光彈等色線條紋細線化之數位影像處理方法
A DIGITAL IMAGE PROCESSING METHOD
FOR ISOCHROMATIC FRINGE
SHARPENING OF
PHOTOELASTICITY
洪 光 民
*馬 劍 清
**曾 垂 拱
†Kuang-Ming Hung Chien-Ching Ma Chwei-Goong Tseng
*研究生 **教授 †副教授 * **
國立台灣大學機械工程學系
†
國立台灣科技大學機械工程系
*Graduate student **Professor †Associate Professor
Department of Mechanical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan 10617, R.O.C. Department of Mechanical Engineering, National Taiwan University of Science and Technology, Taipei, Taiwan 10672, R.O.C.
Abstract
The isochromatic fringes obtained from photoelastic system are broad bands instead of thin lines. The uncertainties in the locations of fringe centerlines affect the accuracy of the experimental result. In this paper, a simple image processing method is presented for isochromatic fringe sharpening. This method produces highly sharpened isochromatic fringe contours with only one pixel width at quarter of odd fringe order locations. The result is a pattern of isochromatic fringe contour with twice as many as those in the light field or dark field and provides enhanced accuracy of experimental data for photoelastic analysis. A Compact optic system for digital photoelasticity using a He-Ne laser as light source is used to obtain the digital images of isochromatic of a circular disk subjected to diametral distributed compression. The quarter of odd order isochromatic fringes obtained by the proposed image processing method have good agreements with the theoretical ones over the full field.
Keywords: digital photoelasticity, isochromatics, dark-field, light-field, sharpening, pixel.
ᄠ ॊ 一般而言光彈實驗中所獲得的等色線條紋大都有不等 的寬度，而由於決定條紋中心線的不確定性，因而限制了 實驗結果的正確性，本文中提出了一套簡潔的光彈等色線 細線化的影像處理方法，這套方法可獲得一個畫素寬度的 四分之奇數條紋序號等色線條紋圖，而這些條紋比一般的 暗場或亮場的條紋數多一倍且能正確的顯示光彈實驗的結 果，本文中亦應用一套以氦氖雷射光為光源的緊密式數位 光彈系統擷取圓盤受局部均佈壓力的等色線條紋，並由本 文所提出的細線化方法對此圓盤試片之等色線條紋作處理 後所得的四分之奇數序號條紋與理論計算的結果做全場的 比對有十分一致之結果。 ᜮᗢພȆ 數位光彈、等色線、暗場、亮場、細線化、畫素。
1. ࠇ! َ
