脊背橋動力試驗之模擬分析

國立交通大學

土木工程研究所

碩士論文

脊背橋動力試驗之模擬分析

Simulated analyses of dynamic tests for

extra-dosed bridges

研究生：楊加地

指導教授：黃炯憲 博士

脊背橋動力試驗之模擬分析

研究生：楊加地 指導教授：黃炯憲 博士 國立交通大學土木工程學系碩士班 摘要 近年來脊背橋已有運用在台灣之案例。由於台灣位於地震頻繁之 區域，有必要對脊背橋之動態特性進行探討。本研究主要針對脊背橋 在地震作用或車行載重下之模擬分析，探討其動態特性。論文內容分 成三大部分來探討。首先，量得素地之微地動反應，識別出基地之顯 著週期。再利用有限元素軟體 SAP2000 建立橋梁模型，比較不同鋼 纜預力值對模態之影響；並模擬地震反應，以不同數量之預定量測點 反應識別脊背橋之動態特性(頻率、阻尼比與模態)，並與理論值比 對，驗證識別結果之正確性。最後，利用 SAP2000 模擬車行載重之 分析，討論不同車流下之動力放大係數。

Simulated analyses of dynamic tests for

extra-dosed bridges

Student: Chia-Di Yang Adviser: C. S. Huang

Department of Civil Engineering National Chiao-Tung University

Abstract

Extra-dosed bridges have been used in Taiwan where earthquakes occur frequently. It is necessary to investigate the dynamic properties of extra-dosed bridges in depth. The main purposes of the work are to determine the dynamic properties of extra dosed bridges from its simulated responses of dynamic tests. This thesis includes three subjects : (1) to determine the predominant period of the site where the extra-dosed bridge will be built from the ambient vibration responses of the ground； (2) to identify the model parameters of the extra-dosed bridge under consideration from its simulated earthquake responses, which are computed by the commercial finite element package SAP2000；(3) to estimate the dynamic amplification factors of the bridge from its simulated responses under different traffic loads.

誌謝

本論文能順利完成，首先要感謝恩師 黃炯憲教授的指導。老師 在治學方面的嚴謹態度，令我印像最為深刻。在研究所這段求學過 程，老師不僅在研究方面給予明確的教導，關於為人處事更是在老師 身上學習良多。另外，感謝鄭復平老師、趙文成老師、劉俊秀老師與 洪士林老師在論文口試期間提出許多寶貴建議，使本論文更加完善。 在學期間，感謝研究室學長們於課業上的指教，俾使課業問題皆 能迎刃而解。感謝同學及學弟妹們提供生活上的娛樂，讓苦悶的研究 生活充滿驚奇。感謝一路陪我走過的朋友們，有你們的扶持，使我並 不孤單。相信在讀研究所期間的這些美好的回憶，將會永遠長存我的 心中。 感謝家人的支持，讓我無後顧之憂，順利完成學業。尤其是我的 母親，有她的鼓勵，我才有這個機會進修研究所。最後將此論文獻給 我最摯愛的母親，若知道我順利獲得碩士學位，相信您必定十分欣慰。 加地 2007.1.26

目錄

表目錄...VII 圖目錄... IX 第一章 緒論 ...1 1.1 研究動機與目的...1 1.2 文獻回顧...1 1.3 論文內容...4 第二章 素地量測結果分析 ...6 2.1 現地微動量測...6 2.2 量測結果分析...7 第三章 有限元素模型建立 ...11 3.1 脊背橋概略介紹...11 3.2 脊背橋有限元素模型建立...11 3.3 鋼纜預力值與橋梁模態之關係...13 第四章 模擬地震反應之系統識別 ...17 4.1 識別方法...17 4.2 以SAP2000 模擬地震反應 ...21

4.3 忽略鋼纜自重之脊背橋單一方向反應資料分析...24 4.3.1 均勻輸入(uniform input)...24 4.3.2 多支承輸入(multiple input) ...29 4.4 考慮鋼纜自重之脊背橋單一方向反應資料分析...34 4.4.1 均勻輸入（uniform input） ...34 4.4.2 多支承輸入(multiple input) ...40 4.5 考慮鋼纜自重之脊背橋三方向反應資料分析...46 第五章 車行載重之模擬分析 ...50 5.1 以SAP2000 模擬車行荷重問題 ...51 5.2 以SAP2000 分析簡支梁移動載重之驗證 ...51 5.3 脊背橋之車行載重分析...56 5.3.1 收斂性分析...56 5.3.2 影響線與動態車行載重反應之比較 ...57 5.3.3 單一卡車單向行駛模擬結果 ...59 5.3.4 兩台卡車相距 30 公尺單向行駛模擬結果 ...59 5.3.5 兩台卡車對向行駛模擬結果 ...60 5.3.6 實際監測位置之反應 ...60 5.4 與其他文獻之比較...61 第六章 結論與建議 ...63

第一章 緒論

1.1 研究動機與目的

由於功能或美觀之考量，近年來脊背橋的結構形式已經很廣泛的 運用在世界各地。台灣位於地震頻繁之區域，因此對於脊背橋結構的 真實動態特性有必要深入探討。利用現地所量測之動態反應來識別結 構之動態特性(如自然振動頻率、振態與阻尼比)，是目前相當便利的 方法。根據識別結果可以驗證當初設計時之假設是否合理，以及完工 後與設計時之差異。但由於經濟考量，監測系統常無法量測完整之輸 入力與輸出反應。故實有必要在橋梁完工及監測系統啟動前，針對監 測系統之量測點之反應進行數值模擬，探討依此量測點反應所識別結 果之準確性。若有可能或必要，尚可調整量測點。 本研究工作分為三大部分：(1)利用基地地表微動量測資料，識 別脊背橋所在地之土層顯著週期；(2)利用設計圖建立有限元素模 型，模擬監測系統點之地震反應，並進一步依此反應識別系統動態特 性；(3)利用所建立有限元素模型分析移動載重下之動態放大係數， 以利將來橋體完成後進行車流載重試驗。

1.2 文獻回顧

結構物耐震設計中，為簡化分析或由於土壤性質之難掌握，通常

不會嚴謹地考慮結構-土壤互制；但為考慮工址地盤與土層對結構物 之影響，耐震設計規範中就以土層放大效應(土層顯著週期及放大倍 率)來簡化分析。很顯然地，不同場址有不同之土層放大效應。而且， 該土層放大效應會隨地震大小而改變。微地動量測常被用來預估場址

之土層放大效應；其常用分析方法有兩類：(1)傅氏譜或能量密度譜(含

auto-spectrum與cross-spectrum)技巧 (如Kanai and Tanaka (1961)、Ohta 等 人 (1978)、葉超雄等人 (1981)、 Safak (1991)與 Dravinski等 人 (1992))；(2)頻譜比法 (Kagami等人 (1982, 1986)、Nakamura (1989)、 Haile (1992)與溫國樑等人 (1997))。

雖然日本於1950年代即利用地表微動量測估算土層放大效應 (Kanai and Tanaka (1954))，且持續被使用；但微地動量測與地震反應 所得土層放大效應關連性之爭議一直存在，正反兩面之觀點可參考 Kudo (1995)與Brad (1998)的文獻回顧文章。一般認為，微地動量測所 估算得土層顯著週期與地震反應所得者一致，尤其在軟弱土層。但是 兩者所得之放大倍率一般是不一致的。Sardina和Midorikawa (2004) 比較Yokohsama市地震網之15筆地震資料與150工址之微地動量測所 得土層放大效應，以土層分類來探討微地動量測與地震反應所得土層 放大效應之關連性。 利用地震反應資料識別結構動態特性之傳統方法可以大概分為

