微銑刀架設長度對刀具靜剛性及自然振動頻率影響之有限元素分析

(1)

Journal of Engineering Technology and Education, ISSN 1813-3851

微銑刀架設長度對刀具靜剛性及自然振動頻率影響之有限元素分析

康耀鴻1 *、許富銓2、黃嘉修3 1_{國立高雄應用科技大學機械與精密工程研究所} 2_{金屬工業研究發展中心精微成形研發處模具與精微加工組} *E-mail: [email protected]

摘要

本文應用有限元素分析軟體 ANSYS 分析並探討微銑削加工時之微銑刀架設長度對其刀具靜剛性及自然振動頻率的影響。首先利用3D 工程繪圖軟體 Pro/E 繪製各種微銑刀之三維實體模型，再針對不同刀具錐度、螺旋角、刀具伸出套筒長度與刀柄半徑之比，以有限元素分析軟體ANSYS 分析各種微銑刀之靜剛性及自然振動模態與頻率，可做為微刀具安置及建立微銑削切削穩定圖之參考。關鍵詞：微銑削、刀具伸出量、靜剛性、自然頻率

1. 前言

隨著微小化的時代潮流，微細加工在微零組件的製造加工上變得越來越重要，受到先進工業國家廣泛重視，並投入大量的研究。微細加工大量應用於生物醫療、運輸通訊、國防科技、汽車工業、精密機械等領域，如微小機器人零件、微小馬達、微感測器、微模具、微流道、微結構等微型零組件之製造。而微銑削加工是一種具有高加工效率、高材料選擇性、優良的加工精度與加工品質，以及低製造成本的微機械加工製造技術，已在微細製造領域中扮演一重要角色。銑削加工中發生的顫振（Chatter）現象，一直是影響生產力的一項重要因素，其生成主因為加工時刀具與工件接觸時所產生的動態作用力相互影響所致。顫振深受主軸轉速、切削深度及工具機系統動態剛性影響，而工具機系統動態剛性則受到刀具伸出（主軸套筒）長度（Tool overhang length）及刀具有效直徑影響。顫振會增大加工件表面粗糙度、降低加工精度、造成機件損壞或減損刀具壽命。往常慣以犧牲銑削的材料移除率及降低刀具進給量來避免發生顫振現象，但此將導致生產率的降低。如能建立銑削穩定圖並據以給定最適宜加工條件，則可在不犧牲生產率情況下避免顫振的發生，而銑削穩定圖的建立則與加工系統的結構靜態及動態特性有關。穩定耳垂圖（Stability lobe）或稱為穩定極限圖，可用來預測銑削加工系統的穩定性。1995 年 Altintas 等人[1]提出由時域與數值法導出預測銑削加工穩定性的公式，利用其銑削穩定模組，可解析預測銑削加工過程的穩定性。若穩定圖預測正確，於某特定主軸轉速下，能大幅的增加材料的移除率。但由於刀具型式、刀刃數量、週期性切削負荷、切屑負荷方向、多自由度的結構力學等眾多因素的關係，使得銑削加工的穩定分析變得非常複雜。相對於此種模式，1996 年 Shirase 等人[2]利用動力切削裡的擾亂再生機制（Disturbing the regeneration mechanism），提出變化刀具之刃與刃的間隙並將等節距與變節距（Variable pitch）端銑刀之曲面公式化，因為每刃間的節距變化導致每刃週期產生不同的切削力，切削厚度不斷新生，致使每個刀刃週期有多樣變化的表面誤差印跡，藉此降低表面形廓尺寸誤差（Form error）及抑制顫振的生成。同年Tlusty 等人[3]在主軸最大轉速與動力下，藉由調節刀具伸出（主軸套筒）長度（ool overhang length）以改變刀具自然頻率並調整系統動態特性，並利用穩定圖影響使得主軸最適轉速即為最大轉速，有時增加刀具伸出主軸套筒長度（即刀具架設長度）能改善材料移除率。事實上，改變刀具伸出主

(2)

