代數第八章目錄

(1)

代數第八章

第八章一次函數...1

學習目標...1

8.1 節變數與函數...2

8.1 節習題...19

8.2 節一次函數的圖形...23

8.2 節習題...36

8.3 節一次函數的應用...39

8.3 節習題...51

第八章綜合習題...54

基測與會考試題...60

習題解答...64

(2)

第八章一次函數

在本章中，我們將開始接觸函數。函數可以想像成一部機器，將原料投入，就會有產品被製造出來。熟悉了函數以後，我們將可利用函數處理許多常見的應用問題。

學習目標

1.瞭解什麼是函數。

2.能在直角座標上畫出函數圖形。

3.能處理簡單的函數應用題。

8-0

(3)

8.1 節變數與函數

在日常生活中，我們常常可以發現幾組數字之間有對應的關係存在。例如陳先生25 歲時體重是75 公斤；26 歲時是 76 公斤…30 歲時體重是 94 公斤，如表 8.1-1。

年齡(歲) 25 26 27 28 29 30 31 32 體重(公斤) 75 76 80 85 89 94 94 92

表8.1-1

從表8.1-1 中，我們只要知道陳先生的年齡，就可以得知他的體重。但是反過來說，

知道體重未必能知道年齡，例如體重是94 公斤，年齡會有 30 歲與 31 歲兩種可能。

再看一個例子，平年時，1 月有 31 天，2 月有 28 天，3 月有 31 天…我們將月份與日數的關係列出來，如表8.1-2。

月份 1 2 3 4 5 6 7 8

日數 31 28 31 30 31 30 31 31

表8.1-2

從表8.1-2 中，我們只要知道月份，就能知道日數。但是知道日數，卻不能決定一個月份，例如日數是30，則月份有可能是 4 月或 6 月。

以上的例子，都各有兩組資料(簡稱為 A、B)，如果給定一個 A 組的資料，就能決定出 B 組的一個資料，則我們稱這樣的對應關係是函數。

(4)

表8.1-1 中，體重是年齡的函數，因為知道年齡就能決定體重。但是年齡不是體重的函數，因為知道體重未必能得到年齡。

表8.1-2 中，日數是月份的函數，因為知道月份就能決定日數。但是月份不是日數的函數，因為知道日數未必能得到月份。

在繼續介紹函數前，我們先介紹一個名詞「變數」。

一個可以任意決定或是改變的數，稱為「變數」。變數又分為自變數跟應變數。

可依不同條件給予不同的數值，稱為「自變數」。

會隨著不同的自變數而變化，稱為「應變數」。

例如某雜貨店1 瓶礦泉水 15 元，我們可選擇買 1 瓶、2 瓶、3 瓶…等，購買的瓶數為自變數。決定了瓶數後，則總價也會跟著決定，如 1 瓶總價為 15 元、2 瓶總價為 30 元、3 瓶總價為 45 元…，此時總價為應變數，如表 8.1-3。

自變數數量(瓶) 1 2 3 4 5 6 7

應變數總價(元) 15 30 45 60 75 90 105 表8.1-3

對於函數，我們還可以再舉出許多例子。例如想像成一把尺，只要給一個物品，就能量出此物品長度是幾公分。即自變數是物品，應變數是長度。

原子筆長度 → 18 公分鉛筆長度 → 15 公分寶特瓶高度 → 23 公分數學課本厚度 → 2 公分手機長度 → 15 公分筆記本長度 → 22 公分

8-2

(5)

用圖表示

圖8.1-1

由圖8.1-1 可知，每個物品(自變數)經過直尺測量後，只會有一個長度(應變數)，不會有一枝鉛筆量出兩種長度的情形。另外，有可能會有兩種物品量得的長度是一樣的，

如鉛筆和手機。

看完這些例子後，藉由自變數與應變數，我們可以給函數一個更明確的定義：

對於給定的一個x 值，經過某一對應方式後得到「唯一」的 y 值，這種對應方式我們稱 為函數，其中x 是自變數，y 是應變數。

而在表8.1-3 中，每個自變數都對應到一個不同的應變數，可稱為一對一函數。

圖8.1-1 中，有多個自變數對應到同一個應變數，可稱為多對一函數。

當然，若是一對多的情形，根據定義，就不是函數了。

(6)

例題 8.1-1

八年一班的某次數學段考，其座號與分數如表8.1-4：

座號 1 2 3 4 5 6 7 8

分數 100 95 80 95 90 80 85 75 表8.1-4

試回答下列問題。

(1)座號 1 的同學多少分？座號 4 的同學多少分？

(2)分數為 95 分的同學是幾號？

(3)分數對應到座號的方式是否為函數？座號對應到分數的方式是否為函數？

詳解：

(1) 由表可知，座號 1 的同學為 100 分；座號 4 的同學為 95 分。

(2) 由表可知，95 分的同學有 2 號與 4 號。

(3) 給定任一 x 後，必須對應到「唯一」的 y，這種對應方式稱為函數

分數對應到座號的方式不是函數，因為當分數為95 時，座號會對應到 2 與 4，無法對應到唯一一個座號。

座號對應到分數的方式是函數，因為每個座號都可對應到唯一一個分數。

【練習】8.1-1

小王的身高和年齡關係如表8.1-5，請問身高對應到年齡的方式是否為函數？年齡對應到身高的方式是否為^函數？

身高(公分) 159 166 169 170 171 171 172 172 年齡(歲) 13 14 15 16 17 18 19 20

表8.1-5

8-4

(7)