頻率域與時間域分析法。頻率域之分析方法是將量測反應透過FFT轉 換至頻率域，估算頻率響應函數。雖然頻率域可以容易看出反應之頻 率特性，但由於FFT之特性及量測時間不夠長，常會造成洩漏(leakage) 及解析度不夠之問題，造成難以識別具有強烈模態干擾系統。於時間 域分析中，時間序列法如ARX或ARMAX模式 (Safak (1991)、Loh (1996)、Satio (1996))和次空間法 (VanDerVeen (1993) and Huang (2001))亦常被應用於結構物之地震反應，估算其動態特性。當量測自 由度較少時或反應具有較大雜訊時，上述時間域分析方法常因須提高 識別模式階數，導致求解過程困難。為了改善以上識別方法，Huang 等人 (2006)利用連續小波轉換，將離散化之運動方程式轉換至小波 空間，識別結構系統之自然振動頻率、阻尼比以及模態。如此，可有 系統地進行濾波並利用小波轉換之平移不變性提高識別之效率。 大多數動力放大效應之研究著重於橋樑的動態車行載重。早時評 估動力放大係數的參數僅考慮跨距或主振動頻率，Paultre et al. (1992) 將過去相關的分析及實驗研究，做了完整的文獻回顧。UrrutiaGalicia 和SalazarHernandez (1992)開始研究動力放大係數之最大值與簡支梁 變形之關係，並將研究延伸至不同支承條件的梁。Wang和Huang (1992) 則利用有限元素分析軟體來模擬自行假設斷面的斜張橋於受移動荷 重之衝擊效應，其使用懸吊系統來模擬載重車輛，並將實際測量所得

路面粗糙度數據區分成三個等級；一般、好和非常好，以討論路面粗 糙度對斜張橋受移動載重的影響，根據其結果歸納出兩個結論，(1) 當路面粗糙度等級為非常好時，DA大部分皆在0.2以下。但隨著路面 狀況漸差，DA將急遽增加。(2)衝擊效應對斜張橋主梁產生最大影響 的位置為主梁靠近橋塔兩側處，當載重車車速為70km/hr，此處最大 DA約為0.4。Humar和Hashif (1993)證明動力放大係數與車行速度和車 重之關係，推翻先前動力放大係數僅考慮單一參數之觀念。當車輛以 某一速度經過橋梁時，產生之反應(位移、剪力或彎矩)會大於靜態載 重下之反應。為了表示兩者之關係，Paultre等人 (1995)定義一係數 DAF(Dynamic Amplification Factor)，即最大動態反應與最大靜態反應 相除之值。Paultre 等人希望能建立一套橋梁車行試驗之標準以供後 人進行類似試驗參考。

1.3 論文內容

本文內容共分為六個章節，說明如下： 第一章 緒論。闡述研究動機與目的、文獻回顧以及內容大綱。 第二章 素地量測結果分析。利用素地實際量測結果，探討現地土層 之顯著週期。 第三章 有限元素模型建立。本研究使用有限元素軟體SAP2000建立

脊背橋模型，進行模態分析求得脊背橋之自然振動頻率與模 態。並探討鋼纜預力值及鋼纜之質量考慮與否對模態之影 響。 第四章 模擬地震反應之系統識別。將地震力導入SAP2000所建立之 脊背橋模型，得到橋體之加速度歷時反應。利用這些反應當 作現地量測之訊號做系統識別，並將識別結果與模態分析結 果比較。 第五章 車行載重之模擬分析。同樣以SAP2000模擬脊背橋遭到不同 形式車流下之動態反應，求得其DAF值並比較。 第六章 結論與建議。將本研究之成果做一整合性探討，並提出未來 可改進與可繼續研究之方向。

第二章 素地量測結果分析

根據以往的經驗，當結構物因地震作用受損時，往往與地盤振動 特性有很密切的關係。地盤振動特性的重要特性之一，即是地盤振動 基本頻率。地盤受到輕微擾動時，地盤振動之頻率含量會集中於其顯 著週期附近。當地震發生時，若地震波頻率與地盤振動基本頻率相 近，則接近基本頻率之振動含量會有振幅放大效應。因此，對於地震 作用下結構物之行為，有必要探討地盤振動基本頻率。在脊背橋建造 前，先至現地量測素地微動量，以瞭解基地特性有其必要性。

2.1 現地微動量測

地表的振動無時無刻都在發生，其振動來源有可能是地球顫動、 潮汐、附近人類的文明活動等。藉由地表的微振動量測，可獲得關於 土層的重要特性。 一、量測儀器 本研究量測微動所用之儀器為本系所擁有之微動量測系統，其集 錄系統規格如表 2.1 所示。感應器為速度計，其規格如表 2.2 所示。 儀器外觀如圖2.1～2.2 所示。圖 2.3 為現地量測照片。 二、量測位置

微地動施測位置總計有四點，分別位於脊背橋 A1 橋台之地表、 橋塔P1001 之混凝土基礎上、橋塔 P1001 附近地表與橋塔 P1002 附 近地表，每個測點皆量測三互相垂直方向，分別為南北向、東西向與 垂直向。 三、量測時間 一般在進行量測時，應盡量避開白天基地人員與機具活動的影 響。故量測時間由晚上八時開始，每三十分鐘記錄十分鐘，於隔天凌 晨一時四十分記錄完畢。取樣頻率為 200Hz，每次紀錄有 10 分鐘反 應資料。

2.2 量測結果分析

傳統上對於場址效應之探討，常使用雙站頻譜比法來預測地盤振 動基本頻率。在實測的地震資料中，其主要受到震源效應(Source

effect)、路徑效應(Path effect)與場址效應(Site effect)之影響，其關係 在時間域為三個效應作摺積(convolution)，簡單以下式表示：

( )

t S

( ) ( ) ( )

t Pt S t R = o * * i (2.1)

( )

t R 表在時間域的地震記錄，而So

( )

t 、P

( )

t 與Si

( )

t 分別表示震源、路徑 與場址三個效應。在頻率域則是此三個效應相乘

( )

f S

( ) ( )

f P f S

( )

f R = _o × × _i (2.2)

欲求特定站S與參考站R之場址放大效應時，可將特定站之加速度頻 譜R_s

( )

f 相對於參考站之加速度頻譜R_r

( )

f 求其頻譜比值，即

( )

( )

S

( )

( )

f P

( )

( )

f S

( )

( )

f f S f P f S f R f R ir r or is s os r s × × × × = (2.3) 若兩筆資料其震源與路徑效應可相消的話，則留下的即是兩站間場址 的效應。表示如下：

( )

( )

S

( )

( )

f f S f R f R S ir is r s r s, = = (2.4) 使用雙站頻譜比法需要一個參考測站當作岩盤反應，一般以位於岩盤 露頭以上之位置作參考測站。但是常常在所研究的場址附近地區很難 找到直接位於岩盤露頭之參考測站，因此在實務上之應用有難度。 Nakamura在1989年利用微地動量測資料估算得到場址效應之經驗公 式，稱之為單站頻譜比法(HVSR, Horizontal-to-Vertical Spectral Ratio 或Nakamura Ratio)。使用單站頻譜比法之好處在於不需要參考測站， 可簡單快速估算出場址效應。由於微地動量測到資料內容受地表雷利 波(Rayleigh wave)之影響為主，在地表所記錄到之垂直向振幅 會大 於地下岩盤站之垂直向振幅 ，所以震源所造成的放大效應可視為 isV S ibV S

( )

ibV isV s S S f E = (2.5) 利用雙站頻譜比法所估算出之場址效應，在水平向可表示為

( )

ibH isH b s S S f S _, = (2.6)

為了去除震源所造成的放大效應E_s

( )

f ，我們將(2.6)式除以(2.5)式，即

( )

_{( )}

( )

ibV isV ibH isH s b s S S S S f E f S f S = , = (2.7) Nakamura曾利用井下微地動觀測資料求出 ibV ibH S S 值約等於1，故單站頻 譜比法其計算公式如下： ) ( ) ( ) ( f S f S f S isV isH = (2.8) ) ( f S_isH 代表水平方向之頻譜值， 代表垂直方向之頻譜值。 Nakamura 提出場址之顯著振動頻率以及其對應之放大效應，直接相 關於場址水平向與垂直向之微動訊號比值。 ) ( f S_isV 將現地微動量測資料作傅立葉轉換，可得到每次量測紀錄之頻 譜。傅立葉轉換公式如下

