中三年級試卷連答案 2014

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第十二屆 “走進美妙的數學花園” 中國青少年數學論壇 數學解題技能展示初賽 注意事項： 1. 考生要按要求在密封線內填好考生的有關資訊。 2. 不允許使用計算器。 總分中三年級試卷一、填充題 I (每題 8 分，共 40 分) 1. 共有個正整數 n，使得 n1 整除 2014 2014 n  。【答案】 7。【解答】由於 n 除以 n1 的餘數為 1，故 2014 n 除以 n1 的餘數為 1，由此得 n1 整除 2015。已知 2015  5 13 31，即 2015 有 3 2  1 7 個大於 1 的約數，對應可得到 7 個的可能值。 2. 共有個整數 x，滿足等式 1 1 2 1007 2014 1007 2014 x   x  x x 。【答案】 2015。【解答】若令方程每項均有意義，x 必須介乎於 0 和 2014 之間。對於此範圍內任意的 x，設 a x、b 1007 及 c 2014x，那麼 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 ( )( )( ) 2 ( )( )( ) 2 1007 (2014 ) ( )( )( ) 0 a c a b c b a b c b a c c b a c a b a c a b c b ac ab bc b ac ab c bc a ab ac bc a c a b c b b c a a c a b c b x x a c a b c b                                                。故每個 x 均可令等式成立，共有 2015 個可能值。

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3. 如圖，一個長方形被分成兩部分，已知其中一部分的面積是另一部分面積的四倍，而圖中所示線段的長度 a 和 b 的比值是。【答案】 2 : 3。【解答】設長方形的底邊長為 c，則三角形的面積為 2 ac ，而直角梯形的面積為 ( 2 ) 2 c a b ，由條件知 ( 2 ) 4 2 2 c a b _{ }ac ，解得 2b3a ，故 : 2 : 3 a b 。 4. 若某一整數的數位左右次序互換後數值不變，則稱該數為回文數，例如 1991 和 23432 均是回文數。由小至大排列第 12 個五位回文數是。【答案】 11111。【解答】五位回文數的數位由首三位數字一意確定，例如首三位數字為 100，則該五位回文數是 10001。換言之，每個三位數均對應唯一一個五位回文數，由小至大排列第 12 個三位數是 111，故答案是 11111。 5. 給定直角等腰 ABC，其中 ABC90。線段 AC 被點 D、E 和 F 分成四等份，而線段 BC 亦被點 P、Q 和 R 分成四等份，若 DP3，四邊形 DPRF 的面積是。【答案】 4。【解答】由 CF CD CA: : CR CP CB: : 及 FCR DCP ACB 知 FCR 和 DCP  均與相似 ACB，特別地，FCR 和 DCP 均為等腰直角三角形，故 3 CPDP ， 1 1 3 FRCR CP ，RPCPCR2，而直形梯形 DPRF 的面積是 (1 3) 2 4 2   _ 。 二、填充題 II (每題 10 分，共 50 分) 6. 已知 n 是 2014 的倍數且大於 2014，其最後兩位數字為 14。那麼 n 的最小值是。【答案】 102714。【解答】設 n2014k，其中 k 是正整數。由於 n2014k 的最後兩位數字為 14，

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故 2014k20142014(k1) 的最後兩位數字為 00，即其可被 100 整除。已知 2014  2 19 53，因此 k1 必為 50 的倍數，其最小值是 50，由此得出 n 的最小值是 2014 51 102714  。 7. 現有一萬張票，票上的號碼分別為 1 至 10000。若一張票上的號碼中有某兩個相鄰數字之差等於 5，則稱該張票為「好票」。那麼共有張「好票」。【答案】 2619。【解答】我們先計算非「好票」的票的數量。顯然，所有 9 張編號為個位數的票均不是「好票」。對於編號為兩位數的票，可將數字 0 至 9 分成 5 組，即 (0, 5)、(1, 6)、(2, 7)、 (3, 8) 和 (4, 9)，由此易見，若首位數字已確定，則個位數字只有一種可能性令該票為「好票」（即同組的另一數字），其餘 9 種可能均不為「好票」，即共有 9 9 81 張非「好票」。類似地，對於編號為三位數的票，當首位數字已確定後，十位數字只有 9 種可能，個位數字亦只有 9 種可能，即共有 9 9 9  729 張非「好票」。且理，有 4 9 6561 張編號為四位數的非「好票」。由於唯一一張編號為五位數的票亦不是「好票」，故一共有 9 81 729 6561 1    7381 張非「好票」，由此知共有 10000 7381 2619 張「好票」。 8. 某正整數 n 共有 6 個正約數，而該 6 個正約數之和等於 3528，n 的值是。【答案】 2012。【解答】由於 n 共有 6 個正約數，故 n 的質因數連乘式只能是 5 p 或 p q 。 2 若 5 n p，由 2 3 4 5 1 p p  p  p p 3528 得 2 3 4 (1 ) 3527 p  p p  p  p  ，即 p 為 3527 的約數，經試驗知 p2, 3, 5，但由 p7 推得 5 3527 p 10000，矛盾。若 2 n p q，由 2 2 1 p p  q pq p q3528 得 2 3 2 2 (1 p p )(1q)  2 3 7 。顯然 2 1 p p 為奇數，故只能有 2 1 p p 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441。注意 p 為質數，經試驗後得唯一解 p2，對應 q503 亦為質數，即 2 2 503 2012 n   。 9. 方程 3x218x52 2x212x162   x2 6x280 的解是 x 。【答案】 3。【解答】利用配方法得 2 2 3x 18x52 3(x3) 25 255，類似地，有 2 2 2x 12x162  2(x3) 144 12 及  x2 6x280  (x 3)228917，綜合得 5 12 17，亦即等式成立，故方程唯一解為 x3。

