國 立 交 通 大 學
電信工程研究所
碩 士 論 文
使用 H 型諧振腔之
奇偶模雙頻帶通濾波器
Even- and Odd-Mode Dual Band Bandpass Filters
Based on H-shaped Resonator
研究生：鄭仕鈺
指導教授：張志揚 教授
使用 H 型諧振腔之奇偶模雙頻帶通濾波器
Even- and Odd-Mode Dual Band Bandpass Filters
Based on H-shaped Resonator
研 究 生：鄭仕鈺 Student：Shih-Yu Cheng
指導教授：張志揚 Advisor：Dr. Chi-Yang Chang
國 立 交 通 大 學
電信工程研究所
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Communication Engineering College of Electrical and Computer Engineering
National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master of Science in
Communication Engineering September 2012
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
I
使用 H 型諧振腔之奇偶模雙頻帶通濾波器
研究生：鄭仕鈺 指導教授：張志揚 博士
國立交通大學電信工程研究所
摘 要
本篇論文提出一個四埠平衡式帶通濾波器之數值解析方法，藉由在輸入端激 發模態的不同，產生不同中心頻的通帶，此兩模態分別為奇模以及偶模。共振腔 結構為一工字型共振腔，利用偶模與奇模訊號送入時，等效電路之差異產生不同 的頻帶，以達到雙頻帶的效果，此架構不僅具有尺寸較小的優勢，且兩頻帶之隔 絕度高。並以耦合矩陣的合成方式為基礎，用數值解析方法得到此種架構之理想 電路的數值解，此分析方法可有效提供一個設計濾波器的參考依據，並提出兩個 例子證明此分析方法的正確性。使用的板材為 RO-4003，厚度 20mil、介電常數 3.58 的基板，並選擇微帶線做為電路合成方式。II
Even- and Odd-Mode Dual Band Bandpass Filters Based on
H-shaped Resonator
Student：Shih-Yu Cheng Advisor：Dr. Chi-Yang Chang
Institute of Communication Engineering
National Chiao Tung University
Abstract
In this thesis, a novel analytical approach for a four-port balanced bandpass filter is proposed. The proposed bandpass filter could operate at different passbands while exciting even or odd-mode signal respectively. The filter based on H-shaped resonator would be different equivalent circuit when excited with even- or odd-mode signals. The proposed filters have the advantage of compact size and good isolation between two passbands. Based on the corresponding coupling matrices, the dimensions of the filter configuration are extracted via even- and odd-mode analysis. To verify the proposed method, two filters are implemented by microstrip lines on the Rogers RO-4003 substrate with a thickness of 20 mils and a dielectric constant of 3.58.
III
誌 謝
時光飛逝，兩年的時間轉眼間就過去了，一路走來，感謝老師們和同學們的 關照，時時刻刻鼓勵我，支持著我，讓我在學生生涯的最後一個階段有著充實而 難忘的回憶。 首先要感謝的是指導教授張志揚老師。從大學時的專題到碩班的論文研究， 都承蒙了老師的細心教導，老師幽默而健談的性格，認真的做事態度，對微波的 熱忱和探究精神，都深深的影響了我們每一位學生，碩士生涯中，老師也時常與 我們分享各種人生經驗，帶領著大家一起成長茁壯。感謝建育、梁八學長，謝謝 你們總為我們解決實驗室大小事務，並且提供了寶貴的想法和建議；感謝益廷學 長，有你的一路支持與教導，讓我有機會學習做研究的精神，知道努力不懈和堅 持到底的重要，我也很樂於延續小螃蟹的使命；感謝昀緯學長，你的細心指導和 鼓勵，讓我不厭其煩的嘗試，相信自己可以做到，謝謝你在郭博上班後可以成為 我的另一位導師；感謝維欣學姊，你的一語道破和飛快的理解能力，教導我們從 正確而簡單的角度思考，讓我總對妳佩服得五體投地，謝謝你等我回來後才結婚； 感謝姵潔學姐，可以在口試前夕得到您的指導，我只能說我三生有幸；感謝忠傑 學長，謝謝你在大學專題中對我的幫助和教導；謝謝 97 級的各位在我剛進實驗 室時對我的歡迎和照顧，讓我認識到 916 是一個多麼歡樂的實驗室；感謝 98 的 學長姐們，工作之餘還時常回來與大家作伴，分享許多上班的經驗與心得。感謝 弘偉，謝謝你的幽默，讓實驗室裡歡笑聲不斷；感謝皓宇，謝謝你的陪伴，讓我 有所成長；感謝若宜，謝謝你爽朗的笑聲和熱情的擁抱，讓我在憂鬱時分還有個 地方依靠；感謝郁叡，謝謝你總是這麼可愛又害羞的被我們欺負，與我們分享女 生的小秘密；感謝祥容，有你的陪伴和吵鬧，我才能撐過那一個不可思議的二上 生涯，陪我一起熬夜一起胖，一起抱怨一起哭；感謝義傑，謝謝你一而再再而三 的幫我出圖，教我焊接，謝謝你除了美月以外，還可以這麼照顧我們家祥容；感IV 謝梓淳，謝謝你如此細心，總能適時的給我打氣，一路上的幫忙和照顧我都記在 心裡。最後感謝我的家人，謝謝爸爸、媽媽、哥哥、妹妹，忍受我從小任性和懶 散的習慣，一路支持我走過這麼長的時光，讓我無後顧之憂的學習與成長，有你 們才造就了今日的我，謝謝你們。 謝謝所有的你們在口試那天給我無比的勇氣和幫助；謝謝你們為我舉辦的小 型專屬畢業典禮是我最甜蜜又丟臉的記憶。工程四館的 916 豈能少了你們任何一 位，能成為這間實驗室的一員，我真的感到無比的榮幸與驕傲。
V
目 錄
中文摘要... I 英文摘要... II 誌 謝... III 目 錄...V 圖 目 錄...VI 表 目 錄...VIII 第一章 前言... 1 第二章 理論... 4 2.1 奇偶模濾波器分析... 4 2.1.1 奇偶模訊號... 4 2.1.2 奇偶模濾波器設計... 6 2.1.3 工字型奇偶模濾波器 ... 7 2.2 耦合矩陣 ... 9 2.2.1 耦合矩陣簡介 ... 9 2.2.2 耦合矩陣實例 ... 10 2.3 電路設計 ... 14 2.3.1 奇模電路結構 ... 14 2.3.2 偶模電路結構 ... 17 2.3.3 三階奇模電路結構 ... 30 2.3.4 三階偶模電路結構 ... 31 2.4 強耦合線段的實現 ... 38 第三章 電路模擬... 41 3.1 奇偶模濾波器二階模擬 ... 41 3.1.1 奇模... 41 3.1.2 偶模... 42 3.2 奇偶模濾波器三階模擬 ... 44 3.2.1 奇模 ... 44 3.2.2 偶模 ... 45 第四章 佈局與實作... 47 4.1 二階濾波器 ... 47 4.2 三階濾波器 ... 49 第五章 結論... 53 參考文獻... 54VI
