第八章 分式

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8.1 ̶ё

我們知道，兩個數相除可以表示成分數的形式，即 ÷ = 被除數 被除數 除數 除數 。 例如， 2 2 3 3 ÷ = 。 因零不能作除數，所以分數的分母不能是零。 在代數中，整式的除法也可以類似地表示。 例如，n 公畝稻田共收稻米 m kg，平均每公畝產量(m n÷ kg) 就可以用式子m n kg 來表示。 又如，輪船在靜水中每小時走 a km，而水流速度則是每小時 b km，輪船在逆流中航行 s km 所需要的時間[s÷ −(a b)]就可以 用式子 s a b− 小時來表示。 一般地，用 A、B 表示兩個整式， A B÷ 就可以表示成 A B 的 形式。如果除式 B 中含有字母，式子 A B 就叫做分式。其中，A 叫 做分式的分子，B 叫做分式的分母。例如，m n 、 s a b− 、 2 3 x x+ 等， 都是分式。 因為除式的值不能是零，所以分式的分母之值也不能是零。 如果分式的分母之值是零，分式沒有意義。 在本書中，如果沒有特別說明，所遇到的分母都是有意義 的，也就是分式裡分母的值不等於零，在分式 m n 裡，n ≠ ；在0

分式 s a b− 裡，a b− ≠ ，即 a b0 ≠ ；在分式 2 3 x x+ 裡，x ≠ − 。 3 分式與分數有許多類似的地方，可以比對分數來學習分式。 整式與分式統稱有理式。 【ּ 1】 當 x 取什麼數時，分式 1 3 2 x x + − 有意義？

ś

ྋ !! 當分母等於零時，分式沒有意義。此外，分式都有意義。 由分母 3x− = ，得2 0 2 3 x = 。 ∴ 當 2 3 x ≠ 時，分式 1 3 2 x x + − 有意義。 【ּ 2】 當 x 取什麼數時，分式 2 2 5 x x + − 的值是零？

ś

ྋ !! 當分子等於零而分母不等於零時，分式的值是零。 由分子x+ = ，得2 0 x = − 。 2 而當x = − 時，分母 22 x− = − − ≠ 。 5 4 5 0 ∴ 當x = − 時，分式2 2 2 5 x x + − 的值是零。

ቚ ௫!

1. (口答) 下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ 3x − 、 x y 、 2 2 2 7 3 x y− xy 、 1 8 − 、 3 5+ y 、 5 x− y 。 2. 把下列各式中商寫成分式： s v÷ 、 6000 ab÷ 、 (x− y) (÷ +x y)。 3. 當 x 取什麼數時，下列分式有意義？ (1) 1 x ； (2) 2 2 x x+ ； (3) 1 2 5 x x + − 。

ቚ ௫!

4. 下列分式中，x 等於什麼數時，分式的值等於零？x 等於什麼 數時，分式沒有意義？ (1) 5 1 x x− ； (2) 3 4 10 1 x x − + 。

8.2 ̶ё۞ૄώّኳ

我們已經知道，分數的基本性質是：分數的分子與分母都乘 以(或除以同一個不等於零的數，分數的值不變。例如，) 3 3 4 5 5 4 × = × ， 4 4 2 18 18 2 ÷ = ÷ 。 分式也有類似的性質，就是： 分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等於零的整式， 分式的值不變。這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是： × × A A M = B B M 、 ÷ ÷ A A M = B B M (其中 M 是不等於零的整式) 【ּ 1】 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？ (1) 2 2 a ac b = bc (c ≠ )； (2) 0 3 2 x x xy = y 。

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ྋ !! (1) ∵ c ≠ 0 ∴ 2 2 2 a a c ac b = b c = bc i i (2) ∵ x ≠ 0 ∴ 3 3 2 x x x x xy xy x y ÷ = = ÷

【ּ 2】 分別寫出下列等式中未知的分子或分母： (1) a b ?₂ ab a b + ₌ ； (2) 2 2 ? x xy x y x + ₌ + 。

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ྋ !! (1) 右邊的分母a b 等於左邊的分母 ab 乘以 a，所以 2 2 2 ( ) a b a b a a ab ab ab a a b + ₌ + i ₌ + i 即所求的分子是a2 +ab。 (2) 右邊的分子 (x+ y) 等於左邊的分子 (x x+ y) 除以 x，所以 2 2 2 ( ) x xy x x y x x y x x x x + ₌ + ÷ ₌ + ÷ 即所求的分母是 x。 【ּ 3】 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的係 數都化為整數： (1) 1 1 2 3 1 1 2 3 x y x y + − ； (2) 0.3 0.7 0.2 a b a b + − 。

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ྋ !! (1) 1 1 1 1 6 3 2 2 3 2 3 1 1 1 1 3 2 6 2 3 2 3 x y x y x y x y x y _{x y} ⎛ _{+ ⎞×} + ⎜_⎝ ⎟_{⎠ +} = = − ⎛ ⎞ − _⎜ − _⎟× ⎝ ⎠ ； (2) 0.3 0.7 (0.3 0.7 ) 10 3 7 0.2 (0.2 ) 10 2 10 a b a b a b a b a b a b + ₌ + × ₌ + − − × − 。

ቚ ௫!

1. 下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？ (1) 1 c ab = abc (c ≠ )； 0 (2) 2 2 a x a bx = b ； (3) 1 ₂ 1 1 1 x x x + = − − ( x+ ≠ )； (4) 1 0 2 2 2 (x y) x y x y x y − ₌ − − + 。

2. 寫出下列等式中未知的分子或分母： (1) y ?₂ x = x ； (2) 2 ? ab b a = ； (3) 1 ? ₂ 2 xy = xy ； (4) 2 ? a a ac c + ₌ 。 3. 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的係數都 化為整數： (1) 0.5 0.7 0.3 0.2 x y x y − + ； (2) 1 4 3 2 4 a b a b + − 。 根據分式的基本性質，可以得到： a a b b − = − 、 a a b b − = − 。 這就是說，分子與分母同時改變符號，分式的值不變。 根據有理數除法法則，我們知道： 2 2 3 3 − _{= − 、} 2 2 3 = −3 − 。 分式也有類似的法則： a a b b − _{= − 、} a a b = −b − 。 這就是說，只改變分子(或分母)的符號，分式本身的符號也 要改變，分式的值才不變。 把上面兩條符號法則，概括起來就是： 分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的 值不變。

【ּ 4】 不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含「－」 號： (1) 5 6 b a − − ； (2) 3 x y − ； (3) 2m n − 。

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ྋ !! (1) 5 5 6 6 b b a a − ₌ − ； (2) 3 3 x x y y − _{= −} ； (3) 2m 2m n = − n − 。 【ּ 5】 不改變分式的值，使下列分式的分子與分母之最高次項 係數都是正數： (1) ₂ 1 x x − ； (2) 2 1 2 a a − − − ； (3) 2 2 3 x x − − + 。

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ྋ !! (1) _{2 2 2} 1 (1 ) 1 x x x x = x = − x − − − − ； (2) ₂ 1 (₂ 1) ₂ 1 2 2 2 a a a a a a − − ₌ − + _{= −} + − − − ； (3) 2₂ ( ₂ 2) ₂ 2 3 ( 3) 3 x x x x x x − ₌ − − ₌ − − + − − − 。

ቚ ௫!