軸套筒長度對於切削動態特性能有著重大影響，若產生顫振現象，將導致工件的表面粗糙度過大。此外，若發生過大的刀具撓度，將會影響加工精度。1998 年 Smith 等人[4]經由有限元素分析與實驗驗證，證實刀具伸出主軸套筒長度強烈影響刀具最撓性模態之自然頻率。當選擇刀具長度使得穩態區與主軸最高轉速吻合，可得到最高的材料移除率。1998 年 Budak 等人[5, 6]將刀具與工件設定為多自由度之結構並考慮軸向之變動力，建立刀具與工件間動力相互影響之模型，利用周期性微分方程系統產生的動態銑削力，經過分析得到銑削加工穩定極限，以此模組求得徑向切削厚度與銑削穩定性之間的關係。並將此應用在一般常見的傳統銑削加工系統，結果顯示其所提出的方法較數值法省去許多時間，並可精準的預測銑削的穩定極限。 2003 年 Budak[7, 8]提出變節距端銑刀之解析穩定性模型和設計方法，求得最佳刀刃節距之一次方程式與穩定邊界之間的關係，證明可以將顫振頻率範圍增大許多，進而改善銑削加工之穩定邊界。頻率一但改變，相當於改變整個穩定圖的穩定極限內容。當所選擇的刀具長度恰與穩定圖中的最高主軸轉速相契合，即可達到最大切削移除率的目標。對於高速加工來說，可以有效增加材料的移除率，提昇生產效率。如欲以實際實驗量測得刀具的靜剛性及頻率響應函數等靜態及動態特性，將較為耗時與費力。為了有效預測銑削加工製程中刀具的變形與振動情形，刀具結構的建模為其重要的關鍵，2004 年 Kivanc 與 Budak[9]提出分析銑削刀具特性之結構建模方法，利用有限元素分析來完成不同幾何形狀和材料之刀具靜態以及動態分析，並導出可用來分析刀具靜態及動態特性之解析方程式。利用 RC（Receptance coupling）法與結構分析來結合個體機件間的動力特性。最後由個別的機件所分析、實驗或解析頻率響應函數，來預測機件組裝起來的動態響應，並於2006 年提出能提昇銑削性能之解析模式[10-11]。以上文獻研究之對象均為傳統銑削加工，其理論模式是否亦適用於微銑削加工，仍待進一步證實。圖1 為微刀具架設於主軸套統/刀座（Collet/Toolholder）之示意圖。本文以有限元素分析軟體 ANSYS 分析在不同主軸轉速下，微刀具安置時其相對刀座伸出長度（Overhang）與刀柄直徑之比，對刀具結構之靜剛性、自然振動頻率及模態的影響，以提供使用者適當安置刀具伸出主軸套筒長度。圖1 刀具伸出刀座長度示意圖

2. 微銑削刀具靜態分析

2.1 微銑削刀具幾何建模 在進行微刀具受銑削力作用下之靜態撓度與刀具剛性等靜態分析時，吾人忽略主軸套筒及微銑削機台之微量彈性變形對刀具靜態撓度與剛性之影響，即假設兩者均為剛體。吾人根據現有商用微端銑刀之刀具幾何，利用3D 工程繪圖軟體 Pro/E 繪製出數款微端銑刀之實體模型，其螺旋截面的設計如圖 2 所示，微刀具之幾何如圖 3 所示。其中，D 為刀柄直徑、T 為刀具中段部分的錐度、d 為刀刃直徑、Lc 為刀刃長度、 Le 為有效刀刃長度、L 為刀具伸出主軸套筒長度。由於 200　 μm 之微銑刀為製作生醫微零件、微流道及微 Spindle Collet/Toolholde Tool overhang

(3)

模具之常用微銑刀，因此本文參考日本OSG 刀具公司型號 8519002 之 　200μm 螺旋角 30°碳化鎢微端銑刀，其刀具規格如表1 所示，其截面參數設定：R 為 80μm、a 為 20μm、刀刃深度(R/2)為 40μm，其掃描式電子顯微鏡（SEM）相片圖如 4 所示。利用 Pro/E 軟體建模之微刀具實體模型，如圖 5 所示。此外，吾人另參考國內外刀具廠商現有微銑刀使用之錐度，分別建立具有錐度8°、10°、12°、14°之微端銑刀實體模型。圖2 微銑刀之刀刃截面圖3 微銑刀負荷及邊界條件示意圖表1 直徑 200μm OSG 微端銑刀之規格表廠商 OSG 刀具型號 8519002 刀柄直徑(D) 3 mm 刀刃直徑(d) 0.2 mm 刀具全長(L) 40 mm 刀具有效刃長(Le) 0.57 mm 刀刃長度(Lc) 0.4 mm 刀具錐度(T) 14° 圖4 日本 OSG　200μm 螺旋角 30°微端銑刀之 SEM 圖（左：側視圖右：俯視圖）

