0929 數學第一冊解答

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0929 數學第一冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設0    ，且2sin2_{  11cos  7  0，則  (A)} 6  (B) 3  (C)2 3 (D) 3 4 【093 年歷屆試題.】 解答 B

解析 2sin2_{ 11cos 7  0  2(1  cos}2_{ )  11cos 7  0}

 2cos2_{ 11cos 5  0  (2cos 1)(cos 5) }

0 1 cos 2    （∵  1  cos 1） 又0  ∴ 3   （ ）2.若數線上A x 到

 

B

 

3 的距離為 5 ，則x到原點的距離 為 (A) 9 或 3 (B)8 或 2 (C) 7 或 3 (D) 6 或 2 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 x 3 5  x  3 5  x8或2 所求  x 0 8或2 （ ）3.設A(2,  3)，B(4,1)，則|AB| (A) 10 (B) 5 (C) 2 5 (D) 2 10 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ AB(42,1 3) (2, 4) ∴ 2 2 |AB| 2 4  202 5 ∴ 選(C) （ ）4.已知L1、L2為與直線3x  4y  0 平行的二直線。若 L1 過點(  29,23)，L2過點(31,23)，則此二平行線間的距 離為何？ (A)23 (B)36 (C)48 (D)60 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1：3x  4y  k1 0，L2：3x  4y  k2 0 ∵ L1過點(  29,23) ∴ 3  (  29)  4  23  k1 0  k1 5 ∵ L2過點(31,23) ∴ 3  31  4  23  k2 0  k2 185 則L1：3x  4y  5  0，L2：3x  4y  185  0 因此二平行線L1、L2間的距離 1 2 _{2 2} | 5 ( 185) | 180 ( , ) 36 5 3 4 d L L       

（ ）5.若f(x)  1  sin(2x)  4(sinx  cosx)，則 f(x)的最小值為

何？ (A)  8 (B)  4 (C) 2 4 2 (D) 2 4 2 【097 年歷屆試題.】

解答 C

解析 令 sinx  cosx  t，其中 2 t 2  (sinx  cosx)2  t2

 sin2_{x  2sinxcosx  cos}2_{x  t}2 _{ 1  2sinxcosx  t}2

 2sinxcosx  t2 1

原式：f(x)  1  sin(2x)  4(sinx  cosx)  1  2sinxcosx  4(sinx  cosx)  f(t)  1  (t2 1)  4t  t2 4t  (t2 4t  4)  4  (t  2)2_{ 4} 又 2 t 2 ∴ 當t  2時 2 ( ) ( 2) ( 2 2) 4 (2 4 2 4) 4 2 4 2 f t  f            為最小值 故f(x)的最小值為24 2 （ ）6.設A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點，若 AB 在 AC 上的正射影為 AD ，則|AD：| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)  AB(2, 2) ， (3, 4) AC  AB在AC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD：| |AC||AB AC | |：AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3：  ( 4) ) 14 : 25 （ ）7.A(1,3)， ( 2,3 3 3)B   ，|AB| (A)  6 (B)6 (C) 3 2 (D) 2 3 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）8.設 7 6 x 6  _{ }  ，若f(x)  cos2_{x  sinx  1 之最大、最小} 值分別為M 及 m，則 M  2m  (A)9 4(B) 7 4(C)2(D)1 【龍騰自命題.】 解答 A

解析 f(x)  cos2x  sinx  1  1  sin2x  sinx  1

2 1 9 (sin ) 2 4 x    

－ 2 － ∵ 7 1 sin 1 6 x 6 2 x  _{      } （如圖所示） (1)sin 1 2 x  時， 9 4 M  (2)sinx  1 時，m  0 ∴ 2 9 4 M  m （ ）9.如圖，h 值為 (A)150( 3 1) (B)100 3 (C) 200( 3 2) (D) 100( 6 2) 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 h2_{ (h  300)}2_{ (2h)}2 _{ h}2_{ h}2_{ 600h  90000  4h}2 ∴ 2h2_{ 600h  90000  0} h2_{ 300h  45000  0} 150 150 3 h   （負不合） ∴ h150 150 3 150( 3 1) （ ）10.已知二向量 a  ( 2, 4)， b (1, 2)，則| a 3 b |等 於 (A) 29 (B) 2 7 (C)29 (D)28 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 3 ( 2, 4) 3 (1, 2) ( 2, 4) (3, 6) ( 5, 2) a  b           ∴ 2 2 | a 3 b | ( 5)  ( 2)  29 （ ）11.設二次函數f x 滿足

 

f

 

0  f

 

1 3， f

 

 1 1， 則 f

 

 2 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 設_{f x}

 

_ax2_bx_c

 

 

 

0 3 ₃ 1 3 3 1 1 1   _{ }  _         _{     }  f _c f a b c a b c f 1  a  ，b1，c3 ∴

 

2 3     f x x x

 

2 4 2 3 3  f        （ ）12.若函數_{f x}

 

_2x2_ax_{b 的圖形過點}

 

_{2,0 ，且頂點} 在x軸上，則數對

 

a b,  (A)

 

8,8 (B)



8, 8



(C)



8,8



(D)



 8, 8



【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 f

 

2 0  8 2 a b 0  b  2a 8 ∴

 

2 2 2 8     f x x ax a 2 2 2 2 8 4 8    _  _      a a x a ∵ 頂點 2 , 2 8 4 8           a a a 在x軸上 ∴ 2 2 2 8 0 16 64 0 8   a a   a  a  8 16 8 8  a   b  

