CH8
( )1.下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD ﹒8 問﹕直角三角形 OAB 的高 AB 為何﹖ (1)1 (2) 6 2 (3) 7 1 (4) 3 (5)2﹒ 解答 4 解析 △OCD 中﹐OC4 3﹐△OBC中﹐OB OC cos15 4 3 cos15﹐
△OAB中﹐AB OB sin15 (4 3 cos15 ) sin15 2 3(2sin15 cos15 ) 2 3 sin 30 1 2 3 3 2 ﹐ 故選(4)﹒ ( )2.在坐標平面上有一橢圓﹐它的長軸落在 x 軸上﹐短軸落在 y 軸上﹐長軸﹑短軸的長度分別為 4 2﹐ ﹒如圖所示﹐通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45的直線在第一象限跟橢圓相交於 P﹐則 此交點 P 與中心 O 的距離為 (1)1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2﹒ 解答 2 解析 OP
斜角 45﹐故 P 點坐標可設成(t,t)﹐t > 0﹐ 又 P 在 2 2 1 4 1 x y 上﹐故 2 2 1 4 1 t t ﹐t > 0﹐解得 4 5 t ﹐ 則 4 8 2 1.6 5 5 OP ﹐故選(2)﹒( )3.在坐標平面上﹐廣義角q 的頂點為原點 O﹐始邊為 x 軸的正向﹐且滿足 2 tan 3 q ﹒若q 的終邊 上有一點 P﹐其 y 坐標為 4﹐則下列哪些選項一定正確﹖ (1)P 的 x 坐標是 6 (2)OP2 13 (3) 3 cos 13 q (4)sin2q > 0 (5)cos2 0 q 解答 24 解析 ∵ 2 tan 3 q ﹐又q終邊的 P 點﹐y 坐標為 4 ∴ q 在第三象限 (1)╳﹐ 2 4 tan 3 y x x q Þ x 6 ∴ P 的 x 坐標為 6 (2)○﹐OP 4262 52 2 13 (3)╳﹐ 6 3 cos 2 13 13 x OP q (4)○﹐ 4 6
sin 2 2sin cos 2( )( ) 0 2 13 2 13 q q q > (5)╳﹐180 360k q 270 360k﹐k 90 180 k 2 135 180 k q ﹐k 當 k 0 時﹐2 q 在第二象限﹐cos2 0 q 當 k 1 時﹐2 q 在第四象限﹐cos2 0 q > 故選(2)(4) ( )4.試問下列哪些選項中的數是有理數﹖ (1)3.1416 (2) 3 (3)log10 5 log 10 2 (4) sin15 cos15 cos15 sin15 (5)方程式 x3 2x2 x 1 0 的唯一實根﹒ 解答 134 解析 (1)○﹕ 31416 3.1416 10000 (2)╳﹕ 3為無理數 (3)○﹕ 10 10 10 10 1 1
log 5 log 2 log 10 log 10
2 2
(4)○﹕
2 2
sin15 cos15 sin 15 cos 15 2 2 4 cos15 sin15 cos15 sin15 2sin15 cos15 sin 30
(5)╳﹕由牛頓定理知 x3 2x2 x 1 0 的有理根僅有 ± 1﹐將 x ± 1 代入均不合
故唯一實根必為無理數 故選(1)(3)(4)﹒
( )5.若0 4 q
﹐試問以下哪些選項恆成立﹖ (1)sinq cosq (2)tanq sinq (3)cosq tanq (4)sin2q cos2q (5) 1 tan tan 2 2 q q ﹒ 解答 15 解析 (1)○ cos﹕ q > sinq (2)╳﹕ sin sin tan cos 1 q q q q > (3)╳﹕不一定 (4)╳﹕∵0 2 2 q ﹐∴不一定 (5)○﹕ 2 2 tan 2 tan tan(2 ) 2 1 tan 2 q q q q ﹐ 去分母 2
tan tan tan 2 tan
2 2 q q q q Þ 2 2 1 1 1 1
tan tan tan tan tan (1 tan ) tan
2 2 2 2 2 2 2 q q q q q q q Þ (∵0 tan2 1 q ﹐∴ 2 tan 1 2 q ) 故選(1)(5)﹒ 6.坐標平面上﹐以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點 A(1,0)﹐B﹐C﹐且 AB BC ﹒ 已知銳角三角形 OAB 的面積為 3 10 ﹐則△OAC 的面積為____________﹒(化為最簡分數) 解答 12 25
