National Sun Yat-sen University Institutional Repository:Item 987654321/30170

行政院國家科學委員會補助專題研究計劃成果報告

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　　　　　不確定廣義系統強韌極點箝制之研究

　　　　　　※

※　　　　　　　Robust Pole Clustering in LMI Regions　　

　

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for Uncertain Descriptor Systems

　　　　

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計劃類別: R個別型計劃 £整合型計劃

計劃編號: NSC 89-2213-E-110-034

執行期限: 88 年 08 月 01 日至 89 年 07 月 31 日

計劃主持人: 李 立

本成果報告包括以下應繳交之附件：

£赴國外出差或研習心得報告一份

£赴大陸地區出差或研習心得報告一份

£出席國際學術會議心得報告及發表心論文各份

£國際合作研究計畫國外研究報告書一份

執行單位：中山大學電機系

中 華 民 國 89 年 10 月 9 日

行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告

不確定廣義系統強韌極點箝制之研究

Robust Pole Clustering in LMI Regions for Uncertain Descriptor Systems

計劃編號: NSC 89-2213-E-110-034

執行期限: 88 年 08 月 01 日至 89 年 07 月 31 日

主持人: 李立 中山大學電機系 副教授

一、中文摘要 本計劃係針對不確定廣義系統之強韌極 點箝制問題進行研究。吾人探討當系統具有 結構化或非結構化不確定項時，如何以易於 數值求解的線性矩陣不等式為基架，以期建 立強韌極點箝制的判定準則。此一研究將現 有對標準系統的相關結果，推展到更廣泛實 用的廣義系統架構中。 關鍵詞: 廣義（狀態空間）系統、強韌極點 箝制、線性矩陣不等式 Abstract

This project aims at the study of robust pole clustering for descriptor systems subject to norm bounded uncertainties with or without structured information. We'll continuously base our research on the LMI-based framework. Therefore, the main issue of the research is to establish, for each kind of uncertainty, an LMI-based condition for identifying pole clustering in the specified LMI regions. The numerical tractability inherited by the LMI-based results will provide much practical value to this research. Moreover, this research will extend and unify current techniques of studying pole clustering in LMI regions for both standard and generalized systems.

Keyword: descriptor systems, robust pole clustering, linear matrix inequality (LMI) 二、緣由與目的 廣義系統（descriptor systems）的數學模 型包含微分（以描述其動態）和代數（以描 述其限制條件）兩種結構。由於其對實際系 統的描述較標準系統模型更直接，適用性更 廣泛，至今已有許多應用的實例，如機器人 系統、電力系統、大型網路系統，以及經濟 系統等[1-3]。許多標準（狀態空間）系統的 研究結果，如可控性、可察性，靈敏度分析、 最佳調節器設計、極點佈置等，也相繼被推 展到廣義系統[2,4]。近年來，控制學界對動 態系統之穩定度及性能的強韌性研究的熱潮 [5]，亦帶動了對廣義系統的強韌穩定性，強 韌極點部置，以及強韌控制等相關研究[6-8]。 極點箝制（pole clustering）問題因極點 位置不僅決定系統穩定性，其對系統暫態響 應及強軔性等均有影響，故此一問題廣受重 視[7,9-11]。尤其在[11]的研究中，提出以線 性矩陣不等式(LMI)判斷極點箝制在以矩陣 不等式描述的區域，例如：扇形、圓形、橢 圓形等區域(統稱之為 LMI 區域)，引起我們 研究的興趣。當我們在考量較實際的控制狀 況時，由於系統模式建立時精確度的問題或 者訊號量測誤差等因素，因而引進不確定 項，這會使得針對原控制系統（不考慮不確 定項）所作極點箝制的分析，不再適合使用。 因此，強韌極點箝制的問題在對控制系統的 分析上是重要的[12]。但是就我們所了解， 並沒有文獻在探討不確定廣義系統將極點箝 制在 LMI 區域的問題。 有鑑於前述對不確定廣義系統強韌極點 箝制研究的缺乏，以及應用 LMI 的理論能有 效地處理極點箝制問題[9,11,12]，本計劃擬 將以 LMI 理論為基礎，發展出一套實用且 有效的判斷準則，以解決不確定廣義系統之