例題 8.1-2

某長方形，已知其寬為5 公分，長為 x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題 (1) 列出 x、y 的關係式。

(2) x 對應到 y 的方式是否為函數？

詳解：

(1) 長方形面積等於長乘以寬。列式：^y^⁵^x

(2) 因為 x、y 的關係式為^y^⁵^x，即給定一個x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應到 y 的方式是函數。

【練習】8.1-2

某三角形，已知其底為4 公分，高為 x 公分，面積為 y 平方公分，試回答下列問題 (1) 列出 x、y 的關係式。

例題 8.1-3

便利商店1 盒豆漿賣 20 元，若買 x 盒，總價為 y 元，試回答下列問題。

(1) 列出 x、y 的關係式。

詳解：

(1) 單價 20 元，總價等於盒數乘以單價。列式：^y^²⁰^x

(2) 因為 x、y 的關係式為^y^²⁰^x，即給定一個x，就能決定一個 y 值，因此 x 對應 到y 的方式是函數。

(8)

【練習】8.1-3

水果店1 斤西瓜賣 30 元，若買 x 斤，總價為 y 元，試回答下列問題。

(2)x 對應到 y 的方式是否為函數？

接下來讓我們更深入地討論函數。

習慣上我們會使用f、g 等字母來表示函數，連結自變數 x 及應變數 y，例如^y^ ^f^(x⁾或

) (x g

y 。以例題8.1-3 為例，自變數 x 為盒數，應變數 y 為總價(元)。以函數 ^f 來表示，

則可列出 ^f⁽¹⁾^²⁰、 ^f⁽²⁾^⁴⁰、 ^f⁽³⁾^⁶⁰…等。由關係式 ^y^²⁰^x，我們也可以寫出

x x

f( )20 。

當x 時，其對應值 f(a) 稱為函數a ^f 在x 的函數值。a 例題 8.1-4

已知一個正整數與其正因數的個數是函數關係。x 表示正整數， ^f ^(x⁾表示x 的正因 數個數，如4 的正因數有 1、2、4，共 3 個，得 ^f⁽⁴⁾^³。試求f(5)、f(6)、f(9)、f(17)之 值。

詳解：

5 的正因數有 1、5，共 2 個，得 ^f⁽⁵⁾^²

6 的正因數有 1、2、3、6，共 4 個，得 ^f⁽⁶⁾^⁴ 9 的正因數有 1、3、9，共 3 個，得 ^f⁽⁹⁾^³ 17 的正因數有 1、17，共 2 個，得 ^f⁽¹⁷⁾^²

【練習】8.1-4

某旅館住宿1 天需 900 元。我們以 x 表示住宿天數， ^f^(x⁾表示總價，如住宿2 天需要90021800元，得 ^f⁽²⁾^¹⁸⁰⁰。試求f(3)、f(4)、f(6)之值。

函數也可以跟之前學過的代數式結合。例如1 盒餅乾30 元，我們以 x 表示盒數， ^f^(x⁾ 表示總價，我們可以寫出餅乾總價的函數為 ^f⁽^x⁾^³⁰^x，以此計算f(3)、f(4)、f(6)之值。

90 3 30 ) 3

(   

f 、 ^f⁽⁴⁾^³⁰^⁴^¹²⁰、 ^f⁽⁶⁾^³⁰^⁶^¹⁸⁰ 例題 8.1-5

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²，試求f(1)、f(2)、f(5)、f(10)、f(50)之值。

8-6

(9)

詳解：

5 2 ) 1 ( 3 ) 1

(     f

8 2 ) 2 ( 3 ) 2

(    

f

17 2 ) 5 ( 3 ) 5

(    

f

32 2 ) 10 ( 3 ) 10

(    

f

152 2 ) 50 ( 3 ) 50

(    

f

【練習】8.1-5

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}⁴ ^¹，試求f(1)、f(2)、f(8)、f(20)、f(50)之值。

(10)

例題 8.1-6

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^⁶，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。a 詳解：

依題意 ^f⁽^a⁾^²^⁽^a⁾^⁶^⁰

0 6 2a 

3

 a

【練習】8.1-6

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^³，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。a

例題 8.1-7

已知 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，若 ^f⁽¹⁾^⁵， ^f⁽²⁾^⁷，試求 ^f^(x⁾。詳解：

依題意 ^f⁽^x⁾^âx^^b、 ^f⁽¹⁾^â^^b^⁵、 ^f⁽²⁾^²â^^b^⁷ 寫成聯立方程式











 7 2

5 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

(  得^a^²，代入(1)得^b^³ 得 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^³

驗算： ^f⁽¹⁾^²^¹^³^⁵、 ^f⁽¹⁾^²^²^³^⁷

【練習】8.1-7

已知 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，若 ^f⁽¹⁾^^⁴， ^f⁽²⁾^^¹，試求 ^f^(x⁾。

8-8

(11)