光彈實驗法 (Photoelasticity) 是一種發展相當完 整之量測全域性應力場的光學實驗方法。從光彈實驗 中 我 們 可 以 獲 得 兩 種 干 涉 條 紋 ， 即 等 色 線 (Isochromatics) 與等傾線 (Isoclinics)。等色線代表著 最 大 與 最 小 主 應 力 間 差 值 (Difference in Principal Stresses) 的 資 訊 ， 而 等 傾 線 則 是 相 同 主 應 力 方 向 (Orientation) 的連線。值得注意的是，若試件的狀態 可用平面問題來處理而且兩個主應力互為異號，則等 色線又可以視為各點最大剪應力的訊息。近年來數位 光彈 (Digital Photoelasticity) 的研究與發展頗受重 視，在實驗中是直接使用 CCD 攝影機擷取干涉條紋 的數位影像，有別於傳統的底片曝光，使用 CCD 攝 影機取像不但省去暗房冗長的底片處理時間，而且顯 示 在 監 視 器 (Monitor) 中 的 取 像 過 程 幾 乎 是 即 時 (Real Time) 可見。除此之外，光彈影像數位化的處 理方式有助於實驗結果的儲存以及後處理工作的進 行，其主要目的即是將全場的實驗結果以量化的方式 完整表現出來並可和理論計算的結果做全場且直接 的比較。 Ramesh 和 Mangal [1] 在一篇回顧性的論文中詳 細闡述了過去二十年來從數位光彈實驗法發展出的 數位影像處理技巧的研究進展。他們在論文中直接指出在數位光彈實驗過程中，數位影像的後處理工作是 應該加強的，同時也說明數位光彈實驗法的數位影像 處理技巧有雜訊消除 (Reducing Noise)、條紋倍增 (Multiplying Fringe) 、 和 條 紋 細 線 化 (Identifying Skeleton Fringe) 等三個主要方向。而在雜訊消除方面 的文獻有 Chen 和 Taylor [2] 提出 3 × 3 中值濾波 (Median Filter) 法，可以有效消除影像中離散點狀雜 訊 (Discrete Impulse Noise)， 而 5 × 5 鄰域平均 (Neighborhood Averaging) 法可以有效消除平滑化過 程 所 產 生 的 雜 訊 。 條 紋 倍 增 方 面 的 相 關 文 獻 有 Voloshin 和 Burger [3] 提出可以增加等色線到 512 條 的半條紋光彈法 (Half-Fringe Photoelasticity)。Toh、 Tang 和 Hovanesian [4] 則提出對暗場 (Dark Field) 等色線影像和亮場 (Light Field) 等色線影像做特定 的相減算術可以得到四倍等色線條紋數。Chen [5] 從 餘弦半角公式推演出的算術可以倍增等色線條紋到 2n 或3n 倍。而條紋細線化方面的文獻有Gillies [6] 以 一種複雜的算術尋得條紋邊界，再從條紋邊界決定條 紋 中 心 線 。Ramesh 等 [7,8] 則 對 已 經 臨 界 值 化 (Threshold) 的影像做二值化，接著從二值化的影像描 出條紋的邊界，最後找出條紋邊界之間具有灰度極值 的點連接成為條紋的中心線。 條紋細線化可以說是數位影像處理最後一個也 是最重要的步驟，因為它直接影響了實驗結果的呈 現是否準確。Han [9] 以影疊紋 (Shadow Moiré) 實 驗 為 例 證 首 先 提 出 一 種 可 同 時 倍 增 和 細 線 化 條 紋 的 影 像 處 理 方 法 叫 做 光 學 暨 數 位 條 紋 倍 增 法 (Optical/Digital Fringe Multiplication 簡 稱 為 ODFM)。接著 Han 和 Wang [10] 將 ODFM 其中兩張
相位差π 的影像相減後取絕對值然後再做灰階截值 (Truncation) 的理論使用在數位光彈實驗法上面。之 後，他們也成功地把上述方法應用在破壞力學的研究 議題上 [11]。本文在下面章節中將先說明 ODFM 使 用於數位光彈實驗法時發生的困難與問題，然後再提 出不同方式的細線化處理方式，最後，本文以圓盤的 邊界上受局部均佈壓力問題的解析解和本文所提出 光彈影像細線化的結果做直接的比對，而誤差也將被 討論。
2. ༩ዸࣦݺޠ৵Нӧڥഉ֭յ
ᔄΦޝ౧፡၊ݗ
圓盤沿直徑方向承受大小相同方向相反的兩集 中力的問題是一個經典的力學問題且已有理論函數 式的解析解，而這個問題也常被用來當作實驗量測的 標準試片來驗證實驗方法的可行及正確性，然而集中 力的施力方式僅存在於理論的分析，在一般實驗中僅 能進行小範圍的分布壓力來模擬集中負荷。圓盤沿直 徑方向受局部均佈壓力的問題如圖 1 所示，Hondros [12] 針對此一問題提出極座標全場應力級數解如下， θ α ρ ρ − − + α π − = σ =∞ − = θ∑