(4)

圖5 螺旋角 30°直徑 200μm 之微端銑刀實體模型 2.2 微端銑削刀具之撓度有限元素分析 本研究藉由改變刀具幾何參數，如刀具伸出主軸套筒長度、螺旋角及刀身中段之錐度等，來進行不同微銑刀具之幾何建模，再以有限元素軟體ANSYS 對其進行靜態撓度及靜剛性分析。假設套筒夾持刀具處為一固定端，則可視微刀具為一彈性旋臂梁，設在刀刃末端施加1N 之集中力，如圖 3 所示。刀具材料為碳化鎢，其楊氏模數為 605GPa、浦松比為 0.3、密度為 12500Kg/ 3 m 。有限元素分析所採用的網格元素為 SOLID185，節點數為 8 點的線性 3D 網格元素，刀柄部分(左圖)及刀刃部分(右圖)之網格化結果如圖 6 所示。利用 ANSYS 求得刀具末端之最大撓度，放大如圖 7 所示。由於刀具的螺旋刀刃部分為一複雜螺旋曲面， Kops 等人[12]提出將傳統螺旋端銑刀之刀刃部分簡化為一等效圓柱直徑，其直徑為刀具直徑的 0.8 倍，以簡化刀具之建模、有限元素之網格化及撓度分析，此模式在傳統銑刀之撓度分析已被廣泛應用，但在微銑刀撓度分析中取等效圓柱直徑為刀具直徑0.8 倍為則未必精確，以下將亦採用等效圓柱簡化刀刃部分概念以與實際螺旋刀具進行靜撓度比較。圖6 網格化之微螺旋端銑刀的刀柄及錐度（左圖）及刀刃部分（右圖）

(5)

圖7 微螺旋端銑刀之 ANSYS 撓度分析本文中吾人分別建立具螺旋刀刃（螺旋角30°）以及具等效圓柱（此處取直徑為刀具直徑的 0.76 倍，非 Kops 等人建議的 0.8 倍）之微銑刀實體模型，設在刀具末端受到相同集中作用力（1N），以有限元素分析軟體ANSYS 分別分析具有不同幾何參數之刀具實體模型，求得其刀刃末端最大撓度，圖 7 為 ANSYS 分析微端銑刀之刀具末端之撓度結果，不同刀具幾何微端銑刀之 ANSYS 撓度分析結果如表 2 所示。其中 /L D 代 表刀具伸出主軸套筒長度與刀柄直徑之比值，T 表示刀具中段部分之錐度值，ΔS 表示刀刃末端受力後所產生的最大撓度，E 表示具等效圓柱刀刃模型之最大撓度值相較於實際螺旋刀刃之最大撓度值的誤差百分比，如表中所示最大撓度誤差百分比最大都在約3%以下。由表中可以看出，等效圓柱模式比實際螺旋微端銑刀的最大撓度值均來得小，即其靜剛性較大。刀具的最大撓度值與撓度變化量都隨著微銑刀伸出主軸套筒長度對刀柄直徑比值（L D ）之增加而有漸漸增大的趨勢。在相同/ L D 的情形之下，微刀具之錐度值越大，/ 在相同作用力下所造成的刀具撓度值就越低。在具有相同幾何之微銑刀中，會因不同的刀具伸出主軸套筒/刀柄直徑之比而有不同的靜剛性與自然振動頻率。銑刀剛性的大小對於銑削過程中的銑刀振動位移具有關鍵性的影響，此影響加工件之形廓誤差（Form error）。此外，若分析微刀具伸出主軸套筒長度對加工穩定性之影響，亦必需要先探討微刀具之靜剛性。表2 具不同幾何形狀微銑刀之最大撓度比較 / L D T (°) ΔS (螺旋) (μm), F=1N ΔS (等效圓柱)(μm), F=1N E(%) 4 8 10.350 10.388 0.4 5 8 10.483 10.588 1.0 6 8 10.887 10.907 0.2 7 8 11.491 11.351 1.2 8 8 12.181 11.933 2.0

(6)

