5G毫米波網路中用戶連線與資源配置演算法之設計
73
0
0
全文
(2) 5G 毫米波網路中用戶連線與資源配置演算法之設計. 學生：邱昱瀚. 指導教授：黃政吉. 國立臺灣師範大學電機工程系碩士班. 摘. 要. 5G毫米波網絡可透過使用波束成形(beamforming)技術、與小細胞接入 點(small cell access points, AP)的密集部署，以提供Gbps等級的速率。在本 論文中，我們考慮用戶連線與通道資源分配的問題。該問題可以表示為整 數 非 線 性 最 佳 化 。 為 了 解 決 該 問 題 ， 我 們 首 先 利 用 對 偶 分 解 (dual decomposition)法來獲得基準場景的集中式(centralized)演算法。在基準場景 中，並沒有考慮用戶端需求。接著，我們將用戶本身的需求分別考慮在限 制中或作為目標中的權重，然後提出遞迴式與分散式(distributed)演算法。 數值結果顯示我們提出的兼具用戶需求考量的演算法在吞吐量方面可明顯 地優於基準場景之演算法。. 關鍵字：對偶分解、毫米波、分散式演算法、集中式演算法、用戶需求。. i.
(3) Designs of algorithms for client association and resource allocation in mmWave 5G networks. Student：Ciou, Yu-Han. Advisor：Dr. Huang, Jeng-Ji. Department of Electrical Engineering National Taiwan Normal University ABSTRACT. A 5G millimeter wave network is able to deliver speeds of Gbps through the use of beamforming and the dense deployment of small cell access points (APs). In this thesis, we consider the problem of the associations of clients and allocations of channel resources. The problem can thus be formulated into an integer nonlinear optimization. To solve the problem, we first utilize a dual decomposition method to obtain a centralized algorithm for a baseline scenario. In the baseline scenario, no client demands are considered. Next, demands of clients are taken into account either in the constraints or as weights in the objective, and a distributed algorithm is then proposed. Numerical results demonstrate that our proposed algorithm for scenarios with client demands can substantially outperform the one for scenarios without them.. Keywords—dual decomposition, mmW, centralized algorithm, distributed algorithm, demand.. ii.
(4) 誌. 謝. 在進行對 5G 的研究時，最需要感謝的是我的指導教授黃政吉博士。在 每周的會議上，老師會用不斷提問，與我討論問題，引導我主動去思考， 使我知道下一步的方向要怎做，課題要怎麼進行下去等。. 老師常常告誡我，對任何細節都要認真的想過，並且要要有獨立解決 問題的能力，不論在現在的研究，還是在未來的工作，這都是非常重要的 能力。雖然這使我常常陷入迷惘，但追隨老師的引導，慢慢的我能主動解 決原先不知的問題，研究也因此成型，在此必須致上最深的感謝，感謝老 師願意陪我繞許多遠路，只為了讓我能獨立思考，解決問題。. 接著要感謝的是跟我同一個實驗室的同學陳庭玉。在研究上，有時候 遇到無法理解的公式，她會進行耐心的講解。而且當系上許多事情都是她 幫我忙，才能順利解決，她也時常注意到我所沒注意的細節，使我不至於 粗心犯錯。. 最後要感謝的是我的家人，在求學時依然在我身邊陪伴我，關心我， 並給我最大的支持與鼓勵。. 邱昱瀚 謹致於 中華民國 一零八年七月. iii.
(5) 中華民國 一零八年七月. 目. 錄. 中文摘要 ............................................................................................................... i 英文摘要 .............................................................................................................. ii 誌 謝 ................................................................................................................. iii 目 錄 ............................................................................................................... ivv 表 目 錄 ........................................................................................................ vii 圖 目 錄 ....................................................................................................... viii 第一章 緒論 ...................................................................................................... 1 1.1 5G 的背景 ............................................................................................... 1 1.2 毫米波(mmW)通訊 ............................................................................... 3 1.3 路徑損耗 ................................................................................................. 4 1.4 公平性原則 ............................................................................................. 4 1.5 論文動機 ................................................................................................. 4 1.6 章節安排 ................................................................................................. 5 第二章 重要相關文獻與相關背景知識 .......................................................... 6 2.1 [7] ......................................................................................................... 6 2.2 利用距離推導訊雜比[5] ..................................................................... 8 2.3 [6] ....................................................................................................... 12 2.4 對偶分解法 ........................................................................................ 15 2.5 資源分配與公平性[15] ..................................................................... 19 第三章 分析方法 ............................................................................................ 22 3.1 連線最佳化 ........................................................................................ 22 3.2 集中式演算法 ....................................................................................... 25 3.3 用戶頻寬的需求 ................................................................................... 35 3.4 用戶之權重 ........................................................................................... 39 第四章 數值結果與討論 ................................................................................ 44 4.1 實驗環境 ............................................................................................... 44 4.2 連線最佳化問題的結果與討論 .......................................................... 45 4.3 加入需求的限制 ................................................................................... 50 4.4 模擬加入權重的演算法 ....................................................................... 53 第五章 結論 .................................................................................................... 58 附 錄 A 算幾不等式 ................................................................................... 59 附 錄 B 斯萊特條件與強對偶性 ............................................................... 61 附 錄 C 權重轉換 ....................................................................................... 62 參 考 文 獻 ................................................................................................ 63 iv.
(6) 自 傳 ................................................................................................................ 65. v.
(7) 表. 目. 錄. 表 1：基於紐約市大規模數據之參數統計模型[5]。 ............................... 10 表 2：模擬所採用之參數 ............................................................................ 44. vi.
(8) 圖. 目. 錄. 圖 1- 1：5G 應用場景[14] 。 ......................................................................... 3 圖 2- 1：Google 地圖，其中藍線顯示用戶移動路徑。 .............................. 8 圖 2- 2：鏈路狀態機率與傳輸距離關係圖[5]。........................................... 9 圖 2- 3：AP 之資源配置示意圖示[6]。 ...................................................... 13 圖 2- 4：AP 與用戶連線結果圖[6]。。 ...................................................... 14 圖 2- 5：自然對數的函數圖像。 ................................................................. 20 圖 3- 1：用戶與 AP 之間的連線與資源分配範例；(a)所有連線可能性；(b) 連線結果；(c)各個 AP 的資源分配。 ...................................................... 23 圖 3- 2：自然對數函數。 ............................................................................. 24 圖 3- 3：演算法 1。 ...................................................................................... 30 圖 3- 4：(a)小型測試範例；(b)窮舉法最佳解之連線。 ............................ 32 圖 3- 5：小型測試範例在演算法 1 之運算過程。 ..................................... 33 圖 3- 6：演算法 2。 ...................................................................................... 37 圖 3- 7：演算法 3。 ...................................................................................... 43 圖 4- 1：AP 與用戶的位置分布結果圖。 .................................................. 45 圖 4- 2：AP 與用戶的連線結果圖。其中，不同的連線顏色代表用戶與對 應顏色的 AP 進行連線。 .......................................................................... 46 圖 4- 3：λk 的演進過程。.............................................................................. 48 圖 4- 4：nk 的演進過程。 ............................................................................. 48 圖 4- 5：xk = ∑i∈C xik 的演進過程。 ............................................................ 49 圖 4- 6：當不同需求限制時，演算法 2 之增益。 ..................................... 50 圖 4- 7：不同的群組 1 用戶數量|𝐺1|，演算法 2 相對於演算法 1 之增益 G， 其中 Range=0.1。 ....................................................................................... 52 圖 4- 8：AP 與用戶的連線分布圖；(a)無權重時；(b)有權重時。......... 53 圖 4- 9：將兩個結果重疊之連線分布圖。 ................................................. 54 圖 4- 10：nk 的演進過程：(a)有權重時；(b)無權重時。 .......................... 55 圖 4- 11：λk 的演進過程：(a)有權重時；(b)無權重時。 .......................... 57. vii.
(9) 第一章. 緒論. 在本章中，首先在 1.1 節介紹 5G 之背景，其次在 1.2 與 1.3 節分別說明 毫米波通訊與路徑損失，然後在 1.4 節討論公平性原則，最後在 1.5 節陳述 本論文之研究動機。1.6 節則是章節安排。. 5G 的背景. 1.1. 隨著時代的發展，人們對高數據速率服務的需求不斷增長。為此， 5G無 線通信被提出來應對不斷增長的需求。. 對於 5G 無線通信來說，其技術創新的特點如下：. . 毫 米 波 (mmW) 通 訊 ： 毫 米 波 是 指 波 長 在 毫 米 數 量 級 (order of magnitude)的電磁波，其頻率一般在6 GHz以上。由於目前無線網路 所使用的5 GHz以下頻段已經壅擠，因此如果要使用新的頻譜資源， 須使用毫 米 波 技 術 [1]；. . 微 基 站 (small cell base station)技 術：由 於 毫 米 波 通 訊 頻 率 高 ， 波 長 短，導 致 其 主 要 問 題 為 高 穿 透 損 耗 (penetration loss)。為 此 ， 若 使 用 微 基 站 技 術 [2]–[7]， 可 使 得 功 耗 大 幅 度 降 低 。. . 大規模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, Massive MIMO)相控陣列天線：使用大量天線並進行同步處理，使小基站能 向更多用戶發送和接收訊號，以大幅度提升網路容量[8]；. . 波 束 自 適 應 和 波 束 賦 形 (Beamforming)：使 用 大規模多輸入多輸. 1.
(10) 出技術，可控 制 訊 號 使 其 能 對 準 用 戶 ， 具 有 方 向 性 [9]； . 設 備 -設 備 通 訊 技 術 (Device to Device, D2D)：使 用 5G 技 術 時， 可 無 須 透 過 基 地 台 傳 送 訊 號，而 是 透 過 相 鄰 的 用 戶 直 接 連 線， 以 降 低 基 地 台 的 通 道 資 源 [10]。. 相對於4G，5G具有許多優勢，其中包含極高的資料傳輸速率達10 Gbit/s、 較低的延遲、能更快回應等，詳述如下：. . 延 遲 (delay)低：4G由於先天的限制，會有10 ms以上的延遲，這導 致無法適用於一些重要場合，如自動駕駛、手術等。5G卻可以達到 5 ms以下的延遲[11]；. . 資料傳輸速率更高：隨 著 物 聯 網 發 展、照 片 辨 識 率 的 提 升 等 因 素，對 高數據速率服務的需求愈來愈高。為此，需要5G來應對其需 求[12]；. . 低功耗：由於毫米波技術的缺點，需使用微基站技術，使得用戶功 率消耗大幅度下降[13]。. 因此， 5G可利用這些優勢發展出許多應用服務，例如：移動醫療(Mobile Health, M-Health)、自動駕駛、車聯網(Internet of Vehicles，IoV)、物聯網 (Internet of Things, loT)等，如圖1-2。. 在本篇論文，我們主要探討5G的毫 米 波 技 術 與 波 束 賦 形 技術，詳見於 2.1與 2.3節 。. 2.
