99指考數學甲

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九十九學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，請勿

在答案卡上使用修正液（帶）。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，並標明題號。請在規定之欄位以筆尖較粗

之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。更正時，可以使用修正液（帶）。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）單選題只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到，以及 6，7，8，9，0 等格

子；多選題只用

1，2，3，4 等四個格子，而不需要用到，以及 5，6，7，8，9，0

等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而考生得到的答案為 7，

亦即選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

6 題為多選題，而考生認為正確的選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡第

6 列的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是

50 7 

時，則考生必

須分別在答案卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

祝考試順利

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔

7 4 分 ）

一 、 單 選 題 （

3 0 分 ）

說明：第

1 至 5 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答

欄」。每題答對得

6 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣 1.5 分，倒扣到本大

題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 向量 (2, 1) 與下列哪一個向量之夾角（介於 0 與180 之間）為最小？ (1) ( 1,  2) (2) ( 2,1) (3) ( 1, 2) (4) (1, 2) (5) ( 2,1) 2. 不透明箱中置有編號分別為 1、2 、3 、6 、8 的球各一顆。同時自箱中隨機取出三顆球，則此三 球編號之和大於14 的機率為下列哪一個選項？ (1) 1 5 (2) 3 10 (3) 2 5 (4) 1 2 (5) 3 5 3. 考慮矩陣A a b c a     _   ，其中a、b、c為實數且行列式 detA 。試問行列式1 1 det(A A  )之值 為下列哪一個選項？ (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 4 (5) 16

4. 設 ( )f x 為實係數三次多項式，右圖所示為函 數y f x( ) 的圖形，其中



5, (5)f



為反曲點。試 問 ( )f x 的導函數 ( )f x 可能為下列哪一個選項？ (1) _(x5)2_1 (2) 2 (x5) 1 (3) 2 (x5) (4) _{ (x 5)}2_1 (5) _{ (x 5)}2_1

5. 將函數 y3sinxcosx、ysin(2 ) 3cos(2 )x  x 、y2sinx2cosx 的圖形繪於同一坐標平面 上，其與x軸的相關位置如下圖：

試問圖中的圖形y f x( )、y g x ( )、y h x ( )所代表的函數應為下列哪一個選項？ (1) ( ) 3sinf x  xcosx、 ( ) sin(2 ) 3cos(2 )g x  x  x 、 ( ) 2sinh x  x2cosx

( )

y f x



( )

y g x



( )

y hx



x

軸

二 、 多 選 題 （

1 6 分 ）

說明：第

6 至 7 題，每題各有 4 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，

劃記在答案卡之「解答欄」。每題

8 分，各選項獨立計分，每答對一個選項，

可得

2 分，每答錯一個選項，倒扣 2 分，完全答對得 8 分；整題未作答者，

不給分亦不扣分。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣

2 分。倒扣到本大題

之實得分數為零為止。

6. 設 a、b、c分別為函數 f x( ) x 2 x   、 2 2 2 ( ) g x x x   、 2 2 2 ( ) h x x x   在x為任意正實數時的 最小值。試問下列哪些選項是正確的？ (1) _{b a} 2 (2) _c₂34 (3) f x( )g x( )在x為任意正實數時的最小值為a b (4) g x( )h x( )在x為任意正實數時的最小值為b c 7. 設

a

為一正實數且滿足_a 3 _ 3_{。試問下列哪些選項是正確的？} (1) _a3 _3 ₍₂₎ 3 log a 3 (3) a1 (4) _a₃14

三 、 選 填 題 （

2 8 分 ）

說明：A 至 D 題為選填題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（8–

20）內。每一題完全答對得 7 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A. 當 n 為正整數時，令x a 、n y b 、n z c 為三元一次聯立方程組n 0 2 3 0 2 3 8 x y z x y z nx ny z n      _{  }       之唯一解， 則 lim n na  。 B. 已知多項式 ( )f x 滿足 f x( ) 8 x11，且y f x( )在x 有局部極值，則 (0)1 f   。_{10 11 12} 8 9

C. 在 ABC 中，已知AB ，5 cos 3 5 ABC    ，且其外接圓半徑為13 2 ，則 sin BAC  。 （化成最簡分數） D. 一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅 板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有三份，活動直到三份獎品都被抽中為止。則在排第四 位的人可以抽獎的情況下，排第五位的人可以抽獎的條件機率為 。（化成最簡分數） 19 20 17 18 15 16 13 14

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔

2 6 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題

號

(一、二)與子題號((1)、(2)、(3))，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予

扣分。各小題配分標於題末。

一、 （13 分）設 f₍x₎ax3bx2cxd_{為實係數三次多項式。已知原點(0,0)為函數y  f(x)} 的圖形之反曲點，且此圖形在原點的切線為 y  。x (1) 試求 b、c、 d 。（5 分） (2) 若a0且y  f(x)的圖形與直線y 0所圍的有界區域面積為2，試求

a

。（8 分） 二、 （13 分）設_{S x:} 2_y2_z2_{54為坐標空間中一球面；} L 為坐標空間中通過點 (0, 6,9)P  且方 向向量為 (1, 4, 2) 的直線。 (1) 試求 L 與 S 的所有交點之坐標。（5 分） (2) 在所有包含 L 的平面與 S 相交所得之圓中，面積最大值為何？（2 分） (3) 在所有包含 L 的平面中，與 S 相交所得之圓面積最小者，其平面方程式為何？（6 分）