1. 不改變分式的值，使下列分式的分子與分母都不含「－」號： (1) 2 a b − − ； (2) 2 3 x y − ； (3) 3 4 m n − ； (4) 2 x y − − ； (5) 4 5 m n − − 。 2. 不改變分式的值，使下列分式的分子與分母之最高次項係數 都是正數： (1) 2 2 1 1 a a a a − − + − ； (2) 2 1 1 x x − − ； (3) 2 2 1 1 a a a − − − + 。

3. 下列各式對不對？如果不對，應怎樣改正？ (1) (a b) a b c c − − _{= −} − ； (2) a b a b c c − − _{= −} − ； (3) a b a b c c − + _{= −} + 。

8.3 ࡗ̶

與分數的約分類似，根據分式的基本性質，把一個分式的分 子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。分子與分母沒有公因 式的分式叫做最簡分式。約分時，通常要把分子與分母所有的公 因式都約去，使所得結果為最簡分式或整式。 例如，分式 2 3 6 8 ab b 的分子與分母中都有因式 b，這因式的最低 次冪是 2 b ，分子與分母的係數之最大公因數是 2，因此可以約去 2 2b ，即 2 2 3 2 6 3 2 3 8 4 2 4 ab a b a b = b b = b i i 。 又如，分式 3 2 2 2 2 2 x x y x y xy − − 的分子與分母分別是 3 2 2 2 ( 2 ) x − x y = x x− y 、x y2 −2xy2 = xy x( −2 )y ， 它們的公因式是 (x x−2 )y ，把 (x x−2 )y 約去，得 3 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) x x y x x y x x y xy xy x y y − ₌ − ₌ − − 。 從上面的例子可以看出：把一個分式約分，如果分子、分母 都是幾個因式的積之形式，就約去分子、分母中相同因式的最低 次冪，當分子、分母的係數是整數時，還要約去它們的最大公因 數；如果分子、分母是多項式，一般先行因式分解，再約分。

【ּ 1】約分： (1) 2 3 2 32 24 a b c b cd − ； (2) 2 35( ) 45( ) x y x y − − − − 。

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ྋ !! (1) 2 3 2 2 2 2 2 32 8 4 4 24 8 3 3 a b c b c a b a b b cd b c d d − _{= −} i _{= −} i ； (2) 2 35( ) 5( ) 7( ) 7( ) 45( ) 5( ) 9 9 x y x y x y x y x y x y − − ₌ − − ₌ − − − − i i 。 分子或分母的係數是負數時，一般先把負號提到分式本身的 前邊去。 【ּ 2】 約分： (1) 2 2 3 9 m m m − − ； (2) 2 2 2 2 (2 )( 4 3) ( )( 6) a a a a a a a a − + + + + − 。

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ྋ !! (1) 2 2 2 3 ( 3) ( 3) 9 ( 9) ( 3)( 3) 3 m m m m m m m m m m m m − ₌ − _{= −} − _{= −} − − − + − + ； (2) 2 2 2 2 (2 )( 4 3) [ ( 2)][( 1)( 3)] ( )( 6) [ ( 1)][( 2)( 3)] a a a a a a a a a a a a a a a a − + + ₌ − + + + + + − + − + ( 2)( 1)( 3) ( 1)( 2)( 3) 1 a a a a a a a a − − + + = + − + = − 為了便於看出分子與分母的公因式，可以把所有因式的各項 都按照某一字母的降冪排列。如果因式第一項的係數是負數，再 把負號提到括號外面去，如上例中， (− + 寫成 (a 2) − − 。 a 2)

ቚ ௫!

1. (口答) 約分： (1) 6 ₂ 6 xy x ； (2) 6 3 x x ； (3) 3 4 a a − ； (4) ( ) ( ) a a b b a b + + 。

2. 約分： (1) 2 2 4 6 a b ab ； (2) 3 2 3 6 4 2 m n m n − ； (3) 2 2 3 ( 1) 9 (1 ) a b m ab m − − ； (4) 3 2 12 ( ) 27 ( ) a y x a x y − − 。 3. 約分： (1) ₂x x −x ； (2) 2 2 2 x y xy xy + ； (3) 2 2 2 2 a ab a ab b + + + ； (4) 2 2 2 1 1 m m m − + − ； (5) 2 2 9 5 6 x x x − + + ； (6) 2 2 2 4 4 y y y y − + + + 。 4. (口答) 下列各式對不對？ (1) 6 3 2 x x x = ； (2) a x a b x b + ₌ + ； (3) x y 0 x y + ₌ + ； (4) 2 2 a b a b a b + _{= +} + ； (5) x y 1 x y − + _{= −} − 。

8.4 ̶ё۞ࢷੵڱ

與分數的乘除法之法則類似，分式的乘除法之法則如下： 分式乘以分式，用分子的積作積之分子，分母的積作積之分 母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置後，與被除式 相乘。用式子表示是： i a c ac = b d bd ； ÷ i a c a d ad = = b d b c bc

【ּ 1】 計算： (1) 8 3 ₃ 9 2 x y y i x ； (2) 2 2 2 3 3 2 4 ab a b c cd − ÷ 。

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ྋ !! (1) 8 3 ₃ 8 3 ₃ 4₂ 9 2 9 2 3 x y x y y x = y x = x i i i ； (2) 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 4 4 2 2 4 2 3 2 3 3 ab a b ab cd ab cd d c cd c a b c a b ac − ÷ = = − = − − i i i 【ּ 2】 計算 2 2 2 16 3 2 3 5 4 a a a a a a − − − − i − + 。

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ྋ !! 2 2 2 16 3 ( 4)( 4) 3 2 3 5 4 ( 3)( 1) ( 1)( 4) a a a a a a a a a a a a a − − ₌ + − − − − i − + − + i − − 2 ( 4)( 4)( 3) ( 3)( 1)( 1)( 4) 4 1 a a a a a a a a a + − − = − + − − + = − 分子、分母是多項式，一般先分解因式，以便在運算過程中 約分，使運算簡化。 【ּ 3】計算 2 2 2 6 6 ( 3) 4 4 3 x x x x x x x − _{÷ +} + − − + i − 。

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ྋ !! 2 2 2 6 6 ( 3) 4 4 3 x x x x x x x − _{÷ +} + − − + i − 2 2( 3) 1 ( 3)( 2) ( 2) 3 ( 3) 2 2 x x x x x x x − + − = − + − − = − − i i 分式與整式進行運算時，可以把整式看成分母是 1 的式子， 然後按分式運算法則計算。 注意：分式運算的最後結果應化成最簡分式或整式。

1. (口答) 計算： (1) x a y i b ； (2) n m m i n ； (3) 4 2 x ÷ ； x (4) 2 2 2 a a b ÷b 。 2. 計算： (1) 3 16₂ 4 9 a b b i a ； (2) 2 3 10 4 21 ab xy x y b − i ； (3) 12 8 2 5 xy x y a ÷ ； (4) 2 2 3 3 y xy x − ÷ 。 3. 計算： (1) 2 2 2 2 3 3 50 10 a b a b ab a b − − i ； (2) 2 2 2 5 6 1 3 x x x x x x − + + − i − ； (3) (xy x2) x y xy − − ÷ ； (4) 2 2 2 2 2 4 2 2 x y x y x xy y x xy − _÷ + + + + ； (5) 2 2 2 1 3 2 ( 1) 4 4 1 x x x x x x x − _{÷ +} + + + + i − 。