n n n p n n n 2 cos 2 sin 1 1 1 2 2 2 1 2 (1) θ α ρ ρ + − − α π − = σ =∞ − = θ∑
n n n p n n n 2 cos 2 sin 1 1 1 2 2 2 1 2 (2) θ α ρ ρ − π = τ =∞ − = θ p∑
n n n n n r [1 ] sin2 sin2 2 2 2 1 2 (3) 其中p 是徑向壓力，2α是徑向壓力範圍的夾角，R 是 圓盤半徑，ρ是r/R。Hung 和 Ma [13] 則進一步獲得 此問題的函數解析解如下，(
)
(
)
(
)
(
)
Φ + θ − α ρ − ρ + + θ + α ρ − ρ + + θ − α ρ − + ρ θ − α + θ + α ρ − + ρ θ + α ρ − π − = θ σ − − tan 1 1 tan tan 1 1 tan 2 cos 2 1 ) ( 2 sin 2 cos 2 1 ) ( 2 sin ) 1 ( ) , ( 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 2 p r r (4) Φ + θ − α ρ − ρ + + θ + α ρ − ρ + + θ − α ρ − + ρ θ − α + θ + α ρ − + ρ θ + α ρ − − π − = θ σ − − θ ) tan( 1 1 tan ) tan( 1 1 tan ) ( 2 cos 2 1 ) ( 2 sin ) ( 2 cos 2 1 ) ( 2 sin ) 1 ( ) , ( 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 2 p r (5) θ + α ρ − + ρ θ + α + ρ − − θ − α ρ − + ρ θ − α + ρ − ρ − π = τθ ) ( 2 cos 2 1 ) ( 2 cos ) ( 2 cos 2 1 ) ( 2 cos ) 1 ( 4 2 2 2 4 2 2 p r (6)其中 π ≤ θ ≤ α − π π α − π ≤ θ ≤ = Φ 2 2 2 0 0 而此問題的兩個主應力σ1及σ2亦可表示為函數形式的全場分佈如下， Φ + θ − α ρ − ρ + + θ + α ρ − ρ + π − = σ σ − − tan( ) 1 1 tan ) tan( 1 1 tan , 2 1 22 1 22 1 p 1 ) ( 2 cos 2 1 ) ( 2 cos 2 1 2 sin ) 1 ( 2 2 4 2 4 2 + θ − α ρ − ρ + θ + α ρ − ρ α ρ − π ± p (7) 此兩主應力之差的一半為， 1 ) ( 2 cos 2 1 ) ( 2 cos 2 1 2 sin ) 1 ( 2 2 4 2 4 2 2 2 1 + θ − α ρ − ρ + θ + α ρ − ρ α ρ − π = σ − σ p (8) 式(8)式亦可視為此模型光彈實驗的等色線函數。 ქ1 ༩ዸݺޠ৵ڥഉ֭յᔄΦ
Fig. 1 A circular disk subjected to diametral distributed compression
3. ኳ՛ӌኄᄀᡙᇂదલಞጡϻ
3.1 ᆥࠬኳ՛ӌኄቆ
一般實驗用光彈系統大都相當佔空間，本文應用 光學鏡片自組光彈系統，其特點為所佔空間不大，在 一般小型光學桌上即可完成架設，且所使用的光源 為雷射光源。圖 2 是本文所提出緊密型數位光彈儀 的系統架設示意圖，氦氖雷射光源穿過起偏振光片(Polarizer)、四分之一波片 (1/4 Wave Plate) 後經過空 間濾波器 (Spatial Filter) 成擴散光。接著，拋物面鏡 (Parabolic Mirror) 把擴散光反射成的平面光通過試 片後把影像投射在毛玻璃螢幕上。螢幕上的影像經過 四分之一波片、檢偏振光片 (Analyzer) 後由 CCD 攝 影機擷取，再經影像卡 (Frame Grabber) 最後由電腦 螢幕顯示光場條紋。CCD 攝影機解析度為 752 × 582
