第八章 分式

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(1)

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(2)

8.1 ̶ё

我們知道,兩個數相除可以表示成分數的形式,即 ÷ = 被除數 被除數 除數 除數 。 例如, 2 2 3 3 ÷ = 。 因零不能作除數,所以分數的分母不能是零。 在代數中,整式的除法也可以類似地表示。 例如,n 公畝稻田共收稻米 m kg,平均每公畝產量(m n÷ kg) 就可以用式子m n kg 來表示。 又如,輪船在靜水中每小時走 a km,而水流速度則是每小時 b km,輪船在逆流中航行 s km 所需要的時間[s÷ −(a b)]就可以 用式子 s a b− 小時來表示。 一般地,用 A、B 表示兩個整式, A B÷ 就可以表示成 A B形式。如果除式 B 中含有字母,式子 A B 就叫做分式。其中,A 叫 做分式的分子,B 叫做分式的分母。例如,m ns a b− 、 2 3 x x+ 等, 都是分式。 因為除式的值不能是零,所以分式的分母之值也不能是零。 如果分式的分母之值是零,分式沒有意義。 在本書中,如果沒有特別說明,所遇到的分母都是有意義 的,也就是分式裡分母的值不等於零,在分式 m n 裡,n ≠ ;在0

(3)

分式 s a b− 裡,a b− ≠ ,即 a b0 ≠ ;在分式 2 3 x x+ 裡,x ≠ − 。 3 分式與分數有許多類似的地方,可以比對分數來學習分式。 整式與分式統稱有理式。 【ּ 1】 當 x 取什麼數時,分式 1 3 2 x x + − 有意義?

ś

ྋ !! 當分母等於零時,分式沒有意義。此外,分式都有意義。 由分母 3x− = ,得2 0 2 3 x = 。 ∴ 當 2 3 x ≠ 時,分式 1 3 2 x x + − 有意義。 【ּ 2】 當 x 取什麼數時,分式 2 2 5 x x + − 的值是零?

ś

ྋ !! 當分子等於零而分母不等於零時,分式的值是零。 由分子x+ = ,得2 0 x = − 。 2 而當x = − 時,分母 22 x− = − − ≠ 。 5 4 5 0 ∴ 當x = − 時,分式2 2 2 5 x x + − 的值是零。

ቚ ௫!

1. (口答) 下列各有理式,哪些是整式?哪些是分式? 3x − 、 x y 、 2 2 2 7 3 x yxy 、 1 8 − 、 3 5+ y 、 5 xy 。 2. 把下列各式中商寫成分式: s v÷ 、 6000 ab÷ 、 (xy) (÷ +x y)。 3. 當 x 取什麼數時,下列分式有意義? (1) 1 x ; (2) 2 2 x x+ ; (3) 1 2 5 x x + − 。

(4)

ቚ ௫!

4. 下列分式中,x 等於什麼數時,分式的值等於零?x 等於什麼 數時,分式沒有意義? (1) 5 1 x x− ; (2) 3 4 10 1 x x − + 。

8.2 ̶ё۞ૄώّኳ

我們已經知道,分數的基本性質是:分數的分子與分母都乘 以(或除以同一個不等於零的數,分數的值不變。例如,) 3 3 4 5 5 4 × = × , 4 4 2 18 18 2 ÷ = ÷ 。 分式也有類似的性質,就是: 分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等於零的整式, 分式的值不變。這個性質叫做分式的基本性質,用式子表示是: × × A A M = B B M 、 ÷ ÷ A A M = B B M (其中 M 是不等於零的整式) 【ּ 1】 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的? (1) 2 2 a ac b = bc (c ≠ ); (2) 0 3 2 x x xy = y

ś

ྋ !! (1) ∵ c ≠ 0 ∴ 2 2 2 a a c ac b = b c = bc i i (2) ∵ x ≠ 0 ∴ 3 3 2 x x x x xy xy x y ÷ = = ÷

(5)

【ּ 2】 分別寫出下列等式中未知的分子或分母: (1) a b ?2 ab a b + = ; (2) 2 2 ? x xy x y x + = + 。

ś

ྋ !! (1) 右邊的分母a b 等於左邊的分母 ab 乘以 a,所以 2 2 2 ( ) a b a b a a ab ab ab a a b + = + i = + i 即所求的分子是a2 +ab。 (2) 右邊的分子 (x+ y) 等於左邊的分子 (x x+ y) 除以 x,所以 2 2 2 ( ) x xy x x y x x y x x x x + = + ÷ = + ÷ 即所求的分母是 x。 【ּ 3】 不改變分式的值,把下列各式的分子與分母中各項的係 數都化為整數: (1) 1 1 2 3 1 1 2 3 x y x y + − ; (2) 0.3 0.7 0.2 a b a b + − 。

ś

ྋ !! (1) 1 1 1 1 6 3 2 2 3 2 3 1 1 1 1 3 2 6 2 3 2 3 x y x y x y x y x y x y+ ⎞× + ⎜ + = = − ⎛ ⎞ − × ⎝ ⎠ ; (2) 0.3 0.7 (0.3 0.7 ) 10 3 7 0.2 (0.2 ) 10 2 10 a b a b a b a b a b a b + = + × = + − − × − 。

ቚ ௫!

1. 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的? (1) 1 c ab = abc (c ≠ ); 0 (2) 2 2 a x a bx = b ; (3) 1 2 1 1 1 x x x + = − − ( x+ ≠ ); (4) 1 0 2 2 2 (x y) x y x y x y= − − + 。

(6)

2. 寫出下列等式中未知的分子或分母: (1) y ?2 x = x ; (2) 2 ? ab b a = ; (3) 1 ? 2 2 xy = xy ; (4) 2 ? a a ac c + = 。 3. 不改變分式的值,把下列各式的分子與分母中各項的係數都 化為整數: (1) 0.5 0.7 0.3 0.2 x y x y − + ; (2) 1 4 3 2 4 a b a b + − 。 根據分式的基本性質,可以得到: a a b b − = − 、 a a b b − = − 。 這就是說,分子與分母同時改變符號,分式的值不變。 根據有理數除法法則,我們知道: 2 2 3 3 − = − 、 2 2 3 = −3 − 。 分式也有類似的法則: a a b b= − 、 a a b = −b − 。 這就是說,只改變分子(或分母)的符號,分式本身的符號也 要改變,分式的值才不變。 把上面兩條符號法則,概括起來就是: 分子、分母與分式本身的符號,改變其中任何兩個,分式的 值不變。

(7)

【ּ 4】 不改變分式的值,使下列分式的分子與分母都不含「-」 號: (1) 5 6 b a − − ; (2) 3 x y − ; (3) 2m n − 。

ś

ྋ !! (1) 5 5 6 6 b b a a= − ; (2) 3 3 x x y y= − ; (3) 2m 2m n = − n − 。 【ּ 5】 不改變分式的值,使下列分式的分子與分母之最高次項 係數都是正數: (1) 2 1 x x − ; (2) 2 1 2 a a − − − ; (3) 2 2 3 x x − − + 。

ś

ྋ !! (1) 2 2 2 1 (1 ) 1 x x x x = x = − x − − − − ; (2) 2 1 (2 1) 2 1 2 2 2 a a a a a a − − = − + = − + − − − ; (3) 22 ( 2 2) 2 2 3 ( 3) 3 x x x x x x= − − = − − + − − − 。

ቚ ௫!