8.5 ̶ё۞ࢷ͞

根據乘方的意義與分式乘法法則，可得 2 2 2 3 3 3 a a a a a a b b b b b b a a a a a a a a b b b b b b b b ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i i i i i i i

一般地，當 n 為正整數時， n a n _n n a _{n b} n b a a a a a a a a b b b b b b b b ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i i i i i i i 個 個 個 ， 即 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n _n n a a = b b (n 為正整數) 這就是說，分式乘方，把分子、分母各自乘方。 【ּ】 計算： (1) 2 5 3y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (2) 3 2 3 3 2 a b c ⎛ ⎞ ⎜₋ ⎟ ⎝ ⎠ ； (3) 2 3 4 2 2 _b a b a b a ⎛₋ ⎞ ⎛₋ ⎞ ⎛_{÷ −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎝ ⎠} ⎝ ⎠ ⎝i ⎠ 。

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ྋ !! (1) 2 ₂ 2 2 5 5 25 3y (3 )y 9y ⎛ _{⎞ = =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (2) 3 _{2 3 6 3 6 3} 2 3 3 9 9 3 (3 ) 27 27 3 ( 2 ) 8 8 2 a b a b a b a b c c c c ⎛ _{⎞ = = = −} ⎜₋ ⎟ _{− −} ⎝ ⎠ ； (3) 2 3 4 4 4 2 2 6 5 2 ₃ 4 a a b a b b a b b a b a a ⎛₋ ⎞ ⎛₋ ⎞ _÷⎛₋ ⎞ ₌ ⎛₋ ⎞ _{= −} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝i ⎠ i⎝ ⎠i 。

ቚ ௫!

1. (口答) 計算： (1) 2 2 3 a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (2) 2 3 b a ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (3) 2 2x y ⎛ ⎞ ⎜₋ ⎟ ⎝ ⎠ ； (4) 3 x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； 2. 計算： (1) 2 2 3 x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (2) 3 3 2 x y − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (3) 2 3 2 5 3 ab c ⎛ ⎞ ⎜₋ ⎟ ⎝ ⎠ ；

(4) 3 3 2 2a y x ⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ ； (5) 2 4 a b x + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (6) 2 2 2 5 x y a − ⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ 。 3. 下列各式對不對？如果不對，應如何改正？ (1) 3 ₆ 2 3 3 3 2 2 b b a a ⎛ _{⎞ =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (2) 2 ₂ 2 2 2x 4x x y x y ⎛ _{⎞ =} ⎜ ₊ ⎟ ₊ ⎝ ⎠ 。 4. 計算： (1) 2 ₃ 2 ₃ 3 4 x _y y x ⎛ _{⎞ ⎛} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎝ ⎠} ⎝ ⎠ i ； (2) 2 2 2 4x y x y ⎛ ⎞ ÷ ⎜_⎝− ⎟_⎠ 。 (3) 3 2 6 ( ) b b c ac ⎛ _{⎞ ÷ −} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (4) 2 4 2 2 ₁ a b ab b a ⎛₋ ⎞ ⎛₋ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ ⎝ ⎠} ⎝ ⎠ ⎝i ⎠i 。

௫ ᗟ ˝

! 1. x 取什麼數時，下列分式有意義？ (1) 3 1 x x− ； (2) 2 1 x x+ ； (3) 3 0.5x−1。 2. 在下列各分式中，當 x 取什麼數時，分式的值是零？當 x 取什 麼數時，分式沒有意義？ (1) 2 1 2 x x + − ； (2) 2 0.5 3 1 x x − + 。 3. 寫出下列各等式中未知的分子或分母： (1) 2 ₂? ₂ xy = x y ； (2) 2 3 ? 5( ) x x+ y = x+ y ； (3) 1 ? a b ma mb + ₌ + ； (4) 2 2 ( 1) ? 1 1 x x x − ₌ − + ； (5) 2 2 3 3 ? x xy y x y x y + + ₌ − − 。

4. 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的係數都 化為整數： (1) 0.01 0.5 0.3 0.04 x x − + ； (2) 3 2 2 2 3 a b a b − + 。 5. 不改變分式的值，而使分母的第一項係數是正數，下面的做 法對不對？如果不對，應當怎樣改正？ (1) a b a b a b a b − + ₌ + − − − ； (2) 1 1 x y = − x y − + + ； (3) 1 1 1 1 x x x x − + − = − − + 。 6. 不改變分式本身的符號與分式的值，使下列各組裡第二個分 式的分母與第一個分式的分母相同： (1) 1 1 x x + − 、 2 1 x x − ； (2) ₂6 1 3 x x x + − + 、 2 4 5 3 x x x − − + − ； (3) 3 ( 1)( 2) x x− x− 、 3 ( 1)(2 ) x x x + − − ； (4) ( )( ) a a b b c− − 、 ( )( ) b b a c b− − 。 7. 約分： (1) 2 xy xy − ； (2) 2 4 2 a b a − ； (3) 2( ) a b a b − − ； (4) 2 2 4 8 12 x y x y − − ； (5) 3 4 3 2 12 15 a b a b c ； (6) 2 2 2 3 3 a ab a b ab + + ； (7) 2 3 2 2 3 2 15 x x x x x − − + − ； (8) 3 3 2 2 2 2 4 4 4 x y x xy y − + + 。

(1) 3 3 3 2 2 x y x x y xy + − + ，其中x = 、5 y =3.5； (2) 2 2 2 3 9 6 a ab a ab b − − + ，其中 3 4 a = 、 2 3 b= − 。 9. 計算： (1) 2 4 x ÷ ； (2) x 2 4 3 3 8 4 a a b b − i ； (3) 4 2 2 2 3 2 4 8 15 35 a b a b n n − ÷ ； (4) 2 2 2 4 3 2 a b ab ab a b − − i ； (5) 2 2 2 3 ( ) x y x x x y − − + i ； (6) 4 2 3 y x ⎛ ⎞ ⎜₋ ⎟ ⎝ ⎠ ； (7) 2 3 n b a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (n 為正整數)； (8) 2 1 n n b a + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (n 為正整數)； (9) 3 2 2 3 2 x y x z z ⎛ ⎞ ⎛_÷ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ ⎠ ； (10) 3 2 4 2 2 bc a b c a c ab ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _{÷⎜ ⎟}⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟ ⎜₋ ⎟ _{⎝ ⎠} ⎝ ⎠ ⎝i ⎠ ； (11) 2 2 ( ) x y x y xy − _{÷ −} ； (12) 2 2 2 2 2 (xy x ) x xy y x y xy x − + − − ÷ i ； (13) 2 3 2 2 2 4 8 1 4 4 3 6 4 x x x x x x x + + _÷ − _÷ + + + − 。 10. 兩個圓柱的底面半徑分別是r cm 與₁ r cm，高都是 h cm。求它₂ 們體積的比。