強韌極點箝制問題。此一研究將在統合運用 LMI 的技巧於廣義系統的極點箝制相關研究 中具有貢獻。相信其結果將有助於了解此研 究方向的發展性，如廣義系統之極點箝制強 韌性分析與設計、利用狀態或輸出回授做強 韌極點箝制設計等。 三、結果與討論 本計劃所考慮的不確定廣義系統（僅以 連續系統為例）描述如下：

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Σ: E x t Ax t Bu t y t Cx t Du t • = + = + Δ: u t

( )

= ∆y t

( )

其 中 n n R A E, ∈ × , B∈Rn×m, C∈Rz×n, m z R D∈ × , ∆∈Rm×z代表廣義系統的不確定 項。為了方便問題的探討，可以將整個不確 定廣義系統描述成 E x t

( ) ( ) ( )

A x t • = ∆ 其中A

( )

∆ ≡ +A B I

(

−∆D

)

−1∆C 。 在計劃中針對下列兩種的不確定結構做 分析： （1） Δ是常數矩陣，不知其元素的真正 值，只知其 norm 小於或等於 1。以

{

: ₂ 1

}

1 ≡ ∆ ∆ ≤ Ω 表 示 不 確 定 項 所 成的集合。 （2） Δ是常數矩陣，只有對角線元素不為 零，不知其元素的真正值，只知絕對 值小於或等於 1。在這種情況下系統 矩陣 D 是一方陣，以Ω2 ≡

{

∆=diag

(

δ₁,...,δ_m

)

: ∆ ₂ ≤1

}

表示不確定項所 成的集合。 在第一種狀況中，吾人將以

(

E,A

( )

Ω1

)

表示 所 有 不 確 定 系 統 ， 而 在 第 二 種 狀 況 以

( )

(

E,AΩ2

)

表示。如果是不含不確定項系統 則以

(

E,A

)

表之。 在本計劃中，所考慮的強韌極點箝制的 區域為 LMI 區域，其定義如下[11]： 定義 1: 一個在複數平面的子集合 D，如果存 在一個對稱矩陣 L 和一個同大小的方陣 H 使 得

{

}

D _≡ z _∈C _: L zH_{+ +}zHT _<0 則稱這個集合 D 為一 LMI 區域。常以 D(L, H) 表示之。 在不失一般性的情形下，本計劃所考慮 的 LMI 區域是在複數左半平面。在廣義系統 中，所考慮的極點箝制問題為[9] 定義 2: 假如

(

E,A

)

是正規 (regular)且無脈 衝 (impulse-free),同時其所有的有限極點均 落 在 D(L,H) 區 域 , 則 稱 這 系 統 是 D(L,H)-admissible。 根 據 [9] 的 研 究 ， 對 於 不 確 定 系 統

( )

(

E,AΩi

)

，i=1,2 的極點箝制有如下的定 義。為了符號使用上的方便，我們令 ( )

(

)

EQ I AP H AP H EP L Q P A E M_DLH T T ⊗ + ⊗ + ⊗ + ⊗ ≡ ) ( , , , , ( )

( )

AP H P A H A P M_DH , ≡ ⊗ T + T ⊗ T 定義 3: (I)不確定系統

(

E,A

( )

Ω_i

)

，i=1 或 2 被 稱為 quadratically D(0,H)-admissible 假如存 在一矩陣 n n R P∈ × 對於所有∆∈Ω_i 滿足 ( )

(

( )

)

0 0 , ≥ = < ∆ E P P E P A M T T H D (II)不確定系統

(

E,A

( )

Ω_i

)

，i=1 或 2 被稱為 quadratically D(L,H)-admissible 假如存在矩 陣 n n R Q P, ∈ × 對於所有∆∈Ω_i 滿足 ( )

