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2014 小學中年級組第二輪檢測試題詳解
───────────────────────────────────────────────── 1. 請問算式100 100× −2015的值之各位數碼的和是多少？ （A）27 （B）29 （C）30 （D）34 （E）39 【參考解法1】 100 100× −2015 10000= −2015=7985，故差的各位數碼之和為7+ + + =9 8 5 29。 【參考解法2】 100 100 10000× = =(9999 1)+ ，它的各位數碼之和可視為9+ + + + =9 9 9 1 37，而 2015的各位數碼之和為2+ + + =0 1 5 8，故差的各位數碼之和為37 8− =29。 答案：（B） 2. 若6⊗ = +2 6 66=72且2⊗ = +3 2 22+222=246，請問5⊗3的值為多少？ （A）3735 （B）605 （C）615 （D）625 （E）37035 【參考解法】 5⊗ = +3 5 55 555+ =615。 答案：（C） 3. 某項體育比賽的計分規則是：每位運動員表演結束後，七名裁判給這位運動 員打出分數，先去掉一個最高和一個最低的分後，餘下五名裁判的分數的平 均值作為該運動員的實際得分。在這項比賽中，若七名裁判給某位運動員的 打分為9.2、9.5、9.3、9.6、9.1、9.6、9.4，請問該運動員的實際得分是多少？ （A）9.3 （B）9.38 （C）9.4 （D）9.42 （E）9.5 【參考解法】 去掉一個最高分9.6 和一個最低分9.1，餘下五名裁判的分數的平均值為 (9.2+9.3 9.4+ +9.5 9.6) 5+ ÷ =9.4分。 答案：（C） 4. 商場舉行抽獎活動，抽獎方式是從下列五個箱子中任選一個箱子內抽出一個 球，如果抽出1 號球則可獲得對應的獎品。請問從哪一個箱子中得到獎品的 機會最大？ （A） （B） （C） （D） （E） 2 3 1 1 2 3 4 2 2 3 1 2 1 1 2 1【參考解法】 從(A)箱中抽到 1 號球的機率為1 3；從(B)箱中抽到1 號球的機率為 2 3；從(C)箱中 抽到1 號球的機率為1 2；從(D)箱中抽到 1 號球的機率為 2 1 4= 2；從(E)箱中不可 能抽到 1 號球。故(B)抽中 1 號球的可能性最大。 答案：（B） 5. 用筆在紙面上畫圖形，使得筆尖不離開紙面且每條線都恰只畫一次，則稱此 圖形可以一筆畫完成。請問下列哪一個圖形不能一筆畫完成？ （A） （B） （C） （D） （E） 【參考解法】 我們發現一筆畫的問題與頂點連接的弧數有關，也就是與頂點處的分岔情形有 關。以某個頂點為端點的弧數稱為這個頂點的叉數，或稱為該點的自由度，所 以每個頂點的自由度不是奇數就是偶數。因此我們稱自由度是奇數的頂點為奇 頂點；自由度是偶數的頂點為偶頂點。能用一筆畫完全的圖形必須是沒有孤立 頂點的連通圖形，並且奇頂點的個數是 0 或 2。 圖形(A)中有 10 個偶頂點沒有奇頂點；圖形(B)中有 28 個偶頂點沒有奇頂點；圖 形(C)中有 8 個偶頂點沒有奇頂點；圖形(D)中有 8 個偶頂點沒有奇頂點；圖形(E) 中有 3 個偶頂點 4 個奇頂點。故圖形(E)不能一筆劃。 答案：（E） 6. 小莉到書店買書，她用所帶的錢之一半買了數學書，再用餘下錢的三分之二 買了語文書，剩下的錢正好買 18 元的英語書。請問小莉總共帶了多少錢？ 【參考解法】 小莉用了所帶的錢的一半的三分之一，即六分之一的錢來買英語書，而已知英 語書共花了 18 元，因此她總共帶了18 6 108× = 元。 答案：108 元