(11) 圖 1-1：5G 應用場景[14]。. 1.2 毫米波(mmW)通訊 毫 米 波 通 訊 是 5G技 術 中，資料傳輸速 率 高 於 4G的 原 因 之 一。其 中 ， 毫 米 波 的 頻 段 大 約 在 30-300 GHz[11]， 目 前 主 要 運 用 在 28 GHz。 而 在 28 GHz 頻 段 ， 5G網 路 的 可 用 頻 寬 達 1 GHz [10]。. 相 對 於 4G微 波 通 訊 (Microwave, μW)來 說 ， 毫 米 波 通 訊 具 有 嚴 重 的 路 徑 損 耗 (path-loss)以 及 高 穿 透 損 耗 (penetration loss)。為 此，可 利 用 筆 型 波 束 (pencil beam)[6],[7]，以 克 服 上 述 的 缺 點，詳 見 於 2.1與 2.3 節。由於筆 型 波 束 極 少 遭 受 干 擾，使 得 干 擾 並 非 毫 米 波 技 術 的 主 要 議 題 ， 這 與 4G微 波 網 路 非 常 不 同 。 第 三 章 中 ， 我 們 針 對 毫 米 波 的 通 訊 特性，提出新的連線方法，並整理成連線最佳化問題；除此之外， 我 們 並 提 出 對 應 的 演 算 法 ， 如 第 3章 所 述 。. 3.
(12) 1.3 路徑損耗 在本篇論文中，我們需要測定訊號雜訊功率比(signal-to-noise ratio, SNR)， 簡稱訊雜比，以作為連線最佳化問題的參數。為此，我們運用[5]中透過實地 測量所獲得的統計模型，其中包含：以用戶與 AP 間之距離為變數的路徑損 耗(path loss)函數、不同頻率與不同鏈路狀態所對應之參數等。如此一來，若 用戶與接入點(access point, AP)的位置為已知，便可計算出訊雜比SNR，詳細 計算如2.2節 所 述 。. 1.4 公平性原則 由於5G毫米波網路與4G網路考慮的主要問題不同，因此，須提 出 的 新 的 連 線 最 佳 化 問 題 與 演 算 法。為 此，在 2.4 節 中，我 們 介 紹 了 幾 種 常 見 的 公 平 性 原 則，如 具 權值的比例公平性(Weighted proportional fairness)、 最小潛在延遲公平性(minimum potential delay fairness)、與最大最小公平性 (max-min fairness)等，可作為連線問題的考量[15]。在本篇論文中，主要使 用比例公平性作為連線問題的公平性原則。. 1.5 論文動機 面對不斷增長的高數據速率服務之需求，在5G網路中，將使用毫米波技 術，以提高資料傳輸速率。在本論文中，如 1.2 節所述，我們提出新的連線 方式，能顯著地提高系統吞吐量與公平性。. 尤其，我們考慮用戶本身的需求，以免造成不必要的資源浪費，並可進 一步提高網路的吞吐量。. 4.
(13) 在本篇論文中，我們的主要貢獻總結如下:. . 提出新的連線最佳化問題，做為用戶連線的方法；. . 類似[6]，將最佳化問題改寫成多維分配問題，並使用對偶分解(dual decomposition)法進行求解；. . 類 似 [6] ， 針 對 對 偶 分 解 (dual decomposition) 法 ， 提 出 集 中 式 (centralized)與分散式(distributed)的演算法，以解決多維分配問題；. . 考慮用戶本身的需求，在最佳化問題加入需求限制，提出一種遞迴 的演算法；. . 使用權重以對應用戶的需求，並針對新的最佳化問題，提出分散式 演算法。. 1.6 章節安排 在本篇論文中，其餘章節的安排如下。在第二章中，我們介紹相關文獻， 以說明求解連線最佳化問題時所需要的基礎相關。在第三章中，我們首先陳 述主要探討的連線最佳化問題；接著，針對該連線最佳化問題，提出集中式 (centralized)與分散式(distributed)演算法；最後，我們考慮用戶需求，分別加 入需求限制與權重後，並整理為對應之連線最佳化問題。在第四章中，我們 利用電腦模擬所提出的演算法，並展現數值結果與討論。最後，我們的結論 放在第五章。. 5.
(14) 第二章. 重要相關文獻與相關背景知識. 我 們 首 先 介 紹 一 些 背 景 知 識，以 成 為 設 計 基於公 平 性 與 用 戶 需 求 演 算 法 之 基 礎。為 此，我 們 介 紹 幾 篇 重 要 文 獻，例 如：[6],[7]，以 及 一 些 作 法 ;例 如 :對 偶 分 解 (dual decomposition)等 。. 2.1. [7] 在這篇論文中，提出5G毫米波(mmW)網路中，移動性已知的用戶連線策. 略，以改善使用傳統連線策略利用最大接收訊號強度(received signal strength, RSS)的缺點。由於5G的優點，在於使用毫米波通信與網路密集化。但是， 相對於4G來說，卻有較高的路徑損失 (path-loss)、與對阻塞的高敏感性 (blockage)。為了解決上述的問題，毫米波通信在小空間放置大量天線元件， 以形成窄波束，或稱為筆型波束(pencil beam)，以具有高度的方向性。藉助 這種方向性，在毫米波頻帶所建立的鏈路範圍可達到約 200 公尺。此外，網 路密集化亦有助於毫米波網路。主要因為網路密集化能提高小基站(sBs)使用 直視波進行傳輸(line of sight, LOS)的機會。. 由於毫米波網路使用筆型波束，干擾將會大幅度降低，大多情況只需考 慮雜訊。因此，以最大接收訊號強度為基準的連線策略，將不再適用於毫米 波網路。所謂的最大接收訊號強度為基準的連線策略，是用戶會與能提供最 大接收訊號強度的小基站(small base station, sBs)進行連線。對於5G網路來說， 基於最大接收訊號強度的連線有下列缺點:. 6.
(15) . 首先，該連線策略會導致小基站的連線用戶數量不均衡，也就是所 謂負載不均衡。當負載不平衡時，在用戶密集地區，每位用戶的可 用資源將十分有限；而在用戶稀疏地區，將會有過多資源，造成浪 費。如此，將嚴重影響毫米波網路的公平性(fairness);. . 另外，該連線策略可能導致用戶在相鄰的小基站之間，進行過度頻 繁的切換。由於用戶不斷地重新連線，形成沉重的開銷(overhead)， 而導致額外的資源浪費。. 於是，該論文提出一個移動性已知的用戶連線策略，以適用於毫米波網 路的環境，並可改善上述最大接收訊號強度為基礎之連線策略的缺點。該論 文所設計的用戶連線策略，採用時槽的方式，讓小基站服務連線的用戶，其 中時槽為固定長度T𝑠 。該用戶連線策略展現下列特點:. . 可追蹤網絡拓撲的動態變化，以及用戶移動所導致通道條件的改 變；. . 考慮小基站的負載，避免讓用戶與擁塞的小基站連線。如此，對於 網絡的整體公平性，可產生積極影響；. . 克服用戶在小基站間過於頻繁的切換，使得用戶不需要頻繁的重新 連線，而可減少不必要的資源浪費；. . 考慮毫米波通信的特性，如方向性、阻塞敏感性、以及非直視波傳 輸；. . 該作法為全分散式。. 7.
(16) 圖 2-1 : Google 地圖，其中藍線顯示用戶移動路徑。. 圖2-1為該論文模擬時所用的路徑，地點是在意大利米蘭市中心。其中， 該論文把目前wifi基站位置視為5G的小基站位置。透過模擬結果，對比於最 大接收訊號強度為基礎之連線策略，該用戶連線策略的各種特點，整理如下:. . 用戶移動速度愈快，該用戶連線策略的效能愈好；. . 負載愈不均衡，該用戶連線策略的效能愈好；. 2.2 利用距離推導訊雜比[5] 由於本篇論文探討連線的最佳化問題，因此需要計算用戶i與AP k之間的 連線速率𝑟𝑖𝑘 ，以作為連線決策之依據。假設用戶與AP的距離𝑑𝑖𝑘 是已知的。 如此，便可透過下列的計算公式，計算訊號雜訊功率比(signal-to-noise ratio, SNR)，或簡稱訊雜比。然後，再利用香濃定理(Shannon's theorem)，計算𝑟𝑖𝑘 。. 8.
(17) 圖2-2 : 鏈路狀態機率與傳輸距離關係圖[5]。. 2.2.1 狀態機率分佈 根據3GPP的規範，AP與用戶之間的鏈路有2個狀態：直視波傳輸(line of sight, LOS)與非直視波傳輸(non-line of sight, NLOS)狀態；狀態的機率為距離 𝑑𝑖𝑘 的函數，如圖2-2所示。在[5]中，毫米波網路另增加一個中斷(outage)狀態。 因此，AP與用戶間的鏈路有3個狀態：直視波傳輸、非直視波傳輸、與中斷。 透過多次實際實驗所產生的統計模型，可得3種狀態機率函數如下(2.1)：. 𝑝𝑜𝑢𝑡 (𝑑 ) = max(0,1 − 𝑒 −𝑎𝑜𝑢𝑡𝑑+𝑏𝑜𝑢𝑡 ) ,. (2.1a). 𝑝𝐿𝑂𝑆 (𝑑 ) = (1 − 𝑝𝑜𝑢𝑡 (𝑑 ))𝑒 −𝑎𝑙𝑜𝑠𝑑 ,. (2.1b). 𝑝𝑁𝐿𝑂𝑆 (𝑑 ) = 1 − 𝑝𝑜𝑢𝑡 (𝑑 ) − 𝑝𝐿𝑂𝑆 (𝑑 ).. (2.1c). 9.
(18) 表 1：基於紐約市大規模數據之參數統計模型[5] 變數. 模型. 模型參數值 28 GHz. 73 GHz. 路徑損失. PL=α+10βln d+ξ. 非直視性:. 非直視性:. PL 與對. [dB]. α=72.0, β=2.92,. α=86.6, β=2.45,. 數陰影. ξ~𝒩 (0, 𝜎 2 )，. σ=8.7 dB. σ=8.0 dB. ξ. 𝑑為距離. 直視性:. α=82.7, β=2.69,. α=61.4, β=2,. σ=7.7 dB. σ=5.8 dB. 直視性:. (1). (2). α=69.8, β=2, σ=5.8 dB 非直視波. 1⁄ 𝑎𝑜𝑢𝑡 = 30.0 𝑚 , 𝑏𝑜𝑢𝑡 = 5.2 ,. 看 (4.1). -直視波-. 1⁄ 𝑎𝑙𝑜𝑠 = 67.1 m. 中斷機率 (1) 2 m-RX-高度數據和 4.06 m-RX-高度數據的參數組合 (2) 僅限 2 m-RX-height 數據的參數. 其中，參數𝑎𝑜𝑢𝑡 ，𝑎𝑙𝑜𝑠 ，𝑏𝑜𝑢𝑡 之數值皆透過實驗結果統計而得，如表1。根據 (2.1)，我們可分別計算𝑑𝑖𝑘 之中斷機率𝑝𝑜𝑢𝑡 ，直視波傳輸機率𝑝𝐿𝑂𝑆 與非直視波 傳輸機率𝑝𝑁𝐿𝑂𝑆 ，其結果可如圖2-4中藍色與紅色虛線所分割之三種區域。. 我們可以從圖2-4看出，隨著距離𝑑𝑖𝑘 增加，直視波傳輸機率愈小，而非 直視波傳輸機率則愈多。直到距離𝑑𝑖𝑘 達到200 m時，中斷機率為百分之百。 因此，狀態機率會受到𝑑𝑖𝑘 影響。根據𝑑𝑖𝑘 所對應之狀態機率，可利用均勻分 布之隨機變數，以決定AP與用戶之間的鏈路狀態。. 10.