解析 令 B(cosq,sinq ) 0﹐ q 90﹐C(cos2q,sin2q )﹐ △OAB面積 1 3 1 1 sin 2 q 10 ﹐∴ 3 4 sin cos 5 5 q Þ q ﹐ 故△OAC 面積 1 1 3 4 12
1 1 sin 2 (2sin cos )
2 q 2 q q 5 5 25 ﹒ 7.四邊形 ABCD 中﹐AB ﹐1 BC ﹐5 CD ﹐5 DA ﹐且 ÐDAB ÐBCD 90﹐則對角線 AC 長為_____7 解答 32 解析 ∵四邊形 ABCD 中﹐ÐDAB ÐBCD 90﹐ ∴ÐABC ÐADC 180﹐即 ÐABC 180 ÐADC﹐
利用 cosÐABC cos(180 ÐADC) Þ cosÐABC cosÐADC﹐ 則 2 2 25 1 25 49 32 2 5 1 2 5 7 AC AC AC Þ
8.已知△ABC 中﹐AB ﹐2 BC 且 ÐA 2ÐC﹐則 AC ____________﹒(化成最簡分數)3 解答 5 2 解析 由正弦定理知 2 3 3
sinq sin 2q 2sinqcosq ﹐
sin ∵ q ¹ 0﹐∴ 3 cos 4 q ﹐ 由餘弦定理知 2 9 4 3 cos 2 3 4 x x q Þ 2x2 9x 10 0 Þ (2x 5)(x 2) 0 5 2 x Þ 或 x 2(不合)﹒ 9.如圖﹐正△ABC 的邊長為 1﹐並且 Ð1 Ð2 Ð3 15﹒ 已知 6 2 sin15 4 ﹐則正△DEF 的邊長為____________﹒(化為最簡根式) 解答 6 2 2 2
解析 在△ABE 中﹐ÐABE 60 15 45﹐ÐAEB 180 15 45 120﹐ 利用正弦定理﹐得
1 sin15 sin 45 sin120
BE AE ﹐ 即 6 2 sin15 4 6 2 sin120 3 2 3 2 BE ﹐ 2 sin 45 2 2 sin120 3 3 2 AE ﹒ 又因為△ABE 與△CAD 全等﹐所以AD BE ﹒ 故正△DEF 的邊長為DEAE AD AE BE 2 6 2 3 2 3 3 2 6 2 3 3 6 3 2 6 6 2 2 2 ﹒ A A B C D E F 1 2 3
CH9
( )1.點 A(1,0)在單位圓 G:x2 y2 1 上﹒試問﹕G 上除了 A 點以外﹐還有幾個點到直線 L:y 2x 的 距離﹐等於 A 點到 L 的距離﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒ 解答 3 解析 如圖﹐過 A 點作直線 L1平行直線 L 交圓 G 於 B 點﹔ 在直線 L 的另一側﹐再作一直線 L2﹐ 使得三平行直線 L1﹐L﹐L2等距離﹐並交圓 G 於 C﹐D 兩點﹒ 因此﹐圓 G 上除了 A 點外﹐還有 B﹐C﹐D 三點到直線 L 的距離﹐ 等於 A 點到直線 L 的距離﹒ 故選(3)﹒ ( )2.坐標平面上兩圖形 G1﹐G2的方程式分別為﹕G1:(x 1)2 y2 1﹐G2:(x y)2 1﹒ 請問 G1﹐G2共有幾個交點﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒ 解答 2 解析 由圓的標準式知﹐G1是圓心為( 1,0)﹐半徑為 1 的圓﹒ 因為(x y)2 1 Û x y 1 或 x y 1﹐ 所以 G2為二平行直線 x y 1 與 x y 1﹒ 由下圖得知﹐兩圖形共有 2 個交點﹐故選(2)﹒ ( )3.如下圖所示﹐坐標平面上一鳶形 ABCD﹐其中 A﹐C 在 y 軸上﹐B﹐D 在 x 軸上﹐ 且AB AD ﹐2 BC CD ﹐4 AC ﹒令5 mAB﹐mBC﹐mCD﹐mDA 分別表直線 AB﹐BC﹐CD﹐DA 之斜率﹒試問以下哪些敘述成立﹖ (1)此四數值中以mAB為最大 (2)此四數值中以mBC為最小 (3)mBC mCD (4)mABmBC 1 (5)mCDmDA>0﹒ 解答 235 解析 (1)╳﹕mCD最大 (2)○ (3)○﹕BC﹐CD對 y 軸成對稱 (4)╳﹕∵52 ¹ 22 42﹐∴AB與BC不垂直 (5)○ 故選(2)(3)(5)﹒ x y A B C D L1 L2 L:y=2x O 1 1 x+y=1 x +y= -1 -1 -1 x O y( )4.考慮坐標平面上以 O(0,0)﹐A(3,0)﹐B(0,4)為頂點的三角形﹐令 C1﹐C2分別為△OAB 的外接圓﹑ 內切圓﹒請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)C1的半徑為 2 (2)C1的圓心在直線 y x 上 (3)C1的圓 心在直線 4x 3y 12 上 (4)C2的圓心在直線 y x 上 (5)C2的圓心在直線 4x 3y 6 上﹒ 解答 34 解析 由圖知△OAB 為直角三角形﹐ (1)(2)(3)∵△OAB 為直角三角形﹐設外接圓圓心 P﹐半徑 R﹐ ∴外接圓圓心 P 在AB中點﹐ 則外接圓半徑 1 5 2 2 R AB ﹐ 3 ( ,2) 2 P ﹐ 3 4 1 4 3 12 x y AB Þ x y
