ch09補充資料

第1頁 引言 信號的幾何表示 連續性AWGN通道轉成向量通道 相似性函數 信號在雜訊裡的同調偵測：最大相似性解碼 相關接收器 錯誤機率 結語及討論 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

(第四版)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第2頁 5.8

5.1

引言





p

E

E

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第3頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第4頁 5.8

5.2

信號的幾何表示

▪

信號的幾何表示是將任何組的M能量信號{s

_i

(t)}以

N個正交基底函數(orthonormal basis functions)的

線性組合來表示，其中N≤M。也就是說，給一組

實數值能量信號s

₁

(t), ……, s

_M

(t)，每個在每T秒期

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第5頁 5.8

▪

其展開係數定義如下

▪

實數值正交基底函數f

₁

(t)，……，f

_N

(t) 滿足

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第6頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第7頁 5.8

向量形式表示式

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第8頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第9頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第10頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第11頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第12頁 5.8

練習題 1

考慮一個四進制系統 (quaternary system, i.e.

M = 4)，假設信號源送出之信號為

T

0

s

(t)

t

T

0

1

s

(t)

t

T/2

T

0

1

s

(t)

t

T/2

0

T

1

s

(t)

t

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第13頁 5.8

(a) 找出一組正交基底函數 (orthonormal basis

functions)，將以上信號分別表示為基底函

數的線性組合。

(b) 假設送出各信號之機會均等，計算平均傳

輸能量, E

_s

.

(c) 畫出信號空間上的信號分佈，以及各點對

應的決策區間 (decision regions).

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第14頁 5.8

Sol:

Choose

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第15頁 5.8 2 2 1 2 0 0 / 2 2 0 1 1 2 1 2 1 2 2

(a) needs to satisfy:

( )

( )

1

2

1

( )

0 ( ) 0

( );

(0, 0)

( )

( ) 0

( );

(

2

A

t dt

t dt

A dt

A

T

s t

t

t

s

T

T

s t

t

t

s













































, 0)

2

( )

0 ( )

( );

(0,

)

2

2

( )

( )

( );

(

,

)

2

2

2

2

T

T

s t

t

t

s

T

T

T

T

s t

t

t

s





















5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第16頁 5.8 2 2 1 2 2 2 2 2 3 4 1 2 3 4

(b)

0;

0

;

2

2

0

;

2

2

2

2

1

(

)

4

2

T

T

E

E

T

T

T

T

E

E

T

T

E

E

E

E

E









_

_

_

_

























_

_

_

_





_

_

_

_



_

_

_

_



























5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第17頁 5.8

(c)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第18頁 5.8

練習題 2

一組雙正交 (biorthogonal) 信號之定義為：將

以下 s

₁

(t), s

₂

(t) 以及 -s

₁

(t) , -s

₂

(t) 四者組成一

個四進制系統:



















T

t

T

T

t

t

s

2

/

,

1

2

/

0

,

1

)

(

1





















4

/

3

4

/

,

0

4

/

3

or

,

4

/

0

,

1

)

(

2

T

t

T

T

t

T

T

t

t

s

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第19頁 5.8

(a) 找出一組正交基底函數，將以上信號分別

表示為基底函數的線性組合。

(b) 假設送出各信號之機會均等，計算平均傳

輸能量, E

_s

.

(c) 畫出信號空間上的信號分佈，以及各點對

應的決策區間。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第20頁 5.8

Sol:

Choose

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第21頁 5.8 2 2 1 2 0 0 2 0 / 4 2 2 0 3 / 4 1 1 2 1

(a) need to satisfy:

( )

( )

1

1

1

2

1

( )

( ) 0

( );

(

, 0

t dt

t dt

A dt

A

T

B dt

B dt

B

T

s t

T

t

t

s

T

















































)

( )

0 ( )

( );

(0,

)

2

2

( )

( ) 0

( );

(

, 0)

( )

0 ( )

( );

(0,

)

2

2

T

T

s t

t

t

s

s t

T

t

t

s

T

T

T

s t

t

t

s



















 



 









5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第22頁 5.8

 

2

2

1

3

2

2

2

4

1

2

3

4

(b)

0

;

0

;

2

2

1

3

(

)

4

4

s

E

E

T

T

T

T

E

E

T

E

E

E

E

E



















_

_

_

_



















5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第23頁 5.8

(c)