(19) 2.2.2 路徑損失 在決定AP與用戶間的鏈路狀態之後，我們便可根據表1的參數值，計算 AP與用戶間鏈路的路徑損耗PL。然後，利用路徑損耗PL，以計算訊號雜訊 功率比 SNR。路徑損耗PL的標準線性模型如下：. PL [dB] = α + 10β ln d + ξ， ξ~𝒩 (0, 𝜎 2 ).. (2.2). 其中，d為AP與用戶間的距離，其單位為公尺。參數α與β分別為利用最小平 方法所計算之截距與斜率(least square fits)，𝜎 2 則是對數常態遮蔽效應變異數 (lognormal shadowing variance)。須注意在確定AP與用戶之間連線狀態的情 況下，α、β、𝜎 2 之值都可以從表1取得。. 取得PL之後，我們可以根據下式，以dB的方式計算接收功率P𝑅𝑋 ：. PL = P𝑇𝑋 − P𝑅𝑋 + G 𝑇𝑋 + G𝑅𝑋 ,. (2.3). 其中，P𝑇𝑋 為總傳輸功率，單位為dBm；P𝑅𝑋 為接收功率；G 𝑇𝑋、G𝑅𝑋 則是天線 的增益。在[5]中，P𝑇𝑋 = 30 dBm，G 𝑇𝑋 = G𝑅𝑋 = 24.5 dBi。. 最後，我們仍以dB的方式，利用P𝑅𝑋 求得訊雜比如下:. SNR = P𝑅𝑋 − P𝑛_𝑑𝐵 ,. (2.4a). P𝑛_𝑑𝐵 = P𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 + NF [dB] .. (2.4b). 11.
(20) 其中，雜訊功率頻譜密度P𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 = −174 𝑑𝐵𝑚/𝐻𝑧，而接收端的噪音因數(noise figure, NF)為6 dB[6]。. 2.3. [6] 這篇論文設計分散式的演算法，以解決毫米波(mmW)網路的用戶連線與. 通道資源分配。用戶可透過中繼(relay)，或直接與AP建立連線，並考慮資源 分配的公平性。在5G無線通信中，毫米波網路是一項可以實現高數據速率 (high data rate)無線通訊的重要技術。然而，毫米波網路主要的挑戰包含高路 徑損耗(path-loss)、對阻塞的高敏感性(blockage)、與由於傳送端與接收端的 波束並未對準所造成的耳聾(deafness)。. 為了克服上述的挑戰，在該論文中，提出兩種方法:. . 首先，針對高路徑損耗與對阻塞的高敏感性，可在小空間中放置大 量的天線元件，以形成窄波束，或稱為筆型波束(pencil beam)。這 些窄波束具有方向性，可以大幅度減少干擾(interference)，並且提供 高天線增益(antenna gain)。須注意，由於干擾的影響大幅度減少， 毫米波網路通常只需考慮雜訊(noise)。. . 另外，可加入中繼以建立有效率的連線。這是因為中繼技術可提供 訊號較佳的連線(robust connection)、負載均衡(load balancing)、覆蓋 範圍擴展(coverage extension)、室內外覆蓋(indoor-outdoor coverage)、 高效的移動性管理(mobility management)、以及平穩的換手操作 (smooth handover operation)，使得連線具備更一致的服務品質。. 12.
(21) 圖2-3：AP之資源配置示意圖示[6]。. 這篇論文研究了毫米波網路的聯合連線與中繼問題，並設計為最佳化問 題進行求解，其過程如下:. . 首先，提出一個聯合(joint)連線與中繼的最佳化問題，其中包含對數 效用(logarithmic utility)、AP的資源分配、客戶連線的選擇、中繼的 選 擇 、 與 不 完 整 的 通 道 狀 態 訊 息 (imperfect channel state information)；. . 接著，由於上述的最佳化問題無法直接求解。於是，該論文將其改 寫為多維分配問題，並提出對偶分解法(dual decomposition)進行求 解；. . 最後，建立分散式拍賣演算法，以解決上述的多維分配問題。. 關於用戶連線與通道資源分配，該論文提出若干的限制，如圖2-3，其 中包含:. 13.
(22) 圖 2-4: AP 與用戶連線結果圖[6]。. . 一個中繼只能協助1個用戶與AP進行連線；. . 1個用戶(或中繼)只能與一個AP進行連線；. . 一個AP分配給用戶的通道資源比例，其總和不能大於1，如圖2-3所 示；. . 當用戶透過中繼連線時，該用戶所分配的通道資源比例，與該中繼 所分配的通道資源比例相同。. 該論文之通道資源分配，可以圖2-3為例，其中包含3個用戶、2個中繼； 用戶與中繼旁邊的扇形區域，代表AP所分配的通道資源比例。關於分配的通 道資源比例，其所代表的意義為:用戶(client)或中繼(relay)與AP的連線時間的 比例。須注意若用戶透過中繼與AP連線，該用戶所分配的通道資源比例，如 圖2-3右下角用戶所對應的扇形區域，與中繼所分配的通道資源比例，也就 是2-3下方中繼所對應的扇形區域相同。. 圖2-4為該論文連線最佳化演算法的執行結果。可以看出大部分用戶會 跟較近的AP進行連線。這是因為用戶與AP之間的連線速率較快。然而，並 非所有用戶都選擇與速率最高的AP進行連線。少部分用戶會選擇較遠但負載 14.
(23) 較小的 AP 進行連線。. 2.4 對偶分解法 在本篇論文中，我們考慮毫米波 mmW 網路中，用戶連線的最佳化問題。 如稍後第三章將介紹，該問題可利用對偶分解法(dual decomposition)以尋求 最佳解。因此，在本節中，我們介紹該方法，以及相關的證明。. 假設最佳化問題之目標函數可表示如下:. max𝑥,𝑦,𝑧 𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝑔(𝑦, 𝑧).. (2.5). 可發現z為共同變數，而x、y則分別為𝑓、𝑔個別的變數。針對(2.5)，我們可 以利用對偶分解法，以求得最佳解。其做法如下所述。. 首先，我們可以另加入限制z = 𝑧1 = 𝑧2 ，(2.5)可等效為(2.6):. max. 𝑓 (𝑥, 𝑧1 ) + 𝑔(𝑦, 𝑧2 ). s. t.. 𝑧1 = 𝑧2 .. 𝑥,𝑦,𝑧1 ,𝑧2. (2.6a) (2.6b). 利用拉格朗日乘數法(Lagrangian multiplier)，可將(2.6)的目標與限制，改寫 為拉格朗日函數(Lagrangian function):. (𝑥, 𝑦, 𝑧1 , 𝑧2 , 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑧1 ) + 𝑔(𝑦, 𝑧2 ) + 𝜆(𝑧1 − 𝑧2 ),. 接著，它的拉格朗日對偶方程式(Lagrangian dual function)可表示為: 15. (2.7).
(24) 𝒟(𝜆) = max𝑥,𝑦,𝑧1,𝑧2 (𝑥, 𝑦, 𝑧1 , 𝑧2 , 𝜆) = max𝑥,𝑦,𝑧1,𝑧2 [𝑓 (𝑥, 𝑧1 ) + 𝜆𝑧1 ] + [𝑔(𝑦, 𝑧2 ) − 𝜆𝑧2 ] = max𝑥,𝑧1 [𝑓 (𝑥, 𝑧1 ) + 𝜆𝑧1 ] + max𝑦,𝑧2 [𝑔(𝑦, 𝑧2 ) − 𝜆𝑧2 ] = max𝑥,𝑧 [𝑓(𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑧] + max𝑦,𝑧 [𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆𝑧] ,. (2.8). 稍後可知，(2.8)為(2.5)對偶問題(dual problem)之目標函數。令𝑝∗ 為(2.5)的最 佳目標值，即𝑝∗ = max𝑥,𝑦,𝑧 𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝑔(𝑦, 𝑧)。我們可以繼續由(2.8)獲得(2.9):. 𝒟(𝜆) = max𝑥,𝑧 [𝑓(𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑧] + max𝑦,𝑧 [𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆𝑧]. (2.9a). ≥ max𝑥,𝑧 [𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑧 + 𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆𝑧]. (2.9b). = max𝑥,𝑦,𝑧 𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝑔(𝑦, 𝑧) = 𝑝∗ .. (2.9c). 可以發現𝑝∗ 是𝒟(𝜆)的下界(lower bound)，即𝒟(𝜆) ≥ 𝑝∗ 。稍後，我們將計算 min𝜆 𝒟(𝜆)，以使得該目標值，盡可能接近𝑝∗。關於(2.9a)≥(2.9b)之證明如下。. 定理 2.1. 𝑧為一實數變數，則: max𝑧 𝑓 (𝑧) + max𝑧 𝑔(z) ≥ max𝑧 (𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧))。. Proof: 假 設 max𝑧 𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧1 ) 、 max𝑧 𝑔(z) = 𝑔(𝑧2 ) 、 max𝑧 (𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)) = 𝑓 (𝑧3 ) + 𝑔(𝑧3 )。根據前兩個假設，可得:. 𝑓 (𝑧1 ) ≥ 𝑓 (𝑧3 ),. (2.10a). 𝑔(𝑧2 ) ≥ 𝑔(𝑧3 ).. (2.10b). 將(2.10a)與(2.10b)相加，可得: 16.
(25) 𝑓 (𝑧1 ) + 𝑔(𝑧2 ) ≥ 𝑓 (𝑧3 ) + 𝑔(𝑧3 ),. (2.11). (2.11)可因此改寫為:. max𝑧 𝑓(𝑧) + max𝑧 𝑔(z) ≥ max𝑧 (𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)).. (2.12). 如前所述，若𝑝∗ 為(2.5)的最佳目標值，𝒟(𝜆)則為其對偶問題的目標。由 上述證明可以看出，𝒟(𝜆) ≥ 𝑝∗。當𝑝∗ 無法由(2.5)直接求解時，則以min𝜆 𝒟(𝜆) 作為𝑝∗ 之近似最佳解。因此，(2.5)的對偶問題可表示為:. min𝜆 𝒟(𝜆) = min{max𝑥,𝑧 [𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑧] + max𝑦,𝑧 [𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆𝑧]} . (2.13) 𝜆. 接著，將(2.13)進行拆分並進行求解，也就是改寫為一個主問題與兩個子問 題:. 主問題: 𝒟 (𝜆 ) ,. (2.14a). max𝑥,𝑧 [𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝜆z] ,. (2.14b). max𝑦,𝑧 [𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆z] .. (2.14c). min𝜆. 子問題:. (2.13)的求解過程需要不斷地更新𝜆，主要包含下列兩個步驟:. 17.
