5-3-3矩陣-二階方陣所對應的平面變換
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(2) 【定義】 各種二階方陣所對應到的線性變換： ⎡a b ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x'⎤ 若A=⎢ ， f ( X ) = AX = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣c d ⎦ ⎣ c d ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ y '⎦ (1)退化情形( det A = 0 )： ⎡0 0 ⎤ (a)若 A = ⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ 1.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 ⎦ 表示把每一點換成原點。 ⎡0 0 ⎤ (b)若 A ≠ ⎢ ⎥ ，但 det A = 0 ⎣0 0 ⎦ ⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ 1.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ 表示向 x 軸作正射影的變換。 ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ 2.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ y ⎦ 表示向 y 軸作正射影的變換。 ⎡0 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ y ⎤ 3.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ 表示先對 y = x 鏡射後，再向 x 軸作正射影的變換。 ⎡ 0 1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ 即A=⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ 4.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎥ ⎣ y ⎦ ⎣1 0⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ x ⎦ ⎣1 0 ⎦ 表示先對 y = x 鏡射後，再向 y 軸作正射影的變換。 ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ 5.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣1 0⎦ ⎣ y ⎦ ⎣1 0⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ x ⎦ 表示以鉛垂方向射向直線 y = x 的變換。 ⎡0 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ y ⎤ det A = 0 6.若 A = ⎢ ，則 ，此時 A ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ⎥ ， ⎣0 1⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 表示以水平方向射向直線 y = x 的變換。 ⎡1 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x + y ⎤ 7.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥， ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 0 ⎦ 表示變成 x 軸上的點 ( x + y ,0) 的變換，但非正射影變換。 ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ 8.若 A = ⎢ ，此時 det A = 0 ，則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥， ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣1 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ x + y ⎦ 表示變成 y 軸上的點 (0, x + y ) 的變換，但非正射影變換。 ⎡a b ⎤ ⎡0 0 ⎤ 9.若 A = ⎢ ，若 A ≠ ⎢ ⎥ ⎥ ，但 det A = 0 ， ⎣c d ⎦ ⎣0 0 ⎦.
(3) ⎡a b ⎤ a b 1 = = k ，即將每一點映至直線 y = x 上，即 A = ⎢ ⎥ 將坐標 c d k ⎣c d ⎦ 平面全映至此直線上。 (2)不退化情形( det A ≠ 0 )： (a)基本矩陣：由 I n 經過基本列運算 Rij , rRi , rRi + R j 所得到的ｎ階矩陣，稱為 則必. ｎ階基本矩陣。 ⎡0 1 ⎤ 1.若 A = ⎢ ⎥ ，即 R12 ，此時 det A ≠ 0 ， ⎣1 0 ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ y ⎤ 則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣ y ⎦ ⎣1 0⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ x ⎦ 表示對於直線 y = x 的變換 ⎡ r 0⎤ 2.若 A = ⎢ ⎥ ，即 rR1 ，此時 det A ≠ 0 ， ⎣0 1 ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡ r 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡rx ⎤ 則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣ y ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ y ⎦ 表示對水平方向伸縮 r 倍，鉛垂方向不變的變換 ⎡1 0 ⎤ 3.若 A = ⎢ ⎥ ，即 rR2 ，此時 det A ≠ 0 ， ⎣0 r ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ 則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ， ⎣ y ⎦ ⎣0 r ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ry ⎦ 表示對鉛垂方向伸縮 r 倍，水平方向不變的變換 ⎡1 0⎤ 4.若 A = ⎢ ⎥ ，即 rR1 + R2 ，此時 det A ≠ 0 ， ⎣r 1⎦ ⎡ x ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ 則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥， ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣ y ⎦ ⎣r 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎣rx + y ⎦ 表示鉛垂方向推移 ru 的變換 ⎡1 r ⎤ 5.若 A = ⎢ ⎥ ，即 rR2 + R1 ，此時 det A ≠ 0 ， ⎣0 1 ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡1 r ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x + ry ⎤ 則 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥， ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣ y ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ y ⎦ 表示水平方向推移 ry 的變換.