: ﹐ 故(1)(2)為錯﹐(3)正確 (4)(5)令內接圓圓心 Q﹐半徑 r﹐ DABO DAOQ DBOQ DAQB 1 1 1 1 3 4 3 4 5 1 2 2 r 2 r 2 r r Þ Þ ﹐ ∴Q(1,1)﹐∴Q 在直線 x y 上﹐故(4)正確﹐(5)錯誤 故選(3)(4)﹒ 5.地面上甲﹑乙兩人從同一地點同時開始移動﹒甲以每秒4公尺向東等速移動﹐乙以每秒3公尺向北等速 移動﹒在移動不久之後﹐他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了6秒後才又相見﹒此圓柱體建築物底圓 的直徑為____________公尺﹒ 解答 14.4 解析 依題意﹐圖示如下﹕ 經 6 秒甲走AB 6 4 24公尺﹒ 因為圖中二個直角三角形相似﹐所以 3 72 14.4 24 5 5 x x Þ ﹐ 故底圓的直徑為 14.4 公尺﹒ 6.某高中已有一個長 90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒ 若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 400 公尺的跑道﹐ 跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐ 而中間是上下各一條的直線跑道﹐ 直線跑道與足球練習場的長邊平行(如示意圖)﹒ 則圖中一條直線跑道 AB 長度的最大可能整數值為____________公尺﹒ 解答 105 解析 設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐ 所以 400 2 2 2 400 200 2 r r AB AB r Þ 公尺﹒ 5k 4k A 24 B 3k x 東 北 足球練習場 直線跑道 右 邊 跑 道 左 邊 跑 道 A B當 60 30 2 r 時﹐AB有最大值 200 30» 200 30 3.14 105.8 公尺﹒ 故AB的最大可能整數值為 105 公尺﹒ 7.設 A(0,0)﹐B(10,0)﹐C(10,6)﹐D(0,6)為坐標平面上的四個點﹒如果直線 y m(x 7) 4 將四邊形 ABCD 分成 面積相等的兩塊﹐那麼 m ____________﹒(化成最簡分數) 解答 1 2 解析 y m(x 7) 4 表過(7,4)之直線﹐ 令 x 10﹐y 3m 4﹐x 0﹐y 7m 4﹐ 梯形 ABEF 之面積 1 1 ( 7 4 3 4) 10 (10 6) 2 m m 2 1 4 8 6 2 m m Þ Þ ﹒ 8.坐標平面上的圓 C (﹕ x 7)2 (y 8)2 9 上有____________個點與原點的距離正好是整數值﹒ 解答 12 解析 設 P 為圓 C 上任一點﹐O 為圓點﹐ 因 C (﹕ x 7)2 (y 8)2 9 的圓心為 K(7,8)﹐半徑 r 3﹐ 所以OP的最大值為OK r 7282 3 113 3 13. ﹐ 最小值為OK r 7282 3 113 3 7. ﹐ 因此若OP為整數值﹐則OP8﹐9 10 11 12 13﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 若以 O 為圓心﹐分別以 8 9 10 11 12 13﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 為半徑畫弧﹐ 與圓 C 共交於 12 個點﹒ 9.平面上兩點 A﹑B 之距離為 5﹐以 A 為圓心作一半徑為 r(0 r 5)的圓 G﹐過 B 作圓 G 的切線﹐ 切點(之一)為 P﹒當 r 變動時﹐△PAB 的面積最大可能值為____________﹒(化成最簡分數) 解答 25 4 解析 如圖﹐設BP x ﹒ 因為 ÐAPB 90﹐所以△PAB 的面積為 2 rx ﹒ 又由畢氏定理﹐得 r2 x2 25﹒ 利用算幾不等式﹐得 2 2 2 2 2 r x r x Þ 25 2 rx﹐ 即△PAB 的面積 25 4 ﹒且當 2 2 25 2 x r 時﹐等號成立﹒ 故△PAB 的面積之最大值為 25 4 ﹒ 〈另解〉 如圖﹐設 ÐPAB q﹒
因為 ÐAPB 90﹐所以AP5cosq﹐BP5sinq ﹒
5 A r x B P 5 A B P
因此﹐△PAB 的面積為
1 25 25
sin cos sin 2 2AP BP 2 q q 4 q﹒ 當q 45時﹐△PAB 的面積有最大值 25 25 1 4 4 ﹒