(26) . 首先，針對目前的𝜆，分別計算(2.14b)與(2.14c)對應之最佳解；. . 接著變換𝜆，變換幅度與𝒟(𝜆)對𝜆作偏微分之斜率 成正比。. 𝜕𝒟 𝜕𝜆. 令 (𝑥 ∗ , z1∗ ) = 𝑎𝑟𝑔 max𝑥,𝑧 [𝑓(𝑥, 𝑧) + 𝜆z] ， (𝑦 ∗ , z2∗ ) = 𝑎𝑟𝑔 max𝑦,𝑧 [𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆z]，. 𝜕𝒟 𝜕𝜆. = z1∗ − z2∗ 。若z ∗ = z1∗ = z2∗ ，由於斜率. 𝜕𝒟 𝜕𝜆. = 0，(2.14a)有最小值，也. 就是(2.13)之近似最佳解；相反地，若z1∗ ≠ z2∗ ，或斜率. 𝜕𝒟 𝜕𝜆. ≠ 0時，λ將更換為. 新的數值λ′ :. λ′ = λ − 𝛿 ×. 𝜕𝒟 𝜕𝜆. = λ − 𝛿 × (z1∗ − z2∗ ).. (2.15). 其中，𝛿為基本變換幅度。. 須注意，當. 𝜕𝒟 𝜕𝜆. = 0，也就是z ∗ = z1∗ = z2∗ 時，可得(2.13)之最佳解，且其. 目標值與原始問題(2.5)之最佳目標值相同。其理由如下：. 𝒟(𝜆) = max𝑥,𝑧 [𝑓(𝑥, 𝑧) + 𝜆𝑧] + max𝑦,𝑧 [𝑔(𝑦, 𝑧) − 𝜆𝑧] = [𝑓 (𝑥 ∗ , z1∗ ) + 𝜆z1∗ ] + [𝑔(𝑦 ∗ , z2∗ ) − 𝜆z2∗ ] = 𝑓 (𝑥 ∗ , 𝑧 ∗ ) + 𝑔 (𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ ).. (如(2.15)中之定義) (2.16). 如前所述，𝒟(𝜆) ≥ 𝑝∗ ，且根據上式，𝑓 (𝑥 ∗ , 𝑧 ∗ ) + 𝑔(𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ ) = 𝒟(𝜆)，因此可 得 𝑓 (𝑥 ∗ , 𝑧 ∗ ) + 𝑔(𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ ) ≥ 𝑝∗ 。 另 一 方 面 ， 如 (2.9) 中 之 定 義 ， 由 於 𝑝∗ = max𝑥,𝑦,𝑧 𝑓 (𝑥, 𝑧) + 𝑔(𝑦, 𝑧) ， 因 此 𝑝∗ ≥ 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑧 ∗ ) + 𝑔(𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ ) 。 由 上 可 知 ， 𝑝∗ = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑧 ∗ ) + 𝑔(𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ )；換句話說，對偶分解法中，原始問題之最佳目標 值，一定會與對偶問題之最佳目標值相同。 18.
(27) 2.5 資源分配與公平性[15] 在本篇論文中，我們考慮客戶與AP之間的連線問題。我們將引入效用函 數(utility function)，並整理成最佳化問題進行求解。為了了解效用函數如何 設計，在此節介紹幾種眾所皆知的公平性原則，如下所述[15]：. . 具權值的比例公平性(Weighted proportional fairness)；. . 最小潛在延遲公平性(minimum potential delay fairness)；. . 最大最小公平性(max-min fairness)。. 2.5.1 令. 最佳化架構 𝑖 (𝑟𝑖 )是𝑟𝑖 的效用函數，其中𝑟𝑖 為用戶i之速率，並假設. 𝑖 (. )為平滑（連. 續可）的凹函數。效用函數應體現經濟學中收益遞減法則(law of diminishing returns)的概念；也就是說，儘管增加擁有的資源，可增加總價值。但持續擁 有更多的資源，增長的貢獻會愈來愈少。自然對數函數就是這種行為的一個 例子，如圖2-5所示。另一方面，資源分配應考慮網絡中鏈路的容量限制， 假設所有鏈路 都具有固定容量。. 資源分配的問題可表示為(2.17)：. ∑{. }∈. Subject to ∑{. }∈. max. 𝑖 (𝑟𝑖 ). 𝑟𝑖. 19. 𝑙，. (2.17a) ∈ ,. (2.17b). 𝑟𝑖 ≥ 0， ∈ .. (2.17c).
(28) 圖2-5:自然對數的函數圖像. 其中， 為用戶 的集合。 為鏈路 的集合。 𝑙 為鏈路 的容量。. 2.5.2 公平性原則 接著，我們介紹一些公平性原則、其所對應之效用函數、以及其特點。. A. 具權值的比例公平性 根據比例公平性(proportional fairness)原則，可得 加上權重 𝑖，則成為具權值的比例公平性，或. 𝑖 (𝑟𝑖 ). =. 𝑖 (𝑟𝑖 ) 𝑖. l. =l. 𝑟𝑖 。若. 𝑟𝑖。稍後，. 在3.1節中，我們將考慮此公平性原則，並將有更進一步的介紹與討論。. B. 最小潛在延遲公平性 若考慮最小潛在延遲公平性原則，則 設用戶 正嘗試傳送大小為. 𝑖 (𝑟𝑖 ). 𝑖 的資料。由於用戶. = − ，其理由如下。假 的速率為𝑟𝑖， 為傳輸所. 需花費的時間。除此之外，由於花費時間要愈少愈好，但(2.17a)為最大 化，效用函數因此乘上負號。所以，效用函數表示為. 20. 𝑖 (𝑟𝑖 ). =− 。.
(29) C. 最大最小公平性 一般來說，我們知道最大最小公平性的目標為將最小的分配最大化。也 就是說，它試圖為獲得最小資源的客戶提供最大的保護。因此，若資源分配 已達到最大最小公平性原則，則在不減少獲得較小的人的分配的情況下，任 何人的分配都無法進一步增加。換句話說，當已達到最大最小公平性時，如 果不讓資源稀少的人變得更窮，就無法更進一步增加任何人的分配。. D. 通用的公平性α-fairness [15]定義一個通用的效用函數，可同時涵蓋上述不同的公平性原則。甚 至，藉由改變參數值α，可涵蓋其他的公平性原則：. 𝑖 (𝑟𝑖 ) =. 可發現當 時，. 𝑖 (𝑟𝑖 ). 1時， 𝑖 (𝑟𝑖 ) =. 𝑖. 1. ，. 𝑖 1−. 0， ≠ 1.. (2.18). 𝑟𝑖，可對應具權值的比例公平性。當. l. = − ，可對應最小潛在延遲公平性。當. 2. 時，可對應最大. 最小公平性。. 根據以上的描述，(2.18)可以改寫為：. 1. 𝑖 (𝑟𝑖 ). ={. 𝑖 1−. ，. 0， ≠ 1. 𝑟𝑖 ， = 1. 𝑖l. 21. (2.19).
(30) 第三章. 分析方法. 在本章中，我們根據比例公平性(proportional fairness)的原則，針對不同 的目標(objective)與限制(contraint)，探討如何設計對應的演算法。首先，考 慮用戶傳輸需求為已知時，集中式(centralized)演算法之設計。接著，我們討 論當目標函數加入權重(weight)時，分散式(distributed)的演算法設計。. 3.1 連線最佳化 在本節中，將討論5G毫米波網路中，用戶(client)連線的最佳化問題 (association optimization)，其中，包含用戶的連線(association)與接入點(access point, AP)的資源分配(resource allocation)。當考慮該連線最佳化問題時，我 們引入效用函數(utility function)。由於效用函數一般而言應綜合考慮如負載 平衡(load balance)、公平性(fairness)、系統吞吐量(throughput)等。因此，用 戶連線的最佳化，可等同於效用函數之最大化(maximization)。. 接下來，我們分別以 代表所有用戶i的集合， 代表所有AP k的集合。 須注意在本論文中，我們僅考慮每個用戶只允許與一個AP進行連線。於是， 連線最佳化問題可表示為:. max 𝒙,𝒓,𝒚. s. t.. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 (𝑟𝑖𝑘 𝑦𝑖𝑘 ) ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1 , ∑𝑖∈ 𝑦𝑖𝑘 1. 其中，𝒙 = {𝑥𝑖𝑘 | ∈ , 𝑘 ∈. 𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1}, 𝑦𝑖𝑘 ≥ 0,. (3.1a) ∀ ∈ , 𝑘∈ ∀ ∈ , 𝑘∈. }，𝒓 = {𝑟𝑖𝑘 | ∈ , 𝑘 ∈. }。(3.1)的詳細說明如後。. 22. , ,. (3.1b) (3.1c). }，𝒚 = {𝑦𝑖𝑘 | ∈ , 𝑘 ∈.
(31) (a). (b). (c) 圖 3-1:用戶與 AP 之間的連線與資源分配範例；(a)所有連線可能性；(b)連線 結果；(c)各個AP的資源分配。. 首 先 ， (3.1a) 與 (3.1b) 中 ， 𝒙𝒊𝒌 為 二 元 連 線 指 示 器 (binary association indicators)；若用戶 i 與AP k存在連線，𝑥𝑖𝑘 = 1；否則，𝑥𝑖𝑘 = 0。以圖3-1 為 例，假設 3 個用戶，2 個AP。若每個用戶與任何一個AP皆可以進行連線，因 此有 6 種連線可能，分別以虛線表示，如圖3-1(a)中虛線。但是，如前所述， 由於每個用戶只允許與其中一個AP進行連線，連線結果可因此如圖3-1(b)中 紅色實線。該結果可表示為𝑥11 = 𝑥21 = 𝑥32 = 1，且𝑥12 = 𝑥22 = 𝑥31 = 0。明 顯地，它是其中一組可行解(feasible solution)。. 其次，在(3.1a)中，𝒓𝒊𝒌 為用戶 i 與 AP k 之間的連線速率，該數值與兩者 之間的通道狀況相關；因此，若連線結果確定，該數值可唯一的被決定。此 外，𝒚𝒊𝒌 為𝐀𝐏 𝐤分配給用戶𝐢的資源，也就是所分配時間之比例；仍以圖3-1為. 23.
(32) 圖3-2:自然對數函數。. 1. 1. 2. 2. 例，圖3-1(c)為資源分配之結果。其中，𝑦11 = ，𝑦21 = ，𝑦22 = 1。須注意 1. AP 1並非在同一個瞬間與 2 個用戶同時進行連線；舉例來說，𝑦11 = 意味著 2. 用戶1與 AP 1連線的時間，占AP 1全部的二分之一；當兩者連線期間，另一 個用戶(也就是用戶2)為閒置。另一方面，紅線旁邊的數字則表示用戶與AP連 線時的速率；如圖3-1(c)所示， 𝑟11 = 1，𝑟21 = 2，𝑟22 = 4。另外，(3.1b)限 制每個用戶i只能與一個AP k相連線；而(3.1c)限制一個AP的資源分配，其總 和不能超過 1，如圖 3-1(c)所示。. 最後，(3.1a)中， (𝑟𝑖𝑘 ∙ 𝑦𝑖𝑘 )為效用函數(utility function)。在 2.5 節中提 到，效用函數應考慮負載平衡、公平性、吞吐量等。除此之外，2.5 節中也 提到效用函數應體現經濟學中收益遞減法則(law of diminishing returns)的概 念[15]；也就是說，儘管增加擁有的資源可增加總價值，但持續擁有更多的 資源，增長的貢獻會愈來愈少。根據上面的說明，效用函數可如圖 3-2 之對 數函數。所以，在(3.1a)中，效用函數將以自然對數函數來取代。該自然對 數函數之效用函數，一般被稱為比例公平性，可使得 AP 間達到負載平衡。 關於這個部分，稍後(3.9)會進一步解釋。於是，在比例公平性的原則之下， (3.1)可改寫為: 24.