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10. 給定 ABC，其中 AB5、BC6 及 CA7，點 H 為垂心，AH 的長度是。【答案】 19 6 12 。【解答】設 D 為 A 到 BC 的垂足，E 為 B 到 CA 的垂足。由 2 2 2 2 2 AB AE BE CB CE 得 2 2 2 2 25 36 (7 ) 25 36 49 14 14 38 19 7 AE AE AE AE AE AE AE            。類似地，由 2 2 2 2 2 BA BD AD CA CD 得 2 2 25BD 49 (6 BD) ，由此解得 1 BD 及 2 2 2 6 AD AB BD  。

注意到 AEH  ADC90 及 EAH  DAC ，故 AEH ~ADC ，由 AE AD AH  AC 得 19 2 6 7AH  7 ，即 19 6 12 AH  。 三、填充題 III (每題 12 分，共 60 分) 11. 若 n 的其中四個正因子的個位數字相同，n 的最小值是。【答案】 60。【解答】由於 10、20、30 和 60 均為 60 的因子，故 60 滿足條件。若 n 小於 60，設 a  b c d 為個位數字相同的 n 的因子，則 c21。由於 3c63n，必有 n2c 及 nd，即 2cd 。已知 c 和 d 的個位數字相同，故兩者的個位數字同為 0，那麼 c30 及 n2c60，矛盾。 12. 一個四邊形的邊長依次為 7、15、20 和 24，此四邊形面積的最大可能值是。【答案】 234。【解答】如圖所示，四邊形面積等於 ABD 及 CBD  的面積之和。其中 ABD 的面積等於 1 1 7 24sin 7 24 84 2    2  ，類似地，CBD 的面

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積等於 1 15 20sin 1 15 20 150 2    2  ，即四邊形面積的最大值是 84 150 234。等式成立當且僅當    90 ，即 ABD 及 CBD 均為直角三角形，由於 2 2 2 2 2 15 20 25 7 24 ，故此情況可能發生（當四邊形由兩個 15-20-25 和 7-24-25 大小的三角形組成）。 13. 將一個十邊形的所有對角線連接起來，最多可以把該十邊形分成部分。【答案】 246。【解答】對於一般 n 邊形而言，我們把對角線逐一連接起來，每當畫上一條新的對角線時，可令 n 邊形的區域數目增加 1。同時，每當兩條對角線相交時，亦會令區域數目增加 1。一個 n 邊形共有 ( 3) 2 n n 條對角線以及 ( 1)( 2)( 3) 4 24 n n n n n           個對角線交點（由於每四個頂點對應一個對角線交點），故 n 邊形的區域數目最多為 ( 3) ( 1)( 2)( 3) 1 2 24 n n n n n n   （當所有對角線交點均不重合時成立）。當 n10 時，最大值為 1 35 210246。 14. 在一個袋子中有 2014 個球，球的編號分別為 1 至 2014。最少需要從袋子中隨機抽出個球，才可保證當中某兩個球的編號之積的個位數字為 3。【答案】 1612。【解答】將 2014 個球按個位數字分成第 0 組至第 9 組，其中第 1 組至第 4 組各有 202 個球，其餘各組各有 201 個球。我們必須從第 1 組和第 3 組各抽出至少一個球，或從第 7 組和第 9 組各抽出至少一個球，才可滿足題意。由此可見，若只抽出 2014202201 1611 個球，則抽出的球可能均不屬於第 3 組和第 9 組，未能滿足題意。另一方面，若隨機抽出 1612 個球，因為只有 402 個球未被抽出，故必定有第 1 組和第 3 組，或第 7 組和第 9 組的球同時被抽出。 15. 三個正整數 x、 y 和 z 的最小公倍數是 24255。x y z 的最小可能值是。【答案】 105。【解答】由於 2 2 24255   3 5 7 11，當 2 7 49 x  ，y11， 2 3 5 45 z   時有 105 x  y z 。若 x  y z 105，不妨設 x 為 49 的倍數。由 3 49 105 知 x49，故 56 y z 。不妨設 y 為 11 的倍數。顯然 y 不能同時為 9 的倍數，否則 y99，故 z 必為 9 的倍數。最後，無論 y 或 z 是 5 的倍數均出現矛盾。故 105 為 x y z 的最小值。