CH10
( )1.如圖﹐下面哪一選項中的向量與另兩個向量 PO
﹑ QO
之和等於零向量﹖ (1) AO
(2) BO
(3) CO
(4) DO
(5) EO
﹒ 解答 3 解析 由圖可知﹐PO QO QO OR QR
﹐則CO QR
0 ﹐故選(3)﹒ ( )2.設 ABC 為坐標平面上一三角形﹐P 為平面上一點且 1 2 5 5 AP AB AC
﹐則 ABP ABC △ 面積 △ 面積 等於 (1) 1 5 (2) 1 4 (3) 2 5 (4) 1 2 (5) 2 3 ﹒ 解答 3 解析 作直線 AP 交直線 BC 於 D﹐因 A﹑P﹑D 三點共線﹐所以可設AD k AP
﹐因此 2 5 5 k k AD
AB AC ﹐ 又因 B﹑D﹑C 三點共線﹐所以 2 1 5 5 k k ﹐解得 5 3 k ﹐ 因此 1 2 3 3 AD
AB AC 且AP PD: 3 2: ﹐ 由向量的分點公式知BD DC: 2 1: ﹐ 則△ABP 面積 3 5 △ABD 面積 3 5 ( 2 3△ABC面積) 2 5 △ABC面積﹐故選(3)﹒ ( )3.如圖所示﹐O 為正六邊形之中心﹒試問下列哪個向量的終點 P 落在△ODE 內部(不含邊 界)﹖ (1)OP OC OE
(2) 1 1 4 2 OP
OC OE (3) 1 1 4 2 OP
OC OE (4) 1 1 4 2 OP
OC OE (5) 1 1 4 2 OP
OC OE ﹒ 解答 2解析 如圖﹒令OP xOC yOE
﹐ P落在直線OE右側的條件為x>0﹐ P落在直線OD左側的條件為x y 0﹐ P落在直線DE下方的條件為y1﹐ 故選(2)﹒ ( )4.如下圖所示﹐兩射線 OA 與 OB 交於 O 點﹐試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內 (1)OA
2OB (2) 3 1 4OA
3OB (3) 3 1 4OA
3OB (4) 3 1 4OA
5OB (5) 3 1 4OA
5OB﹒ 解答 12 解析 令OP
OAOB﹐ 欲使 P 點落在陰影區域內﹐則 > 0﹐ > 0﹐ 1﹐ (1)1 2 > 1 (2) 3 1 13 1 4 3 12 > 故選(1)(2)﹒ ( )5.若實數 a﹑b﹑c﹑d 使得聯立方程組 8 4 3 ax y c x y 有解﹐且聯立方程組 3 4 3 x by d x y 無解﹐ 則下列哪些選項一定正確﹖ (1)a ¹ 2 (2)c 6 (3)b 12 (4)d ¹ 9 (5)聯立方程組 8 3 ax y c x by d 無解 解答 34 解析 8 4 3 ax y c x y 有解 唯一解﹕ 8 1 4 a ¹ Þ a ¹ 2 無限多解﹕ 8 1 4 3 a c Þ a 2﹐c 6 3 4 3 x by d x y 無解 Þ 3 1 4 3 b d ¹ Þ b 12﹐d ¹ 9 又 8 3 ax y c x by d Þ 若 a ¹ 2﹐則 8 3 a b ¹ Þ 唯有一解 若 a 2﹐c 6﹐b 12﹐d ¹ 9 Þ 2 8 6 3 12 d ¹ Þ 無解 故選(3)(4) 6.坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD﹐其中點 A 的坐標為(2,1)﹐點 B 的坐標為(8,2)﹐點 C 在第一象限且知 其 x 坐標為 12﹒若平行四邊形 ABCD 的面積等於 38 平方單位﹐則點 D 的坐標為____________﹒ 解答 (6,8)解析 AB
(6,1)﹐AC
(10,k1)﹐ 平行四邊形面積 6 1 | | 38 | 6 16 | 38 9 10 k 1 k k Þ Þ 或k 113 (不合)﹐ AC中點即為BD中點﹐故 14 10 8 2 ( , ) ( , ) ( , ) (6,8) 2 2 2 2 x y x y Þ ﹒ 7.設 u
﹐ v
為兩個長度皆為 1 的向量﹒若 u
v 與 u
的夾角為 75﹐ 則 u
與 v
的內積為____________﹒(化為最簡根式) 解答 3 2 解析 依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒ 推得
u 與
v 的夾角為 150﹒ 故 3 1 1 cos150 2 u v
﹒ 8.小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星﹕由天璇起 始向天樞的方向延伸便可找到北極星﹐其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍﹒」今小明將所 見的星空想像成一個坐標平面﹐其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為(7,11)﹒依上述資訊可以推得北極星 的坐標為____________﹒ 解答 ( 3,26) 解析 令北極星坐標為(x,y) 5