(4) 【結論】 類型. det A. 退化. det A = 0. 幾何意義. 矩陣 ⎡0 0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎦ ⎣ 則將圖形映到一點 ⎡a b ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡ x'⎤ ⎡ax + by ⎤ ⎢ c d ⎥ ≠ ⎢0 0⎥ ⇒ ⎢ y '⎥ ≠ ⎢ cx + dy ⎥ 必 在 ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ y ' = mx ' 之直線上 則將圖形映至一直線 對原點旋轉 ⎡cosθ − sin θ ⎤ ⎢ sin θ cosθ ⎥ ⎦ ⎣ 對原點伸縮 ⎡h 0 ⎤ ⎢0 k ⎥, h, k > 0 ⎦ ⎣ 對原點、 x 軸、 y 軸、 y = x 、 y = − x 等鏡射 ⎡− 1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡− 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡ 0 − 1⎤ ⎢ 0 − 1⎥, ⎢0 − 1⎥, ⎢ 0 1⎥, ⎢1 0⎥, ⎢− 1 0 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎣ 以 x 軸、 y 軸為不變線之推移 ⎡1 r ⎤ ⎡1 0⎤ ⎢ 0 1⎥ , ⎢ r 1 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣. 旋轉. 伸縮 非退化. det A ≠ 0 鏡射. 推移. 【性質】 (1)若 A 是一個 n 階方陣，且 det A ≠ 0 ，則 A 經過矩陣的列運算後必可以化成為 −1. −1. −1. I n ，即 Ek Ek −1 " E1 A = I n ，則 A−1 = E1 " Ek −1 Ek 。 (2)若 A 是一個 n 階方陣，且 det A ≠ 0 ，則 A 將坐標平面上的點映成為整個坐標 平面，且 A 所表示的變換為鏡射、伸縮、推移或其組合。 (3)每個基本矩陣都有乘法反矩陣， ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ A、 A = ⎢ ，則 A −1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣1 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎤ ⎡1 ⎡ r 0⎤ 0⎥ −1 ⎢ B、 A = ⎢ ，則 A = r ⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎦ ⎣ 1 0 ⎡ ⎤ ⎡1 0 ⎤ C、 A = ⎢ ，則 A−1 = ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢⎣0 r ⎥⎦ ⎣0 r ⎦ ⎡1 0⎤ ⎡ 1 0⎤ D、 A = ⎢ ，則 A −1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣r 1⎦ ⎣− r 1⎦ ⎡1 r ⎤ ⎡1 − r ⎤ E、 A = ⎢ ，則 A −1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 1 ⎦.
(5) 【性質】 基本列運算： 1. 兩列交換。 2. 某列乘以 r 倍。 3. 某列乘以 r 倍再加到另一列。 上述三種基本列運算都可以對應到一個基本矩陣如下，且基本矩陣的反矩陣也都 是基本矩陣。 ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ 1. A = ⎢ (且 A −1 = ⎢ ⎥ ⎥ )。 ⎣1 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎤ ⎡1 ⎡1 0 ⎤ ⎡ r 0⎤ ⎡1 0 ⎤ 0⎥ −1 −1 ⎢ ⎢ 1 ⎥ )。 A = )或 A=⎢ (且 A = (且 A = r ⎥ ⎢0 r ⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎢⎣0 r ⎥⎦ ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡1 0⎤ ⎡1 r ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡1 − r ⎤ 3. A = ⎢ )或 A = ⎢ (且 A −1 = ⎢ (且 A −1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ )。 ⎣r 1⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣− r 1⎦ ⎣0 1 ⎦ 【例題】 ⎡3 5⎤ 求A=⎢ ⎥ 的反矩陣的高斯消去法過程與其對應的矩陣運算： ⎣1 2⎦ ⎡3 5 1 0⎤ ⎢1 2 0 1⎥ ( ⇔ [ A | I ] ) ⎦ ⎣. 2.. ⎡ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎤ ⎢⎢ ⎥A⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣⎢ ⎣1 0⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎡ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1 ⎤ →⎢ ( ⇔ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣0 − 1 1 − 3⎦ ⎣⎢ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎡ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1⎤ →⎢ ( ⇔ ⎢⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣0 1 − 1 3⎦ ⎣⎢ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎦⎥ ⎡1 0 2 − 5⎤ →⎢ ⎥ ⎣0 1 − 1 3 ⎦ ⎡ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎤ ( ⇔ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎣⎢ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎦⎥ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 − 2⎤ 設 E4 = ⎢ , E3 = ⎢ , E2 = ⎢ , E1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣0 1 ⎦ 則最後一式可改成 [ E 4 E3 E 2 E1 A | E 4 E3 E 2 E1 I ] ，也就是 E 4 E3 E 2 E1 A = I. ⎡1 2 0 1⎤ →⎢ ⎥(⇔ ⎣3 5 1 0⎦. −1. −1. −1. ⇒ A = E1 E 2 E3 E 4 −1. −1 −1. −1. −1. −1. −1. −1. −1. 可得 ( E 4 E3 E 2 E1 )( E1 E 2 E3 E 4 ) = ( E1 E 2 E3 E 4 )( E 4 E3 E 2 E1 ) = I 故 E 4 E3 E 2 E1 為 A 之乘法反元素。 由 (det E 4 )(det E3 )(det E 2 )(det E1 )(det A) = det I ，也可知當 det A ≠ 0 時，乘法反矩 陣存在。.
