + + − − + + + + − − + + + + − − + − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + = % h e e h v e e v e e h h e e v v e e h h e e v v h h k S u g u g g u g u g u u g g u u g g u u g g u u g g R R g_ε ρ

24 矩陣第二列、第四行：

(

)

(

)

(

)

e h ₂₄ , 3/ 2 3/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 1/ 2 , 1/ 2 0 , 1/ 2 e , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 1/ 2 0 , 1/ 2 , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 h , 1/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2 H + H H + H H H − − − − + + − − − − + + − − − − + + − + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + = % h e e h v e e v e e h h e e v v e e h h e e v v h h k S u g u g g u g u g u u g g u u g g u u g g u u g g R R g_ε ρ 矩陣第一列、第二行：(由基底的正交性可知其為 0)

(

)

(

)

(

)

e h ₁₂ , 3/ 2 3/ 2 , 1/ 2 0 e h 0 , 1/ 2 3/ 2 , 3/ 2 0 , 1/ 2 e , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 3/ 2 0 , 1/ 2 , 1/ 2 0 3/ 2 , 3/ 2 , 3/ 2 3/ 2 H + H H + H H H 0 0 0 h e e h v e e v e e h h e e v v e e h h e e v h v u g u g g u g u g u u g g u u g g u u g g u u g + + + − − − + − + + − − + − + + − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + = 由於正交性的關係，H14=H23=H34=0。且利用矩陣為 Hermitian 的性值 將可以得到其他的矩陣元素並呈現如(3.2.4) ,0 ,0 ,0 ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 e h e h e h e h e hh S e hh S e h S e lh S e lh E E E E H H E E E E

ρ

ρ

ρ

ρ

+ + ↑ ⇓ ↓ ⇑ ↑ ↑ ↓ ↓ + ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ + = ⎢ + ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ % % % % (3.2.4) 將(3.2.4)所有可能的矩陣元素簡的統整如下。

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,0 ,0 ,0 , 3/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 , 3/ 2 , 1/ 2 0 ± ± ± ± ± ± ± ⎧ = ⎪ ⎪ = + + ⎪⎪ _{= − +} ⎨ ⎪ = + ⎪ ⎪ = + ≈ ⎪⎩ m r r r r r r r r % r r e e e e hh h k k QD h lh h k k QD h S h k h h k h hh lh E g r H g r E g r P Q V g r E g r P Q V g r g r R R g r S g r S S g r ε ε

ρ

(3.2.5) 從(3.2.4)中的矩陣比對(3.2.5)的矩陣元素，發現似乎缺少了 S 項，其

25

實當基底也把dark exciton 考慮進來時，則 S 也會出現，因為此項屬

於Bright exciton 和 Dark exciton 的交互作用項，不過於此將其忽略。

因為由(表 2.3.2)中知道 Sk為 2 3 0 3⎡ ⎛ ⎞⎤ − _⋅ ∂ ∂ ₋ ∂ ⎢ _{∂ ∂}⎜ _∂ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ h _i m γ z x y 而正比於 ∂ ∂z，且文 章前段已假設量子點為透鏡形狀，所以重電洞與輕電洞的波包方程式 沿Z 軸方向為對稱型式，(圖 3.2.1)為其簡單示意圖，則 Sk的值將等 於零。 圖3.2.1、 左半邊為透鏡形量子點的位能剖視圖，截自參考文獻[18] 右半邊維臆測的重電洞、輕電洞的基態波包方程式 至於Sε的部份可利用comsol 軟體計算出的實空間分佈，在同樣地乘 上重電洞、輕電洞波包方程式並對實空間進行積分，由於Sε(r)在空間 中屬於奇函數對稱，而氫原子S 型軌道方程式屬於偶函數對稱，所以 Sε的積分亦等於零。因此S 項在本文章的假設下將不會對 Bright

26

3.3 激子的交互作用

直接庫侖作用力

這一小節將要介紹(3.0.1)中的交互作用項，首先從其第三項的直 接庫侖作用力(Direct Coulomb Interact)計算式開始：

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

2 3 3 1 2 0 1 2 1 0 2 0 1 2 * * 0 1 , 1 , 2 , 2 3 3 2 1 2 , 1 , 1 0 2 , 2 0 1 2 4 4 Z Z Z Z Z Z d e h h e eh i i e c S i j v j e i j v j c S e V d r d r r r r r r r g r u r g r u r d r d r e g r u r g r u r r r

πε ε

πε ε

∗ ∗ ∗ ∗ Ψ Ψ Ψ Ψ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢_{× ×} ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

=

=

∫∫

∫∫

r r r r r r uv uv r r r r r r r r r r uv uv

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 3 3 1 2 0 1 , 2 , 2 0 1 0 1 2 * * , 1 , 2 3 3 1 2 , 2 , 1 4 Z Z Z Z Z Z e e i j i j c S v j v j c S e d R d R g R g R g R g R R R u u d d u u