/ L D T (°) ΔS (螺旋) (μm), F=1N ΔS (等效圓柱)(μm), F=1N E(%) 9 8 12.912 12.668 1.9 10 8 13.854 13.626 1.6 11 8 14.966 14.838 0.9 3 10 8.331 8.277 0.6 4 10 8.395 8.424 0.3 5 10 8.601 8.630 0.3 6 10 9.093 8.957 1.5 7 10 9.597 9.426 1.8 8 10 10.143 9.987 1.5 9 10 10.967 10.764 1.9 10 10 11.938 11.709 1.9 11 10 13.069 12.916 1.2 3 12 7.266 7.343 1.1 4 12 7.364 7.428 0.9 5 12 7.855 7.631 2.9 6 12 8.101 7.996 1.3 7 12 8.486 8.397 1.0 8 12 9.059 8.984 0.8 9 12 9.956 9.757 2.0 10 12 10.903 10.750 1.4 11 12 12.080 11.891 0.8 3 14 6.743 6.751 0.1 4 14 7.017 6.797 3.1 5 14 7.255 7.066 2.6 6 14 7.597 7.344 3.3 7 14 7.974 7.803 2.1 8 14 8.580 8.427 1.8 9 14 9.349 9.169 1.9 10 14 10.302 10.144 1.3 11 14 11.477 11.315 1.4 將表2 中具螺紋刀刃與具等效圓柱刀刃之最大撓度值代入式(1)之虎克定律，可求得刀具之靜剛性值 K。 F K S ₍₁₎ 靜剛性（Static stiffness）之單位為牛頓/釐米（N/mm），其值越大代表結構越不容易受力變形，不同幾何形狀微銑刀靜剛性分析結果如表3 所示。

(7)

表3 具不同幾何形狀微銑刀之靜剛性分析 / L D T (°) K_螺紋刀刃 (N/mm) K_等效圓柱(N/mm) 4 8 96.6184 96.2649 5 8 95.3925 94.4465 6 8 91.8527 91.6842 7 8 87.0246 88.0980 8 8 82.0951 83.8012 9 8 77.4473 78.9391 10 8 72.1813 73.3891 11 8 66.8181 67.3945 3 10 120.0336 120.8167 4 10 119.1185 118.7085 5 10 116.2656 115.8749 6 10 109.9747 111.6445 7 10 104.1992 106.0895 8 10 98.5902 100.1302 9 10 91.1826 92.9023 10 10 83.7661 85.4044 11 10 76.5169 77.4234 3 12 137.6273 136.1841 4 12 135.7958 134.6257 5 12 127.3074 131.0444 6 12 123.4416 125.0625 7 12 117.8412 119.0902 8 12 110.3875 111.3090 9 12 100.4419 102.4905 10 12 91.7179 93.0233 11 12 82.7815 83.4655 3 14 148.3019 148.1262 4 14 142.5110 147.1237 5 14 137.8360 141.5228 6 14 131.6309 136.1656 7 14 125.4076 128.1558 8 14 116.5501 118.6662 9 14 106.9633 109.0631 10 14 97.0685 98.5804 11 14 87.1308 88.3783

(8)

圖8 不同幾何形狀微銑刀之靜剛性比較圖不同幾何形狀微銑刀之靜剛性分析結果整理如 8 所示，其中橫軸為刀具伸出主軸套筒長度對刀柄直徑之比值，縱軸為刀具結構的靜剛性值。圖中的八條曲線分別代表具 8°、10°、12°及 14°之錐度以及刀刃部位幾何分別為螺旋刀刃與等效圓柱之靜剛性曲線。由圖可看出，刀具結構的靜剛性隨著刀具伸出主軸套筒長度對刀柄直徑的增加而逐漸降低。此外，針對刀具錐度部分，具14°錐度刀具之靜剛性值明顯比具 8°錐度刀具之值來的高。刀具結構的靜剛性隨著刀具錐度的降低而逐漸降低。此外，在微銑刀幾何參數中，除了傳統刀刃螺旋角(刀刃螺旋角為定值，分別為 0°, 15°, 20°, 25°, 30°, 35°, 40°, 45°)外，吾人設計了三種變化型（Variable type）螺旋角之刀刃幾何，即刀刃的螺旋角係沿著刀刃軸向長度而線性變化，三個變螺旋角(Variable helix angle)設計之刀刃，如 case1、case2、case3，其螺旋角沿著刀刃軸向長度線性變化關係如圖9 所示。以 case1 為例，於刀刃末端（相當於水平座標軸 0 的位置）之初螺旋角為15°，螺旋角沿著刀刃軸向長度 500μm 連續線性變化至 35°，case1 變螺旋角微端銑刀網格化之實體模型如圖10 所示。在不同螺旋角之微銑刀刀刃末端分別施加 1N 之集中負載，經 ANSYS 有限元素分析各刀具末端之最大撓度如圖 11 所示。圖 10 中，橫軸為刀刃之螺旋角，縱軸為刀具之最大撓度。由刀具靜撓曲分析結果顯示，以直槽刀刃(0°)、30 度螺旋角以及變螺旋角刀具中的 case1、case2 等四款微端銑刀的撓曲變形量較小，其中又以30°螺旋角之微端銑刀的變形量為最小，即 30°螺旋角微端銑刀較其他螺旋角端銑刀具有較大的靜剛性。圖9 變螺旋角與刀刃軸向距離之關係