Main Menu

第一次作業成績

• Hi = 95

• Lo = 0

• Average = 78.68

• Standard deviation = 20.47

Main Menu

分數各級距人數

分數

人數

分數

人數

100

0

4x

0

9x

7

3x

0

8x

8

2x

0

7x

3

1x

0

6x

0

0x

0

5x

0

缺交

1

缺交名單

• B10612106

作業(報告)注意事項

• 盡量避免錯別字

• 數學式力求正確

• 如果有理論值曲線，不妨一併畫出

• 錯誤率 (縱軸) 通常採對數刻度

• 程式力求精簡，以提高執行速度

• 對發生機率低的事件，模擬次數要充足；

機率高的事件，可在累積夠發生次數時，

強制跳出迴圈。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第28頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第29頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第30頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第31頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第32頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第33頁 5.8

5.3

連續性AWGN通道轉成向量通道

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第34頁 5.8

Recall

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第35頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第36頁 5.8

(略談)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第37頁 5.8

(略談)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第38頁 5.8

Assume white noise

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第39頁 5.8

(略談)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第40頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第41頁 5.8

Recall:

高斯 (常態) 分布 pdf:













_





₂

2

2

₂

)

(

exp

2

1

)

(

X

X

X

X

x

x

f







5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第42頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第43頁 5.8

不相關定理(theorem of irrelevance)：

▪

關於相加性白色高斯雜訊的信號偵測，只有雜訊

投影到信號的基底函數上的分量會影響偵測；雜

訊的其它項則不相干。

▪

觀察向量 (observation vector)

▪

其中 N 是信號向量 s

_i

的基底函數的數目。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第44頁 5.8

5.4

相似性函數 (likelihood function)

log-likelihood function

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第45頁 5.8

5.5

信號在雜訊裡的同調偵測：最大相

似性解碼

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第46頁 5.8

信號偵測的問題：

▪

已知觀察向量x，進行從x到被傳送符號m

_i

的估測

，其作法是將在決策過程裡的錯誤機率予以最

小化。

錯誤機率

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第47頁 5.8

▪

在對應每個觀察向量x到一個決定裡，決策標準是

將錯誤機率最小化。

▪

因此最佳決定規則：

▪

此 決 策 規 則 被 稱 為 最 大 後 置 機 率 (maximum a

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第48頁 5.8

MAP規則：

▪

其中p

_k

是傳送符號m

_k

的前置機率，f

_X

(x|m

_k

)是條件

機 率 密 度 函 數 ， f

_X

(x) 是 X 的 非 條 件 機 率 密 度 函

數。

(略談)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第49頁 5.8

▪

AWGN通道做的最大相似性決策規則公式

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第50頁 5.8

其中

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第51頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第52頁 5.8

期中考注意事項

時間： 11/9, 9:30 ~11:30 pm

範圍：(暫定)

Ch. 5 ：5.1~5.6,

補充資料：帶通訊號之幾何表示法

Ch. 9 ：9.1~9.3

練習題範圍：機率練習題第 1~11 題

數位通信練習題第 1~4 題

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第53頁 5.8

期中考注意事項

中文命題，closed-book.

不得使用計算機、翻譯機、手機等。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第54頁 5.8

第二次作業預告

與課本 p. 9-23, 圖 9.20 有關

下週或下下週公告題目，以避免與期中考時

間衝突。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第55頁 5.8

5.6

相關接收器

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第56頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第57頁 5.8

常見的信號星座圖 (signal constellation)

BPSK

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第58頁 5.8

QPSK

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第59頁 5.8

8PSK

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第60頁 5.8

8PSK reception in error

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第61頁 5.8

16PSK vs. 16QAM

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第62頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第63頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第64頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第65頁 5.8

64QAM

(high-order QAM is commonly used in

satellites and high-speed modems)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第66頁 5.8

256QAM

5G and DVB-T2 use QPSK,

16QAM, 64QAM, 256QAM

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第67頁 5.8

16-APSK

(DVB-S2 uses 16-, 32- and

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第68頁 5.8

32-APSK

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第69頁 5.8

64-APSK

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第70頁 5.8

5.7

錯誤機率

平均符號錯誤機率

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第71頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第72頁 5.8

平移不變性原理

▪

如 果 信 號 星 座 圖 被 平 移 一 個 常 數 的 向 量

量，那麼在一個AWGN通道上的最大相似

性信號偵測所發生的符號錯誤機率P

_e

是完

全不變的。

註：兩個系統的平均傳輸能量不相等

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第73頁 5.8

聯集界限(union bound)