1. 不改變分式的值,使下列分式的分子與分母都不含「-」號: (1) 2 a b − − ; (2) 2 3 x y − ; (3) 3 4 m n − ; (4) 2 x y − − ; (5) 4 5 m n − − 。 2. 不改變分式的值,使下列分式的分子與分母之最高次項係數 都是正數: (1) 2 2 1 1 a a a a − − + − ; (2) 2 1 1 x x − − ; (3) 2 2 1 1 a a a − − − + 。

(8)

3. 下列各式對不對?如果不對,應怎樣改正? (1) (a b) a b c c − − = − − ; (2) a b a b c c − − = − − ; (3) a b a b c c − + = − + 。

8.3 ࡗ̶

與分數的約分類似,根據分式的基本性質,把一個分式的分 子與分母的公因式約去,叫做分式的約分。分子與分母沒有公因 式的分式叫做最簡分式。約分時,通常要把分子與分母所有的公 因式都約去,使所得結果為最簡分式或整式。 例如,分式 2 3 6 8 ab b 的分子與分母中都有因式 b,這因式的最低 次冪是 2 b ,分子與分母的係數之最大公因數是 2,因此可以約去 2 2b ,即 2 2 3 2 6 3 2 3 8 4 2 4 ab a b a b = b b = b i i 。 又如,分式 3 2 2 2 2 2 x x y x y xy − − 的分子與分母分別是 3 2 2 2 ( 2 ) xx y = x xyx y2 −2xy2 = xy x( −2 )y , 它們的公因式是 (x x−2 )y ,把 (x x−2 )y 約去,得 3 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) x x y x x y x x y xy xy x y y== − − 。 從上面的例子可以看出:把一個分式約分,如果分子、分母 都是幾個因式的積之形式,就約去分子、分母中相同因式的最低 次冪,當分子、分母的係數是整數時,還要約去它們的最大公因 數;如果分子、分母是多項式,一般先行因式分解,再約分。

(9)

【ּ 1】約分: (1) 2 3 2 32 24 a b c b cd − ; (2) 2 35( ) 45( ) x y x y − − − − 。

ś

ྋ !! (1) 2 3 2 2 2 2 2 32 8 4 4 24 8 3 3 a b c b c a b a b b cd b c d d= − i = − i ; (2) 2 35( ) 5( ) 7( ) 7( ) 45( ) 5( ) 9 9 x y x y x y x y x y x y − − = − − = − − − − i i 。 分子或分母的係數是負數時,一般先把負號提到分式本身的 前邊去。 【ּ 2】 約分: (1) 2 2 3 9 m m m − − ; (2) 2 2 2 2 (2 )( 4 3) ( )( 6) a a a a a a a a − + + + + − 。

ś

ྋ !! (1) 2 2 2 3 ( 3) ( 3) 9 ( 9) ( 3)( 3) 3 m m m m m m m m m m m m== −= − − − − + − + ; (2) 2 2 2 2 (2 )( 4 3) [ ( 2)][( 1)( 3)] ( )( 6) [ ( 1)][( 2)( 3)] a a a a a a a a a a a a a a a a − + + = − + + + + + − + − + ( 2)( 1)( 3) ( 1)( 2)( 3) 1 a a a a a a a a − − + + = + − + = − 為了便於看出分子與分母的公因式,可以把所有因式的各項 都按照某一字母的降冪排列。如果因式第一項的係數是負數,再 把負號提到括號外面去,如上例中, (− + 寫成 (a 2) − − 。 a 2)

ቚ ௫!

1. (口答) 約分: (1) 6 2 6 xy x ; (2) 6 3 x x ; (3) 3 4 a a − ; (4) ( ) ( ) a a b b a b + + 。

(10)

2. 約分: (1) 2 2 4 6 a b ab ; (2) 3 2 3 6 4 2 m n m n − ; (3) 2 2 3 ( 1) 9 (1 ) a b m ab m − − ; (4) 3 2 12 ( ) 27 ( ) a y x a x y − − 。 3. 約分: (1) 2x xx ; (2) 2 2 2 x y xy xy + ; (3) 2 2 2 2 a ab a ab b + + + ; (4) 2 2 2 1 1 m m m − + − ; (5) 2 2 9 5 6 x x x − + + ; (6) 2 2 2 4 4 y y y y − + + + 。 4. (口答) 下列各式對不對? (1) 6 3 2 x x x = ; (2) a x a b x b + = + ; (3) x y 0 x y + = + ; (4) 2 2 a b a b a b + = + + ; (5) x y 1 x y − + = − − 。

8.4 ̶ё۞ࢷੵڱ

與分數的乘除法之法則類似,分式的乘除法之法則如下: 分式乘以分式,用分子的積作積之分子,分母的積作積之分 母;分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置後,與被除式 相乘。用式子表示是: i a c ac = b d bd ; ÷ i a c a d ad = = b d b c bc

(11)

【ּ 1】 計算: (1) 8 3 3 9 2 x y y i x ; (2) 2 2 2 3 3 2 4 ab a b c cd − ÷ 。

ś

ྋ !! (1) 8 3 3 8 3 3 42 9 2 9 2 3 x y x y y x = y x = x i i i ; (2) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 4 4 2 2 4 2 3 2 3 3 ab a b ab cd ab cd d c cd c a b c a b ac − ÷ = = − = − − i i i 【ּ 2】 計算 2 2 2 16 3 2 3 5 4 a a a a a a − − − − i − + 。

ś

ྋ !! 2 2 2 16 3 ( 4)( 4) 3 2 3 5 4 ( 3)( 1) ( 1)( 4) a a a a a a a a a a a a a − − = + − − − − i − + − + i − − 2 ( 4)( 4)( 3) ( 3)( 1)( 1)( 4) 4 1 a a a a a a a a a + − − = − + − − + = − 分子、分母是多項式,一般先分解因式,以便在運算過程中 約分,使運算簡化。 【ּ 3】計算 2 2 2 6 6 ( 3) 4 4 3 x x x x x x x÷ + + − − + i − 。

ś

ྋ !! 2 2 2 6 6 ( 3) 4 4 3 x x x x x x x÷ + + − − + i − 2 2( 3) 1 ( 3)( 2) ( 2) 3 ( 3) 2 2 x x x x x x x − + − = − + − − = − − i i 分式與整式進行運算時,可以把整式看成分母是 1 的式子, 然後按分式運算法則計算。 注意:分式運算的最後結果應化成最簡分式或整式。