( )

f x

( )

te dt X T i2π ft 0 ˆ −

∫

= (2.9)

( )

t x 為每筆量測記錄資料，T 為量測時間長度。一般做法常將資料分 段處理，實際做法為

( )

_∑

[

( ) ( )

]

= ∗ = nd k k k d m X f X f T n f X 1 2 1 ˆ ˆ 1 ˆ _(2.10) 其中：nd為資料分段比數；ndT為總取樣時間長度；Xk

( )

f ˆ _為x

_{( )}

_{t 訊號}

中，第 k 段資料之頻譜反應；Xˆ_k∗

( )

f 為Xˆ_k

( )

f 之共軛複數。 圖2.4～2.7 所示者為其中兩筆時間點資料，量測時間分別為晚上 十一時與凌晨一時。將東西向、南北向與垂直向之頻譜值代入單站頻 譜比法之公式(2.8)，可得到東西向與南北向相對於垂直向之頻譜比。 為了求出水平向相對於垂直向之最大頻譜比，可將東西向與南北向頻 譜比之平方值相加再求平方根得RMS，即為水平向之最大頻譜比。 圖2.8 所示為所有量測時間之 Nakamura Ratio 平均值與平均值加 上變異數。觀察 5Hz 以內之頻譜圖，各處測站在 2Hz 處均有明顯之 尖峰值，推估此應為基地之地盤振動顯著頻率。地震來襲時，土層之 變形會較一般微動者大許多，導致土層之勁度減小；以致地震發生 時，土層之顯著頻率會比微動所得者小。

第三章 有限元素模型建立

3.1 脊背橋概略介紹

本論文所研究之脊背橋為對稱型雙塔脊背橋，共有三個跨距，如 圖3.1 所示。兩橋塔之間距為 140 公尺，其餘兩跨距各為 80 公尺， 全長為300 公尺。主塔型式為垂直單柱式，如圖 3.2，斷面為實心矩 形，高度由橋面版起算至塔頂為20.25 公尺。橋梁墩柱高度約 7.5 公 尺，為一橢圓形斷面。主梁為一箱型變斷面，如圖3.3。橋面寬 25.45 公尺，最小高度 3 公尺，最大高度 5.1 公尺，靠近橋塔處之斷面高度 最大。橫向吊索配置為雙索面設置於橋面版中心處，索面型式為豎琴 型，每個索面有九組預力鋼腱，共有72 組預力鋼腱。主梁材料為預 力混凝土，橋塔、橋柱皆以鋼筋混凝土材料構築而成。塔、梁、柱三 者固接成為一個剛構體系。

3.2 脊背橋有限元素模型建立

利用SAP2000 有限元素軟體作為本研究之有限元素模型建立與 計算分析。根據橋梁設計圖可知以下橋梁材料之性質： 一、混凝土 1. 28 天之規定抗壓強度 A.預力混凝土(主梁) 2 / 350kg cm fc′=

B.普通混凝土(橋墩、基腳、橋塔) 2 / 280kg cm fc′= 2. 混凝土單位重假設為 2.4 t/ cm3 (2.403×10-3 kgf/cm3) 3. 彈性模數Ec = 15000 fc′ kgf/cm 2 二、鋼纜 1. 外置預力鋼絞線採用 15.2mmψ高拉力 7 線鋼絞線設計，施拉預力 不小於 0.43Fy。根據CNS 3332， =22600 kgf，標稱截面積 =1.387cm y F 2 _{。 假 設 鋼 纜 預 力 施 拉 大 小 為} 0.43 =0.43×31×22600=301258 kgf。 Fy 2. 單位重假設為 7.9 t/ cm3 (7.938×10-3 kgf/cm3) 3. 彈性模數E=2040000 kgf/cm2 使用梁元素與纜線元素模擬脊背橋，SAP2000 軟體定義其特性如 下： 梁元素：包含兩個節點，每個節點有六個自由度(3 個位移，3 轉角)。 纜線元素：只能承受拉力，無法承受壓力作用；另外，纜線元素亦可 以考慮自重作用所產生之中垂效應。 此橋梁模型用了958 個梁元素(最大長度 2.17m)，72 個纜線元 素，共有921 個節點，總自由度為 5526。模型總質量為 16,235,706 kg。

首先，詳看設計圖所示脊背橋之架構，瞭解各結構組成所需要之 元素後進行建模。除了鋼纜組成部分需要用到纜線元素，其餘之結構 均由梁元素組成。橋梁整體架構完成後，接著需要指定各桿件之斷面 型式。橋台與橋塔為變斷面，在不同位置之桿件給予不同大小之斷 面。橋梁支承型式的模擬部分，因為橋台與外側橋墩處之支承墊片僅 容許行車方向之移動，故此方向模擬成輥支承，另兩個方向為鉸支 承。橋墩基礎則假設橋柱與地盤為固接型式。

3.3 鋼纜預力值與橋梁模態之關係

脊背橋的預力鋼纜是整座橋體的重要構件。預力纜索施拉預力大 小的不同，除了可能影響橋梁內部的受力行為外，亦會改變橋梁的整 體勁度大小，進而影響結構模態。一般設計脊背橋時，會先給定鋼纜 施拉預力大小。然而實際在現場施作時，因為現場環境等狀況，所施 拉預力大小或許會與當初之設計有所差異。故吾人欲探討對預力纜索 施拉不同預力大小時，其橋體模態將會有何種程度的變化。鋼纜編號 如圖3.5 所示。 一、不考慮鋼纜質量 由於鋼纜質量相對橋體本身之質量相對小很多，吾人預期脊背橋 之模態將以橋體振動為主；而且，同時考慮鋼纜與橋體的振態將會較

為複雜。故吾先假設鋼纜本身質量為零以簡化分析，如此一來可以輕 易找出以橋體為主之振態。由設計圖得知每組鋼纜之降伏預力 值為 700600 kgf ； 鋼 纜 之 設 計 預 力 值 為 y F = y F 43 . 0 301258 kgf 。 吾 人 取 100000、200000、301258、400000、500000、600000 與 700600 kgf 共七組不同鋼纜之預力值做比較，利用 SAP2000 軟體之模態分析可 得到橋體之振形與頻率。橋體振形如圖3.6 所示。 為了比較兩個模態之吻合程度，利用 MAC（modal assurance criterion）值為指標(Allemang 與 Brown (1983))：

(

)

_{{ } { }{ } { }}

{ } { }

C T C D T D C T D C D MAC ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2 , = (3.1) 其中

{ }

ψ_D 為設計鋼纜預力值大小之橋體模態，

{ }

ψC 為其它鋼纜預力值 之橋體模態。由以上之定義式可看出，當兩模態完全一致時，MAC=1。 經過 SAP2000 軟體之模態分析，吾人於各模型中取 19 個不同位 置的節點變位代入 MAC 值之計算，節點位置如圖 3.7 所示。以設計 預力(301258 kgf)之模型作為比較基準，將不同預力值之模型取前十 個模態代入(3.1)式求得 MAC 值。整理各模型 MAC 值如表 3.1，可發 現前十個模態之MAC 值均大於 0.99，顯示其振形完全一致，並無差 別。因此可以確定鋼纜預力值的改變不會對橋體之振形造成影響。

接著探討不同預力值對模態頻率的差異，整理如表3.2 所示。同 樣以設計預力(301258kgf)之模型分析結果作為比較基準，發現與設計 預力模型之頻率值差異以第一模態最大，最大差異約為 3.4％；其它 差異大部分都在2％以下。另外可看出一個趨勢，各模態之頻率值隨 著鋼纜預力之增加而略微增大。但整體而言，模態頻率值越高，不同 預力之頻率值差異越小。 二、考慮鋼纜質量 考慮鋼纜質量時，鋼纜因自重的關係而會有中垂效應之產生，其 變形量如圖3.8 所示。在考慮鋼纜質量的情況下進行模態分析，結果 除了有以橋體振動為主之模態以外，亦包含了以鋼纜振動為主之模 態。在摻雜了橋體與鋼纜振動的模態中，為了找出哪些是以橋體振動 為主之模態，亦可以利用 MAC 作為判斷。於橋體取相同位置之 19 個節點變位代入(3.1)式之 MAC 值計算，同樣以不考慮鋼纜質量之設 計預力(301258kgf)模型作為比較基準，將前 300 組模態代入計算，各 組模態可找到數個MAC 大於 0.99 之值。配合不考慮鋼纜質量情況下 所得橋體振動為主的頻率，取其頻率最接近且MAC 值大於 0.99，即 可得到考慮鋼纜質量情況下以橋體振動為主之模態頻率。 觀察不同鋼纜預力之頻率值，如表 3.4。前四個模態之頻率值皆