(6) 【性質】 二階方陣所對應的平面變換 以下四種基本的線性變換是針對點的平移、旋轉、伸縮、對稱 (1)平移：（保持形狀與大小） 點 P ( x, y ) 經過平移 v = (h, k ) 後得點 P ' ( x' , y ' ) ， 則 ( x ' , y ' ) = ( x , y ) + ( h, k ) ⎡ x'⎤ ⎡ x ⎤ ⎡h ⎤ 即⎢ ⎥ = ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ y '⎦ ⎣ y ⎦ ⎣k ⎦ (2)旋轉：（保持形狀與大小） 點 P ( x, y ) 以原點為中心旋轉 θ 角後得點 P ' ( x' , y ' ) ，則 ⎡x ⎤ ⎡ x'⎤ ⎡cos θ − sin θ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢ sin θ cos θ ⎥ ⎢ y ⎥ = A⎢ y ⎥ ⎣ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ cos θ sin θ − ⎤ ⎡ 稱矩陣 ⎢ ⎥ 為旋轉矩陣 ⎣ sin θ cos θ ⎦ 幾何意義： 點 P ( x, y ) 的輻角 α 旋轉 θ 角得點 P ' ( x' , y ' ) 輻角的 α + θ ，長度不變 x y ⎧ 2 2 cosθ − sin θ ) = x 2 + y 2 cos(α + θ ) ⎪ x' = x cosθ − y sin θ = x + y ( 2 2 2 2 x +y x +y ⎪ ⎨ x y ⎪ y ' = x sin θ + y cosθ = x 2 + y 2 ( sin θ + cosθ ) = x 2 + y 2 sin(α + θ ) 2 2 2 2 ⎪ x +y x +y ⎩. 說明： 想成將 (1,0), (0,1) 變成 (cos θ , sin θ ), ( − sin θ , cos θ ) ，且線性變換 T (( x, y )) = AX ⎡1 ⎤ ⎡cosθ ⎤ ⎡0⎤ ⎡− sin θ ⎤ 故 A⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ , A⎢ ⎥ = ⎢ ⎣0⎦ ⎣ sin θ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣ cosθ ⎦ ⎡− sin θ ⎤ ⎡cos θ ⎤ T (( x, y )) = T ( x(1,0) + y (0,1)) = xT ((1,0)) + yT ((0,1)) = x ⎢ + y⎢ ⎥ ⎥ ⎣ cos θ ⎦ ⎣ sin θ ⎦.
(7) ⎡cosθ − sin θ ⎤ 若A=⎢ ⎥ 表旋轉變換， ⎣ sin θ cosθ ⎦ ⎡ cosθ sin θ ⎤ ⎡cos(−θ ) − sin( −θ )⎤ 則 A −1 = ⎢ ⎥ 逆變換， ⎥=⎢ ⎣− sin θ cosθ ⎦ ⎣ sin( −θ ) cos(−θ ) ⎦ 也就是將軸轉 − θ 角 在複數平面上的意義為將點 P ( x + iy ) 繞原點旋轉 θ 角 得到 P ' ( x '+iy ' ) 即 x'+iy ' = ( x + iy )(cos θ + i sin θ ) 轉軸意義： 將坐標系旋轉 θ 角，即是將點旋轉 − θ 角， 故坐標系旋轉即是將點 P ' ( x' , y ' ) 以原點為中心旋轉 θ 角後得點 P ( x, y ) ， ⎡ x ⎤ ⎡cosθ − sin θ ⎤ ⎡ x' ' ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢ sin θ cosθ ⎥ ⎢ y ' '⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ (3)伸縮： （保持形狀） (a)點 P ( x, y ) 以原點為中心伸縮 k 倍 ( k > 0) 得點 P ' ( x' , y ' ) ， ⎡ x'⎤ ⎡k 0 ⎤ ⎡ x ⎤ 則⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ y '⎦ ⎣ 0 k ⎦ ⎣ y ⎦ (b)水平方向的伸縮 ⎡ x ' ⎤ ⎡ k 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢ 0 1⎥ ⎢ y ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 當 k > 1 時，表示沿水平方向放大 k 倍 當 0 < k < 1 時，表沿示水平方向縮小 k 倍 當 k < 0 時，表示對 y 軸的鏡射以及沿水平方向的伸縮 (c)鉛直方向的伸縮 ⎡ x ' ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢0 k ⎥ ⎢ y ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 當 k > 1 時，表示沿鉛直方向放大 k 倍 當 0 < k < 1 時，表示沿鉛直方向縮小 k 倍 當 k < 0 時，表示對 x 軸的鏡射以及沿鉛直方向的伸縮 (4)鏡射：（保持形狀與大小） 假設 L 是與 x 軸夾角為 θ 的直線， 若點 P ( x, y ) 對直線 L 鏡射後得點 P ' ( x' , y ' ) ， ⎡ x'⎤ ⎡cos 2θ sin 2θ ⎤ ⎡ x ⎤ 則⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ y '⎦ ⎣ sin 2θ − cos 2θ ⎦ ⎣ y ⎦ 想法： 將變換分解成為兩步驟如下 ⎡ x'⎤ ⎡cos 2θ − sin 2θ ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡cos 2θ sin 2θ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢ sin 2θ cos 2θ ⎥ ⎢0 − 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ sin 2θ − cos 2θ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣ ⎦ ⎣ (5)推移： (a)點 P ( x, y ) 沿著 x 軸推移 y 坐標的 k 倍得點 P ' ( x' , y ' ) ， 若 ( x ' , y ' ) = ( x + kx, y ).
(8) ⎡ x ' ⎤ ⎡1 k ⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ 即 ⎣ y '⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ (b)點 P ( x, y ) 沿著 y 軸推移 x 坐標的 k 倍得點 P ' ( x' , y ' ) ，則 ( x ' , y ' ) = ( x, kx + y ) ⎡ x ' ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢k 1⎥ ⎢ y ⎥ ⎦⎣ ⎦ 即⎣ ⎦ ⎣ (6)旋轉加伸縮的合成變換 ⎡ x'⎤ ⎡a − b ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢b a ⎥ ⎢ y ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ (7)伸縮加推移的合成變換 ⎡ x'⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y '⎥ = ⎢ 0 a ⎥ ⎢ y ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 【性質】 ⎡cosθ − sin θ ⎤ ⎡cosθ ，鏡射方陣 B (θ ) = ⎢ 假設旋轉方陣 A(θ ) = ⎢ ⎥ ⎣ sin θ cosθ ⎦ ⎣ sin θ 1.. A(θ ) = 1 且 ( A(θ )) −1 = ( A(θ ))T. 2.. A(α ) A( β ) = A(α + β ) = A( β ) A(α ). 3.. A(θ ) n = A(nθ ). 4.. B(θ ) = −1 且 ( B(θ )) −1 = ( B (θ ))T. sin θ ⎤ ，則 − cosθ ⎥⎦. 5. B (α ) B ( β ) = A(α − β ) 6. A(α ) B ( β ) = B (α + β ) 7. B ( β ) A(α ) = B ( β − α ) 【結論】 平移 旋轉 伸縮 鏡射 推移 【性質】. 保長 有 有 無 有 無. 保角 有 有 無 有 無. 保積 有 有 無 有 有. ⎡a b ⎤ 假設 ∆ABC 經線性變換 M = ⎢ ⎥ 變成 ∆A' B' C ' ，試證 ∆A' B' C ' = det M × ∆ABC 。 ⎣c d ⎦ 證明： ax1 + by1 cx1 + dy1 1 x1 y1 1 det M 1 ∆A' B' C ' = × | ax2 + by 2 cx2 + dy 2 1 |= × | x2 2 y 2 1 = det M × ∆ABC 2 2 ax3 + by3 cx3 + dy3 1 x3 3 y3 1.
