McKibben 人工肌肉上肢外骨架機器人之設計
92
0
0
全文
(2) 摘要 傳統上，中風病患或因意外受傷而導致肢體受創無法行動自理者， 須經由物理復健師予以一對一治療，就人力資源分配來說，實乃供不及 求。有鑑於此，本論文開發一種針對手臂復健的外骨架機器人以取代人 力之不足。所開發的外骨架機器人具有 4 個自由度，包含肩膀處 3 個自 由度以及手肘處的 1 個自由度。本文說明建構外骨架機器人的零組件、 機械結構的設計和外骨架機器人的操作流程，並建立各零組件的數學模 型以及為了能規劃、控制外骨架機器人的運動，根據機器人學推導順向 運動學、反向運動學以及反向動力學。而為了簡化反向動力學運算的複 雜度，本論文是以準座標建立的 Lagrangian 方程式來作推導，並使用 Robotics Toolbox 分析外骨架機器人的順向運動學、反向運動學，以及 撰寫 Matlab 程式模擬外骨架機器人的反向動力學。. 關鍵字: 外骨架機器人、反向運動學、反向動力學、人工肌肉氣壓缸. i.
(3) Abstract Generally, people who can not perform activities due to the stroke or accidents must be cured by a physical therapist, and it should be operated one by one. However, the manpower sources do not meet so many requests. Therefore, this paper presents an exoskeleton robot for arm rehabilitation to solve for this situation. There are total 4 DOFs on our exoskeleton robot. It is 3 DOFs and 1 DOF on shoulder and elbow, respectively.. In this thesis, building components,. design and operation of the exoskeleton robot structure are presented. Moreover, mathematical models of devices, forward kinematics, inverse kinematics and inverse dynamics are developed to control the exoskeleton robot. Also, due to a large amount of symbolic computation, the Lagrangian formulation based on the quasi-coordinates is used to derive the inverse dynamics. Simulation of the forward kinematics and inverse kinematics are conducted by the Robotics Toolbox, and the Matlab program is developed for the inverse dynamics.. Key words: exoskeleton robot, inverse kinematics, inverse dynamics, McKibben pneumatic artificial muscle. ii.
(4) 致謝 承蒙恩師陳俊達博士在求學期間給予我的教導，不管是在課業學習的授 與，解決諸多課業上的疑難雜題。還是在研究方法的建議，建立我在研究的 過程所需具備的步驟、問題的假設、解決的方式等。亦或是生活上的點點滴 滴，無不關心備至。在此衷心地感謝恩師陳俊達博士辛苦的付出，讓我可以 順利取得學位，以及廖德潭教授與鄭江河教授兩位口試委員百忙之中撥冗審 閱，並給予詳實的建議及指正。另外，感謝智慧型自動化實驗室的曾世昌同 學以及金冠霖同學，這段期間有你們互相扶持、彼此討論課業、談天說笑， 著實讓學習的過程增添不少美麗的回憶。最後，感謝我的家人，謝謝你們支 持我完成研究所的目標。我相信，這對往後無論在職場上、思考上、人生學 習上，一定有相當大的助益。僅此，以此著作獻予所有相關的人、事、物， 沒有你們，我將無法順利完成，感謝你們。. iii.
(5) 目 錄 中文摘要........................................................i Abstract.......................................................ii 致謝 .........................................................iii 目錄 ..........................................................iv 圖目錄 ........................................................vi 表目錄 ........................................................ix 符號說明目錄....................................................x 第一章 緒論...................................................1 研究動機................................................1 1.1 機器人簡介..........................................1 1.1.1 義肢型機械手臂................................2 1.1.2 外骨架機器人..................................2 1.2 外骨架機械手臂式機器人分類整理......................4 1.3 應用及發展概況......................................5 1.4 研究目的與章節架構.................................12 1.4.1 研究目的.....................................12 1.4.2 章節架構.....................................12 第二章 外骨架機器人設計......................................14 2.1 人體骨骼運動學及復健運動...........................14 2.2 外骨架機器手臂設計.................................18 2.3 外骨架機器手臂之驅動硬體...........................21 2.3.1 三點組合.....................................22 2.3.2 比例調壓閥...................................23 2.3.3 PSoC 嵌入式晶片系統..........................25 第三章 人工肌肉氣壓缸之動態建模..............................29 3.1 人工肌肉氣壓缸系統基本架構.........................29 iv.
(6) 3.2 人工肌肉氣壓缸輸出力靜態數學模型...................29 3.3 比例調壓閥質量流率數學模型.........................30 3.4 人工肌肉氣壓缸壓力動態數學模型.....................31 3.5 人工肌肉氣壓缸負載動態數學模型.....................32 第四章 外骨架機器人之運動學與動態方程式......................33 4.1 準座標系統與 Lagrange 方程式........................34 4.2 運動學與動力學分析.................................35 4.2.1 機械手臂機器人位置與速度分析.................35 4.2.2 順向運動學...................................37 4.2.3 反向運動學...................................40 4.3 外骨架機器人之動態方程式...........................44 4.3.1 機械手臂機器人動能...........................44 4.3.2 機械手臂機器人位能...........................47 4.3.3 虛功與反向動力學.............................47 第五章 復健姿勢模擬結果與討論................................57 5.1 人工肌肉氣壓缸之動態模擬...........................57 5.2 復健姿勢模擬.......................................59 5.2.1 MATLAB - Robotics Toolbox....................59 5.2.2 順向運動學模擬結果...........................62 5.2.3 反向運動學模擬結果...........................63 5.2.4 反向動力學模擬結果...........................66 第六章 結論與未來發展方向....................................70 參考文獻.....................................................71. v.
(7) 圖目錄 圖 1-1. J-HT-SJS22 電子手臂.....................................2. 圖 1-2. 基座固定式..............................................3. 圖 1-3. 可移動式................................................3. 圖 1-4. 輪椅式外骨架型機械手臂機器人............................5. 圖 1-5. 以鋼索拉動的外骨架型機械手臂機器人......................6. 圖 1-6. PUMA-560 提供了多功能運動模式...........................7. 圖 1-7. ARMin 外骨架型機械手臂機器人............................7. 圖 1-8. BONES 使用氣壓缸作為致動器..............................8. 圖 1-9. 以液壓制動器驅動........................................9. 圖 1-10. 人工肌肉氣壓缸.........................................10. 圖 1-11. 背包式的套裝...........................................10. 圖 1-12. 維修員可輕易舉起重物...................................11. 圖 1-13. 直接附著於手臂上驅動...................................11. 圖 2-1. 上肢骨骼關節組合示意圖.................................14. 圖 2-2. 上臂的外展及內收.......................................15. 圖 2-3. 上臂的屈曲及伸展.......................................15. 圖 2-4. 上臂的內轉及外轉.......................................16. 圖 2-5. 前臂的屈曲及伸展.......................................16. 圖 2-6. 前臂的旋前及旋後.......................................17. 圖 2-7. 基本復健運動...........................................18. 圖 2-8. 外骨架機械手臂整體構造圖...............................19. 圖 2-9. 外骨架機械手臂組合圖...................................19. 圖 2-10. 外骨架機器人的實體圖...................................20. 圖 2-11. 實際穿戴外骨架機器人...................................20 vi.
(8) 圖 2-12. 肩膀處軸承結合鋼索.....................................21. 圖 2-13. 手肘處軸承結合鋼索.....................................21. 圖 2-14. Festo D. LFR-1/8-D-MINI Filter regulator................23. 圖 2-15. 快速模式...............................................24. 圖 2-16. 通用模式...............................................24. 圖 2-17. 精確模式...............................................24. 圖 2-18. 外觀及操作介面.........................................25. 圖 2-19. CY8C29466-PXI 晶片示意圖...............................27. 圖 2-20. 晶片內部元件模組.......................................27. 圖 2-21. CY8C29466-PXI 內部組態.................................28. 圖 2-22. 數位系統模塊...........................................28. 圖 2-23. 類比系統模塊...........................................28. 圖 3-1. 人工肌肉氣壓缸系統基本架構..............................29. 圖 3-2. (a) 人工肌肉氣壓缸未充氣前之負載系統模型(左圖)..........32 (b) 人工肌肉氣壓缸充氣後之負載系統模型(右圖). 圖 4-1. 機械手臂機器人座標位置..................................35. 圖 4-2. 連桿 D-H 標記方式........................................37. 圖 4-3. 機器手臂機器人的關節座標系..............................38. 圖 4-4 𝜃4 一般狀況位置幾何關係..................................41 圖 4-5. 手臂角度的定義..........................................42. 圖 5-1. 人工肌肉氣壓缸充氣時之輸出力響應圖......................57. 圖 5-2. 人工肌肉氣壓缸充氣時之位移響應圖........................57. 圖 5-3. 人工肌肉氣壓缸排氣時之輸出力響應圖......................58. 圖 5-4. 人工肌肉氣壓缸排氣時之位移響應圖........................58. 圖 5-5. 機器手臂模型............................................60 vii.
(9) 圖 5-6. 機械手臂的控制介面.....................................60. 圖 5-7. 上臂的外展及內收軌跡...................................62. 圖 5-8. 上臂的屈曲及伸展軌跡...................................62. 圖 5-9. 前臂的屈曲及伸展軌跡...................................62. 圖 5-10 上臂的外展角度θ1、θ̇1、θ̈1的變化.........................63 圖 5-11 上臂的內收角度θ1、θ̇1、θ̈1的變化.........................63 圖 5-12 上臂的屈曲角度θ2 、θ̇2 、θ̈2 的變化.........................64 圖 5-13 上臂的伸展角度θ2 、θ̇2 、θ̈2 的變化.........................64 圖 5-14 前臂的屈曲角度θ4 、θ̇4 、θ̈4 的變化.........................65 圖 5-15 前臂的伸展角度θ4 、θ̇4 、θ̈4 的變化.........................65 圖 5-26. 反向動力學程式數學運算流程圖...........................66. 圖 5-17. 上臂的外展所需力矩大小的變化...........................67. 圖 5-18. 上臂的內收所需力矩大小的變化...........................67. 圖 5-19. 上臂的屈區所需力矩大小的變化...........................67. 圖 5-20. 上臂的伸展所需力矩大小的變化...........................68. 圖 5-21. 前臂的屈區所需力矩大小的變化...........................68. 圖 5-22. 前臂的伸展所需力矩大小的變化...........................68. viii.
(10) 表目錄 表 1-1. 馬達致動器機械手臂機器人索引表...........................4. 表 1-2. 氣壓缸致動器機械手臂機器人索引表.........................5. 表 1-3. 液壓缸致動器機械手臂機器人索引表.........................5. 表 2-1. 關節活動角度............................................14. 表 2-2. 外骨架機械手臂組件表....................................20. 表 2-3 Festo D. LFR-1/8-D-MINI Filter regulator 一般技術資料....23 表 2-4. 比例調壓閥技術資料......................................25. 表 4-1. D-H 轉換參數表.......................................... 38. ix.