函數變數的代換

若有一個函數 ^f⁽^x⁾^{ x}^³，我們已經知道當變數x 時，函數值a ^f⁽â⁾^{ a}^³。當變數^x^{ a}^¹時， ^f⁽â^¹⁾^⁽â^¹⁾^³^â^⁴

我們也可以再將 a 換成 x，得到 ^f⁽^x^¹⁾^⁽^x^¹⁾^³^^x^⁴ 同樣的方法可以得到， ^f⁽^x^¹⁾^⁽^x^¹⁾^³^^x^²

例題 8.1-8

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹，試求：

(1) ^f^{( y}⁾ (2) ^f^(a⁾ (3) ^f⁽^y^¹⁾ (4) ^f⁽^a^¹⁾ 詳解：

(1) ^f⁽^y⁾^³⁽^y⁾^¹^³^y^¹ (2) ^f⁽â⁾^³⁽â⁾^¹^³â^¹

(3) ^f⁽^y^¹⁾^³⁽^y^¹⁾^¹^³^y^³^¹^³^y^² (4) ^f⁽â^¹⁾^³⁽â^¹⁾^¹^³â^³^¹^³â^⁴

【練習】8.1-8

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}^ ^⁶，試求：

(1) ^f^(b⁾ (2) ^f^(z⁾ (3) ^f⁽^b^¹⁾ (4) ^f⁽^z^²⁾

(12)

例題 8.1-9

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^¹，試求：

(1) ^f⁽^x^¹⁾ (2) ^f⁽^x^¹⁾ (3) ^f^{( x}² ⁾ (4) ^f ⁽²^x^¹⁾ 詳解：

(1) ^f⁽^x^¹⁾^²⁽^x^¹⁾^¹^²^x^²^¹^²^x^³ (2) ^f⁽^x^¹⁾^²⁽^x^¹⁾^¹^²^x^²^¹^²^x^¹ (3) ^f⁽²^x⁾^²⁽²^x⁾^¹^⁴^x^¹

(4) ^f⁽²^x^¹⁾^²⁽²^x^¹⁾^¹^⁴^x^²^¹^⁴^x^³

【練習】8.1-9

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²，試求：

(1) ^f⁽^x^¹⁾ (2) ^f⁽^x^¹⁾ (3) ^f^{( x}² ⁾ (4) ^f ⁽²^x^¹⁾

8-10

(13)

合成函數

熟悉了一個函數之後，接下來介紹由兩個函數合起來的合成函數。

我們先回顧前面看過的範例，用尺量物品的長度是幾公分。

圖8.1-1

如果今天我們想知道鉛筆長度是幾公釐，則需要將量出來的 15 公分再轉換為 150 公釐，用圖表示：

圖8.1-2

這裡可以想成有兩個函數，第一個函數將物品轉換為長度(公分)，第二個函數將長度 (公分)轉換為長度(公釐)。

(14)

當然，我們也可以將兩張圖畫在一起：

圖8.1-3

從圖8.1-3 中，可以清楚地看到，物品轉換為公分，再轉換為公釐的過程。

這時可能也會有同學想，能不能一開始就拿刻度為公釐的尺來量，如此就不需要經過兩次轉換，如圖8.1-4

圖8.1-4

拿刻度為公釐的尺來量，相當於將兩個函數合併為一個函數。像這樣將兩個函數，合成為一個函數，就是合成函數的概念。

8-12

(15)

我們從代數式來看合成函數：

有兩個函數 ^f⁽^x⁾^³^x與^g⁽^x⁾^{ x}² ^¹，我們想知道x ²代入 ^f^(x⁾所得到的函數值，再代入^g^(x⁾會有什麼結果。

首先將^x^²代入 ^f^(x⁾，得 ^f⁽²⁾^⁶，再將^x^⁶代入^g^(x⁾，得到^g⁽⁶⁾^¹³。這樣的過程，相當於求^g^{( f}⁽²⁾⁾的值。

我們也可以將兩函數合起來寫成合成函數^g⁽^f ⁽^x⁾⁾，亦可用g  ^f^{( x}⁾表示：

)) ( (f x

g g( x3 ) 1 ) 3 (

2 

 x

1 6 

 x

我們可以直接從^g⁽^f ⁽^x⁾⁾找出^g^{( f}⁽²⁾⁾的值，即^g⁽^f⁽²⁾⁾^⁶^⁽²⁾^¹^¹³。

既然可以找出^g⁽^f ⁽^x⁾⁾，那麼當然也能找出 ^f⁽^g⁽^x⁾⁾，要注意的是，^g⁽^f⁽^x⁾⁾與 ^f⁽^g⁽^x⁾⁾ 未必是相同的。

)) ( (g x

f  f(2x1) ) 1 2 (

3 

 x

3 6 

 x

(16)

例題 8.1-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹，^g⁽^x⁾^⁷^x，試回答下列問題。

(1)若 ^f⁽²⁾^^a，則a 之值為何？

(2)承(1)，^g⁽^a⁾^^? (3)^g⁽^f⁽^x⁾⁾^^?

