數學解題過程中的特殊化原則

數學解題過程中的特殊化原則

翁立衛

國立臺灣師範大學 科學教育研究所

壹、前言

數 學 解 題 過 程 中 的 特 殊 化 原 則 (specification)就 是 先 以 特 殊 、 極 端 的 情 況 來 處 理 問 題(Polya, 1957；Mason , Burton & Stracy,1982) ， 例 如 ： 在 處 理 四 邊 形 問 題 時 ， 先 考 慮 平 行 四 邊 形 或 矩 形 等 特 殊 四 邊 形 所 成 立 的 情 況 。 特 殊 化 原 則 符 合 人 們 從 具 體 到 抽 象 、 從 特 殊 到 一 般 的 思 考 慣 性 (左 銓如 與 季 素 月，1998，p.82)，從 最 簡單 的 例 子 開 始 思 索 解 題 關 鍵 ， 往 往 較 容 易 進 入 問 題 情 境 ， 理 解 問 題 ， 一 旦 有 了 成 功 解 決 特 例 的 經 驗 ， 解 題 者 可 能 更 有 信 心 (Mason, Burton, & Stacey, 1982)， 從 情 意 觀 點 來 看 ， 成 功 造 就 成 功(success breeds success, Liljedahl, 2005, p.231)，解 題 者初 期 的 成 功 經 驗 ， 將 鼓 舞 他 邁 向 整 體 的 成 功 解 題 。 筆 者 親 身 的 教 學 經 驗 中 發 現 中 學 生 常 常 以 特 殊 化 原 則 作 為 解 題 活 動 的 先 導 ， 先 試 特 例 或 找 反 例 ； 本 文 審 查 過 程 中 ， 匿 名 的 評 審 教 授 回 函 中 亦 分 享 他 多 年 實 際 參 與 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽 活 動 的 經 驗 ， 指 出 參 賽 選 手 常 常 以 特 殊 化 原 則 獲 得 部 分 分 數 ， 甚 至 因 此 得 到 一 般 化 論 證 而 獲 得 滿 分 ， 由 此 可 知 特 殊 化 原 則 在 解 題 過 程 中 扮 演 重 要 角 色 。 Polya (1957)認 為特 例 具 有 啟發 性，在 証 明 題 中 ， 可 透 過 特 例 ， 來 推 翻 命 題 ； 如 果 透 過 特 例 來 審 查 定 理 ， 而 得 到 與 命 題 一 致 的 結 果 時，有 可 能 從 中 得 到 某 些 解 題(或 証 明)的 暗 示 。Polya 認 為 解題 過 程 是 將問 題 經 過 一 連 串 的 轉 變 成 為 一 個 更 容 易 著 手 、 更 普 遍 與 更 特 殊 的 問 題 ， 而 特 殊 化 原 則 就 是 轉 變 問 題 的 一 種 方 法 。 有 許 多 學 者 提 到 特 殊 化 原 則 在 解 題 過 程 中 的 應 用(胡 炳 生 ， 1994； 趙 振 威 ， 1996 ； 左 銓 如 與 季 素 月 ， 1998)， 胡 炳 生 (1994)認 為 特 殊 化 原 則 是 解 題 思 考 的 三 原 則 之 一 ， 解 題 初 步 可 先 把 大 問 題 變 成 幾 個 簡 單 的 小 問 題 ， 並 考 慮 最 簡 單 的 特 殊 狀 況 或 是 將 問 題 分 成 幾 種 不 同 狀 況 討 論 。 趙 振 威(1996)認 為 從 特 殊 性 著 手 ， 通 常 能 打 開 解 題 的 思 路 ， 拓 展 視 野 ； 建 議 對 於 任 意 自 然 數 n 的 命 題 中，可 以 先 考 察 n=1,2,3…時 的 情 形 ； 在 對 於 任 意 三 角 形 的 命 題 中 ， 可 以 先 考 慮 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 等 特 殊 情 況 。 左 銓 如 與 季 素 月(1998)認 為 特 殊 化 有 三 種 模 式 ： 一 是 增 加 限 制 條 件 ， 例 如 從 多 邊 形 考 慮 正 多 邊 形 ； 二 是 將 可 變 因 素 換 成 固 定 因 素 或 以 特 定 數 取 代 變 數 ， 例 如 ， 從 正 n 邊 形 考 慮 正 三 角 形 ； 三 是 考 慮 運 動 變 化 的 極 端 情 形 ， 例 如 ， 從 割 線 考 慮 其 極 限 位 置─切 線 。 特 殊 化 原 則 是 解 題 的 啟 思 法 之 一 (Polya, 1957)， 它 是 一 種 普 遍 性 的 思 考 原