圖目錄
圖 1. 1 平衡式系統中之多工器示意圖... 2 圖 2. 1 雙埠網路 ... 4 圖 2. 2 奇偶模訊號 ... 5 圖 2. 3 理想變壓器 ... 5 圖 2. 4 奇偶模濾波器 ... 6 圖 2. 5 傳輸線共振示意圖 ... 7 圖 2. 6 奇偶模濾波器架構 ... 8 圖 2. 7 工字型諧振腔 ... 8 圖 2. 8 共振結構之半電路 ... 8 圖 2. 9 耦合矩陣 ... 10 圖 2. 10 耦合矩陣之響應圖... 10 圖 2. 11 平行耦合線段... 11 圖 2. 12 理想二階濾波器電路架構... 13 圖 2. 13 理想二階濾波器之頻率響應... 13 圖 2. 14 濾波器頻率響應與耦合矩陣響應之比較... 14 圖 2. 15 奇模共振腔結構... 15 圖 2. 16 二階奇模電路結構... 15 圖 2. 17 一般帶通濾波器示意圖... 16 圖 2. 18 奇模斜率參數... 17 圖 2. 19 整體電路架構... 18 圖 2. 20 偶模電路結構... 19 圖 2. 21 阻抗反轉值及其等效電路... 19 圖 2. 22 偶模等效電路圖... 20 圖 2. 23 偶模之耦合路徑示意圖... 20 圖 2. 24 偶模斜率參數... 20 圖 2. 25 測量耦合係數電路圖... 23 圖 2. 26 解析方塊一... 24VII 圖 2. 27 並聯電路矩陣示意圖... 26 圖 2. 29 三階整體電路結構... 30 圖 2. 30 三階奇模電路結構... 30 圖 2. 31 三階共振腔... 31 圖 2. 32 三階偶模電路結構... 32 圖 2. 33 三階偶模共振結構... 32 圖 2. 34 測量耦合係數之三階電路圖... 34 圖 2. 35 三階解析方塊一... 35 圖 2. 36 三階待測電路方塊圖... 37 圖 2. 37 強耦合線段示意圖... 38 圖 2. 38 電路結構之有效電容示意圖... 40 圖 3. 1 二階奇模電路結構 ... 42 圖 3. 2 二階偶模電路結構 ... 43 圖 3. 3 二階奇偶模濾波器之電路模擬與耦合矩陣響應比較 ... 43 圖 3. 4 三階奇模電路結構 ... 44 圖 3. 5 三階偶模電路結構 ... 45 圖 3. 6 二階奇偶模濾波器之電路模擬與耦合矩陣響應比較 ... 46 圖 4. 1 二階濾波器之佈局 ... 47 圖 4. 2 二階奇偶模濾波器之電磁模擬與實作量測 ... 48 圖 4. 3 二階濾波器實作電路 ... 49 圖 4. 4 三階濾波器之佈局 ... 50 圖 4. 5 三階奇偶模濾波器之電磁模擬與實作量測 ... 51 圖 4. 6 三階濾波器實作電路 ... 51
VIII
表目錄
表 2. 1 耦合矩陣實例之各段耦合線段之參數 ... 13 表 2. 2 解析步驟 ... 24 表 2. 3 並聯電路矩陣及其電壓電流關係 ... 26 表 2. 4 三階電路之解析步驟 ... 34 表 2. 5 三階並聯電路矩陣及其電壓電流關係 ... 36 表 3. 1 共振結構之參數值 ... 42 表 3. 2 二階奇模電路結構之參數 ... 42 表 3. 3 二階偶模電路結構之參數 ... 43 表 3. 4 二階奇偶模濾波器之響應參數 ... 43 表 3. 5 三階奇模電路結構之參數 ... 45 表 3. 6 三階偶模電路結構之參數 ... 45 表 3. 7 三階奇偶模濾波器之響應參數 ... 46 表 4. 1 二階濾波器各線段長度及寬度參數值 ... 47 表 4. 2 二階濾波器各區塊訊號走線及地線參數值 ... 48 表 4. 3 二階濾波器電磁模擬與實際量測之參數比較 ... 49 表 4. 4 三階濾波器各線段長度及寬度參數值 ... 50 表 4. 5 三階濾波器各區塊訊號走線及地線參數值 ... 50 表 4. 6 三階濾波器電磁模擬與實際量測之參數比較 ... 511
第一章 前言
隨著無線通訊的快速發展，各種通訊系統中的基本元件，如放大器、天線和 濾波器等，不僅規格與響應要達到基本要求，在製作上都朝著小面積和低成本的 方向在進步，尺寸上的優勢以及容易製做的優點逐漸變成另一個微波元件的基本 素求。 在當今無線通訊系統以及行動通訊系統中，濾波器亦扮演著舉足輕重的角色， 尤以平面式濾波器最為重要，應用層面廣泛。因為其較易製作，同時具有尺寸小 而低成本的特性，而平行耦合線或是其交錯耦合的極佳響應，更時常被應用於平 面式濾波器當中[1][2]。設計濾波器時，首先需決定出共振腔結構，因其為濾波 器的ㄧ個基本元素，為了縮小濾波器尺寸，已有許多形式之共振腔結構被改良和 應用，如髮夾式濾波器[3]、摺疊式濾波器[4]，而近期內被廣泛運用的則是步階 阻抗型式的共振腔[5]，因其不僅縮小了濾波器尺寸，更具有將倍頻推遠的特性。 在多頻帶濾波器系統中，頻率多工器(frequency multiplexer)是另一個必要的 元件，它必須具有高隔絕度、小尺寸以及輕巧的特性。在分頻雙工(frequency division duplexing, FDD)收發系統中，又可以再分成全時雙工收發系統(full-duplex T/R system) 、與半時雙工收發系統 (half-duplex T/R system) 。在 傳統單端式 (single-ended)系統中，前者需要一個頻率雙工器(diplexer or duplexer)連結在傳輸 端、發送端與天線之間以產生頻率分離效應，為一個三端的濾波元件。後者則是 一個單刀雙擲(single-ploe double-through, SPDT)開關搭配兩個濾波器構成一個三 端元件連結在傳輸端、發送端與天線之間。縮小其尺寸是一個重要課題，雖然已 有許多濾波器在設計上改變其合成方式為縮小元件尺寸，但這些三端的雙工器都 需要兩個濾波器元件組成[6]。而平衡式元件近年有增加的趨勢，例如，平面式 天線常需要一個平衡式的饋入電路，在半時多工收發系統中，如果配合天線的平 衡式饋入，改成兩個平衡到單端轉換濾波器(balun filter)，則需外加一個雙刀雙擲2
(double-pole double-through, DPDT)開關如圖 1.1 (a)所示。此架構除體積大以外， 其雙刀雙擲開關也非常難以製作。另外，傳統的雙頻濾波器一般由兩個共振腔組 合而成，分別共振在不同的頻段[7]，而後隨著雙模(dual mode or two mode)雙頻 濾波器的發展，現在可使不同的模態共振在同一個共振腔，如 E 型共振腔等[8]， 其可減少一半的共振腔數目，有效降低元件尺寸[9]。 有鑑於平衡式濾波器在無線通訊系統中日漸重要，設計一個結合頻率雙工器 與雙刀雙擲開關特性的元件為一個新的發想，此篇論文提出一個不同於以往的四 埠平衡式帶通濾波器，其藉由在輸入端激發模態的不同，產生不同中心頻的通帶， 此兩模態分別為奇模以及偶模，故我們只需在天線接收端加上一被動元件，如 180 度的移相器(phase shifter)，和魔術-T 混成器(magic-T hybrid)，如圖 1.1(b)， 不僅不需難做的雙刀雙擲開關，並且同時減少一半的濾波器面積，可以有效減少 元件尺寸 [10]。 (a) 基本架構 (b) 改良式架構 圖 1. 1 平衡式系統中之多工器示意圖 BPF (f1) Antenna TX RX DPDT BPF (f2) Balun Balun Balun Φ BPF (f1/f2) Phase Shifter (180o) Magic-T TX RX Σ Δ Antenna Balun