(4)利用(3)的結果，求 ^g^{( f}⁽²⁾⁾之值。

詳解：

(1)^a^{ f}⁽²⁾^³^⁽²⁾^¹^⁶^¹^⁵，a5

(2)^g⁽^a⁾^{ g}⁽⁵⁾^⁷^⁽⁵⁾^³⁵

(3)^g⁽^f⁽^x⁾⁾^ ^g⁽³^x^¹⁾^⁷⁽³^x^¹⁾^²¹^x^⁷ (4)^g⁽^f⁽²⁾⁾^²¹^²^⁷^³⁵

【練習】8.1-10

已知 ^f⁽^x⁾^³^x，^g⁽^x⁾^{ x}⁴ ^³，試回答下列問題。

(1)若 ^f⁽²⁾^^a，則a 之值為何？

(2)承(1)，^g⁽^a⁾^^? (3)^g⁽^f⁽^x⁾⁾^^?

(4)利用(3)的結果，求 ^g^{( f}⁽²⁾⁾之值。

8-14

(17)

例題 8.1-11

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^⁵，^g⁽^x⁾^{ x}^³。試求：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ (2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾ 詳解：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ ^^g⁽²^x^⁵⁾

3 ) 5 2

(  

 x 2 2 

 x

(2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾ ^ ^f⁽^x^³⁾

5 ) 3 (

2  

 x 5 6 2  

 x 1 2 

 x

【練習】8.1-11

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}⁴ ^¹，^g⁽^x⁾^{ x}^²。試求：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ (2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾

例題 8.1-12

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^⁴，^g⁽^x⁾^{ x}³ ^⁸。試求：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ (2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾ 詳解：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ ^^g⁽²^x^⁴⁾

8 ) 4 2 (

3  

 x

20 6 

 x

(2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾ ^ ^f⁽³^x^⁸⁾

4 ) 8 3 (

2  

 x

20 6 

 x

【練習】8.1-12

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^¹，^g⁽^x⁾^{ x}^¹試求：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ (2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾

例題 8.1-13

設 ^f⁽^x⁾^{ 4}^x^^a，^g⁽^x⁾^{ x}⁵ ^²，若^g⁽^f⁽^x⁾⁾^ ^f⁽^g⁽^x⁾⁾，試求a 之值。

(18)

a x x

f( ) 4  ，^g⁽^x⁾^{ x}⁵ ^²

)) ( (f x

g g(4xa) 2 ) 4 (

5  

 x a

2 5 20  

 x a

)) ( (g x

f  f(5x2) a x 

4(5 2) a x 

20 8 )) ( ( )) (

(f x f g x

g 

a x a

x5 220 8 20

a a28 5

2 8 5a a 

6 4a

2

 3 a

同學可以自行驗算，在

2

 3

a 時，

2 20 19 )) ( ( )) (

(f x  f g x  x g

8-16

(19)

【練習】8.1-13

設 ^f⁽^x⁾^{ x}⁵ ^¹，^g⁽^x⁾^{ 2}^x^^a，若^g⁽^f⁽^x⁾⁾^ ^f⁽^g⁽^x⁾⁾，試求a 之值。

例題 8.1-14

設 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹，試求 ^f^{( f}⁽²⁾⁾之值。

詳解：

作法一：先求出 ^f⁽²⁾，再代入 ^f^(x⁾。

7 1 ) 2 ( 3 ) 2

(     f

22 1 ) 7 ( 3 ) 7 ( )) 2 (

(f  f     f

得 ^f⁽^f⁽²⁾⁾^²²

作法二：找出 ^f⁽^f⁽^x⁾⁾，再將x2代入。

4 9 1 ) 1 3 ( 3 ) 1 3 ( )) (

(f x  f x  x   x f

22 4 ) 2 ( 9 )) 2 (

(f     f

得 ^f⁽^f⁽²⁾⁾^²²

【練習】8.1-14

設 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^⁶，試求 ^f^{( f}⁽³⁾⁾之值。

(20)

8.1 節習題

習題 8.1-1

平年時，月份與日數的關係如下表：

月份 1 2 3 4 5 6 7 8

日數 31 28 31 30 31 30 31 31 試回答下列問題。

(1)4 月份有幾天？8 月份有幾天？

(2)日數 28 天的是幾月？

(3)月份是否為日數的函數？日數是否為月份的函數？

習題 8.1-2

某正方形，已知其邊長為x 公分，周長為 y 公分，試回答下列問題。

習題 8.1-3

便利商店1 瓶果汁賣 35 元，若買 x 瓶，總價為 y 元，試回答下列問題。

8-18

(21)

習題 8.1-4

已知1 瓶果汁賣 35 元，若 x 表示購買瓶數， ^f ^(x⁾表示為總價。如買1 瓶時，總價

35 ) 1 ( 

f ；買2 瓶時，總價^f⁽²⁾^⁷⁰。試求 ^f⁽³⁾、 ^f⁽⁴⁾之值。

習題 8.1-5

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}⁵ ^³，試求 ^f⁽¹⁾、 ^f⁽⁴⁾、 ^f⁽⁵⁾、 ^f⁽¹⁰⁾、 ^f⁽¹⁰⁰⁾之值。

習題 8.1-6

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}^ ^¹，若在x  時函數值為 0，試求 a 之值。a

習題 8.1-7

已知 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，若 ^f⁽²⁾^³， ^f⁽⁰⁾^^¹，試求 ^f^(x⁾。