(12)

1. (口答) 計算: (1) x a y i b ; (2) n m m i n ; (3) 4 2 x ÷ ; x (4) 2 2 2 a a b ÷b 。 2. 計算: (1) 3 162 4 9 a b b i a ; (2) 2 3 10 4 21 ab xy x y b − i ; (3) 12 8 2 5 xy x y a ÷ ; (4) 2 2 3 3 y xy x − ÷ 。 3. 計算: (1) 2 2 2 2 3 3 50 10 a b a b ab a b − − i ; (2) 2 2 2 5 6 1 3 x x x x x x − + + − i − ; (3) (xy x2) x y xy − − ÷ ; (4) 2 2 2 2 2 4 2 2 x y x y x xy y x xy÷ + + + + ; (5) 2 2 2 1 3 2 ( 1) 4 4 1 x x x x x x x÷ + + + + + i − 。

8.5 ̶ё۞ࢷ͞

根據乘方的意義與分式乘法法則,可得 2 2 2 3 3 3 a a a a a a b b b b b b a a a a a a a a b b b b b b b b ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i i i i i i i

(13)

一般地,當 n 為正整數時, n a n n n a n b n b a a a a a a a a b b b b b b b b ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i i i i i i i 個 個 個 , 即 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n n n a a = b b (n 為正整數) 這就是說,分式乘方,把分子、分母各自乘方。 【ּ】 計算: (1) 2 5 3y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (2) 3 2 3 3 2 a b c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (3) 2 3 4 2 2 b a b a b a ⎞ ⎛ ⎞ ⎛÷ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝i ⎠ 。

ś

ྋ !! (1) 2 2 2 2 5 5 25 3y (3 )y 9y⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (2) 3 2 3 6 3 6 3 2 3 3 9 9 3 (3 ) 27 27 3 ( 2 ) 8 8 2 a b a b a b a b c c c c⎞ = = = − ⎝ ⎠ ; (3) 2 3 4 4 4 2 2 6 5 2 3 4 a a b a b b a b b a b a a ⎞ ⎛÷== − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝i ⎠ i⎝ ⎠i 。

ቚ ௫!

1. (口答) 計算: (1) 2 2 3 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (2) 2 3 b a ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (3) 2 2x y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (4) 3 x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; 2. 計算: (1) 2 2 3 x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (2) 3 3 2 x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (3) 2 3 2 5 3 ab c ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ;

(14)

(4) 3 3 2 2a y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (5) 2 4 a b x + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (6) 2 2 2 5 x y a − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 3. 下列各式對不對?如果不對,應如何改正? (1) 3 6 2 3 3 3 2 2 b b a a⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (2) 2 2 2 2 2x 4x x y x y⎞ =++ ⎝ ⎠ 。 4. 計算: (1) 2 3 2 3 3 4 x y y x⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i ; (2) 2 2 2 4x y x y ⎛ ⎞ ÷ ⎜ 。 (3) 3 2 6 ( ) b b c ac⎞ ÷ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (4) 2 4 2 2 1 a b ab b a ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝i ⎠i 。

௫ ᗟ ˝

! 1. x 取什麼數時,下列分式有意義? (1) 3 1 x x− ; (2) 2 1 x x+ ; (3) 3 0.5x−1。 2. 在下列各分式中,當 x 取什麼數時,分式的值是零?當 x 取什 麼數時,分式沒有意義? (1) 2 1 2 x x + − ; (2) 2 0.5 3 1 x x − + 。 3. 寫出下列各等式中未知的分子或分母: (1) 2 2? 2 xy = x y ; (2) 2 3 ? 5( ) x x+ y = x+ y ; (3) 1 ? a b ma mb + = + ; (4) 2 2 ( 1) ? 1 1 x x x= − + ; (5) 2 2 3 3 ? x xy y x y x y + + = − − 。

(15)

4. 不改變分式的值,把下列各式的分子與分母中各項的係數都 化為整數: (1) 0.01 0.5 0.3 0.04 x x − + ; (2) 3 2 2 2 3 a b a b − + 。 5. 不改變分式的值,而使分母的第一項係數是正數,下面的做 法對不對?如果不對,應當怎樣改正? (1) a b a b a b a b − + = + − − − ; (2) 1 1 x y = − x y − + + ; (3) 1 1 1 1 x x x x − + − = − − + 。 6. 不改變分式本身的符號與分式的值,使下列各組裡第二個分 式的分母與第一個分式的分母相同: (1) 1 1 x x + − 、 2 1 x x − ; (2) 26 1 3 x x x + − + 、 2 4 5 3 x x x − − + − ; (3) 3 ( 1)( 2) x xx− 、 3 ( 1)(2 ) x x x + − − ; (4) ( )( ) a a b b c− − 、 ( )( ) b b a c b− − 。 7. 約分: (1) 2 xy xy − ; (2) 2 4 2 a b a − ; (3) 2( ) a b a b − − ; (4) 2 2 4 8 12 x y x y − − ; (5) 3 4 3 2 12 15 a b a b c ; (6) 2 2 2 3 3 a ab a b ab + + ; (7) 2 3 2 2 3 2 15 x x x x x − − + − ; (8) 3 3 2 2 2 2 4 4 4 x y x xy y − + + 。

(16)

(1) 3 3 3 2 2 x y x x y xy + − + ,其中x = 、5 y =3.5; (2) 2 2 2 3 9 6 a ab a ab b − − + ,其中 3 4 a = 、 2 3 b= − 。 9. 計算: (1) 2 4 x ÷ ; (2) x 2 4 3 3 8 4 a a b b − i ; (3) 4 2 2 2 3 2 4 8 15 35 a b a b n n − ÷ ; (4) 2 2 2 4 3 2 a b ab ab a b − − i ; (5) 2 2 2 3 ( ) x y x x x y − − + i ; (6) 4 2 3 y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (7) 2 3 n b a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (n 為正整數); (8) 2 1 n n b a + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (n 為正整數); (9) 3 2 2 3 2 x y x z z ⎛ ⎞ ⎛÷ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ; (10) 3 2 4 2 2 bc a b c a c ab ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ÷⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝i ⎠ ; (11) 2 2 ( ) x y x y xy÷ − ; (12) 2 2 2 2 2 (xy x ) x xy y x y xy x − + − − ÷ i ; (13) 2 3 2 2 2 4 8 1 4 4 3 6 4 x x x x x x x + + ÷÷ + + + − 。 10. 兩個圓柱的底面半徑分別是r cm 與1 r cm,高都是 h cm。求它2 們體積的比。

(17)

8.6 Т̶ϓ۞̶ёΐഴڱ

與同分母的分數加減法類似,同分母的分式相加減,把分子 相加減,分母不變。用式子表示是: ± ± a b a b = c c c 【ּ 1】 計算 x2 3y2 x2 2y2 2x2 3y2 x y x y x y + + + − − − − 。