隨著預力值增加而些微提高，第五個模態以後則無明顯之趨勢。大致 上而言，除了第七與第八模態在鋼纜預力值介於 500000～700600 之 間時有2％～5％之差異以外，其它頻率差異皆低於 2％以內。 根據有限元素分析結果展示之模態圖，能很清楚找出以鋼纜振動 為主之模態。當模態是以鋼纜振動為主時，某特定長度之鋼纜相對於 其他長度鋼纜及橋體，將會有明顯振形之變位。不同長度之鋼纜，其 頻率亦不同。利用鋼纜振動理論頻率公式 (Rao (1990))， 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ρ P c (3.2) L nc n π ω = ，n=1,2,... (3.3) P 代表拉力，ρ 是單位長度重量，L 為鋼纜長度。可求得不同編號鋼 纜之理論自然振頻。將鋼纜理論振頻與有限元素分析所得之鋼纜頻率 做比較，如表3.5 所示。比較發現以鋼纜振動為主之振頻皆略大於鋼 纜理論振頻，兩者間差異很小，約介於 0.03～0.05Hz 之間。推論可 能因為鋼纜兩端點固定於橋體上，橋體振動時會改變鋼纜兩端點間之 距離，故其頻率值會有些微差異。另外，根據鋼纜理論振頻之公式， 鋼纜所受拉力 P 增加時，其頻率值將會提高。比對有限元素分析結 果，其鋼纜頻率值亦隨著預力值增加而提高。

第四章 模擬地震反應之系統識別

本章將模擬脊背橋在地震作用下，將量得橋體之反應以逆算方式 求得脊背橋之結構特性(如：頻率與模態)。再與理論值比較，探討系 統識別對於脊背橋之準確性。一般橋梁的主要振動頻率較低，故本研 究僅討論 5Hz 以下頻率之識別。一般基地範圍較小的結構在遭受地 震作用時，支承處地震波延遲效應比較不明顯，只考慮均勻地震輸入 便足以表示地震反應。若是多跨距或大跨距之橋梁，則會有比較明顯 之地震波延遲效應，此時便需考慮多支承輸入效果。本研究將探討比 較均勻地震輸入與多支承地震輸入，對於識別結果的影響。另外，鋼 纜質量的考慮與否、增加反應量測點以及加入鋼纜之反應參與識別， 亦可能對識別結果有所影響。因此針對以上數種的情況，將分別做識 別結果之比較。考量地震作用的方向性問題，首先探討單一方向地震 作用下之識別結果，最後同時考慮三個方向之地震作用識別。

4.1 識別方法

量測結構物之動態反應，常由於結構系統過於龐大，且量測經費 之限制，吾人所能量測到反應之自由度遠小於該系統者，故在線性系 統中，可將量測自由度(或測站）間之反應表示成 (黃炯憲 (1999)) (4.1)

( )

t

[ ]

y

(

t i t

)

[ ]

f

(

t j t

)

y J j j I i i − ∆ + − ∆ =

∑

∑

= = ~ ~ ~ 1 0 θ ϕ

其中：

( )

t y ~ 為量測動力反應歷時（其可為位移、速度、或加速度；以下假設 該向量亦有 n 個分量）， 為系統外力歷時，

( )

t f ~

[ ]

φi 與

[ ]

θj 為待定係數矩陣。 為量測反應之取樣時間間隔。 t ∆ 小波轉換在近 20 年，被廣泛地應用於各領域（如信號處理、醫 學工程、非線性問題‧‧‧等）；儼然取代了傳統之Fourier 轉換。小 波轉換可視為短時傅利葉轉換之擴展及改良。一屬於 空間之函 數 ，均可做小波轉換，其定義為(參考 Chui (1992))

( )

R L2

( )

t f

( )

( )

∫

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ψ = Ψ = − R b a f dt a b t t f a f b a W 2 1 , , , (4.2) 逆轉換為

( )

_{∫ ∫}

∞

( )

∞ − ∞ ∞ − ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ψ = dadb a b t b a W a C t f f , 1 1 2 ψ (4.3) 其中

( )

∫

Ψ = R d C ω ω ω ψ 2 ˆ (4.4)

( )

t Ψ 稱為母小波函數（mother wavelet）； _{( )}

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Ψ = Ψ a b t a t b a 1 , 為母小波

函數 經伸縮和平移所得之基底函數。由於 Meyer 小波函數可在較 低模型階數下識別模態，本研究將使用 Meyer 小波函數做為基底函 數。

( )

t Ψ 式（4.1）依式（4.2）做小波轉換，且利用 f

(

t−τ

)

與 小波轉換 間之平移不變性，可將式（4.1）表示成

( )

t f

( )

a b

[ ]

W y

(

a b i t

)

[ ]

W f

(

a b j t y W J j j I i i ⎟_⎠ − ∆ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∆ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

_∑

_∑

= = , , , ~ ~ ~ 1 1 ψ ψ ψ φ θ

)

(4.5) 若欲分析某特定頻率區間內之量測反應，可取特定之 a，利用式 （4.5），吾人可得 ( )

[ ]

[ ] [ ]

_{[ ]}

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = F Y C Y 0 (4.6) 其中： ( )

[ ]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

−

)

(

− +

)

(

− +

)

_⎥⎦⎤ + − + − − + − + − − ⎢⎣ ⎡ _{− − + − +} = M i a y i a y i a y M i a y i a y i a y M i a y i a y i a y M i a y i a y i a y Y N W N W N W W W W W W W W W W i max , 1 max , max , max , 1 max , max , max , 1 max , max , max , 1 max , max , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 3 3 2 2 2 1 1 1 L L L L L (4.7)

[ ]

[

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( ) _T

]

T I T T Y Y Y Y = 1 2 _L

[ ]

[

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( ) _T

]

T J T T F F F F = 0 1 _L

[ ] [ ] [ ]

C =

[

ϕ1 ϕ2 L

[ ] [ ] [ ]

ϕI θ0 θ1 L

[ ]

θJ

]

( )

I ,J max max=

( )

[

i F

]

之定義類似

[ ]

Y( )i 若欲估算結構系統之動態特性（自然振動頻率、模態阻尼比以及 振形），可利用式(4.6)係數矩陣

[ ]

ϕi

(

i=1,2LI

)

決定之。依黃（1999） 之推導知，若從

[ ]

ϕi 建構矩陣 (4.8)

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − −1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ _L L M M M M M M L L I I I I I I I G 則

[ ]

G 之 特 徵 值 及 特 徵 向 量 相 關 於 該 結 構 系 統 之 動 態 特 性 。 令 k k k =a +ib λ 為

[

之第 k 特徵值，則該結構系統之第 k 模態擬自然振動 頻率

]

G k ω 及模態阻尼比ξk為 2 2 k k k α β ω = + (4.9a) k k k β α ξ =− (4.9b) 其中

(

2 2 ln 2 1 k k k a b t + ∆ = α

)

(4.10a) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ = − k k k _a b t 1 tan 1 β (4.10b) 令 為 之第 振形，將 表示成 k g ~

[ ]

G k k g ~

{ }

{ }

{ }

I _k k g ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ψ ψ ψ M 2 1 ~ (4.11) 其中

{ }

ψ i各含 n 個分量，由於

[ ]