習題 8.1-8

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}^⁵，試求：

(1) ^f⁽^x^¹⁾ (2) ^f^{( x}² ⁾ (3) ^f⁽^x^⁶⁾ (4) ^f⁽²^x^¹⁾

(22)

習題 8.1-9

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}⁵ ^¹，^g⁽^x⁾^²^x，試回答下列問題。

(1)若 ^f⁽³⁾^^a，則a 之值為何？

(2)承(1)，^g^(a⁾^？ (3)^g⁽^f⁽^x⁾⁾^ ？

(4)利用(3)的結果，求 ^g^{( f}⁽³⁾⁾之值。

習題 8.1-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²，^g⁽^x⁾^{ x}² ^³。試求：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ (2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾

習題 8.1-11

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}^⁴，^g⁽^x⁾^{ x}² ^¹。試求：

(1)^g⁽^f⁽^x⁾⁾ (2) ^f⁽^g⁽^x⁾⁾

8-20

(23)

習題 8.1-12

設 ^f⁽^x⁾^{ 3}^x^^a，^g⁽^x⁾^{ x}⁴ ^¹，若^g⁽^f⁽^x⁾⁾^ ^f⁽^g⁽^x⁾⁾，試求a 之值。

習題 8.1-13

設 ^f⁽^x⁾^{ x}⁴ ^¹，試求 ^f^{( f}⁽⁴⁾⁾之值。

(24)

8.2 節一次函數的圖形

前一節我們認識了什麼是函數，本節中我們要進一步把函數圖形描繪在直角座標上。

對於一個函數 ^f ，令^y^ ^f^(x⁾，將 x 的值與其對應的 y 值寫成數對(x,y)，並描繪在直 角座標上，就是函數 ^f 的圖形。

例如 8.1 節中我們看過月份對應到日數的函數

自變數x 月份 1 2 3 4 5 6 7 8

應變數y 日數 31 28 31 30 31 30 31 31 表8.2-1

由月份1 對應到日數 31，我們可以寫成 ^f⁽¹⁾^³¹，即數對為(1,31)。同樣地，也可以寫出接下來的數對為(2,28)、(3,31)、(4,30)...等。

我們來將這些數對畫在直角座標平面上：

圖8.2-1

8-22

x

y

(25)

除了在直角座標上描出點以外，我們也可以畫出如 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹用代數式表示的函數。

我們來畫畫看 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹的圖形。以前曾學過，^y^{ x}³ ^¹在直角座標上的圖形是一條直線。可想而知，若我們令變數為x 座標，函數值為 y 座標，即^y^ ^f⁽^x⁾^³^x^¹，則此函數圖形也會是一條直線。因此我們只要取兩點做直線，就能得到 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹的圖形。

由 ^f⁽⁰⁾^¹、 ^f ⁽¹⁾^⁴，我們取(0,1)、(1,4)兩點，並連線，如圖8.2-2。

圖8.2-2

對於函數 ^f^{( x}⁾，若畫出來為直線圖形，可以通稱為線型函數。

線型函數的形式為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，又可分為一次函數與常數函數。

一次函數：即變數x 最高次數為1，且 x 項係數不為 0。

形式為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b、a0，畫出來的圖形為斜直線。

常數函數：即沒有變數x，只有常數。不論變數為何，函數值都不會改變。

形式為 ^f⁽^x⁾^^b，畫出來的圖形為水平線。

※ 垂直線圖形因為一個 x 會對應到無數個 y，因此 x 對應到 y 的方式不是函數。

本節我們介紹的重點會放在一次函數

x

y

^f⁽^x⁾^{ x}³ ^¹

(26)

例題 8.2-1

(A) ^f⁽^x⁾^²^x (B) ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^² (C)

3 ) 2 (x  f

(D) ^f⁽^x⁾^^x² ^³^x(E)

x x

f 1

)

(  (F) ^f⁽^x⁾^^⁷ 以代號回答下列問題：

(1)一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

詳解：

我們來判斷各代號是什麼樣的函數：

(A) ^f⁽^x⁾^²^x，x 的最高次數為1，是一次函數，也是線型函數。

(B) ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²，x 的最高次數為1，是一次函數，也是線型函數。

(C) 3 ) 2 (x 

f ，沒有x 項，即 x 次數為0，是常數函數，也是線型函數。

(D) ^f⁽^x⁾^^x² ^³^x，x 的最高次數為2，非線型函數。

(E) f x 1x )

(  ，線型函數的形式為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b，

x

1 的變數x 在分母，所以不是線型函 數。

(F) ^f⁽^x⁾^^⁷，沒有x 項，即 x 次數為0，是常數函數，也是線型函數。

根據以上判斷可回答：

(1)一次函數有(A)、(B)。

(2)常數函數有(C)、(F)。

(3)線型函數有(A)、(B)、(C)、(F)。

8-24

(27)

例題 8.2-2

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^x的圖形。

詳解：

x x

f( ) 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 ^f⁽⁰⁾^⁰、 ^f⁽¹⁾^¹，可得兩點(0,0)、(1,1)。

^f⁽^x⁾^^x

圖8.2-3

【練習】8.2-2

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^²^x的圖形。

x y

x

y

(28)

例題 8.2-3

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^³^x^²的圖形。

詳解：

2 3 )