ś

ྋ !! x2 3y2 x2 2y2 2x2 3y2 x y x y x y + + + − − − − 2 2 2 2 ( 3 ) ( 2 ) (2 3 ) 2 2 2( ) ( )( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + + − = − − = − − = + − = + 【ּ 2】 計算 m 2n n 2m n m m n n m + + − − − 。

ś

ྋ !! m 2n n 2m n m m n n m + + − − − 2 2 2 2 1 m n n m n m n m n m m n n m n m n m n m + = − − − − − + − − = − − = − =

(18)

1. (口答) 計算: (1) 3 12 5 a + a − ; (2) a 5 15 mm ; (3) a a xyxy ; (4) x y x+ y + x+ y 。 2. 計算: (1) 2 2 a b a b− − a b− ; (2) 2 5 1 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x + + − + + + ; (3) 5 2 3 3 x x y − + − y ; (4) 2 2 2 a b a b− + ba ; (5) 2 3 2 3 2 2 2 2 a c b c a b b a+ − − − ; (6) 4 2 2 2 x x x + + − − ; (7) x2 2y2 2 y 2 22x 2 x y y x x y + + − − − 。

8.7 ̶఼

與分數的通分類似,根據分式的基本性質,把幾個異分母的 分式分別化成與原來的分式相等之同分母的分式,叫做分式的通 分。 例如,把分式 31 2 x y 、 2 3 1 x y 與 4 1 xy 通分,可以這樣做:先找 出各式的公分母。這個公分母應當分別能被 3 2 x y 、 x y 與2 3 xy 整4 除,這樣的式子有 3 4 x y 、x y 、4 4 x y 、3 5 x y 、…。在這些式子中,4 5 3 4 x y 的次數最低,為了計算簡便,取x y 為公分母。然後,根據3 4 分式的基本性質,把原來各分式的分子與分母同乘以一個適當的 整式,使分母化成 3 4 x y ,即

(19)

2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 3 2 3 3 4 2 2 4 4 2 3 4 1 1 1 y y x y x y y x y xy xy x y x y xy x y x x xy xy x x y = = = = = = i i i 如果分母是多項式,一般先分解因式。 通分的關鍵是確定幾個分式的公分母。通常取各分母所有因 式的最高次冪之積作公分母,這樣的公分母,叫做最簡公分母。 如果各分母的係數都是整數,通常取它們係數的最小公倍數作為 最簡公分母的係數。 【ּ 1】 通分: (1) 2 y x 、 3 2 x y 、 1 4xy ; (2) 42 5 a b c 、 2 3 10 c a b 、 2 5 2 b ac − 。

ś

ྋ !! (1) 因為分母中係數 2、3、4 的最小公倍數是 12,字母 因式 x、y 的最高次冪分別是 x、 2 y ,所以最簡公分 母是 2 12xy 。 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 2 6 12 4 4 3 3 4 12 1 1 3 3 4 4 3 12 y y y y x x y xy x x x x y y x xy y y xy xy y xy = = = = = = i i i i i i ∴ (2) 因為最簡公分母是10a b c ,所以 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 4 2 8 5 5 2 10 a a a c a c b c = b c a c = a b c i i

(20)

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 10 10 10 5 5 5 25 2 2 5 10 a b a b bc a b c b b ab ab ac = − ac ab = − a b c − i i i 分母的係數是負數時,一般先把負號提到分式本身的前邊 去。 【ּ 2】 通分: (1) 2( 1) x x+ 、 1 1 x− ; (2) 2 1 4 x − 、 4 2 x x − 。

ś

ྋ !! (1) 因為最簡公分母是2(x+1)(x− ,所以 1) ( 1) 2( 1) 2( 1)( 1) 1 2( 1) 1 2( 1)( 1) x x x x x x x x x x − = + + − + = − + − (2) 把分母分解因式,得 2 4 ( 2)( 2) 4 2 2( 2) x x x x x − = + − − = − − 最簡公分母是 2(x+2)(x− ,所以2) 2 1 2 4 2( 2)( 2) ( 2) 4 2 2( 2) 2( 2)( 2) x x x x x x x x x x x = − − + + = = − − − − − +

ቚ ௫!

1. 通分: (1) x ay b ; (2) 2 2 3a 、 2 1 6ab ; (3) 32 2x y 、 2 5 3xy ; (4) 2 a b 、3 2 b a 、 4 c ab

(21)

ቚ ௫!

2. 通分: (1) ( 2) x a x+ 、 ( 2) y b x+ ; (2) 1 yx 、 1 2x−2y ; (3) b a b− 、 ( )2 a b a− ; (4) 5 2(x−2) 、 2 4 3(2− x) 。 3. 通分: (1) 2 2 x x + − 、 2 5 4 x − ; (2) 2 1 1 x − 、 2 1 3 2 xx+ ; (3) 1 1 x+ 、 2 1 2 1 x x x − + + 、 1 1 x− ; (4) a a b− 、 ( )2 b a b+ 、 2 2 2 ba

8.8 ள̶ϓ۞̶ёΐഴڱ

與異分母的分數加減法類似,異分母的分式相加減,先通 分,變為同分母的分式,然後再加減。用式子表示是: ± ± ± a c ad bc ad bc = = b d bd bd bd 【ּ 1】 計算 52 2 2 3 6a b −3ab + 4abc

ś

ྋ !! 52 2 2 3 102 2 82 2 92 2 6 3 4 12 12 12 bc ac ab a bab + abc = a b ca b c + a b c 10 82 2 9 12 bc ac ab a b c − + = 【ּ 2】 計算 122 2 9 3 m − + −m

(22)

9 3 ( 3)( 3) 3 m − −m m+ mm− 12 2( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) 12 2( 3) ( 3)( 3) 12 2 6 ( 3)( 3) 2 6 ( 3)( 3) 2( 3) 2 ( 3)( 3) 3 m m m m m m m m m m m m m m m m m m + = − + − + − − + = + − − − = + − − + = + − − − = = − + − + 【ּ 3】 計算 2 4 2 a a + − − 。

ś

ྋ !! 2 2 4 2 4 4 4 2 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a + − + − = + = + = − − − − − 。 【ּ 4】 計算 2 2 2 1 4 2 4 4 x x x x x x x x − + − ⎛ ⎞ ÷ + ⎟ ⎝ ⎠ 。

ś

ྋ !! 2 2 4 2 1 2 4 4 x x x x x x x x − + − ⎛ ⎞ ÷ + ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 4 ( 2)( 2) ( 1) ( 2) 4 4 ( 2) ( 4) 1 ( 2) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − ⎡ ⎤ = ⎢ + − − − = − − − − + = − − = − i i

(23)