(33) max. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 l. s. t.. ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1 , 𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1}, ∑𝑖∈ 𝑦𝑖𝑘 1, 𝑦𝑖𝑘 ≥ 0,. 𝒙,𝒓,𝒚. 𝑟𝑖𝑘 𝑦𝑖𝑘 ∀ ∈ , 𝑘∈ ∀ ∈ , 𝑘∈. (3.2). , ,. 其中，𝒙, 𝒓, 𝒚分別代表𝑥𝑖𝑘 , 𝑟𝑖𝑘 , 𝑦𝑖𝑘 所構成之向量。. 3.2 集中式演算法. 在本節中，我們參考[6]的做法，將(3.2)之連線最佳化問題改寫為一個多 維度𝒙的配置問題。然後，利用對偶分解(dual decomposition)的方法，以獲得 最佳的目標值。根據小型範例的測試結果顯示，該目標值與窮舉法的最佳目 標值相同；然而，由於求解過程不同，本論文之方法可以更快速找到最佳解。. 考慮(3.2)並假設𝑥𝑖𝑘 是已知的，也就是假設𝒙是一個可行解。然後，便可 藉此求得(3.2)對應之𝑟𝑖𝑘 與最佳之𝑦𝑖𝑘，其過程介紹如後。首先，可將(3.2)之目 標改寫為 :. max𝒙,𝒓,𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 l. 𝑟𝑖𝑘 𝑦𝑖𝑘 = max𝒙,𝒓,𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 (l. = max𝒙,𝒓,𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ (𝑥𝑖𝑘 l. 𝑟𝑖𝑘 + 𝑥𝑖𝑘 l. 𝑟𝑖𝑘 + l. 𝑦𝑖𝑘 ) .. 𝑦𝑖𝑘 ) (3.3). 根據香濃定理(Shannon's theorem)， 𝑟𝑖𝑘 可以根據下式求得:. 𝑟𝑖𝑘 = 𝐵 l. 2 (1. +. 25. 𝑖𝑘 ),. (3.4).
(34) 其中𝐵為頻寬，. 𝑖𝑘. 為 用 戶 i 與 AP k 之 間 鏈 路 的 訊 號 雜 訊 功 率 比. (signal-to-noise ratio, SNR)，或簡稱訊雜比。該數值可以透過測量用戶i與AP k 之間的距離後計算得知，詳細計算如 2.2 節所述。. 令𝑛𝑘 為AP k的用戶連線數量，也就是:. 𝑛𝑘 = ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 .. (3.5). 根據(3.3)且假設𝑥𝑖𝑘 為已知，計算最佳的𝑦𝑖𝑘 相當於下列最佳化問題，其中 𝑦𝑖𝑘. 0，且∑𝑖∈𝐶 𝑦𝑖𝑘. 1:. max𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 l. 其中. 𝑘 代表與AP. 𝑦𝑖𝑘 = max𝒚 ∑𝑘∈ ∑𝑖∈ 𝑘 l. 𝑦𝑖𝑘 .. (3.6). k連線用戶的集合，而該集合中用戶的數量應為𝑛𝑘。透過簡. 單的對數運算，(3.6)可以輕易地改寫為:. max𝒚 ∑𝑘∈ ∑𝑖∈ 𝑘 l. 𝑦𝑖𝑘 = max𝒚 ∑𝑘∈ l. ∏𝑛𝑖 𝑘 𝑦𝑖𝑘 .. (3.7). 另外，由於對數為遞增函數，(3.7)等同於下列最佳化問題:. max. ∏𝑛𝑖 𝑘 𝑦𝑖𝑘 ,. 𝑠. 𝑡.. 𝑘 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖𝑘. 𝒚>𝟎. 1.. (3.8). 然後，根據算幾不等式(arithmetic-geometric mean inequality)，可以得知當 𝑦1𝑘 = 𝑦2𝑘 = ⋯ = 𝑦𝑛𝑘 = 1⁄𝑛𝑘 時，可以最大化目標值，關於算幾不等式之說. 26.
(35) 明與證明，詳見附錄A。於是，我們可以求得最佳之𝑦𝑖𝑘 為:. 𝑦𝑖𝑘 =. 1 𝑛𝑘. .. (3.9). 所以，(3.2)之目標可以改寫為:. max𝒙,𝒓,𝒏 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 l. 𝑟𝑖𝑘 − ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 l. 𝑛𝑘 .. (3.10). 令𝒃𝒊𝒌 = 𝐥𝐨𝐠 𝒓𝒊𝒌 ，可以使得(3.2)成為:. max. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 𝑏𝑖𝑘 − ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 l. s. t.. ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1 , ∑𝑖∈ 𝑦𝑖𝑘 1,. 𝒙,𝒓,𝒚. 𝑛𝑘. 𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1}, ∀ ∈ , 𝑘 ∈ 𝑦𝑖𝑘 ≥ 0, ∀ ∈ , 𝑘∈. , ,. (3.11). 接下來，我們利用拉格朗日乘數法(Lagrangian multiplier)，進一步處理 (3.5)之限制與(3.11)。為此，我們必須放寬𝑥𝑖𝑘，以使得其數值可為介於0與1間 之任何實數，而非原本0或1之整數。令𝝀 = {𝜆𝑘 |𝑘 ∈. }，可得拉格朗日函數. (Lagrangian function)如下:. (𝒙, 𝒏, 𝝀) = ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 𝑏𝑖𝑘 − ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 l. 𝑛𝑘 + ∑𝑘∈ 𝜆𝑘 (𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 ). = ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 (𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 ) + ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 (𝜆𝑘 − l. 𝑛𝑘 ).. (3.12). 然後，可利用如 2.4 節所介紹之對偶分解(dual decomposition)方法，將(3.11) 所對應之對偶方程式(Lagrangian dual function)寫成(3.13):. 27.
(36) min𝝀 (𝒙, 𝒏, 𝝀) = min𝝀 𝑓(𝒏, 𝝀) + 𝑔(𝒙, 𝝀). (3.13a). 其中， max. ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 (𝜆𝑘 − 𝑜𝑔 𝑛𝑘 ). 𝑚𝑎𝑥. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ (𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )𝑥𝑖𝑘. 𝑓 (𝒏, 𝝀) =. 𝑔(𝒙, 𝝀) =. 𝒏≥0. 𝒙. {𝑠. 𝑡. 𝑥𝑖𝑘 ∈ [0,1], ∀ ∈ , (3.1b). 𝑘∈. (3.13b). ,. (3.13c). 關於(3.13)如何求解，詳述於後。根據 2.4 節對偶分解法之介紹，(3.13b) 與(3.13c)會分別根據目前的𝝀，計算對應最佳的𝒏與𝒙。然後，針對該求得之𝒏 與𝒙，(3.13a)會判斷是否已經來到最佳解。如果不是最佳解，會繼續產生新 的𝝀。 . 首先，關於(3.13c)，其最大化過程如下。對於每個用戶i，各個維度的斜 率為:. 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝑘. = (𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 ),. (3.14). 由於，根據(3.1b)， ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1；因此，每個用戶i都必須利用有限的 數值𝑥𝑖𝑘 ，以達到最大化。為此，用戶i將選擇具有最大斜率(𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )的 維度k，讓𝑥𝑖𝑘 = 1，其餘為0。如此，可以得到(3.13c)最佳之𝒙。 . 接著，關於(3.13b)，可直接對𝑛𝑘 偏微分，以獲得該方向之斜率。然後， 使斜率為0，以獲得最大化之𝑛𝑘 。也就是. 𝜕𝑓 𝜕𝑛𝑘. = 𝜆𝑘 −. 𝜕 𝜕𝑛𝑘. (𝑛𝑘 𝑜𝑔 𝑛𝑘 ) = 𝜆𝑘 − ( 𝑜𝑔 𝑛𝑘 + 1) = 0,. (3.15). 根據(3.15)，可得𝑛𝑘 = 𝑒 (𝜆𝑘−1) 。收集所有𝑛𝑘 ，可得(3.13b)最佳之𝒏。 28.
(37) . 最後，對於(3.13a)而言，其斜率若為0時，則來到最佳解。也就是. 𝜕 𝜕𝜆𝑘. =. 𝜕 𝜕𝜆𝑘. (∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. − 𝜆𝑘 ) + ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 (𝜆𝑘 − l. 𝑛𝑘 ) ). = 𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 .. (3.16). 因此，若對於所有的k， 𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 全為0，(3.13)已求得最佳解𝒙；否 則， 𝜆𝑘 將變換新的數值，其變換幅度與各個維度的斜率𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 成 正比。. 最後，我們用稍後圖3-3之演算法1計算(3.13)的最佳解。須注意， (3.2)-(3.3)、(3.6)-(3.7)、(3.10)-(3.12)、(3.13b)之對數，皆為自然對數。另外， 由(3.13c)可以發現儘管𝑥𝑖𝑘 放寬在0到1間之任何實數，但是當得到最佳解時， 其所對應之𝑥𝑖𝑘 會非0即1。其理由如下。首先，在某次遞迴中，由於b𝑖𝑘 與λ𝑘 為 定值， (bik − λk )因此為已知。根據(3.1b)，∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1。於是，如要最大 化(3.13c)之目標，用戶i會選擇所有(𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )當中，數值最大所對應之AP k， 也就是k ∗ = ar max𝑘 (b𝑖𝑘 − λ𝑘 )；於是，𝑥𝑖𝑘 ∗ = 1；𝑥𝑖𝑘 = 0 ，∀k ≠ k ∗。因此， 該放寬並不影響𝑥𝑖𝑘 必須非0即1之限制。. 須注意隨著放寬𝑥𝑖𝑘 使其數值為介於0與1間之任何實數，(3.13a)為(3.11) 的對偶問題(dual problem)。由於(3.11)與(3.5)皆為線性等式(linear equalities)； 而且，明顯地存在可行解。以圖3-1為例，圖3-1(b)或3-1(c)即為其中一個可 行解。根據斯萊特的條件(Slater condition)，強對偶性(strong duality)將成立， 詳見附錄B。換句話說，(3.11)與(3.13a)所獲得之最佳目標值會相同。. 29.