(9) 【問題】 ⎡0 − 1⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎡1 0⎤ 試說明 ⎢ ⎥ 等的線性變換涵義 ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎣1 0 ⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣− 1 0⎦ ⎣0 1⎦ ⎡cosθ − sin θ ⎤ ⎡ cosθ sin θ ⎤ ⎡cosθ sin θ ⎤ ⎡− cosθ 2. 試說明 ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎣ sin θ cosθ ⎦ ⎣− sin θ cosθ ⎦ ⎣ sin θ − cosθ ⎦ ⎣ sin θ 線性變換涵義。 3. 試寫出對於 x 軸的鏡射矩陣。 4. 試寫出對於 y 軸的鏡射矩陣。 5. 試寫出對於直線 L : y = x 的鏡射矩陣。 6. 試寫出對於直線 L : y = mx 的鏡射矩陣。 1.. 7.. sin θ ⎤ 等的 cosθ ⎥⎦. ⎡1 − m 2 2m ⎤ ⎢ ⎥ 2 1 + m2 ⎥ ) (解： ⎢1 + m 2 1− m ⎥ ⎢ 2m − ⎢⎣1 + m 2 1 + m 2 ⎥⎦ 試寫出點 P ( x, y ) 和對於直線 L : ax + by + c = 0(a 2 + b 2 ≠ 0) 的鏡射點 P1 ( x' , y ' ) 之間的關係。. 2ab ⎤ ⎡ ac ⎤ ⎡ b 2 − a 2 ac ⎤ ⎡ + + ' x x ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 2 2 ⎢ a + b ⎥ = ⎢a + b a + b ⎥⎢ a + b2 ⎥ ) (解： ⎢ ⎥ ⎢ bc bc ⎥ a 2 − b 2 ⎥⎢ ⎢ 2ab ⎢ y '+ 2 ⎥ ⎥ y+ 2 a + b 2 ⎦ ⎣⎢ a 2 + b 2 a 2 + b 2 ⎦⎥ ⎣ a + b2 ⎦ ⎣ 8. 設 L1 與 L2 的交角為 θ，點 P ( x, y ) 對於 L1 的對稱點 P1 ( x' , y ' )，P1 ( x' , y ' ) 對於 L2 的對稱點 P2 ( x' ' , y ' ' ) ，試找出 P ( x, y ) 與 P2 ( x' ' , y ' ' ) 的關係。 (提示：兩次對稱等於一次旋轉) ⎡cos 2θ − sin 2θ ⎤ (解： ⎢ ⎥) ⎣ sin 2θ cos 2θ ⎦ 9.. ⎡a n ⎡a 1 ⎤ n = A 設A=⎢ ( ≠ 0 ) a ，試證明 ⎢ ⎥ ⎣0 a ⎦ ⎣0. na n −1 ⎤ ⎥。 an ⎦.
(10) 【應用】 設 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 = d. ⎡ ⎢a 令M = ⎢ b ⎢ ⎣2. b⎤ 2⎥ ⎥ a⎥ ⎦ b⎤ ⎡ ⎢a 2 ⎥⎡ x⎤ ⇒ Γ : [x y ]⎢ ⎥⎢ ⎥ = d b ⎢ a ⎥⎣ y⎦ ⎣2 ⎦ ⎡ x⎤ ⇒ Γ : [x y ]M ⎢ ⎥ = d ⎣ y⎦ 對 M 對角化 設 M = PDP −1 ⎡α − β ⎤ 2 2 其中 P = ⎢ ⎥, α + β = 1 β α ⎣ ⎦ ⎡λ1 0 ⎤ 且D = ⎢ ⎥ ⎣ 0 λ2 ⎦ ⎡α 則 P −1 = ⎢ ⎣− β. β⎤ α ⎥⎦. ⎡ x⎤ y ]PDP −1 ⎢ ⎥ = d ⎣ y⎦ ⎡α − β ⎤ ⎡λ1 0 ⎤ ⎡ α β ⎤ ⎡ x ⎤ ⇒ Γ : [x y ]⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = d ⎥⎢ ⎣ β α ⎦ ⎣ 0 λ2 ⎦ ⎣− β α ⎦ ⎣ y ⎦ 0 ⎤ ⎡ αx + β y ⎤ ⎡λ ⇒ Γ : [αx + βy − βx + αy ]⎢ 1 ⎥⎢ ⎥=d ⎣ 0 λ 2 ⎦ ⎣ − β x + αy ⎦ ⇒ Γ : [x. ⎧ x ' = αx + β y 令⎨ ⎩ y ' = − β x + αy 0 ⎤ ⎡ x'⎤ ⎡λ ⇒ Γ : [x' y ']⎢ 1 ⎥⎢ ⎥ = d ⎣ 0 λ2 ⎦ ⎣ y '⎦ ⇒ λ1 x ' 2 + λ 2 y ' 2 = d.