▪

令A

_ik

，(i,k)＝1,2,……,M表示當符號m

_i

(向量s

_i

)被

傳送時，觀察向量x對信號向量s

_k

及s

_i

而言，較接

近s

_k

的事件。

▪

當符號m

_i

被送，符號錯誤的條件機率，P

_e

(m

_i

)，等

於事件A

_i1

, A

_i2

,……, A

_i,i－1

, A

_i,i＋1

……, A

_i,M

聯集之

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第74頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第75頁 5.8

▪

用P

₂

(s

_i

, s

_k

)代替P(A

_ik

) 。

▪

此機率P

₂

(s

_i

, s

_k

)稱為成對的錯誤機率(pairwise

error probability) 。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第76頁 5.8

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第77頁 5.8

Complementary Error Function

Definition:









u

z

dz

u

)

2

exp(

)

(

erfc

2



5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第78頁 5.8

第79頁

8-1

8-2

8-3

8-4

8-5

8-6

8-7

8-8

8-9

8-10

Cp:

定義：Q函數

2

1

( )

exp(

/ 2)

2

u

Q u

z

dz











5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第80頁 5.8

 

 

_















2

erfc

2

1

2

2

)

(

erfc

u

u

Q

u

Q

u

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第81頁 5.8

假定訊號點分布對原點為圓形對稱分布，則

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第82頁 5.8

練習題 3

考慮一個四進制系統，假設信號源送出之信

號為

, 0 < t < T, i = 1,2,3,4

其中

及

是一組正交基底函數; (a

_i

, b

_i

)

的四個可能值分別為 (0, 0),

,

及

，其中

a

> 0 為常數.

)

(

)

(

)

(

t

a

₁

t

b

₂

t

s

_i



_i

f



_i

f

)

(

1

t

f

f

₂

(

t

)

)

2

,

2

(

a

a

)

2

2

,

0

(

a

(



2

a

,

2

a

)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第83頁 5.8

(a) 畫出信號空間上的信號分佈，以及各點對

應的決策區間 (decision regions).

(b) 假設送出各信號之機會均等，計算平均傳

輸能量, E

_s

.

(c) 計算在 AWGN 通道中傳輸之平均符元錯

誤機率 (symbol error probability).

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第84頁 5.8

(d) 對信號做格雷編碼 (Gray coding), 並計算

在 AWGN 通道中傳輸之位元錯誤率

(bit error rate, BER).

(e) 設計並畫出接收端同調檢測電路 (coherent

detector) 的方塊圖。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第85頁 5.8

Sol:

(a)

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第86頁 5.8

(b)

   





1

2

2

2

2

4

2

2

2

3

2

1

2

3

4

0

2

2

4

;

0

2 2

8

;

1

(

)

4

4

s

E

E

E

E

E

E

E

E

E

a

a

a

a

a

a





























5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第87頁 5.8

(c)

₁₂

2

1

2

0

0

0

2

2

2

0

0

1

Let

( ,

)

erfc

2

₂

1

2

1

erfc

erfc

2

₂

2

1 (1 )

2

1

erfc

erfc

4

e

d

p

P s s

N

N

N

P

p

p

p

N

N

a

a

a

a





 



_

_

_

_

















_



_





_



_















  

















_



_





_



_









5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第88頁 5.8

(c)

2

1

2

2

1

4

0

another solution:

by union bound

( ,

)

( ,

)

erfc

e

P

P s s

P s s

N

a











_

_

_

_





5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第89頁 5.8

(d)

格雷編碼示於圖中

(編碼方式不唯一)

2

1

2

0

1

( ,

)

erfc

2

b

P

P s s

N

a









_

_

_

_





5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第90頁 5.8

( 2 , 2 )

a

a

)

2

2

,

0

(

a

)

2

,

2

(



a

a

(0, 0)

2

:

2

L

x

 

y

a

:

2

L

x

  

y

a

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 第91頁 5.8

(e)

X

dt



f

(t)

+

_decision

b

= 1, if y

> l

b

= 0, if y

< l

y

^

^

2

l

 

a

X

dt



f

(t)

+

_decision

b

= 1, if y

> l

b

= 0, if y

< l

y

^

^

2

l



a

x(t)

_