(11) 符號說明 XNYNZN. 慣性座標系 N-frame，固定於肩膀基座上. X1Y1Z1, X2Y2Z2. 連桿-1 與連桿-2 的參考座標系，i-frame，具有互相平行 的兩個軸，Z1 and Z2. ri. 相對於 N-frame，連桿-i 的微小質量 dmi 之位置向量. 𝝆𝒊. 微小質量 dmi 相對於各 i-frame 量測到的位置向量. 𝑳𝒊. 連桿-i 的長度向量. 𝒖𝒊. 沿著連桿-i 的單位向量，並以參考座標系 i-frame 表示. 𝒚 𝒙𝑹. x-frame 相對於 y-frame 的轉換矩陣. 𝑺𝒊. 連桿-i 質量的一次矩(first moment). 𝑚𝑖. 連桿-i 的質量. 𝒅𝒊. 連桿-i 相對於 i-frame 的重心位置向量. 𝐼𝑖. 連桿-i 的慣性矩(moment of inertia). Z2. 沿著 Z2 軸的單位向量. g. 重力向量. 𝝎𝒊. 絕對準速度，相對於 i-frame 連桿-i 的角速度. ̃𝒊 𝝎. 𝝎𝒊 的反對稱矩陣. 𝑸𝒊. 連桿-i 的廣義力. 𝑭𝑪𝒊. 連桿-i 的拘束力. 𝛀𝒊. 相對準速度，相對於 N-frame 連桿-i 的角速度. 𝜸𝟏. 絕對尤拉角. 𝜼𝒊. 相對尤拉角. 𝑪𝒊. 準速度與絕對尤拉角速度之間的速度轉換矩陣. 𝑫𝒊. 相對準速度與相對尤拉角速度之間的速度轉換矩陣. 𝜷𝒊. 相對於 i-frame 的準角位移 x.
(12) 𝜶𝒊. 相對於 N-frame 的準角位移. 𝑾𝒊. 連桿-i 的重量向量. 𝜽𝟒. 連桿-2 的轉動角度. xi.
(13) 緒 論 研究動機 隨著科技的日益演進，向來看似無法著手改變的一些事物，也因為研 究學者專家們的努力，悄然地往前邁進。以往，中風病患或因意外受傷而 導致肢體受創無法行動自理者，須予以物理復健治療，而對其進行治療者 為物理復健師，且僅能以一對一方式治療。就人力資源分配來說，實乃供 不及求。近年來，科學家著手研發各種復健裝置，以取代人力之不足。且 根據研究報告顯示[1]，以復健機器人取代傳統人為物理治療，具有顯著的 療效。而本篇論文把重點放在上肢復健機器人的探討，以下本章各節將依 序簡介機械手臂機器人，其可粗略分為兩大類，即義肢型及外骨架型。並 針對外骨架型進行分類整理，再論及其應用及發展概況。最後，述說本研 究的目的與本文的章節架構。. 1.1 機器人簡介 機器人一詞，最早出現在西元 1920 年，由捷克科幻小說家 Karel Čapek 賦予其名[2]。而後開創了人類對機器人的想像，並設法以實際行動去開發 研究。更有小說家 Isaac Asimov，為機器人訂下了三大法則:. . 第一法則：機器人不得傷害人類，且確保人類不受傷害；. . 第二法則：在不違背第一法則的前提下，機器人必須服從人類的 命令；. . 第三法則：在不違背第一及第二法則的前提下，機器人必須保護 自己。. -1-.
(14) 此三法則雖非正式規範準則，但至今，無論於虛構的小說世界，抑或 現實的機器人開發，無不默默遵守這潛在規則。 狹義上，機器人泛指仿人機械裝置，有著擬人外型，功能上也設計具 有一定程度的人類行為。廣義上，凡可自動執行，並可取代或協助人類完 成事務者稱之為機器人。而本文所探討的，即屬於後者。對於機械手臂式 機器人(manipulator)的形式，在此將其粗略分為義肢型機械手臂及外骨架 機器人來討論。. 1.1.1 義肢型機械手臂 義肢型機械手臂，模仿人類手臂外型，並具有模擬一定功能的機械裝 置。裝配在患者手臂部分或完全斷裂脫離的部分，以 肌電訊號(EMG signal)來加以控制，試圖取代原有功能，輔助動作完成[3]。. 圖 1-1 J-HT-SJS22 電子手臂[3]. 1.1.2 外骨架機器人 外骨架機器人(exoskeleton robot)是具有關節(joint)和連桿(link)的外部 機構，可視為人體相關肢體的延伸。因為外骨架機器人是耦合在人體的外 -2-.
(15) 部，故又稱為可穿戴式(wearable)機器人。穿戴上該外骨架機器人，外骨 架可由致動器傳遞扭力經外骨架連桿到人體關節，如此可達到輔助肢體的 功能。一般可分為 (1)基座固定式 (2)可移動式 兩種形式。基座固定式是 將外骨架機械手臂固定在機台上，僅能於固定空間中使用。可移動式則是 穿戴成為身體上的一部分，而可在一定或任意範圍內行走，進行應有的功 能表現。. 圖 1-2 基座固定式[4]. 圖 1-3 可移動式[5]. -3-.
(16) 1.2 外骨架機械手臂式機器人分類整理 近年來，世界各國研究學者致力於研發各種外骨架機械手臂，多使用 馬達、氣壓缸、油壓缸等不同致動器作為動力來源。根據不同的需求或礙 於機構設計的困難，機械手臂式機器人有著不同的自由度(degrees of freedom, DOF)。在動力傳輸系統上，一般設計以鋼索拉動或齒輪傳輸等作 為驅動連桿的系統。在功能上，有的作為復健用，扮演物理復健師的角色， 單純控制手臂所在位置；有的作為省力輔助裝置，試圖讓人們具有超強的 臂力，輕鬆運作平時費力的工作。外骨架機器人可根據致動器的不同[6-7]， 分類為馬達致動器、氣壓缸致動器、液壓缸致動器等三種型式，並分別整 理至表 1-1、表 1-2、表 1-3，以作為機械手臂式機器人的設計參考。. 表 1-1 馬達致動器機械手臂機器人索引表 作動部位. 自由度 總數. 肩膀. 手肘. 前臂. 手端. 2008. 6. . . . . Papadopoulos and Patsianis[45]. 2007. 2. . Rosen等[46][47]. 2007. 2. . . Perry and Rosen[48]. 2007. 7. . . Kawasaki等[49]. 2007. 18. Gupta[50]. 2006. 5. Nef等[51][52][53]. 2006. 4. . . 參考文獻. Gopura and Kiguchi[42]. 年份. 馬達種類. 動力傳輸方式. 主要功能. 直流伺服馬達. 鋼索和齒輪. 輔力. 伺服馬達. 日內瓦機構. 復健. 直流馬達. 鋼索和齒輪. 輔力. . . 有刷馬達. 鋼索. 復健. . . 伺服馬達. 連桿機構和齒輪. 復健. . . 電子馬達. 直接驅動. 復健. 直流馬達. 鋼索、齒輪和連桿. 復健. . . . . Mihelj等[54]. 2007. 4. . 直流馬達. 鋼索、齒輪和連桿. 復健. Johnson等[55]. 2001. 3. . . . 電子馬達. 鋼索. 復健. Carignan等[56]. 2005. 5. . . . 無刷直流馬達. 齒輪. 復健. Ball等[57]. 2007. 3. . . 電子馬達. 鋼索. 復健. Ball等[58]. 2007. 6. . . 電子馬達. 鋼索. 復健. Rocon等[59]. 2005. 3. . 持續電流馬達. 齒輪. 復健. Frisoli等[60]. 2007. 4. . . 轉矩馬達. 腱驅動器. 復健. . 無刷直流馬達. 齒輪. 復健. . 直流馬達. 齒輪. 復健. 步進馬達. 齒輪. 輔力. . 無刷馬達. 齒輪. 輔力. . 直驅式馬達. 滾珠螺桿鋼索. 輔力. . Moubarak等[61]. 2009. 7. . Tsai等[62]. 2010. 9. . Ngai[63]. 2010. 1. Wen等[64]. 2010. 3. . . 2010. 7. . . Garrec[65]. . . . . -4-.
(17) 表 1-2 氣壓缸致動器機械手臂機器人索引表 參考文獻. 年份. 自由度 總數. 作動部位 肩膀. 手肘. Kobayashi and Hiramatsu[66]. 2004. 6. . . Sugar等[67]. 2007. 4. . . Tsagarakis and Caldwell[68]. 2003. 7. . . Jiafan等[69]. 2009. 3. . . 前臂. . 氣壓缸種類. 動力傳輸方式. 主要功能描述. . 單動氣壓缸. 直接驅動. 輔力. . 人工肌肉氣壓缸. 直接驅動. 復健. . 人工肌肉氣壓缸. 直接驅動. 復健. 手端. . 單動氣壓缸 曲柄滑塊機構 和連桿. 復健. 表 1-3 液壓缸致動器機械手臂機器人索引表 作動部位 參考文獻. 年份 肩膀. 手肘. 前臂. 手端. 液壓缸種類. 動力傳輸方式. 主要功能描述. Mistry等[70]. 2005. 7. . . . . 油壓式. 複合式機構. 復健. S. Imai等[71]. 2000. 7. . . . . 油壓式. 直接驅動. 復健. 1.3 應用及發展概況 法 國 國 立 里 昂 應 用 科 學 學 院 (Institut. National. des. Sciences. Appliquées, INSA) S. Moubarak 等人[8]，在 2010 年設計了一款建構在輪椅 上的力輔助外骨架型機械手臂機器人(圖 1-4)，建構在輪椅上是考量到下 肢亦無法行動的患者。其具有 4 個自由度，分別為肩部有 3 個自由度，而 在肘部有一個自由度。使用馬達作為致動器，以力感測器(force sensors) 為回授訊號控制所需要的力矩或速度，再以齒輪傳動系統來達到肢臂的轉 動。機構在肩部可作適當的調整，以符合不同的穿戴者。. 圖 1-4 輪椅式外骨架型機械手臂機器人[8] -5-.
(18) 2011 年，泰國 Mahidol 大學 Thunyanoot Prasertsakul 等人[9]，提出因 為有些腦部受創之病患，無法以腦部訊息傳遞來控制手臂，故採用肌電訊 號為回授方式控制機械手臂式機器人達到目標位置。其具有肩部 3 個自由 度以及肘部 2 個自由度，共 5 個自由度。使用馬達作為致動器，以鋼索拉 動作為傳輸扭力系統(圖 1-5)，目前僅能固定在基座上穿戴。. 圖 1-5 以鋼索拉動的外骨架型機械手臂機器人[9]. Newcastle 大學在 1997 年發表了電動上臂輔具系統(MULOS)[10-12]。 該計劃目標是以改善或回復上肢功能方式來賦予失能者或老年人之動作 能力。該系統共有 5 個自由度，即肩膀 3 個自由度，手肘 1 個自由度及前 臂 1 個自由度。MULOS 有三種不同的致動模式: 輔助、連續式從動 (continuous passive motion)和動作練習。在輔助模式，該系統可以搖桿或 其他輸入方式來輔助增加手臂肌肉強度。在連續從動模式，MULOS 可依 據使用者或復健師所選擇之療程，對特定關節執行已設定的週期性運動。 而在動作練習模式，機器的每一關節僅能以施加的作用力來移動。轉動關 節所需施加的力量可以調整，且使用者可以評估他可以施加的最大力量。 對於該研發計劃，安全與控制仍然是 MULOS 必需加強的。. -6-.
(19) Stanford 大學的 Burgar 等[13]以 PUMA 機器人為載具，測試中風後治 療的臨床效果。在 2000 年，其第三代系統所具有多功能運動模式，可以 完全支撐正執行 3D 復健運動的肢體，並提供了被動輔助、主動輔助、阻 抗和自我導引的治療模式(圖 1-6)。. 圖 1-6 PUMA-560 提供了多功能運動模式[13]. ARMin II 是可作為手臂治療的 7 個自由度的外骨架機器人[14]，如圖 1-7 所示。建置於 2007 年，該機器人的主要特徵是垂直肩部轉動。ARMin II 為半骨架結構，並裝置有位置和力量感測器。半骨架結構可使該外骨架 機器人容易針對不同大小的病患作調整。其內外肩部轉動可由特殊之客製 化上臂轉動模組來完成。. 圖 1-7 ARMin II 外骨架型機械手臂機器人[14] -7-.