畫 素 (Pixel)， 型 號 品 牌 是 XC-75CE， SONY CO. JAPAN。影像卡型號品牌是 OCULUS F/64-DSP， CORECO CO. CANADA。得到的影像是 0 ~ 255 的灰 階值 (Gray Levels) 影像。上述的自組數位光彈儀將 用來觀察圓盤受局部均佈壓力的實驗結果，圓盤試片 的材料是直徑76mm，厚度 8mm，受壓的應力冷凍光 彈片，α約為4.5°。
3.2 ODFM ᔔҠӳኳ՛ӌኄݰϜ๔
依據ODFM 的理論，首先擷取兩張相位差π 的數 位影像，做相減後取絕對值。在光彈實驗法中，暗場 等色線和亮場等色線相位差恰為π。如圖 3(a) 所示是 圓盤受局部均佈壓力的暗場等色線數位影像，圖3(b) 是亮場等色線數位影像，而圖 3(c) 是暗場等色線減 亮場等色線取絕對值後的數位影像。若編列等色線暗 紋為條紋序號 (Fringe Order) 時，在暗場圖中序號是 0、1、2、…，在亮場圖中則為 0.5、1.5、2.5、…， 暗場等色線減亮場等色線取絕對值的條紋序號 (四分 之奇數條紋序號) 則是 0.25、0.75、1.25、…。暗場等 色線減亮場等色線取絕對值的條紋數是暗場或亮場 的兩倍，但是三者的條紋序號並不一樣。ქ2 ՊಠԐᆥࠬኳ՛ӌኄؿಙ Fig. 2 A compact collimated-light digital
photoelastic system ODFM 接著提出對暗場等色線減亮場等色線取 絕對值的數位影像做接近 0 的灰階截值然後二值化 (Binarlize) 可以得到四分之奇數序號條紋細線化的效 果。圖 3(d) 為圖 3(c) 作 40 灰階截值後二值化的影 像，此時條紋已經離散化為一群斑點而不是連續式的 細線，灰階門檻值愈小於40 時斷線的情形愈加嚴重， 也就是說我們無法得到如 ODFM 所說的趨向 0 灰階 截值後的高品質細線化影像。本文則提出下列的光彈 條紋細線化方法並做實際的應用與實例分析，所有的 影像處理算術都以商業軟體Matlab 的*.m 程式完成。 ქ3(a) ི൝็Ցጡኳ՛ኅ ქ3(b) ߩ൝็Ցጡኳ՛ኅ
Fig. 3(a) Digital image of dark field isochromatic Fig. 3(b) Digital image of light field isochromatic
fringe patterns fringe patterns
ქ3(c) ི൝็Ցጡෳߩ൝็Ցጡڣ๖ᄅং ქ3(d) ᔔҠ ODFM ౧፡ᄅქ 3(c)Զ
ࡡޝኳ՛ኅ 40 ᄞংࡡӒΞংϻޝኳ՛ኅ
Fig. 3(c) Digital image of absolute of dark field Fig. 3(d) Binarilized digital image of applying
isochromatic subtracts to light field ODFM theory by 40 gray-levels
3.3 దલಞጡϻޝদ౧ᇂНݰ
令暗場等色線影像灰階強度是ID，亮場等色線影 像灰階強度是IL，則 )] , ( [ sin ) , ( 2 max N x y I y x I ID = a + π )] y , ( 2 cos 1 [ 2 ) , (x y Imax N x Ia + − π = 2 (9) )] , ( [ cos ) , (x y Imax N x y I IL = a + π )] y , ( 2 cos 1 [ 2 ) , (x y Imax N x Ia + + π = (10) 其中Imax > 0，Ia(x, y) 是背景雜訊。因 CCD 攝影機的 取像能力關係，所以0 ≤ ID ≤ 255、0 ≤ IL ≤ 255。 首先為了消除背景雜訊我們實施ID減IL得IS， (11) ) , ( 2 cos max N x y I I I IS= D − L=− π此時−Imax ≤ IS ≤ Imax。接著我們把IS加Imax得IR，