3 此篇論文提供一工字型共振腔，利用偶模與奇模訊號送入時，等效電路之差 異產生不同的諧振頻率，達到雙頻帶的效果。並以耦合矩陣的合成方式為基礎 [11]，用數值解析方法得到此種架構之理想電路的數值解，其中，奇模部分結構 首先被分析以及決定，而偶模部分結構則被用來調整另一頻帶之響應。此分析方 法可有效提供一個設計濾波器的參考依據，最後提出兩個例子證明此分析方法的 正確性。 在[10]所提出的電路架構中，二階濾波器在低頻段(~2GHz)之穿透損耗過高， 且兩頻帶的隔絕度不夠，而三階濾波器則是具有尺寸過大的疑慮，約達到 4 公分 x14 公分的大小。本論文之結構可有效的改善這些缺點，因雙耦合路徑產生的零 點，使得兩個頻帶的隔絕度都有達到-30dB，並且在尺寸上減少了 50%的面積。 本篇論文將在第二章詳述設計此濾波器的基本理論和設計流程，包含奇偶模 訊號的簡介、耦合矩陣應用、以及強耦合線的實現[12]；第三章則利用第二章介 紹之設計方法，求出理論的電路之各項參數，並且利用 ADS 電路模擬軟體進行 驗證；第四章則是將此電路架構實際用電磁模擬軟體校正，並且實作出來；最後 的第五章為本篇論文之結論。
4
第二章 理論
2.1 奇偶模濾波器分析
此篇論文將利用奇偶模輸入訊號的特性不同，在不同的中心頻上各產生一個 濾波器通帶，以下將介紹奇偶模訊號以及奇偶模濾波器的設計及其特性。2.1.1 奇偶模訊號
在分析訊號時，一般會對訊號做進階的處理，方法眾多，其中一個常用的訊 號處理方式，即為奇偶模訊號分析。 在一個混模(mix mode)式雙埠輸入和輸出的系統中，如圖 2. 1，我們可以在 輸入端輸入一對訊號，這一對訊號若其兩者相位差為一百八十度，稱為奇模(或 差模)訊號輸入如圖 2. 2 (a)，若兩者相位相同，也就是相位差為零時，則稱為偶 模(或共模)訊號輸入，如圖 2. 2 (b)。當對奇偶模訊號做分析時，因為電路的對稱 特性，可對電路做簡化，以利電路結構的解析。 圖 2. 1 雙埠網路Input port
Output port
11 12 11 12 21 22 21 22 11 12 11 12 21 22 21 22 dd dd dc dc dd dd dc dc cd cd cc cc cd cd cc cc
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
5 (a)奇模訊號 (b)偶模訊號 圖 2. 2 奇偶模訊號 而當我們在電路模擬軟體中(例如：ADS)要輸入一對奇模訊號以及偶模訊號 以茲電路設計的時候，可以用一個理想的變壓器(magic-T)做常態模訊號以及奇偶 模訊號之間的轉換，此變壓器具有 1:0.5:0.5 之圈數比，代表其輸出之兩埠(port1 和 port2)的訊號大小相同，如圖 2. 3 所示。當埠三輸入時，會在埠一和埠二兩端 產生一對大小相同而相位差一百八十度的兩訊號，故稱埠三為奇模埠；另一方面， 當埠四輸入時，則會在埠一和埠二產生一對大小相同且相位相同的兩訊號，即為 偶模訊號，可稱其為偶模埠。其中，在圖中的圓點代表電流流入之方向，故奇模 埠阻抗為埠一埠二阻抗之串聯，而偶模埠組抗為埠一埠二阻抗之並聯。 圖 2. 3 理想變壓器 1:n1 1:n2 Port 1 Port 2 Port 4 Port 3
6
2.1.2 奇偶模濾波器設計
為設計雙模雙頻帶濾波器，利用奇偶模訊號在電路中行進時相位的不同，導 致訊號對於同一個共振腔的共振條件以及共振頻率不同，進而實現出雙頻帶之濾 波器。和一般雙頻帶濾波器不同的是，此濾波器之兩頻帶並不是同時存在的，而 是對於不同訊號的輸入，在不同的頻帶做濾波。舉例來說，當奇模訊號輸入時， 濾波器之中心頻為 fodd，而當偶模訊號輸入時，濾波器之中心頻則為 feven，如圖 2. 4 所示，此時(偶模訊號輸入時)奇模頻帶不存在，在(b)圖中以虛線表示。 (a) 輸入奇模訊號 (b) 輸入偶模訊號 圖 2. 4 奇偶模濾波器 Φ1 Φ2 Dual mode Dual band Filter Balun feven fodd Input Odd signal feven fodd Φ1 Φ2 Dual mode Dual band Filter Balun Input Even signal7
2.1.3 工字型奇偶模濾波器
在設計濾波器時，首先須決定其共振頻率，如圖 2. 5 所示，此開路傳輸線 段在頻率為 fo時長度為二分之波長，符合共振條件如式(2-1)，則定義 fo為其共 振頻率。
0tan 0tan 0@ 0 in Y jY n jY l f n1, 2, (2-1) 圖 2. 5 傳輸線共振示意圖 本篇論文選擇以工字型諧振腔做為單位諧振器如圖 2. 7，並以耦合線饋入的 方式將奇偶模訊號送入諧振腔，如圖 2. 6。觀察此電路可發現，電路為對稱之結 構。對於一個含有對稱結構之電路，分析時可以將電路由對稱面做切割，分析對 應之半電路即可，以降低電路之複雜度，其半電路之頻率響應等同於全電路之響 應。 另一方面，當奇模訊號由互相對稱的兩埠送入圖 2. 6 的濾波器結構中時， 因為訊號之相角差距為 180o，在對稱面上形成虛接地，共振腔如同一個工字，故 稱此共振腔為工字型諧振腔。ᵝ
λ/2@f0 Z0 n=1 n=28 圖 2. 6 奇偶模濾波器架構 (a) 偶模 (b) 奇模 圖 2. 7 工字型諧振腔 當奇模訊號送入此電路架構時，兩訊號相差一百八十度的結果使得電路在對 稱面上形成短路，如同於虛接地，此時可將共振電路化簡如圖 2. 8 (a)，如字母 T。 另一方面，當偶模訊號送入此電路架構時，因為兩訊號互為同相訊號，在對稱面 上如同開路，等效之半電路如圖 2. 8 (b)，比較兩圖之半電路架構可發現，當偶 模訊號送入，電路對稱面為開路時之等效電路中，T 型共振腔之中間線段長度較 長，也就是等效電氣長度較長，意味著達到共振所需頻率較低，所以偶模共振頻 率將低於奇模共振頻率，注意此時之共振條件之等效電氣長度為四分之波長，因 共振腔之一端為開路，而另一端為短路。 (a) 奇模共振單位 (b) 偶模共振單位 圖 2. 8 共振結構之半電路
9
2.2 耦合矩陣
用矩陣模擬一個電路系統是非常有用且方便的，我們可同時運用矩陣的運算 做基本的電路分析，如反矩陣等，利用這些基本數學運算，可以簡化電路的合成 以及推估電路響應。我們將耦合矩陣中的各元素分別對微波電路之各元件參數做 對應，使得我們可以計算出各元件參數對電路之貢獻和影響，以及其反應程度， 例如主耦合路徑與交錯耦合路徑之差別，這些特性都是難以在濾波器的轉換函數 中模擬出來的。此篇論文將利用耦合矩陣內之元素，配合所對應之參數去設計一 符合規格要求的濾波器。2.2.1 耦合矩陣簡介
對於一給定規格之濾波器特性參數而言，可由此參數的設定，定義出一組符 合規定之矩陣，因其矩陣內之每一單位元素，代表共振腔之間的相對耦合量，故 稱此矩陣為耦合矩陣，如圖 2. 9。在圖中的 S 表訊源，數字 1、2、3 分別表示不 同的共振腔，(S)和(1)之間連接的直線代表訊源端和第一共振腔之間具有耦合量， 而矩陣的[2,1]位置之值即代表其相對耦合量之數值。其中，矩陣元素[2,1]等於 [1,2]，為一個對稱之矩陣。在此並不詳細討論耦合矩陣是如何得到的。 (a) 耦合路徑 S 1 2 3 L S 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 3 0 0 1 0 1 L 0 0 0 1 0 (b)耦合矩陣10 圖 2. 9 耦合矩陣
2.2.2 耦合矩陣實例