πε ε

τ

τ

τ τ

τ

τ

∗ ∗ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ≈ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ × ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫∫

∫∫

r r r r r r r r r r r r r r …………(3.3.1) (3.3.1)為激子系統中電子和電洞的直接庫侖力的積分式，而其最末項 會因為Bloch function 的正交性使積分式僅和波包方程式相關，如今 分別代入含重電洞激子、含輕電洞激子，將得到(3.3.2a)(3.3.2b)。

( )

( )

2

( ) ( )

3 3 , 1 2 0 1 _0, 3 2 _0, 3 2 0 1 2 2 0 1 2 4 d e e eh hh e V d R d R g R g R g R g R R R

πε ε

∗ ∗ ± ± ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫∫

r r r r r r r r …………(3.3.2a)

( )

( )

2

( ) ( )

3 3 , 1 2 0 1 _0, 1 2 _0, 1 2 0 1 2 2 0 1 2 4 d e e eh lh e V d R d R g R g R g R g R R R

πε ε

∗ ∗ ± ± ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫∫

r r r r r r r r …………(3.3.2b)

27

一樣的運用Bloch function 的正交性(orthogonal)將使得其在 Bright

exciton 的基底中只會於斜對角項形成非零項(3.3.3)。 , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e h e h e h e h d eh hh d eh hh d eh d eh lh d eh lh V V V V V ↑ ⇓ ↓ ⇑ ↑ ↑ ↓ ↓ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − _{= − ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.3.3) 電子電洞間交換能

對於(3.0.1)的第四項電子、電洞交換能(e-h exchange energy)計算式：

( )

( )

2

( ) ( )

3 3 1 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 2 4 ex e h h e eh e V d r d r r r r r r r

πε ε

∗ ∗ = Ψ Ψ Ψ Ψ −

∫∫

r r r r uv uv r r (3.3.4) 在一般得參考書籍[19]以及論文[20]都將其寫成另一種 spin Hamiltonian 的型式：

(

3

)

, , , , , , ex eh i h i e i i h i e i i x y z V a J S b J S = = −

∑

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ _(3.3.5) , e i s 為電子的自旋1/2 的庖立矩陣(Puali matrix)，Jh i, 為電洞的總角動 量3/2 的庖立矩陣，在此我們取正的 Z 方向為Se i_, 和Jh i, 的基準方向。 同於前例，僅僅抽出bright exciton 的基底。 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 e h e h e h e h lh lh ex eh l l lh l l lh H

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

↑ ⇓ ↓ ⇑ ↑ ↑ ↓ ↓ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (3.3.6)

28 (3.3.6)中的矩陣元素可以將其展開如下：

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

0 0 1 1 3 27 1 1 = 4 16 4 16 6 1 5 = 16 2 4 3 7 3 4 16 l z z z z l x y x y x y lh x y x y a b a b b b a a b b a a b b

δ

δ

δ

δ

δ

⎧ _{+ = −}⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ _{⎝ ⎠} ⎪ ⎪ − − − = − − − ⎨ ⎪ ⎪ ₋ = + − + ⎪ ⎩ 3.4 激子 Hamiltonian 至目前為止已經將(3.0.1)所有作用項用 Bright exciton 的基底展

開成矩陣型式，把矩陣加總起來將得到Bright Exciton Hamiltonian。

d ex BX e h eh eh H =H +H −V +H ,0 1 , 0 ,0 1 , 0 ,0 1 , 0 ,0 1 , 0 + + ↑ ⇓ ↓ ⇑ ↑ ↑ ↓ ↓ + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + ⎢ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{− +} ⎥ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + ⎢ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{− +} ⎥ ⎣ ⎦ % % % % e h e h e h e h e hh S lh d eh hh e hh lh S d eh hh BX e lh _l S lh _{d l} eh lh e lh l lh S d l eh lh E E V E E V H E E V E E V

δ

ρ

δ

δ

δ

δ

ρ

δ

ρ

δ

δ

δ

δ

ρ

δ

δ

(3.4.1a) 將(3.4.1a) 的矩陣作能量的平移，就是把矩陣抽離出一個單位矩陣， 這樣的動作並不會改變矩陣的特徵向量，所以旋光特性將不受影響， 至於特徵值可以之後再把平移的能量加回即可。

29

(

)

0 1 1 0 ,0 , 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 S lh lh S d e hh eh hh l l S lh lh l l lh S lh E E V

δ δ

ρ

δ

δ δ

δ

ρ

ρ δ

δ

δ

δ ρ

δ

δ

+ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ _{Δ +} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ % % % 144424443 % 重電洞能量 (3.4.1b) 而(3.4.1b)式子中的Δlh等於

(

− ,

) (

− − ,

)

d d lh eh lh hh eh hh E V E V ，也就是輕電洞、 重電洞的能量差，且此式子第二項的斜對角項都還有值，因此再做一 次平移以簡化矩陣。 1 ,0 ₁ 1 , 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 S lh e hh _{lh S} l d S lh lh eh hh l lh S lh E E V

