國二生多項式四則運算錯誤之調查研究

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國二生多項式四則運算錯誤類型之調查研究

郭正仁

1

_謝哲仁

2 1_{高雄市立小港國民中學} 2_{美和技術學院} （投稿日期：91 年 10 月 21 日；修正日期：91 年 11 月 5 日；接受日期：92 年 2 月 24 日）

摘要

多項式四則運算為代數運算的基礎，也是算術與代數之間的重要橋樑。本研究藉由高市58 位數學教師的專業知識及 262 名國二生的紙筆測驗，來分析學生的錯誤情形與類型，伴隨非結構性的面談，來探究其原因。研究發現學生在圖形題方面最易產生錯誤，文字題的空白佔有率最高，除法逆運算的認知最難，而常有定義認知、類推、括號、移項等方面的錯誤類型。問題結構的表徵錯誤、定義公式等基模知識的認知不足及舊經驗的不當類推，是形成錯誤的主要原因，而語言轉譯、基模、策略、程序知識的缺乏與圖形的直覺映像，更憑添文字題與圖形題在轉換成代數表徵時的錯誤。關鍵詞：多項式、錯誤類型

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壹、緒論

Von Glasersfeld（1987）認為建構知識的過程必須是主動的，而非被動的灌輸吸收，在此過程中，可能產生錯誤的概念，造成學習的困擾並影響未來的學習（林清山、張景媛，1994），所以邱上真(1992) 呼籲應格外重視以歷程為導向的錯誤類型分析。黃敏晃（1998）也認為學生學習的歷程與結果常會反應在其解題的錯誤上，若能找出其犯錯的理由，則可匡正與預防學生的犯錯行為，並作為補救教學的參考。目前關於國小算術的四則運算與錯誤類型的研究比比皆是，但對於國中多項式四則運算錯誤類型的研究，卻是乏人問津，若能使學生具備正確的多項式四則運算概念，則對於初等代數的學習，將助益良多，尤其我們現在正推行的九年一貫的課程，在數學領域中，算術與代數的銜接，就是重要的工作項目之一。本研究的目的有四：（一）了解一般學生在多項式四則運算之錯誤情形（二）探討多項式四則運算之錯誤類型（三）分析多項式四則運算之錯誤原因（四）提供教學、評量、補救策略、研究上的參考。

貳、文獻探討

一、算術運算的錯誤類型

多項式四則運算除了代數文字符號與小學算術運算中所使用的數字符號，有顯著的不同外，另外，我們也常發現，學生在小學階段，其運算概念的發展就不完全。例如 Brown & Burton（1978）發現學生在做直式減法時，常以大數來減小數。Benander 和 Clement（1985）則認為在除法上常犯次序的錯誤（5÷3＝3 / 5）、負數乘以負數等於正數誤用於加減法運算上（－3－5＝8）、負數乘以負數等於負數、負號的分配錯誤，例：－（A＋B）＝－A＋B。國內劉天民（1993）研究發現學生常將乘方當作乘法（42 ＝8）、誤用運算符號（3＋4＝3×4＝12；6÷1/2＝6×1/2＝3）、－32_{與（－3）}2_混淆、帶分數化成假分數的錯誤（－2 3 2 ＝－ 3 4 ）、減法及除法具有交換律。而我們在初級中學的教學中也發現，學生常將符號運算的 b c a 和小學帶分數的 3 1 2 混淆。 Booth（1984）就指出學生在做分數運算時，常分子與分母各自獨立運算（1/5＋2/5＝

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3/10），而除法法則的適用法則，學生就常認為非得是大數除以小數。

小學生對於等號的認知也和國中全然不同，Kieran (1989 )就指出，小學生的等號是imply 的亦即是數學符號的



，例如3+4



7，7 是 3 加 4 的結果(



causes a result) 但國中的等號有等價的意思，亦即是數學符號的



。如此推論當學生作符號運算 (x+2)+( x+1)，到最後是 2x+3，大部份的學生認為這是未結束的，急著將最後的 x 以一熟悉的數字代入運算。

二、代數運算的錯誤類型

多項式四則運算乃是代數運算的基礎，對於未來知識的學習，影響甚遠.，郭汾派（1991）認為使用文字符號是國中生從算術到代數的一個重要橋樑，更是數學抽象化與形式化的重要步驟，而學生主要的錯誤是：係數文字分別處理、單項式才是答案、不同類項擺在一起（2a ＋ 5b ＝ 7ab ）、不會使用括號（ 5 乘以（ e ＋ 2 ）＝ 5e ＋ 2）。Matz（1982）則認為學生喜歡使用不恰當的外推法。例如：（A＋B）2_＝A2_＋B2_， 1/a ＋ 1/b＝1/（a+b）；sin（α＋β）＝sinα＋sinβ 等等。張素鎔（1987）指出，學生認為答案通常是“數”，如果不是，最好也是單項式。