在此我們將利用簡單的平行耦合線配合耦合矩陣作一簡易濾波器的設計。 首先，給定如下規格： 反射損耗為 -20dB 濾波器階數為 2 傳輸零點位置為 可得到一對應之耦合矩陣如式(2-2) 0 1.2247 0 0 1.2247 0 1.6583 0 0 1.6583 0 1.2247 0 0 1.2247 0 (2-2) 由耦合矩陣畫出對應的響應如圖 2. 10。 圖 2. 10 耦合矩陣之響應圖 當我們選擇以平行耦合線實現此二階濾波器，也就是將一線段當成一共振腔， 並利用線段之間的耦合來傳遞能量，此時可利用等效的導納反轉值(J)算出偶模以 及奇模阻抗(Zoe,Zoo)，因為平行耦合線在中心頻時之等效電路如圖 2. 11，由式(2-3) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 Frequency (GHz) |S 1 1 |, |S 2 1 | (d B ) S11 S2111 可計算出所需的導納反轉值，下標 S 表訊源端，1 表第一個共振腔，此 J 值即代 表訊源和第一個共振腔之間的耦合量；其中 M 即為耦合矩陣內之元素，稱為耦 合參數，為比例頻寬，b 為斜率參數，其中，平行耦合線的 b 值如式(2-4)；G 則是訊源(負載)導納值，對於一個 50系統的網路而言，此值為 0.02，n 為濾波 器階數。 ,1 ,1 1 S S A J M b G , 1 , 1 1 j j j j j j J M b b j1 , n, (2-3) 1 , , n L n L n B J M b G 0 2 j b Z (2-4) (a)平行耦合線 (b)等效電路圖 圖 2. 11 平行耦合線段 而後利用式(2-5) (2-6)得到每段耦合線段之偶阻抗和奇阻抗，其中代表耦合 線段的電氣長度。如圖 2. 12 所示此長度的設計須使得此共振腔(阻抗 Z0長度 2) 達到共振條件，因從訊源至第一腔的導納反轉值(Js1)和第一腔至第二腔導納反轉 值(J12)之間的線段的輸入阻抗值為 Z0/(jtan2，而共振條件須使得輸入導納為零， 我們知道 tan22=0，故此時角度總長為 180 度，而因耦合線段長度為此總 長之一半，故每段耦合線段之電氣長度為 90 度，其中，濾波器之中心頻可自行 選定，此例中將中心頻定為 2GHz。
Z
oeZ
ooƟ
Z
0Z
0Ɵ
Ɵ
J
12
2 0 0 2 2 0 0 1 csc 1 cot oe JZ JZ Z Z JZ (2-5)
2 0 0 2 2 0 0 1 csc 1 cot oo JZ JZ Z Z JZ (2-6) 在電路模擬軟體畫出理想電路如圖 2. 12，各線段長度如表 2. 1，響應如圖 2. 13，並和耦合矩陣之模擬比較如圖 2. 14。其中耦合矩陣的模擬參數 S11以及 S21 是由式(2-7) (2-8)得到，為低通轉高通之轉換參數，f0為濾波器中心頻，f 為比 例頻寬，[U0] 類似一個 (N+2)(N+2) 的單位矩陣，但其第一個元素以及最後一 個 元 素 為 零 ， 也 就 是 [U0]1,1=[U0]N+2,N+2=0 ， 而 [M] 即 耦 合 矩 陣 ， [R] 為 一 (N+2)(N+2) 的類零矩陣，只有第一個元素以及最後一個元素為一，其餘為零， 也就是[R]1,1=[R]N+2,N+2 =1。 1 11 1 2 11 S j A (2-7) 1 21 2 N 2,1 S j A (2-8) A
U0 M j R (2-9)
f0/ f
f / f0 f0/ f
(2-10) (a) 理想電路架構Z
inZ
oeS1Z
ooS1Z
oe2LZ
oo2LZ
0Z
0source
load
Z
oe12Z
oo1213 (b)等效電路圖 圖 2. 12 理想二階濾波器電路架構 表 2. 1 耦合矩陣實例之各段耦合線段之參數 f0 = 2GHz MS1 M12 M2L J 0.0097 0.0052 0.0097 Zoe ( 86.0495 66.4169 86.0495 Zoo ( 37.5107 40.3684 37.5107 ( 90 90 90 圖 2. 13 理想二階濾波器之頻率響應 Z0
J
S1
J
12
J
2L
source load Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Frequency (GHz) |S 1 1 |, |S 2 1 | (d B ) Ideal circuit|S 11| Ideal circuit|S 21|14 圖 2. 14 濾波器頻率響應與耦合矩陣響應之比較 由比較圖可以看到兩者響應在操作頻帶內的部分完全重疊。從而驗證了此設 計方式的正確性。
2.3 電路設計
此篇論文將設計出一個奇偶模雙頻帶濾波器，如前所述，此濾波器之兩頻帶 並不同時出現，中心頻也可以自行選定，故我們將兩頻帶分開設計。首先設計的 是奇模電路結構，因為奇模訊號輸入時對稱面虛接地，較偶模訊號輸入時少看到 了中間部分電路，如此可簡化電路複雜度，待奇模部分結構設計完成後，再利用 偶模所看到之半電路設計其餘電路，也就是電路對稱面上的殘段以及電感，其可 用於控制偶模之頻率響應。2.3.1 奇模電路結構
如前所述，當奇模訊號送入工字型諧振腔時，於電路之對稱面看到一虛接地 面，故可將電路簡化為 T 型，分別令其各段電氣長度為,，而對應之阻抗值為 Z1, Z2，如圖 2. 15 所示。並畫出二階奇模電路結構如圖 2. 16，以及等效電路圖。 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Frequency (GHz) |S 1 1 |, |S 2 1 | (d B ) Ideal circuit|S 11| Ideal circuit|S21| Matrix|S 11| Matrix|S21|15 圖 2. 15 奇模共振腔結構 (a) 電路架構 (b) 等效電路圖 圖 2. 16 二階奇模電路結構 為符合共振腔之共振條件，須先計算出此共振腔由訊號輸入端看入之阻抗值， 如式(2-11)，也就是圖 2. 15 中的 Zin，令其輸入導納值為零以符合共振條件，如 式(2-12)，此時只要訂出 Z1, Z2的比例關係如式(2-13)，以及角度如式(2-14)的比 值，並給定其中一值，例如 Z1=50，即可算出符合共振條件之 Z1, Z2和,。
2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1tan tan tan tan
2 tan tan in Z Z Z Z j Z Z (2-11)
16
2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 t a n t a n 0 t a n t a n 1 t a n in Z Z Y j Z Z Z (2-12) 2 1 Z R Z (2-13) 2 1 2 X (2-14) 因為我們要以平行耦合線段傳送訊號，故須計算出所需要的耦合量，選擇利 用斜率參數和前面介紹之耦合矩陣與耦合線之關係，如式(2-3)，其中，斜率參數 的一般定義為式(2-15)，為角頻率，為中心角頻率，B 即為輸入導納之虛部 部分，如式(2-16)。一般將含有共振腔以及導納反轉值之帶通濾波器表示如圖 2. 17。 0 2 dB b d (2-15) in Y G jB (2-16) 圖 2. 17 一般帶通濾波器示意圖 若將輸入導納整理如式(2-17)，分子與分母分開表示為 f 和 g，令 f 為 0 即可 符合共振條件；另一方面，在計算斜率參數值時僅需計算分子之微分，再除以兩 倍的分母即可。 in f Y jB j g (2-17) 0 1 ' 2 2 dB f b d g (2-18)17 故我們可將共振腔電路之輸入導納整理如式(2-19)，且共振條件如式(2-20)，並進 一步求得斜率參數如式(2-21)，也就是圖 2. 18 中的 bodd。
2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 tan tantan tan 1 tan
odd in Z Z f Y j jB j g Z Z Z (2-19) f 2Z2 t a n1 t a n 2 Z1 (2-20) 0
2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 12 tan sec tan sec
1 '
2 tan tan 1 tan
odd f Z b g Z Z Z (2-21) 圖 2. 18 奇模斜率參數 此時可將此斜率參數、耦合係數，並給定比例頻寬以及訊源導納，帶入式(2-3) 和式(2-5) (2-6)，即得到各段耦合線段之奇模阻抗和偶模阻抗值，以及其對應之 長度也在共振條件中已確定。在此將訊源至第一腔之耦合線稱為耦合線段一，第 一腔至第二腔稱為耦合線段二，而耦合線段一、二之間的殘段則稱為線段二。