(38) 1:. //input. , , 𝑏𝑖𝑘 , 𝜆𝑘. 2:. Given. ;. 3:. Given. 4:. Given 𝑏𝑖𝑘 , ∀ ∈ , ∀ 𝑘 ∈. 5:. 𝑥𝑖𝑘 = 0 , ∀ ∈ , ∀ 𝑘 ∈. 6:. 𝑛𝑘 = 0 ,∀ 𝑘 ∈. ;. 7:. 𝜆𝑘 = 0 ,∀ 𝑘 ∈. ;. ; ; ;. 8: δ = 0.01; //內建基本步伐 9: 10: //code: 11: do 12:. 𝑛𝑘 = 𝑒 (𝜆𝑘 −1) ；. 13:. 𝑥𝑖𝑘 = ar 𝑚𝑎𝑥𝒙 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ (𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )𝑥𝑖𝑘 ;. 14:. 𝜆𝑘 = 𝜆𝑘 − δ × (𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 );. 15: while 0 < 𝑥𝑖𝑘 < 1 AND ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1 AND 𝑛𝑘 − ∑𝑖∈𝐶 𝑥𝑖𝑘 ≠ 0 16: end while 17: return 𝒙. 圖 3-3:演算法 1。. 30.
(39) 關於演算法1的說明如下。首先，設定每個𝜆𝑘 之初始值。由於每個𝑏𝑖𝑘 為 已知，11-13行可計算出對應𝝀之最佳𝒏與𝒙；接著，在第15行判定演算法是 否終止。該終止的條件取決於(3.13a)是否已達到最佳，也就是每個維度的斜 率. 𝜕 𝜕𝜆𝑘. = (𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 )是否全為 0。若不為0，第14行計算新的步伐幅度，. 會等於基礎幅度δ乘上各個維度的斜率，也就是(𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 )。然後，繼續 進行11-15行之間的循環計算，直到終止條件成立為止。最後，輸出最佳解𝒙。 須注意，在(3.13b)與(3.13c)中，由於𝒙、𝒏在演算法執行中皆為整數之向量。 因此，演算法終止的條件，也就是每個(𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 )必須精確為0，而非僅 只是接近0。. 接下來，我們透過圖3-4之小型範例，以說明對偶分解(dual decomposition) 法或演算法1的計算過程。與圖3-1之範例類似，仍假設系統中有2個AP，3個 用戶；而且，用戶i與AP k之𝑏𝑖𝑘 如圖3-4(a)所示。根據窮舉法，最佳解之連線 為𝑥11 = 𝑥21 = 𝑥32 = 1，其餘為0，如圖3-4(b)所示。. 另一方面，對偶分解(dual decomposition)方法或演算法1，其過程如圖3-5 所 示 。 假 設 基 本 步 伐 δ = 0.5 ， 且 初 始 值 𝜆1 = 5、𝜆2 = 0 。 須 注 意 其 中 0×l. 1. 0×l. 0 ≅ 01。. 0 ≅ 0: 證明lim𝑥 lim𝑥. 0𝑥l. 0𝑥l. 𝑥 = lim𝑥. 所以可以得出: 0 × l. 𝑥 = 0，使用羅畢達法則(L'Hôpital's rule): log 𝑥 0 𝑥 1. = lim𝑥. 0 = 0。 31. 𝑥 1 0 −𝑥 2. = lim𝑥. 0. −𝑥 =0..
(40) (a). (b). 圖 3-4: (a)小型測試範例；(b)窮舉法最佳解之連線。. 首先，第一輪中，(𝜆1 , 𝜆2 ) = (5,0)。由於(𝑛1 , 𝑛2 )有4種可能，分別為(3,0)、 (2,1)、(1,2)、(0,3)。根據(3.13b)， . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (3,0)對應之目標值為3(5 − l. 3) + 0( 0 − l. 0) = 11.7；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (2,1)對應之目標值為2(5 − l. 2) + 1( 0 − l. 1) = 8.6；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (1,2)對應之目標值為1(5 − l. 1) + 2( 0 − l. 2) = 6.4；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (0,3)對應之目標值為0(5 − l. 0) + 3( 0 − l. 3) = −3.3。. 明顯地，由於其中最大目標值為11.7，對應的最佳解為(𝑛1 , 𝑛2 ) = (3,0)。其 次，根據(3.13c)，用戶i將計算所有(𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )，然後與其中最大數值所對應 之AP k進行連線。 . 對於用戶1來說，若與AP1連線，該數值為(12 − 5) = 7；若與AP2連線， 該數值為(5 − 0) = 5。因此，用戶1會選擇與AP1進行連線。. . 對於用戶2來說，若與AP1連線，該數值為(12 − 5) = 7；若與AP2連線， 該數值為(10 − 0) = 10。因此，用戶2會選擇與AP2進行連線。. . 對於用戶3來說，若與AP1連線，該數值為(5 − 5) = 0；若與AP2連線， 該數值為(12 − 0) = 12。因此，用戶3會選擇與AP2進行連線。. 因此，第一輪之用戶連線結果為𝑥11 = 𝑥22 = 𝑥32 = 1，其餘為0，如圖3-5(a) 所示。最後，如前所述，我們檢查終止條件是否成立。也就是說，對於所有 的k，(𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 )是否全為 0。然而，. 32.
(41) (a)第一輪: 𝜆1 = 5、 𝜆2 = 0. (b)第二輪: 𝜆1 = 4、 𝜆2 = 1. (c)第三輪: 𝜆1 = 3、 𝜆2 = 2 圖 3-5: 小型測試範例在演算法1之運算過程。. . 由於𝑛1 = 3，但∑𝑖∈ 𝑥𝑖1 = 𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 = 1；. . 且𝑛2 = 0，但∑𝑖∈ 𝑥𝑖2 = 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 2。. 因此，終止條件並未成立，必須繼續進行下ㄧ輪。而下一輪之𝝀，根據演算 法 1 的 17 行 ， 可 計 算 為 𝜆1 = 5 − 0.5 × (3 − 1) = 4 、 與 𝜆2 = 0 − 0.5 × (0 − 2) = 1，或(𝜆1 , 𝜆2 ) = (4,1)。. 接著，第二輪中，(𝜆1 , 𝜆2 ) = (4,1)。由於(𝑛1 , 𝑛2 )有4種可能，分別為(3,0)、 (2,1)、(1,2)、(0,3)，根據(3.13b)， . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (3,0)對應之目標值為3(4 − l. 3) + 0( 1 − l. 0) = 8.7；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (2,1)對應之目標值為2(4 − l. 2) + 1( 1 − l. 1) = 7.6；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (1,2)對應之目標值為1(4 − l. 1) + 2( 1 − l. 2) = 4.6；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (0,3)對應之目標值為0(4 − l. 0) + 3( 1 − l. 3) = −0.3。. 明顯地，由於其中最大目標值為8.7，對應的最佳解為(𝑛1 , 𝑛2 ) = (3,0)。其次， 33.
(42) 根據(3.13c)，用戶i將計算所有(𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )，然後與其中最大數值所對應之AP k 進行連線。 . 對於用戶1來說，若與AP1連線，該數值為(12 − 4) = 8；若與AP2連線， 該數值為(5 − 1) = 4。因此，用戶1會選擇與AP1進行連線。. . 對於用戶2來說，若與AP1連線，該數值為(12 − 4) = 8；若與AP2連線， 該數值為(10 − 1) = 9。因此，用戶2會選擇與AP2進行連線。. . 對於用戶3來說，若與AP1連線，該數值為(5 − 4) = 1；若與AP2連線， 該數值為(12 − 1) = 11。因此，用戶3會選擇與AP2進行連線。. 因此，第二輪之用戶連線結果為𝑥11 = 𝑥22 = 𝑥32 = 1，其餘為0，如圖3-5(b) 所示。最後，如前所述，我們檢查終止條件是否成立。也就是說，對於所有 的k，(𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 )是否全為 0。然而， . 由於𝑛1 = 3，但∑𝑖∈ 𝑥𝑖1 = 𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 = 1；. . 且𝑛2 = 0，但∑𝑖∈ 𝑥𝑖2 = 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 2。. 因此，終止條件並未成立，必須繼續進行下ㄧ輪。而下一輪之𝝀，可計算為 𝜆1 = 4 − 0.5 × (3 − 1) = 3、與𝜆2 = 1 − 0.5 × (0 − 2) = 2 、 或 (𝜆1 , 𝜆2 ) = (3,2)。. 最後，第三輪中，(𝜆1 , 𝜆2 ) = (3,2)。其中(𝑛1 , 𝑛2 )有4種可能，分別為(3,0)、 (2,1)、(1,2)、(0,3)，根據(3.13b)， . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (3,0)對應之目標值為3(3 − l. 3) + 0( 2 − l. 0) = 5.7；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (2,1)對應之目標值為2(3 − l. 2) + 1( 2 − l. 1) = 6.6；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (1,2)對應之目標值為1(3 − l. 1) + 2( 2 − l. 2) = 5.6；. . (𝑛1 , 𝑛2 ) = (0,3)對應之目標值為0(3 − l. 0) + 3( 2 − l. 3) = 2.7。. 明顯地，由於其中最大目標值為6.6，對應的最佳解為(𝑛1 , 𝑛2 ) = (2,1)。其次， 根據(3.13c)，用戶i將計算所有(𝑏𝑖𝑘 − 𝜆𝑘 )，然後與其中最大數值所對應之AP k 34.
(43) 進行連線。 . 對於用戶1來說，若與AP1連線，該數值為(12 − 3) = 9；若與AP2連線， 該數值為(5 − 2) = 3。因此，用戶1會選擇與AP1進行連線。. . 對於用戶2來說，若與AP1連線，該數值為(12 − 3) = 9；若與AP2連線， 該數值為(10 − 2) = 8。因此，用戶2會選擇與AP1進行連線。. . 對於用戶3來說，若與AP1連線，該數值為(5 − 3) = 2；若與AP2連線， 該數值為(12 − 2) = 10。因此，用戶3會選擇與AP2進行連線。. 因此，第三輪之用戶連線結果為𝑥11 = 𝑥21 = 𝑥32 = 1，其餘為0，如圖3-5(c) 所示。最後，我們檢查終止條件是否成立。也就是說， 對於所有的k， (𝑛𝑘 − ∑𝑖∈ 𝑥𝑖𝑘 )是否全為 0: . 𝑛1 = 2，且∑𝑖∈ 𝑥𝑖1 = 𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 = 2；. . 𝑛2 = 1，且∑𝑖∈ 𝑥𝑖2 = 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 1。. 因此，終止條件成立。因此，對偶分解(dual decomposition)方法之最佳解為 𝑥11 = 𝑥21 = 𝑥32 = 1，其餘為0。. 可以發現使用對偶分解法與窮舉法所得到的最佳解𝑥𝑖𝑘 皆相同，分別如圖 3-4(b)與3-5(c)所示。根據該最佳解𝑥𝑖𝑘，可透過(3.5)獲得𝑛𝑘。然後，根據𝑛𝑘 ， 可利用(3.9)計算每個用戶之𝑦𝑖𝑘。於是，用戶連線與資源分配的問題，便可分 別找到其最佳解 x 與 y。須注意(3.13)不僅可以用演算法1的方式實現，也可 以適用於分散的系統環境。換句話說，(3.13b)之最大化可以在AP端執行；而 (3.13c)之最大化可以在用戶端執行。關於分散式的演算法設計，將於3.4節中 詳細說明。. 3.3 用戶頻寬的需求 關於資源分配，除了要顧及用戶間的公平性之外，也希望可以盡量滿足 35.