三、文字題或圖形題所造成的錯誤類型

在文字題上，受到題目的複雜度、未知數的多寡、符號及式子組合的影響，較容易產生錯誤概念，大部份的學生從左到右去逐字翻譯題意，設定未知數，Kieran (1989)稱為這是表面結構(surface structure)的句型錯誤(syntactic error)，最典型的例子就是6s=p 的教授學生數問題(Clement, 1982)。Schoenfeld（1985）認為學生過於依賴句中的關鍵字，而未能真正瞭解題目上的語意，McLoughlin（1998）則認為學生缺乏基本的語文技巧，而被抽象的文字所阻礙。Mayer（1987）指出，學生在問題轉譯時容易產生語言知識的錯誤，問題整合上常有基模知識的不足，而解題計劃及監控方面缺乏策略知識，在解題執行上程序知識使用不當。國內張景媛（1994）研究發現國中生在語言知識上的錯誤有：較長的題目立即放棄思考、關鍵字不瞭解；在基模知識上的錯誤是：憑直覺或關鍵字做反應、使用習慣的基模；在策略知識上的錯誤為：未能瞭解已知和未知條件的關係、所有的條件全部使用；在程序性知識上的錯誤是：移項與代入公式時的錯誤。在圖形題上，屠耀華（1991）認為國中生已具備初步的讀圖及作圖能力，但因國中偏向抽象符號化的處理方式，因此對於兩者的概念較不能聯結。Mayer 發現學生對於圖形與代數之間的轉換，會將一些圖形上先入觀念參雜其中而導致錯誤產生，並且有見不到就是沒有的錯誤觀念。（林清山譯，R. E. Mayer 著，1992）

四、錯誤原因的研究

Von Glasersfeld（1987）指出，由於學生的舊經驗、生活背景、學習環境彼此都不同，及接觸的領域與層面也各有差異，對於教師所傳遞的訊息，學生會進行組織、轉換，錯誤概念因此而生。Sutton ＆ West（1982），Head（1986）等人認為錯誤概念來自多方面：與生俱來、日常生活、隱喻而來、類比產生、正式或非正式教學、字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識、同儕文化的影響（例如：同學常以技巧的解題方式來學習，常導致一

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之半解）。呂溪木(1983)則認為是來自於學生對老師機械式教學的一知半解，而 Brown 與VanLehn（1980）提出「修補理論」，當學生解題遭遇到僵局時，會進而尋求其他的法則來解決困難。Mercer（1993）以為是來自記憶、語言、行為模式、推理與動機交互影響的結果。Hinsley, Hayes & Simon(1977) 指出學生形成代數錯誤觀念的原因是使用不當的基模及類比、做錯誤的估計，Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson & Peled（1989）則認為是學生將舊經驗過度類化，或忽略其應用時所限制的條件所致， Lesh（1985）則表示學生對問題結構的表徵錯誤多於計算錯誤，其記憶及語言接受表達能力的不足乃是造成內在表徵困難之所在。

參、研究方法

一、研究對象

先選取高雄市北區某一國中、中區某二國中、南區某一國中，每所國中抽取二個常態編班的班級，共262 名國二生作為研究樣本。

二、研究工具

（一）「多項式四則運算錯誤類型之調查問卷」本研究乃以探討迷思概念、錯誤類型為主要取向，首先編製壹份「多項式四則運算錯誤類型之調查問卷」其項目題庫來自：（1）數學課本及教師手冊（2）聯（段）考試題（3）研究群的教學經驗及學者專家的建議（4）在職專班數學教學碩士班學員教師的意見（5）中英文文獻資料。（二）「多項式四則運算之施測試卷」 1、預測試卷的編製與篩選：透過數學教師的問卷調查及 MINITAB 的統計分析，刪改試題而成預測試卷。預測得難度是18.75﹪～100﹪，鑑別度為 0﹪～ 87.5﹪，庫李信度為 0.95。 2、施測試卷的編製：刪改預測試卷中部分的題目，使得難度在 31.25﹪～ 87.5﹪之間，鑑別度在 25﹪～ 87.5﹪之間。（三）非結構性的面談計畫利用面談來瞭解學生的思考歷程及錯誤概念產生的原因，事先針對學生錯誤的地方，設計引導式的問句，來探究學生當時解題的想法及策略，輔以類似題來觀察並驗證之，全程先錄音再譯成文字稿。根據研究目的及需要，選取面談對象，每一種題型中，若錯誤人數27 人以下（大約樣本空間的一成），則抽取 1 位同學接受面談，若 27～ 54 人，則抽取 2 位同學，依此類推。