則 ， 並 不 是 解 題 中 唯 一 或 終 極 的 方 式 ； 然 而 ， 解 題 或 証 明 的 推 理 過 程 還 是 要 滿 足 條 件 的 一 般 性 ， 光 是 特 例 並 不 能 說 明 整 件 命 題 的 成 立(龐 之 垣 ， 1999； Polya, 1957； Mason et al, 1982)。因 此 ，在 解 特 殊 問 題 時 ， 在 方 法 上 一 定 要 照 顧 到 一 般 性 ， 不 能 採 用 只 對 特 殊 問 題 適 用 的 方 式( 龐 之 垣 , 1999, p.29)。 接 下 來 將 引 用 數 個 例 子 說 明 特 殊 化 原 則 的 四 種 功 能 ， 一 、 特 殊 化 原 則 能 增 進 直 觀 理 解 ； 二 、 特 殊 化 原 則 具 有 解 釋 證 明 的 功 能(Hanna, 1995)； 三 、 特殊 化 原 則 可 用 於 檢 驗 命 題 ； 四 、 特 殊 化 原 則 具 有 啟 思 的 功 能 。 因 此 在 解 題 或 證 明 過 程 中 應 用 特 殊 化 原 則 ， 能 增 進 理 解 、 提 供 直 觀 解 釋 ， 透 過 驗 驗 命 題 ， 推 翻 猜 想 ， 聚 焦 於 可 能 的 結 果 ， 也 可 以 從 成 功 的 特 例 中 得 到 暗 示 或 啟 發 ， 及 早 進 入 問 題 情 境 。

一、特殊化原則能增進直觀理解

◎ 以 三 角 形 外 角 和 為 360∘ 為 例 考 慮 下 列 連 續 變 化 下 的 三 角 形 外 角 ， 三 角 形 漸 漸 縮 小 的 時 候 ， 外 角 和 是 不 變 的 ， 而 當 這 個 三 角 形 縮 到 很 小 很 小 、 幾 乎 要 退 化 成 一 個 點 時 ， 外 角 和 等 於 繞 了 一 圈 的 周 角，也 就 是 360∘ 如 圖 一)；以 非常( 極 端 的 三 角 形 ： 一 個 小 得 不 能 再 小 、 幾 乎 變 成 一 個 點 的 三 角 形 ， 來 檢 驗 這 個 事 實 的 成 立 ， 以 直 觀 的 方 式 讓 初 學 者 接 受 『 三 角 形 外 角 和 等 於360∘』 這 個事 實 。

二、特殊化原則具有解釋證明的功能

◎ 以 和 角 公 式 為 例 考 慮 直 角△ABC與 直 角△ACD，其 中 DCA ∠ 與∠CBA為 直 角 ， 令∠DAC=α , CAB= ∠ β，從 D 做線段垂直 AB (垂足為 E)， F 在 DE 上且CF垂 直 DE (如 圖 二 )， 取 AD =1 之 後 ， 即 進 行 視 覺 、 符 號 與 幾 何 關 係 的 轉 譯 ： DF =1×sinα×cosβ FE = BC =1×cosα×sinβ AB =1×cosα×cosβ BE =FC=1×sinα×sinβ 於 是 ， sin(α+β)= 1 DE =DF +FE=sinαcosβ+sinβcosα 同 理 ，cos(α+β)= 1 AE =AB-BE =cosαcosβ-sinβsinα 圖 一 、 以 特 殊 化 的 觀 點 說 明 三 角 形 外 角 和 為 360∘