2.3.2 偶模電路結構
當設計完奇模結構後，即可接著設計偶模的結構，此時先將電路還原成全電 路，如圖 2. 19 (a)，在(b)圖中將電路分為上下兩部分電路之並聯，顯示出當偶模 訊號送入而中間對稱面為等效開路時，此兩塊相同的電路可簡化成一塊半電路進Port
ZoeS1,ZooS1,Ɵ1Ɵ1 Ɵ1 Ɵ1 Z1
J
S1
Ɵ2 Z1 Z1 Z2 Short endb
odd18 行解析。而在全電路當中，耦合線段一和耦合線段二已經確定，同樣的，線段二 也確定，此時只剩下偶模的中間部分電路尚未設計。 (a) 全電路架構 (b) 全電路之並聯架構 圖 2. 19 整體電路架構 整理偶模電路結構之半電路如圖 2. 20，注意中間殘段之阻抗以及電感值為 全電路的二倍，圖中有一部分的線段在設計奇模時已經固定，尚未決定長度以及 阻抗值的部分為當偶模訊號輸入時才看的到的線段(Zes, es)以及電感 (L)。 Zoe2L,Zoo2L,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2 ΦL/2 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 Zoe2L,Zoo2L,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 Zes/2,Ɵes Zes/2,Ɵes L/2
Input
Output
Zoe2L,Zoo2L,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2 ΦL/2 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 Zoe2L,Zoo2L,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 L Zes,Ɵes Zes,Ɵes ΦL/2 ΦL/2 LInput
Output
19 圖 2. 20 偶模電路結構 我們知道一個阻抗反轉值(K-inverter)如圖 2. 21，其等效電路為一個電感在 兩旁串接一段長度為 的傳輸線，其關係式則如式(2-22) (2-23)。 (a)阻抗反轉值 (b)等效電路圖 圖 2. 21 阻抗反轉值及其等效電路 0 2 0 0 1 L K Z X Z K Z (2-22) 1 0 2 tan XL Z (2-23) 觀察圖 2. 20 的電感和其旁邊的兩線段，若由電感兩旁之線段取一部分負長 度的補償線段，等效為一個阻抗反轉值 (K)，我們可將電路結構化簡成如圖 2. 22 的等效電路，此時可運用和前面分析斜率參數的方式計算出訊源到第一級的耦合 量。注意此電路架構是在偶模輸入時，多增加一條耦合路線，以在第一腔和第二 腔之間達到足夠的耦合量，如圖 2. 23 所示，虛線部分即代表阻抗反轉值路徑之 Zoe2L,Zoo2L,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2ΦL/2 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 L
20 耦合。 圖 2. 22 偶模等效電路圖 圖 2. 23 偶模之耦合路徑示意圖 同樣的我們要計算出偶模結構的輸入阻抗，進而求得其偶模斜率參數 (beven )， 其中要注意的是，當在計算輸入阻抗的時候，無須計算到導納反轉值(J)和阻抗反 轉值(K)，且導納反轉值(J)端視為開路，而阻抗反轉值(K)端視為短路，如圖 2. 24 中所示的 beven，輸入阻抗整理如式(2-24)。 圖 2. 24 偶模斜率參數
2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan
tan tan 2 tan tan tan
es es es es in es es es es Z Z Z Z Z Z Z Z Z j Z Z Z Z Z Z Z Z (2-24)
Port ZoeS1,ZooS1,Ɵ1
Z2,Ɵ2 Z1,Ɵ1 Zes,Ɵes Ɵ1 Ɵ1 Ɵ1 Z1
J
S1
Port 1 Ɵ2 Z1 Z1 Z2 Short end Zes Ɵes beven21
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2tan tan 2 tan tan tan
tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan
es es es es in es es es es Z Z Z Z Z Z Y j Z Z Z Z Z Z Z Z (2-25) 為簡化運算，用同樣技巧將輸入導納值之分子分母分開，令分子 f 等於零找 到共振條件，如式(2-27)，因為 Z1,Z2和,在奇模結構時已固定，剩下的變數為 Zes和es，此時我們將 Zes以式(2-28)表示。若可得到此es值，則同時可得到 Zes， 意味著這兩數值為相依，僅具有一個自由度。
2 12
2 2
2 21
2 2
2
1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 22 tan tan tan tan tan
tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan
even es es es es in es es es es Z Z Z Z Z Z Y j Z Z Z Z Z Z Z Z even in f Y jB j g (2-26)
1 2 estan 2tan es 2 2tan 1 estan es 2tan 2 0
f Z Z Z Z Z Z (2-27)
2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 tan tan tan tan 2 tan tanes es es Z Z Z Z Z Z (2-28) 接下來，將分子微分除以兩倍的分母得到斜率參數後，如式(2-29)，帶入前 面的式(2-5) (2-6)可求得耦合量，但需注意到，耦合線段的長度以及大小(也就是 奇模的導納反轉值(Jodd ))已被奇模結構固定，因為同樣的物理長度在不同頻率下 的電氣長度的不同，我們需計算在偶模頻率下之等效的偶模導納反轉值(Jeven )， 藉由式(2-30)整理過後，可得到偶模之中間殘斷的 Zes和es須符合如式(2-31)的條 件，其中，even為尚未被決定之參數，因為訊源耦合到第一腔的量在奇模結構和 偶模結構為不同的。
2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 '2 tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan
es es even es es es es Z Z m Z Z n Z p f b g Z Z Z Z Z Z Z Z (2-29) 在式(2-29)中： 2 2 2 2 2
tan es sec tan es sec es
22
2 2
1 1 1
tan es sec es tan es sec
n
2 2
1 2 2 2 1 1
tan sec tan sec
p
,1 ,1
even e even even