(20) 因運動神經受損，體弱，脊髓神經傷害和其他病變之患者，外骨架機 器人亦能協助其每天之活動。Nagai 等[15] 在 1998 年提出一 8 自由度的 機器人裝置來幫助前臂運動。該機器人裝置是以 DC 伺服馬達來驅動，控 制法則依運動學和動力學相關之回授訊號。但該輔助裝置為臥床式，因此 必需固定在基座上。 加州大學(University of California at Irvine)在 2010 年由 Julius Klein 等 [16]，開發了一個在肩部具有 3 個自由度的外骨架機械手臂 (BONES)，其 設計採用氣壓缸作為致動器(圖 1-8)，以平行機構作動方式使手臂在一定 的範圍內運動，在肩膀關節使用球關節，而手肘關節則為旋轉關節。其氣 壓缸直接連接作用於外骨架上，並不需要透過齒輪或鋼索等來傳動力量。. 圖 1-8 BONES 使用氣壓缸作為致動器[16]. 外骨架型機械手臂機器人較少用液壓致動器來開發。然而，2005 年 南加州大學(University of Southern California) Michael Mistry 等人[18]，開 發了一款以液壓致動器驅動的 7 個自由度外骨架型機械手臂機器人(圖 1-9)。在末端以手掌握住手把，並加以束縛固定，而在肩膀處並沒有拘束 住，只是讓其靠近肩膀關節處，即可帶動肢臂在任意空間中運動。 -8-.
(21) 圖 1-9 以液壓制動器驅動[18]. 另外有一種氣壓缸(圖 1-10) ，即人工肌肉氣壓缸(McKibben pneumatic artificial muscle)，由 Joseph L. McKibben 在 1950 年代開發。在早年研究文 獻甚少，最大原因在於其具有強烈的非線性，較難加以控制。人工肌肉氣 壓缸內部為橡膠皮管，外部再包覆著編織網狀的纖維物質，利用內部壓力 的變化，使人工肌肉氣壓缸產生膨脹及收縮的現象產生拉力，而膨脹及收 縮的現象剛好符合動物肌肉的運作方式，人工肌肉之稱則由此而來。藉由 控制人工肌肉氣壓缸脹縮時造成的位移量及產生的輸出力，可達到人體施 力運動時的省力輔助裝置，以及具有軌跡運動復健功能的器具。相較於傳 統式的氣壓缸，人工肌肉氣壓缸的重量減輕許多，很適合搭配可移動式外 骨架型機械手臂機器人作為致動器，減少身體負荷的重量。自 1996 年起， Ching-Ping Chou 與 Blake Hannaford 建立了人工肌肉氣壓缸的數學模型 [17]，因為其作為研究的先驅，而有了後續的發展。以下將回顧近年以人 工肌肉氣壓缸作為致動器的外骨架型機械手臂機器人。. -9-.
(22) 圖 1-10 人工肌肉氣壓缸[45] 2008 年，日本東京理科大學(TOKYO University of Science)Kobayashi 實驗室[18-20]，研究開發了具實用性質的肌肉裝(Muscle Suit)，以背負的 方式將人工肌肉氣壓缸等裝置，連同外骨架結構整合為背包式的套裝(圖 1-11)。因人體肩膀結構運動複雜，發現穿戴之後於肩膀運動上有缺點。隔 年，2009 年隨即更改發表修正後的結構，主要是在肩膀的運動上增加橫 向滑軌運動，因此目前版本共有 6 個自由度。以鋼索拉動滑輪產生力矩， 帶動外骨架運動。此裝置功能目的為讓醫護人員可以輕易抱起病患；而於 汽車維修廠的維修員，可以不經由器具舉起重物，增加機動性(圖 1-12)。. 圖 1-11 背包式的套裝[46] - 10 -.
(23) 圖 1-12 維修員可輕易舉起重物[19]. 另外，喬治亞理工學院 Jun Ueda 等人[21]，開發了直觀性的架構，以 人工肌肉氣壓缸為人體肌肉的概念，附著於人體手臂上，直接當作外置肌 肉般控制手臂的運動，如圖 1-13 所示。該裝置共有 4 個自由度，分別在 手肘及手腕處。而肩膀處缺少的 3 個自由度，則為未來的研究目標。考量 到安全性，人工肌肉氣壓缸充氣產生的力量設定最大僅可達 60N。以及以 肌電訊號作為控制的依據。. 圖 1-13 直接附著於手臂上驅動[21]. - 11 -.
(24) 1.4 研究目的與章節架構 1.4.1 研究目的 本研究目的在於建構一個結構簡單的復健機械手臂機器人，使中風病 患或因意外受傷而導致肢體受創無法行動自理者，能夠以此裝置進行手臂 的復健治療。經由上述的文獻顯示，大部分的外骨架機器人有著複雜的電 控與結構，因而增加製作以及動作的複雜性。以及大多數將致動器與外骨 架機械手臂支架結合在一起，增加整體重量與負載。本文擷取各文獻外骨 架機器人設計優點，並加上創新設計，完成一個截然不同的嶄新外骨架機 器人。此復健機械手臂機器人共有 4 個自由度，其中在肩膀的 3 個自由度 運動，1 個在手肘的轉動自由度。這 4 個自由度可帶動手臂完成絕大部分 的動作，拉伸活動上肢的肌肉。以人工肌肉氣壓缸作為致動器，相較於其 他致動器，可以輕量化整體裝備。設計上以背負方式穿載裝置，可任意移 動所處地點，患者不再侷限於固定的空間進行復健。. 1.4.2 章節架構 在接下來的第二章節，將敘述說明本論文之外骨架機器手臂之設計， 以及外骨架機器手臂的動作，再簡單介紹外骨架機器手臂的機械構造、作 動方式特色。一一述及建構外骨架機器手臂的組成要件，並說明其主要特 點。 第三章節，建立外骨架機器手臂系統各組成元件的數學模型，包含人 工肌肉氣壓缸之數學模型、比例調壓閥之建模。 第四章節，以機器人學分析外骨架機器人，包含順向運動學、反向運 動學以及反向動力學。其中，以準座標之 Lagrangian 方程式推導出適用於 複雜結構運動的方程式，建立反向動力學數學模型。簡介準座標系統與 Lagrange 方程式之間的關係。最後，並進行機械手臂機器人位置速度分析、 - 12 -.
(25) 機械手臂機器人動能分析、機械手臂機器人位能分析，及以虛功方式推導 出機器手臂機器人的軸承力矩與轉動角度間的關係。 第五章節，根據第三章節、第四章節的結果，使用 Robotics Toolbox 作順向運動學、反向運動學的模擬。另外再撰寫 Matlab 程式，模擬反向 動力學所得到的動力方程式。. - 13 -.
(26) 第二章 外骨架機器人設計 2.1 人體骨骼運動學及復健運動 圖 2-1 是上肢骨骼關節組合示意圖，每一上肢是由上臂、前臂和手部 所組成。上肢所產生的運動是由筋肉拉伸帶動各段骨骼旋轉相關關節而得， 每一關節的可轉動角度亦不相同，如表 2-1 所示。. 圖 2-1 上肢骨骼關節組合示意圖[39][40]. 表 2-1 關節活動角度[41]. - 14 -.
(27) 人體上臂及前臂的運動主要有上臂的外展(abduction)及內收(adduction)、 上臂的屈曲(flexion)及伸展(extension)、上臂的內轉(internal)及外轉(external)、 前臂的屈曲及伸展、前臂的旋前(supination)及旋後(pronation):. (1) 上臂的外展及內收: 外展是肢體自身體中線移開；內收是肢體移向身體中線。. 圖 2-2 上臂的外展及內收[42] (2) 上臂的屈曲及伸展: 屈曲是彎曲關節使關節角度縮小；伸展是使關節由屈曲回復伸展。. 圖 2-3 上臂的屈曲及伸展[42] - 15 -.
(28) (3) 上臂的內轉及外轉: 內轉是上臂帶動前臂轉向內側之動作；外轉是帶動前臂轉向外側之 動作。. 圖 2-4 上臂的內轉及外轉[42]. (4) 前臂的屈曲及伸展: 屈曲是前臂以肘為轉動軸，往上臂彎曲；伸展是由屈曲恢復伸展。. 圖 2-5 前臂的屈曲及伸展[42] - 16 -.
(29) (5) 前臂的旋前及旋後 旋前是繞著前臂為軸，將手掌翻向上；旋後是繞著前臂為軸，將手 掌翻向下。. 圖 2-6 前臂的旋前及旋後[42]. 上述前臂及上臂的運動，必須經由該部位的肌肉組織作動來驅動手臂的 各式動作。但是中風病患或因意外受傷而導致肢體受創無法行動自理者，需 借助物理復健師予以復健治療，以恢復肌肉組織的作動功能。而物理復健師 也是根據上肢運動的原理，針對該部位的肌肉組織作活動，即為物理性復健 治療，如圖 2-7。. - 17 -.
(30) 圖 2-7 基本復健運動[43]. 2.2 外骨架機器手臂設計 依據人體骨骼運動學，本論文所設計之外骨架機器人之構造，材質上 以鋁合金製作，分為背包框架與上肢外骨架兩部分，如圖 2-8 所示。背包 框架主要作為裝載人工肌肉氣壓缸及其他組件的承座。人工肌肉氣壓缸下 端部分固定於背包框架的底座，上端連結鋼索，使得人工肌肉氣壓缸做直 線收縮運動時可拉動鋼索。上肢外骨架部分，作為帶動肢臂運動的輔助， 由固定於背包框架的兩軸承組成之 L 型支架、上臂外骨架及前臂外骨架構 成，圖 2-9 為其組合圖。另外，圖 2-10 為外骨架機器人的實體圖，以及圖 2-11 為實際穿戴外骨架機器人的裝配圖。而作動設計上以 4 個自由度為運 動的根基，分別在肩膀處有 3 個自由度，手肘上有 1 個自由度作為旋轉。 在肩膀處的 3 個自由度，以尤拉角(Euler Angle)轉動的原理來設計。而相 對應自由度的運動，使用軸承機構繫上鋼索來轉動。相較於其他外骨架機 機器人關節處設計有很大的不同，在於一般以轉動軸作為關節的轉軸，再 - 18 -.
(31) 結合機構形成力矩或直接以馬達轉動關節造成旋轉。而本論文的機構設計， 則是以軸承作為關節的轉軸，且在軸承外徑結合鋼索的拉力形成關節扭轉 的力矩，驅使手臂運動，可見圖 2-12 及圖 2-13 所示，分別為肩膀與手肘 的軸承結合鋼索的成品圖。. 圖 2-8 外骨架機械手臂整體構造圖. 圖 2-9 外骨架機械手臂組合圖. - 19 -.
(32) 表 2-2 外骨架機械手臂組件表 編號 1 2 3 4. 外骨架機械手臂組件表 物件名稱 軸承數目 材質 背包框架 0 鋁合金 L型支架 2 鋁合金 上臂外骨架 1 鋁合金 前臂外骨架 1 鋁合金. 圖 2-10 外骨架機器人的實體圖. 圖 2-11 實際穿戴外骨架機器人. - 20 -. 備註.
(33) 圖 2-12 肩膀處軸承結合鋼索. 圖 2-13 手肘處軸承結合鋼索. 2.3 外骨架機器手臂之驅動硬體 本論文所設計之外骨架機器手臂機器人之驅動硬體，主要是由下列所 構成: (1) 氣壓源 (2) 三點組合 (3) 比例調壓閥 - 21 -.