圖 二 、 以 特 殊 化 觀 點 看 和 角 公 式 在 本 例 中 ， 特 殊 化 有 兩 層 意 義 ， 一 是 和 角 公 式 的 證 明 不 能 侷 限 在 銳 角 的 情 況 討 論 ， 二 是 sin 和 cos 的 幾 何意 涵 並 不 是僅 限 於 弦 長 的 意 義 上 ， 這 是 在 邁 向 一 般 性 與 嚴 格 化 的 過 程 中 必 須 要 考 量 的 問 題 。 然 而 ， 以 這 個 特 例 解 釋 和 角 公 式 有 以 下 優 點 ： 一 、 解 釋 僅 是 視 覺 、 符 號 與 幾 何 關 係 的 轉 譯 ， 僅 從 最 基 本 的 定 義 出 發 即 可 推 得 ， 需 要 的 預 備 知 識 較 少 ； 二 、 強 化 三 角 學 中 ， 符 號 與 幾 何 關 係 的 連 結 ； 三 、 對 於 cos 的 和 角 公 式中 的 ”減 ”號 能 提 供解 釋。對 於 以 圖 解 法 特 殊 化 三 角 公 式 有 興 趣 的 讀 者 可 參 看 余 進 發(1984)、賴 漢 卿(1985)、李 政 豐 等 人(2001)與 顏德 琮(2003)的文 章 。

三、特殊化原則可用於檢驗命題

1. 以『 平 行 四 邊 形 與 等 腰 梯 形 的 對 角 線 會 相 互 垂 直 嗎 ?』 為 例 以 特 殊 的 平 行 四 邊 形 及 等 腰 梯 形 來 看(如 圖 三 所 示 )， 答 案 很 明 顯 的 ， 不 會 ！ 在 這 個 例 子 中，『 垂 直 』是 很 容 易 被 特 例 或 視 覺 檢 驗 出 來 的 性 質 ， 不 過 ， 並 不 是 每 一 個 性 質 都 適 用 ， 如 『 平 分 』 這 個 性 質 便 不 易 透 過 特 例 檢 驗 出 來 。 圖 三 、 以 特 殊 的 平 行 四 邊 形 與 等 腰 梯 形 檢 驗 命 題 2. 以 Brahmagrupta 公 式 為 例 若 s,a,b,c,d 是 圓內 接 四 邊形 ABCD 的 半 周 長 與 四 個 邊 長，則 Brahmagrupta 公 式 就 是 以 s,a,b,c,d 表 示 該圓 內 接 四 邊形 面 積 的 公 式 。 在 正 式 說 明 之 前 ， 先 設 想 一 個 情 境：有 一 個 學 生 要 確 定 Brahmagrupta 公 式 是 否 為 下 列 選 項 之 一 ， 該 如 何 處 置 呢 ？ (A).

s

(

s

−

a

)(

s

−

b

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c

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−

d

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(B).

(

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(C).

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(D).3 2

₍

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−

−

−

−

(E).

sabcd

透 過 一 個 特 例 ， 可 以 推 翻 一 個 選 項 。 F E A B C D

α

β

β

如 果 學 生 能 善 用 特 殊 化 原 則 ， 作 為 消 去 的 工 具 ， 則 能 以 消 去 法 找 到 較 為 正 確 的 選 項。先 從 單 位(維度)的 觀 點來 看，公 式(A) 和(E)的 單 位 顯 然有 誤，因 為面 積 公 式 的單 位 應 為 長 度 平 方 單 位 ， 這 兩 個 答 案 先 遭 淘 汰 ； 以 邊 長 為 1 的 正 方 形 為 特 例 進 行 檢 驗，則 其 面 積 為1，則(C)算出 來 的 答 案為 9， 因 此 公 式 (C)立 刻 被 淘 汰 ； 如 果 考 慮 兩 鄰 邊 長 為 2,1 的 矩 形為 特 例進 行 檢 驗 ，則 面 積 為2，但(D)算出 來 的 答案 為 3

