目 暋暋录

主暋暋编:林暋群

副 主 编:田载今暋薛暋彬暋李海东 本册主编:章建跃

主要编写人员:张劲松暋宋莉莉暋李龙才暋刘长明暋邓泾河 严博文暋郑新明暋黎灿明暋鲁欲民

责任编辑:张劲松 美术编辑:王俊宏

封面设计:吕暋旻暋王俊宏

插暋暋图:王俊宏暋文鲁工作室 (封面)

义务教育教科书 数暋学 九年级暋下册 人民教育出版社暋课程教材研究所 中 学 数 学 课 程 教 材 研 究 开 发 中 心暋编著

* 出版

网址:http://www.pep.com.cn 暳暳暳暳出版社重印 暳暳暳新华书店发行 暳暳暳暳印刷厂印装

开本:787毫米暳1092毫米暋1/16暋印张:7灡5暋字数:123000 2014年8月第1版暋暋暋年暋月第暋次印刷

ISBN978灢7灢107灢00000灢0暋定价:暋暋元

著作权所有·请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究

本

本册导引

亲爱的同学,新学期又开始了。这是你在初中阶段要学习的最后一册数学 教科书。

函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。这里,我们将认识函数家族 中的一个新成 员——— “反比例函数暠。与前面学习一次函数和二次函数一样, 我们将研究它 的 图 象 和 性 质,利用它来描述某些变化规律,解决一些实际问 题,进一步提高对函数的认识和应用能力。

日常生活中,我们常常会见到一些形状相同的图形。它们具有什么共同的 特征? 怎样从数学的角度去认识这种现象? 在 “相似暠一 章,你将会得到答 案。类似于全等,相似是图形之间的一种特殊关系。与平移、轴对称、旋转一 样,它还是图形之间的一种基本变化。学完了这一章,你将会对上述问题有更 深刻的理解,并利用相似去解决一些实际问题。

测量长度或角度是我们日常生活中经常遇到的问题。在前面的学习中,我 们学习了一些利用全等或相似来测量的方法,但都要用到两个三角形。“锐角 三角函数暠将带我们去研究直角三角形中的边角关系,利用它,就可以很方便 地解决与直角三角形有关的测量问题了。

在建筑施工和机械制造中,常常要使用三视图。在七年级上册,我们已初 步了解了从不同方向看立体图形可以得 到 不 同 的 平 面 图 形。在 “投影与视图暠 一章,我们将了解投影的基础知识,借助投影来认识视图,并进一步利用视图 来认识立体图形与平面图形的关系。学完了本章,相信你对空间图形的认识一 定会有进一步的提高。

过了这个学期,你就要初中毕业了,我们这套 《义务教育教科书·数学》

伴你走过了三年的初中学习生活。回忆一下,在这三年里,你学到了哪些数学 知识? 对数学有了进一步的认识吗?

今后,无论你是继续学习还是参加工作,都希望你能用数学的眼光去观察 世界,用数学的头脑去思考问题,用所学的数学知识去解决问题。愿你今后取 得更大的进步。

目

目 暋暋录

第二十六章 暋反比例函数

26灡1暋反比例函数 ²

信息技术应用暋探索反比例函数的性质 10 26灡2暋实际问题与反比例函数 12 阅读与思考暋生活中的反比例关系 17

数学活动 ₁₉

小结 ₂₀

复习题26 21

第二十七章 暋相似

27灡1暋图形的相似 ²⁴

27灡2暋相似三角形 ²⁹

观察与猜想暋奇妙的分形图形 45

27灡3暋位似 ⁴⁷

信息技术应用暋探索位似的性质 53

数学活动 ₅₄

小结 ₅₆

复习题27 ⁵⁷

第二十八章 暋锐角三角函数

28灡1暋锐角三角函数 61

阅读与思考暋一张古老的 “三角函数表暠 70 28灡2暋解直角三角形及其应用 ⁷²

阅读与思考暋山坡的高度 80

数学活动 ₈₁

小结 ₈₃

复习题28 ⁸⁴

第二十九章 暋投影与视图

29灡1暋投影 87

29灡2暋三视图 ⁹⁴

阅读与思考暋视图的产生与应用 104 29灡3暋课题学习暋制作立体模型 105

数学活动 ₁₀₇

小结 ₁₀₈

复习题29 ¹⁰⁹

部分中英文词汇索引

第

第二十六章 暋反比例函数

同一条 铁 路 线 上 ,由于不同车次 列 车 运 行 时 间有长有 短 ,所 以 它 们 的 平 均 速 度 有 快 有 慢.由 s=vt可知,在路程s一定的前提下,平均速度v与 运行时间 t成反比例.从函数角度看,平均速度v 随 运 行 时 间 t 的 变 化 而 变 化 的 规 律, 可 表 示 为 v=s t ( s为常数),这类函数就是本章要研究的反

比例函数 .