(34) (4) 人工肌肉氣壓缸 (5) PSoC 嵌入式晶片系統 (6) 電腦 將 4 個人工肌肉氣壓缸固定於背包式的鋁合金框架，每個人工肌肉氣 壓缸各連接一條氣壓管，再連接至各比例調壓閥，而從三點組合接出之四 條氣壓管也分別接到各個比例調壓閥。另外，每個人工肌肉氣壓缸都繫上 一條鋼索，鋼索末端裝置在相對應的軸承機構上。PSoC 嵌入式晶片系統 則連接電腦與各個比例調壓閥，如此即完成外骨架機器手臂機器人的驅動 硬體。 外骨架機器手臂機器人的作動流程:一開始先開啟氣壓源，提供空氣 壓力至比例調壓閥，此時比例調壓閥尚未開啟閥門，所以還不會有任何作 動。接著以電腦傳輸數位訊號到 PSoC 嵌入式晶片系統，PSoC 嵌入式晶 片系統轉換數位訊號為類比訊號電壓值，此類比訊號電壓值再提供給比例 調壓閥，因此比例壓力閥開啟閥口，提供相對應的空氣壓力到人工肌肉氣 壓缸，人工肌肉氣壓缸壓力上升膨脹收縮產生拉力，經由鋼索傳輸拉力帶 動軸承產生扭力，帶動手臂的運動。. 2.3.1 三點組合 三點組合(filter-regulator-lubricators)由空氣濾清器、調壓閥及潤滑器等 三個元件組成[22]。 (1) 空氣濾清器: 空氣中包含有水氣以及微細的顆粒雜質。水氣會使 元件受潮生鏽，而微細的顆粒雜質將會損傷元件。所以空氣濾清 器的功能就在過濾由氣壓源過來的空氣，讓其中的水氣以及微細 的顆粒雜質降至最小。 (2) 調壓閥: 一般輸出氣體壓力時，因為空氣消費量的影響，出口壓 - 22 -.
(35) 力呈現不穩定的狀態，造成不穩定的氣壓來源，使實驗數據不準 確。而調壓閥則可解決此一問題，穩定輸出壓力的大小。 (3) 潤滑器: 利用文氏管的原理，將油霧經由氣流帶到元件，潤滑元 件減少運動所受到的磨損，而得以延長元件使用壽命。. 圖 2-14 Festo D. LFR-1/8-D-MINI Filter regulator 表 2-3 Festo D. LFR-1/8-D-MINI Filter regulator 一般技術資料. 2.3.2 比例調壓閥 Festo 公司生產的比例調壓閥 VPPM[23]，可以輸入電壓值或電流值 - 23 -.
(36) 來控制所需要的氣壓大小。比例調壓閥 VPPM 預置了三種調整模式: (1) 快速模式(Fast Mode): 應用在需要一下子有大量空氣進入，來快 速調整氣壓大小（圖 2-15）。 (2) 通用模式(Universal Mode): 應用在一般量空氣進入時（圖 2-16）。 (3) 精確模式(Precise Mode):. 應用在少量空氣進入，並在特定的控制. 時間內增減時（圖 2-17）。. 圖 2-15 快速模式[23]. 圖 2-16 通用模式[23]. 圖 2-17 精確模式[23]. - 24 -.
(37) 圖 2-18 是比例調壓閥 VPPM 的外觀及操作介面表示圖，圖中看到其 具五個 LED 顯示燈，包含電源顯示燈、錯誤顯示燈以及三種模式顯示燈。 模式的選擇可輕易地由下方的選擇鍵按壓選取。. 圖 2-18 外觀及操作介面[23] 比例調壓閥 VPPM 氣壓輸入範圍必須小於 11bar，工作電壓 21.6V~ 26.4V，表 2-4 為其技術資料。 表 2-4 比例調壓閥技術資料[23]. - 25 -.
(38) 2.3.3 PSoC 嵌入式晶片系統 在控制上，本研究使用的 PSoC CY8C29466-PXI 單晶片是由美國的 Cypress Semiconductor 公司所生產的 PSoC(Programmable System on Chip)可 程式系統單晶片。與傳統的 MCU(微控制器)相比，PSoC 晶片內部除了具備 一般 MCU 的功能外，還整合了許多常用的元件，以及可自行組合的數位與 類比模塊(Block)，而晶片的 PIN 腳同樣也可以讓使用者自行安排進行數位與 類比元件的輸入與輸出，大幅提高系統的設計彈性與便利性。 PSoC Designer 是一套由美國 Cypress 公司所開發提供的圖形介面的整 合開發環境。PSoC Designer 具備圖形化的設計介面，並且提供 System Level 模式與 Chip Level 模式兩種高低階的設計環境， 讓設計者可以選擇合適的 方式來設計。System Level 模式中的各項常用的輸出入元件都已經預先模組 化，所以開發的難度相對的較低，速度也比較快，但是耗用的資源比較多而 且設計的彈性也比較小。Chip Level 模式需由使用者自行撰寫程式(使用 C 語言或組合語言)控管晶片內部的資源與運作，可以精確的控制晶片的資源 及功能，具備較佳的彈性，耗用較少的資源。故本研究使用 Chip Level 模式 進行系統的開發。 PSoC CY8C29466-PXI 晶片有三個 Port 分別為 Port0、Port1 與 Port2 ， 加上 3 個 Power 接腳與 1 個重置接腳，共有 28 隻 PIN 腳。Port0~Port2 的 24 隻 PIN 腳皆可做為數位輸入/輸出，而 Port0 及 Port2_0~Port2_3 共 12 隻 PIN 腳皆可作為類比輸入， Port0_0~Port0_3 等 4 隻 PIN 腳則可作為類比輸出。 圖 2-19 為 CY8C29466-PXI 晶片示意圖，除以上所述之腳位及功用外還有其 餘的一些腳位和功用，在此不做詳述。完整的說明可見[24]CY8C29x66 Final Data Sheet 與[25]PSoC 嵌入式系統晶片實做入門。. - 26 -.
(39) 圖 2-19 CY8C29466-PXI 晶片示意圖[24]. CY8C29466-PXI 晶片與 PSoC Designer 內建許多不同的電子元件模組， 大致上可分為: 1. 數位元件: 計 數 器 Counter(8~32bit) 、 計 時 器 Timer(8~32bit) 、 脈 衝 寬 度 調 變 PWM(8~16bit)、UART(Digital. Comm 模組)、LCD(Misc Digital 模組). 2. 類比元件: 類比/數位轉換器 ADC(6~14bit)、數位/類比轉換器 DAC(6~9bit)、可程式 增益放大器 PGA(Amplifier 模組)以上為本研究將會使用到的與較為常用 的元件，圖 2-20 為晶片內部元件模組，共有 16 個模組，而每個模組內都 還有若干個元件。每個元件的電氣特性與使用方法都可於各 Datasheet 中 查得。. 圖 2-20 晶片內部元件模組 - 27 -.
(40) 依型號的不同，晶片具備的輸出入腳位數量、記憶體大小、數位與類比 模塊數量也有所不同。PSoC CY8C29466-PXI 晶片有 16 個數位模塊與 12 個 類比模塊。如圖 2-21. CY8C29466-PXI 內部組態所示。數位模塊是用來置. 放數位元件，以列(Row)為單位，每橫列有四個模塊，同一列模塊共用四條 輸入排線以及四條輸出排線，可分別連接到外部輸入與外部輸出線路，如圖 2-22 數位系統模塊所示；而類比模塊式用來置放類比元件，以行(Column) 為單位，每直行有三個模塊，訊號由單一線路輸入與輸出，如圖 2-23 類比 系統模塊所示。每個模塊的大小皆為 8 位元，可單獨使用，也可與其他模塊 聯合使用。晶片內建的各種元件大小不盡相同，最大的為 32bit，如元件的 大小不超過 8bit 則佔用一個模塊，若元件的大小超過 8bit 則佔用複數個模 塊。. 圖 2-21 CY8C29466-PXI 內部組態. 圖 2-22 數位系統模塊 - 28 -. 圖 2-23 類比系統模塊.
(41) 第三章 人工肌肉氣壓缸之動態建模 此章節將針對外骨架機器人建立相關之數學模型，包含人工肌肉氣壓缸 輸出力靜態數學模型、比例調壓閥質量流率數學模型、人工肌肉氣壓缸壓力 動態數學模型、人工肌肉氣壓缸負載動態數學模型。. 3.1 人工肌肉氣壓缸系統基本架構 在分析建立整個機械手臂機器人之前，我們必須先建立基本的人工肌 肉氣壓缸系統來做分析，再以此為基礎推展至整個機械手臂機器人。如圖 3-1 所示之人工肌肉氣壓系統基本架構，主要是由比例調壓閥、人工肌肉 氣壓缸所構成。輸入電壓訊號大小給比例調壓閥，同時氣壓源提供氣壓到 比例調壓閥，輸入的電壓訊號可以控制流經比例調壓閥的氣壓大小，藉由 氣壓的變化，控制人工肌肉氣壓缸的膨脹收縮的移動。. 氣壓源. 電壓訊號. 比列調壓 閥. 人工肌肉 氣壓缸. 圖 3-1 人工肌肉氣壓缸系統基本架構. 3.2 人工肌肉氣壓缸輸出力靜態數學模型 目前人工肌肉氣壓缸較廣泛使用的理想數學模型，是由 Chou 等所提 出的，如式(3-1)所示[26-27]。該式以能量守恆的原理，配合虛功(virtual work)的概念，推導出輸出力與壓力變化及收縮率之間的關係。. - 29 -.
(42) F P. dV P[ A(1 ) 2 B] P A dL. V. D02 L L [1 ( ) 2 c o 2s0 ] 2 4 s i n0 L0. A. 3D02 4 t a n2 0. B. . (3-1). L0 L L0. D02 4 sin 2 0. 其中，F 是人工肌肉氣壓缸的輸出力；△P 是人工肌肉氣壓缸內部的 絕對壓力與外部的大氣壓力之差；V 是人工肌肉氣壓缸脹縮時的體積；ε 稱為收縮率；Ā稱為等效作用面積；L0 是人工肌肉氣壓缸的初始長度；L 是人工肌肉氣壓缸脹縮時的瞬間長度；D0 是人工肌肉氣壓缸的初始直徑； θ0 是人工肌肉氣壓缸編織網的初始角度。. 3.3 比例調壓閥質量流率數學模型 本研究採用德國 FESTO 製造的比例調壓閥 VPPM(Proportional pressure regulator VPPM)作為控制流量的裝置。此比例調壓閥是依輸入的電壓值的大 小，來控制閥軸的運動，再根據閥軸所處的位置，來決定人工肌肉氣壓缸的 充氣或排氣狀態。並依據 Mocloy 等人提出的可壓縮流體質量流率公式作為 質量流率的理論基礎，如式(3-2)所示[28]。 Cd Cm Aa Pa* / Ta m. (3-2). 其中，Cd 是流量係數(discharge coefficient)；Cm 是質量流率參數(Mass flow parameter)(. s. . K )；Aa 是孔口面積(m2)； pa* 是上游停滯壓力(upstream m. stagnation pressure)(N/m2) ； Ta 是 上 游 停 滯 溫 度 (upstream stagnation - 30 -.
(43) temperature)( K )。 若 pvc 2 Pa* 1 . . ( 1). 0.582. 則 Cm . Pvc 2 Pvc ( 1) 2 ( ) ( ) R( 1) Pa* Pa* . 其中，Pvc 是孔口靜壓(static pressure at throat)(N/m2)；R 是氣壓常數 (m2/s2‧ K )；γ是比熱比(ratio of the specific heats)。 若 pvc 2 Pa* 1 . . ( 1). 0.582. 則 2 Cm 1. 1. ( 1). 2 0.0405 R( 1). 3.4 人工肌肉氣壓缸壓力動態數學模型 在氣體視為理想氣體，且過程中系統視為絕熱反應，並忽略過程中溫 度的變化，經由推導雙動單桿氣壓缸的壓力動態數學模型，再根據人工肌 肉氣壓缸本身單一進排氣口以及體積隨壓力變化而改變的特性，延伸出人 工肌肉氣壓缸壓力動態數學模型，式(3-3)即為其一般式[29]。. dP dx m TR PA dt V dt . (3-3) - 31 -.