36

，也 不 合，因 此 剩 下(B)為 唯 一 選項。再 考 慮邊 長 為2 的 正 方 形為 特 例 進 行檢 驗，發 現(B) 答 案 成 立 ， 沒 有 被 排 除 ， 進 一 步 考 慮 圓 內 接 四 邊 形 退 化 成 三 角 形 的 特 例 ， 發 現(B) 答 案 會 變 成 海 龍(Heron)公 式，這 個 選 項還 是 沒 有 被 排 除 ， 通 過 許 多 特 例 檢 驗 ， 雖 然 提 高 了”正 確 ”的 可 能 性 ， 不 過 它 還 是 沒 有 被 證 明 為 真 ， 除 了 要 考 慮 特 殊 化 原 則 之 外 ， 還 可 以 從 其 他 重 要 原 則 獲 得 解 題 啟 發，如 對 稱 性、維 度 問 題、邊 界 條 件 等(蔡 聰 明 ，2000)。 在 本 例 中 ， 透 過 檢 驗 特 例 的 結 果 提 醒 解 題 者 哪 些 想 法 是 不 行 的 、 是 禁 不 起 考 驗 的 ， 它 可 以 阻 止 解 題 者 將 心 力 放 在 錯 誤 的 方 向，是 一 種 類 似(Lakatos, 1976)所 說 的負 向 啟 思 法 。

四、特殊化原則具有啟發解題的功能

1. 以 數 字 比 大 小 為 例 問 題：比 較 753/911, 767/ 925, 741/ 899 等 數 字 的 大 小 。 以 特 殊 化 觀 點 來 處 理 本 題 之 前，必 須 說 明 這 三 個 數 值 的 共 同 性 質：分 母 比 分 子 都 大158，再 考慮 滿 足 這 個性 質 的 特 殊 例 子 ： 1

159

,

741

899

,

753

911

,

767

925

,

842

1000

特殊 例 子 特 殊例 子 顯 然 ， 最 右 邊 的 數 字(842/1000)大 於 最 左 邊 的 數 字(1/159)， 因 此 可 以 直 觀 地 ” 猜 測”此 數列 有 遞增 的 趨 勢，隨 分母 增 大而 增大。也就是：741/ 899< 753/ 911< 767/ 925。 思 考 過 程 如 果 就 此 打 住 ， 只 以 特 殊 例 子 就”保 証 ”一 般 例 子 的 成 立 ， 不 但 窄 化 了 論 證 的 範 圍 ： 以 特 例 代 替 全 體 ， 更 嚴 重 地 誤 解 特 殊 化 原 則 的 用 意 ， 特 殊 化 是 過 渡 到 一 般 化 論 證 的 暫 時 性 手 段(Polya ,1957)， 並 不 是 思 考 的 終 點 。 因 此 必 須 更 進 一 步 掌 握 分 子 與 分 母 間 的 規 律 ， 發 現 分 母 比 分 子 都 多 158，則 數 列 的 通 則 為 x 158 x − (x=899,911,925)， 將 式 子 變 形： x 158 x − =1 158 x − ，顯 然，x 增加 時，158 x 反 而 變 小，當 要 減 去 的 數 變 小 時 ， 值 會 增 大 ， 因 此 此 數 列 會 隨 x 增 大 而 增 大 。 加 入 這 部 分 論 證 ， 不 但 符 合 先 前 以 特 殊 例 子”猜 測 ”的 結 果 ， 更 兼 顧 邏 輯 推 論 與 一 般 性 原 則 ， 相 較 之 下 ， 是 一 個 較 為 完 整 的 思 考 過 程 。