【ּ 5】 計算 2 2 2 1 3 2 1 1 1 4 3 x x x x x x x + − + − + − i + + 。

ś

ྋ !! 2 2 2 1 3 2 1 1 1 4 3 x x x x x x x + − + − + − i + + 2 2 2 2 1 3 ( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 3) 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 2 ( 1) x x x x x x x x x x x x x x + − = − + + − + + − = − + + + − + = + = + i 【ּ 6】 汽車從甲地開往乙地,每小時行駛v km,t 小時可以到1 達,若每小時多行駛v km,那麼可以提前幾小時到達? 2

ś

ྋ !! 甲乙兩地之間的距離是v t km。每小時多行駛1 v km,2 則每小時行駛(v1 +v2) km,從甲地到乙地需要 1 1 2 v t v +v 小 時。可以提前的小時數就是 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) v t t v t t v v v v t v v v t v v v v v t v t v t v v v t v v − = − + + + = − + + + − = + = + ඍĈ可以提前 2 1 2 v t v +v 小時到達。

(24)

1. 計算: (1) 1 2 1 1 R + R ; (2) 2 2 a b a b b a ab + − − ; (3) 2 2 4 b c a − ; (4) a 2 2b a b a b − + + ; (5) 52 7 2 112 6 12 8 a b c b cac + a b 。 2. 計算: (1) 1 1 1 1 x+ − x− ; (2) 2 ( ) a b a b− + a b a− ; (3) 21 2 5 2 2 m m m m − + − − ; (4) 2 2 y xy x+ y + yx ; (5) 5 2 5 5 20 9 20 a a a a + + − − + ; (6) 2 1 6 1 3 9 6 2 x x x x − − − − − + 。 3. 計算: (1) 4 2 2 2 x x x x x x ⎞ ÷ + ⎝ ⎠ ; (2) ab a b a b a b b a+ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠ i ; (3) 3 1 1 1 1 1 x x ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (4) 3 5 2 2 4 2 m m m m÷ + − ⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠; (5) 2 2 2 2 1 2 4 4 a b a b a b a ab b − − − ÷ + + + 。

8.9 ᓄ̶ё

我們前面所學的分式,它的分子與分母都是整式。如果分式 的分子或分母中含有分式,這樣的分式叫做繁分式。例如 c b a 、 1 2 1 1 1 R + R 、 1 1 1 1 a b a b + − 等都是繁分式。

(25)

與繁分數的化簡類似,可以把繁分式寫成分子除以分母的形 式,利用除法法則進行化簡。例如 1 1 1 1 1 1 1 1 b a b a b a ab b a a b ab ab ab b a b a a b a b a b + ⎞ ⎛ + + + = + ⎟ ⎜÷ − = ÷ = = − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − i ; 也可以利用分式的基本性質化簡繁分式,例如 1 1 1 1 1 1 1 1 ab b a a b a b b a ab a b a b+ ⎞ + ⎜ + = = − ⎛ ⎞ − ⎝ ⎠ i i 。

ቚ ௫!

1. 化簡: (1) 1 x y ; (2) 1 x y ; (3) b a d c ; (4) b a c 。 2. 化簡: (1) 1 1 a b a b + − ; (2) 1 1 y x y x + − ; (3) 1 2 1 1 1 R + R

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! 1. 通分: (1) 4 3x 、 2 1 2 x x − − 、 3 1 4 x x + ; (2) ( ) x a xy 、 ( ) y b yx

(26)

(2−x) (x+2)(x−2) (4) ( )( ) a b a b b c + − − 、 ( )( ) b c b c b a + − − ; (5) 2 2 x x − −x 、 1 2 x− ; (6) 3 a 3 ab 、 2 2 1 ab ; (7) 2 4 8 15 x x x + − + 、 2 5 12 x x x − + − 、 2 3 20 x x x − − − ; (8) 1 2 (x−1) 、 3 1 x x − 。 2. 下列各式的計算對不對?把不對的改正過來: (1) c d c d c d c d 0 0 a a a a + = − − + = = ; (2) 2 1 2 2 1 2 12 1 ( 1) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x x − + = − = = − − − − − − 。 3. 計算: (1) 1 1 22 2 6 4 6 4 9 4 y xyx+ yxy ; (2) 2 1 2 1 2 1 3 2 5 6 4 3 x + x+ + x + x+ + x + x+ ; (3) 3 2 1 1 x x x x + + − − ; (4) 2 2 2 2 4 4 2 2 4 y x y x y x y y x + + + − − ; (5) x y 4xy x y 4xy x y x y− + ⎞⎛ + − ⎞ ⎜ ⎟⎜ + ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (6) 1 2 1 2 1 1 (a b) (a b) a b a b ⎤ ⎛÷ − ⎜ ⎟ ⎢ + + ⎣ ⎦ ;

(27)

(7) 2 4 2 4 4 2 2 x y x y x xy i x+ yxy ÷ x + y ; (8) 23 2 1 1 1 1 2 1 1 x x x x x+ ⎞ ⎛÷ − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ + ⎠ ⎝ − ⎠。 4. 化簡: (1) 3 2 1 1 y y y y − − ; (2) 1 1 1 1 a b ab + − ; (3) 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x + − − + − 。 5. 鍋爐房儲存了 t 天用的煤 m T,要儲存的煤比預定的多用 d 天,每天應當節約多少 T? 6. 一架幻燈機,當鏡頭與幻燈片之間的距離是 S (cm)時,幻燈片 上的景物長度放大的倍數是 1 1 1 18 S S − 。先化簡這個繁分式,然 後求出當 S = 20 cm 時景物長度放大的倍數。

8.10 ӣѣфϓ̏ۢᇴ۞˘̮˘Ѩ͞඀

我們先看下面的問題: 一個數的 a 倍(a ≠ )等於 b,求這個數。 0 用 x 表示這個數,根據題意,可得方程 ax = (b a ≠ ) 0 在這個方程中,x 是未知數,a 與 b 是用字母表示的已知數。對 x 來說,字母 a 是 x 的係數,叫做字母係數,字母 b 是常數項。這 個方程就是一個含有字母已知數的一元一次方程。

(28)

用 a、b、c 等表示已知數,用 x、y、z 等表示未知數。 含有字母已知數的方程之解法與前面學過的只含有數字已 知數的方程之解法相同。但必須特別注意:用含有字母的式子去 乘或者除方程的兩邊,這個式子的值不能等於零。例如,解方程 ax = 時,只有在b a ≠ 的條件下,才能用 a 去除方程的兩邊而得 0 b x a = 。 【ּ 1】 解方程 2 2 ax +b =bx +a ( a ≠ )。 b

ś

ྋ !! 移項,得 2 2 ax bx− = a − 。 b 合併同類項,得 2 2 (a b x− ) = a − 。 b 因為 a b≠ ,所以a b− ≠ 。方程的兩邊都除以 a b0 − ,得 2 2 a b x a b − = − , 就是 x = + 。 a b 【ּ 2】 解方程 x b 2 x a a b= − − (a b+ ≠ )。 0