(44) 每個用戶的需求(demand)。為此，我們在本節中加上用戶的需求限制，以使 得 AP 能更針對性分配寶貴的通道資源。為此，我們增加用戶的需求限制如 下: 𝑧. 𝑦𝑖𝑘. 𝑘. ,. (3.17). 其中，𝑧𝑖 (bits/sec)代表用戶i所希望獲得的資料傳輸速率。如此一來，便可 以避免AP分配過多資源給用戶i，AP也可將資源分配給其他有需要的用戶。. 因此， (3.11)可以改寫為(3.18):. max 𝒙,𝒓,𝒚. s. t.. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 𝑏𝑖𝑘 − ∑𝑘∈ 𝑛𝑘 l. 𝑛𝑘. ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1 , 𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1}, ∀ ∈ , 𝑘 ∈ ∑𝑖∈ 𝑦𝑖𝑘 1 , 𝑦𝑖𝑘 ≥ 0 , ∀ ∈ , 𝑘 ∈ 𝑧 , ∀ ∈ , 𝑘∈ 𝑦𝑖𝑘 𝑘. (3.18a) , , ,. (3.18b) (3.18c) (3.18d). 其中，由於(3.18a)、(3.18b)、(3.18c)與(3.11)完全相同，因此可使用3.2節的 對偶分解方法，或演算法1，進行求解。但是，針對(3.18d)，我們會檢查演 算法1之輸出。若其中包含已經滿足需求的用戶，除了將該用戶移至另一個 集合，並將恰好滿足該用戶需求之資源，分配給這些用戶。然後，針對剩餘 的用戶與剩餘的資源，重新執行演算法1，直到無法移動任何用戶到該集合 為止。上述之完整作法如演算法2，如圖3-6所示，並詳細說明如下。. 36.
(45) 1:. //input 𝑏𝑖𝑘 , 𝜆𝑘 ,. 2:. 𝒩 = {∅};. ,. 3: Given ; 4:. Given. ;. 5: Given ℳ ; //包含所有連線的用戶 6:. Given 𝑧𝑖 , ∀i ∈ ;. 7:. Given 𝑏𝑖𝑘 , ∀ ∈ , ∀ 𝑘 ∈. 8:. 𝑥𝑖𝑘 = 0 , ∀ ∈ , ∀ 𝑘 ∈. 9:. 𝑛𝑘 = 0 ,∀ 𝑘 ∈. ;. 10: 𝜆𝑘 = 0, ∀ 𝑘 ∈. ;. ;. 11: 𝑦𝑖𝑘 = 0 , ∀ ∈ , ∀ 𝑘 ∈ 12: 𝑚𝑘 = 0 , ∀ 𝑘 ∈. ;. ;. ;. 13: 14: //code: 15: do 16:. Algorithm 1(𝑏𝑖𝑘 , 𝜆𝑘 ,. 17:. 𝑦𝑖𝑘 =. 18:. if 𝑦𝑖𝑘. (1 − 𝑚𝑘 )⁄ 𝑛𝑘 ; 𝑧 𝑘. then. 19:. i. 20:. ℳ = ℳ \{ i } ;. 21:. ,ℳ);. 𝒩; //從集合中去掉滿足需求的用戶 i. end if. 22: 23: 24:. if i. 𝒩 then 𝑚𝑘 = 𝑚𝑘 +. 𝑧i i𝑘. ;. //已經用掉的資料量 37.
(46) 25:. end if. 26: while. 𝑦𝑖𝑘. 𝑧 𝑘. 27: end while 28: return 𝒙. 圖 3-6:演算法 2。. 首先，將所有用戶加入集合ℳ。每一輪，針對集合ℳ之用戶，在16、17行， 會透過演算法1獲得連線解𝒙後，以計算出每個用戶新的資源分配𝑦𝑖𝑘。接著， 在18-21行，檢查用戶i之𝑦𝑖𝑘 是否已滿足其需求；若已滿足，則將該用戶移至 集合𝒩。然後，在23-25行中，計算系統已使用之資源，或已配置給用戶之 資源，會恰等於集合𝒩中所有用戶需求之總和。根據該計算結果，便可以在 下一輪時，根據剩餘的資源決定新的資源分配𝑦𝑖𝑘 。該演算法之終止條件， 如26行，即集合ℳ是否仍存在新的資源分配足以滿足需求的用戶；若有， 則繼續下一輪運算，直到集合ℳ中無法找到可滿足於新的資源分配之用戶為 止。. 須注意演算法2使得需求較小的用戶，在需求已滿足的前提下，將多餘 的通道資源分配給需求尚未滿足的用戶，這是演算法 1 所無法做到的。關於 演算法2之資源配置，可能發生下列 3 種情況:. (a) 皆不滿足用戶之需求； (b) 皆滿足用戶之需求； (c) 部分滿足，但另一部分不滿足用戶之需求。. 情況(a)發生於用戶所需要的通道資源皆大於AP所分配給用戶的通道資. 38.
(47) 源；情況(b)發生於用戶所需要的通道資源皆少於AP所分配的通道資源。上 述兩種情況，使用演算法1即可完成資源配置。因此，演算法2主要對付(c) 的情況。稍後，在第四章中，數值結果顯示當情況(c)發生時，使用演算法2， 相較於演算法1，可以提高3倍之吞吐量。. 3.4 用戶之權重 在連線的最佳化問題中，除了如3.3節用戶頻寬需求的限制之外，我們在 本節考慮用戶之權重. max 𝒙,𝒓,𝒚. s. t.. 𝑖 ，使得(3.2)改寫為(3.19):. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖. l. 𝑟𝑖𝑘 𝑦𝑖𝑘. (3.19a). ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1 , 𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1}, ∑𝑖∈ 𝑦𝑖𝑘 1, 𝑦𝑖𝑘 ≥ 0,. ∀ ∈ , ∀ ∈ ,. 𝑘∈ 𝑘∈. (3.19b) (3.19c). , ,. 類似3.2節之過程，假設𝑥𝑖𝑘 是已知的，或𝒙為可行解。然後，便可藉此求 得該可行解對應之𝑟𝑖𝑘 與最佳之𝑦𝑖𝑘 ，詳細過程說明如後。首先，類似3.2節之 (3.3)，可將(3.19)之目標改寫為 :. max𝒙,𝒓,𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖. l. 𝑟𝑖𝑘 𝑦𝑖𝑘 = max𝒙,𝒓,𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. = max𝒙,𝒓,𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ (𝑥𝑖𝑘. 𝑖. l. 𝑟𝑖𝑘 + 𝑥𝑖𝑘. 𝑖. l. 𝑖 (l. 𝑟𝑖𝑘 + l. 𝑦𝑖𝑘 ) .. 𝑦𝑖𝑘 ). (3.20). 其中，𝑟𝑖𝑘 可以從香濃定理(3.4) (Shannon's theorem)求得。因此，(3.20)前 面部分為定值。為了計算𝑦𝑖𝑘 ，類似3.2節之(3.5)，令𝑛𝑘′ 為所有與AP k連線的 用戶權重之總和，也就是:. 𝑛𝑘′ = ∑𝑖∈. 𝑖. 39. 𝑥𝑖𝑘 .. (3.21).
(48) 由於𝑥𝑖𝑘 是已知的，為了計算最佳之𝑦𝑖𝑘，類似3.2節之(3.6)，可將(3.20)之後面 部分改寫為：. max𝒚 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 其中，. 𝑘 代表所有與AP. 𝑖l. 𝑦𝑖𝑘 = max𝒚 ∑𝑘∈ ∑𝑖∈. 𝑖. 𝑘. l. 𝑦𝑖𝑘 .. (3.22). k連線用戶的集合。為了簡單說明起見，先假設權重. ′ 𝑖 為整數，根據(3.21)，明顯地，𝑛𝑘 為整數。透過簡單的對數運算，類似3.2節之. (3.7)，(3.22)可以改寫為:. max𝒚 ∑𝑘∈ ∑𝑖∈. 𝑘. 𝑖l. 𝑦𝑖𝑘 = max𝒚 ∑𝑘∈ l. 𝑛′. ∏𝑖 𝑘 𝑦𝑖𝑘 .. (3.23). 另外，類似3.2節之(3.8)，由於對數為遞增函數，(3.23)等效於下列最佳化問 題:. 首先，由於假設權重 把原本一個用戶i視為 為 ∑𝑖. 𝑛′. max 𝒚>𝟎. ∏𝑖 𝑘 𝑦𝑖𝑘 ,. 𝑠. 𝑡.. ′ 𝑛𝑘 ∑𝑖=1 𝑦𝑖𝑘. 𝑖 為整數，𝑦𝑖𝑘. (3.24) 1.. 可以看成是. 𝑖 個𝑦𝑖𝑘 相乘，也就是. 𝑖 個用戶i。所以，(3.24)可以視為AP. k之總連線用戶數. ′ 𝑖 的資源分配。根據(3.18)，可以知道該總連線用戶數為𝑛𝑘 。然後，類. 似3.2節之(3.9)，根據算幾不等式，詳見附錄A，可以得知當𝑦1𝑘 = 𝑦2𝑘 = ⋯ … = 𝑦𝑛𝑘′𝑘 = 1⁄𝑛′ 時，可以最大化(3.24)之目標值。最後，將 𝑘. 𝑖 個用戶i重新合併視. 為1個用戶i。於是，我們可以求得最佳之𝑦𝑖𝑘 ，如下:. 𝑦𝑖𝑘 =. ′ 𝑛𝑘. 40. .. (3.25).
(49) 須注意上述做法不僅只適用於. 𝑖 為整數，甚至它可以是有理數，詳細說明於. 附錄C。如3.2節之(3.11)，令𝑏𝑖𝑘 = l. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖. l. 𝑟𝑖𝑘 ，可以使得(3.19)之目標成為:. 𝑟𝑖 𝑦𝑖𝑘 = ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖. l. 𝑟𝑖 + ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. = ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖 𝑏𝑖𝑘. + ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. = ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖 𝑏𝑖𝑘. − ∑𝑘∈ 𝑛𝑘′ l. 𝑖. 𝑖. l. l. 𝑦𝑖𝑘 1 ′ 𝑛𝑘. 𝑛𝑘′ .. (3.26). , ,. (3.27). 也就是說，完整的(3.19)可寫成:. max. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. s. t.. ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘 = 1, ∑𝑖∈ 𝑦𝑖𝑘 1,. 𝒙,𝒓,𝒚. 𝑖 𝑏𝑖𝑘. − ∑𝑘∈ 𝑛𝑘′ l. 𝑛𝑘′. 𝑥𝑖𝑘 ∈ {0,1}, ∀ ∈ , 𝑘 ∈ 𝑦𝑖𝑘 ≥ 0, ∀ ∈ , 𝑘∈. 接下來，類似3.2節之(3.12)，我們利用拉格朗日乘數法，進一步處理(3.21) 與(3.27)。為此，與3.2節相同，我們放寬𝑥𝑖𝑘，以使得其數值可為介於0與1間 之任何實數，而非原本0或1之整數。令𝝀 = {𝜆𝑘 |𝑘 ∈ 𝐴}，可得拉格朗日函數 如下:. (𝒙, 𝒏′ , 𝝀) = ∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. − 𝜆𝑘 ) + ∑𝑘∈ 𝑛𝑘′ (𝜆𝑘 − l. 𝑛𝑘′ ).. (3.28). 然後，類似3.2節之(3.13)，可利用如 2.4 節所介紹之對偶分解方法，將(3.27) 所對應之對偶方程式寫成(3.29):. 41.