2. 以 Pappus 定 理 的 証 明 為 例 問 題(Pappus 定 理)：(如 圖 四)ΔABC 是 任 意 三 角 形，以 較 短 兩 邊 AB,BC，向 外 任 意 做 兩 個 平 行 四 邊 形 ACDE 及 BCFG， 若 DE 及 FG 兩 延 長線 交 於 P， 連 PC 並 做 AI=BH=PC 且 AI//PC, BH//PC， 最 後 連 HI 得 第 三個 平 行 四 邊 形 ABHI，證 明平 行 四 邊 形 ACDE 的 面 積 加 上 平 行 四 邊 形 BCFG 的 面 積 等 於 平 行 四 邊 形 ABHI 的 面 積 。 圖 四 、Pappus 定 理 的 圖 例 如 果 將ΔABC 想 成是 直 角 三角 形，以 兩 股AB,BC，向 外任 意 做 正方 形 ACDE 及 BCFG， 按 照 題 目 所 指 示 的 方 式 做 出 平 行 四 邊 形 ABHI， 會 得 到 一 個 非 常 ”眼 熟 ”的 圖(圖 五 )， 這 個 圖 形 讓 人 想 起 著 名 的 畢 氏 定 理 ， 這 個 發 現 具 有 啟 發 性 ， 它 暗 示 可 行 的 證 明 方 法 和 畢 氏 定 理 有 關 ， 某 一 個 畢 氏 定 理 的 證 明 經 驗 將 可 能 可 以 轉 移 到 這 個 問 題 的 證 明 上 。 但 是 ， 畢 氏 定 理 是 專 屬 於 直 角 三 角 形 中 的 定 理 ， 而 本 題 中 的 三 角 形 是 一 般 三 角 形 ，”直 角 ”的 特 殊 性 必 須 在 一 般 化 後 被 打 破 ， 這 意 味 證 明 畢 氏 定 理 時 應 用 到 關 於 直 角 性 質 的 特 殊 方 法 ， 如 ： 想 要 以 邊 長 a,b,c 代 表 長度 與 面 積 的企 圖，都 可能 無 法 用 到 本 題 ， 解 題 方 法 與 技 能 必 須 在 一 般 性 與 特 殊 性 之 間 進 行 考 慮 。 圖 五 、Pappus 定 理 的 特 殊 化 圖 例 再 次 分 析 題 目 的 條 件 ， 發 現 這 個 問 題 涉 及 平 行 四 邊 形 的 面 積 和 ， 這 意 味 著 應 該 努 力 回 想 畢 氏 定 理 的 證 明 經 驗 中 有 哪 些 涉 及 到 平 行 、 面 積 或 與 面 積 和 有 關 的 方 法 ， 我 們 想 到 了 一 個 可 能 可 行 的 方 法 ： 利 用 切 割 與 拼 湊 面 積 的 方 法 來 證 明 面 積 和 相 等 。 延 長 OA

JJG

交 MN 於 R ， 則△AMR ≅ CNP △ ， 利 用 等 量 公 理 或 直 觀 的 拼 補 方 式 ， 可 推 得 ： 正 方 形 AMNC 面 積=平 行四 邊 形ARPC 面 積；同 理，延 長 HB

JJG

交 PL 於 Q， 則 利 用 同 底 同 高 則 面 積 相 等 的 概 念 ， 推 得 ： 正 方 形 BCKL 面 積 = 平 行 四 邊 形 BCPQ 面 積(圖 六 A)；延 長 PC

JJG

交 AB 、 OH 於 Y、 Z， 再 利 用 同 底 同 高 則 面 積 相 等 的 概 念 ， 推 得 ： 平 行 四 邊 形 ARPC 面 積=矩 形 AYZO 面 積 且平 行 四 邊 形 CPQB 面 積= 矩 形YZHB 面 積(圖 六 B)，可 得 畢氏 定 理。 H I P D G C B A F E H I P E G C A B F D

圖 六A、 畢氏 定 理 的 面積 證 法 圖 六 B、 畢 氏 定 理 的 面積 證 法 (續 ) 這 是 一 個 具 有 啟 發 性 的 特 例 ， 而 且 符 合 先 前 的 要 求 ： 儘 量 不 要 涉 及”直 角 ”的 特 殊 性 ， 避 免 在 進 行 一 般 化 時 遇 到 障 礙 。 由 於 平 行 線 間 距 離 相 等 ， 同 底 同 高 的 情 況 下 可 得 平 行 四 邊 形 的 面 積 相 等 ， 因 此 平 行 四 邊 形 ACDE 面 積 =平 行 四 邊 形 ACPR 面 積 ， 平 行 四 邊 形 BCPQ 面 積=平 行 四 邊形 BCFG 面 積(圖 七 A)；同 理，再次 利 用 同底 同 高 下 ， 兩 平 行 四 邊 形 面 積 相 等 的 概 念 ， 可 得 平 行 四 邊 形 ACPR 面 積=平 行 四 邊形 AIZY 面 積，平 行四 邊 形 BCPQ 面 積=平 行 四 邊 形BHZY 面 積(圖 七 B)；因 此 可 證得： 平 行 四 邊 形 ACDE 面 積 加 上 平 行 四 邊 形 BCFG 等 於 平 行四 邊 形 ABHI 的 面 積 。 圖 七 A、 Pappus 定 理 的 面 積 證 法 圖 七B、 Pappus 定 理 的 面 積 證 法 (續) 回 顧 並 整 理 前 述 過 程 ： 利 用 特 殊 化 原 則 ， 觸 發 本 題 的 證 明 可 能 和 畢 氏 定 理 的 證 明 有 關 且 涉 及 面 積 關 係 與 平 行 關 係 的 證 Q R H O P N L B C A K M Y Z Q R H O P N L B C A K M H I Q R P E G C A B F D Z Y H I Q R P E _G D F B A C

