國立台灣師範大學附屬高級中學九十八學年度科學能力競賽第一階段數學試題 1. 將1 到 2009 的正奇數乘積除以 1000 所得的餘數為 。 2. 將1 到 n 共 n 個數寫在第一列； 把 第一列中的相鄰兩數相加所得到 的n1 個數寫在第二列；再把第 二列中的相鄰兩數相加所得到的 n2 個數寫在第三列；如此繼續 進 行下去(如右圖)，令最後所得到 的 1 2 3 4 2 1 3 5 7 2 3 2 1 8 12 4 4 ( ) n n n n n n f n 那個數為f(n)。則 f(98) = 。 3. 方程式(y1)2 x420x396x240x2009的所有整數解為 。 4. 有一個形狀為圓錐台的山，這個 錐台的上底與下底分別是半徑為 5 公里與 10 公里的圓，而它的每 條母線均長20 公里。A 為山腳下 有一村莊，在過A 的母線 AC 中 點上有另一村莊B。已知由 A 到 B 有條路，這條路穿過這個錐台 的所有母線，且由A 到 B 的路徑 最短。今有登山客欲自A 出發， 沿著由A 到 B 的路走，並在路上 找到一點直接攻頂(整個上底均 可視為山頂)，則此登山客規劃的路線至少為 公里。 5. 方程組 1 (1 ) (1 ) 2 3 (1 )(1 ) 2 x y y x xy x y 有 組實數解。 6. 已知x, y, z 0，x + y + z =1。則 xy + yz + zx 3xyz 的最大值為 。 7. 方程式3x + 4x = 5xlog x 的實根有 個。
8. 已知△ABC 滿足sin sin sin cos cos A B C A B 。若△ABC 的三邊長成等差數列且其面 積為54，則△ABC 的周長為 。
9. 使得 2 100! ( !)n 不為整數之最小質數n 為 。 10. 已知正△ABC 所在平面上有一點到 A、B、C 三點的距離分別為 3、5、7，則正 △ABC 之面積為 。 11. 設 α,β,γ 為 x3 + 2x2 3x 1 = 0 之三根，若 g(x) = x4 + 3x3 x2 5x + 2，則 1 1 1 ( ) ( ) ( ) g g g 。 12. 謬式約分法是在分子與分母均為二位數時，若分子的個位數字與分母的十 位數字相同時，則將此相同數字擦掉，留下的分數即為約分的結果；比如 19 95在謬式約分法的操作下，將9 擦掉，留下的分數 1 5即為約分的結果。則 由謬式約分法可得出正確結果的真分數為 。(請寫出約分前的分數) 13. 函數 2 4 5 y x x 之最大值為M，最小值為 m，則數對(M, m) = 。 14. 若 2 1 1 1 , , 5 k k k a a a a k N ，則不大於 1 2 2009 1 1 1 1 1 1 a a a 的最大整 數為 。 15. 設某直角三角形的一股長與斜邊長之和為 6，則當此直角三角形面積最大 時，另一股長為 。 1 625 2 99296 3 (20,202),(-10,202), (-10,-204),(20,-204) 4 36 5 4 6 1 4 7 1 8 36 9 53 10 19 3 4 16 3或 (第 1 個答案刪除) 11 36 35 12 16 26 19 49 , , , 64 65 95 98 13 (4 10, 4 5) 14 4 15 2 3
班級 座號 姓名 國立台灣師範大學附屬高級中學九十八學年度科學能力競賽第一階段數學試題 1. 625 2. 99296 3. (20,202),(-10,202),(-10,-204),(20,-204) 4. 36 5. 4 6. 1 4 7. 1 8. 36 9. 53 10. 19 3 4 16 3或 11. 36 35 12. 16 26 19 49 , , , 64 65 95 98 13. (4 10, 4 5) 14. 4 15. 2 3