(x  x

f 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 ^f⁽⁰⁾^²、 ^f⁽¹⁾^^¹，可得兩點(0,2)、(1,-1)。

^f⁽^x⁾^^³^x^²

圖8.2-4

【練習】8.2-3

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^⁶^x^⁷的圖形。

8-26

x y

x

y

(29)

例題 8.2-4

在直角座標上畫出

2 1 ) 3

(  

 x

x f

y 的圖形。

詳解：

2 1 ) 3

(  x x

f 為一次函數，因此只要找出兩點並連線就能得到圖形。

由 ^f⁽¹⁾^²、 ^f⁽^¹⁾^^¹，可得兩點(1,2)、(-1,-1)。

2 1 ) 3

(  x x

f

圖8.2-5

【練習】8.2-4

3 ) 3

(  

 x

x f

y 的圖形。

x y

x

y

(30)

例題 8.2-5

圖8.2-6 為一次函數^y^ ^f⁽^x⁾^^ax^⁴的圖形。

試求a、b 之值。

詳解：

由圖8.2-6 可知，^(¹^,²⁾在此函數圖形上，

即 ^f⁽^¹⁾^²，代入 ^f⁽^x⁾^{ ax}^⁴

2 4 ) 1 (  



a ，解得a2

得此函數為 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^⁴

) , 3

( b 在函數圖形上，

即 ^f⁽^{ )}³ ^^b，代入 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^⁴ 圖8.2-6

b





( 3) 4

2 ，解得^b^^²

2

a 、b2

【練習】8.2-5

圖8.2-7 為一次函數^y^ ^f⁽^x⁾^^ax^³的圖形。

試求a、b 之值。

圖8.2-7 例題 8.2-6

已知一次函數 ^f⁽^x⁾^⁷^x^^m^⁴的圖形通過原點，試求m 之值。

詳解：

一次函數的圖形通過原點，表示^x^⁰時，函數值為0，即 ^f⁽⁰⁾^⁰。

0 4 4

0 7 ) 0

(   m m  f

得^m^⁴

8-28

x x y

x

y

(31)

【練習】8.2-6

已知一次函數 ²

3 ) 1

(x  xm

f 的圖形通過原點，試求m 之值。

例題 8.2-7

已知 ^f^(x⁾為一次函數，且 ^f⁽²⁾^⁸、 ^f⁽^¹⁾^^¹，試求 ^f^(x⁾。詳解：

因為 ^f^(x⁾是一次函數，我們可以設 ^f⁽^x⁾^âx^^b，â^⁰。由 ^f⁽²⁾^⁸，可得 â^²^^b^⁸

8 2a b

由 ^f⁽^¹⁾^^¹，可得^a^⁽^¹⁾^^b^^¹

1





a b

寫成聯立方程式















 1 8 2

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由⁽¹⁾^⁽²⁾得³â^⁹，â^³ 將â^³代入⁽¹⁾ 得^b^² 即一次函數 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²

驗算： ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^²，我們算算看 ^f⁽²⁾與 ^f^(¹⁾之值。

8 2 6 2 2 3 ) 2

(       f

1 2 ) 3 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1

(         f

與題目條件相同，可驗證答案正確。

【練習】8.2-7

已知 ^f^(x⁾為一次函數，且 ^f⁽³⁾^²¹、 ^f⁽^²⁾^^¹⁹，試求 ^f^(x⁾。

例題 8.2-8

已知 ^f^(x⁾為常數函數，且 ^f⁽⁹⁹⁾^³，試求 (1) ^f ⁽^x⁾^^?

(2) ^f⁽¹⁰⁰⁾^{ f}⁽¹⁰¹⁾^^? 詳解：

(32)

(1)由 ^f⁽⁹⁹⁾^³，可得b3，即 ^f⁽^x⁾^³ (2) ^f⁽¹⁰⁰⁾^{ f}⁽¹⁰¹⁾^³^³^⁶

※常數函數不論 x 為多少，函數值都不會改變。

【練習】8.2-8

已知 ^f^(x⁾為常數函數，且 ^f⁽^¹⁹⁹⁾^^²，試求 (1) ^f ⁽^x⁾^^?

(2) ^f⁽^⁹⁹⁾^ ^f⁽⁹⁹⁾^^?

8-30

(33)

例題 8.2-9

已知 ^f^(x⁾為線型函數，在座標平面上，其圖形^y^ ^f^(x⁾通過⁽¹^,²⁾、^(¹^,⁶⁾兩點，試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

詳解：

因為 ^f^(x⁾是線型函數，我們可以設 ^f⁽^x⁾^^ax^^b 由圖形通過⁽¹^,²⁾，可得a1b2

2

 b a

由圖形通過^(¹^,⁶⁾，可得^a^⁽^¹⁾^^b^⁶

6



a b













 6 2 b a

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

由⁽¹⁾^⁽²⁾得2a 4，a 2

將a2代入⁽¹⁾ 得b4

即此線型函數為 ^f⁽^x⁾^^²^x^⁴

圖8.2-8

) (x

f 與x 軸交點：代入^y^ ^f⁽^x⁾^⁰

0 4 2  

 x

2

x ，即交點為⁽²^,⁰⁾

) (x

f 與y 軸交點：代入x 0 4 4 0 ) 2 ( ) 0

(     

 f y

4

y ，即交點為⁽⁰^,⁴⁾

由圖8.2-11 可知，函數圖形與兩軸所圍成的三角形，可視為兩股長為 2、4 的直角三角形，因此面積為2424(平方單位)