明 ， 但 必 須 排 除”直 角 ”的 特 殊 限 制 ， 才 能 從 特 例 邁 向 一 般 性 ， 而 本 題 所 用 的 方 法 ， 不 但 適 合 特 例(畢 氏 定 理 )， 亦 可 推 廣 至 一 般 性(Pappus 定 理)。 3. 以 過 一 共 點 且 公 切 一 邊 的 兩 圓 為 例 問 題：已 知 過△ABC的 頂 點A 且 與 BC 相 切 於 B 點 與 C 點 的 兩 圓 半徑 分 別 為 p,q， 試 以 p,q 表 示△ABC 的 外 接 圓 半 徑 。 考 慮 最 特 殊 的 情 況：兩 圓 外 切 且 A 為 公 切 點 的 情 況 ， 顯 然 ， 本 題 轉 變 成 公 切 線 長 度 的 問 題，公 切 線 長 BC =兩 倍 的△ABC 外 接 圓 半 徑R= (連心線長)2−(半徑差)2 因 此 BC = (p+q)2−(p−q)2 = 2 pq ⇒R= pq 特 殊 化 原 則 提 供 可 能 的 思 考 方 向 ： 注 意 連 心 線 、 兩 半 徑 與BC所 構 成 的 幾 何 圖 形 ， 這 是 一 個 有 兩 個 直 角 的 梯 形 ， 而 且 側 邊 PQ 長 度 等 於 上 下 底 的 長 度 和 ( 圖 八 A)。當 特 殊 性 消失 之 後，原 來 的圖 形 變成 一 個 五 邊 形(圖 八 B)， 對 於 多 數 的 中 學 生 而 言 ， 可 能 是 一 種 前 所 未 見 的 新 狀 況 ， 只 能 回 頭 重 新 研 究 圖 八A 中 的四 邊 形 或 是從 圖 八B 中 的 五 邊形 找 找 看 有什 麼 關 聯 性 。 圖 八A 中 的 四 邊形 可 拆 解 成三 個 三 角 形，△ABP與△ACQ都 是 等 腰 三 角 形，這 個 特 點 也 適 用 於 圖 八B 中 的五 邊 形。將 焦 點 集 中 在∠PAB、∠PBA 與∠APB上 ， 這

些 角 度 都 可 以∠B 的 度 數 來 表 示 ， 而

AB

可 用 2p×sinB 表 示 ， 同 理 ，

AC

可 用 2q×sinC 表示(圖八 C)，這個特點也適用於 圖 八D 中 的 五 邊形 。 找 到 這兩 個 關 聯 性， 解 題 方 向 大 致 確 定 ， 邊 長 可 以 表 示 成 三 角 函 數 ， 則 可 用 正 弦 定 理 列 式 ： 2 sin 2 sin 2

sin sin sin

BC q C p B R A B C = = = ⇒ q(sinC)2_{= p(sinB)}2 ⇒sin sin B q C = p 因 此 R= pq 圖 八A、 特例 的 情 況 圖 八B、 一 般 性 的 情 況 q 2R p P Q C B A q 2R p P Q A B C

圖 八C、 回 頭 檢 查 特 例所 產 生 的 新訊 息 圖 八 D、 新訊 息 對 應 至一 般 情 況 這 三 個 特 例 具 有 不 同 的 啟 發 功 能 ， 一 、 特 例 是 通 則 的 部 分 集 合 ， 從 特 例 能 夠 獲 得 題 目 整 體 的 解 題 方 向 與 感 覺 ， 在 觀 察 特 例 時 ， 已 經 對 於 通 則 的 尋 找 奠 下 基 礎 (Mason et al, 1982, p.23)；二、特例 指 引解 題 方 向 及 觸 發 解 題 可 能 用 到 的 知 識 ， 但 必 須 適 度 排 除 特 例 中 所 涉 及 的 特 殊 性 ， 才 能 有 效 推 論 至 一 般 性 的 論 證 中 ； 三 、 解 決 特 例 的 經 驗 ， 有 時 雖 然 不 能 直 接 類 推 至 通 則 ， 不 過 ， 如 果 重 新 聚 焦 於 特 例 與 通 則 之 間 的 連 結 關 係 ， 將 可 能 有 新 的 發 現 。

