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专题五：循环小数的经典题型以及解题方法
循环小数的概念：
循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如： 1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。循环小数在奥数中的考法：
①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是 9， 9 的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循 环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是 9，9 的个数与一个循环节的位数相同， 末几位是 0，0 的个数与不循环部分的位数相同。分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 和 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分 数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯 循环小数。循环小数经典题型：
1、下列分数哪些能化为有限小数、纯循环小数、混循环小数？若能化成有限小数，小数部分 有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？ 7/9，1/111，48/275，3/22，5/32，33/250，13/65 解题方法： 5/32,33/250,13/65 能化为有限小数，小数部分的位数分别为 5 位，3 位与 1 位；7/9,16/111 能化为纯循环小数；48/275,3/22 能化为混循环小数，并且不循环部分的位数分别为 2 位与 1 位。最全苏教版初中数学分层练习资料 第 2 页 共 2 页 2、朱小明将 1.23（3 循环）乘以 a 时，把（3 循环）看成 1.23，使得乘积比正确结果小 0.3， 正确结果是多少？ 解题方法：由于 1.23（3 循环）减 1.23=0.003（3 循环）等于 1/300，所以 a＝0.3÷1/300=90 从而，正确结果为：1.23（3 循环）×90=111/90×90=111 3、将一个纯循环小数 0.abc（a、b 循环）化成最简真分数后，它的分母与分子之差为 9。求 a ， b，c 各是多少？ 解题方法：因为 0.abc（a、b 循环）=abc/999，而 999＝3×3×3×37 由于 abc/999 写成最简真分数后，分子、分母的差为 9。所以 abc 必为 9 的倍数，且不能为 37 的倍数（否则 999 与 abc 至少有公约数 9×37，约简后分母为 3，不合题意）。 由于 abc 仅为 9 的倍数，不是 27 的倍数，则 abc/999 约简后的分母为 3×37＝111，此时分子 为 111-9＝102，但 102/111 不是最简分数，102/111=34/37，不合题意。
若 abc 为 27 的倍数，则 abc/999 约简后的分母为 37，此时分子为 37-9＝28，即 abc/999=28/37。 于是，abc=28×27=756，即 a=7，b=5，c＝6。