三、研究步驟

（一）資料蒐集階段：8 月開始相關文獻的蒐集工作，諸如：論文、期刊、聯考試卷，另外也積極分析數學教材與教師手冊上的內容，透過學者、教師的經驗分享，得知學生在學習多項式四則運算時易犯的錯誤概念及類型。

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（二）編製工具階段：「多項式四則運算錯誤類型之調查問卷」，於2001 年 9 月底編製完成，交由國中數學教師填答，共發出 65 份，收回 58 份，10 月中旬進行問卷統計分析，並初步編製「多項式四則運算之預測試卷」。（三）試題預試及修訂階段：12 月初透過高市某一國中 A 班 30 名學生，以團測方式進行預試，為時50 分鐘。（四）樣本選取階段：12 月中旬進行樣本選取及預試結果分析。（五）正式施測階段：2001 年 1 月正式施測，於 2 月底完成。（六）非結構性面談階段：2 月底統計分析學生錯誤的類型及解題過程，選取代表性的學生於5 月初開始實施面談。四、資料處理與統計

（一）老師問卷調查的部份：利用MINITAB 的 One-way Anova 逐題分析。（二）學生預測的部份：計算難度、鑑別度及信度，並刪改題目，以合乎標準。（三）正式施測的部份：統整、分析學生的錯誤類型，計算犯錯率及空白率。（四）非結構性面談的部份：將錄音內容轉譯成文字稿，並與紙筆測驗對照分析。

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分析的方法則採用質性研究法的分析歸納(analytic induction)法，進行的程序是 1.從資料中，發展某個特定事實或現象的概略定義和解釋。 2.將這些初步發展的定義和解釋導引至下一個資料。 3.在資料中如遇到不適合 2 的定義和解釋的情形，即刻修訂原先之結論。 4.主動尋找可能不適合已形成之定義和解釋的新事證。 5.找尋特別和其他大多數資料反面的事例(negative cases)，並分析探尋每個反例的意義，反覆定義現象和形成解釋，直到建立一個普遍的關係。 ( 引自黃瑞琴，1994, p. 176) 資料分析的有效性以研究團隊，對事件的一致看法來要求，除非研究團隊都能同意，否則將取消原推論分析。研究的團隊將由三位具有數學教育碩士且具有三年以上數學教學經驗的教師擔任。

肆、結果與討論

一、錯誤情形之分析

研究發現學生在錯誤率上，分別為圖形題〉文字題〉多項式計算題〉單項式計算題，而空白佔有率以文字題最高，單項式計算題最低，尤其在除法逆運算上的認知最難。而同類型的文字題與計算題，在錯誤率上相差不多，但在空白率上文字題卻高出很多，顯然學生的語言轉譯及基模知識較為不足。犯錯比率 ﹪ 80_〜90 4-16-2 70〜80 3-8 4-16-1 60〜70 2-3 4-12 4-6 50〜60 1-12-4 1-9 3-7。4-3 4-5,14 40〜50 1-10 4-4,11 4-8,9,10 4-15-1,2 30〜40 1-11-1 1-4,8 1-11-3 1-12-1 2-1 3-6。4-1 4-2 4-13 20_〜30 1-12-3 3-3,5 1-5,6,7 1-11-2 1-12-2 2-2,4 3-1,2 3-4 4-7 10〜20 1-1 1-2,3 1-11-4 空白佔有率﹪ 10〜20 20〜30 30〜40 40〜50 50〜60 60〜70 70〜80 80〜90

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【表4－1】學生錯誤情形分布表由表4－1 知犯錯率最高者為 4－16－2（第 4 大題中第 16 小題的第 2 題，不規則圖形的周長），佔80.15﹪，空白率 45.42﹪也是次高，主要原因是學生對於''不規則圖形''的周長定義不熟，加上條件認知不足及策略運用不當、計算錯誤所致。空白率最高者為4-6（英文字母代表多項式並解聯立方程式）佔 46.95﹪，因為舊經驗告訴學生必須有數字，而非全為文字，導致學生無法聯結，認知不足。空白佔有率最高者為4－7 （多項式乘法逆運算的文字題），有88.73﹪（其犯錯率為 27.1﹪），因全為未定數讓學生不知如何計算以確定答案。而在文字與圖形題中，犯錯率與空白佔有率都普遍偏高，顯然學生慣於純粹的計算而在圖形文字題上，增添許多未知的不確定性與複雜性，學生較難理解。