樞北 璇樞 Þ (x 7,y 11) 5(7 9,11 8) Þ x 7 10 得 x 3 Þ y 11 15 得 y 26 ∴ 北極星坐標為( 3,26) 9.坐標平面中 A(a,3)﹐B(16,b)﹐C(19,12)三點共線﹒已知 C 不在 A﹑B 之間﹐且AC : BC3 : 1﹐則 a b _______﹒ 解答 19 解析 如圖﹐因為AB : BC2 : 1﹐所以由分點公式﹐得 38 3 24 (16, ) ( , ) 3 3 a b ﹒ 解得 a 10﹐b 9﹐即 a b 19﹒ 75 75 150u
v
u v
+CH11
( )1.給定相異兩點 A﹑B﹐試問空間中能使△PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合為下列 哪一選項﹖ (1)兩個點 (2)一線段 (3)一直線 (4)一圓 (5)一平面﹒ 解答 4 解析 如圖﹐設AB a ﹐M 為AB的中點﹒ 因為△PAB 為正三角形﹐所以PM AB﹐且 3 2 PM a (定值)﹒ 因此﹐以AB為軸﹑M 點為旋轉中心繞一圈﹐ 所得的圓形就是所有 P 點構成的圖形﹒故選(4)﹒ ( )2.令 A(5,0,12)﹐B( 5,0,12)為坐標空間中之兩點﹐且令 P 為 xy 平面上滿足PA PB 13的點﹒ 請問下列哪一個選項中的點可能為 P﹖ (1)(5,0,0) (2)(5,5,0) (3)(0,12,0) (4)(0,0,0) (5) (0,0,24)﹒ 解答 4 解析 設 P(x,y,0)﹒因為PA PB 13﹐所以 (x5)2y2144 (x5)2y2144 13 ﹐ 即 2 2 2 2 ( 5) 25 ( 5) 25 x y x y ﹒ 兩式相減﹐得(x 5)2 (x 5)2 Þ x2 10x 25 x2 10x 25 Þ x 0﹐ 代入原式得 y 0﹐即 P(0,0,0)﹒ 故選(4)﹒ ( )3.坐標空間中﹐在 xy 平面上置有三個半徑為 1 的球兩兩相切﹐設其球心分別為 A﹐B﹐C﹒今將第 四個半徑為 1 的球置於這三個球的上方﹐且與這三個球都相切並保持穩定﹒設第四個球的球心 為 P﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)點 A﹐B﹐C 所在的平面和 xy 平面平行 (2)三角形 ABC 是一個正三角形 (3)三角形 PAB 有一邊長為 2 (4)點 P 到直線 AB 的距離為 3 (5)點 P 到 xy 平面的距離為1 3﹒ 解答 124 解析 四球心連成一邊長為 2 之正四面體﹐如圖所示﹐ (1)○ (2)○ (3)╳﹕△PAB 為正三角形 (4)○ (5)╳﹕正四面體之高為 6 2 6 2 3 3 ﹐∴P 到 xy 平面之距離為 2 6 1 3 故選(1)(2)(4)﹒ A M B P( )4.如圖﹐正立方體 ABCD EFGH 的稜長等於 2(即AB )﹐K 為正方形 ABCD 的中心﹐M﹑N2 分別為線段 BF ﹑ EF 的中點﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (1) 1 1 1 2 2 2 KM
AB AD AE (2)(內積)KM AB
1 (3)KM 3 (4)△KMN 為一直角三角形 (5)△KMN 之面積為 10 2 ﹒ 解答 14 解析 坐標化 A(0,0,2)﹐B(2,0,2)﹐D(0,2,2)﹐E(0,0,0)﹐F(2,0,0)﹐ M(2,0,1)﹐N(1,0,0)﹐K(1,1,2)﹐ (1)○﹕KM
(1, 1, 1)﹐AB
(2,0,0)﹐AD
(0,2,0)﹐ AE
(0,0, 2) ﹐ 1 1 1 2 2 2 KM
AB AD AE (2)╳﹕KM AB
2 (3)╳﹕|KM
| 1 1 1 3 (4)○﹕KM MN
(1, 1, 1) ( 1,0, 1) 0 (5)╳﹕ÐKMN 90﹐|MN
| 2﹐|KM
| 3﹐面積 1 6 2 3 2 2 故選(1)(4)﹒ 5.附圖為一正立方體﹐若 M 在線段 AB 上﹐BM 2AM ﹐ N為線段BC之中點﹐則 cosÐMON ____________ 10﹒ (分數要化成最簡分數) 解答 4 15 解析 坐標化﹐令 O(0,0,0)﹐A(0,0,6)﹐B(0,6,6)﹐C(6,6,6)﹐M(0,2,6)﹐N(3,6,6)﹐ 則OM
(0,2,6)﹐ON