貳、特殊化原則的風險

使 用 特 殊 化 原 則 時 可 能 犯 了 以 偏 概 全 或 以 特 例 替 代 通 則 的 毛 病 ， 而 做 出 錯 誤 的 決 定 ， 這 是 使 用 特 殊 化 原 則 時 ， 可 能 帶 來 的 風 險 。 因 此 ， 必 須 在 檢 驗 特 例 之 後 ， 仍 要 進 行 一 般 化 推 論 ， 將 過 程 或 結 論 推 廣 到 原 來 的 條 件 範 圍 中 。 連 尤 拉 這 樣 的 數 學 家 ， 都 可 能 犯 這 樣 的 錯：他 以40 個 特 例來 檢 驗 N2_-N+41，發 現 這40 個 特 例 都是 質 數，因 此做 了 一 個 結 論 ， 認 為 對 於 所 有 的 自 然 數 N 而 言 ， N2_{-N+41 都 是 質數 ， 事 實 上， 這 是 荒 謬可} 笑 的，因 為 在 第 41 個 數 的 時候，遇 到 了矛 盾 的 結 論 (葉 偉 文 譯 ，2001，p.48)。 蔡 聰 明(2000)以 圓 的 分 割 數 為 例 ， 說 明 如 果 只 以n=1,2,3,4,5 等特 例 便 推 測圓 的 分 割 數為 2n-1 _{的 話 ， 就 會 導 致 錯 誤 ， 應 該 更 進 一 步} 找 尋 規 律 ， 並 用 多 種 觀 點 來 解 決 問 題 。 因 此 要 再 三 強 調 ： 有 限 的 特 例 並 不 能 保 証 所 有 的 例 子 都 成 立 ， 一 般 化 的 論 証 是 不 可 少 的 。 使 用 特 殊 化 原 則 時 可 能 產 生 另 一 個 問 題 ： 如 何 在 一 般 化 過 程 中 排 除 特 殊 化 情 況 下 所 應 用 的 特 殊 脈 絡 ？ 如 果 以 直 角 三 角 形 為 特 例 進 行 探 索 ， 欲 推 廣 至 一 般 三 角 形 時 ， 就 必 須 考 慮 直 角 三 角 形 的 特 殊 脈 絡 與 一 般 三 角 形 之 間 的 差 異 ， 如 果 特 殊 脈 絡 無 法 排 除，一 般 化 便 有 困 難；在 前 述Pappus 定 理 的 證 明 時 ， 雖 然 以 直 角 三 角 形 專 用 的 畢 氏 定 理 做 為 觸 發 解 題 思 考 的 媒 介 ， 但 後 2R p B 2B 90-B 90-B P Q C B A 2 sinp B q 2R p 90-B 90-B B 2B P Q A B C 2 sinp B

續 的 論 證 工 作 中 ， 要 試 著 避 開 直 角 三 角 形 的 特 殊 性 ， 避 免 受 制 於 工 具 的 特 殊 性 。

叁、結語

特 殊 化 原 則 是 解 題 活 動 中 的 先 鋒 ， 至 少 有 增 進 直 觀 理 解 、 解 釋 證 明 、 檢 驗 命 題 及 輔 助 解 題 的 啟 思 功 能 。 解 題 者 應 仔 細 釐 清 特 例 與 一 般 性 推 論 之 間 的 關 係 ， 不 斷 重 新 聚 焦 於 特 例 與 通 則 之 間 的 連 結 關 係 ， 特 殊 化 原 則 才 能 發 揮 效 果 ， 同 時 ， 在 解 題 或 證 明 的 過 程 中 ， 必 須 謹 慎 小 心 以 免 以 偏 概 全 ， 逐 步 排 除 特 殊 性 的 脈 絡 ， 才 能 順 利 將 結 論 推 廣 至 原 來 的 條 件 範 圍 中 ， 完 成 解 題 任 務 。

參考資料

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