与研究 一 次 函 数 、二 次 函 数 类 似,我 们 将 在

反比例 函 数 定 义 的 基 础 上 ,研究反比例函数的图

象和性质 ,并运用反比例函数解决一些实际问题.

26灡1 反比例函数

26灡1灡1暋反比例函数



下列问题中,变量间具有函数关系吗? 如果有,它们的解析式有什么 共同特点?

(1)京沪线铁路全程为 1463km,某次列车的平均速度v (单位:

km/h)随此次列车的全程运行时间t (单位:h)的变化而变化;

(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m²的矩形草坪,草坪的长y (单位:m)随宽x (单位:m)的变化而变化;

(3)已知北京市的总面积为1灡68暳10⁴km²,人均占有面积S (单位:

km²/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.

问题 (1)中,有两个变量t与v,当一个量t变化时,另一个量v随着它 的变化而变化,而且对于t的每一个确定的值,v 都有唯一确定的值与其对 应.问题 (2) (3)也一样.所以这些变量间具有函数关系,它们的解析式分 别为

暋暋在y=kx中,自变 量x 是分式kx的 分 母, 当x=0时,分式kx无 意义.

v=1463t ,y=1000x ,S=1灡68暳10n ⁴.

上述解析式都具有y=kx 的形式,其中k是非零常数.

一般地,形 如y=kx (k 为常数,k曎0)的函 数,叫做反比例函数 (inverseproportionalfunction), 其中x是自变量,y是函数.自变量x 的取值范围是 不等于0的一切实数.

例如,在 上 面 的 问 题 (1) 中,当 路 程 一 定 (1463km)时,v=1463t 表示速度v 是时间t的反

比例函数,当t取每一个确定的值时,v都有唯一确定的值与其对应.

例1暋已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.

(1)写出y 关于x 的函数解析式;

(2)当x=4时,求y 的值.

分析:因为y 是x 的反比例函数,所以设y=kx .把x=2和y=6代入上 式,就可求出常数k的值.

解:(1)设y=kx .因为当x=2时,y=6,所以有 6=k2.

解得 k=12灡

因此 y=12x .

(2)把x=4代入y=12x,得

y=124=3灡

1灡 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系:

(1)一个游泳池的容积为2000m³,游泳池注满水所用时间t (单位:h)随注 水速度v (单位:m³/h)的变化而变化;

(2)某长方体的体积为1000cm³,长方体的高h (单位:cm)随底面积S (单 位:cm²)的变化而变化;

(3)一个物体重100N,物体对地面的压强p (单位:Pa)随物体与地面的接触 面积S (单位:m²)的变化而变化.

2灡 下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数?

y=4x,y

x=3,y=-2x,y=6x+1,y=x²-1,y=1x²,xy=123.

3灡 已知y与x²成反比例,并且当x=3时,y=4.

(1)写出y 关于x 的函数解析式;

(2)当x=1灡5时,求y 的值;

(3)当y=6时,求x 的值.

26灡1灡2暋反比例函数的图象和性质

暋暋我们知道,一次函数y=kx+b (k曎0)的图象是一条直线,二次函数y=

ax²+bx+c (a曎0)的图象是一条抛物线.反比例函数y=kx (k为常数,k曎0) 的图象是什么样呢? 我们用 “描点暠的方 法,画 出 反 比 例 函 数 的 图 象,并 利 用图象研究反比例函数的性质.

我们先研究k>0的情形.

例2暋画出反比例函数y=6x与y=12x的图象. 解:列表表示几组x 与y 的对应值 (填空):

暋 暋 你 还 记 得 如 何 用 “描 点 暠 的 方 法 画 出 函 数 的 图 象 吗?

x … -12-6 -4 -3-2-11 2 3 4 6 12 … y=6x … -1灡5 -2 6 2 1 …

y=12x … -1 -2 -4-6 12 4 3 1 …

描点连线:以表中各对对应值为坐标,描出各点,并用平滑的曲线顺次连 接这些点,就得到函数y=6x与y=12x的图象 (图26灡1灢1).

暋 暋 利 用 信 息 技 术 工 具,可 以 很 容 易 地 画 出反比例函数的图象. 6

4 2

-2 -4 -2

-4 O 2 4 6 x

y

-6

-6

y= 6x 6

4 2

-2 -4 -2

-4 O 2 4 6 x

y

-6

-6

y=12x

图26灡1灢1



观察反比例函数y=6x与y=12x的图象,回答下面的问题:

(1)每个函数的图象分别位于哪些象限?