二、錯誤類型及原因之探討（參照附錄

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學生常犯的錯誤類型大致分為認知與計算兩大類，重點分析如下：（一）單項式計算方面 1.將未知數與數字視為不同的物件，獨自分別處理，例如︰2X2_－X2_{＝2。也常忽} 略未知數的運算，例如︰9X2 _{÷ 6X＝3X}2_{/2。而不了解指數律，直接做不當的類} 推，例如︰－5X2_＋X2_＝－5X4_。 T：如何計算 3 1 X2_{÷6X？妳的答案是 X}3_/18。 S： 3 1 X2_乘以 6 1 X。 T：只把 6 顛倒，X 不用顛倒嗎？ S：對呀！ T：若將 6X 加上括號變成（6X），妳的答案是多少？ S：X/18。分析︰學生係慣將未知數與數字獨自分別處理，而忽略課文中，將除以6X 與除以（6X）視為相同之規定，易視為除以 6 再乘以 X。 2.誤用符號法則。 T：如何計算－5X2_＋X2_{？妳的答案是}_{4 X}2_。 S：－5＋1 啊。 T：－5＋1 怎麼會得到 4 X2_呢？ S：－5＋1 變成 5－1。分析︰一昧地背誦符號法則，卻不知其意義及使用方法，稍感基模知識不足。 3.不懂平方的意義。 T：如何計算（3X）2_{？妳的答案是}_9X。 S：3 乘以 3 啊，3 的平方是 9，X 沒有平方，也沒有檢查。

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T：（3X）2_{代表什麼要連乘兩次？} S：3。分析︰認為一個2 次方，只能平方係數或文字，不知道括號及平方的涵義。 4.在係數計算上仍延續著「整數與分數四則運算」的錯誤，常見大數除以小數、被除數與除數倒置、乘算成加、除法算成乘或減的情形。 5.受到舊經驗的影響，使用習慣的基模知識，而產生錯誤性的類推，將加減的運算方式類推到乘除上，例如：16X÷2 X＝（16÷2）X＝8 X。（二）直式或分離係數法計算方面 1.由於程序知識的不足，而造成長除法與乘法的運算過程混淆，在乘法運算上使用上式減下式，在除法運算上使用上式加下式，並且常誤用符號法則。 2X－5 2X－5 × －3X－1 ×－3X－1 －2X＋5 －2X＋5 －6X2_{＋15X －6X}2_－15X －6X2_－17X_＋_{5 －6X}2_－17X_＋₅ T：如何計算（X2_{－6X＋8）÷（－X＋2）？妳的答案是－X+8 餘－8。} S：這樣除啊！ T：在計算過程中，－8X 怎麼來的？ S：－6X 加－2X。 T：為何用加呢？ S：算太快了，通常乘的時候用加的，所以在除的時候也用加的。（三）多項式計算方面 1.受到舊經驗的影響，做過度的類推，若兩式相除（不一定能整除）則以分式來表示並加以約分。 T：如何計算（X2_{＋3X）÷X？妳的答案是 3X}2_。 S：把“＋”看成 “×”，所以

x

2



3

_{＝X×3 X＝3 X}2 T：假若題目沒有看錯的話，妳怎麼算呢？ S：

x

2



3

_{＝X＋3 X＝4X。} 分析：學生的策略是運用分式來做除法運算，缺乏長除法的概念，也缺乏等量公理的概念，認為一個X 對消一個 X，因而產生策略與基模上的錯誤。 2.習慣將各項係數約分化簡且領導係數維持正數。例如：（9X2_{－21X－18）÷（3X＋2）×（X－3）＝？}

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錯誤1：表成分式的形式，並將同次項的係數約分，得 3X2_+3X+3。錯誤2：不了解多項式的定義，而產生分離係數與次項無法聯結，得 3X 或 3X2_。錯誤3：將式子化簡後再計算或計算完再化簡，得 1 或 X2_－6X+9。 T：為什麼你的答案是 X2_{－6X＋9？為什麼最後要除以 3？} S：個人習慣，提出公因數。 T：X2_{－6X＋9 與 3X}2_{－18X＋27 答案一樣嗎？} S：一樣。分析：對於多項式、因式分解與解方程式的認知混淆，慣以提出公因式，或約分來處理，並覺得其結果應當相同。錯誤4：以為乘法較好算，故先乘後除，以簡單又習慣的方式來解決問題而忽略四則運算法則，得3。（四）多項式文字題方面對於文字題，所牽涉的層面就較為廣泛，與舊經驗多少皆有聯結，有時在問題轉譯、整合上的認知不盡相同，而在解題計劃、監控與執行上也各有差異。