8.6 Т̶ϓ۞̶ёΐഴڱ

與同分母的分數加減法類似，同分母的分式相加減，把分子 相加減，分母不變。用式子表示是： ± ± a b a b = c c c 【ּ 1】 計算 x₂ 3y₂ x₂ 2y₂ 2x₂ 3y₂ x y x y x y + ₋ + ₊ − − − − 。

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ྋ !! x₂ 3y₂ x₂ 2y₂ 2x₂ 3y₂ x y x y x y + ₋ + ₊ − − − − 2 2 2 2 ( 3 ) ( 2 ) (2 3 ) 2 2 2( ) ( )( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + + − = − − = − − = + − = + 【ּ 2】 計算 m 2n n 2m n m m n n m + _{+ −} − − − 。

ś

ྋ !! m 2n n 2m n m m n n m + _{+ −} − − − 2 2 2 2 1 m n n m n m n m n m m n n m n m n m n m + = − − − − − + − − = − − = − =

1. (口答) 計算： (1) 3 12 5 a + a − ； (2) a 5 15 m − m ； (3) a a x− y − x− y ； (4) x y x+ y + x+ y 。 2. 計算： (1) 2 2 a b a b− − a b− ； (2) 2 5 1 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x x + ₋ − ₊ − + + + ； (3) 5 2 3 3 x x y − + − y ； (4) 2 2 2 a b a b− + b− a ； (5) 2 3 2 3 2 2 2 2 a c b c a b b a − ₊ − − − ； (6) 4 2 2 2 x x x + + − − ； (7) x₂ 2y_{2 2} y _{2 2}2x ₂ x y y x x y + _{+ −} − − − 。

8.7 ̶఼

與分數的通分類似，根據分式的基本性質，把幾個異分母的 分式分別化成與原來的分式相等之同分母的分式，叫做分式的通 分。 例如，把分式 ₃1 ₂ x y 、 2 3 1 x y 與 4 1 xy 通分，可以這樣做：先找 出各式的公分母。這個公分母應當分別能被 3 2 x y 、 x y 與2 3 xy 整4 除，這樣的式子有 3 4 x y 、x y 、4 4 x y 、3 5 x y 、…。在這些式子中，4 5 3 4 x y 的次數最低，為了計算簡便，取x y 為公分母。然後，根據3 4 分式的基本性質，把原來各分式的分子與分母同乘以一個適當的 整式，使分母化成 3 4 x y ，即

2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 3 2 3 3 4 2 2 4 4 2 3 4 1 1 1 y y x y x y y x y xy xy x y x y xy x y x x xy xy x x y = = = = = = i i i 如果分母是多項式，一般先分解因式。 通分的關鍵是確定幾個分式的公分母。通常取各分母所有因 式的最高次冪之積作公分母，這樣的公分母，叫做最簡公分母。 如果各分母的係數都是整數，通常取它們係數的最小公倍數作為 最簡公分母的係數。 【ּ 1】 通分： (1) 2 y x 、 3 2 x y 、 1 4xy ； (2) 4₂ 5 a b c 、 2 3 10 c a b 、 2 5 2 b ac − 。

ś

ྋ !! (1) 因為分母中係數 2、3、4 的最小公倍數是 12，字母 因式 x、y 的最高次冪分別是 x、 2 y ，所以最簡公分 母是 2 12xy 。 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 2 6 12 4 4 3 3 4 12 1 1 3 3 4 4 3 12 y y y y x x y xy x x x x y y x xy y y xy xy y xy = = = = = = i i i i i i ∴ (2) 因為最簡公分母是10a b c ，所以 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 4 2 8 5 5 2 10 a a a c a c b c = b c a c = a b c i i

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 10 10 10 5 5 5 25 2 2 5 10 a b a b bc a b c b b ab ab ac = − ac ab = − a b c − i i i 分母的係數是負數時，一般先把負號提到分式本身的前邊 去。 【ּ 2】 通分： (1) 2( 1) x x+ 、 1 1 x− ； (2) 2 1 4 x − 、 4 2 x x − 。

ś

ྋ !! (1) 因為最簡公分母是2(x+1)(x− ，所以 1) ( 1) 2( 1) 2( 1)( 1) 1 2( 1) 1 2( 1)( 1) x x x x x x x x x x − = + + − + = − + − (2) 把分母分解因式，得 2 4 ( 2)( 2) 4 2 2( 2) x x x x x − = + − − = − − 最簡公分母是 2(x+2)(x− ，所以2) 2 1 2 4 2( 2)( 2) ( 2) 4 2 2( 2) 2( 2)( 2) x x x x x x x x x x x = − − + + = = − − − − − +

ቚ ௫!

1. 通分： (1) x a 、 y b ； (2) 2 2 3a 、 2 1 6ab ； (3) 3₂ 2x y 、 2 5 3xy ； (4) 2 a b 、3 2 b a 、 4 c ab 。

ቚ ௫!

2. 通分： (1) ( 2) x a x+ 、 ( 2) y b x+ ； (2) 1 y− x 、 1 2x−2y ； (3) b a b− 、 ( )2 a b a− ； (4) 5 2(x−2) 、 2 4 3(2− x) 。 3. 通分： (1) 2 2 x x + − 、 2 5 4 x − ； (2) 2 1 1 x − 、 2 1 3 2 x − x+ ； (3) 1 1 x+ 、 2 1 2 1 x x x − + + 、 1 1 x− ； (4) a a b− 、 ( )2 b a b+ 、 2 2 2 b −a 。

8.8 ள̶ϓ۞̶ёΐഴڱ

與異分母的分數加減法類似，異分母的分式相加減，先通 分，變為同分母的分式，然後再加減。用式子表示是： ± ± ± a c ad bc ad bc = = b d bd bd bd 【ּ 1】 計算 5₂ 2 ₂ 3 6a b −3ab + 4abc 。

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ྋ !! 5₂ 2 ₂ 3 10_{2 2} 8_{2 2} 9_{2 2} 6 3 4 12 12 12 bc ac ab a b − ab + abc = a b c − a b c + a b c 10 8_{2 2} 9 12 bc ac ab a b c − + = 【ּ 2】 計算 12₂ 2 9 3 m − + −m 。

9 3 ( 3)( 3) 3 m − −m m+ m− m− 12 2( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) 12 2( 3) ( 3)( 3) 12 2 6 ( 3)( 3) 2 6 ( 3)( 3) 2( 3) 2 ( 3)( 3) 3 m m m m m m m m m m m m m m m m m m + = − + − + − − + = + − − − = + − − + = + − − − = = − + − + 【ּ 3】 計算 2 4 2 a a + − − 。

ś

ྋ !! 2 2 4 2 4 4 4 2 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a + − + − = + = + = − − − − − 。 【ּ 4】 計算 ₂ 2 ₂ 1 4 2 4 4 x x x x x x x x − + − ⎛ _{− ⎞ ÷} ⎜ _{− − +} ⎟ ⎝ ⎠ 。

ś

ྋ !! 2 2 4 2 1 2 4 4 x x x x x x x x − + − ⎛ _{− ⎞ ÷} ⎜ _{− − +} ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 4 ( 2)( 2) ( 1) ( 2) 4 4 ( 2) ( 4) 1 ( 2) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − ⎡ ₋ ⎤ = ⎢_{⎣ − −} ⎥_{⎦ −} + − − − = − − − − + = − − = − i i