(3,6,6)﹐ 0 12 36 48 8 8 10 4 cos 10 30 15 40 81 2 10 9 3 10 | | | | OM ON MON OM ON Ð
﹒ 6.令 A( 1,6,0)﹐B(3, 1, 2)﹐C(4,4,5)為坐標空間中三點﹒若 D 為空間中的一點且滿足 3DA
4DB2DC 0 ﹐則點 D 的坐標為____________﹒ 解答 ( 7,30,18) 解析 設 D(x,y,z)﹐ 則DA
( 1 x,6 y z, )﹐DB
(3 x, 1 y, 2 z)﹐DC
(4x,4y,5z)﹐3DA
4DB2DC 3( 1 x,6 y z, )Þ4(3 x, 1 y, 2 z) 2(4x,4y,5z)
0 Þ 3 3 12 4 8 2 0 7 18 3 4 4 8 2 0 30 3 8 4 10 2 0 18 x x x x y y y y z z z z Þ Þ Þ ∴D( 7,30,18)﹒ 7.坐標空間中﹐在六個平面 14 13 x ﹐ 1 13 x ﹐y 1﹐y 1﹐z 1 及 z 4 所圍成的長方體上隨機選取兩 個相異頂點﹒若每個頂點被選取的機率相同﹐則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為____________﹒(化 成最簡分數) 解答 3 7 解析 將平面組成的長方體坐標列出為 1 ( , 1, 4) 13 A ﹑ 14 ( , 1, 4) 13 B ﹑ 14 ( ,1, 4) 13 C ﹑ 1 ( ,1, 4) 13 D ﹑ 1 ( , 1, 1) 13 E ﹑ 14 ( , 1, 1) 13 F ﹑ 14 ( ,1, 1) 13 G ﹑ 1 ( ,1, 1) 13 H 其中BF 3﹐AB1﹐BC2 兩頂點距離大於 3 者有 AF﹑GD﹑EB﹑HC﹑FC﹑GB﹑ED﹑HA﹑ FD﹑HB﹑EC﹑AG﹐共 12 種 故 82 12 3 7 P C 8.附圖為一正立方體﹐被一平面截出一個四邊形 ABCD﹐其中 B﹐D 分別為稜的中點﹐ 且EA AF: 1 2: ﹒則 cosÐDAB ____________﹒(化成最簡分數) 解答 1 37 解析 將圖形坐標化﹐ 2 (1,0, ) 3 A ﹐ 1 (1,1, ) 2 B ﹐ 1 (0,0, ) 2 D ﹐ 則 1 (0,1, ) 6 AB
﹐ 1 ( 1,0, ) 6 AD
﹐ 故 1 1 0 0 1 36 36 cos( ) 37 37 1 1 | | | | 1 1 36 36 36 AB AD DAB AB AD Ð
﹒ 9.有一底面為正方形的四角錐﹐其展開圖如下圖所示﹐ 其中兩側面的三角形邊長為 3 4 5﹐ ﹐ ﹐則此角錐的體積為 (化為最簡根式) 解答 16 5 3 解析 立體圖﹐如下﹒ 1091 高三數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14/18 3 3 5 5 4 4 3 P因為高PM 3222 5﹐ 所以體積為 2 1 16 5 4 5 3 3 ﹒
CH12
( )1.坐標空間中一質點自點 P(1,1,1)沿著方向
a (1,2,2)等速直線前進﹐經過 5 秒後剛好到達 平面 x y 3z 28 上﹐立即轉向沿著方向
b ( 2,2, 1) 依同樣的速率等速直線前進﹒ 請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x 2 上﹖ (1)1秒 (2)2 秒 (3)3 秒 (4)4 秒 (5)永遠不會到達﹒ 解答 2 解析 設質點到達兩平面的點分別為 Q 與 R﹐如下圖所示﹒ 將參數式 1 : 1 2 1 2 x t PQ y t z t
(t )代入 x y 3z 28﹐ 得(1 t) (1 2t) 3(1 2t) 28 Þ 3 5t 28 Þ t 5﹐即 Q(6,11,11)﹒ 再將參數式 6 2 : 11 2 11 x s QR y s z s
(s )代入 x 2﹐ 得 6 2s 2 Þ s 2﹐即 R(2,15,9)﹒ 因為 6 2 15 5 QR PQ ﹐所以經過 2 5 2 5 秒到達 R 點﹐故選(2)﹒ ( )2.坐標空間中﹐設直線 1 2 : 2 3 1 x y z L ﹐平面 E1:2x 3y z 0﹐平面 E2:x y z 0﹒ 試 選出正確的選項﹒ (1)點(3,0, 1)在直線 L 上 (2)點(1,2,3)在平面 E1上 (3)直線 L 與平面 E1垂直 (4)直線 L 在平面 E2上 (5)平面 E1與 E2交於一直線﹒ 解答 35 解析 (1)將點(3,0, 1)代入 L﹐得 3 1 0 2 1 2 3 1 (不合)﹐所以不在 L 上﹒ (2)將點(1,2,3)代入 E1﹐得 2 1 3 2 3 0(不合)﹐所以不在 E1上﹒ (3)因為直線 L 的方向向量(2, 3, 1)與平面 E1的法向量(2, 3, 1)平行﹐ 所以直線 L 與平面 E1垂直﹒ (4)將直線 L 的參數式 x 1 2t﹐y 2 3t﹐z t﹐ 代入平面 E2﹐得(1 2t) (2 3t) ( t) 0 Þ 3 0(不合)﹒ 因為此方程式的 t 無解﹐所以直線 L 與平面 E2平行﹒ (5)因為平面 E1的法向量(2, 3, 1)與平面 E2法向量(1,1, 1)不平行﹐ 所以兩平面不平行﹒因此﹐兩平面交於一直線﹒ 故選(3)(5)﹒ Q P R x-y + 3z= 28( )3.