例題：一多項式與

2X

2

_{－11X＋9 的和為 12X}

2

_{＋X－3，求此多項式？}

錯誤1：缺乏策略知識，認為“和”就將所有的多項式相加，得 14X2_－10X+6。錯誤2：程序知識的不足造成移項對象顛倒，得－10X2_－12X+12。錯誤3：文字題移項時，常忽略括號，導致變號不完全，得 10X2_－10X+6。分析： 1.對等量公理或移項法則的認知不足而造成移項對象顛倒及移項變號上的錯誤。 2.將括號視為無意義的符號，有無括號並無影響，所以隨意增減括號、忽略括號（尤其文字題）且不懂分配律。 3.相關的條件認知不足，著重於關鍵字或直覺做反映，有感基模知識的不足，而在解題計畫上也較欠缺策略的運用。另外，在移項方面，有過度化的情形。 T：A 為多項式，－2X2_{＋X＋3 減去 A 的差為 6X}2_{＋X－3，求多項式 A？如何} 計算？ S：把－2X2_{＋X＋3 移項過去，原本是“差”，所以要變成“和”。所以就變成} 6X2_{＋X－3 加－2X}2_＋X＋3。分析：學生對於位值並不在意，不知條件彼此之間的關係，只是一味地使用移項法則，而不會處理位值方面的問題，常產生程序上的錯誤。再者，學生對於定義或公式的認知不足，而常發生固著或混淆的現象 T：一多項式除以－8X＋5 得商式為 X＋1，餘式為－2X＋3，求多項式？如何計算？ S：多項式÷（－8X＋5）＝X＋1－2X＋3，X＋1－2X＋3＝－X＋4，所以多項式＝（－8X＋5）×（－X＋4）＝8X2_－37X+20

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T：為什麼 X＋1 與－2X＋3 要放在一起呢？ S：因為 X＋1 為商式，－2X＋3 為餘式，將 X＋1 與－2X＋3 先加起來，計算比較方便，再把－8X＋5 移過來用乘的。分析：學生常將除法原理被除式＝除式×商＋餘式或被除式÷除式＝商…餘式誤以為被除式÷除式＝商＋餘式，認知上的偏差，而導致執行結果的錯誤。（五）多項式圖形題方面學生對於圖形題首先面對的是轉譯上的問題，不像文字題有詳盡的述說，所有的條件與關係就隱藏於圖形之間，所以必須具備更多的能力（觀察、空間等能力）才能將問題轉譯內化為自己所知曉的意思，由於圖形的直覺映像，常會影響解讀的結果，所以經常遺漏連接性的符號〝＋〞，而面積是將所有邊長相乘，周長是將有給數據的邊長相加，實為基模知識的大錯誤，明顯為公式固著或條件的認知不足。對於不規則形則採分割、填補、或平移的策略，但卻造成邊長的計算錯誤或遺漏。