【ּ 5】 計算 2 2 2 1 3 2 1 1 1 4 3 x x x x x x x + − + − + − i + + 。

ś

ྋ !! 2 2 2 1 3 2 1 1 1 4 3 x x x x x x x + − + − + − i + + 2 2 2 2 1 3 ( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 3) 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 2 ( 1) x x x x x x x x x x x x x x + − = − + + − + + − = − + + + − + = + = + i 【ּ 6】 汽車從甲地開往乙地，每小時行駛v km，t 小時可以到₁ 達，若每小時多行駛v km，那麼可以提前幾小時到達？ ₂

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ྋ !! 甲乙兩地之間的距離是v t km。每小時多行駛₁ v km，₂ 則每小時行駛(v₁ +v₂) km，從甲地到乙地需要 1 1 2 v t v +v 小 時。可以提前的小時數就是 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) v t t v t t v v v v t v v v t v v v v v t v t v t v v v t v v − = − + + + = − + + + − = + = + ඍĈ可以提前 2 1 2 v t v +v 小時到達。

1. 計算： (1) 1 2 1 1 R + R ； (2) 2 2 a b a b b a ab + − − ； (3) 2 2 4 b c a − ； (4) a 2 2b a b a b − + + ； (5) 5₂ 7 ₂ 11₂ 6 12 8 a b c b c − ac + a b 。 2. 計算： (1) 1 1 1 1 x+ − x− ； (2) 2 ( ) a b a b− + a b a− ； (3) ₂1 ₂ 5 2 2 m m m m − + − − ； (4) 2 2 y xy x+ y + y − x ； (5) 5 ₂ 5 5 20 9 20 a a a a + ₊ − − + ； (6) 2 1 6 1 3 9 6 2 x x x x − − − − − + 。 3. 計算： (1) 4 2 2 2 x x x x x x ⎛ _{− ⎞ ÷} ⎜ _{− +} ⎟ ₋ ⎝ ⎠ ； (2) ab a b a b a b b a ⎛ ₊ ⎞ ⎜ _{− −} ⎟ ₋ ⎝ ⎠ i ； (3) 3 1 1 1 1 1 x x ⎛ ₋ ⎞⎛ ₋ ⎞ ⎜ ₋ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠； (4) 3 5 2 2 4 2 m m m m − _{÷⎛ ⎞} + − ⎜ ⎟ − ⎝ − ⎠； (5) 2 2 2 2 1 2 4 4 a b a b a b a ab b − − − ÷ + + + 。

8.9 ᓄ̶ё

我們前面所學的分式，它的分子與分母都是整式。如果分式 的分子或分母中含有分式，這樣的分式叫做繁分式。例如 c b a 、 1 2 1 1 1 R + R 、 1 1 1 1 a b a b + − 等都是繁分式。

與繁分數的化簡類似，可以把繁分式寫成分子除以分母的形 式，利用除法法則進行化簡。例如 1 1 1 1 1 1 1 1 b a b a b a ab b a a b ab ab ab b a b a a b a b a b + _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + +} =_⎜ + _{⎟ ⎜}÷ − _⎟ = ÷ = = − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − i ； 也可以利用分式的基本性質化簡繁分式，例如 1 1 1 1 1 1 1 1 ab b a a b a b b a ab a b a b ⎛ ₊ ⎞ + ⎜_⎝ ⎟_{⎠ +} = = − ⎛ ⎞ − _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ i i 。

ቚ ௫!

1. 化簡： (1) 1 x y ； (2) 1 x y ； (3) b a d c ； (4) b a c 。 2. 化簡： (1) 1 1 a b a b + − ； (2) 1 1 y x y x + − ； (3) 1 2 1 1 1 R + R 。

௫ ᗟ Ȉ

! 1. 通分： (1) 4 3x 、 2 1 2 x x − − 、 3 1 4 x x + ； (2) ( ) x a x− y 、 ( ) y b y− x ；

(2−x) (x+2)(x−2) (4) ( )( ) a b a b b c + − − 、 ( )( ) b c b c b a + − − ； (5) ₂ 2 x x − −x 、 1 2 x− ； (6) ₃ a ₃ a −b 、 2 2 1 a −b ； (7) ₂ 4 8 15 x x x + − + 、 2 5 12 x x x − + − 、 2 3 20 x x x − − − ； (8) 1 ₂ (x−1) 、 3 1 x x − 。 2. 下列各式的計算對不對？把不對的改正過來： (1) c d c d c d c d 0 0 a a a a − ₋ + ₌ − − + _{= = ；} (2) ₂ 1 _{2 2} 1 ₂ 1₂ 1 ( 1) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x x − + = − = = − − − − − − 。 3. 計算： (1) 1 1 ₂2 ₂ 6 4 6 4 9 4 y x− y − x+ y − x − y ； (2) ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 3 2 5 6 4 3 x + x+ + x + x+ + x + x+ ； (3) 3 2 1 1 x x x x + + − − ； (4) 2 2 2 2 4 4 2 2 4 y x y x y x y y x + + + − − ； (5) x y 4xy x y 4xy x y x y ⎛ _{− +} ⎞⎛ _{+ −} ⎞ ⎜ ₋ ⎟⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠； (6) 1 ₂ 1 ₂ 1 1 (a b) (a b) a b a b ⎡ _{− ⎤ ⎛÷ ⎞} − ⎜ ⎟ ⎢ _{+ −} ⎥ _{⎝ + − ⎠} ⎣ ⎦ ；

(7) 2 4 2 4 4 2 2 x y x y x x− y i x+ y − x − y ÷ x + y ； (8) ₂3 2 1 1 1 1 2 1 1 x x x x x − _{+⎛ ⎞ ⎛÷ ⎞} − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ + ⎠ ⎝ − ⎠。 4. 化簡： (1) 3 2 1 1 y y y y − − ； (2) 1 1 1 1 a b ab + − ； (3) 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x + ₋ − − + − 。 5. 鍋爐房儲存了 t 天用的煤 m T，要儲存的煤比預定的多用 d 天，每天應當節約多少 T？ 6. 一架幻燈機，當鏡頭與幻燈片之間的距離是 S (cm)時，幻燈片 上的景物長度放大的倍數是 1 1 1 18 S S − 。先化簡這個繁分式，然 後求出當 S = 20 cm 時景物長度放大的倍數。

8.10 ӣѣфϓ̏ۢᇴ۞˘̮˘Ѩ͞඀

我們先看下面的問題： 一個數的 a 倍(a ≠ )等於 b，求這個數。 0 用 x 表示這個數，根據題意，可得方程 ax = (b a ≠ ) 0 在這個方程中，x 是未知數，a 與 b 是用字母表示的已知數。對 x 來說，字母 a 是 x 的係數，叫做字母係數，字母 b 是常數項。這 個方程就是一個含有字母已知數的一元一次方程。

用 a、b、c 等表示已知數，用 x、y、z 等表示未知數。 含有字母已知數的方程之解法與前面學過的只含有數字已 知數的方程之解法相同。但必須特別注意：用含有字母的式子去 乘或者除方程的兩邊，這個式子的值不能等於零。例如，解方程 ax = 時，只有在b a ≠ 的條件下，才能用 a 去除方程的兩邊而得 0 b x a = 。 【ּ 1】 解方程 2 2 ax +b =bx +a ( a ≠ )。 b