坐標空間中有一平面 P 過(0,0,0) (1,2,3)﹐ 及( 1,2,3)三點﹒試選出正確的選項﹒ (1)向量(0,3,2)與平面 P 垂直 (2)平面 P 與 xy 平面垂直 (3)點(0,4,6)在平面 P 上 (4)平面 P 包含 x 軸 (5)點(1,1,1)到平面 P 的距離是 1﹒ 解答 34 解析 因為平面 P 過 O(0,0,0)﹐A(1,2,3)﹐B( 1,2,3)三點﹐所以外積 2 3 3 1 1 2 (1,2,3) ( 1,2,3) ( , , ) (0, 6,4) 2 3 3 1 1 2 OA OB
為平面 P 的一個法向量﹒又因為平面 P 過點 O(0,0,0)﹐ 所以 P 的方程式為 6y 4z 0 Þ 3y 2z 0﹒ (1)因為(0,3,2)與平面 P 的法向量(0,3, 2)不平行﹐所以(0,3,2)與平面 P 不垂直﹒ (2)因為 xy 平面﹕z 0 的法向量為(0,0,1)﹐且(0,0,1) (0,3, 2) 2 ¹ 0﹐ 即兩法向量不垂直﹐所以兩平面不垂直﹒ (3)因為 3 4 2 6 0﹐所以點(0,4,6)在平面 P 上﹒ (4)因為 x 軸上兩點 O(0,0,0)與(1,0,0)都在平面 P 上﹐所以平面 P 包含 x 軸﹒ (5)利用點到平面的距離公式﹐得 2 2 2 | 3 1 2 1| 1 13 0 3 ( 2) d ﹒ 故選(3)(4)﹒ ( )4.下列各直線中﹐請選出和 z 軸互為歪斜線的選項﹒ (1) 1 0 : 0 x L z (2) 2 0 : 1 y L x z (3) 3 0 : 1 z L x y (4) 4 1 : 1 x L y (5) 5 1 : 1 y L z ﹒ 解答 35 解析 將 z 軸及 5 個選項的方程式均改寫為參數式﹕ z軸﹕ 0 0 x y z t (t )﹐L1﹕ 1 0 0 x y t z (t1 )﹐L2﹕ 2 2 0 1 x t y z t (t2 )﹐ L3﹕ 3 3 1 0 x t y t z (t3 )﹐L4﹕ 4 1 1 x y z t (t4 )﹐L5﹕ 5 1 1 x t y z (t5 )﹒ (1)z軸與 L1聯立﹐解得 x 0﹐y 0﹐z 0﹐即交一點(0,0,0)﹒ (2)z軸與L2聯立﹐解得 x 0﹐y 0﹐z 1﹐即交一點(0,0,1)﹒ (3)z軸與 L3聯立﹐無解﹐即不相交﹒ 又方向向量
vz (0,0,1)與
v3 (1, 1,0)不平行﹐所以歪斜﹒(4)因為方向向量
vz (0,0,1)與
v4 (0,0,1)平行﹐所以不是歪斜﹒(5)z軸與 L5聯立﹐無解﹐即不相交﹐
又方向向量
vz (0,0,1)與
v5 (1,0,0)不平行﹐所以歪斜﹒( )5.坐標空間中有三直線 1 1 1 : 2 2 1 x y z L ﹐ 2 2 2 4 : 4 5 x y z L x y z ﹐ 3 : 2 4 4 x t L y t z t ﹐t 為實數﹒ 請選出正確的選項﹒ (1)L1與 L2的方向向量互相垂直 (2)L1與 L3的方向向量互相垂直 (3)有 一個平面同時包含 L1與 L2 (4)有一個平面同時包含 L1與 L3 (5)有一個平面同時包含 L2與 L3﹒ 解答 234 解析 將 L1﹐L2改寫為參數式﹐得 1 1 2 : 1 2 x s L y s z s (s )﹐ 2 2 2 : 3 2 x k L y k z k (k )﹒ (1)因為
1 2 (2,2,1) (2,2,1) 9 0 ¹ ﹐所以
1 與
2 不垂直﹒ (2)因為
1 3 (2,2,1) ( 1, 1,4) 0 ﹐所以
1 3 ﹒ (3)將 L1上的點(1, 1,0)代入 L2﹐得 1 2 2 1 3 2 0 k k k (不合) 又