7. 用天平來比較球體、圓柱體、正立方體三種物品的重量，已知三個球體與二 個圓柱體的重量相同；五個球體與六個正立方體的重量相同。 請問 5 個圓柱體的重量與多少個正立方體的重量相同？ 【參考解法】 已知 3 個球體的重量與 2 個圓柱體的重量相同、又知 5 個球體的重量與 6 個正 立方體的重量相同，因此 15 個球體的重量與 10 個圓柱體、15 個球體的重量與 18 個正立方體的重量相同，即 10 個圓柱體的重量與 18 個正立方體的重量相同， 故可推知 5 個圓柱體的重量與 9 個正立方體的重量相同。 答案：9 個 8. 在電子遊戲中，吃掉第一個蘋果可得 1 分，吃掉第二個蘋果可得 2 分，吃掉 第三個蘋果可得 3 分，依次類推，請問當它吃掉第十個蘋果時總共可得多少 分？ 【參考解法】 可知吃到第十個水果時共得1 2+ + + + + + + + + = × =3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 55分。 答案：55 分 9. 某年五月有5 個星期日，4 個星期一，請問該年五月一日是星期幾？ (回答時請以 0 代表星期日、以 1 代表星期一、以 2 代表星期二、以 3 代表 星期三、以 4代表星期四、以 5代表星期五、以 6代表星期六) 【參考解法】 如下圖所示畫一個日曆表： 一 二 三 四 五 六 日 ※ ※ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 因為有5 個星期日，4 個星期一，所以從第一個星期日到第五個星期日，共29 天。而五月份共有31天，因此剩下的2天只可能在第一個星期日之前，而不可 能在第五個星期日之後，也就是圖中標記※處。因此該年五月一日是星期五。 答案：5
10. 請問下圖中總共有多少個在不同位置的三角形？ 【參考解法】 為了保證不遺漏且不重複，我們可以將三角形分類。 (1) 三角形內只包含一個三角形的總共有 12 個。 (2) 三角形是由兩個小三角形組合而成的總共有 2 個。 (3) 三角形是由三個小三角形組合而成的總共有 2 個。 沒有三角形是由四個以上的小三角形組合而成的，故總共有12+ + =2 2 16個在不 同位置的三角形。 答案：16 個 11. 某次聯誼活動共有 20 位學生，其中第一位女學生和 7 位男學生握過手；第 二位女學生曾經和8 位男學生握過手；第三位女學生和9 位男學生握過手； 以此類推，最後一位女學生和全體男學生都握過手。請問這 20 位學生中， 有多少位男學生？ 【參考解法】 第一位女學生和6 1+ 位男學生握過手；第二位女學生和6+2位男學生握過手； 第三位女學生和6+3位男學生握過手；…。現不妨設有 n 位女學生，由此可推 出，第 n 位女學生和6+n位男學生握過手。此時不難看出：男學生比女學生多 6 位。根據和差問題解答規律可求出男學生的人數為(20+ ÷ =6) 2 13位、女學生 的人數為(20− ÷ =6) 2 7位。 答案：13位男學生 12. 學校有六個不同的課外活動社團，小明打算從中選擇三個社團參加，但是其 中有兩個社團活動時間相同，他至多只能挑選其一，請問他共有多少種不同 的選擇參加社團的方式？ 【參考解法1】 將這六個社團標記為A、B、C、D、E、F，其中E與 F為活動時間相同的兩個 社團，則由枚舉法知小明選擇的三個社團可為： A、B、C；A、B、D；A、B、E；A、B、F；A、C、D；A、C、E；A、C、F； A、D、E；A、D、F；B、C、D；B、C、E；B、C、F；B、D、E；B、D、F； C、D、E；C、D、F。故共有16種不同的選擇。 【參考解法2】 若小明都沒參加活動時間相同的兩個社團，即為從其餘四個社團中選擇三個社 團參加，可知共有4 種參加的方式；若小明有參加活動時間相同的兩個社團中
的一個，這有 2 種可能，且再從其餘四個社團中選擇二個社團參加，這有4 3 6 2 × = 種參加的方式，故知共有6 2 12× = 種參加的方式。因此合計共有4 12 16+ = 種不 同的選擇。 【參考解法3】 先不考慮有兩個社團活動時間相同的情況下，小明從六個社團中選擇三個社團 參加，共有6 5 4 20 3 2 1× × =× × 種參加的方式。但實際上不可能同時參加活動時間相同 的兩個社團，而同時選擇參加活動時間相同的兩個社團及其餘四個社團中的一 個社團共有4 種參加的方式，故可推知實際上共有20− =4 16種不同的選擇。 答案：16 種 13. 正方形公園的正中央有一座正方形的涼亭，涼亭的邊緣與公園外圍最近的距 離為8 m，如圖所示。已知公園除了涼亭外的區域之面積為448 m2，請問涼 亭的面積是多少 m2？ 【參考解法】 如圖所示，延伸中央正方形的邊長，此時可將公園劃分為四個面積相等的長方 形。由涼亭的邊緣與公園外圍最近的距離為8 m可知這些長方形的寬為 8 m；而 由草地面積為448 m2可知每個小長方形的面積為448 4 112÷ = m2，因此小長方形 的長為112 8 14÷ = m，此時即可求出涼亭的面積為 2 2 (14 8)− =6 =36m2。 