ś

ྋ !! 去分母,得 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 0 b x b ab a x a bx b ab ax a ax bx a ab b a b x a b a b x a b − = − − − = − + + = + + + = + + ≠ = + ∵ ∴

(29)

我們再看下面的問題: 汽車的行駛速度是 v (km/小時),行駛的時間是 t (小時),那 麼汽車行駛的路程 s (km)可以用公式 s = vt 來計算。 有時已知行駛的路程 s 與行駛的速度 v (v ≠ ),要求行駛的0 時間 t。因為v ≠ ,在 s vt0 = 的兩邊都除以 v,就得到 s t v = 這就是已知行駛的路程與速度,求行駛的時間之公式。 類似地,如果已知 s、t (t ≠ ),求 v。可以得到 0 s v t = 這就是已知行駛的路程與時間,求行駛的速度之公式。 以上三個公式都表示路程 s、時間 t、速度 v 之間的關係。當 v、t 都不等於零時,可以把公式s = 變換成公式vt t s v = 與v s t = 。 像上面這樣,把一個公式從一種形式變換成另一種形式,叫 做公式變形。公式變形往往就是解含有字母已知數的方程。 【ּ 3】 在v = v0 +at 中,已知 v、v 、a,且0 a ≠ ,求 t。 0

ś

ྋ !! 移項,得 0 v v− =at 。 因為a ≠ ,方程的兩邊都除以 a,得 0 0 v v t a − = 。 【ּ 4】 在梯形面積公式 1( ) 2 S = a b h+ 中,已知 S、b、h,且h≠ ,0 求 a。

ś

ྋ !! 去分母,得 2S = (a b h+ ) 。

(30)

2 ah = Sbh, 因為h ≠ ,方程的兩邊都除以 h,得 0 2S bh a h − = 。

ቚ ௫!

1. 解下列方程 (x 為未知數): (1) 3a+4x =7x−5b; (2) ax by− = (0 a ≠ ); 0 (3) x b x a a − = − ( a bb ≠ ); (4) m x n2( − ) = n x2( −m) (m2 ≠ n2)。 2. (口答) 在公式 F = ma 中,所有字母都不等於零。 (1) 已知 F、a,求 m; (2) 已知 F、m,求 a。 3. 在公式v = + 中,所有字母都不等於零。 v0 at (1) 已知 v、a、t,求v ;0 (2) 已知 v、v 、t,求 a。 0 4. 在梯形面積公式 1( ) 2 S = a b h+ 中,所有字母都是正數。 (1) 已知 S、a、b,求 h; (2) 已知 S、a、h,求 b。

8.11 Ξ̼ࠎ˘̮˘Ѩ͞඀۞̶ё͞඀

我們先看下面的問題:把1 5的分子與分母都加上同一個什麼 數,能使分數的值變為1 2 ? 設所求的數是 x,那麼根據題意可以列出方程 1 1 5 2 x x + = + 。 像這樣,分母裡含有未知數的方程叫做分式方程。以前學過 的,分母裡不含有未知數的方程叫做整式方程。一元一次方程是 最簡單的整式方程。

(31)

怎樣解分式方程呢?如果能把分式方程的分母去掉,使分式 方程化成整式方程,就可以利用整式方程的解法求解了。 例如,在分式方程 1 1 5 2 x x + = + 的兩邊都乘以最簡公分母 2(5+ ,得 x) 1 1 2(5 ) 2(5 ) 5 2 x x x x + + = + + i i 。 約去分母,就得到整式方程 2(1+ x)= + 。 5 x 解這個整式方程,得 3 x = 。 3 x = 是不是原來分式方程的解呢?把 x = 代入原方程驗3 算: 左邊 1 3 4 1 5 3 8 2 + = = = + 、右邊 1 2 = , 左右兩邊相等,說明x = 是原分式方程的根。 3 再看另一個分式方程 2 2 3 6 1 1 1 x+ + x− = x − , 在方程的兩邊都乘以最簡公分母 (x+1)(x− ,得整式方程 1) 2(x− +1) 3(x+ = , 1) 6 解這個整式方程,得x = 。 1 把x = 代入原分式方程驗算,結果1 x = 使分式1 3 1 x− 與 2 6 1 x − 的分母之值為零,這兩個分式沒有意義。因此 1 不是原分式方程 的根。 實際上,原分式方程無解。 從上面兩個例子可以看出,為了解分式方程,就要在方程兩 邊都乘以同一個含有未知數的整式(各分式的最簡公分母),把分 式方程化為整式方程。這樣得到的整式方程有時與原分式方程是

(32)

第二個例子,變形後得到的整式方程產生了一個不適合原分式方 程的根。 上面的現象是怎樣產生的呢?方程同解原理 2 指出:方程的 兩邊都乘以不等於零的同一個數,所得方程與原方程同解。在前 面解第一個分式方程時,方程的兩邊都乘以 2(5+ ,接著求出x) 3 x = ,而 2(5+ x) = ,所以相當於方程兩邊都乘以 16,16 016 ≠ , 因此所得的整式方程與原分式方程同解。在解第二個分式方程 時,方程的兩邊都乘以 (x+1)(x− ,接著求出1) x = ,相當於方程1 兩邊都乘以 0,結果使原分式方程中有的分式就沒有意義了,這 樣得到的整式方程就與原分式方程不同解了。 在方程變形時,有時可能產生不適合原方程的根,這種根叫 做原方程的增根。前面第二個例子中求出的整式方程之根x = 就1 是原分式方程的增根。因為解分式方程時可能產生增根,所以解 分式方程必須驗算。為了簡便,通常把求得的根代入變形時所乘 的整式(最簡公分母),看它的值是否為零,使這整個整式為零的 根是原方程之增根,必須捨去。 綜上所述,解分式方程的一般步驟是: 1. 在方程的兩邊都乘以最簡公分母,約去分母,化成整 式方程; 2. 解這個整式方程; 3. 把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零, 使最簡公分母為零的根是原方程之增根,必須捨去。 【ּ 1】 解方程 5 7 2 x = x− 。

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ྋ !! 方程兩邊都乘以 (x x− ,約去分母,得 2) 5(x−2) = 7x。 解這個整式方程,得 5 x = − 。

(33)

驗算: 當x = − 時, 5 (x x−2) = − × − −( 5) ( 5 2) =35 ≠ 。 0 所以 5− 是原方程的根。 【ּ 2】 解方程 2 216 2 2 4 2 x x x x x = + + − − 。

ś

ྋ !! 方程兩邊都乘以 (x+2)(x− ,約去分母,得 2) 2 2 (x−2) −16 =(x+2) 。 解這個整式方程,得 2 x = − 。 驗算: 當x = − 時, 2 (x+2)(x−2) = 。 0 所以 2− 是增根,原方程無解。 【ּ 3】 解公式1 1 1 u + =v f 中,u+ ≠ ,已知 u、v,求 f。 v 0

ś

ྋ !! 公式兩邊都乘以 uvf ,得 vf +uf = uv, 即 (v +u f) = uv。 因為u+ ≠ 方程兩邊都除以 u vv 0 + ,得 uv f u v = + 。 注意:本書中含有字母已知數的分式方程,一律不要求驗算。

ቚ ௫!