S S A J M b G (2-30) 2 ,1 ,1 even S even even A e S J b G M (2-31) 此時已由共振條件和斜率參數得到一等式，但偶模結構中尚有電感還未決定， 以下將使用耦合係數法得到其他等式。如圖 2. 25 所示，此電路方塊可用來測量 在偶模輸入時的兩個共振結構之間的耦合係數(k)，其方法是將待測電路之左右 端各加上一小電容，用弱耦合測量電路之共振點，也就是待測電路的穿透係數之 最大值。 首先，我們知道耦合係數和耦合矩陣之元素的關係如式(2-32)，並可由元素 M12和比例頻寬求得待測電路之共振點分別在 fH以及 fL頻率，如式(2-33)(2-34)。 2 2 1,2 2 2 H L H L f f k M f f (2-32) 2 e fH fL f (2-33) 2 1 , 1 1 1 1 e L H L f k f f f k k k (2-34) 另一方面，若將待測電路的矩陣定為 AtBtCtDt矩陣，可整理出圖 2. 25 的整 體 ABCD 矩陣如式(2-35)，當求出所要測量耦合係數之電路的 ABCD 矩陣後，再 利用 S 參數矩陣之轉換，可求得整體穿透係數 S21如式(2-36)，整理後發現，分
23 母當中 Ct 的係數為電容之二次函數，其值將遠大於其餘各項，意味著分母之值 可由此項數值主要決定。起因於弱耦合的特性，我們僅需求出 Ct即可得到圖 2. 25 之電路共振時所需符合的條件。也就是說 Ct 的根與穿透係數之分母的根幾乎一 樣。
2 t t t t t t t t t C A C D A B j c j c j c A B c C D C C D j c (2-35)
21 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 / 1 2 1 1 1 t 1 t t t S A B Z CZ D B A C Z D j cZ j c Z c Z j cZ (2-36) 綜合以上，當頻率為 fH和 fL時，也就是 S21的兩個峰值點，令 Ct為零，並 解其聯立方程式，即可得到偶模結構之參數間的關係。 圖 2. 25 測量耦合係數電路圖 以下將介紹分析圖 2. 25 之 ABCD 矩陣之解析步驟如表 2. 2： Z1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Z1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2 ΦL/2 t t t tA
B
C
D
A
B
C
D
24 表 2. 2 解析步驟 <1> <2> <3> <4> 圖 示 矩 陣 middle A B C D couple A B C D parallel A B C D order2 A B C D <1> 第一步我們先求出電路下方的兩線段以及其中間之電感的等效 ABCD 矩陣， 對於串接之 ABCD 矩陣，只要將各區段電路之 ABCD 矩陣直接做矩陣相乘即可。 圖 2. 26 解析方塊一 如圖 2. 26 所示，首先將右邊中間線段和線段二相乘，如式(2-37)，因各項 參數複雜度高，用矩陣 t j y j u x 簡化其表示式。其中，用es”表示中間線段長 度es以及因阻抗反轉值而產生的一個負的長度L /2 之總長。 2 2 2 2 2 2
cos '' sin '' cos sin
1 1
sin '' cos '' sin cos
es es es es es es jZ jZ j j Z Z Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Zes,Ɵes ΦL/2 ΦL/2 Zoe12Zoo12 Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes’ Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2 ΦL/2 Z1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Z1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes’ Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2 ΦL/2 Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Zes,Ɵes ΦL/2 ΦL/2
25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos ''cos sin ''sin cos ''sin sin ''cos
1 1
sin ''cos cos ''sin cos ''cos sin ''sin
es es es es es es es es es es es es Z jZ Z Z t j y Z j u x j Z Z Z (2-37) 接下來再將左邊線段串接電感以及右邊線段，整理如式(2-38)，其中為角頻率。 2 2 1 0 1 1 middle ty y tx uy j yx xy L L A B x j y t j y C D j u t j u x t yt j L j tu ut yu xt L L (2-38) 在式(2-38)中： 2 2 2
cos es''cos sin es''sin
es Z x Z
2cos es''sin 2 essin es''cos 2
yZ Z
2 2
2
1 1
sin es''cos cos es''sin
es u Z Z 2 2 2
cos ''cos essin ''sin
es es Z t Z '' 2 L es es <2> 參考已發表之論文可知，平行耦合線段如圖 2. 11 之 ABCD 矩陣如式(2-39) 所示。
2 2 2 cos cos 2 sin 2sin cos oe oo oe oo oe oo oe oo oe oo couple oe oo oe oo oe oo Z Z Z Z Z Z j A B Z Z Z Z C D Z Z j Z Z Z Z (2-39) <3>26 接下來我們要推導將兩個 ABCD 矩陣並聯之後的等效 ABCD 矩陣。首先如 表 2. 3，我們先假設前面推導出的中間線段以及電感部分之矩陣為矩陣 M，而 開路偶合線段之複雜矩陣為矩陣 N，定義由兩者並聯相接後之矩陣為矩陣 T，也 就是 T=f(M,N)，其中，矩陣 M 以及 N 之兩端點電壓電流以小寫 v,i 表示，而並 聯後之舉 T 之兩端點電壓電流以大寫 V,I 表示之，v,i(V,I)之下標的數字 1 和 2 分 別表示電路方塊的輸入以及輸出端。 表 2. 3 並聯電路矩陣及其電壓電流關係 解析方塊一 平行耦合線段 並聯電路方塊 圖示 ABCD 矩陣 ' ' ' ' A B M C D A B N C D para para para para A B T C D 端點電壓電 流關係 1' ' 2' ' '2 v A v B i 1' ' 2' ' '2 i C v D i 1 2 2 v Av Bi 1 2 2 i Cv Di 1 para 2 para 2 V A V B I 1 para 2 para 2 I C V D I 圖 2. 27 並聯電路矩陣示意圖 觀察電路架構如圖 2. 27，矩陣 M、N 之端點電壓電流關係如表 2. 3，而此 ' ' ' ' A B C D A B C D
i
1’
i
2’
i
1i
2v
1’
v
2’
v
1v
2V
1V
2I
1I
2 para para para para A B C D 27 電路之邊界條件如式(2-40)~(2-43)， 1 1' 1 V v v (2-40) 2 2' 2 V v v (2-41) 1 1' 1 I i i (2-42) 2 2' 2 I i i (2-43) 首先假設 I2等於零，算出 V1和 I1與 V2的關係，之後假設 V2為零，並計算 I1和 I1與 I2的關係，最後整理矩陣 T 之各元素可得到式(2-44)~(2-47)。 1 2 ' ' ' para V B A B A A V B B (2-44) 1 2 ' ' para V B B B I B B (2-45)