G 之特殊結構，可證明

{ }

ψ i =λk

{ }

ψ i−₁ (4.12) 即不同之 i，

{ }

ψ i彼此間互相平行，故任一

{ }

ψ i均對應於結構系統之第 k 模態之振形。 以上之識別方法內容詳見蘇之博士論文『發展基於小波轉換之系 統識別方法』（進行中）。

4.2 以 SAP2000 模擬地震反應

SAP2000 軟體在模擬地震力作用於結構物時，假設地盤的移動是 一致性的，因此地盤作用於結構物支承處之加速度歷時並不會在不同 位置而有不同。然而，實際之地震波傳遞並非如此。不同位置之支承 由於地震波延遲效應，在相同的時間點，各支承的加速度歷時並非完 全相同。為了模擬出多支承地震反應的效果，吾人可在脊背橋模型支 承處分別輸入不同之歷時作用，當作地震力輸入。 本座脊背橋共有四處支承，分別為兩橋塔(編號 P1001 與 P1002) 下方之墩基以及兩外側之支承(A1 橋台與 P1003 橋墩)，如圖 3.1 所

示。為模擬多支承輸入之效應，吾人取中山高速公路圓山段北上高架 橋梁橋墩在 921 地震所量測之加速度作為 SAP2000 地震輸入資料。 圓山橋量測點位分佈如圖4.1 所示。令橋梁車行方向為 X 向，橫向為 Y 向，垂直方向為 Z 向。假設兩橋塔(P1001、P1002)下方支承之地震 輸入相同，取圓山橋 S1 測點之 X 向、Y 向加速度與 S7 測點之 Z 向 加速度做為兩橋塔下方支承之地震輸入。A1 橋台為輥支承(X 向不受 束制)，取圓山橋 S2 測點之 Y 向加速度與 S4 測點之 Z 向加速度做為 A1 橋台支承之地震輸入。P1003 橋墩亦為輥支承(X 向不受束制)，取 圓山橋 S12 測點之 Y 向加速度與 S11 測點之 Z 向加速度做為 P1003 橋墩支承之地震輸入。如此一來，各支承之地震歷時輸入資料均不 同，即可模擬多支承地震輸入效果。 SAP2000 無法在節點處直接施加加速度歷時作用，但是可以施加 位移歷時作用。故須先將圓山橋量得之絕對加速度歷時資料轉換成相 對於位移歷時資料，如下所示： 加速度= ( ) _ω2 (_ω) F t f ′′ ⎯⎯→FT − ) ( ) ( f t F ω ⎯IFT⎯→ =位移 得到相對位移資料後，將位移歷時分別輸入A1 橋台支承與 P1003 橋 墩支承，中間兩橋塔(P1001、P1002)支承則輸入均勻地震加速度歷

時，即可完成多支承地震輸入。脊背橋各支承之地震加速度輸入時間 歷時如圖 4.2～4.4 所示，各支承加速度之頻譜如圖 4.5。觀察頻譜圖 發現 X 向加速度尖峰值位於頻率 0.9～1.1、2.7 與 4.3Hz 附近，Y 向 加速度尖峰值位於頻率 0.9、1.4～1.7 與 3.3 Hz 附近，Z 向加速度尖 峰值位於頻率3.3Hz 附近。 在地震發生時，可在橋梁多處位置裝設加速度計，以便獲得各位 置之加速度即時反應。然而受制於經費有限，以及效益問題，加速度 計選幾處地點裝設即可發揮監測作用。若橋面版加速度計裝設位置如 圖 4.6。在距離橋塔 P1001 左側約 26.67 公尺之主梁斷面中心處，設 有垂直向與橫向之加速計。距離橋塔 P1001 右側約 28 公尺之主梁斷 面中心處，設有垂直向、橫向與車行方向共三向加速計；在同一處主 梁斷面，但靠近外側車道處，設有一垂直向加速計。距離橋塔P1002 右側約26.67 公尺之橋面版中心處，設有垂直向與橫向之加速計。在 橋梁中間跨距之中點斷面，設有垂直向與橫向之加速計。同一處主梁 斷面，但靠近外側車道處，設有一垂直向加速計。橋塔與鋼纜之加速 度計裝設位置可以參考圖 4.3。在橋塔 P1001 之塔頂位置，設有車行 方向與橫向之加速計。在橋塔 P1001 左側編號 E7-2 之鋼纜上約距離 橋塔三分之一的鋼纜長度距離處，設有一垂直於鋼纜軸向之加速度 計。在橋塔 P1001 右側編號 E7-1 之鋼纜上約距離橋塔四分之一的鋼

纜長度距離處，設有一垂直於鋼纜軸向之加速度計。因此，整座脊背 橋共裝設有15 個加速度計；其中 11 個裝設於主梁，2 個裝設於橋塔， 2 個裝設於鋼纜。若以量測方向分類，車行方向有 2 個，橫向有 5 個， 垂直向有6 個測站。

4.3 忽略鋼纜自重之脊背橋單一方向反應資料分析

4.3.1 均勻輸入(uniform input) 本節分別考慮不同方向的地震以均勻輸入方式作用，量得脊背橋 上述15 處位置各方向之加速度反應進行分析。首先考慮 X 向之地震 作用，各位置X 向反應之頻譜如圖 4.10 所示。由 X 向頻譜圖可以看 出尖峰值出現位置大約落在頻率值為 1、1.7、2.7 與 4.3Hz 處。當考 慮Y 向之地震作用，各位置 Y 向反應之頻譜如圖 4.11 所示。Y 向頻 譜圖之尖峰值出現位置大約落在頻率值為 1.7、2.75～3.1 與 4.2～ 4.5Hz 處。當考慮 Z 向之地震作用，各位置 Z 向反應之頻譜如圖 4.12 所示。Z 向頻譜圖之尖峰值出現位置大約落在頻率值為 0.7、1.5、3.1 與4.4Hz 處。將反應頻譜圖與輸入地震頻譜圖或理論動態特性比較， 反應頻譜圖中1.7Hz 之尖峰值應是地震頻率造成，其餘尖峰值頻率則 是橋梁的自然振動頻率。 在識別過程中，Meyer 小波函數有一”主要頻率保留區間”，其範

圍為_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ a a 9311 . 0 , 5348 . 0 。藉由指定不同 a 值大小以涵蓋欲識別之振動頻 率。取 a 值為 0.9、0.6、0.3 及 0.2，其對應之”主要頻率保留區間”為 （涵蓋模型之第一振態與第二振態）、

[

0.5942,1.0346

]

[

0.8913,1.5518

]

（涵 蓋模型之第二振態與第三振態）、

[

]

（涵蓋模型之第四振態 至第八振態）以及

[

（涵蓋模型之第六振態至第十三振態）

]

， 剛好涵蓋模型前十三振態。另外，為了比較兩個模態之吻合程度，可 利 用 MAC （ modal assurance criterion ） 值 為 指 標 (Allemang 與 Brown,1983)： 1037 . 3 , 7827 . 1 6555 . 4 , 674 . 2

(

)

_{{ } { }{ } { }}

{ } { }

iT T iT iI T iI iT T iI iT iI MAC ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2 , = (4.13) 其中

{ }

ψiI 與

{ }

ψiT 分別為識別與理論之第 i 模態，當兩模態完全一致 時，MAC=1。另外為了觀察識別結果（頻率、阻尼比與模態）之收 斂情形，ARX 模型階數 I=J 由 5 取至 44。 考慮 X 向均勻地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位 置與額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 2 處橋體量測點(節點編號為 7 與 206) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)

上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.13～4.14 所示。可識別之模態如 圖 4.15～4.16 所示。由於只取 X 向反應做識別，識別結果之模態只 有 X 向之變形，造成展示之模態圖會出現類似之模態變形（例如第 一與第三模態以及第二與第四模態）。各理論之模態可參見第三章之 圖3.6。 第1 組可識別出第二、第四、第六與第十模態。除了第四模態在 模型階數I=J=11 以後才得以識別，其餘模態在模型階數 I=J=5 即可得 到收斂之值。第2 組除了可識別出第 1 組之識別結果，可多識別第一、 第三、第九與第十三模態。第一與第三模態之阻尼比與MAC 值在模 型階數 I=J=24 以後才得到較穩定值，其餘模態在模型階數 I=J=8 以 前可收斂為定值。比較兩組識別結果，量測點增加，其可識別之模態 數目由4 增加至 8，且使原本在模型階數 I=J=11 以後才得以識別之第 四模態減少至在模型階數I=J=5 即能識別。 考慮 Y 向均勻地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位 置與額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、206、126 與 256) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、