(12) )] , ( 2 cos 1 [ ) , (x y Imax N x y IR = − π 此時0 ≤ IR ≤ 2Imax。為了使IR介於0 ~ 255 之間，我們 調整Imax值成為255/2，即 )] , ( 2 cos 1 [ 2 255 ) , (x y N x y IR = − π (13) 式(13)告訴我們條紋序號 N = 0、1、2、…所對應的灰 階值是0，條紋序號 N = 0.5、1.5、2.5、…所對應的 灰階值是255，四分之奇數條紋序號 N = 0.25、0.75、 1.25、…所對應的灰階值是 127。 接下來我們以m = 127 為基準，對 IR做二階化。 算術如下 (14) > ≤ = m I m I I R R B 255 0 IB影像的條紋並不具特殊意義，但是其暗紋和亮紋的 交界卻是相當於四分之奇數條紋序號曲線。 繼續我們對IB實施3 × 3 的中值濾波運算來消除 離散斑點雜訊而得到IM。3 × 3 中值濾波並不會對條 紋邊界造成很大的侵蝕 (Erode)，當認定 IM暗紋和亮 紋的交界是四分之奇數條紋序號曲線時，在位置上僅 有一到兩個畫素寬度上的誤差。 最後我們撰寫描邊 (Edge Detection) 程式直接對 IM描邊，這個邊界是一個畫素寬度的四分之奇數序號 條紋，相當於把四分之奇數序號條紋細線化。
4. ๔ᇂ፡
4.1 ᇂদ۔ᄀᡙ๔Цᄅ
圖 4(a) 是圓盤受局部均佈壓力模型的暗場減亮 場IR影像，而圖4(b) 是圖 4(a) 的 IB影像。我們可以 觀察出圖4(b) IB影像中暗紋和亮紋的交界仍有相當多 的離散斑點雜訊，所以圖4(c) 是對圖 4(b) 實施 3 × 3 中值濾波後的的IM影像，幾乎沒有斑點雜訊。圖4(d) 是對圖 4(c) 描邊所得到的一個畫素寬度的四分之奇 數序號條紋圖，相當於把圖 3(c) 細線化，其品質相 當優異。 ქ4(a) ི൝็Ցጡෳߩ൝็ՑጡࡡԶ॥ཱ፟ ქ4(b) мᐊ IRޝԶѿ֭ং࣍ྣȀᄅIR ᐊޝኳ՛ኅIR ΞϻிIBFig. 4(a) Digital image IR of gray-levels Fig. 4(b) Binarlizing IR into IB from the mean
rearrangement of dark field value of IR’s gray-levels
ქ4(c) ᄅ IB3 × 3 ϙংᘬݮࡡޝኳ՛ኅ ქ4(d) චிΗษቴࡗޝѰϵϜۇኳדဲ
దલ
Fig. 4(c) The digital image of IB after taking Fig. 4(d) The quarter odd order of isochromatic
3 × 3 median filter fringes with one pixel width
圖 5(a) 是直接把暗場等色線減亮場等色線取絕 對 值 後 所 得 的 四 分 之 奇 數 條 紋 序 號 的 原 始 條 紋 影 像，和本文所提出方法所得到的四分之奇數序號條紋 細線化影像兩者做疊合比對，可清楚看出細線化的結 果與原始條紋幾乎相同。圖5(b) 則是依 ODFM 理論 只到 40 灰階截值再二值化後的四分之奇數序號條紋 影像，和本文方法所得到的四分之奇數序號條紋兩者 做疊合比對。亦可看出本文方法所得到的四分之奇數 序號條紋和 ODFM 方法所得幾乎是一致的，但是顯 然以本文所使用方法所得四分之奇數序號條紋的細 線化影像品質最佳且可做為實驗結果數據的取樣。 圖 5(c) 的左半部是從式(8)所模擬理論的四分之 奇數序號條紋影像，右半部是本文細線化方法所得到 的一個畫素寬度四分之奇數序號條紋影像。觀察兩者 之間條紋連接的吻合度和左右的對稱性，可以看出由 實驗所得的等色線條紋經細線化方法所得影像和理 論幾乎是一致的，所以本文所提出細線化的方法其結 果是可和理論結果作全場的直接比較。 如圖5(d) 所示，方塊符號是條紋序號的取樣點， 共三條水平線，由下而上每條水平線分別有19、19、 23 個取樣點。我們把取樣點的座標代入式(8)則可得 到取樣點的條紋序號理論值。圖 5(e) 是對通過圓心 水平線上所有取樣點的實驗值和理論值的比對。圖5(f) 是對通過距離圓心1/4 半徑高度水平線上所有取樣點 的實驗值和理論值的比對。圖 5(g) 是對通過距離圓 心1/2 半徑高度水平線上所有取樣點的實驗值和理論 值的比對。可以觀察出實驗值和理論值幾乎是一致 的。 ქ5(a) ქ 3(c) ڵქ 4(d) ޝ᠐ө ქ5(b) ქ 3(d) ڵქ 4(d) ޝ᠐ө
Fig. 5(a) The superposition of Fig. 3(c) and Fig. 5(b) The superposition of Fig. 3(d) and
ქ5(c) ౧፡ᔡኅ (Ѽ) ڵᄀᡙಞጡϻኅ (џ) ქ5(d) దલדဲڣኸᘆ
Fig 5(c) Simulation image (left side) and Fig. 5(d) Sampling points of fringe order