1 2 ' ' ' ' para C C D D A A I C V B B (2-46) 1 2 ' ' ' para I B D B D D I B B (2-47) <4> 最後剩下將此並聯之兩區塊電路在兩旁再接一段線段的 ABCD 矩陣，如圖 2. 28，同樣的，因為中間電路之 ABCD 矩陣已經求出，只要再將 ABCD 矩陣與前 後線段之 ABCD 矩陣直接相乘，即可得到整體的 ABCD 矩陣如式(2-48)，式中假 設中間並聯電路方塊之 ABCD 矩陣如圖 2. 28 內所示。 而後可依照前面步驟，一步一步求出整體的 ABCD 矩陣，可得到式(2-49)。28
圖 2. 28 待測電路方塊圖
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
cos sin cos sin
=
1 1
sin cos sin cos
t t t t jZ jZ A B A jB j jC D j C D Z Z (2-48) 在(2-48)中： 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
cos sin cos sin cos sin
t B A A CZ D Z 2 2 2
1sin 1cos 1 cos 1 1 sin 1 1sin 1cos 1
t
B jAZ jB jCZ jDZ
2 2
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1
sin cos sin cos sin cos
t A B D C j j jC j Z Z Z 2 2 1 1 1 1 1 1 1
sin sin cos sin cos cos
t B D A CZ D Z 在式(2-48)中的 Ct即為前面介紹耦合係數法當中，待測電路的 Ct值，我們將 總整理如式(2-49)。 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
sin cos sin cos sin cos /
f f f t f f A B D C j j jC j E Z Z Z (2-49)
29
在式(2-49)中：
2
2 2
1 1 1
2sin cos ( ) cos
f j oe oo oe oo oe oo A B Z Z Z Z Z Z A
2
2 2 1 cos f j oe oo oe oo B B Z Z Z Z
2
2 2 1 1 1 2sin 2( ) sin cos f j j oe oo oe oo oe oo b oe oo C C B Z Z Z Z Z Z C Z Z f f D A
2
2 2 1 1 2sin ( ) cos f j oe oo oe oo oe oo E B Z Z Z Z Z Z
2 1 1 2sin oe oocos b oe oo oe oo Z Z C Z Z A Z Z ty A D tx uy L 2 2 j y B jB j xy L 2 2 j t C jC j ut L 2 2 2cos es''cos sin es''sin
es Z x Z
2cos es''sin 2 essin es''cos 2 yZ Z
2 2
2
1 1
sin es''cos cos es''sin
es u Z Z 2 2 2
cos ''cos essin ''sin
es es Z t Z 如前所述，要找到弱耦合共振點，只要找到圖 2. 25 中，使 Ct值等於零的根 即可，因為共振點有一高頻點和一低頻點(fH,fL)，而線段在不同頻率下之等效長 度也是不同的，因此可列出兩個分別在高頻以及低頻的等式，如式(2-50)，配合 式(2-31)，此三個等式，即可求得中間線段之阻抗和長度、偶模比例頻寬，以及 電感這三個變數。
30 ( es( es), even, ) 0@ L& H H Z L f f f f (2-50)
2.3.3 三階奇模電路結構
這裡將介紹三階的濾波器設計，三階的結構類似二階，如圖 2. 29，其半電 路和等效電路如圖 2. 30，只比二階結構再多了一級，同樣的，分別令其各段電 氣長度為,，而對應之阻抗值為 Z1, Z2。並畫出共振腔如圖 2. 31。 圖 2. 29 三階整體電路結構 (a) 電路架構 (b) 等效電路圖 圖 2. 30 三階奇模電路結構 Zoe23,Zoo23,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes/2,Ɵes Z2,Ɵ2 Zes/2,Ɵes’ Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2ΦL/2 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zoe3L,Zoo3L,Ɵ1 Zes/2,Ɵes’ Zes/2,Ɵes ΦL/2 ΦL/2 L/2 L/2 Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Z2,Ɵ2 Zoe3L,Zoo3L,Ɵ1 Zoe23,Zoo23,Ɵ1 Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ZoeS1,ZooS1,Ɵ1 Input even signal Output31 圖 2. 31 三階共振腔 由奇模半電路圖可以發現，共振條件等和二階電路相同，不再贅述。唯一不 同的是多了一級的耦合，同樣將此斜率參數、耦合係數，並給定比例頻寬以及訊 源導納，帶入式(2-3)和式(2-5) (2-6)，即得到各段耦合線段之奇模阻抗和偶模阻 抗值，以及各線段長度也在共振條件中確定。
2.3.4 三階偶模電路結構
為設計三階偶模結構，畫出偶模半電路以及等效電路如圖 2. 32，由偶模半 電路可發現兩點，其一，若使用二階偶模之弱耦合設計方式，待測電路方塊之電 路結構和二階不同，由此可知待測電路之等效 ABCD 矩陣需重新計算；其二為， 三階偶模的共振腔結構分為兩種，如圖 2. 33，其共振條件不同，可得到另一等 式。 (a) 電路架構32 (b) 等效電路圖 圖 2. 32 三階偶模電路結構 如同二階，偶模中間殘段以及電感值為全電路的二倍，圖中部分線段在設計 奇模時已經固定，尚未決定長度以及阻抗值的部分為當偶模訊號輸入時才看的到 的部分線段(Zes, es, es’)以及二電感。需注意，此時的線段長度不一，位於較外 側之線段定為 es，而較內側之線段定為es’，兩個電感則皆為 L。 同樣的設計流程，首先我們要計算出三階偶模結構時的共振腔輸入阻抗，由 等效電路圖可以看到，在 JS1和 J12 (以及 K12)之間與 J12 (以及 K12)和 J23 (以及 K23) 之間的電路結構不一樣，分別如圖 2. 33，可得到兩個共振條件，對於圖(a)，其 共振條件如式(2-51)，和二階結構相同；而圖(b)的輸入阻抗則整理如式(2-52)， 共振條件則如式(2-54)。此為三階偶模結構的另一個必要條件。 (a) 共振結構一 (b) 共振結構二 圖 2. 33 三階偶模共振結構
1 2 estan 2tan es 2 2tan 1 estan es 2tan 2 0
f Z Z Z Z Z Z
33
2
2
2
2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2tan ' 1 tan tan 1 tan tan tan tan '
2 2
tan tan ' 2 tan tan ' tan
2 2 es es es es in es es es es Z Z Z Z Z Z Z Z Z j Z Z Z Z Z Z Z Z (2-52)
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2tan tan ' 2 tan tan ' tan
2 2
tan ' 1 tan tan 1 tan tan tan tan '