T：長分為 X 及 2，寬為 3 的長方形，求面積，如何計算？妳的答案是 6X。

S：2X 乘以 3 啊！

T：那妳為什麼會寫成 2X 乘以 3 呢？

S：因為 2 和 X 在一起，所以自然地把它看成 2X。

伍、結論與建議

一、錯誤情形方面：以圖形題最易產生錯誤，而文字題的空白佔有率最高，對於

除法逆運算的認知最難。

二、錯誤類型方面：常犯定義認知、類推、括號、移項等方面的錯誤。在係數計算

上仍延續著「整數與分數四則運算」的錯誤，盲目使用符號法則，且常將係

數約分而領導係數化為正數。文字題則常出現語言、基模、策略、程序的錯誤，

並有公式固著與混淆的情形，在計算上難以分辨多項式、因式分解與解方程

式，係數與文字採分開獨立處理，並隨意增減括號、忽略括號（尤其文字

題）及分配律，對於移項對象顛倒及移項變號錯誤或過度化的情形屢見不

鮮。另外，不懂指數律，不會平方，分離係數法的係數與次項不會聯結，而

受到舊經驗的影響，常有多項式除法以分式表示、大數除以小數、答案必為

數字等結果產生。圖形題方面則忽略部分線段及線段合併時忘了寫加號，並

認為面積就是所有邊長的乘積。

三、錯誤原因方面：問題結構的表徵錯誤、定義公式等基模知識的認知不足及舊

經驗的不當類推，是本研究三大錯誤原因。而語言轉譯、基模、策略、程序知

識的缺乏與圖形的直覺映像，更憑添文字題與圖形題在轉換成代數表徵時

的錯誤。

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六、建議

布魯納的學習發展三階段：action--iconic-- symbolic 與皮亞傑的認知發展四階段：感覺動作期--前運思期--具體運思期--形式運思期，都認為應先有具體的、可操作的、圖形的實物認知，才再發展出形式上、符號上的高階概念，國二生在「整數與分數的四則運算」及「式子的運算」上，尚存著認知上的錯誤概念之際，若只是經由定義公式的講解灌輸，則學生易做機械式的學習，而產生不當的類推與聯結，心理上則降低學習意願及影響學習態度，本研究發現圖形題的犯錯率最高，實與學習認知理論相悖，如何進行教材的編改與教學方法的多元設計，以利多項式的學習與發展，實為當務之急。國中數學教材以面積拼圖的方式來建構多項式四則運算，概念清晰自然，對於分離係數法的學習，成效益彰，若每位同學都能確實操作，則可漸漸內化成正確的文字符號運算，可惜靜態的操作物，讓學生缺乏嘗試的動機與探索的樂趣，而不連續的視覺過程，讓學生缺乏深層的認知跟推廣。在這教改及科技整合的同時，若能融入資訊軟體（例如：G.S.P），藉由自我操作（動態）圖像，透過視覺化的連續過程，兼採多元性、形成性的動態評量，將問題延伸融入熟悉而有意義的生活情境中，方能達成有意義的多項式教學。

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(13)

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【附錄

4－1】學生錯誤類型統計表

一、單項式的四則運算

（1）－5X2_＋X2_{＝ˍˍ ANS：－4X}2 評量目的：瞭解學生對於單項式加法運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 4X2 ₁₀ _3.816793893 2 －5X4 ₄ _1.526717557 （2）2X2_－X2_{＝ˍˍ ANS：X}2 評量目的：瞭解學生對於單項式減法運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 2 10 3.816793893 （3）（3X）2_{＝ˍˍ ANS：9X}2 評量目的：瞭解學生對於單項式乘法運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 9X 14 5.34351145 2 6X2 ₅ _1.908396947 3 3X2 ₄ _1.526717557 （4）9X2 _{÷ 6X＝ˍˍ ANS：3X/2} 評量目的：瞭解學生對於係數為整數的單項式，其除法運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 2X/3 12 4.580152672 2 3X2_/2 ₆ _2.290076336 3 3X 5 1.908396947 （5）6X‧ˍˍ＝8 X2 _ANS：4X/3

(14)

評量目的：瞭解學生對於係數為整數的單項式，其乘法逆運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 2X 8 3.053435115 2 3X/4 7 2.671755725 （6） 4 3 X‧ˍˍ＝6 X2 _ANS：8X 評量目的：瞭解學生對於係數為分數的單項式，其乘法逆運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 8 8 3.053435115 （7）3X‧ˍˍ＝ 3 2 X2 _ANS：2X/9 評量目的：瞭解學生對於係數為分數的單項式，其乘法逆運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 2X/6 12 4.580152672 2 2/9 7 2.671755725 （8） 3 1 X2_{÷6X＝ˍˍ ANS：X/18} 評量目的：瞭解學生對於係數為分數的單項式，其除法運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 X3_/18 ₂₃ _8.778625954 2 X2_/18 ₉ _3.435114504 3 2X 6 2.290076336 （9）2 X2_{÷ˍˍ＝－8 X ANS：－X/4} 評量目的：瞭解學生對於單項式除法逆運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －4X 27 10.30534351 2 X/4 17 6.488549618 3 －16X 13 4.961832061 （10）ˍˍ÷2 X＝8 X ANS：16X2 評量目的：瞭解學生對於單項式除法逆運算所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 16X 44 16.79389313 2 16 18 6.870229008 （11）A 為 X 的二次多項式， B 為 X 的一次多項式

(15)