( )

( )

( )

0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 , , , ( 0 ) , , , ( 1 , 0 , ≥ = ≥ = < ∆ ≤ ∆ T T D H L D EQ EQ EP EP Q A E M Q P A E M 根據定義 3，我們可以發現 quadratically D(L,H)-admissible 是一種較保守的強韌極點 箝制準則。這是因為對於不同的不確定項 quadratically D(L,H)-admissible 要求相同的 P、Q 滿足定義上的矩陣不等式。但是根據[9] 的研究可知，對於每一特定的不確定項∆， 只要能求得P 、_∆ Q 滿足定義上的矩陣不等_∆

式亦能保証強韌極點箝制性質。因此，在下 面我們定義了一個條件較弱的強韌極點箝 制： 定義 4: 不確定系統

(

E,A

( )

Ω_i

)

， i=1 或 2 是 robustly D(L,H)-admissible 假 如 對 於 所 有 i Ω ∈ ∆ ，

(

E,A

( )

∆

)

是 D(L,H) - admissible。 在利用定義 3 和定義 4 結果來判定強韌 極點箝制的問題時，必須去解每一個Δ所對 應的 LMI。然而，Δ屬於一無限集合，所以 如此直接推廣的判定準則需要解無限多的 線性矩陣不等式，故沒有實用價值。因此， 本計劃發展出僅以數個 LMI 為強韌極點箝 制的判斷準則。吾人針對

(

E,A

( )

Ω₁

)

發展了 quadratically D(L,H)- admissible 的 判 斷 準 則 ， 而 對 於

(

E,A

( )

Ω₂

)

則 發 展 了 robustly D(L,H)-admissible 的判斷準則。 根 據 定 義 3 和代 數 上的 推 導， 對 於 quadratically D(L,H)-admissible 我 們 提 出 LMI 型式的充分條件。在使用判斷的準則之 前需將矩陣 H 分解為 2 1 H H H = T

其中H₁,H₂均為 full row rank 矩陣。針對 L=0

和L≠0兩種狀況，我們分別提出兩個判斷 準則如下。 定 理 1: 不 確 定 系 統

(

E,A

( )

Ω₁

)

是 quadratically D(0,H)-admissible 假如存在矩 陣 n n R P∈ × 和M >0使得 ( )( ) 0 , 2 1 2 1 <             ⊗ − ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ ⊗ I M D M C MH D M I M P B H C M H B P H P A M T T T T T T H D 0 ≥ =P E P ET T 定 理 2: 不 確 定 系 統

(

E,A

( )

Ω1

)

是 quadratically D(L,H)-admissible 假如存在矩 陣 n n R Q P, ∈ × 和M >0使得 ( )( ) ( ) 0 , , , 2 1 2 1 , ≤             ⊗ − ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ − ⊗ ⊗ ⊗ I M D M CP H D M I M B MH CP H B M H Q P A E M T T T T T H L D ( ) ( ) 0 <             − − + I D CQ D I B CQ B AQ AQ T T T T ( ) ≥0 = _EP T EP ( ) ≥0 = _EQ T EQ 對於 robustly D(L,H) -admissible 的問 題，為了推導上的方便我們限制 LMI 的解 ∆ P 、Q 要有如下的型式。_∆ J P J P P P P T m i i i 0 ˆˆ 1 0+ = + ∆ ≡

∑

= ∆ δ J Q J Q Q Q Q T m i i i 0 ˆˆ 1 0 + = + ∆ ≡

∑

= ∆ δ 其 中

[

]

T m n I J = ⊗ 1,...,11_× ， ∆ˆ=∆⊗In ，

(

P Pm

)

diag Pˆ= ₁,..., ，Qˆ=diag

(

Q1,...,Q_m

)

。定義 2 Ω 的頂點(vertices)所成的集合為

{

∆∈Ω₂: _i =1,i =1,...,m

}

≡ Θ δ 。 針對 L=0 和L≠0兩種狀況，我們也提出了 以下兩個 LMI 型式的充分條件。 定理 3: 不確定系統

(

E,A

( )