experiment image (right side)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Sampling Point 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 F ri nge O rde r Experiment Theory 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Sampling Point 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 F ri nge O rde r Experiment Theory ქ5(e) ႄ༩ДЩѿጡήܘԢڣኸᘆޝదલדဲ ქ5(f) ႄົᚒ༩Д 1/4 і৵ЩѿጡήܘԢڣኸ ᄀᡙংڵ౧፡ং ᘆޝదલדဲᄀᡙংڵ౧፡ং
Fig. 5(e) Two kinds of the experiment and theory Fig. 5(f) Two kinds of the experiment and theory
fringe orders of sampling points along the fringe orders of sampling points along
horizontal line, which is passing, centered the horizontal line, which is away from
centered 1/4 radius
4.2 ᔡЦᄅ
我們接著以模擬方式討論若等色線條紋粗細相 差很大時，本文提出的新方法是否仍然可靠。如圖6 所示，一個局部橢圓垂直分布力實施在半無窮平面 上。局部橢圓垂直分布力的最大值 p0位於座標原點 上，Smith、Liu [14] 提出應力場的分布解析為 ψ − π − Ψ + + π − = σ x a a z x a z p xn 3 2 2 2 2 2 2 0 π− ψ − Ψ π − = σ x a a z p zn 2 0 ψ π − = τ p0 z2 xzn (15) 其中 + − + − π = ψ 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4 2 1 K a K K K K K K K K K + − + + π = Ψ 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 4 2 1 K a K K K K K K K K K 2 2 1 (a x) z K = + + 2 2 1 (a x) z K = − +0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Sampling Point 0 1 2 3 4 F ri nge O rde r Experiment Theory ქ5(g) ႄົᚒ༩Д 1/2 і৵ЩѿጡήܘԢڣኸ ᘆޝదલדဲᄀᡙংڵ౧፡ং
Fig. 5(g) Two kinds of the experiment and
theory fringe orders of sampling points along the horizontal line, which is away from centered 1/2 radius
x
z
a -a p p0 ქ6 іฐግѿ५ޝࣦήڥഉᐙ༩ࠫޠϵѾΦFig. 6 Partial elliptic distributed loading subject to the boundary of a half plane vertically
圖 7(a) 是模擬上述應力場下所得光彈實驗的暗 場等色線影像，暗紋條紋級數屬於 0、1、2、3…， 為了更趨近於實驗情況我們以亂數方式模擬斑點的 產生。圖 7(b) 是模擬亮場等色線的影像，暗紋條紋 級數屬於0.5、1.5、2.5、3.5…。圖7(c) 是模擬暗場 減亮場取絕對值後的等色線影像，暗紋條紋級數屬於 0.25、0.75、1.25…。圖 7(d) 是使用 ODFM 理論對 圖 7(c) 作到 8 的灰階截值所得的條紋影像，我們可 以觀察出當細條紋已經離散化時，粗條紋還有相當的 寬度。圖7(e) 是對圖 7(c) 使用本文新方法所得一畫 數寬度的條紋影像，我們也可以觀察出粗條紋所得的 一畫數寬度條紋有較大和較多的擾動。