評量目的：非齊次多項式減法運算的次數概念題型錯誤類型錯誤人數錯誤比率 A－B 為 X 的幾次式？一次 58 22.13740458 A＋B 為 X 的幾次式？三次 26 9.923664122 A×B 為 X 的幾次式？二次 53 20.22900763 A÷B 的商式為 X 的幾次式？二次 18 6.870229008 （12）A 為 X 的一次多項式，B 為 X 的一次多項式評量目的：齊次多項式除法運算的次數概念題型錯誤類型錯誤人數錯誤比率 A－B 最高為 X 的幾次式？零次 40 15.26717557 A＋B 最高為 X 的幾次式？二次 38 14.50381679 A×B 最高為 X 的幾次式？一次 39 14.88549618 A÷B 的商式為 X 的幾次式？一次 82 31.29770992

二、直式或分離係數法的四則運算

（1）（2X－5）（－3X－1） ANS：－6X2_+13X+5 評量目的：以直式或分離係數法做多項式乘法運算時的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －6X2_－17X+5 ₉ _3.435114504 2 6X2_－13X－5 ₇ _2.671755725 （2）（X2_{－6X＋8）÷（－X＋2） ANS：－X+4} 評量目的：瞭解學生對於除式的領導係數是負數的除法運算，所產生錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －X+8 餘－8 5 1.908396947 （3）（2X2_{＋3X＋1）÷（3X－2） ANS：2X/3 + 13/9 餘 35/9} 評量目的：瞭解學生對於除式的領導係數不是1 的除法運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 2X/3 + 13/3 餘 29/3 5 1.908396947 （4）（4X2_{－1）÷（2X＋1） ANS：2X－1} 評量目的：瞭解學生對於有缺項的除法運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 2X+1 餘－2 4 1.526717557

三、多項式的四則運算（計算題）

（1）（5X－3X2）＋（3－2 X2＋X） ANS：－5X2＋6X＋3

(16)

評量目的：瞭解學生對於多項式加法運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －5X2_+X+8 ₃ _1.145038168 （2）（－19 X2_{＋X）－（－2X＋11X}2_{－7） ANS：－30X}2_＋3X＋7 評量目的：瞭解學生對於多項式減法運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －8X2_－X－7 ₅ _1.908396947 （3）（2X－3）2 _{ANS： 4X}2_－12X＋9 評量目的：瞭解學生對於多項式乘法運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 4X2_+12X+9 ₆ _2.290076336 2 4X－9 5 1.908396947 （4）（X2_{＋3X）÷X ANS：X＋3} 評量目的：瞭解學生對於多項式除以單項式，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 4X 3 1.145038168 2 X2₊₃ ₂ _0.763358779 （5）（－2X－1）（－2X＋1） ANS：4X2_－1 評量目的：瞭解學生對於多項式乘法運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 4X－1 6 2.290076336 2 4X2_+4X+1 ₅ _1.908396947 （6）（X＋1）（X＋2）（X－5） ANS： X3_－2X2_－13X－10 評量目的：瞭解學生對於多項式連乘積，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 X3_－2X2_－12X－15 ₄ _1.526717557 （7）7 X2_{＋X－（7X－6）（－X－3） ANS：14X}2_＋16X－18 評量目的：瞭解學生對於分配律及去括號，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 7X2_+8X－9 ₁₀ _3.816793893 2 16X－18 10 3.816793893 3 14X2_－14X+18 ₇ _2.671755725 （8）（9X2_{－21X－18）÷（3X＋2）×（X－3） ANS：3X}2_－18X＋27

(17)

評量目的：瞭解學生對於乘除混合運算及運算法則，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 3 70 26.71755725

四、多項式的四則運算（文字與圖形題）

（1）一多項式與 2X2_{－11X＋9 的和為 12X}2_{＋X－3，求此多項式？} ANS：10X2_＋12X－12 評量目的：瞭解學生對於加法逆運算的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 5X2_＋6X－6 ₁₃ _4.961832061 2 14X2_－10X+6 ₇ _2.671755725 3 10X2_－10X+6 ₆ _2.290076336

（2）A 為多項式，A－（X2_{－2X＋6）＝－9X}2_{＋5X－1，求多項式 A？}

ANS：－8X2_＋3X＋5 評量目的：瞭解學生對於多項式減法逆運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －10X2_+7X－7 ₇ _2.671755725 2 －8X2_+7X－7 ₄ _1.526717557 （3）A 為多項式，－2X2_{＋X＋3 減去 A 的差為 6X}2_{＋X－3，求多項式 A？} ANS：－8X2_＋6 評量目的：瞭解學生對於多項式減法逆運算的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 4X2_+2X ₂₄ _9.160305344 2 8X2_－6 ₁₅ _5.72519084