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ྋ !! 移項，得 2 2 ax bx− = a − 。 b 合併同類項，得 2 2 (a b x− ) = a − 。 b 因為 a b≠ ，所以a b− ≠ 。方程的兩邊都除以 a b0 − ，得 2 2 a b x a b − = − ， 就是 x = + 。 a b 【ּ 2】 解方程 x b 2 x a a b − _{= −} − (a b+ ≠ )。 0

ś

ྋ !! 去分母，得 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 0 b x b ab a x a bx b ab ax a ax bx a ab b a b x a b a b x a b − = − − − = − + + = + + + = + + ≠ = + ∵ ∴

我們再看下面的問題： 汽車的行駛速度是 v (km/小時)，行駛的時間是 t (小時)，那 麼汽車行駛的路程 s (km)可以用公式 s = vt 來計算。 有時已知行駛的路程 s 與行駛的速度 v (v ≠ )，要求行駛的0 時間 t。因為v ≠ ，在 s vt0 = 的兩邊都除以 v，就得到 s t v = 這就是已知行駛的路程與速度，求行駛的時間之公式。 類似地，如果已知 s、t (t ≠ )，求 v。可以得到 0 s v t = 這就是已知行駛的路程與時間，求行駛的速度之公式。 以上三個公式都表示路程 s、時間 t、速度 v 之間的關係。當 v、t 都不等於零時，可以把公式s = 變換成公式vt t s v = 與v s t = 。 像上面這樣，把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫 做公式變形。公式變形往往就是解含有字母已知數的方程。 【ּ 3】 在v = v₀ +at 中，已知 v、v 、a，且₀ a ≠ ，求 t。 0

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ྋ !! 移項，得 0 v v− =at 。 因為a ≠ ，方程的兩邊都除以 a，得 0 0 v v t a − = 。 【ּ 4】 在梯形面積公式 1( ) 2 S = a b h+ 中，已知 S、b、h，且h≠ ，0 求 a。

ś

ྋ !! 去分母，得 2S = (a b h+ ) 。

2 ah = S −bh， 因為h ≠ ，方程的兩邊都除以 h，得 0 2S bh a h − = 。

ቚ ௫!

1. 解下列方程 (x 為未知數)： (1) 3a+4x =7x−5b； (2) ax by− = (0 a ≠ )； 0 (3) x b x a a − = − ( a bb ≠ )； (4) m x n2( − ) = n x2( −m) (m2 ≠ n2)。 2. (口答) 在公式 F = ma 中，所有字母都不等於零。 (1) 已知 F、a，求 m； (2) 已知 F、m，求 a。 3. 在公式v = + 中，所有字母都不等於零。 v₀ at (1) 已知 v、a、t，求v ；₀ (2) 已知 v、v 、t，求 a。 ₀ 4. 在梯形面積公式 1( ) 2 S = a b h+ 中，所有字母都是正數。 (1) 已知 S、a、b，求 h； (2) 已知 S、a、h，求 b。

8.11 Ξ̼ࠎ˘̮˘Ѩ͞඀۞̶ё͞඀

我們先看下面的問題：把1 5的分子與分母都加上同一個什麼 數，能使分數的值變為1 2 ？ 設所求的數是 x，那麼根據題意可以列出方程 1 1 5 2 x x + ₌ + 。 像這樣，分母裡含有未知數的方程叫做分式方程。以前學過 的，分母裡不含有未知數的方程叫做整式方程。一元一次方程是 最簡單的整式方程。

怎樣解分式方程呢？如果能把分式方程的分母去掉，使分式 方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。 例如，在分式方程 1 1 5 2 x x + ₌ + 的兩邊都乘以最簡公分母 2(5+ ，得 x) 1 1 2(5 ) 2(5 ) 5 2 x x x x + + = + + i i 。 約去分母，就得到整式方程 2(1+ x)= + 。 5 x 解這個整式方程，得 3 x = 。 3 x = 是不是原來分式方程的解呢？把 x = 代入原方程驗3 算： 左邊 1 3 4 1 5 3 8 2 + = = = + 、右邊 1 2 = ， 左右兩邊相等，說明x = 是原分式方程的根。 3 再看另一個分式方程 2 2 3 6 1 1 1 x+ + x− = x − ， 在方程的兩邊都乘以最簡公分母 (x+1)(x− ，得整式方程 1) 2(x− +1) 3(x+ = ， 1) 6 解這個整式方程，得x = 。 1 把x = 代入原分式方程驗算，結果1 x = 使分式1 3 1 x− 與 2 6 1 x − 的分母之值為零，這兩個分式沒有意義。因此 1 不是原分式方程 的根。 實際上，原分式方程無解。 從上面兩個例子可以看出，為了解分式方程，就要在方程兩 邊都乘以同一個含有未知數的整式(各分式的最簡公分母)，把分 式方程化為整式方程。這樣得到的整式方程有時與原分式方程是

第二個例子，變形後得到的整式方程產生了一個不適合原分式方 程的根。 上面的現象是怎樣產生的呢？方程同解原理 2 指出：方程的 兩邊都乘以不等於零的同一個數，所得方程與原方程同解。在前 面解第一個分式方程時，方程的兩邊都乘以 2(5+ ，接著求出x) 3 x = ，而 2(5+ x) = ，所以相當於方程兩邊都乘以 16，16 016 ≠ ， 因此所得的整式方程與原分式方程同解。在解第二個分式方程 時，方程的兩邊都乘以 (x+1)(x− ，接著求出1) x = ，相當於方程1 兩邊都乘以 0，結果使原分式方程中有的分式就沒有意義了，這 樣得到的整式方程就與原分式方程不同解了。 在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫 做原方程的增根。前面第二個例子中求出的整式方程之根x = 就1 是原分式方程的增根。因為解分式方程時可能產生增根，所以解 分式方程必須驗算。為了簡便，通常把求得的根代入變形時所乘 的整式(最簡公分母)，看它的值是否為零，使這整個整式為零的 根是原方程之增根，必須捨去。 綜上所述，解分式方程的一般步驟是： 1. 在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整 式方程； 2. 解這個整式方程； 3. 把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零， 使最簡公分母為零的根是原方程之增根，必須捨去。 【ּ 1】 解方程 5 7 2 x = x− 。

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ྋ !! 方程兩邊都乘以 (x x− ，約去分母，得 2) 5(x−2) = 7x。 解這個整式方程，得 5 x = − 。

驗算： 當x = − 時， 5 (x x−2) = − × − −( 5) ( 5 2) =35 ≠ 。 0 所以 5− 是原方程的根。 【ּ 2】 解方程 2 ₂16 2 2 4 2 x x x x x − _{− =} + + − − 。

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ྋ !! 方程兩邊都乘以 (x+2)(x− ，約去分母，得 2) 2 2 (x−2) −16 =(x+2) 。 解這個整式方程，得 2 x = − 。 驗算： 當x = − 時， 2 (x+2)(x−2) = 。 0 所以 2− 是增根，原方程無解。 【ּ 3】 解公式1 1 1 u + =v f 中，u+ ≠ ，已知 u、v，求 f。 v 0

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ྋ !! 公式兩邊都乘以 uvf ，得 vf +uf = uv， 即 (v +u f) = uv。 因為u+ ≠ 方程兩邊都除以 u vv 0 + ，得 uv f u v = + 。 注意：本書中含有字母已知數的分式方程，一律不要求驗算。

ቚ ௫!