(44) 其中，P 是人工肌肉氣壓缸內絕對壓力(Pa)；x 是人工肌肉氣壓缸脹縮 的位移量(m)。. 3.5 人工肌肉氣壓缸負載動態數學模型 建立單一人工肌肉氣壓缸負載系統模型，可以用圖 3-2(b)來表示，作 用力包含了人工肌肉氣壓缸產生的輸出力、黏滯阻尼力及法碼的重量，並 依據牛頓第二定律來推導人工肌肉氣壓缸負載動態數學模型。. d 2x dx m 2 F Fm dt dt. 圖 3-2. (3-4). (a) 人工肌肉氣壓缸未充氣前之負載系統模型(左圖) (b) 人工肌肉氣壓缸充氣後之負載系統模型(右圖). - 32 -.
(45) 第四章. 外骨架機器人之運動學與動態方程式. 為了找出旋轉軸角度與末端手端(end-effector)位置之間的關係，需推 導順向運動學和反向運動學[30-34]。順向運動學為給定旋轉軸角度推導出 手端所在位置，而反向運動學則是給定手端所在位置反推所需的旋轉軸角 度。解反向運動學的方式大致上有四種主要解法:. (1) DENAVIT-HARTENBERG 法 (2) 解析幾何法 (3) 參數假設法 (4) 數值方法. 本論文求解反向運動學是依據兩種軌跡規畫來求解: 軌跡 1 是假設關 節轉動角𝜃3 為已知的固定角度，再使用 DENAVIT-HARTENBERG 法來求 解反向運動學，獲取機械手臂式機器人在已知的軌跡路徑的旋轉軸角度變 化，並依據此結果，進行程式模擬驗證。軌跡 2 則增加一個手臂角度(arm angle)為已知參數，再使用手臂角度與轉動矩陣的關係式來求解反向運動 學。 對於反向動 力學 的推 導有 Newton-Euler 方程 式、 真實 座標上 的 Lagrangian 方程式以及虛功原理(the principle of virtual work)等方法。 Newton-Euler 方程式使用上需計算所有關節的拘束力和慣性矩，這些數值 通常不容易求得。Lagrangian 方程式提供良好的分析處理和有條理的結構 性，但如果在真實座標使用 Lagrangian 方程式推導，則推導的過程將會因 為大量的符號運算而導致相當的複雜困難。若使用虛功原理分析，所得的 結果卻不夠詳盡說明機構的物理特性。所以本論文採用準座標 (quasi-coordinates)系統作為推導方程式的工具。 - 33 -.
(46) 4.1 準座標系統與 Lagrange 方程式 準座標的 Lagrangian 方程式適合於複雜結構運動方程式的建立[35]， 並以角速度及其微分項作為方程式運算元素。且證明這個方程式在推導複 雜結構運動有轉動情形時，在計算方面可大幅簡化符號的運算，使最後的 結果有比較簡明的表示式。而這也是本論文選擇以準座標方式推導機械手 臂機器人的主要原因。至於準座標之稱，則是由於此坐標系並非真實可表 示的存在而謂之。式(4-1)即為以準座標建立的 Lagrangian 方程式一般式 [35]。. 𝑑 ∂T ∂T ∂T ∂U ̃𝒊 ( )+𝝎 − 𝑁 + 𝑁 = 𝑸𝒊 + 𝑭𝑪𝒊 𝑑𝑡 ∂𝝎𝒊 ∂𝝎𝒊 ∂ 𝑖𝑹 ∂ 𝑖𝑹. (4 − 1). ̃為角速度的反對稱矩陣 其中，T 為動能；U 為位能；𝝎𝒊 為角速度；𝝎 𝒊 (skew-symmetric matrix)； 𝑁𝑖𝑹 為旋轉矩陣(rotation matrix) ；𝑸𝒊 是廣義力 (generalized forces)；𝑭𝑪𝒊 是拘束力(constraint forces)。 根據式(4-1)，機械手臂機器人以準座標建立的 Lagrangian 方程式可表 示成[34]:. 𝑑 ∂T ∂T ∂T ∂U ̃𝟏 ( )+𝝎 − 𝑵 + 𝑵 = 𝑸𝟏 + 𝑭𝑪𝟏 𝑑𝑡 ∂𝝎𝟏 ∂𝝎𝟏 ∂ 𝟏𝑹 ∂ 𝟏𝑹. (4 − 2). 𝑑 ∂T ∂T ∂T ∂U ̃𝟐 ( )+𝝎 − 𝑵 + 𝑵 = 𝑸𝟐 + 𝑭𝑪𝟐 𝑑𝑡 ∂𝝎𝟐 ∂𝝎𝟐 ∂ 𝟐𝑹 ∂ 𝟐𝑹. (4 − 3). - 34 -.
(47) 4.2 運動學與動力學分析 圖 4-1 表示機械手臂機器人座標系統。此處假設慣性參考座標 XNYNZN 與 AS 點重合，X1Y1Z1 為固定於上臂的參考座標，X1 的方向沿著上臂延伸， 其單位向量表示為𝒖𝟏 ；X2Y2Z2 為固定於前臂的參考座標，X2 的方向沿著 前臂延伸。至於 Z1 與 Z2 兩軸為平行關係。機械手臂機器人動力學以 Lagrangian 方程式為基礎進行推導，而應用 Lagrangian 方程式時，則需推 導所需的動能以及位能，在下述的推導過程中有詳細的計算技巧說明。. 圖 4-1 機械手臂機器人座標位置. 4.2.1 機械手臂機器人位置與速度分析 如圖 4-1 所示，其中 AS 表示肩膀所在位置，此為固定於座標空間中 的一點，以尤拉角方式轉動；AE 點表示手肘關節的位置，以 Z2 為軸作旋 轉運動。末端位置則以 Aend 表示。AS、AE 兩點之距離為上臂的長度，其 值為 L1；AE、Aend 兩點之距離為前臂的長度，其值為 L2。AS 為起始點， 相對於 X1Y1Z1 座標，沿著 X1 方向在上臂的任意點位置以𝝆𝟏表示。AE 為 - 35 -.
(48) 起始點，相對於 X2Y2Z2 參考座標，沿著 X2 方向在上臂的任意位置以𝝆𝟐表 示。 由上述資料，相對於絕對座標 XNYNZN，在上臂的任意點位置𝒓𝟏 ，可 表示成:. 𝒓𝟏 = 𝑵𝟏𝑹𝝆𝟏. (4 − 4). 而對時間微分，可得. ̃𝟏 𝝆𝟏 𝒓̇ 𝟏 = 𝑵𝟏𝑹𝝎. (4 − 5). 同理，相對於慣性參考座標 XNYNZN，在前臂的任意點位置𝒓𝟐，可表示成:. 𝒓𝟐 = 𝑵𝟏𝑹𝑳𝟏 + 𝑵𝟐𝑹𝝆𝟐. (4 − 6). 而對時間微分，可得. ̃𝟏 𝑳𝟏 + 𝑵𝟐𝑹𝝎 ̃𝟐 𝝆𝟐 𝒓̇ 𝟐 = 𝑵𝟏𝑹𝝎. (4 − 7). 這裡所得的 𝑵𝒊𝑹(i=1,2)為旋轉矩陣，即 𝑵𝟏𝑹為座標 X1Y1Z1 相對於慣性參考座 標 XNYNZN 的轉換。 𝑵𝟐𝑹為座標 X2Y2Z2 相對於慣性參考座標 XNYNZN 的轉 ̃[31]。 換。且上述的推導過程中，使用到算式 𝑵𝒊𝑹̇ = 𝑵𝒊𝑹𝝎 𝒊. - 36 -.
(49) 4.2.2 順向運動學 順向運動學為給定旋轉軸角度推導出末端手端所在位置。通常機械手 臂是由多數連桿及轉動關節所構成，為了描述相鄰兩根連桿旋轉位置 (Position)和方位(Orientation)關係，採用 DENAVIT-HARTENBERG 標記方 式，定義連桿間位置和方位的轉換關係。參照圖 4-2，其定義方式如下:. 𝑎𝑛 : 沿著𝒙𝒏 ，從 𝒛𝒏到𝒛𝒏+𝟏量測到的距離 𝛼𝑛 : 以繞𝒙𝒏 為軸，從 𝒛𝒏到𝒛𝒏+𝟏量測到的角度 𝑑𝑛 : 沿著𝒛𝒏，從 𝒙𝒏−𝟏到𝒙𝒏 量測到的距離 𝜃𝑛 : 以繞𝒛𝒏為軸，從𝒙𝒏−𝟏到𝒙𝒏 量測到的角度. 圖 4-2 連桿 D-H 標記方式[36] 依據 DENAVIT-HARTENBERG 標記方式，再依下示之圖 4-3 所定義 的機器手臂機器人的關節座標系，可以得到機器手臂機器人的 DENAVIT-HARTENBERG 轉換參數表如下:. - 37 -.
(50) 表 4-1 D-H 轉換參數表. 座標 1 2 3 4 5. -90 90 -90 90 0. 0 0 0 0 0. 0 0 0 0. 圖 4-3 機器手臂機器人的關節座標系. 座標{n}相對於座標{n-1}的 D-H 齊性轉換矩陣[30]:. 𝑛−1 𝑛𝑇. = 𝑅𝑜𝑡 (𝑧, 𝜃𝑛 ) ∙ 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠 (0,0, 𝑑𝑛 ) ∙ 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑎𝑛 , 0,0) ∙ 𝑅𝑜𝑡 (𝑥, 𝛼𝑛 ) 𝑐𝑛 𝑠 =[ 𝑛 0 0. −𝑐𝛼𝑛 𝑠𝑛 𝑐𝛼𝑛 𝑐𝑛 𝑠𝛼𝑛 0. 𝑠𝛼𝑛 𝑠𝑛 −𝑠𝛼𝑛 𝑐𝑛 𝑐𝛼𝑛 0. 𝑎𝑛 𝑐𝑛 𝑎𝑛 𝑠𝑛 ] 𝑑𝑛 1 - 38 -. (4 − 8).
(51) 此處的𝑅𝑜𝑡 (𝑧, 𝜃𝑛 )為繞著 z 軸轉動𝜃𝑛 角度的旋轉矩陣；𝑅𝑜𝑡 (𝑥, 𝛼𝑛 )為繞 著 x 軸轉動𝛼𝑛 角度的旋換矩陣；𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠(0,0, 𝑑𝑛 )為 z 軸位移𝑑𝑛 的轉換矩陣； 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠(𝑎𝑛 , 0,0) 為 x 軸 位移 𝑎𝑛 的轉 換矩 陣； 𝑐𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛 ， 𝑠𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑛 ， 𝑐𝛼𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑛 ，𝑠𝛼𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑛 。 以連桿間位置和方位的轉換關係，經過連續的座標轉換之後，可獲得 末端操作器座標相對於基座座標位置和方位的轉換關係，以下即列出依據 D-H 轉換參數表及 D-H 齊性轉換矩陣所得到的機器手臂機器人的各座標 間的轉換矩陣: 𝑐1 0 𝑠1 0 0 1𝑇 = [ 0 −1 0 0. 𝑐2 0 𝑠2 0 1 2𝑇 = [ 0 1 0 0. 𝑠2 −𝑐2 0 0. 𝑐3 0 𝑠3 0 2 3𝑇 = [ 0 −1 0 0. 𝑐4 0 𝑠4 0 3 4𝑇 = [ 0 1 0 0. 1 0 4 5𝑇 = [0 0. 0 1 0 0. −𝑠1 𝑐1 0 0. 0 0 ] 0 1. 0 0 ] 0 1. −𝑠3 0 𝑐3 0 ] 0 𝑑3 0 1. 𝑠4 −𝑐4 0 0. 0 0 ] 0 1. 0 0 0 0] 1 𝑑5 0 1 - 39 -.