Ω₂

)

是 robustly D(0,H)-admissible 假 如 存 在 矩 陣 P ，0

(

P Pm

)

diag Pˆ= 1,..., ， T S S= ，M，和R>0使 得 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 ) ( ) ˆ ( ) ( ) 0 , ( 2 2 1 1 0 1 0 1 ) ( <             ⊗ ⊗ ⊗                   ⊗ ⊗ ⊗ +           ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ I I J I D I C H R M M S I I J I D I C H JB P H JA P H P J B H P B H JA P H P B H P A M T T T T T T T T T T T T H D 且對於所有∆_k ∈Θ， m k=1,...,2 ，滿足 0 ) ˆ , ( ) ˆ , ( _≥     ∆ ⊗ ∆ ⊗             ∆ ⊗ ∆ ⊗ K K T T K K diag I I I R M M S I I diag I 0 ) ( ) (∆ =P ∆ E≥ P E T K K T 定理 4: 不確定系統

(

E,A

( )

Ω₂

)

是 robustly D(L,H)-admissible 假 如 存 在 矩 陣 P ，0

(

P Pm

)

diag Pˆ= ₁,..., 和Q ，0 Q0 =diag

(

Q1,...,Qm

)

和 T S S= ， M ， R<0 和 T U U = ， W， 0 < V 使得

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ) ˆ ( 0 ) , ˆ , ˆ , ( ) ( ) , ˆ , ˆ , ( ) , , , ( 1 1 2 0 2 2 0 2 0 0 ) , ( ≤             ⊗ ⊗ ⊗                   ⊗ ⊗ ⊗ +           ⊗ ⊗ ⊗ Φ ⊗ Φ I I D I B H J I R M M S I I D I B H J I P CJ H CP H P CJ H J Q P E CP H J Q P E Q P A E M T T T T T T T T T T T H L D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ) ˆ ( 0 ˆ ) ( ) ˆ ( ) 0 , , , ( 0 0 0 ) 1 , 0 ( <                               +           I I D B J V W W U I I D B J Q CJ CQ Q CJ JA Q CQ JA Q Q A E M T T T T T T T T T T T T T T T D 且對於所有∆_k ∈Θ， m k=1,...,2 ，滿足 0 )) ( ( ) ( 0 )) ( ( ) ( 0 ) , ˆ ( ) , ˆ ( 0 ) , ˆ ( ) , ˆ ( ≥ ∆ = ∆ ≥ ∆ = ∆ ≥       ∆ ∆             ∆ ∆ ≥       ∆ ⊗ ∆ ⊗             ∆ ⊗ ∆ ⊗ T K K T K K K K T T K K K K T K K EQ EQ EP EP diag I V W W U diag I I I diag I R MT M S I I diag I 其中 T T T T T T T JA P H JE Q I JE P L J Q P E ( ˆ ) ˆ 2 1 ) ˆ ( 2 1 : ) , ˆ , ˆ , ( = ⊗ + ⊗ + ⊗ Φ 四、計劃成果自評 1﹒學術理論貢獻: （I） 針對不確定廣義系統之強韌極點箝 制問題提出一套完整的理論。 （II） 開創性地將線性矩陣不等式理論應 用到不確定廣義系統的研究上，使得 強韌極點箝制、正規性和脈衝免除行 為能很有效地到予以判定。 （III） 將標準系統之非嚴格型（nonstrict） 線性矩陣不等式的研究結果推廣到 廣義系統的研究領域。 2﹒實際應用貢獻 對於一些適合以廣義系統建立其動態模 型的實例，如機械人系統或大型網路系統 等，本計劃的研究成果將可很快速、有效地 判定其極點箝制的區域。尤其，當系統模式 具有非時變之不確定項時，系統之正規性、 脈衝免除性、以及極點箝制等特性仍能經由 數值分析很準確快速地得知，故深具實用價 值。 五、參考文獻

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