1. 解下列方程 (x 為未知數)： (1) 2 3 1 x = x+ ； (2) 2 1 3 1 x+ = x− ； (3) 2 3 3 3 x x− = + x− ； (4) 1 1 3 2 2 x x x − = − − − ； (5) 5 1 2 5 5 2 x x− + − x = ； (6) 2 2 2 7 1 6 1 x + x + x −x = x − 。

2. 在公式 1 2 2 1 P P V = V 中，P1 ≠ ，求出表示0 V 的公式。 1 3. 在公式 1 2 1 1 1 R = R + R 中，R ≠ R1，求出表示R 的公式。 2 【ּ 4】 解方程組 6 2 0 2 1 4 3 y x x y x y + ⎧ _{− =} ⎪ − ⎪ ⎨ ₊ ⎪ ₌ + − ⎪⎩ (1) (2)

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ྋ !! (1)式兩邊都乘以 x− ，化簡，得 2 2x− =y 10， (2) 式兩邊都乘以 (x+4)(y− ，化簡，得 3) 1 x+ = − 。 y 解方程組 2 10 1 x y x y − = ⎧ ⎨ + = − ⎩ 得 3 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 經驗算， 3 4 x y = ⎧ ⎨ = − ⎩ 是原方程組的解。 【ּ 5】 解方程組 6 6 1 2 8 3 3 10 x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = ⎪⎩ (1) (2)

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ྋ !! 設 1 X x = 、 1 Y y = ，則原方程組變為 1 6 6 2 3 8 3 10 X Y X Y ⎧ _{+ =} ⎪⎪ ⎨ ⎪ _{− =} ⎪⎩ 解這個整式方程組，得 1 20 1 30 X Y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 即 20 30 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 經驗算， 20 30 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 是原方程組的解。 例 5 的解法叫做換元法，也就是把適當的含有未知數之式子 如 1 x 、 1

y 換成新的未知數 X、Y，求出 X、Y 之後再求 x、y。

ቚ ௫!

解下列方程組： (1) 3 4 1 1 2 2 x y x y ⎧ = ⎪⎪ ⎨ − ⎪ ₌ ⎪ + ⎩ ； (2) 4 5 0 3 0 4 3 x y x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ₊ ⎪ _{− =} ⎪ + − ⎩ ； (3) 2 3 1 3 2 1 x y x y ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ − = − ⎪⎩ 。

【ּ 1】 甲、乙二人做手機吊飾。已知甲每小時比乙多做 6 個，甲 做 90 個所用時間與乙做 60 個所用的時間相等。求甲、乙 每小時各做多少個。

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ྋ !! 設乙每小時做 x 個手機吊飾，那麼甲每小時做 (x+ 個。 6) 甲做 90 個所用時間是 90 6 x+ 小時，乙做 60 個所用時間是 60 x 小時。已知這兩個時間相等，所以得 90 60 6 x+ = x ， 方程的兩邊都乘以 ( 6) 30 x x+ ，約簡，得 3 2 12 12 x x x = + = 經驗算，12 是所列方程的根。 由x =12，得x+ =6 12 6 18+ = 。 ඍĈ甲每小時做 18 個手機吊飾，乙每小時做 12 個。 【ּ 2】 某學校的學生到距學校 15 km 的體育場看球賽。一部份學 生騎自行車先走，40 分鐘後，其餘的學生乘汽車出發，結 果他們同時到達。已知汽車的速度是自行車之 3 倍，求兩 種車的速度。 分析： 根據已知條件，如果設自行車的速度是 x km/小時，那 麼汽車的速度是 3x km/小時。由速度、時間、路程之間 的關係，可列出下表： 速度 (km/小時) 路程 (km) 時間 (小時) 自行車 x 15 15 x 汽 車 3x 15 15 3x

因為汽車晚開出 40 分鐘(即 2 3 小時)，結果與自行車同時 到達，這說明行駛 15 km，汽車比自行車少用2 3 小時。 根據題意，有如下相等關係： 汽車所用時間 = 自行車所用時間－ 2 3 小時 於是可以列出方程。

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ྋ !! 設自行車的速度是每小時 x km，那麼汽車的速度為每小 時 3x km，它們行駛 15 km 所用的時間分別是15 x 小時與 15 3x 小時，於是得 15 15 2 3x = x − ， 3 即 5 15 2 3 10 2 3 15 x x x x = − = = 經驗算，15 是原方程的根。 當x =15時，得 3x = 45。 ඍĈ自行車的速度是每小時 15 km，汽車是每小時 45 km。 想一想：(1) 如果設汽車走這段路程需 x 小時，應怎麼解？ (2) 如果用方程組，應怎麼解？

列出分式方程(組)解下列應用題： 1. 甲做 90 個手機吊飾所用的時間與乙做 120 個所用的時間相 等，又知每小時甲乙二人一共做 35 個手機吊飾。問甲乙每小 時各做多少個手機吊飾？ 2. 某農莊原有水田 400 公畝、旱田 150 公畝，為了提高單位面 積產量，準備把部分旱田改為水田，改完之後，要求旱田佔 水田的 10%。問應把多少公畝旱田改為水田？ 3. 用食鹽 25 kg 配製含鹽 20%的鹽水，需加水多少 kg？ 4. 開始時乙離橋頭 24 km，甲離橋頭 30 km。甲的速度是乙的 1.5 倍，結果比乙提前 48 分鐘到達橋頭，求甲的速度。

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1. 解下列方程： (1) 2 5 6 x x x x − = − − ； (2) 8 1 8 7 7 x x x − _{− =} − − ； (3) 1 1 5 1 2 2 x + x+ = x+ ； (4) 2 1 4 2 1 1 1 x x x x x − _{− =} + + − − ； (5) ₂ 2 ₂ 3 ₂4 5 6 6 4 x + x+ + x + −x = x − ； (6) 5 4 1 2 5 2 4 2 3 6 x x x x − _{+ =} + − − ； (7) ₂ 3 ₂ 5 ₂ 6 8 15 2 15 25 x + x+ + x − x− = x − ； (8) ₂ 1 3 ₃ 1 1 1 x x x = x − x − + + + 。

2. 解下列方程組： (1) 4 1 1 4 2 1 0 2 x y y x ⎧ ₌ ⎪ + + ⎪ ⎨ + ⎪ _{+ =} ⎪ − ⎩ ； (2) 1 6 5 3 4 1 x y x y x y x y − + ⎧ ₌ ⎪ + ⎪ ⎨ − − ⎪ ₌ ⎪ ₋ ⎩ ； (3) 1 8 8 5 4 51 x y x y ⎧ − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ ； (4) 10 3 5 15 2 1 x y x y x y x y ⎧ _{+ = −} ⎪ + − ⎪ ⎨ ⎪ _{− = −} ⎪ + − ⎩ 。 3. (1) Q = ×N P% (N ≠ )，求 P； 0 (2) M 1000D R = ，求 D； (3) 2 D d t = − ，求 D； (4) R r S n + = ，求 r； (5) 0ax by c+ − = (b ≠ )，求 y； 0 (6) z a c b z d − ₌ − (c+ ≠ )，求 z； d 0 (7) 1 a 1 b a + = + ( a bx b x ≠ )，求 x； (8) 1 2 1 1 2 F = f + f ( f2 ≠ 2F )，求 f 。 1 列出分式方程(組)解下列應用題： 4. 純酒精 35 g 配製成濃度為 28%的酒精溶液，需加多少水？ 5. 甲乙兩個工人分別製作 1500 個糕餅，乙運用新技術，生產率 是甲的 3 倍，因此比甲少用 20 個小時完成。請問他們每小時 各製作多少個糕餅？