(52) 最後，依機器手臂機器人的各座標間的轉換矩陣按照順序做相乘，可 得到機器手臂機器人手端相對於基座，即末端相對於肩膀處的位置與方位 關係矩陣 05𝑇為: 𝑛𝑥 𝑛𝑦 0 0 1 2 4 3 5𝑇 = 1𝑇 ∙ 2𝑇 ∙ 3𝑇 ∙ 4𝑇 ∙ 5𝑇 = [ 𝑛 𝑧 0. 𝑜𝑥 𝑜𝑦 𝑜𝑧 0. 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 0. 𝑝𝑥 𝑝𝑦 ] 𝑝𝑧 1. (4 − 9). 其中， 𝑛𝑥 = 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 − 𝑠1 𝑠3 𝑐4 − 𝑠2 𝑠4 𝑐1 𝑛𝑦 = 𝑠1 𝑐2𝑐3 𝑐4 + 𝑠3 𝑐1 𝑐4 − 𝑠1 𝑠2 𝑠4 𝑛𝑧 = −𝑠2 𝑐3 𝑐4 − 𝑠4 𝑐3 𝑜𝑥 = −𝑠3 𝑐1 𝑐2 − 𝑠1 𝑐3 𝑜𝑦 = −𝑠1 𝑠3 𝑐2 + 𝑐1 𝑐3 𝑜𝑧 = −𝑠2 𝑠3 𝑎𝑥 = 𝑠4 𝑐2 𝑐3 𝑐4 − 𝑠1 𝑠3 𝑠4 + 𝑐1 𝑐2 𝑐4 𝑎𝑦 = 𝑠1 𝑠4𝑐2 𝑐3 + 𝑠3 𝑠4 𝑐1 + 𝑠1 𝑠2 𝑐4 𝑎𝑧 = −𝑠2 𝑠4 𝑐3 + 𝑐3 𝑐4 𝑝𝑥 = 𝑠4 𝑐2 𝑐3 𝑐4𝑑5 − 𝑠1 𝑠3 𝑠4 𝑑5 + 𝑐1 𝑐2 𝑐4 𝑑5 + 𝑠2 𝑐1 𝑑3 𝑝𝑦 = 𝑠1 𝑠4 𝑐2 𝑐3𝑑5 + 𝑠3 𝑠4 𝑐1 𝑑5 + 𝑠1 𝑠2 𝑐4𝑑5 + 𝑠1 𝑠2 𝑑3 𝑝𝑧 = −𝑠2 𝑠4 𝑐3𝑑5 + 𝑐3 𝑐4 𝑑5 + 𝑐2 𝑑3. 4.2.3 反向運動學 軌跡規劃 1 為了簡化複雜的反向運動學推導，假設𝜃3 為已知的輸入固定角度，如 此可使推導過程簡單化。首先，如圖 4-4 所示為機器手臂機器人𝜃4 角度的 - 40 -.
(53) 一般變化位置，依幾何關係，可利用餘弦定理公式，推導得出𝜃4 的角度值 為: 2. 𝐿1 2 + 𝐿2 2 − ‖𝐴𝑆 𝐶𝐻 ‖ 𝜃4 = 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) 2𝐿1 𝐿2. (4 − 10). 圖 4-4 𝜃4 一般狀況位置幾何關係. 再以 DENAVIT-HARTENBERG 法，將(4-9)式左右各乘 01𝑇 −1如下. 0 −1 1𝑇. ∙ 05𝑇 = 01𝑇 −1 ∙ 01𝑇 ∙ 12𝑇 ∙ 23𝑇 ∙ 34𝑇 ∙ 45𝑇. (4 − 11). 由上式等式左右兩邊相等，其中第二列第二行可得. 𝜃2 = 𝑠𝑖𝑛−1. 𝑜𝑧 𝑠3. (4 − 12). 再由其中第三列第二行及第三列第四行可解得 𝜃1 = 𝑐𝑜𝑠 −1. 𝑠3 𝑠3 𝑑5 𝑜𝑥 − 𝑐3 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑜𝑥 − 𝑝𝑥 𝑜𝑦. (4 − 13) - 41 -.
(54) 軌跡規劃 2 K. Kreutz-Delgado 等人[47]基於參數假設法引入額外之手臂角度參數 來實現反向運動學的分析。參考圖 4-5，所謂手臂角度即為以 Ps、Pe、Pw 三點非共線時所形成的手臂平面(arm plane)與水平面垂直且通過 Ps、Pw 二 點的參考平面(reference plane)所夾的角度𝜓即為手臂角度。. 圖 4-5 手臂角度的定義 根據 Masayuki Shimizu 等人[48]以手臂角度為已知參數，推導外骨架 機器人末端位置與關節轉動角度及手臂角度之間的關係。可求得對應的各 關節轉動角度，其詳細的推導過程如下: 以順向運動學的分析推導出末端位置與關節轉動角度的運動學關係 式: 𝟎 𝟓𝒑 𝟎 𝟒𝓡. = 𝟎𝟑𝓡( 𝟑𝑳𝟏 + 𝟑𝟒𝓡 𝟒𝑳𝟐 ). (4 − 14). = 𝟎𝟑𝓡 𝟑𝟒𝓡. (4 − 15). 其中， 𝟑. 𝑳𝟏 = [0. 𝟒. 𝑳𝟐 = [0. −𝑑3 0. 0]𝑇 𝑑5 ]𝑇. 仿人機械手臂的自我運動(self-motion)定義為以通過肩膀及末端所形 成之軸轉動的運動。假設末端位置固定不動，則自我運動時並不會改變末 端位置。此時相對於肩膀的轉動矩陣僅受到手臂角度𝜓的影響，可表示成: - 42 -.
(55) 𝟐 𝓡𝝍 = 𝐼3 + 𝑠𝑖𝑛𝜓 𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑 + (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜓)𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑. 𝟎. (4 − 16). 其中，𝐼3 是一個 3X3 的單位矩陣；𝒖𝟑 是末端與肩膀位置單位向量，而 𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑 是 末端相對於肩膀位置單位向量的反對稱矩陣。 末端相對於肩膀位置的轉動矩陣可表示為 𝟎 𝟒𝓡. = 𝟎𝓡𝝍 𝟎𝟒𝓡𝟎. (4 − 17). 其中， 𝟎𝟒𝓡𝟎 為當手臂平面與參考平面重合時的末端相對於肩膀位置的轉動 矩陣。 且如果末端位置固定不動時， 𝟑𝟒𝓡 = 𝟑𝟒𝓡𝟎，可求得 𝟎 𝟑𝓡. = 𝟎𝓡𝝍 𝟎𝟑𝓡𝟎. (4 − 18). 根據幾何關係，使用餘旋定理，可得到𝜃4 的關係式 cos𝜃4 =. ‖ 05𝑝‖2 − 𝑑3 2 − 𝑑5 2. (4 − 19). 2𝑑3 𝑑5. 當手臂角度為𝜓時，且其值不為零，即手臂平面與參考平面不重合的狀態， 將(4-16) 式代入(4-18)式，可得 0 3𝓡. = 𝐴𝑐 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝐵𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝐶𝑐. (4 − 20). 其中， 𝐴𝑐 = 𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑 𝟎𝟑𝑹𝟎 𝟐 𝐵𝑐 = − 𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑 𝟎𝟑𝑹𝟎 𝑻 𝐶𝑐 = 𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑 𝟎𝟓̃ 𝒖𝟑 𝟎𝟑𝑹𝟎. 而 03𝓡 = 01𝓡 12𝓡 23𝓡，經計算後，可得 0 3𝓡. # =[ # 𝑠2 𝑐2. −𝑐1 𝑠2 −𝑠1 𝑠2 −𝑐2. # # ] 𝑠2 𝑠3. (4 − 21). 其中，#為省略部分，不影響所得結果，故略述。 比較(4-20)與(4-21)式矩陣相對元素，可得𝜃1 、𝜃2 、𝜃3 與手臂角度的關係式 - 43 -.
(56) −𝑎𝑐22 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑏𝑐22 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑐22 −𝑎𝑐12 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑏𝑐12 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑐12. (4 − 22). tan𝜃2 = −𝑎𝑐32 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑏𝑐32 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑐32. (4 − 23). −𝑎𝑐33 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑏𝑐33 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑐33 −𝑎𝑐31 𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑏𝑐31 𝑐𝑜𝑠𝜓 − 𝑐𝑐31. (4 − 24). tan𝜃1 =. tan𝜃3 =. 其中，𝑎𝑐𝑖𝑗 、𝑏𝑐𝑖𝑗 、𝑐𝑐𝑖𝑗 為相對於矩陣𝐴𝑐 、𝐵𝑐 、𝐶𝑐 的第 i 列第 j 行的元素。. 4.3 外骨架機器人之動態方程式 4.3.1 機械手臂機器人動能 剛體上某一質點 i，質量大小為 dm，其位置向量為𝒓𝒊，在此瞬間的速 1. 度為𝒗𝒊，則質點的動能可表示為𝑇𝑖 = (𝑑𝑚)𝒗𝟐𝒊 。整個剛體的動能可以積分 2. 的方式推導而得[37]，即. T𝑖 =. 1 ∫ 𝒗𝟐 (𝑑𝑚) 2 𝑚𝑖 𝒊. (4 − 25). 同理，機械手臂機器人的動能. 1 1 T = ∫ 𝒓𝟏 𝑇 𝒓𝟏 𝑑𝑚1 + ∫ 𝒓𝟐 𝑇 𝒓𝟐 𝑑𝑚2 2 2. (4 − 26). 在推導的過程中，需要應用到一些運算技巧來簡化算式[34-37-38]，如下 𝐒𝐢 = ∫ 𝝆𝒊 𝑑𝑚𝑖 = 𝑚𝑖 𝒅𝒊. (4 − 27) - 44 -.
(57) 其中𝑑𝑖 是質心位置向量. 𝑵 𝑻𝑵 𝒊𝑹 𝒊𝑹. =𝑰. (4 − 28). 其中 I 為單位矩陣. ̃𝒂 𝒂̃ 𝒃 = 𝒂 × 𝒃 = −𝒃 × 𝒂 = −𝒃. (4 − 29). ∂ 𝑻 ̃ 𝑹𝑻 𝒂 𝒂 𝑹𝒃 = 𝒃 ∂𝑹. (4 − 30). ̃𝑻 + 𝒃 ̃𝒂 ̃𝒃 ̃+𝒂 ̃̃𝒃 = 𝟎 𝒂. (4 − 31). 故動能. 1 𝑻 1 𝑻 ̃𝟐 𝑺𝟐 𝝎𝟏 𝑰𝟏𝝎𝟏 + 𝒎𝟐 𝝎𝟏 𝑻 𝑳̃𝟏 𝑳̃𝟏 𝝎𝟏 + 𝑳𝟏 𝑻𝝎𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝝎 2 2 1 + 𝝎𝟐 𝑻 𝑰𝟐𝝎𝟐 2. T=. (4 − 32). 由(4-29)式，動能 T 可得 1 1 𝑻 ̃𝟐𝝎𝟐 T = 𝝎𝟏 𝑻 𝑰𝟏 𝝎𝟏 + 𝒎𝟐 𝝎𝟏 𝑻 𝑳̃𝟏 𝑳̃𝟏 𝝎𝟏 + 𝝎𝟏 𝑻 𝑳𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 2 2 1 + 𝝎𝟐 𝑻 𝑰𝟐𝝎𝟐 2. 利用純量轉置其值不變，可改變上式第三項得. - 45 -. (4 − 33).