(9)

圖10 case1 變螺旋角微端銑刀網格化結果圖11 不同螺旋角微刀具之最大撓度圖

3. 微銑刀之自然振動模態分析

微銑削加工中所造成的振動為一複雜之時變非線性關係，是製程中無法避免的現象。但加工時若產生顫振現象，不僅會造成加工件的表面粗糙度過大，甚至造成機件的損壞，必需加以避免。切削力、表面粗糙度與切削穩定圖，可以用來預測避免產生顫振的加工參數。這都涉及到加工系統中結構靜態以及動態特性，通常藉由實驗和模態分析可獲得這些特性。然而刀具結構本身具有一定之剛性，在擁有相同幾何之微銑刀中，會因為架設刀具伸出主軸套筒之長度的不同而有不同的靜剛性與自然振動頻率，故藉由調整刀具伸出主軸套筒之長度，避免外力造成之強迫振動頻率與刀具結構自然振動頻率重疊，可有效防止共振現象的發生。將由 Pro/E 所建立的微銑刀具模型匯入 ANSYS 軟體，定義結構材料性質為碳化鎢，網格元素為 SOLID185 之 3D 網格元素，結構限制條件為懸臂梁，進行刀具結構自然頻率與自然振動模態分析。針對　200 μm 螺旋角 30°微端銑刀，完成具不同刀具錐度與不同刀具伸出主軸套筒長度與刀柄直徑比值（L/D）下的低階模態與自然頻率分析。其中，刀具自然振動之第一模態（Mode1）及第二模態（Mode2），分別如圖12、圖13 所示。不同錐度下 L/D 對低階模態之自然頻率之影響，ANSYS 有限元素分析結果如圖 14 至圖 17 所示。其中，Mode1、Mode2 分別為刀具結構自然振動之第一模態、第二模態。由圖可看出，L/D=3 時，Mode1 與Mode2 之自然頻率相差較大，隨著刀具伸出主軸套筒長度與刀柄直徑比值的增加，刀具第一模態與第二

(10)

模態之自然頻率曲線有靠近的趨勢，表示隨著刀具伸出套筒長度的增加，刀具結構的第二模態自然頻率越不可忽視。刀具結構的自然頻率隨著刀具伸出主軸套筒長度與刀具刀柄直徑之比值的增加而降低，如圖18 所示。且在具伸出主軸套筒長度與刀具刀柄直徑之比值為越小或越大時，刀具的第一模態自然頻率較不易因刀具錐度的影響而有較大的差異。但隨著刀具錐度值的增加，其第二模態的自然頻率也越高。整體來說，刀具伸出主軸套筒長度與刀柄直徑之比值越大，刀具之錐度對自然頻率的影響越小，如圖19 與圖 20 所示，但在刀具伸出主軸套筒長度與刀柄直徑之比值越小時，刀具的第二模態以上會有較明顯的差異，如圖20 所示。圖12 微端銑刀自然振動第一模態圖13 微端銑刀自然振動第二模態圖14 錐度 8°之微銑刀自然頻率圖15 錐度 10°之微銑刀自然頻率圖16 錐度 12°之微銑刀自然頻率圖17 錐度 14°之微銑刀自然頻率

(11)