1. 解下列方程 (x 為未知數): (1) 2 3 1 x = x+ ; (2) 2 1 3 1 x+ = x− ; (3) 2 3 3 3 x x− = + x− ; (4) 1 1 3 2 2 x x x − = − − − ; (5) 5 1 2 5 5 2 x x− + − x = ; (6) 2 2 2 7 1 6 1 x + x + xx = x − 。

(34)

2. 在公式 1 2 2 1 P P V = V 中,P1 ≠ ,求出表示0 V 的公式。 1 3. 在公式 1 2 1 1 1 R = R + R 中,RR1,求出表示R 的公式。 2 【ּ 4】 解方程組 6 2 0 2 1 4 3 y x x y x y + ⎧ − = ⎪ − ⎪ ⎨ += + − ⎪⎩ (1) (2)

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ྋ !! (1)式兩邊都乘以 x− ,化簡,得 2 2x− =y 10, (2) 式兩邊都乘以 (x+4)(y− ,化簡,得 3) 1 x+ = − 。 y 解方程組 2 10 1 x y x y − = ⎧ ⎨ + = − ⎩ 得 3 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 經驗算, 3 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 是原方程組的解。 【ּ 5】 解方程組 6 6 1 2 8 3 3 10 x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ (1) (2)

(35)

ś

ྋ !! 設 1 X x = 、 1 Y y = ,則原方程組變為 1 6 6 2 3 8 3 10 X Y X Y+ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 解這個整式方程組,得 1 20 1 30 X Y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 即 20 30 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 經驗算, 20 30 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是原方程組的解。 例 5 的解法叫做換元法,也就是把適當的含有未知數之式子 如 1 x 、 1

y 換成新的未知數 X、Y,求出 X、Y 之後再求 x、y。

ቚ ௫!

解下列方程組: (1) 3 4 1 1 2 2 x y x y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ − ⎪ = ⎪ + ⎩ ; (2) 4 5 0 3 0 4 3 x y x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ + = ⎪ + − ⎩ ; (3) 2 3 1 3 2 1 x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = − ⎪⎩ 。

(36)

【ּ 1】 甲、乙二人做手機吊飾。已知甲每小時比乙多做 6 個,甲 做 90 個所用時間與乙做 60 個所用的時間相等。求甲、乙 每小時各做多少個。

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ྋ !! 設乙每小時做 x 個手機吊飾,那麼甲每小時做 (x+ 個。 6) 甲做 90 個所用時間是 90 6 x+ 小時,乙做 60 個所用時間是 60 x 小時。已知這兩個時間相等,所以得 90 60 6 x+ = x , 方程的兩邊都乘以 ( 6) 30 x x+ ,約簡,得 3 2 12 12 x x x = + = 經驗算,12 是所列方程的根。 由x =12,得x+ =6 12 6 18+ = 。 ඍĈ甲每小時做 18 個手機吊飾,乙每小時做 12 個。 【ּ 2】 某學校的學生到距學校 15 km 的體育場看球賽。一部份學 生騎自行車先走,40 分鐘後,其餘的學生乘汽車出發,結 果他們同時到達。已知汽車的速度是自行車之 3 倍,求兩 種車的速度。 分析: 根據已知條件,如果設自行車的速度是 x km/小時,那 麼汽車的速度是 3x km/小時。由速度、時間、路程之間 的關係,可列出下表: 速度 (km/小時) 路程 (km) 時間 (小時) 自行車 x 15 15 x 汽 車 3x 15 15 3x

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因為汽車晚開出 40 分鐘(即 2 3 小時),結果與自行車同時 到達,這說明行駛 15 km,汽車比自行車少用2 3 小時。 根據題意,有如下相等關係: 汽車所用時間 = 自行車所用時間- 2 3 小時 於是可以列出方程。

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ྋ !! 設自行車的速度是每小時 x km,那麼汽車的速度為每小 時 3x km,它們行駛 15 km 所用的時間分別是15 x 小時與 15 3x 小時,於是得 15 15 2 3x = x − , 3 即 5 15 2 3 10 2 3 15 x x x x = − = = 經驗算,15 是原方程的根。 當x =15時,得 3x = 45。 ඍĈ自行車的速度是每小時 15 km,汽車是每小時 45 km。 想一想:(1) 如果設汽車走這段路程需 x 小時,應怎麼解? (2) 如果用方程組,應怎麼解?

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列出分式方程(組)解下列應用題: 1. 甲做 90 個手機吊飾所用的時間與乙做 120 個所用的時間相 等,又知每小時甲乙二人一共做 35 個手機吊飾。問甲乙每小 時各做多少個手機吊飾? 2. 某農莊原有水田 400 公畝、旱田 150 公畝,為了提高單位面 積產量,準備把部分旱田改為水田,改完之後,要求旱田佔 水田的 10%。問應把多少公畝旱田改為水田? 3. 用食鹽 25 kg 配製含鹽 20%的鹽水,需加水多少 kg? 4. 開始時乙離橋頭 24 km,甲離橋頭 30 km。甲的速度是乙的 1.5 倍,結果比乙提前 48 分鐘到達橋頭,求甲的速度。

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1. 解下列方程: (1) 2 5 6 x x x x − = − − ; (2) 8 1 8 7 7 x x x = − − ; (3) 1 1 5 1 2 2 x + x+ = x+ ; (4) 2 1 4 2 1 1 1 x x x x x = + + − − ; (5) 2 2 2 3 24 5 6 6 4 x + x+ + x + −x = x − ; (6) 5 4 1 2 5 2 4 2 3 6 x x x x+ = + − − ; (7) 2 3 2 5 2 6 8 15 2 15 25 x + x+ + xx− = x − ; (8) 2 1 3 3 1 1 1 x x x = xx − + + + 。

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2. 解下列方程組: (1) 4 1 1 4 2 1 0 2 x y y x= ⎪ + + ⎪ ⎨ + ⎪ + = ⎪ − ⎩ ; (2) 1 6 5 3 4 1 x y x y x y x y − + ⎧ = ⎪ + ⎪ ⎨ − − ⎪ = ⎩ ; (3) 1 8 8 5 4 51 x y x y ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ ; (4) 10 3 5 15 2 1 x y x y x y x y+ = − ⎪ + − ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪ + − ⎩ 。 3. (1) Q = ×N P% (N ≠ ),求 P; 0 (2) M 1000D R = ,求 D; (3) 2 D d t = − ,求 D; (4) R r S n + = ,求 r; (5) 0ax by c+ − = (b ≠ ),求 y; 0 (6) z a c b z d= − (c+ ≠ ),求 z; d 0 (7) 1 a 1 b a + = + ( a bx b x ≠ ),求 x; (8) 1 2 1 1 2 F = f + f ( f2 ≠ 2F ),求 f 。 1 列出分式方程(組)解下列應用題: 4. 純酒精 35 g 配製成濃度為 28%的酒精溶液,需加多少水? 5. 甲乙兩個工人分別製作 1500 個糕餅,乙運用新技術,生產率 是甲的 3 倍,因此比甲少用 20 個小時完成。請問他們每小時 各製作多少個糕餅?