(58) 1 1 𝑻 T = 𝝎𝟏 𝑻 𝑰𝟏 𝝎𝟏 + 𝒎𝟐 𝝎𝟏 𝑻 𝑳̃𝟏 𝑳̃𝟏𝝎𝟏 + 2 2 1 ̃𝟐 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑻 𝑳 ̃𝟏 𝝎𝟏 + 𝝎𝟐 𝑻 𝑰𝟐𝝎𝟐 𝝎𝟐 𝑻 𝑺 2. (4 − 34). 又 𝟏𝟐𝑹 = 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝑵𝟐𝑹，再改變上式第三項得. 1 1 𝑻 T = 𝝎𝟏 𝑻 𝑰𝟏 𝝎𝟏 + 𝒎𝟐 𝝎𝟏 𝑻 𝑳̃𝟏 𝑳̃𝟏𝝎𝟏 2 2 1 ̃𝟐 𝑻 𝑵𝟐𝑹𝑻 𝑵𝟏𝑹𝝎 ̃𝟏 𝑳𝟏 + 𝝎𝟐 𝑻 𝑰𝟐 𝝎𝟐 +𝑺𝟐 𝑻 𝝎 2. (4 − 35). (4-33)式對𝝎𝟏 作偏微分，得 ∂T ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏𝝎𝟏 + 𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝝎𝟐 = 𝑰𝟏 𝝎𝟏 + 𝒎𝟏 𝑳 ∂𝝎𝟏. (4 − 36). 再對時間微分，得. 𝑑 ∂T ̃𝟏 𝑻𝑳 ̃𝟏 𝝎̇𝟏 + 𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹̇𝑺 ̃𝟐 𝝎𝟐 + 𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐𝝎̇𝟐 ( ) = 𝑰𝟏 𝝎̇𝟏 + 𝒎𝟏 𝑳 𝑑𝑡 ∂𝝎𝟏. (4 − 37). (4-34)式對𝝎𝟐 作偏微分，得 ∂T ̃𝟐 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑳 ̃𝟏𝝎𝟏 = 𝑰𝟐 𝝎𝟐 + 𝑺 ∂𝝎𝟐. (4 − 38). 再對時間微分，得 𝑑 ∂T ̃𝟐 𝑻 𝟏𝟐𝑹̇𝑳 ̃𝟏 𝝎𝟏 + 𝑺 ̃𝟐 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑳 ̃𝟏 𝝎̇𝟏 ( ) = 𝑰𝟐 𝝎̇𝟐 + 𝑺 𝑑𝑡 ∂𝝎𝟐 - 46 -. (4 − 39).
(59) 應用(4-30)式，(4-35)、(4-32)式分別對 𝑵𝟏𝑹、 𝑵𝟐𝑹作偏微分，得 ∂T 𝑵 𝑻𝑵 ̃ ̃ ̃𝟐 𝑺𝟐 𝟏 𝑳𝟏 𝟏𝑹 𝟐𝑹𝝎 𝑵 = 𝝎 ∂ 𝟏𝑹 ∂T 𝑵 𝑻𝑵 ̃ ̃ ̃𝟏 𝑳𝟏 𝟐 𝑳𝟐 𝟐𝑹 𝟏𝑹𝝎 𝑵 = 𝝎 ∂ 𝟐𝑹. (4 − 40) (4 − 41). 4.3.2 機械手臂機器人位能 以慣性參考座標 XNYNZN 作為量測位能的基準，重力加速度 g 向上為 正。對機械手臂機器人作位能的推導，即. 𝑈 = ∫ −𝒈𝑻 𝒓𝟏 𝑑𝑚1 + ∫ −𝒈𝑻 𝒓𝟐𝑑𝑚2 = −𝒈𝑻 𝑵𝟏𝑹𝑺𝟏 − 𝑚2 𝒈𝑻 𝑵𝟏𝑹𝑳𝟏 − 𝒈𝑻 𝑵𝟐𝑹𝟐. (4 − 42). 應用(4-30)式，上式分別對 𝑵𝟏𝑹、 𝑵𝟐𝑹作偏微分，得. ∂U ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝒈 − 𝒎𝟐 𝑳 ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝒈 = −𝑺 ∂ 𝑵𝟏𝑹 ∂U ̃𝟐 𝑵𝟐𝑹𝑻 𝒈 = −𝑺 ∂𝑵𝟐𝑹. (4 − 43) (4 − 44). 4.3.3 虛功與反向動力學 緊接著探討準座標與慣性參考座標間一些重要的關係式，以利其後計 算的運用:. 𝝎𝒊 =. 𝒊 𝒊−𝟏𝑹𝝎𝒊−𝟏. + 𝑫𝒊 𝜼̇𝒊 =. 𝒊 𝒊−𝟏𝑹𝝎𝒊−𝟏. + 𝛀𝒊. (4 − 45). 所以由上式，得 𝛀𝒊 = 𝝎𝒊 − 𝒊−𝟏𝒊𝑹𝝎𝒊−𝟏 = 𝑫𝒊 𝜼̇𝒊. (4 − 46) - 47 -.
(60) 則可得 δ𝜶𝒊 = δ𝜷𝒊 − 𝒊−𝟏𝒊𝑹𝝎𝒊−𝟏 = 𝑫𝒊 𝜹𝜼𝒊. (4 − 47). 其中，𝝎𝒊 是是連桿 i 對其參考座標的準角速度；𝑫𝒊 是連桿 i 相對於絕對座 標 的 準 速 度 與 尤 拉 角 轉 動 間 的 速 度 轉 換 矩 陣 (velocity transformation matrix)；𝜼̇𝒊 是連桿 i 相對於絕對座標的尤拉角角速度；𝛀𝒊 是連桿 i 相對於 絕對座標的準角速度；δ𝜶𝒊 是連桿 i 相對於絕對座標的準角位移；δ𝜷𝒊是連 桿 i 對其參考座標的準角位移；𝜹𝜼𝒊 是連桿 i 相對於絕對座標的尤拉角角位 移。. (4-45)式對時間微分求角加速度，得. 𝝎̇𝒊 =. 𝒊 𝒊−𝟏𝑹𝝎̇𝒊−𝟏. 𝒊 ̃ ̇ +𝑫 𝒊 𝜼̇𝒊 𝒊−𝟏𝑹𝝎𝒊−𝟏 + 𝑫𝒊 𝜼̈𝒊 + 𝑫𝒊 𝜼̇𝒊. (4 − 48). 由(4-45)(4-46)(4-48)式，可得下列結果. 𝛀𝟐 = 𝜃4̇ 𝒁𝟐. (4 − 49). 𝝎𝟐 = 𝟐𝟏𝑹𝝎𝟏 + 𝜃4̇ 𝒁𝟐. (4 − 50). ̇ 𝟐 ̈ 𝝎̇𝟐 = 𝟐𝟏𝑹𝝎̇𝟏 + 𝜃̃ 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹𝝎𝟏 + 𝜃4 𝒁𝟐. (4 − 51). 其中，𝒁𝟐 為沿著Z2 軸的單位向量。 由(4-47)式，可得. - 48 -.
(61) δ𝜶𝟏 = δ𝜷𝟏 = 𝑫𝟏 𝛿𝜼𝟏. 即 𝛿𝜼𝟏 = 𝑫𝟏 −𝟏δ𝜷𝟏. (4 − 52). δ𝜶𝟐 = δ𝜷𝟐 − 𝟐𝟏𝑹δ𝜷𝟏 = 𝑫𝟐 𝛿𝜼𝟐. 即. (4 − 53). 𝛿𝜼𝟐 = 𝑫𝟐 −𝟏δ𝜶𝟐 = 𝑫𝟐 −𝟏(δ𝜷𝟐 − 𝟐𝟏𝑹δ𝜷𝟏 ). (4 − 54). 接下來，有了以上的關係式及動能、位能的數學式與以準座標建立的 Lagrangian 方程式，即(4-2)(4-3)式。我們就可以正式推導機械手臂機器人 的反向動力方程式:. 首先將(4-36)(4-37)(4-40)(4-42)式代入(4-2)式，得. ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏) 𝝎̇𝟏 + (𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 ) 𝝎̇𝟐 + (𝝎 ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏) 𝝎𝟏 ̃𝟏 𝑰𝟏 + 𝑚2 𝝎 ̃𝟏 𝑳 (𝑰𝟏 + 𝑚2 𝑳 ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝒈 − 𝑚2 𝑳 ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝒈) = 𝑸𝟏 + 𝑭𝑪𝟏 +(−𝑺. (4 − 55). 再將(4-51)式代入上式，得. ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏 + 𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝟐𝟏𝑹) 𝝎̇𝟏 (𝑰𝟏 + 𝑚2 𝑳 ̇ 𝟐 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝜃̃ ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏) 𝝎𝟏 ̃𝟏 𝑰𝟏 + 𝑚2 𝝎 ̃𝟏 𝑳 + (𝑳 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹 + 𝝎 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝒁𝟐 𝜃4̈ + (−𝑺 ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝒈 − 𝑳 ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝑾𝟐 ) +𝑳 = 𝑸𝟏 + 𝑭𝑪𝟏. (4 − 56). 接著，將(4-38)(4-39)(4-41)(4-43)式代入(4-3)式，並以技巧(4-31)式對算式 作化簡，可得 ̃𝟐 𝟏𝟐𝑹𝑻 𝑳 ̃𝟏 𝝎̇𝟏 + 𝑰𝟐 𝝎̇𝟐 + 𝝎 ̃𝟐 𝑵𝟐𝑹𝑻 𝒈 = 𝑸𝟐 + 𝑭𝑪𝟐 ̃𝟐 𝑰𝟐 𝝎𝟐 − 𝑺 𝑺 - 49 -. (4 − 57).
(62) 再將(4-50)(4-51)式代入上式，得 ̇ 𝟐 ̈ ̃𝟐 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑻 𝑳 ̃𝟏𝝎̇𝟏 + 𝑰𝟐 𝟐𝟏𝑹𝝎̇𝟏 + 𝑰𝟐 𝜃̃ ̃𝟐 𝑰𝟐 𝟐𝟏𝑹𝝎𝟏 + 𝑺 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹𝝎𝟏 + 𝑰𝟐 𝒁𝟐 𝜃4 + 𝝎 ̃𝟐 𝑵𝟐𝑹𝑻 𝒈) = 𝑸𝟐 + 𝑭𝑪𝟐 ̃𝟐 𝑰𝟐 𝒁𝟐 𝜃4̇ +(−𝑺 𝝎. (4 − 58). 結合(4-56)(4-58)式，可得. 𝑻. 𝑻. ̃𝟏 𝑳 ̃𝟏 + 𝑳 ̃𝟏 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝟐𝟏𝑹 𝑰 + 𝑚2 𝑳 [ 𝟏 ̃𝟐 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑻 𝑳 ̃𝟏 + 𝑰𝟐 𝟐𝟏𝑹 𝑺. ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝒁𝟐 𝝎̇𝟏 𝑳 ][ ̈ ] 𝜃4 𝑰 𝒁 𝟐 𝟐. ̇ 𝟐 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝜃̃ ̃𝟏 𝑻𝑳 ̃𝟏 ̃𝟏 𝑰𝟏 + 𝑚2 𝝎 ̃𝟏 𝑳 𝑳 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹 + 𝝎 +[ ̇ 𝟐 ̃𝟐 𝑰𝟐 𝟐𝟏𝑹 𝑰𝟐 𝜃̃ 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹 + 𝝎 +[. ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝒈 − 𝑳 ̃𝟏 𝑵𝟏𝑹𝑻 𝑾𝟐 −𝑺 𝑸𝟏 + 𝑭𝑪𝟏 ] = [ ] 𝑵 𝑸𝟐 + 𝑭𝑪𝟐 ̃𝟐 𝟐𝑹𝑻 𝒈 −𝑺. 𝝎𝟏 ][ ̇ ] ̃𝟐 𝑰𝟐 𝒁𝟐 𝜃4 𝝎 0. (4 − 59). 最後，上式所得的結果即為機器手臂機器人的動力方程式，以下列形式簡 化表示:. 𝑴𝜣̈ + 𝑯𝜣̇ + 𝑮 = 𝝉. 𝑴 其中，𝑴 = [ 𝟏𝟏 𝑴𝟐𝟏. (4 − 60). 𝑴𝟏𝟐 ] 𝑴𝟐𝟐. ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏 + 𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝟐𝟏𝑹 𝑴𝟏𝟏 = 𝑰𝟏 + 𝑚2 𝑳 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝒁𝟐 𝑴𝟏𝟐 = 𝑳 𝑻. ̃𝟐 𝟏𝟐𝑹𝑻 𝑳 ̃𝟏 + 𝑰𝟐 𝟐𝟏𝑹 𝑴𝟐𝟏 = 𝑺 𝑴𝟐𝟐 = 𝑰𝟐 𝒁𝟐 𝑯=[. 𝑯𝟏𝟏 𝑯𝟐𝟏. 𝑯𝟏𝟐 ] 𝑯𝟐𝟐 - 50 -.