收穫稻米 300 kg；第二塊田使用品種改良的稻種，收穫稻米 420 kg。已知第一塊地的每公畝產量比第二塊地少 200 kg，求 兩塊稻田的每公畝產量各是多少 kg。 7. 某中學到離學校 15 km 處的郊外露營，工作人員與大隊人馬 同時出發，行進速度是大隊人馬的 1.2 倍，以便提前半小時到 達目的作準備工作。求工作人員與大隊人馬的速度各是多少。 8. 輪船順水航行 80 km 所需的時間與逆水航行 60 km 所需的時 間相同。已知水流速度是每小時 3 km，求輪船在靜水中的速 度。 9. 甲乙兩班學生植樹，原計畫 6 天完成任務。他們共同勞動 4 天後，乙班另有任務調走，甲班又用了 6 天才植完。求甲乙 兩班單獨完成任務各需多少天。

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一、本章主要內容是分式的概念、基本性質與運算，以及有 關分式方程的一些初步知識。 二、形如 A B 的式子叫做分式，其中 B 裡含有字母。 A B 表示 A B÷ 所得的商，因此，B 的值不能為零，這是分式概念中的一個 要點。 三、分式的基本性質是 A AM B = BM (M ≠ ) 0 它是分式運算的重要依據。 四、可以對比分數學習分式、分式的約分、通分及四則運算 等都與分數類似。還要注意分式與整式的聯繫，整式運算是分式 運算的基礎。

五、根據需要，一個公式有時要變換成不同的形式。公式變 形往往就是含有字母已知數的方程。解含有字母已知數的方程與 解數字已知數的方程相同，只是將數的運算換成式的運算，但要 注意，當出現分式時，字母的取值不能使分母的值為零。 六、解分式方程的一般步驟是： 1. 在方程了兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式 方程； 2. 解這個整式方程； 3. 把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，使 最簡公分母為零的根是原方程之增根，應捨去。

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1. 當 x 取什麼數值時，下列分式的值為正？ (1) 2 2x−3； (2) 1 3 x− 。 2. 計算： (1) 2 3 2 2 2 7 10 1 6 5 1 4 4 2 a a a a a a a a a a + + + _÷ + + − + i + + + ； (2) 3 2 2 2 4 8 ( 4) 4 4 2 4 x x x x x x + _÷ + ₋ − + − i ； (3) 3 2 1 1 a a a a− − − − ； (4) 1 1 ₂2 1 1 1 a− − a+ − a + ； (5) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a b a c− − + b c b a− − + c−a c b− ； (6) 2 2 2 2 5 4 3 4 1 6 6 8 a a a a a a a a + + _÷ + − ₋ + − − + ； (7) 2 2 2 15 9 3 3 2 6 9 x x x x x − ₋ − ₋ + − ；

(8) 2 2 e e e e + − ⎜ ⎟ ₋⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (9) _{n n 2n 2n} a −b − a −b 。 3. x 是什麼數時， ₂1 2 1 1 1 1 x − + x+ − x− 的值是零？ 4. 用帶餘除法把下列分式化成整式與真分式(分子、分母都是同 一字母的整式，並且分子的次數低於分母之次數)的和之形式： (1) 3 2 2 2 3 5 3 x x x x x + − + − − ； (2) 3 2 1 2 x x x + − + 。 5. 解下列方程： (1) ₂7 ₂3 ₂6 1 x + x + x − x = x − ； (2) 2 2 2 8 16 2 2 1 4 4 2 2 x x x x x x x − + _{+⎛ ⎞ =} + ⎜ ⎟ − + ⎝ + ⎠ − ； (3) 1 ₂ 6 ₃ 1 1 1 1 x x x x x − _{+ =} + + − − ； (4) 4 5 7 8 5 6 8 9 x x x x x x x x − ₋ − ₌ − ₋ − − − − − (提示：先分別計算兩邊)。 6. 解下列方程組： (1) 1 4 5 2 3 6 x y x y x y x y − − ⎧ ₌ ⎪ + + ⎪ ⎨ + − ⎪ ₌ ⎪⎩ ； (2) 35 20 3 28 25 3 x y x y x y x y ⎧ _{+ =} ⎪ + − ⎪ ⎨ ⎪ _{+ =} ⎪ + + ⎩ ； (3) 2 5 4 2 3 1 4 3 y x y x ⎧ _{+ =} ⎪⎪ + ⎨ ⎪ _{− =} ⎪ + ⎩ ； (4) 3 1 3 6 2 3 2 x y x y x y x y + ⎧ _{− = −} ⎪ ₋ ⎪ ⎨ + ⎪ _{+ =} ⎪ − ⎩ 。 7. (1) 已知 2 12000 d Sn H = (n ≠ 、0 d ≠ )，求 S； 0

(2) 已知U V V R S − ₌ (R+ ≠ )，求 V； S 0 (3) 已知e m a n a − = − (e ≠ )，求 a。 1 8. 由公式 1 2 1 1 1 R = +r r ，推出 2 2 1 1 r R r r = + (r₁ + ≠ )。 r₂ 0 9. 用代數式表示圖中陰影部分的 面積。已知這個面積是 S，用 S、 R、r 的代數式表示 a。 列出分式方程(組)解下列應用題： 10. 某煤礦現在平均每天的採煤量 比原計畫多採 300 T 煤，已知現在採 33000 T 煤所需的時間與 原計畫採 23100 T 煤的時間相同。問現在平均每天採煤多少 T？ 11. 某人被派到距離 30 km 的地方去執行任務，由於情況發生了 變化，行進速度必須是原計畫速度的 1.5 倍，才能按要求提前 2 小時到達。求他原計畫的速度。 12. 一台自動包裝機，它的包裝效率相當於人工包裝效率的 75 倍，包裝 3000 個產品比人工少用 2 小時 28 分鐘。這台自動 包裝機與人工每分鐘各包裝多少個產品？ 13. 甲乙二人合打一份稿件，4 小時後，甲另有任務，餘下部分由 乙單獨又用了 6 小時才完成。已知甲打 6 小時的稿件，乙要 打 7 小時 30 分鐘。問甲乙單獨完成各需多少小時。 14. 從甲站到乙站共有 80 km，其中開始的 20 km 是平路，然後是 30 km 的上坡路，餘下的又是平路。火車從甲站出發，經過 50 分鐘，到達甲乙兩站的中點，再經過 45 分鐘到達乙站，求 火車在平路上與上坡路上的速度。 (第 9 題) r _R a