1//2 ﹐因此 L1//L2﹐於是此選項正確﹒ (4)解 1 2 1 2 2 4 4 s t s t s t Þ 2 1 2 1 4 4 s t s t s t Þ t 1﹐s 0﹒ 得知 L1與 L3交一點﹐於是此選項正確﹒ (5)解 2 2 3 2 2 4 4 k t k t k t Þ 2 2 2 5 4 4 k t k t k t Þ t﹐k 無解﹒ 得知 L2與 L3歪斜﹐於是此選項不正確﹒ 故選(2)(3)(4)﹒ 6.平面 x y z 0 與三平面 x 2﹐x y 2﹐x y 2 分別相交所得的三直線可圍成一個三角形﹒此三角 形之周長化成最簡根式﹐可表為a b c d ﹐其中 a﹐b﹐c﹐d 為正整數且 b d﹐ 則 a (1)____________﹐b (2)____________﹐c (3)____________﹐d (4)____________﹒ 解答 (1)6;(2)2;(3)2;(4)6 解析 如下圖﹐此三角形的三頂點就是平面 x y z 0﹐ 與另三平面之任二平面的交點﹐ 解三個聯立方程式﹕ 2 2 0 x x y x y z ﹐ 2 2 0 x y x y x y z ﹐ 2 2 0 x x y x y z ﹒ 得三頂點為 A(2,4,2)﹐B(0,2,2)﹐C(2,0, 2)﹒ 故周長為AB BC CA 2 2 2 6 4 2 6 2 2 6 ﹒ 即 a 6﹐b 2﹐c 2﹐d 6﹒ A C B7.H﹕x y z 2 為坐標空間中一平面﹐L 為平面 H 上的一直線﹒已知點 P(2,1,1)為 L 上距離原點 O 最近的 點﹐則____________為 L 的方向向量﹒ 解答 (2, 1, 3) 解析 ∵P 為 L 上距離原點 O 最近的點﹐∴OP L
﹐OP
(2,1,1)﹐ 又平面 H 的法向量
n ﹐
n L﹐
n (1, 1,1) ﹐ L的方向向量 1 1 1 2 2 1 ( , , ) (2, 1, 3) 1 1 1 1 1 1 d OP n
﹒ 8.坐標空間中有四點 A(2,0,0)﹐B(3,4,2)﹐C( 2,4,0)與 D( 1,3,1)﹒若點 P 在直線 CD 上變動﹐ 則內積 PA PB
之最小可能值為____________﹒(化為最簡分數) 解答 5 4 解析 利用直線參數式CD
﹕ 0 2 4 , z t x t y t t ﹐設點 P( 2 t,4 t,t)﹒因為 (4 , 4 , ) (5 , ,2 ) PA PB t t t t t t
(4 t)(5 t) ( 4 t)t ( t)(2 t) 3t2 15t 20 2 5 5 3( ) 2 4 t ﹒ 所以當 5 2 t 時﹐PA PB
有最小值 5 4﹒CH13
( )1.令 1 0 0 1 I ﹐ 1 1 3 4 A ﹐B I A A 1 ﹐試選出代表 BA 的選項﹒ (1) 1 0 0 1 (2) 6 0 0 6 (3) 4 1 3 1 (4) 1 1 3 4 (5) 6 6 18 24 ﹒ 解答 5 解析 2 1 1 1 1 4 5 3 4 3 4 15 19 A ﹐
1
2 BA I A A A A A I 1 1 4 5 1 0 6 6 3 4 15 19 0 1 18 24 ﹐ 故選(5)﹒ ( )2.設 n 為正整數﹐符號 1 1 0 2 n 代表矩陣 1 1 0 2 自乘 n 次﹒令 1 1 0 2 n n n n n a b c d ﹐ 請選出正確的選項﹒ (1)a2 1 (2)a1﹐a2﹐a3為等比數列 (3)d1﹐d2﹐d3為等比數列(4)b1﹐b2﹐b3為等差數列 (5)c1﹐c2﹐c3為等差數列﹒ 解答 1235 解析 計算如下: 2 1 1 1 1 1 1 1 3 0 2 0 2 0 2 0 4 ﹐ 3 1 1 1 3 1 1 1 7 0 2 0 4 0 2 0 8 ﹒ (1)a2 1﹒
(2)a1 1﹐a2 1﹐a3 1 為等比數列﹒
(3)d1 2﹐d2 4﹐d3 8 為等比數列﹒ (4)b1 1﹐b2 3﹐b3 7 不為等差數列﹒ (5)c1 0﹐c2 0﹐c3 0 為等差數列﹒ 故選(1)(2)(3)(5)﹒ 3.設 a1﹐a2﹐ ﹐a… 9為等差數列且 k 為實數﹒若方程組 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 2 5 2 9 a x a y a z k a x a y a z k a x a y a z k 有解﹐則 k ______ 解答 5 解析 設公差為 d﹒ 由第二式減第一式﹐得 3dx 3dy 6dz 2k 6…… 由第三式減第二式﹐得 3dx 3dy 6dz 2k 14…… 因為方程組有解﹐所以由﹐ 得知 2k 6 2k 14 Þ 4k 20﹐解得 k 5﹒ 4.設 x﹐y 為實數﹐且滿足 3 1 3 6 2 4 1 6 1 x y ﹐則 x 3y ____________﹒ 解答 4
解析 由矩陣的乘法﹐得 3 3 6 3 3 2 4 1 6 2 4 5 x y x y x y x y Þ ﹐ 解得 1 2 x ﹐ 3 2 y ﹒故 1 3 3 3 ( ) 4 2 2 x y ﹒