208、228、256 與 271) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.17～4.18 所示。可識別之模態如 圖4.19～4.20 所示。識別之模態圖中，X 向側視圖所示者主要為橋塔 之模態，而俯視圖所示者主要為橋面版之模態。 第1 組可識別出第五、第七、第八、第十一與第十二模態。第七 模態之阻尼比則在模型階數 I=J=12 以後維持在 5%，第十一模態之 MAC 在模型階數 I=J=15 以後才收斂至 0.98 以上，其餘模態則在模型 階數I=J=5 即收斂為定值。第 2 組亦可識別出第五、第七、第八、第 十一與第十二模態。所有模態在模型階數I=J=5 即收斂為定值。比較 兩組識別結果，量測點增加時，識別結果之收斂速度變快。當 Y 向 量測點為5 時，即可識別出 5Hz 以下所有以 Y 向振動為主之模態(可 參照圖3.6 之理論模態)。 考慮Z 向均勻地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位置 與額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)

上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.21～4.22 所示。可識別之模態如 圖4.23～4.24 所示。 第1 組可識別出第一、第二、第三、第四、第六、第九、第十與 第十三模態。第二模態在模型階數 I=J=21 以後，MAC 收斂至 0.98 以上，阻尼比收斂至 5%。第四模態之 MAC 在模型階數 I=J=9 以後 收斂至 0.98 以上。第六模態則在模型階數 I=J=24 才得以識別，其頻 率與 MAC 值在此階數以後大約維持定值，阻尼比則在 3～7%間變 化。第十模態之頻率、阻尼比與 MAC 值在模型階數 I=J=15 以後收斂 至定值。其餘模態在模型階數I=J=5 即收斂為定值。第 2 組亦可識別 出第一、第二、第三、第四、第六、第九、第十與第十三模態。第二 模態在模型階數 I=J=8 才得以識別，第六模態在模型階數 I=J=12 才 得以識別，第十模態之MAC 在模型階數 I=J=8 以後收斂至 0.99 以上。 其餘模態在模型階數I=J=5 即收斂至定值。比較兩組識別結果，量測 點增加時，第二、第四、第六與第十模態可識別之模型階數 I=J 均較 為減少。 將上述X、Y 與 Z 向之識別結果整理如表 4.1 所示。對照第三章 理論之模態（圖3.6），第五、第七、第八、第十一與第十二模態皆為 以Y 向振動為主之模態；而第一、第二、第三、第四、第六、第九、

第十與第十三模態則為 X 向與 Z 向振動為主之模態。除了 X 向之模 態識別數目會隨量測點數目增加而增加，Y 與 Z 向在不同測點數則維 持相同模態識別數目。推論是 X 向識別只有 2 個量測點時，資料筆 數極少，只能識別出較少模態；而 Y 向的 5 個量測點與 Z 向的 6 個 量測點數目便已足夠識別出橋體特性。此外 X 向或 Z 向之反應只能 識別以 X 向與 Z 向振動為主之模態，Y 向之反應亦只能識別出以 Y 向振動為主之模態。由識別的收斂性分析可看出，量測點數目的多寡 會影響識別結果的效率，量測點數目越多其收斂識別階數I=J 越少。 比較特別的是雖然 X 與 Y 向都可識別出第一、第二、第三、第四、 第六、第九、第十與第十三模態。但是 X 向之第二、第四、第六與 第十模態識別結果，比第一、第三、第九與第十三模態之識別結果好； 而Z 向之第一、第三、第九與第十三模態識別結果，比第二、第四、 第六與第十模態之識別結果好。上述之識別結果較好之意思是代表可 識別之階數I=J 較小，其識別之值亦較穩定。 4.3.2 多支承輸入(multiple input) 由於脊背橋 A1 橋台與 P1003 橋墩處支承在 X 方向沒有受到束 制，故 X 向地震力並無多支承效應，僅考慮 Y 向與 Z 向。當考慮 Y 向多支承地震作用時，各位置 Y 向反應之頻譜如圖 4.25 所示。Y 向 頻譜圖可以看出尖峰值出現位置大約落在頻率值為 0.86、1.7、2.75

～3.1 與 4.2～4.6Hz 處。當考慮 Z 向多支承地震作用時，各位置 Z 向 反應之頻譜如圖4.26 所示。Z 向頻譜圖可以看出尖峰值出現位置大約 落在頻率值為0.7、1.5、3.1 與 4.4 處。將反應頻譜圖與輸入地震頻譜 圖或理論動態特性比較，反應頻譜圖中 0.86 與 1.7Hz 之尖峰值是地 震頻率造成，其餘尖峰值頻率則是橋梁的自然振動頻率。 一、假設均勻輸入之識別 在實際工程之應用上，由於經費所限，無法於所有輸入點擺設感 應器。故為大概模擬此情況，假設實際問題為多支承輸入，而僅量測 其中一支承輸入。在系統識別過程中，以該量測到之支承加速度當做 輸入；此即假設為均勻輸入之識別模式。 考慮 Y 向地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位置與 額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.27～4.28 所示。可識別之模態如 圖4.29～4.30 所示。

第1 組與第 2 組皆僅識別出第五模態，在模型階數 I=J=5 即可得 到一穩定頻率值。阻尼比隨著模型階數I=J 之增加而在 3～6%之間變 化，MAC 則維持在 0.98 以上；阻尼比與 MAC 值並無隨著模型階數 I=J 或量測點之增加而改善。 考慮Z 向地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位置與額 外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.31～4.32 所示。可識別之模態如 圖4.33～4.34 所示。 第1 組與第 2 組皆可以識別出第一、第三、第九與第十三模態。 此四個模態皆可在模型階數I=J=5 時識別出來，但阻尼比隨識別模式 ARX 之階數變化範圍較大，介於 1～9%之間，而 MAC 值則在 0.95 ～1 之間變化。阻尼比與 MAC 值並無隨著模型階數 I=J 或量測點之 增加而改善。 觀察上述假設均勻輸入之識別結果，發現可識別之模態較少。儘

管量測點增加，亦無法改善識別結果。 二、以多支承地震力做為輸入項之識別 本節考慮若所有之輸入均有量測且均當做 ARX 模式之輸入外 力，則所有識別結果將與上節所得者有何差異？如同上節之做法，做 不同方向反應分析。 考慮 Y 向地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位置與 額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.35～4.36 所示。可識別之模態如 圖4.37～4.38 所示。 第1 組可識別出第五、第七、第八、第十一與第十二模態。第十 一模態可在模型階數 I=J=7 時識別出來，第十二模態可在模型階數 I=J=6 時識別出來，其餘模態則可在模型階數 I=J=5 時可識別出來。 以上模態之頻率、阻尼比與 MAC 值在模型階數 I=J=10 以後即收斂為

定值。第2 組可識別出第五、第七、第八、第十一與第十二模態。其 模態皆可在模型階數I=J=5 時可識別出來，且收斂為定值。由上述兩 組結果可知，增加量測點可減少識別之階數，且識別之收斂速度較快。 考慮Z 向地震輸入之反應，探討以下兩組實際設計監測位置與額 外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.39～4.40 所示。可識別之模態如 圖4.41～4.42 所示。 第1 組可以識別出第一、第二、第三、第四、第六、第九、第十 與第十三模態。第六模態在模型階數 I=J=18 時才可識別出來，阻尼 比與MAC 值在模型階數 I=J=25 以後收斂為定值。第二與第十模態之 阻尼比與 MAC 在模型階數 I=J=15 以前變化較大，之後則收斂為定 值。其他模態在模型階數I=J=5 即可識別並收斂。第 2 組亦可以識別 出第一、第二、第三、第四、第六、第九、第十與第十三模態。第六 模態在模型階數I=J=6 時可識別出來，其餘模態在模型階數 I=J=5 時