(63) ̇ 𝟐 ̃𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑺 ̃𝟐 𝜃̃ ̃𝟏 𝑻 𝑳 ̃𝟏 ̃𝟏 𝑰𝟏 + 𝑚2 𝝎 ̃𝟏 𝑳 𝑯𝟏𝟏 = 𝑳 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹 + 𝝎 𝑯𝟏𝟐 = 𝟎 ̇ 𝟐 ̃𝟐 𝑰𝟐 𝟐𝟏𝑹 𝑯𝟐𝟏 = 𝑰𝟐 𝜃̃ 4 𝒁𝟐 𝟏𝑹 + 𝝎 ̃𝟐 𝑰𝟐 𝒁𝟐 𝑯𝟐𝟐 = 𝝎. 𝑮 𝑮 = [ 𝟏] 𝑮𝟐. 𝝉=[. 𝑸𝟏 + 𝑭𝑪𝟏 ] 𝑸𝟐 + 𝑭𝑪𝟐. 𝝎̇𝟏 𝜣̈ = [ ̈ ] 𝜃4 𝝎𝟏 𝜣̇ = [ ̇ ] 𝜃4. (4-60)式所得的機器手臂機器人的動力方程式還不夠清楚表示軸承力 矩與轉動角度間的關係，還需要做更進一步的化簡。根據達朗伯特原理 (d’Alembert’s principle)，在一個動力系統中，拘束力所作的總虛功會等於 零，即 𝛅𝑾𝑪 = 𝑭𝑪𝟏 𝑻 𝜹𝜷𝟏 + 𝑭𝑪𝟐 𝑻 𝜹𝜷𝟐 = 𝟎. (4 − 61). 由(4-60)式，可得 𝑭𝑪𝟏 = 𝑴𝟏𝟏 𝝎̇𝟏 + 𝑴𝟏𝟐 𝜽̈𝟒 + 𝑯𝟏𝟏 𝝎𝟏 + 𝑮𝟏 − 𝑸𝟏. (4 − 62). 𝑭𝑪𝟐 = 𝑴𝟐𝟏 𝝎̇𝟏 + 𝑴𝟐𝟐 𝜽̈𝟒 + 𝑯𝟐𝟏 𝝎𝟏 + 𝑯𝟐𝟐𝜃4̇ + 𝑮𝟐 − 𝑸𝟐. (4 − 63). - 51 -.
(64) 而角速度與尤拉角之間的關係為. 𝝎𝟏 = 𝑪𝟏 𝜸̇ 𝟏. (4 − 64). 𝝎̇𝟏 = 𝑪̇𝟏 𝜸̇ 𝟏 + 𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏. (4 − 65). 將(4-64)(4-65)式分別代入(4-61)(4-62)式，得. 𝑭𝑪𝟏 = 𝑴𝟏𝟏 𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏 + 𝑴𝟏𝟐 𝜽̈𝟒 + (𝑴𝟏𝟏 𝑪̇𝟏 + 𝑯𝟏𝟏 𝑪𝟏)𝜸̇ 𝟏 + 𝑮𝟏 − 𝑸𝟏. (4 − 66). 𝑭𝑪𝟐 = 𝑴𝟐𝟏 𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏 + 𝑴𝟐𝟐 𝜃̈4 + (𝑴𝟐𝟏 𝑪̇𝟏 + 𝑯𝟐𝟏 𝑪𝟏)𝜸̇ 𝟏 + 𝑯𝟐𝟐𝜃4̇ + 𝑮𝟐 − 𝑸𝟐 (4 − 67). 又由(4-50)(4-63)式可得. δ𝜷𝟏 = 𝑪𝟏 𝛿𝜸𝟏. (4 − 68). δ𝜷𝟐 = 𝟐𝟏𝑹δ𝜷𝟏 + 𝒁𝟐 𝛿𝜃4. (4 − 69). 其中，𝑪𝟏 是連桿 1 相對於參考座標的準速度與尤拉角速度間的速度轉換矩 陣；𝛿𝜃4是手肘的轉動角位移。 將 (4-66)(4-67)(4-68)(4-69)式代入到(4-61)式，可得. - 52 -.
(65) 𝛅𝑾𝑪 = {𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟏 )𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟐 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟐 )𝜃4̈ + [𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟏 )𝑪̇𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑯𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑯𝟐𝟏 )𝑪𝟏 ]𝜸̇ 𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑯𝟐𝟏𝜃4̇ + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑮𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑮𝟐 ) − 𝑪𝟏 𝑻 (𝑸𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑸𝟐 )}𝑇 𝛿𝜸𝟏 + {𝒁𝟐 𝑻 𝑴𝟏𝟏 𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏 + 𝒁𝟐 𝑻 𝑴𝟐𝟐 𝜃̈4 + 𝒁𝟐 𝑻 (𝑴𝟐𝟏 𝑪̇𝟏 + 𝑯𝟐𝟏𝑪𝟏 )𝜸̇ 𝟏 + 𝒁𝟐 𝑻 𝑯𝟐𝟐𝜃4̇ + 𝒁𝟐 𝑻 𝑮𝟐 − 𝒁𝟐 𝑻 𝑸𝟐 }𝑇 𝛿𝜃4 = 0. (4 − 70). 將上式簡明表示為下列型式:. 𝛅𝑾𝑪 = 𝑲𝑪𝟏 𝛿𝜸𝟏 + 𝐾𝐶2 𝛿𝜃4 = 0. (4 − 71). 其中， 𝑲𝑪𝟏 = {𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟏 )𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟐 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟐 )𝜃4̈ + [𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟏 )𝑪̇𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑯𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑯𝟐𝟏 )𝑪𝟏 ]𝜸̇ 𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑯𝟐𝟏 𝜃̇4 + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑮𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑮𝟐 ) − 𝑪𝟏 𝑻 (𝑸𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑸𝟐 )}𝑇 (4 − 72). 𝐾𝐶2 = {𝒁𝟐 𝑻 𝑴𝟏𝟏𝑪𝟏 𝜸̈ 𝟏 + 𝒁𝟐 𝑻 𝑴𝟐𝟐 𝜃̈4 + 𝒁𝟐 𝑻 (𝑴𝟐𝟏 𝑪̇𝟏 + 𝑯𝟐𝟏 𝑪𝟏)𝜸̇ 𝟏 + 𝒁𝟐 𝑻 𝑯𝟐𝟐 𝜃̇4 + 𝒁𝟐 𝑻 𝑮𝟐 − 𝒁𝟐 𝑻 𝑸𝟐}𝑇. (4 − 73). 在𝛿𝜸𝟏 與𝛿𝜃4 不完全為零的情況下，欲使(4-71)式等於零， 𝑲𝑪𝟏 與 𝐾𝐶2必 須為零，(4-71)式等於零才會成立，故 𝑲𝑪𝟏 = 0. (4 − 74). 𝐾𝐶2 = 0. (4 − 75). 聯立(4-74)(4-75)式，可得 - 53 -.
(66) 𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟏 )𝑪𝟏 [ 𝒁𝟐 𝑻 𝑴𝟏𝟏 𝑪𝟏𝜸̈ 𝟏. 𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟐 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟐 ) 𝜸̈ 𝟏 ][ ̈ ] 𝜃4 𝒁𝟐 𝑻 𝑴𝟐𝟐. [𝑪𝟏 𝑻 (𝑴𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑴𝟐𝟏 )𝑪̇𝟏 + 𝑪𝟏 𝑻 (𝑯𝟏𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑯𝟐𝟏)𝑪𝟏 ] 𝑪𝟏 𝑻 𝟏𝟐𝑹𝑯𝟐𝟏 𝜸̇ 𝟏 +[ ][ ̇ ] 𝜃4 𝒁𝟐 𝑻 (𝑴𝟐𝟏 𝑪̇𝟏 + 𝑯𝟐𝟏 𝑪𝟏 ) 𝒁𝟐 𝑻 𝑯𝟐𝟐 𝑪𝟏 𝑻 (𝑮𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑮𝟐 ) +[ ] 𝒁𝟐 𝑻 𝑮𝟐 𝑪𝟏 𝑻 (𝑸𝟏 + 𝟏𝟐𝑹𝑸𝟐 ) =[ ] 𝒁𝟐 𝑻 𝑸𝟐. (4 − 76). 充氣時，人工肌肉氣壓缸拉動鋼索，使關節處的軸承作動，產生了力 矩。應用虛功原理，計算這些力矩所做的虛功:. δ𝑾𝑷 = 𝝉𝟏 𝑻 𝜹𝜼𝟏 + 𝝉𝟐 𝑻 𝜹𝜼𝟐 = 𝝉𝟏 𝑻𝜹𝜼𝟏 + 𝜏𝑒 𝛿𝜃4 = 𝑸𝟏 𝑻 𝛿𝜷𝟏 + 𝑸𝟐 𝑻 𝜹𝜷𝟐. (4 − 77). 𝑸𝟏 = 𝑫𝟏 −𝑻𝝉𝟏 − 𝟐𝟏𝑹𝑫𝟐 −𝑻𝝉𝟒. (4 − 78). 𝑸𝟐 = 𝑫𝟐 −𝑻𝝉𝟒. (4 − 79). 其中，𝛅𝑾𝑷 為四個人工肌肉氣壓缸產生的力矩所作的虛功；𝝉𝟏 是肩膀處 三個軸承的致動致力矩向量；𝝉𝟐 是手肘處軸承的力矩向量；𝜏𝑒 是手肘處軸 承以𝒁𝟐 為轉軸的致動力矩。. 將(4-68)(4-69)式代入(4-77)式，可得. δ𝑾𝑷 = (𝑸𝟏 𝑻 𝑫𝟏 + 𝑸𝟐 𝑻 𝟐𝟏𝑹𝑫𝟏)𝜹𝜼𝟏 + 𝑸𝟐 𝑻 𝑫𝟐𝜹𝜼𝟐 而𝑫𝟏 = 𝑪𝟏 ，𝑫𝟐 = 𝒁𝟐 - 54 -. (4 − 80).
Outline
相關文件
逾規定上限之外國人人數 = 聘僱外國人人數（經扣除外加案外國人）- 僱用 員工總人數（經扣除外加案外國人）×
機器人、餐飲服務、花藝、雲端運算、網路安全、3D 數位遊戲藝術、旅 館接待、行動應用開發、展示設計、數位建設
Effective Use of e-Learning Materials to Facilitate Assessment for Learning in English Language in Primary School.
If the best number of degrees of freedom for pure error can be specified, we might use some standard optimality criterion to obtain an optimal design for the given model, and
In my opinion, the financial statements give a true and fair view of the financial position of the HKSAR Government Scholarship Fund as at 31 August 2021, and of its
Festivals of the Jewish Year: a Modern Interpretation and Guide (pp.31-58).. New
In order to promote urban renewal, urban design, and urban landscape movement, Hsinchu city government held “2000 Chu-chieh youth urban designer camp” for two sessions in year
The main purpose of this paper is using Java language with object-oriented and cross platform characteristics and Macromedia Dreamweaver MX to establish a JSP web site with
