布豐投針

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布豐投針實驗

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*

108.03.25 ∼ 108.03.25

一堂高中數學課

1. 實驗方法

找一根針，一張【夠大】的紙張，在紙上以這一根針的長度為距離，畫出一系列的平行線，然後我們在紙張上【丟擲】這一根針，並統計這針和平行線相交的次數。如圖 1 所示：圖 1 重複投針 1000 次，並設有相交的次數有 n 次，最後計算值： 1000 n × 2 (1) 我們把這樣的實驗過程稱為布豐投針實驗。

2. 數學家布豐

布豐看起來有點像是台灣原住民的名稱，不過布豐 (Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon,

1707∼1788) 事實上是 18 世紀法國的博物學家，他在數學上的貢獻是把微積分引進機率論。從上面的實驗，我們發現這確實是一個機率的實驗，難道，這一個實驗會因為投擲的次數增加而趨近於某一個定值嗎？這可能嗎？ *_{bee 美麗之家: http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee} 1

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是的！就是一個定值，而且這一個定值是圓周率 π。

3. 實驗的理論基礎

這一個實驗的理論基礎是所謂的【幾何機率】。如圖 2 所示：圖 2 首先，我們假設針投下去的方向都是固定的。例如和所有的平行線垂直。那麼，這一個針【必然和某一條平行線相交】，此時相交的機率為 1。這是因為任兩個平行線之間的距離只有 1，所以針必然會和某一條平行線相交 (即使針恰好接在兩平行線之間，依然算有相交)。又例如針和平行線是平行的，則這樣的針【絕對不可能】和平行線相交，即相交的機率為 0。圖 2 中還有 30◦ 和 60◦的情形。接著我們轉動針的方向，這樣就可以得到投針實驗的理論值。回頭看圖 2，你發現方法了嗎？

4. 固定角度的相交機率

從圖 2 中，我們可以發現針的角度可從 0◦ ∼ 180◦，事實上，討論 0◦ ∼ 90◦ 即可。 我們假設現在的針的弧度是 θ，0 _{≤ θ ≤} π 2(採用弧度制)，如圖 3 所示：圖 3 則此針和平行線相交的機率為 sin θ(想想看，這裡是幾何機率！)。 圖 3 是一個無言的說明，我們應該不需要多做解釋！ 2

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5. 變動角度的相交機率

接下來我們得【描述】角度發生的機率？描述，嗯！給一個 1 4 圓，如圖 4 所示，然後讓半徑繞著圓心 O 轉動，我們想描述固定角度 θ 發生的機 率。圖 4 圖 4 中，想像極小數 dθ _{̸= 0，並想像在【極小範圍 dθ 內】，θ 是一個定值。} 因為機率的總值為 1， 1 4 圓的弧長為 π 2，所以 θ 發生的機率為 dθ π 2 = 2dθ π 。 又因為當角度 θ 固定時，和平行線相交的機率為 sin θ，所以可以用定積分 ∫ π 2 0 sin θ· 2dθ π (2) 來表示投針實驗的機率 (這是因為 sin θ 發生的機率為 2dθ π ，此為乘法原理)。接著計算 ∫ π 2 0 sin θ·2dθ π = 2 π(− cos θ) π 2 0 = 2 π (3) 因此當次數夠多時，例如 1000 次，我們有 n 1000 ≈ 2 π ===⇒ π ≈ 2000 n (4)

6. 一般情形

當我們有根長度為 l 的針，且兩相鄰平行線的距離為 t 時，若實驗 n 次的情形下，有 h 次針與 平行線相交，則 π ≈ 2ln th (5) 這留給讀者做練習囉！ 3