2 2 es es es es in es es es es Z Z Z Z Z Z Y j Z Z Z Z Z Z Z Z (2-53)
1 2 tan 2tan ' 2 2tan 1 tan ' 2tan 2 0
2 2 es es es es Z Z f Z Z Z Z (2-54) 而其偶模斜率參數(beven )之求法也和二階結構相同，同樣的我們將 Zes由es表示， 且得到式(2-56)之條件。
2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 tan tan tan tan 2 tan tanes es es Z Z Z Z Z Z (2-55) 2 ,1 ,1 e S e e A e S J b G M (2-56) 在式(2-56)中：
2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 '2 tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan
es es e es es es es Z Z m Z Z n Z p f b g Z Z Z Z Z Z Z Z 2 2 2 2 2
tan es sec tan es sec es m
2 2
1 1 1
tan es sec es tan es sec
n
2 2
1 2 2 2 1 1
tan sec tan sec
p
此時已由共振條件和斜率參數得到兩個等式，接下來同樣要以弱耦合之測試， 測量電路之共振點，但是此三階電路結構和二階電路結構不同，需進行修正。圖 2. 34 為三階偶模結構之待測電路方塊，此為依照電路的對稱性做切割，使得第 一腔至第二腔之耦合和第二腔至第三腔之耦合相同。
34 圖 2. 34 測量耦合係數之三階電路圖 由圖可以看到三階偶模結構較二階的電路多了一根接地殘段。以下將由二階分析 為基礎進行修正其 ABCD 矩陣，解析步驟如表 2. 4： 表 2. 4 三階電路之解析步驟 <1> <2> <3> <4> 圖 示 矩 陣 middle A B C D couple A B C D parallel A B C D order3 A B C D <1> 三階偶模與二階偶模主要的不同就在第一步驟，如圖 2. 35，我們須先求出 最右邊上面線段(Z2,2)之 ABCD 矩陣，而後串接右側下方之接地殘段，其 ABCD 矩陣如式(2-57)，之後如同二階之運算方式，串接線段以及電感，得到如式(2-58) Z1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes Z1,Ɵ1 Z2,Ɵ2 Zes,Ɵes’ Zoe12,Zoo12,Ɵ1 ΦL/2 ΦL/2 Zes,Ɵes’ t t t t
A
B
C
D
A
B
C
D
35 之矩陣。 圖 2. 35 三階解析方塊一 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 cos sin cos sin
1 1 1 1 sin
0 sin cos sin cos
tan ' tan ' tan '
es ess es ess es ess
jZ jZ Z j j j j Z Z Z Z Z (2-57) 1 0 '' '' 1 1 '' '' middle A B x j y A B C D j u t C D j L (2-58) 在式(2-58)中： 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ''cos
sin cos sin cos
'' cos ''cos sin '' cos ''
tan '' tan '' es es es es es es ess es es ess y A x Z y L Z Z Z Z Z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin '' sin sin
'' sin cos '' sin '' cos cos '' cos
tan '' tan '' es es es es es es ess es ess es Z y Z Z B j x Z Z jy L Z Z Z 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ''cos
sin cos sin cos
'' cos ''cos sin '' cos ''
tan '' tan '' es es es es es es ess es es ess t C j u Z jt L Z Z Z Z Z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin '' sin sin
'' sin cos '' sin '' cos cos '' cos
tan '' tan '' es es es es es es ess es ess es Z t Z Z D u Z Z t L Z Z Z 且 2 2 2
cos es''cos sin es''sin
es Z x Z y Z2c o se s ' ' s i n2 Ze s s i ne s ' ' c o s 2 2 2 2 1 1
sin es''cos cos es''sin
es u Z Z 2 2 2
cos ''cos essin ''sin
es es Z t Z
36 其中我們以ess”表示長度es’以及因阻抗反轉值而產生的一個負的長度L /2 之總長。同樣的，也用es”表示線段長度es以及因阻抗反轉值而產生的一個負的 長度L /2 之總長。 <2> 參考已發表之論文可知，平行耦合線段之 ABCD 矩陣如式(2-59)所示。
2 2 2 cos cos 2 sin 2sin cos oe oo oe oo oe oo oe oo oe oo couple oe oo oe oo oe oo Z Z Z Z Z Z j A B Z Z Z Z C D Z Z j Z Z Z Z (2-59) <3> 接下來是將兩個 ABCD 矩陣並聯之後的等效 ABCD 矩陣。首先如表 2. 5。 表 2. 5 三階並聯電路矩陣及其電壓電流關係 解析方塊一 平行耦合線段 並聯電路方塊 圖示 ABCD 矩 陣 ' ' ' ' A B M C D A B N C D para para para para A B T C D 端點電壓 電流關係 1' ' 2' ' '2 v A v B i 1' ' 2' ' '2 i C v D i 1 2 2...(3) v Av Bi 1 2 2 i Cv Di 1 para 2 para 2 V A V B I 1 para 2 para 2 I C V D I 同樣的，三階並聯矩陣如式(2-60)等所示。與二階電路之差別為解析方塊一之矩 陣的不同。 1 2 ' ' ' para V B A B A A V B B (2-60)37 1 2 ' ' para V B B B I B B (2-61)
1 2 ' ' ' ' para C C D D A A I C V B B (2-62) 1 2 ' ' ' para I B D B D D I B B (2-63) <4> 最後將此並聯之兩區塊電路在兩旁再接一段線段的 ABCD 矩陣，如圖 2. 36 圖 2. 36 三階待測電路方塊圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos sin cos sin
1 1
sin cos sin cos
t t t t jZ jZ A B A jB j jC D j C D Z Z (2-63) 如前所述，要找到弱耦合共振點，只要找到圖 2. 34 中，使 Ct值等於零的根 即可，因為共振點有一高頻點和一低頻點(fH,fL)，可列出兩個分別在高頻以及低 頻的等式，配合式(2-54) (2-56)，此四個等式，即可求得中間線段之阻抗和各邊