δ ρ δ

δ

δ ρ

ρ δ

δ

δ

δ ρ δ

+ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎛ ⎞_{⎢ ⎢ ⎥} ⎥ + ⎜ ⎟ ⎜ _{− +} ⎟_{⎢ ⎥ ⎢ Δ ⎥} ⎝ ⎠_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥} Δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ % % % 1442443 _% 重電洞能量 (3.4.1c) 上述(3.4.1)中的ρ 為複數，所已表示為ρ ρ e 。(3.4.1c)中為了 降低參數，其實做了 0 0 l lh

δ

δ

lh Δ + − ≈ Δ 的假設，如此才能真正降低所 處理的參數數目。之後所要處理的矩陣便是(3.4.1c)的第二項矩陣。 估計參數值 不過要模擬出較接近真實量子點的結果就要使用正確的參數值，先由 (3.4.1b)的第二項矩陣中列出所有參數。 表3.4.1、式子(3.4.1)矩陣參數列表 分類 符號 說明 能量尺度 電子-重電洞 交換能 0

δ

BX 和 DX 之間_的能量差 2

δ

0 0.5~1 meV 1

δ

BX 因交換能產生_的能量差 1

(

)

3 2 4 bx by

δ

= − − 0.01~0.05_meV

30 電子-輕電洞 交換能 0 l

δ

BX 和 DX 之間_的能量差 2 0 l

δ

0.5~1_meV 1 l

δ

BX 因交換能產生_的能量差

(

)

(

)

1 2 1 5 2 l x y x y a a b b

δ

= − − − − 0.03~0.15 meV Bright Exciton ( Dark exciton ) 間的耦合 S

ρ

_%

重電洞、輕電洞耦合，因量子點的幾何 不對稱性以及應力不對稱性所造成。激 子之間總角動量相差 2 會產生此項耦 合。 S

ρ

ρ

%

_S 的量值大小 10~50_meV S

ϕ

ρ

_%

_{S 的相位角} 0o lh

δ

激子總角動量一樣時，藉由此項耦合 0.1meV lh

Δ

重電洞和輕電洞能階的能量差值 100~500 meV 總共八個參數，不過還能再藉由能量的再次平移和 0 0 l lh lh

δ

δ

Δ ≈ Δ + − 關係式，將參數再降為六個( 1 1 l lh S S lh

δ δ

Δ

ρ ϕ δ

)。 圖3.4.1、各激子間能階關係圖 M 代表各激子的總角動量，標示於(表 3.2.1)

31 (1)Δlh (重電洞和輕電洞的能量差距) 重電洞和輕電洞的能量在自組式量子點中會因為應力的的變化 而產生差距，所以若是要Δlh估計值可以取輕電洞、重電洞考慮應力 的位能差距，因此取用參考文獻[17]、[18]的資訊加以估計。 圖3.4.2、為透鏡形狀量子點因應力造成的位能剖面圖[17] 圖3.4.3、為透鏡形狀量子點因應力造成的位能剖面圖[18]

32 由(圖 3.4.2)、 (圖 3.4.2)可以發現，重電洞和輕電洞的位能剖面圖相 似，為文章所假設的情況，其基態波包函數均類似於S 型氫圓子軌道， 且所以重電洞和輕電洞能量差便可以單純的假設為其位能差距，其值 大概0.2eV。 (2) 2i S Se ϕ

ρ

−

(來自 Luttinger-Kohn 和 Bir-Pikus Hamiltonian) 2i S Se Rk R ϕ ε

ρ

− _{= +} ，由(表 2.3.1)可以知道 R_k 、R_ε的型式。現在假設 有一長方體形狀的量子點，其長寬高分別為20nm、15nm、3nm， 屬於無限深位能井的型式，其重電洞、輕電洞則均為基態型式，屬於 氫原子S 型軌道且侷限於量子點中，可以列波包方程式為(3.4.2)。

( )

( )

3/ 2 1/ 2 8

cos cos cos

900 20 15 3 g_± r = g_± r = ⋅ ⎡_⎢

π

x_⎥⎤⋅ _⎢⎡

π

y⎤_⎥⋅ ⎡_⎢

π

z⎤_⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r r _(3.4.2) 得到此假設得波函數便可取得R_k

、

R_ε的值。

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3/ 2 1/ 2 3 2 0.0103155 0.0000699 h xx yy xy h b R g r r r id r g r i eV ε = ⎡⎣

ε

−

ε

⎤⎦−

ε

− = + ⋅ r r r r r (3.4.3a) (3.4.3a)的應力計算是曾浤鈞學弟由 comsol 軟體計算而得，上述式子 中的參數以InAs 材料的值[16]代入，將得到 ₂3b ⎡_⎣

( )

r −

( )

r ⎤_⎦ xx r yy r

ε

ε

以及

( )

r xy id

ε

r 的空間中分佈為(圖 3.4.4)。