（4）A 為多項式，（－3X2_{＋X＋7）－A＝2X}2_{＋5X－8，求多項式 A？}

ANS：－5X2_－4X＋15 評量目的：瞭解學生對於多項式減法逆運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －X2_+6X－1 ₁₅ _5.72519084 2 5X2_+4X－15 ₇ _2.671755725 3 －5X2_+6X－1 ₅ _1.908396947 （5）數學題「兩多項式 A、B，B 為－X2_{＋9X－7 試求 A－B？」，某生因誤將「A－B」看} 成「A＋B」，結果求出答案是「2X2_{＋8X－1」，求 A－B 正確答案？} ANS：－4X2_－10X＋13

(18)

評量目的：瞭解學生對於加減混合運算的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率

1 未完成 A=3X2_－X+6 ₇ _2.671755725

（6）A、B 為兩個多項式，A＋B＝2X2_{－3X＋1，A－B＝－2X}2_{－X＋5 求 A、 B？}

ANS：A＝－2X+3 B＝2X2_－X－2 評量目的：瞭解學生對於未知數A、B 代表多項式的看法及聯立方程式的解法序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 A＝－4X+6 B＝2X2_+X－5 ₅ _1.908396947 （7）長方形的面積為 X2_{＋3X＋2，其長為 X＋1，則其寬？ ANS：X＋2} 評量目的：瞭解學生對於多項式乘法逆運算的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 X3_+3X2_+2X ₁ _0.381679389 （8）一多項式除以－8X＋5 得商式為 X＋1，餘式為－2X＋3，求多項式？ ANS：－8X2_－5X＋8 評量目的：瞭解學生對於多項式除法逆運算的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 8X2_－37X+20 ₅ _1.908396947 2 －8X2_－3X+5 ₄ _1.526717557

（9）A 為多項式，（5X2_{－X－6）÷A＝－X－1，求多項式 A？ ANS：－5X+6}

評量目的：瞭解學生對於多項式除法逆運算，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －5X3_－4X2_+7X+6 ₁₂ _4.580152672 （10）X＋1 能整除 X2_{－7X＋K，求 K 之值？ ANS：K＝－8} 評量目的：瞭解學生對於多項式除法運算的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 K＝8 17 6.488549618 （11）A＝3X＋5，B＝3X2_{＋X＋2，求 3A－2B＝？ ANS：－6X}2_＋7X＋11

評量目的：瞭解學生對於未知數A、B 代表多項式的看法及四則運算的解法序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 －6X2_+11X+19 ₁₁ _4.198473282 （12）邊長為 X－1 的正方體，其體積？ ANS：X3_－3X2_＋3X－1 評量目的：瞭解學生對於多項式連乘積的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率

(19)

1 X2_－2X+1 ₂₄ _9.160305344 2 X3_－1 ₄ _1.526717557 3 6（X－1）2_＝6X2_－12X+6 ₄ _1.526717557 （13）鋼筆每枝 3X2_{＋2 元，鉛筆每枝 X}2_{＋5 元，買 5 枝鋼筆 7 枝鉛筆共需幾元？} ANS：22X2

_＋45

評量目的：瞭解學生對於代數式的文字題，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 答案是數字 4 1.526717557 2 26X2₊₃₉ ₂ 0.763358779 （14）求斜線面積＝？ ANS：15X2_－9X

2X+1

6X

評量目的：瞭解學生對於邊長為多項式的圖形面積，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 15X－9 7 2.671755725 （15）長方形，求斜線的面積＝？周長＝？面積方面： ANS：3X+6 評量目的：瞭解學生對於邊長為多項式的圖形面積，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 6X 11 4.198473282

3 X

2 3X－4

(20)

周長方面： ANS：2X+10 評量目的：瞭解學生對於邊長為多項式的圖形周長，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 X+5 9 3.435114504 2 4X+6 6 2.290076336 （16）求圖形面積＝？周長＝？面積方面： ANS：61X－18 評量目的：瞭解學生對於邊長為多項式的圖形面積，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 26X+3 6 2.290076336 2 72X－12 6 2.290076336 周長方面： ANS：12X+22 評量目的：瞭解學生對於邊長為多項式的圖形周長，所產生的錯誤類型序號錯誤類型錯誤人數錯誤比率 1 12X+20 27 10.30534351 2 14X+16 5 1.908396947

A Study of Error Patterns in Polynomials

Operation by Eighth Graders

in Kaohsiung City

Cheng-Jen Kuo

1

_{Che-Jen Hsieh}

2

1

_{Kaohsiung Municipal Hsaio-Kang School}

5X－3

3 X＋2

9 2X－1

(21)

2