圖 7(f) 是圖 7(c) 和圖 7(d) 的疊合，圖 7(g) 是圖 7(c) 和圖 7(e) 的 疊合，圖7(h) 是用三種方法得到條紋級數屬於 0.25、 0.75、1.25…的疊合，我們可以觀察出本文新方法和 ODFM 理論在細條紋方面有很好的一致性，但是在粗 條紋方面則有出入，但是兩者還是位於絕對值影像的 範圍內。 我們繼續模擬不對稱影像的情況。如圖8 所示， 一個局部橢圓水平分布力實施在半無窮平面上。局部 橢 圓 水 平 分 布 力 的 最 大 值 q0 位 於 座 標 原 點 上 ， Smith、Liu [14] 提出應力場的分布解析為 = σxt Ψ − − + π + ψ − − a x z x a a x z a x 2 3 ) 2 2( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 π −q0 ψ π − = σ q0 z2 zt + + Ψ− π − ψ π − = σ xz a z a z z a x q xt 0 (2 2 2 2 2) 2 3 (16) ქ7(a) ི൝็Ցጡᔡኅ ქ7(b) ߩ൝็Ցጡᔡኅ
Fig. 7(a) The simulated isochromatic image of Fig. 7(b) The simulated isochromatic image of
ქ7(c) ི൝ෳߩ൝ڣ๖ᄅংࡡޝ็Ցጡᔡ ქ7(d) ٸҠ ODFM ᄞংڕ 8 Զޝ็Ցጡᔡ
ኅ ኅ
Fig. 7(c) The simulated isochromatic image of dark Fig. 7(d) The ODFM simulated isochromatic
field subtracts light field image after truncation by 8 gray-levels
ქ7(e) ٸҠҍКཱНݰޝ็Ցጡᔡኅ ქ7(f) ქ 7(c) ڵქ 7(d) ޝ᠐өЦᄅ
Fig. 7(e) Simulated isochromatic image from new Fig. 7(f) The superposition image of Fig. 7(c)
method of this paper and 7(d)
ქ7(g) ქ 7(c) ڵქ 7(e) ޝ᠐өЦᄅ ქ7(h) ΫᆋНݰޝ᠐өЦᄅ
Fig. 7(g) The superposition image of Fig. 7(c) Fig. 7(h) The superposition image of three image
x
z
a
-a
q
q
0 ქ8 іฐግѿ५ޝࣦήڥഉᐙ༩ЩѿϵѾΦFig. 8 Partial elliptic distributed loading subject to the boundary of a half plane
horizontally 我們將觀察一個局部橢圓垂直分布力和一個局 部 橢 圓 水 平 分 布 力 同 時 實 施 在 半 無 窮 平 面 上 的 情 況。圖 9(a) 是模擬上述應力場下所得光彈實驗的暗 場等色線影像，圖 9(b) 是模擬亮場等色線的影像， 圖 9(c) 是模擬暗場減亮場取絕對值後的等色線影 像。圖9(d) 是使用 ODFM 理論對圖 9(c) 作到 8 的灰 階截值所得的條紋影像，圖9(e) 是對圖 9(c) 使用本 文新方法所得一畫數寬度的條紋影像，圖 9(f) 是圖 9(c) 和圖 9(d) 的疊合，圖 9(g) 是圖 9(c) 和圖 9(e) 的 疊合，圖9(h) 是用三種方法得到條紋級數屬於 0.25、 0.75、1.25…的疊合。我們觀察出對稱或不對稱的影 像情況是相近的，本文方法和 ODFM 理論在細條紋 方面同樣有很好的一致性，在粗條紋方面兩者都有出 入，但是仍然位於絕對值影像的範圍內，不過這時候 資料取樣的誤差值得關切。 ქ9(a) ི൝็Ցጡᔡኅ ქ9(b) ߩ൝็Ցጡᔡኅ
Fig. 9(a) The simulated isochromatic image Fig. 9(b) The simulated isochromatic image
of dark field of light field
ქ9(c) ི൝ෳߩ൝ڣ๖ᄅংࡡޝ็Ցጡᔡኅ ქ9(d) ٸҠ ODFM ᄞংڕ 8 Զޝ็Ցጡᔡኅ
Fig. 9(c) The simulated isochromatic image of Fig. 9(d) The ODFM simulated isochromatic