(2)在每一个象限内,随着x 的增大,y 如何变化? 你能由它们的解 析式说明理由吗?

(3)对于反比例函数y=kx (k>0),考虑问题 (1) (2),你能得出 同样的结论吗?

O x

y

y= kx k > 0

暋图26灡1灢2

一般地,当k>0时,对于反比例函数y=kx, 由函 数 图 象 (图 26灡1灢2), 并 结 合 解 析 式,我 们可以发现:

暋暋 你能由函数的解 析式说明这些结论吗? (1)函数图象分别位于第一、第三象限;

(2)在每一个象限内,y随x的增大而减小.

当k<0 时, 反 比 例 函 数y=kx的 图 象 和 性质是怎样的呢?



回顾 上 面 我 们 利 用 函 数 图 象,从特殊到一般研究反比例函数y=kx (k>0)的性质的过程,你能用类似的方法研究反比例函数y=kx (k<0) 的图象和性质吗?

y= kx k < 0!!

O x

y

图26灡1灢3

一般地, 当 k<0 时, 对 于 反 比 例 函 数 y=kx, 由函数 图 象 (图 26灡1灢3), 并 结 合 解 析 式, 我 们 可 以发现:

(1)函数图象分别位于第二、第四象限;

(2)在每一个象限内,y 随x 的增大而增大.

反比例函数的图象由两条曲线组成,它是双曲线.



一般地,反比例函数y=kx的图象是双曲线,它具有以下性质:

(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一个 象限内,y 随x 的增大而减小;

(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一个 象限内,y 随x 的增大而增大.

x 6

4 2

-2 -4 -2 -4

-6 O 2 4 6

y

-6

(第1 (2)题)暋

6 4 2

-2 -4 -6 -5

5 O

x y

-3 -1 3 1

(第2 (2)题) 1灡 (1)下列图象中是反比例函数图象的是 (暋暋).

x 6

4 2

-2 -4 -2 -4

-6 O 2 4 6 y

-6

3

-3

O x

y

-2

-3 -1 1 2 3

-2 -1 2 1

6 4 2

-2 -4 -6

-2 O x

y

-8 8

2 4 6 8 -4

-6 -8

3

-3

O x

y

-2

-3 -1 1 2 3

-2 -1 2 1

暋暋 (A)暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (B)暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (C)暋暋暋暋暋暋暋暋 (D) (2)如图所示的图象对应的函数解析式为 (暋暋).

(A)y=5x暋暋 (B)y=2x+3暋暋 (C)y=4x暋暋 (D)y=-3x

2灡 填空:

(1)反比例函数y=5x的图象在第 象限.

(2)反比例函数y=kx的图象如图所示,则k 0;在图象的每一支上,y 随 x 的增大而 .

例3暋已知反比例函数的图象经过点 A(2,6).

(1)这个函数的图象位于哪些象限? y 随x 的增大如何变化?

(2)点B(3,4),C -21

(

)

解:(1)因为点 A (2,6)在第一象限,所以这个函数的图象位于第一、

第三象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而减小.

暋 暋 这 里 是 用 待 定 系 数 法 求 反 比 例 函 数 的 解析式.

(2)设这个反比例函数的解析式为y=kx,因 为点A (2,6)在其图象上,所以点 A 的坐标满 足y=kx,即

6=k2,

解得 k=12灡

所以,这个反比例函数的解析式为y=12x .因 为 点B,C 的坐标都满足 y=12x,点 D 的坐标不满足y=12x,所以点 B,C 在函数y=12x的图象上,点

D 不在这个函数的图象上.

O x

y

暋图26灡1灢4

例4暋如图26灡1灢4,它是反比例函数y=m-5x 图象的一支.根据图象,回答下列问题:

(1)图象的另一支位于哪个象限? 常数 m 的 取值范围是什么?

(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x¹, y1)和点B(x2,y²).如果x1>x2,那么y¹ 和y² 有

怎样的大小关系?

解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限,或者位 于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限,所以另一支必 位于第三象限.

因为这个函数的图象位于第一、第三象限,所以 m-5>0,

解得 暋 m>5.

(2)因为 m-5>0,所以在这个函数图象的任一支上,y 都随x 的增大而 减小,因此当x1>x² 时,y¹<y².

1灡 已知一个反比例函数的图象经过点 A(3,-4).

(1)这个函数的图象位于哪些象限? 在图象的每一支上,y 随x 的增大如何 变化?