圖18 不同刀具錐度微銑刀之第一自然頻率變化圖19 不同刀具錐度微銑刀之自然頻率比較 (L/D=9) 圖20 不同刀具錐度微銑刀之自然頻率比較 (L/D=4)

4. 結論

本文參考微銑刀實際幾何尺寸，並變化刀具伸出主軸套筒長度、螺旋角及不同錐度尺寸，利用 Pro/E 繪圖軟體進行微銑刀之三維實體建模，並應用有限元素分析軟體ANSYS 分析刀具之靜剛性以及自然頻率。結果顯示，具 30 度螺旋角之微銑刀產生之刀具撓曲量為最小，即 30 度刀刃螺旋角較其他螺旋角度之微銑刀具有較大刀具靜剛性。而具變化螺旋角之微端銑刀中，Case1 微端銑刀的最大撓度值為最小值具有最大的靜剛性。此外，隨著刀具伸出套筒長度對刀柄直徑比值的增加，刀具結構之靜剛性隨之降低，而刀具結構的第二模態自然頻率，則越不可忽視。刀具結構的自然頻率隨著刀具伸出主軸套筒長度與刀柄直徑之比值的增加而減少。此外，伸出主軸套筒長度與刀柄直徑之比值越小或越大時，刀具的第一自然頻率越不易受到刀具錐度的影響。整體而言，雖然刀具的錐度對自然頻率的影響並無明顯差距異，但14°錐度微銑刀之靜剛性明顯比8°錐度微銑刀的為高，加工時較不易變形。本文利用有限元素分析軟體ANSYS 分析微端銑刀之靜剛性以及自然振動頻率與模態，有利於日後建立微銑削機台之頻率響應函數圖以及微銑削加工之穩定圖。利用刀具伸出主軸套筒長度的不同而有不同的靜剛性與自然振動頻率的特性，調整刀具伸出主軸套筒之長度，避免外力所造成的強迫振動頻率與刀具結構本身的自然振動頻率重合，則可防止共振現象的發生。

致謝

本研究得以完成，承蒙金屬工業研究發展中心提供產學合作研發計畫之經費補助，作者於此特表致謝之忱。

(12)

參考文獻

[1] Altintas, Y. and Budak, E., “Analytical Prediction of Stability Lobes in Milling,” Annals of the CIRP, Vol.44, pp. 357-362, 1995.

[2] Shirase, K. and Altintas, Y., “Cutting Force and Dimensional Surface Error Generation in Peripheral Milling with Variable Pitch Helical End Mills,” International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol.36, pp.567-584, 1996.

[3] Tlusty, J., Smith, S. and Winfough, W. R., “Techniques for The Use of Long Slender End Mills in High-speed Milling,”

Annals of the CIRP, Vol.45, pp.393-396, 1996.

[4] Smith, S., Winfough, W. R. and Halley, J., “The Effect of Tool Length on Stable Metal Removal Rate in High Speed Milling,” Annals of the CIRP, Vol.47, Issue 1, pp.307-310, 1998.

[5] Budak, E. and Altintas, Y., “Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling-part I: General Formulation,” ASME

Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, Vol.120, pp.22-30, 1998.

[6] Budak, E. and Altintas, Y., “Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling-part II: Application of The General Formulation to Common Milling Systems,” ASME Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, Vol.120, pp.31-36, 1998.

[7] Budak, E., “An analytical Design Method for Milling Cutters with Nonconstant Pitch to Increase Stability, Part I: Theory,” Transaction of ASME, Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol.125, pp.29-34, 2003.

[8] Budak, E., “An analytical Design Method for Milling Cutters with Nonconstant Pitch to Increase Stability, Part II: Application,” Transaction of ASME, Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol.125, pp.35-38, 2003. [9] Kivanc, E. B. and Budak, E., “Structural Modeling of End Mills for Form Error and Stability Analysis,” International

Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol.44, pp.1151-1161, 2004.

[10] Budak, E., “Analytical Models for High Performance Milling. Part I: Cutting Force, Structural Deformations and Tolerance Integrity,” International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 46, pp.1478-1488, 2006.

[11] Budak, E., “Analytical Models for High Performance Milling. Part II: Process Dynamics and Stability,” International

Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 46, pp.1489-1499, 2006.

[12] Kops, L. and Vo, D.T., “Determination of The Equivalent Diameter of An End Mill Based on Its Compliance,” Annals of