【練習】8.2-9

已知 ^f^(x⁾為線型函數，在座標平面上，其圖形^y^ ^f^(x⁾通過⁽²^,^²⁾、^(⁴^,¹⁾兩點，

試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

y

x

y

(34)

8-32

x

(35)

在前一節中，我們學習了已知 ^f^(x⁾，求 ^f⁽^x^¹⁾與 ^f⁽^x^¹⁾。

如例題8.1-8，已知 ^f⁽^x⁾^{ x}² ^¹、求得 ^f⁽^x^¹⁾^²^x^³、 ^f⁽^x^¹⁾^²^x^¹ 令^g⁽^x⁾^{ x}² ^³、^h⁽^x⁾^{ x}² ^¹

我們將^y^ ^f^(x⁾、^y^^g^(x⁾、^y^^h^(x⁾這三個函數圖形畫出來，看看他們之間的關係。

圖8.2-9

由圖8.2-9 可知，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^¹⁾的圖形相當於 ^f^(x⁾的圖形往左移動1 單位；

) 1 ( )

(x  f x

h 的圖形相當於 ^f^(x⁾的圖形往右移動1 單位。

同樣地，若有^g^'⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁵⁾，我們也可以推得^g^{' x}⁽ ⁾的圖形是 ^f^(x⁾的圖形往左移動5 單位；^h^'⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁴⁾的圖形是 ^f^(x⁾的圖形往右移動4 單位

1 2 )

(x  x h

1 2 )

(x  x f

3 2 )

(x  x g

y

x

(36)

例題 8.2-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}³ ^⁶，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁵⁾，^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾，試求^g^(x⁾、^h^(x⁾並在直角座標平面上畫出^y^ ^f^(x⁾、^y^^g^(x⁾、^y^^h^(x⁾的圖形。

詳解：

(1)^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁵⁾^³⁽^x^⁵⁾^⁶^³^x^⁹ (2)^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾^³⁽^x^³⁾^⁶^³^x^¹⁵

圖8.2-10

【練習】8.2-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}⁴ ^⁸，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾，^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^⁴⁾，試求^g^(x⁾、^h^(x⁾ 並畫出圖形。

8-34 6 3 )

(  

 f x x 9 y

3 )

(  

g x x

y yh(x)3x15

y

x

y

x

(37)

8.2 節習題

習題 8.2-1 (A) ^f ^x ^x

3 ) 1

(  (B) ^f⁽^x⁾^{ x}^ ^¹ (C) ^f⁽^x⁾ ^⁴ (D) ^f⁽^x⁾^^x² ^^x (E)

x x

f 2

) 1

(  (F) ^f⁽^x⁾^^⁵ 以代號回答下列問題：

(1) 一次函數有哪些？(2)常數函數有哪些？(3)線型函數有哪些？

習題 8.2-2

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^³^x的圖形。

習題 8.2-3

在直角座標上畫出^y^ ^f⁽^x⁾^^x^²的圖形。

習題 8.2-4

4 ) 1 (  

 x

x f

y 的圖形。

(38)

y

習題 8.2-5

圖8.2-11 為一次函數^y^ ^f⁽^x⁾^^ax^⁵的圖形。試求a、b 之值。

圖8.2-11 習題 8.2-6

已知一次函數 ^f⁽^x⁾^^^x^²^m^³的圖形通過原點，試求m 之值。

習題 8.2-7

已知 ^f^(x⁾為一次函數，且 ^f⁽¹⁾^¹、 ^f⁽³⁾ ^¹³，試求 ^f^(x⁾。

習題 8.2-8

已知 ^f^(x⁾為常數函數，且 ^f⁽¹⁰¹⁾ ^⁵，試求 (1) ^f ⁽^x⁾^^?

(2) ^f⁽⁹⁹⁾^{ f}⁽¹⁰⁰⁾^^?

8-36

x

(39)

習題 8.2-9

已知 ^f^(x⁾為線型函數，在座標平面上，其圖形^y^ ^f^(x⁾通過(1,8)、(-1,4)兩點，試求此函數圖形與兩軸所圍成的三角形面積。

習題 8.2-10

已知 ^f⁽^x⁾^{ x}^²，^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x^²⁾，^h⁽^x⁾^ ^f⁽^x^³⁾，試求^g^(x⁾、^h^(x⁾並在直角座標平面上畫出^y^ ^f^(x⁾、^y^^g^(x⁾、^y^^h^(x⁾的圖形。

(40)