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收穫稻米 300 kg;第二塊田使用品種改良的稻種,收穫稻米 420 kg。已知第一塊地的每公畝產量比第二塊地少 200 kg,求 兩塊稻田的每公畝產量各是多少 kg。 7. 某中學到離學校 15 km 處的郊外露營,工作人員與大隊人馬 同時出發,行進速度是大隊人馬的 1.2 倍,以便提前半小時到 達目的作準備工作。求工作人員與大隊人馬的速度各是多少。 8. 輪船順水航行 80 km 所需的時間與逆水航行 60 km 所需的時 間相同。已知水流速度是每小時 3 km,求輪船在靜水中的速 度。 9. 甲乙兩班學生植樹,原計畫 6 天完成任務。他們共同勞動 4 天後,乙班另有任務調走,甲班又用了 6 天才植完。求甲乙 兩班單獨完成任務各需多少天。

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一、本章主要內容是分式的概念、基本性質與運算,以及有 關分式方程的一些初步知識。 二、形如 A B 的式子叫做分式,其中 B 裡含有字母。 A B 表示 A B÷ 所得的商,因此,B 的值不能為零,這是分式概念中的一個 要點。 三、分式的基本性質是 A AM B = BM (M ≠ ) 0 它是分式運算的重要依據。 四、可以對比分數學習分式、分式的約分、通分及四則運算 等都與分數類似。還要注意分式與整式的聯繫,整式運算是分式 運算的基礎。

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五、根據需要,一個公式有時要變換成不同的形式。公式變 形往往就是含有字母已知數的方程。解含有字母已知數的方程與 解數字已知數的方程相同,只是將數的運算換成式的運算,但要 注意,當出現分式時,字母的取值不能使分母的值為零。 六、解分式方程的一般步驟是: 1. 在方程了兩邊都乘以最簡公分母,約去分母,化成整式 方程; 2. 解這個整式方程; 3. 把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零,使 最簡公分母為零的根是原方程之增根,應捨去。

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1. 當 x 取什麼數值時,下列分式的值為正? (1) 2 2x−3; (2) 1 3 x− 。 2. 計算: (1) 2 3 2 2 2 7 10 1 6 5 1 4 4 2 a a a a a a a a a a + + + ÷ + + − + i + + + ; (2) 3 2 2 2 4 8 ( 4) 4 4 2 4 x x x x x x + ÷ + − + − i ; (3) 3 2 1 1 a a a a− − − − ; (4) 1 1 22 1 1 1 a− − a+ − a + ; (5) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a b a c− − + b c b a− − + ca c b− ; (6) 2 2 2 2 5 4 3 4 1 6 6 8 a a a a a a a a + + ÷ + − + − − + ; (7) 2 2 2 15 9 3 3 2 6 9 x x x x x + − ;

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(8) 2 2 e e e e + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; (9) n n 2n 2n abab3. x 是什麼數時, 21 2 1 1 1 1 x − + x+ − x− 的值是零? 4. 用帶餘除法把下列分式化成整式與真分式(分子、分母都是同 一字母的整式,並且分子的次數低於分母之次數)的和之形式: (1) 3 2 2 2 3 5 3 x x x x x + − + − − ; (2) 3 2 1 2 x x x + − + 。 5. 解下列方程: (1) 27 23 26 1 x + x + xx = x − ; (2) 2 2 2 8 16 2 2 1 4 4 2 2 x x x x x x x − + + = + ⎜ ⎟ − + ⎝ + ⎠ − ; (3) 1 2 6 3 1 1 1 1 x x x x x+ = + + − − ; (4) 4 5 7 8 5 6 8 9 x x x x x x x x= − − − − − (提示:先分別計算兩邊)。 6. 解下列方程組: (1) 1 4 5 2 3 6 x y x y x y x y − − ⎧ = ⎪ + + ⎪ ⎨ + − ⎪ = ⎪⎩ ; (2) 35 20 3 28 25 3 x y x y x y x y+ = ⎪ + − ⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪ + + ⎩ ; (3) 2 5 4 2 3 1 4 3 y x y x+ = ⎪⎪ + ⎨ ⎪ − = ⎪ + ⎩ ; (4) 3 1 3 6 2 3 2 x y x y x y x y + ⎧ = − ⎪ ⎨ + ⎪ + = ⎪ − ⎩ 。 7. (1) 已知 2 12000 d Sn H = (n ≠ 、0 d ≠ ),求 S; 0

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(2) 已知U V V R S= (R+ ≠ ),求 V; S 0 (3) 已知e m a n a − = − (e ≠ ),求 a。 1 8. 由公式 1 2 1 1 1 R = +r r ,推出 2 2 1 1 r R r r = + (r1 + ≠ )。 r2 0 9. 用代數式表示圖中陰影部分的 面積。已知這個面積是 S,用 S、 R、r 的代數式表示 a。 列出分式方程(組)解下列應用題: 10. 某煤礦現在平均每天的採煤量 比原計畫多採 300 T 煤,已知現在採 33000 T 煤所需的時間與 原計畫採 23100 T 煤的時間相同。問現在平均每天採煤多少 T? 11. 某人被派到距離 30 km 的地方去執行任務,由於情況發生了 變化,行進速度必須是原計畫速度的 1.5 倍,才能按要求提前 2 小時到達。求他原計畫的速度。 12. 一台自動包裝機,它的包裝效率相當於人工包裝效率的 75 倍,包裝 3000 個產品比人工少用 2 小時 28 分鐘。這台自動 包裝機與人工每分鐘各包裝多少個產品? 13. 甲乙二人合打一份稿件,4 小時後,甲另有任務,餘下部分由 乙單獨又用了 6 小時才完成。已知甲打 6 小時的稿件,乙要 打 7 小時 30 分鐘。問甲乙單獨完成各需多少小時。 14. 從甲站到乙站共有 80 km,其中開始的 20 km 是平路,然後是 30 km 的上坡路,餘下的又是平路。火車從甲站出發,經過 50 分鐘,到達甲乙兩站的中點,再經過 45 分鐘到達乙站,求 火車在平路上與上坡路上的速度。 (第 9 題) r R a

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