答案：36 m2 14. 從三組數碼{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6, 9}中各選取一個數碼以任意的順序組 成一個三位數，請問所組成的三位數中有多少個數可以被 6 整除？ 【參考解法】 通過觀察發現：第一組數全是被 3 除之後餘 1，第二組數全是被 3 除之後餘 2， 第三組數全是被 3 除之後餘 0。因此按題意每組各取一個數碼組成的三位數之數 碼和被 3 除之後恰餘 0，即取出的這三個數碼無論如何排列所組成的三位數都能 被 3 整除。故只需再找出組成的三位數能被 2 整除即可，即個位上的數必為偶 數。 涼亭 草地 8 8 8 8 14 14 14 14 8 8 8 8
【方法 1】 利用枚舉法，找出能被 2 整除的所有數： 132、312、126、216、162、612、192、912、156、516、138、318、186、816、 168、618、198、918、432、342、234、324、426、246、462、642、264、624、 924、294、942、492、354、534、456、546、654、564、954、594、384、834、 348、438、468、648、486、846、684、864、498、948、894、984、732、372、 726、276、762、672、792、972、756、576、738、378、786、876、768、678、 978、798，總共能組成 72 個可被 6 整除的三位數。 【方法 2】 可知組成的三位數之個位數為第一組數時，只有 4 這一個選擇，而十位數為第 二組數、百位數為第三組數共有3 3× 個選擇，此時因十位數與百位數可交換而 得另一個三位數，故合計共有1 (3 3) 2 18× × × = 個三位數； 而組成的三位數之個位數為第二組數時，有2 與8 這二個選擇，而十位數為第 一組數、百位數為第三組數共有3 3× 個選擇，此時因十位數與百位數可交換而 得另一個三位數，故合計共有2 (3 3) 2× × × =36個三位數； 而組成的三位數之個位數為第三組數時，只有6 這一個選擇，而十位數為第二 組數、百位數為第一組數共有3 3× 個選擇，此時因十位數與百位數可交換而得 另一個三位數，故合計共有1 (3 3) 2 18× × × = 個三位數。 故總共能組成18 36 18+ + =72個可被6整除的三位數。 答案：72 個 【評分標準】 證明取出的這三個數碼無論如何排列所組成的三位數都能被3 整除，5 分。 說明只需再找出組成的三位數個位上的數必為偶數，5 分。 用方法1 列出72個的正確三位數，10分；答案錯誤，0 分。用方法2 算出 個位數為第一、二、三組數時組成的三位數正確，各3分；最後所求答案正 確，再加1 分。 15. 將一個大正三角形的每條邊用3 個點將它4 等分，然後以平行於三角形各邊 的直線將這些點相連接，把大正三角形分割為 16 個小正三角形，如下右圖 所示。一片四正三角形塊為將 4個小正三角形以邊對邊連接在一起的區塊， 共有三種不同的四正三角形塊，如下左圖所示。
(1) 請證明有可能將 4 個小正三角形塗色，使得無法在此大正三角形內放置任何 一片四正三角形塊而不蓋到任何塗色的小正三角形。(4 分) (2) 請證明無論如何將 3 個小正三角形塗色，都一定可以在此大正三角形內放置 一片四正三角形塊而不蓋到任何塗色的小正三角形。(16 分) 【參考解法】 (1) 將如圖所示的四個小正三角形塗黑，則無法在此大正三角形內放置任何一片 四正三角形塊而不蓋住任何塗色的小正三角形。 (2) 可利用下圖中任意一種方式將大三角形劃分成 4 塊區域，由於只塗黑 3 個三 角形，所以一定有一個區域裡的三角形都沒被塗黑，而這個區域裡的 4 個三角 形便是一個四正三角形塊。 【評分標準】 (1)小題：給出正確塗色方法，4 分 (2)小題： 將大三角形劃分成 4 塊區域，8 分。 說明一定有一個區域裡的三角形都沒被塗黑，4 分。 說明這個區域裡的 4 個三角形便是一個四正三角形塊，所以無論如何將 3 個 小正三角形塗色，都一定可以在此大正三角形內放置一片四正三角形塊而不 蓋到任何塗色的小正三角形，4 分。
