样本与统计量

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第六章·样本与统计量

. 概率论与数理统计 . 2020 年 2 月 12 日 . 暨南大学数学系吕荐瑞

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概率论与数理统计

概率论：给定概率分布，研究数据出现概率．数理统计：给定部分观测数据，研究概率分布． .

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总体与样本

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第一节

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统计量

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第二节

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统计中的常用分布

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第三节

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正态统计量的分布

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第四节

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总体、个体与样本

数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体．从总体中抽出的若干个体称为样本．例 1 研究某工厂生产的电视机的寿命：总体：工厂生产的电视机的全体个体：工厂生产的每台电视机样本：从全部电视机中抽取的一些样品 .

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总体、个体与样本

数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体．从总体中抽出的若干个体称为样本．例 1 研究某工厂生产的电视机的寿命：总体：工厂生产的电视机的全体个体：工厂生产的每台电视机样本：从全部电视机中抽取的一些样品 .

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在实际研究中，我们真正关注的并不一定是总体或个体本身，而是总体或个体的某项数量指标．故也将总体理解为研究对象的某项数量指标的全体．例 1 研究某工厂生产的电视机的寿命：总体：工厂生产的电视机的寿命的全体个体：工厂生产的每台电视机的寿命例 2 研究某地区所有家庭的年收入：总体：所有家庭的年收入的全体个体：每个家庭的年收入 .

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总体分布

对一个总体，如果用 X 表示其数量指标，则我们随机 地抽取个体时，X 就构成总体上的一个随机变量． X 的分布称为总体分布．总体的特性是由总体分布来刻画的．因此，常把总体和总体分布视为同义词． .

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总体分布

对一个总体，如果用 X 表示其数量指标，则我们随机 地抽取个体时，X 就构成总体上的一个随机变量． X 的分布称为总体分布．总体的特性是由总体分布来刻画的．因此，常把总体和总体分布视为同义词． .

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总体分布

如果总体包含的个体数量是有限的，则称该总体为有限总体．否则称该总体为无限总体．有限总体的分布是离散型的，且分布通常与总体所含个体数量有关系，研究起来比较困难．故总体所含的个体数量很大时，一般近似视之为无限总体． .

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总体分布

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总体分布

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样本的二重性

假设 X1,X2,· · · ,Xn 是从总体 X 中取出的样本， 1 在对这些样本进行观测之前，X1,· · · ,X_n 是相互独立的随机变量，均服从总体分布； 2 一旦对样本进行观测，X1,· · · ,Xn 即为确定的一组数值．从而样本兼有随机变量和确定数值两种属性．有时为 了区分，也将 X1, X2, _{· · · , X}n 的观测值记为 1, 2, · · · , n，称为样本值． .

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精确定义

定义 1 称随机变量 X1,X2,· · · ,Xn 构成一个（简单）随机样本，如果这些随机变量 1 相互独立； 2 服从相同的分布．它们共同服从的分布称为总体分布；样本个数 n 称 为样本容量． .

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样本分布

假设总体 X 服从离散型分布 P{X = } = p() 则 X1,X2,· · · ,Xn 的联合分布律为 P{X1 = 1,X2 = 2,· · · ,Xn = n} =p(1)p(2) · · · p(n). .

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样本分布

假设总体 X 服从连续型分布且密度函数为 ƒ() 则 X1,X2,· · · ,Xn 的联合概率密度为 g(1,· · · ,n) = ƒ (1)ƒ (2) · · · ƒ (n). .

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总体与样本

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第一节

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统计量

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第二节

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统计中的常用分布

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第三节

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正态统计量的分布

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第四节

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统计量

在实际问题中，总体分布一般是未知的，我们常常事先假定总体分布的类型，再通过取样的方式确定分布中的未知参数．此时这些未知参数常常写成样本的函数．定义 1 样本的已知函数（不含问题中的未知参数）称为统计量． .

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统计量

例如：研究某城市居民的收入情况，事先假定该城市 居民的年收入 X 服从正态分布 N_(μ,σ2)，其中 μ 与 σ2 _{都是未知参数．} 在抽取样本 X1,X2,· · · ,Xn 的情况下，一般用样本平均值 X1+ X2+ · · · + Xn n 近似估计 μ，该平均值就是一个统计量． .