8.3 節一次函數的應用

瞭解了一次函數的基本觀念後，本節我們會學習函數相關的應用問題。

例題 8.3-1

小明將一些橘子裝在1 個盤子中秤重。圖 8.3-1 為橘子數量與總重量(含盤重)的關係圖。試求盤子的重量與1 顆橘子的重量。

詳解：

由圖8.3-1 得圖形為一直線，我們可將橘子數量與總重量的關係看成線型函數。

設橘子數量為自變數，總重量為應變數。

函數為 ^f⁽^x⁾^^ax^^b

由圖8.3-1 可知，橘子 3 顆時，總重量為 770 公克。橘子5 顆時，總重量為 1150 公克。

即 ^f⁽³⁾^⁷⁷⁰^³^a^^b、 ^f⁽⁵⁾^¹¹⁵⁰^⁵^a^^b 寫成聯立方程式













1150 5

770 3

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

圖8.3-1

) 1 ( ) 2

(  得²â^³⁸⁰，â^¹⁹⁰。將â^¹⁹⁰代入⁽¹⁾得^b^²⁰⁰。即函數為 ^f⁽^x⁾^¹⁹⁰^x^²⁰⁰

0 顆橘子時的總重量即為盤重， ^f⁽⁰⁾^¹⁹⁰^⁰^²⁰⁰^²⁰⁰，得盤重為200 公克。

1 顆橘子時的總重量減去盤重即為 1 顆橘子的重量，

190 200 200 1 190 200 ) 1

(      

f ，得1 顆橘子重量為 190 公克。

答：盤重為200 公克；1 顆橘子重量為 190 公克。

8-38

(41)

例題 8.3-2

小文現有存款500 元，之後每天存 60 元。設存款日數為 x 日，存款總金額為 y。

y 是 x 的函數，試回答下列問題：

(1)以 ^f^(x⁾表示此函數。

(2)若小文想買一個定價 12980 元的遊樂器主機，請問存幾日後可以購買？

詳解：

(1) 以 ^f^(x⁾表示此函數。我們先找出存款日數與總金額的關係。

存1 天時，存款總金額是⁶⁰^¹^⁵⁰⁰^⁵⁶⁰(元) 存2 天時，存款總金額是⁶⁰^²^⁵⁰⁰^⁶²⁰(元) 存3 天時，存款總金額是⁶⁰^³^⁵⁰⁰^⁶⁸⁰(元) 存4 天時，存款總金額是⁶⁰^⁴^⁵⁰⁰^⁷⁴⁰(元)

因此可以推得，存x 天時，存款總金額是60x50060x500(元) 即函數 ^f⁽^x⁾^⁶⁰^x^⁵⁰⁰

(2) 小文想買一個定價 12980 元的遊樂器主機，請問存幾日後可以購買？

設存a 日後可以購買，可以購買即存款總金額大於或等於12980 元。

12980 500

60 )

(a  a  f

12980 500

60a 

500 12980 60a 

12480 60a

60 12480

 a

208 a

存208 日後，小文可以購買此遊樂器主機。

例題 8.3-3

某家電信公司的通話費計算方式如下：網內通話前3 分鐘免費，若超過 3 分鐘，

則每分鐘計費4.5 元，通話時間與費用關係如圖 8.3-2，試回答下列問題：

(1)若小明一通電話講了 10 分鐘，請問電話費是多少元？

(2)若小華一通電話費用共 18 元，請問小華共講了幾分鐘的電話？

(3)若小語一通電話講了 2 分鐘，請問電話費是多少元？

(42)

圖8.3-2 詳解：

由圖8.3-2 可知，通話時間超過 3 分鐘後，時間與費用的關係圖為一斜線的線型函數，我們來試著寫出此函數。

設通話時間為x 分鐘，費用為 ^f^(x⁾元。

設 ^f⁽^x⁾^^ax^^b

3 分鐘時費用為 0 元，可得 ^f⁽³⁾^^a^³^^b^⁰，3a b0

4 分鐘時費用為 4.5 元(每分鐘增加 4.5 元)，可得 ^f⁽⁴⁾^^a^⁴^^b^⁴^.⁵，4a b4.5











 5 . 4 4

0 3

b a

) 2 ...(

) 1 ...(

) 1 ( ) 2

(  得a4.5，將a4.5代入⁽¹⁾ 得b 13.5。即函數為 ^f⁽^x⁾^⁴^.⁵^x^¹³^.⁵

由函數 ^f⁽^x⁾^⁴^.⁵^x^¹³^.⁵我們可以簡單的知道通過時間

例如想知道通話6 分鐘時的費用，只要將^x^⁶代入，求出函數值即可。

5 . 13 5 . 13 27 5 . 13 6 5 . 4 ) 6

(      

f

因此6 分鐘時的費用是 13.5 元。

要注意的是，此函數只適用通話超過3 分鐘的情形，3 分鐘以下則費用是 0 元。

(1) 若小明一通電話講了 10 分鐘，請問電話費是多少元？

將x10代入函數 ^f⁽^x⁾^⁴^.⁵^x^¹³^.⁵

5 . 31 5 . 13 10 5 . 4 ) 10

(    

f

費用是31.5 元。

(2) 若小華一通電話費用共 18 元，請問小華共講了幾分鐘的電話？

我們令函數值為18，看看 x 會得到多少。

18 5 . 13 5 . 4 )

(x  x  f

5 . 31 5

. 4 x 

7 x

即小華共講了7 分鐘的電話。

(3) 若小語一通電話講了 2 分鐘，請問電話費是多少元？

因為電話費前3 分鐘免費，因此費用是 0 元。

本題不需要用到函數 ^f⁽^x⁾^⁴^.⁵^x^¹³^.⁵，若將x2代入函數，反而會得到錯誤答案。

8-40

代數第八章 目錄