即可識別出來。第六模態之阻尼比在 4～6%之間變化，MAC 值則在 0.98～1 之間變化。第十模態之 MAC 值 0.94～1 之間變化。其餘模態 之阻尼比與 MAC 值則隨著模型階數 I=J 增加而維持定值。比較以上 兩組Z 向識別結果，量測點增加可在模型階數 I=J 較小時提前識別出 第六模態，而第二與第十模態並無因量測點增加而收斂為定值。 將多支承輸入識別結果整理如表 4.2 所示。比較後得知”假設均 勻輸入”所識別之模態數遠少於”考慮實際多支承輸入”之模態數。當 量測點增加時，”考慮實際多支承輸入”可在模型階數 I=J 較小時識別 出模態，”假設均勻輸入”則否。

4.4 考慮鋼纜自重之脊背橋單一方向反應資料分析

本節將探討若鋼纜之重量亦被考慮，則對識別結果有何影響？由 第三章知，考慮鋼纜重量將使得橋體之模態更加複雜，包含許多鋼纜 之局部模態。若加入鋼纜之量測點反應，對識別結果又有何影響？ 4.4.1 均勻輸入（uniform input） 本節考慮不同方向的地震作用，量得脊背橋 15 處位置（參看圖 4.8 及 4.9）各方向之加速度反應進行分析，其中 2 處位置分別位於編 號E7-1 與 E7-2 之鋼纜上。首先，考慮 X 向之地震作用時，各位置 X 向反應之頻譜如圖 4.43 所示。由 X 向頻譜圖可以看出尖峰值出現位

置大約落在頻率值為1、1.7、2.7 與 4.3Hz 處。當 Y 向之地震作用時， 各位置 Y 向反應之頻譜如圖 4.44 所示。Y 向頻譜圖可以看出尖峰值 出現位置大約落在頻率值為1.7、2.75～3.1 與 4.2～4.5Hz 處。當 Z 向 之地震作用時，各位置 Z 向反應之頻譜如圖 4.45 所。Z 向頻譜圖可 以看出尖峰值出現位置大約落在頻率值為0.7、1.5、3.1 與 4.4 處。反 應頻譜圖中1.7Hz 之尖峰值是地震頻率造成，其餘尖峰值頻率則是橋 梁的自然振動頻率。 考慮 X 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與 額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 2 處橋體量測點(節點編號為 7 與 206) 2. 2 處橋體量測點(節點編號為 7 與 206)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.46～4.49 所示。可識別之模態如

圖4.50～4.51 所示。 第 1 組可識別出第二、第四、第六與第十模態，而以上模態皆可 在模型階數I=J=5 時識別出來。收斂性分析中，頻率與 MAC 值幾乎 維持定值，僅有阻尼比在I=J=10 之前有較大變化，之後亦維持在 5% 附近。第 2 組可識別出第二、第四、第六、第十模態以及鋼纜 E7-1 與 E7-2 之局部模態。收斂性分析中，在模型階數 I=J=5 之後，頻率 與MAC 值亦維持定值，阻尼比則維持在 4～6%之間變化。第 3 組可 識別出第一、第二、第四、第六與第十模態。第一模態在模型階數 I=J=17 之後才可識別，除頻率維持定值外，阻尼比與 MAC 值隨模型 階數 I=J 之增加而趨於 5%與 0.99 以上。其餘模態在模型階數 I=J=5 即可識別，且收斂為定值。第4 組可識別出第一、第二、第四、第六、 第十模態以及鋼纜 E7-1 與 E7-2 之局部模態。第一模態在模型階數 I=J=16 之後才可識別，除頻率維持定值外，阻尼比與 MAC 值亦隨模 型階數I=J 之增加而趨於 5%與 0.99 以上。其餘模態在模型階數 I=J=5 即可識別，且收斂為定值。由上述 X 向識別結果得知，量測點增加 可多識別出第一模態，且隨著模型階數 I=J 增加，阻尼比與 MAC 值 之變化趨於穩定。若量測點加入鋼纜之反應，則可多識別出鋼纜之局 部模態。 考慮 Y 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與

額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256) 2. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256)與 2 處鋼纜(鋼 纜編號為E7-1 與 E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.52～4.55 所示。可識別之模態如 圖4.56～4.57 所示。 第 1 組可識別出第五、第八與第十二模態，且皆可在模型階數 I=J=5 時識別出來。但第八模態之阻尼比在收斂性分析中變化較大， 並不會隨著模型階數I=J 增加而趨於穩定。第 2 組可識別出第五、第 八、第十二模態以及鋼纜E7-1 與 E7-2 之局部模態。收斂性分析結果 與第 1 組差不多，但是鋼纜局部模態在模型階數 I=J=31 時才得以識 別出來。第3 組亦可識別出第五、第八與第十二模態，收斂性分析結 果亦與第1 組差不多。第 4 組可識別出第五、第八、第十二模態以及

鋼纜E7-1 與 E7-2 之局部模態。收斂性分析結果同樣與第 1 組差不多，

但是鋼纜E7-1 局部模態在模型階數 I=J=17 可被識別出來，鋼纜 E7-2

局部模態則在模型階數 I=J=29 可被識別出來。比較上述四組 Y 向識 別結果，加入鋼纜反應可多識別出鋼纜之局部模態，但是其識別之階 數較高。另外，增加量測點雖然對橋體模態識別結果差別不大，卻可 以減少鋼纜局部模態之識別階數 考慮Z 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與額 外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256) 2. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256)與 2 處鋼纜 (鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.58～4.61 所示。可識別之模態如 圖4.62～4.63 所示。

第 1 組可識別出第一、第二、第三、第四、第九與第十三模態。 第二模態可在模型階數 I=J=13 時識別出來，其餘模態在模型階數 I=J=5 時即可識別出來。觀察收斂性分析，第二模態的阻尼比與第四 模態的 MAC 值隨著模型階數 I=J 增加而收斂。阻尼比在模型階數 I=J=25 之後在 4～6%之間變化。第 2 組可識別出第一、第二、第三、 第四、第九、第十三模態以及鋼纜E7-1 與 E7-2 之局部模態。第二模 態可在模型階數 I=J=15 時識別出來，其餘模態在模型階數 I=J=5 時 即可識別出來。所有模態之阻尼比隨著模型階數I=J 增加而在 4～6% 之間變化。第3 組可識別出第一、第二、第三、第四、第九與第十三 模態。除了第二模態，其他模態可在模型階數 I=J=5 時識別出來。第 二模態之MAC 值在模型階數 I=J=6 以後介於 0.9～1 之間變化，在模 型階數 I=J=17 以後皆大於 0.99。所有模態之阻尼比亦介於 4～6%之 間變化。第4 組可識別出第一、第二、第三、第四、第九、第十三模

態以及鋼纜 E7-1 與 E7-2 之局部模態，所有模態可在模型階數 I=J=5

時識別出來。第二模態之MAC 值在模型階數 I=J=5 以後介於 0.9～1

之間變化，在模型階數 I=J=22 以後皆大於 0.99。所有模態之阻尼比

亦介於 4～6%之間變化。比較以上四組 Z 向識別結果，皆可識別出

橋體的四個模態；加入鋼纜反應亦可識別出鋼纜局部模態。當量測點

態之MAC 值增大至 0.99 以上。 以上X、Y 與 Z 向識別結果整理如表 4.3 所示。各方向之識別若 加入鋼纜反應，皆可識別出鋼纜局部模態，但是在 Y 向鋼纜局部模 態之識別階數較高。增加量測點對於X 向可多識別出第一模態，Z 向 則第二模態的識別階數可降低。模型階數 I=J 增加可使 X 與 Z 向某些 模態之阻尼比與MAC 值之變化趨於穩定。 4.4.2 多支承輸入(multiple input) 考慮不同方向的多支承地震輸入，量得脊背橋 15 處位置各方向 之加速度反應，其中 2 處位置分別位於編號 E7-1 與 E7-2 之鋼纜上(參 見圖 4.3)。考慮 Y 向之多支承地震作用時，各位置 Y 向反應之頻譜 如圖 4.64 所示。Y 向頻譜圖可以看出尖峰值出現位置大約落在頻率 值為0.86、1.7、2.75～3.1 與 4.2～4.5Hz 處。考慮 Z 向之地震作用時， 各位置 Z 向反應之頻譜如圖 4.65 所示。Z 向頻譜圖可以看出尖峰值 出現位置大約落在頻率值為 0.7、1.5、3.1 與 4.4 處。反應頻譜圖中 0.86 與 1.7Hz 之尖峰值是地震頻率造成，其餘尖峰值頻率則是橋梁的 自然振動頻率。 一、假設均勻輸入之識別 考慮 Y 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與