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统计量

作为对比，以下函数含有问题中的未知参数，因此不是统计量 X1+ X2+ · · · + Xn nσ , X1+ X2+ · · · + Xn n − μ. .

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常用统计量

定义 2 对样本 X1,X2,· · · ,Xn，称 X := 1 n n ∑ =1 X = X1+ X2+ · · · + Xn n 为样本均值． .

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常用统计量

定义 3 对样本 X1,X2,· · · ,Xn，称 S2 := 1 n− 1 n ∑ =1 (X − X)2 为样本方差；称 S := s 1 n− 1 n ∑ =1 (X− X)2 为样本标准差． .

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常用统计量

样本方差的性质： S2 = 1 n− 1 n ∑ =1 X2_ − nX2 ! . 例 1 已知样本值为 ₍₂,−1,0,−2,0)，求 X 和 S2．练习 1 已知样本值为 ₍₀,1,3,−3,−2)，求 X 和 S2． .

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常用统计量

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常用统计量

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常用统计量

定义 4 对样本 X1,X2,· · · ,Xn 及正整数 k，称 Ak := 1 n n ∑ =1 X_k = X k 1+ X k 2+ · · · + X k n n 为 k 阶样本原点矩；对 k _¾ 2，称 Mk := 1 n n ∑ =1 X− X k 为 k 阶样本中心矩． .

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均值的大样本分布

中心极限定理的常用结论：大量同分布随机变量的和、平均值近似服从正态分布．定理 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 是来自均值为 μ、方差为 σ2 的总体的简单样本，则当 n 充分大时，近似地有 X∼ N μ, σ2 n . .

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均值的大样本分布

中心极限定理的常用结论：大量同分布随机变量的和、平均值近似服从正态分布．定理 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 是来自均值为 μ、方差为 σ2 的总体的简单样本，则当 n 充分大时，近似地有 X ∼ N μ, σ2 n . .

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均值的大样本分布

例 2 用机器向瓶中灌装液体洗净剂，规定每瓶装 μ 毫升．但实际灌装量总有一定的波动．假定灌装量的 方差 σ2 _{= 1，如果每箱装这样的洗净剂 25 瓶．求} 这 25 瓶洗净剂的平均灌装量与标定值 μ 相差不超过 0.3 毫升的概率．如果每箱装 50 瓶呢？ .

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复习与提高

选择 设总体 X _{∼ B(1},p)，其中参数 p ∈ (0,1) 未 知．X1,X2,X3 是来自总体 X 的简单随机样本，X 为 样本均值，则下列选项中不是统计量的为· · · · ·( ) (A) min{X1,X2,X3} (B) X1− (1 − p)X (C) mx{X1,X2,X3} (D) X3− 3X .

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总体与样本

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第一节

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统计量

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第二节

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统计中的常用分布

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第三节

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正态统计量的分布

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第四节

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统计学的三大分布

统计量的分布称为抽样分布．以下三个来自正态分布的抽样分布 χ2 分布，t 分布，F 分布 称为统计学的三大分布． .

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统计学的三大分布

统计量的分布称为抽样分布．以下三个来自正态分布的抽样分布 χ2 分布，t 分布，F 分布 称为统计学的三大分布． .

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定义 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，都服从标准正态分布，则 Y := n ∑ =1 X2  = X 2 1+ X 2 2+ · · · + X 2 n 称为服从 n 个自由度的 χ2 分布，记为 Y ∼ χ2 n 或 Y ∼ χ2(n)．定理 1 n 个自由度的 χ2 分布的概率密度函数为： ƒ() = ( ₁ 2n/ 2__(n/2) n 2−1e−  2_,  > 0; 0,  ¶ 0. .

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定义 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 相互独立，都服从标准正态分布，则 Y := n ∑ =1 X2  = X 2 1+ X 2 2+ · · · + X 2 n 称为服从 n 个自由度的 χ2 分布，记为 Y ∼ χ2 n 或 Y ∼ χ2(n)．定理 1 n 个自由度的 χ2 分布的概率密度函数为： ƒ() = ( ₁ 2n/ 2__(n/2) n 2−1e−  2_,  > 0; 0,  ¶ 0. .

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χ

2

分布的密度函数

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χ

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分布

χ2 分布的性质： 1 若 X 服从标准正态分布，Y = X2，则 Y 服从 1 个自由度的 χ2 _分布，即 Y ∼ χ2 1. 2 可加性：设 Y1 ∼ χ2 m, Y2 ∼ χ 2 n，且两者相互独立，则 Y1+ Y2∼ χ2_m_+n. .