  

a b,  8,8



（ ）13.有關二次函數f(x)  x2 _{ 2x  7 的敘述何者錯誤？} (A)圖形開口向上 (B)圖形的最高點為(  1,  8) (C) 有最小值f(  1)   8 (D)圖形的對稱軸為 x  1  0 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 f(x)  x2 2x  7 (A)a  1  0 ∴ 開口向上 (B)f(x)  (x2 2x  1)  1  7  (x  1)2 8 ∴ 最低點 為(  1,  8) (C)最小值 f(  1)  8 (D)對稱軸：x  1  0 （ ）14.若A



2, 3



、B



1, 2 3



，則 AB 的方向角為 (A) 45 (B) 60 (C) 90 (D)120 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 令AB的方向角為

 



1 2,2 3 3





3,3 3



       AB

 

₂

 

2 3 3 3 6     AB ∵ cos 3 1 6 2      ，sin 3 3 3 6 2    ∴  120 （ ）15.某人離一棵樹20 公尺，且由地面上測得樹頂的仰角為

－ 3 － 30，則樹高為 (A)10 公尺 (B)20 公尺 (C)20 3 3 公尺 (D)40 3 公尺 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）16.一直線L 過₁

 

2,3 、



3, 1



兩點，另一直線L 過₂



3, 2



且與L 垂直，則₁ L 的方程式為 (A)₂ 4 11 0    x y (B)x4y 5 0 (C) 4x y 140 (D) 4x y 100 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析

 

1 3 1 4 2 3       L m ∵ L₁L₂ ∴ _{1 2} 1 ₂ 1 4      L L L m m m

 





2 1 : 2 3 4 11 0 4         L y x x y

（ ）17.ysec 2x的週期和下列何者相同？ (A)ytanx

(B)ysinx (C) cos 2 x y (D)ycot 2x 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 ysec 2x之週期為2 | 2 |  (A)之週期為 (B)之週期為2 (C)之週期為2 4 1 | | 2  _  (D)之週期為 | 2 | 2  _

（ ）18.sin2_{45  cos}2_{45  tan}2_{70  sec}2_{70  (A)0 (B)1}

(C)2 (D)2

3 (E)  1

【課本練習題-自我評量.】

解答 A

解析 原式  (sin245 cos245)  (tan270 sec270)  1  (  1)  0 （ ）19.如圖， C、D、E、F 將 AB 五等分，若CEy BD，則y  (A) 3 2  (B) 2 3  (C)2 3 (D) 3 2 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）20.若 a   



2, 1



， 1,0 3        b ， c 



0, 3



，



5, 7



  d ，則 a3b 2 c  d  (A)



6,12



(B)



6,12



(C)



6, 12



(D)



 6, 12



【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 a3b 2 c  d    



2, 1

   

1,0  0, 6 

 

5, 7



          



2 1 0 5, 1 0

   

6 7





6,12



  （ ）21.不論a 為任何實數，直線(2  a)x  (1  4a)y  3  2a  0 恆過下列哪一定點？ (A)(1,2) (B)(  2,1) (C)(2,0) (D)(1,1) 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 (2  a)x  (1  4a)y  3  2a  0  (2x  y  3)  a(x  4y  2)  0 2 3 0 4 2 0 x y x y       _{  }    2  得 7y  7  0  y  1 代入 得x  2 ∴ 必過點(  2,1) （ ）22.若| a | 2 ，| b | 3 ，| c | 5 ，且 0 a b c  ，則| 2 a 3 b 4 c | (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ a b c  0 ∴ 2 a 3b 4 c  b2 c  b c   a  | b  c |2 | a |2  2 2 2 | b | 2 b c | c | | a |  2 2 2 3 2 b c 5 2  b  c  15 ∴ 2 2 | 2 a 3 b 4 c | | b 2 c | 2 2 2 2 | b | 4 b c 4 | c | 3 4 ( 15) 4 5 49            ∴ | 2 a 3 b 4 c | 7

－ 4 － （ ）23.已知三角形的三邊長為5、6、7，則此三角形內切圓 的半徑等於 (A)2 6 3 (B) 3 6 2 (C) 3 6 (D) 6 6 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 5 6 7 9 2 s    ∴ △面積 9 (9 5)(9 6)(9 7) 6 6       又△面積  r s 9r6 6 ∴ 2 6 3 r （ ）24.平面上有三點 (1, 1)A  、 ( 2 , 3)B  、 ( 1, 2)C  ，若 2AB AC ( , )a b ，求 a b 之值為 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 AB  ( 2 1 , 3 ( 1))   ( 3 , 4) ( 1 1 , 2 ( 1)) ( 2 , 3) AC       2ABAC 2( 3 , 4) ( 2 , 3)   ( 6 , 8) ( 2 , 3)   ( 4 , 5) ∴ a 4、b5 ∴ a b 1 （ ）25.已知三角形的三邊長分別為 3 公分、 3 公分、 4 公 分，則此三角形之外接圓半徑為何？ (A)2 5 5 (B) 3 5 5 (C) 7 5 10 (D) 9 5 10 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設外接圓的半徑為R， 1 (3 3 4) 5 2     s ABC的面積 5(5 3)(5 3)(5 4)   2 5 又 ABC的面積 3 3 4 9 4     R R 則 9 2 5 R  9 9 5 10 2 5   R