額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256) 2. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256)與 2 處鋼纜(鋼 纜編號為E7-1 與 E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.66～4.69 所示。可識別之模態如 圖4.70～4.71 所示。 以上四組 Y 向識別結果皆只能識別出第五模態，可識別出來之 模型階數 I=J=5。增加鋼纜量測點亦無法識別出鋼纜之局部振態。觀 察收斂性分析圖，其 MAC 值大部分介於 0.8 至 1 之間變化，阻尼比 亦在3～7%間變化，識別結果並無因為量測點或模型階數 I=J 之增加 而改善。 考慮Z 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與額

外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256) 2. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256)與 2 處鋼纜 (鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.72～4.75 所示。可識別之模態如 圖4.76～4.77 所示。 以上四組Z 向識別結果皆只能識別出第一與第三模態，且皆可在 模型階數I=J=5 時識別出來。增加鋼纜量測點亦無法識別出鋼纜之局 部振態。觀察收斂性分析結果，頻率與 MAC 值之變化很小，大致上 維持定值；量測點較多的情況下，阻尼比之變化較大。 二、考慮實際多支承輸入之識別 考慮 Y 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與

額外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256) 2. 5 處橋體量測點(節點編號為 6、7、126、206 與 256)與 2 處鋼纜(鋼 纜編號為E7-1 與 E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.78～4.81 所示。可識別之模態如 圖4.82～4.83 所示。 第1 組可識別出第五與第八模態。雖然可看出第十一與第十二模 態之頻率值重複出現，且阻尼比維持在 5%左右；但是其 MAC 值變 化太大，在模型階數 I=J=40～44 之間仍有小於 0.8 之值出現。除了第 八模態之阻尼比變化較大，其餘模態之阻尼比隨模型階數 I=J 之增加 維持定值。第 2 組的識別情況與第 1 組差不多。雖然加入鋼纜反應， 卻無法識別出鋼纜局部模態。唯一不同的是第十二模態之 MAC 值有 隨著模型階數(I,J)增加而趨近於 1 之趨勢。第 3 組與第 4 組皆可識別

出第五、第八與第十二模態。識別結果亦與第1 組差不多，但第十二 模態之MAC 值皆大於 0.9，其值變化較小。比較四組 Y 向識別結果， 加入鋼纜之反應並不能得到鋼纜局部模態之識別；但增加量測點可改 善第十二模態之識別結果，其MAC 值較為吻合。 考慮Z 向地震輸入之反應，探討以下四組實際設計監測位置與額 外引入其它節點輸出反應之識別結果： 1. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256) 2. 6 處橋體量測點(節點編號為 6、7、8、9、126 與 256)與 2 處鋼纜 (鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 3. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 4. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.84～4.87 所示。可識別之模態如 圖4.88～4.89 所示。 第1 組可識別出第一、第二、第三、第四、第六、第九與第十三

模態。第六模態在模型階數 I=J=10 可識別出來，其餘模態在模型階 數I=J=5 即可識別出來。第六模態之阻尼比一開始變化較大，之後隨 著模型階數(I,J)增加而趨近於 5%。第十模態之 MAC 值在 0.93～1 之 間變化，其餘模態之MAC 值則變化不大。第 2 組可識別出第一、第 二、第三、第四、第九、第十三模態以及鋼纜E7-1 與 E7-2 之局部模 態，以上模態皆可在模型階數 I=J=5 識別出來。在模型階數 I=J=10 之後可看出第六與第十模態之頻率值重複出現，但是第六與第十模態 之MAC 值變化太大，大部分維持在 0.9～1 之間，亦有小於 0.9 之值， 無法吻合振型。其他模態之阻尼比則隨著模型階數 I=J 增加而趨於穩 定。第3 組與第 4 組皆可識別第一、第二、第三、第四、第九、第十 三模態，但第4 組可多識別出鋼纜 E7-1 與 E7-2 之局部模態。同樣可 看出第六與第十模態之頻率值重複出現，但是其 MAC 值變化亦太 大，有些 MAC 值甚至小於 0.7，無法吻合振型。其他模態之阻尼比 大都介於 4～6%之間變化，差異不大。比較四組 Z 向之識別結果， 增加鋼纜反應皆可識別出鋼纜局部模態；但增加量測點對於識別結果 並無太大影響。 以上識別結果整理如表 4.4。比較多支承輸入之識別結果後得 知：”假設均勻輸入”所識別之模態數遠少於”考慮實際多支承輸入”之 模態數；當量測點增加時，對於識別結果均無太大改善。但對於均勻

輸入之識別，增加量測點可增加識別之模態並降低識別階數。

4.5 考慮鋼纜自重之脊背橋三方向反應資料分析

以上章節探討的情況皆為單一方向之地震力作用。本節考慮將三 方向地震力同時做為 ARX 模式之輸入外力，而且將各測點之三方向 反應做為ARX 輸出反應。假設量得量得脊背橋 15 處位置各方向之加 速度反應，其中2 處位置分別位於編號 E7-1 與 E7-2 之鋼纜上。考慮 三方向之地震作用時，各位置 X 向反應之頻譜如圖 4.90 所示。X 向 頻譜圖可以看出尖峰值出現位置大約落在頻率值為 0.7～0.9、1、 1.45、2.7 與 4.3Hz 處。各位置 Y 向反應之頻譜如圖 4.91 所示，Y 向 頻譜圖可以看出尖峰值出現位置大約落在頻率值為 0.86、1.7、2.75 ～3.1 與 4.2～4.5Hz 處。各位置 Z 向反應之頻譜如圖 4.92 所示，Z 向 頻譜圖可以看出尖峰值出現位置大約落在頻率值為0.8、1.45、3.3 與 4.3 處。將反應頻譜圖與輸入地震頻譜圖或理論動態特性比較，反應 頻譜圖中 0.86 與 1.7Hz 之尖峰值是地震頻率造成，其餘尖峰值頻率 則是橋梁的自然振動頻率。 一、假設均勻輸入之識別 在實際為多支承輸入之情況下，但由於支承輸入量測不足，因此 假設某一支承之加速度當作輸入。系統識別時，假設地震輸入項僅有

X 向、Y 向與 Z 向之均勻地震歷時。 考慮均勻地震輸入之反應，探討以下兩組量測點之識別結果： 1. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271) 2. 13 處橋體量測點(節點編號為 2、6、7、8、9、96、126、194、206、 208、228、256 與 271)與 2 處鋼纜(鋼纜編號為 E7-1 與 E7-2) 上述節點編號可參見圖 4.9。識別結果之頻率值與 MAC 隨識別 模式 ARX 之階數收斂性分析如圖 4.93～4.94 所示。可識別之模態如 圖4.95 所示。 以上兩組識別結果皆只能識別出第一模態，雖然第2 組加入鋼纜 反應，仍然無法識別鋼纜局部模態。觀看收斂性分析，皆可在模型階 數 I=J=5 識別出第一模態，阻尼比大約在 3～6%之間變化，而 MAC 值則皆大於0.99。 二、考慮實際多支承輸入之識別 本節考慮所有支承之輸入均有量測且均當做 ARX 模式之輸入外 力，並同時考慮三方向之多支承輸入。 考慮多支承地震輸入之反應，探討以下兩組量測點之識別結果：