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χ

2

分布

χ2 分布的性质： 1 若 X 服从标准正态分布，Y = X2，则 Y 服从 1 个自由度的 χ2 _分布，即 Y ∼ χ2 1. 2 可加性：设 Y1 ∼ χ2 m, Y2 ∼ χ 2 n，且两者相互独立，则 Y1+ Y2∼ χ2_m_+n. .

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χ

2

分布

χ2 分布的数字特征： E(χ2 n) = n, Vr(χ 2 n) = 2n. .

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χ

2

分布

定义 2 对给定的 α _{∈ (0},1)，称满足条件 P{χ2 n > χ 2 n(α)} = α 的点 χ2 n(α) 为 χ 2 n 分布的上 α 分位点．例 1 设 α _{= 0.05，n = 20，查表得} χ2₂₀(0.05) = 31.41. .

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χ

2

分布

定义 2 对给定的 α _{∈ (0},1)，称满足条件 P{χ2 n > χ 2 n(α)} = α 的点 χ2 n(α) 为 χ 2 n 分布的上 α 分位点．例 1 设 α _{= 0.05，n = 20，查表得} χ2 20(0.05) = 31.41. .

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定义 3 设两个随机变量 X,Y 相互独立，并且 X ∼ N(0,1), Y ∼ χ2_n. 则称 T := _pX Y/ n 为服从 n 个自由度的t 分布，记为 T ∼ tn 或T ∼ t(n)．定理 2 具有 n 个自由度的 t 分布的概率密度函数为： ƒ() =  _n₊₁ 2 p nπ· n₂ 1+  2 n −n+1 2 . 注记 t 分布的概率密度函数为偶函数． .

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定义 3 设两个随机变量 X,Y 相互独立，并且 X ∼ N(0,1), Y ∼ χ2_n. 则称 T := _pX Y/ n 为服从 n 个自由度的t 分布，记为 T ∼ tn 或T ∼ t(n)．定理 2 具有 n 个自由度的 t 分布的概率密度函数为： ƒ() =  _n₊₁ 2 p nπ· ₂n 1+  2 n −n+1 2 . 注记 t 分布的概率密度函数为偶函数． .

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定义 3 设两个随机变量 X,Y 相互独立，并且 X ∼ N(0,1), Y ∼ χ2_n. 则称 T := _pX Y/ n 为服从 n 个自由度的t 分布，记为 T ∼ tn 或T ∼ t(n)．定理 2 具有 n 个自由度的 t 分布的概率密度函数为： ƒ() =  _n₊₁ 2 p nπ· ₂n 1+  2 n −n+1 2 . 注记 t 分布的概率密度函数为偶函数． .

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t 分布的密度函数

注记 t 分布与标准正态分布的关系：t∞ = N(0,1)． .

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t 分布的密度函数

注记 t 分布与标准正态分布的关系：t∞ = N(0,1)． .

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t 分布

设 T _{∼ t}n．对给定的 α ∈ (0,1)，称满足条件 P{T > tn(α)} = α 的点 tn(α) 为 tn 分布的上 α 分位点． 设 Z _{∼ N(0},1)，对给定的 α ∈ (0,1)，称满足条件 P{Z > Zα} = α 的点 Zα 为标准正态分布的上 α 分位点．例 2 t10(0.05) = 1.812, Z0.025 = 1.960． 性质 tn(1 − α) = −tn(α), Z1−α = −Zα. .

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t 分布

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t 分布

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t 分布

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定义 4 设两个随机变量 Y1,Y2 相互独立，并且 Y1 ∼ χ2_m, Y2 ∼ χ2_n 则 F := Y1/ m Y2/ n ∼ Fm,n. 称为自由度为 m 和 n 的 F 分布，记为 F ∼ Fm,n 或 F ∼ F(m,n)．定理 3 自由度为 m 和 n 的 F 分布的概率密度为 ƒ() =    (m₂+n) (m₂)·(n₂) _m n m 2 m2−1 1+ m_n− m+n 2 ,  > 0; 0, ¶0. .