(50) min𝝀 (𝒙, 𝒏′ , 𝝀) = min𝝀 𝑓 (𝒏′ , 𝝀) + 𝑔(𝒙, 𝝀). (3.29a). 其中， 𝑓 ( 𝒏′ , 𝝀 ) = 𝑔(𝒙, 𝝀) =. max ′. ∑𝑘∈ 𝑛𝑘′ (𝜆𝑘 − 𝑜𝑔 𝑛𝑘′ ). 𝑚𝑎𝑥. ∑𝑖∈ ∑𝑘∈. 𝒏 ≥0 𝒙. 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. (3.29b). − 𝜆𝑘 )𝑥𝑖𝑘. {𝑠. 𝑡. 𝑥𝑖𝑘 ∈ [0,1], ∀ ∈ , (3.1b). 𝑘∈. ,. (3.29c). 其中，由(3.29c)可以發現儘管𝑥𝑖𝑘 放寬在0到1間之任何實數，但是當得到最 佳解時，其所對應之𝑥𝑖𝑘 會非0即1。其理由如 3.2 節(3.13c)之說明。因此，該 放寬並不影響𝑥𝑖𝑘 必須非0即1之限制。. 關於(3.29)與(3.13)的異同，詳細討論如後。. . 首先，須注意(3.29)仍可採用(3.13)之演算法1求最佳解，唯其中第14行 須改為𝜆𝑘 = 𝜆𝑘 − δ × (𝑛𝑘′ − ∑𝑖∈ 所有的 (𝑛𝑘′ − ∑𝑖∈. 𝑖 𝑥𝑖𝑘 )；且第15行之終止條件變成判斷. 𝑖 𝑥𝑖𝑘 ) 是否全為0。這是因為(3.29a)之斜率，類似於. (3.16)，. 𝜕 𝜕𝜆𝑘. =. 𝜕 𝜕𝜆𝑘. (∑𝑖∈ ∑𝑘∈ 𝑥𝑖𝑘. = 𝑛𝑘′ − ∑𝑖∈ . 𝑖 𝑥𝑖𝑘. 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. − 𝜆𝑘 ) + ∑𝑘∈ 𝑛𝑘′ (𝜆𝑘 − 𝑜𝑔 𝑛𝑘′ )). .. (3.30). 其次，對於(3.29b)，類似於(3.15)，可直接對𝑛𝑘′ 偏微分，以獲得最大化 之𝑛𝑘′ ，即𝑛𝑘′ = 𝑒 (𝜆𝑘−1) 。然而，須注意該𝑛𝑘′ 與(3.15)之𝑛𝑘 不同；前者為用 戶權重之總和，而後者為用戶數量。. . 接著，關於(3.29c)，類似於(3.14)，用戶i將選擇具有最大斜率. 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. − 𝜆𝑘 ). 的維度k，讓𝑥𝑖𝑘 = 1，其餘為0。須注意對於用戶i來說，所有斜率 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. − 𝜆𝑘 )中的. 對用戶i來說，. 𝑖 值皆相同。這是因為權重. 𝑖 只因用戶而改變。因此，. 𝑖 不影響最佳解𝒙的選擇，因此可被忽略。. 42.
(51) 演算法 3a (用戶端) 1.. 測定用戶與AP之距離來推算 SNR，並從每個AP k接收𝜆𝑘 廣播. 2.. 解決𝑥𝑖𝑘 = ar 𝑚𝑎𝑥𝒙 ∑𝑖∈ ∑𝑘∈. 𝑖 (𝑏𝑖𝑘. − 𝜆𝑘 )𝑥𝑖𝑘. 演算法 3b (AP 端) 1.. 解決(3.29b)藉由設定𝑛𝑘′ (𝑡 + 1) = 𝑒 (𝜆𝑘(𝑡)−1). 2.. 更新𝜆𝑘 藉由令. 𝜆𝑘 (𝑡 + 1) = 𝜆𝑘 (𝑡 ) − δ(𝑡 ) × (𝑛𝑘′ (𝑡 ) − ∑𝑖∈. 𝑖 𝑥𝑖𝑘 ). 圖 3-7:演算法 3。. . 最後，(3.29)與(3.13)各自𝜆𝑘 的演進變化並不同。在(3.13)中，𝜆𝑘 的演進變 化會使得每個AP所連線的用戶數量趨向相同；然而，在(3.29)中，𝜆𝑘 的 演進變化會使得每個AP 所連線的用戶權重之總和趨向相同。如此一來， 導致(3.13)與(3.29)之最佳解不相同。除此之外，(3.29)增加考慮用戶的權 重 ， 除 了 造 成 斜 率 改 變 為 (𝑛𝑘′ − ∑𝑖∈ 𝑛𝑘′ − ∑𝑖∈𝐶 𝑛𝑘′ = ∑𝑖∈. 𝑖 𝑥𝑖𝑘. 𝑘. ； 並 使 得 資 源 分 配 𝑦𝑖𝑘 =. 𝑖，使得𝑦𝑖𝑘. =∑. 𝑖 𝑥𝑖𝑘 ) ， 或 步 伐 幅 度 變 更 為 ′ 𝑛𝑘. 。 須 注 意 ， 根 據 (3.21) ，. ；換句話說，AP會根據權重的比例進行 ∈ 𝑘. 分配。. (3.29)可以用分散式的方法求解。為此，我們提出演算法3，如圖3-7。根 據演算法3，用戶端可以測定用戶i與AP k之距離，然後，依照2.2節所述計算 SNR，並如3.2節的方式得到𝑏𝑖𝑘。然後，每個AP會傳送出𝜆𝑘。用戶收到𝜆𝑘 後， 會求解(3.29c)，試圖決定其𝑥𝑖𝑘 ，或確定該用戶要與哪個AP進行連線。這些 過程發生在用戶端，即演算法3a。然後，在AP端(演算法3b)，計算(3.29b) 的最佳解，如前所述，也就是𝑛𝑘′ = 𝑒 (𝜆𝑘−1) ；並更新步伐𝜆𝑘 ，其變化幅度正 比於𝑛𝑘′ − ∑𝑖∈. 𝑖 𝑥𝑖𝑘 。. 43.
(52) 第四章. 數值結果與討論. 在本章中，我們透過電腦模擬，以獲得第三章演算法之結果，並檢驗本 論文所提出連線最佳化問題之性能，其中，模擬使用MATLAB軟體。首先， 4.1節介紹實驗環境的設置。接著，4.2、4.3節分別呈現最佳化問題在演算法 1、2的結果，並比較兩者之間的差別、優劣；除此之外，我們展現加入考慮 用戶需求的演算法2，其吞吐量可顯著優於演算法1。最後，4.4節評估演算 法3之表現，比較加入權重前後，最佳化問題之變化。. 4.1 實驗環境 表 2 :模擬所採用之參數 參數名(Parameters). 參數值(Value). 頻寬. 1 GHz. 頻段. 28 GHz [6]. 雜訊功率頻譜密度. −174 𝑑𝐵𝑚/𝐻𝑧 [6]. [6]. 接收端的噪音因數(noise figure, NF). 6 dB. [6]. 用戶數量. 150. [6]. 接入點(access point, AP)數量. 5. [6]. 在本節中，為了清楚地展現連線最佳化問題中，用戶的連線與AP的資源 分配，我們設定較實際的參數與系統環境，以模擬第3章所提出之演算法， 包含演算法1、2和3。MATLAB模擬所使用的相關參數，如表2所列。除此之 外，如第三章所述，𝑧𝑖 為用戶i所希望獲得的資料傳輸速率， 重，將成為考慮用戶需求時所使用的參數。. 44. 𝑖 為用戶i的權.
(53) 圖 4-1：AP 與用戶的位置分布結果圖。. MATLAB模擬的系統環境設定說明如後。首先，我們先獲得 AP 與用戶 的位置，以取得兩者間的距離𝑑𝑖𝑘 。為此，我們讓 AP 的位置，如圖4-1以 (150,150)為中心、80 m為半徑，均勻分布於該範圍中。同樣地，用戶位置， 仍以(150,150)為中心、150 m為半徑，均勻分布於該範圍中。位置分布結果， 可如圖 4-1 所示，其中黑色三角形為AP的位置，藍色空心圓為用戶的位置。. 4.2 連線最佳化問題的結果與討論 在決定AP與用戶的位置之後，即可使用MATLAB針對最佳化問題(3.2)， 或演算法1進行模擬。其結果如圖4-2，顯示演算法1模擬後，用戶的連線選 擇。. 45.
(54) 圖 4-2：AP 與用戶的連線結果圖。其中，不同的連線顏色代表用戶與對 應顏色的 AP 進行連線。. 4.2.1. 分析部分 如圖4-2，用戶的連線選擇說明如後。首先，根據3.2節之(3.13)，用戶會 傾向於與較近的AP進行連線。這是因為，根據(3.13c)，各維度的斜率分別為 (𝑏𝑖𝑘 − λ𝑘 )，(3.13c)之最大化，會使得用戶選擇與具有最大斜率的AP進行連 線。因此，距離愈小，訊雜比愈大，如 2.2 節之介紹。換言之， 𝑏𝑖𝑘 愈大，斜 率愈大。如圖4-2，可以看出AP旁的用戶，很多都與AP同顏色，說明大部分 用戶選擇與較近的AP進行連線。. 接著，可以發現並非所有用戶都與最近的AP進行連線，少部分用戶仍會 選擇較遠、但負載較小的AP進行連線。其理由如後。. 46.
Outline
相關文件
Soille, “Watershed in Digital Spaces: An Efficient Algorithm Based on Immersion Simulations,” IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,
F., “A neural network structure for vector quantizers”, IEEE International Sympoisum, Vol. et al., “Error surfaces for multi-layer perceptrons”, IEEE Transactions on
Kyunghwi Kim and Wonjun Lee, “MBAL: A Mobile Beacon-Assisted Localization Scheme for Wireless Sensor Networks,” The 16th IEEE International Conference on Computer Communications
Krishnamachari and V.K Prasanna, “Energy-latency tradeoffs for data gathering in wireless sensor networks,” Twenty-third Annual Joint Conference of the IEEE Computer
Selcuk Candan, ”GMP: Distributed Geographic Multicast Routing in Wireless Sensor Networks,” IEEE International Conference on Distributed Computing Systems,
Kyunghwi Kim and Wonjun Lee, “MBAL: A Mobile Beacon-Assisted Localization Scheme for Wireless Sensor Networks”, the 16th IEEE International Conference on Computer Communications
Zhang, “ Face recognition using Laplacianfaces,” IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. Zhang, “Orthogonal Laplacianfaces for face
Chan, “Effect of Intermetallic Compounds on the Thermal Fatigue of Surface Mount Solder Joints,” IEEE Transactions on Components, Packaging, and Manufacturing Technology B, Vol.