ქ9(e) ٸҠҍКཱНݰޝ็Ցጡᔡኅ ქ9(f) ქ 9(c) ڵქ 9(d) ޝ᠐өЦᄅ
Fig. 9(e) Simulated isochromatic image from Fig. 9(f) The superposition image of Fig. 9(c)
new method of this paper and 9(d)
ქ9(g) ქ 9(c) ڵქ 9(e) ޝ᠐өЦᄅ ქ9(h) ΫᆋНݰޝ᠐өЦᄅ
Fig. 9(g) The superposition image of Fig. 9(c) Fig. 9(h) The superposition image of three
and 9(e) image processing methods
4.3 ᇰ৭፡
一般而言，1/4 波片可能是誤差的來源之一，問 題包括光源波長夠準但是波片有瑕疵沒有真正對該 波長延遲π/4 的相位，或者波片品質夠純但是光源波 長沒有真正配合波片。假設上述問題產生的相位誤差 是πε/2，則光彈系統中正 1/4 波片的高斯矩陣將表示 成 + − − + = ′ ε ε ε ε + 2 1 2 1 2 1 2 1 45 i i i i ie ie ie ie Q (17) 負1/4 波片的高斯矩陣將表示成 + + − + − + = ′ ε ε ε ε − 2 1 2 1 2 1 2 1 45 i i i i ie ie ie ie Q (18) 此時具1/4 波片暗場佈局的光強將從式(9)變為 ) sin 2 cos 1 ( )] , ( [ sin ) , ( 2 2 2 max π − β ε + =I x y I N x y ID a (19) 具1/4 波片亮場佈局的光強將從式(10)變為 )] , ( [ cos ) , ( 2 max N x y I y x I IL = a + π sin 2 cos )] , ( [ tan 1 ( + 2 πN x y 2 β 2ε) (20)其中 cos2 2β是等傾線的資料。式(19)、(20)兩者顯示 當誤差ε 大到不可忽略時，等傾線資料將不可忽略而 和等色線有偶合現象。由於tan2[πN(x, y)] 有可能大於 1，所以，亮場影像失真程度又比暗場嚴重，我們於 是也可推論一般的暗場影像比亮場可靠。本文的理論 推導假設ε → 0。 干涉條紋的數位影像實際上是一個元素值介於 0 ~ 255 的矩陣。這個矩陣是從 CCD 攝影機的光細胞 (Photo Cell) 陣列感光後離散取樣轉成電子信號再傳 給影像卡做後處理產生的。假設取像是完美的時候， 干涉條紋中最暗位置的灰階會被定為0，最亮位置的 灰階會被定為255。以暗場等色線為例，若把干涉條 紋影像中灰階為0 的位置點連線會得到序號 0、1、2、 3、…的一個畫素寬度條紋，灰階為 255 的位置點連 線會得到序號是0.5、1.5、2.5、…的一個畫素寬度條 紋，灰階為127 的位置點連線會得到序號四分之奇數 的一個畫素寬度條紋。因為光細胞的敏感度有限，所 以光彈干涉條紋影像經常是一群從灰階0 到 255 都有 寬度的條紋，再加上電子雜訊和外界環境所產生的離 散斑點都會影響實驗的結果。要克服離散斑點，使用 3 × 3 中值濾波就可以有效消除，但對這些具有寬度的 條紋作細線化則是不容易，所以有相當多的文獻都在 這方面作探討以期解決上述之困難。 Han [9] 提出了一個比較及討論，在尋找序號四 分之奇數條紋中心線時，誤差僅有一個灰階值所產生 的相位誤差 (相位誤差相當於條紋序號誤差) 是尋找 序號是0、1、2、3、…條紋中心線或者序號是 0.5、 1.5、2.5、…條紋中心線的 1/32。若是光細胞處於不 正常的曝光而產生溢流 (Overflow) 時，則誤差倍數 將會更低。從降低誤差的觀點來看，尋找序號四分之 奇數條紋反而比尋找其他兩者更為有利。 再者，本方法因為需要有完整條紋數的暗場與亮 場影像，所以理論上本方法只能實施在至少能產生一 條完整條紋的暗場與亮場影像上。
5. ๔ ፡
本文從使用 ODFM 尋找四分之奇數序號的細線 化條紋時所發生的困難中引發出一種新的影像處理 方法，這種新的影像處理方法可以得到一個畫素寬度 的四分之奇數序號等色線。本文以圓盤受局部均佈壓 力問題為光彈實驗對象，實驗的等色線影像經由新的 影像處理方法細線化後作條紋序號的取樣。取樣和理 論兩者經過比對後證實本文提出的方法用來尋找一 個畫素寬度的等色線是可靠的。ୢՁКᝤ
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