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定义 4 设两个随机变量 Y1,Y2 相互独立，并且 Y1 ∼ χ2_m, Y2 ∼ χ2_n 则 F := Y1/ m Y2/ n ∼ Fm,n. 称为自由度为 m 和 n 的 F 分布，记为 F ∼ Fm,n 或 F ∼ F(m,n)．定理 3 自由度为 m 和 n 的 F 分布的概率密度为 ƒ() =    (m₂+n) (m₂)·(n₂) _m n m 2 m2−1 1+ m_n− m+n 2 ,  > 0; 0, ¶0. .

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F 分布的密度函数

Figure: F 分布的密度函数 .

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F 分布的性质

F 分布的性质： 1 若 F ∼ F_m_,_n，则 1/ F ∼ F_n_,_m． 2 若 T ∼ t_n，则 T2 ∼ F₁_,n． .

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F 分布的性质

F 分布的性质： 1 若 F ∼ F_m_,_n，则 1/ F ∼ F_n_,_m． 2 若 T ∼ t_n，则 T2 ∼ F₁_,n． .

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F 分布的分位点

设 F _{∼ F}m,n．对给定的 α ∈ (0,1)，称满足条件 P{F > Fm,n(α)} = α 的点 Fm,n(α) 为 Fm,n 分布的上 α 分位点．性质 Fm,n(1 − α) = 1 Fn,m(α) . 例 3 F15,10(0.95) = 1/F10,15(0.05) = 1/2.54 = 0.394. .

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F 分布的分位点

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F 分布的分位点

设 F _{∼ F}m,n．对给定的 α ∈ (0,1)，称满足条件 P{F > Fm,n(α)} = α 的点 Fm,n(α) 为 Fm,n 分布的上 α 分位点．性质 Fm,n(1 − α) = 1 Fn,m(α) . 例 3 F15,10(0.95) = 1/F10,15(0.05) = 1/2.54 = 0.394. .

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F 分布的分位点

设 F _{∼ F}m,n．对给定的 α ∈ (0,1)，称满足条件 P{F > Fm,n(α)} = α 的点 Fm,n(α) 为 Fm,n 分布的上 α 分位点．性质 Fm,n(1 − α) = 1 Fn,m(α) . 例 3 F15,10(0.95) = 1/F10,15(0.05) = 1/2.54 = 0.394. .

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F 分布的分位点

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复习与提高

选择 设 X1,X2,X3 为来自正态总体 N(0,σ2) 的简单 随机样本，则统计量 R₌ X_p1− X2 2|X3| 服从分布· · ·( ) (A) F1,1 (B) F2,1 (C) t1 (D) t2 .

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总体与样本

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第一节

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统计量

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第二节

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统计中的常用分布

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第三节

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正态统计量的分布

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第四节

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单个正态总体的统计量的分布

定理 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 是取自正态总体 N(μ,σ2) 的样本．则 X 与 S2 _{相互独立，且有} X− μ σ/pn ∼ N(0,1), X− μ S/pn ∼ tn−1, n ∑ ₌₁ X − μ 2 σ2 ∼ χ 2 n, (n − 1)S2 σ2 ∼ χ 2 n−1. .

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两个正态总体的统计量的分布

定理 2 设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别是取自两个相互独立的正态总体 N(μ1,σ2₁), N(μ2,σ₂2) 的样本．则 U := X− Y − (μq 1− μ2) σ2₁ m + σ2₂ n ∼ N(0,1), 其中 X, Y 分别是两个样本各自的均值． .

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两个正态总体的统计量的分布

定理 3 设 X1,X2,· · · ,Xm 与 Y1,Y2,· · · ,Yn 分别是取自两个相互独立的正态总体 N(μ1,σ2), N(μ2,σ2) 的样本．则 T := q X− Y − (μ1− μ2) (m−1)S2 1+(n−1)S22 m+n−2 · Æ 1 m+ 1 n ∼ tm+n−2, 其中 X, Y, S2 1, S 2 2 分别是两个样本各自的均值及方差． .

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两个正态总体的统计量的分布

定理 5 设 X1,· · · ,Xm 与 Y1,· · · ,Yn 分别是取自两个相互独立的正态总体 N(μ1,σ2₁), N(μ2,σ₂2) 的样本．则 F := S 2 1/ σ 2 1 S2 2/ σ 2 2 ∼ Fm−1,n−1. 其中 S2 1 和 S 2 2 分别是两个样本各自的方差． .

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