(11) 【例題】 設 Γ : 3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 1 ⎡3 1⎤ 令M = ⎢ ⎥ ⎣1 3⎦ 1 ⎤ ⎡3 − λ det( M − λI ) = det ⎢ =0 3 − λ ⎥⎦ ⎣ 1 ⇒ λ = 4,2 (1) λ = 4 ⎡− 1 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⇒ (M − 4I ) X = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = 0 ⎣ 1 − 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡1⎤ ⇒ ⎢ ⎥ = t⎢ ⎥ ⎣ y ⎦ ⎣1⎦ (2) λ = 2 ⎡1 1⎤ ⎡ x ⎤ ⇒ (M − 2I ) X = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = 0 ⎣1 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡− 1⎤ ⇒ ⎢ ⎥ = t⎢ ⎥ ⎣ y⎦ ⎣ 1 ⎦ 對 M 對角化，設 M = PDP −1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 2 − 2⎥ 其中 P = ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦. ⎡4 0⎤ 且D = ⎢ ⎥ ⎣0 2⎦ ⎡ 1 ⎢ 則 P −1 = ⎢ 2 ⎢− 1 2 ⎣⎢ ⇒ Γ : [x. 1 ⎤ 2 ⎥⎥ 1 ⎥ 2 ⎦⎥. ⎡ x⎤ y ]PDP −1 ⎢ ⎥ = d ⎣ y⎦. y ⎡ x ⇒Γ:⎢ + 2 ⎣ 2. ⎡ y ⎤ ⎡4 0⎤ ⎢ − + ⎥⎢ ⎥⎢ 2 2 ⎦ ⎣0 4⎦ ⎢ − ⎢⎣ x. x y ⎧ ⎪⎪ x' = 2 + 2 (即轉軸 45° ) 令⎨ x y ⎪ y' = − + ⎪⎩ 2 2 2 2 ⇒ 4 x ' +2 y ' = 1. y ⎤ 2 2 ⎥⎥ = 1 x y ⎥ + 2 2 ⎥⎦. x. +.
(12) 【定義】 線性變換： 變換 T ( X ) = AX ，若滿足 T ( X + Y ) = T ( X ) + T (Y ) 者稱之 其中矩陣 A 稱為線性變換 T 的矩陣表示式 【例題】 1. Γ : {( x, y ) | −2 ≤ 2 x + y ≤ 4,2 ≤ x + 5 y ≤ 5, x, y ∈ R} 解答： ⎧ x' = 2 x + y 利用線性變換 ⎨ ⎩ y' = x + 5 y ⇒ Γ ': {( x, y ) | −2 ≤ x ' ≤ 4,2 ≤ y ' ≤ 5, x ' , y '∈ R} 得( Γ' 的面積)=( Γ 的面積) × det | M | ⇒ 18 = 9 × ( Γ 的面積) ⇒ ( Γ 的面積) = 2 x2 y2 2. 試求 Γ : 2 + 2 = 1 內接 ∆ABC 之最大面積？ 5 3 解答： x y 取線性變換 T ( x, y ) = ( , ) = ( x' , y ' ) 5 3 ⎡1 ⎤ ⎡ x'⎤ ⎢ 5 0 ⎥ ⎡ x ⎤ 即⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ y '⎦ ⎢ 0 1 ⎥ ⎣ y ⎦ 3⎦ ⎣ 2 代入得 Γ : x' + y ' 2 = 1 因圓內接 ∆A' B' C ' 之最大面積為正三角形的情形 得( ∆A' B' C ' 的面積)=( ∆ABC 的面積) × det | M | 3 3 1 = ( ∆ABC 的面積) × 4 15 45 3 ⇒ ( ∆ABC 的面積) = 4 ⎡1 3⎤ 設線性變換的矩陣為 M = ⎢ ⎥ ⎣1 1⎦ 並將 O (0,0), A( 4,0), B ( 4,2), C (0,2) 等四點變換成為 O ' , A' , B ' , C ' 等四點 試求 O' A' B' C ' 面積？ 解答： ( O' A' B' C ' 面積)=( OABC 面積) × det | M | 則 16 = 8 × 2 ⇒. 3..
(13)
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for some constant 1 and all sufficiently large , then Θ.