(2)点B(-3,4),C(-2,6),D(3,4)是否在这个函数的图象上?为什么?

2灡 已知点 A (x1,y¹),B (x2,y²)在反比例函数y=1x的图象上.如果x1<x2, 而且x1,x2同号,那么y¹,y²有怎样的大小关系? 为什么?



习题 26灡1

1灡 写出函数解析式表示下列关系,并指出它们各是什么函数:

(1)体积是常数V 时,圆柱的底面积S 与高h 的关系;

(2)柳树乡共有耕地S (单位:hm²),该乡人均耕地面积y (单位:hm²/人)与 全乡总人口x 的关系.

2灡 下列函数中是反比例函数的是 (暋暋).

(A)y=x2暋暋 (B)y=- 53x 暋暋 (C)y=x²暋暋 (D)y= 2x+1 3灡 填空:

(1)反比例函数y=kx的图象如图 (1)所示,则k 0,在图象的每一支上,y 随x 的增大而 ;

(2)反比例 函 数 y=kx的 图 象 如 图 (2) 所 示,则k 0, 在 图 象 的 每 一 支 上,y 随x 的增大而 ;

(3)若点(1,3)在反比例函数y=kx的 图 象 上,则k= ,在 图 象 的 每 一 支 上,y 随x 的增大而 .

x y

O

O x

y

(1) 暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋(2) (第3题)

4灡 如果y 是x 的反比例函数,那么x 也是y 的反比例函数吗?



5灡 正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2.

(1)当x=-3时,求反比例函数y=kx的值;

(2)当-3<x<-1时,求反比例函数y=kx的取值范围.

6灡 如果y是z的反比例函数,z是x 的反比例函数,那么y与x 具有怎样的函数关系?

7灡 如果y是z的反比例函数,z是x 的正比例函数,且x曎0,那么y与x 具有怎样的函 数关系?



8灡 在同一直角坐标系中,函数y=kx 与y=kx (k曎0)的图象大致是 (暋暋).

(A)(1)(2)暋暋暋 (B)(1)(3)暋暋暋 (C)(2)(4)暋暋暋 (D)(3)(4)

O x

y y

O x O x

y

O x

y

(1)暋暋暋暋暋暋暋暋 (2)暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (3)暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (4) (第8题)

9灡 已知反比例函数y=w- 2x 的图象的一支位于第一象限. (1)图象的另一支位于哪个象限? 常数 w 的取值范围是什么?

(2)在这个函数图象上任取点 A(x1,y1)和B(x2,y2).如果y1>y2,那么x1与 x2有怎样的大小关系?

  

探索反比例函数的性质

同学们,我们已经学会了用 “描点暠的方法画反比例函数的图象,如果描出的点越 多,那么画出的函数图象就越准确.利用计算机可以画出精确度很高的反比例函数的图 象,而且画图的速度也非常快.

图1就是用计算机中的制图软件画出的反比例函数y=1x的图象.

1 3 2

-1 -2 -3 -2

-4-3 -1O 1 2 3 4 5 -5

1 3 2

-1 -2 -3 -2

-4 -3 -1 1 2 3 4 5 -5

A

B

A:(1.00,1.00) B:(-1.00,-1.00)

图1暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋图2

制图软件不但能帮助我们画出反比例函数的图象,而且能帮助我们研究反比例函数的性质.

如图2,在反比例函数y=1x的图象上选定A(1,1),B(-1,-1)两点,过 A,B 两 点作一条直线,即正比例函数y=x 的图象.

1 3 2

-1 -2 -3 -2

-4 -3 -1 1 2 3 4 5 -5

A

B

A:(1.00,1.00) B:(-1.00,-1.00)

C:(0.5,2.00) C

C

C
:(2.00,0.5)

图3 如图3,把直线y=x 选定为对称轴.在反比例函

数y=1x的图象上任意选取一点C,再作点C 关于直线 y=x 的对称点C曚.可以看出,对称点C曚也在反比例函 数y=1x的图象上.对比点C 和点C曚的坐标,看一看它

们有什么关系.当拖动点C 在反比例函数y=1x的图象

上运动时,可以看到点C曚也在反比例函数y=1x的图象上运动.

通过上述的观察,可以发现,反比例函数y=1x的图象关于直线y=x 对称.

反比例函数y=1x的图象关于直线y=-x 对称吗?

一般地,反比例函数y=kx的图象既关于直线y=x 对称,又关于直线y=-x 对称.

在同一直角坐标系中,画出k=1,2,3,4,5,6时反比例函数y=kx的图象,可以 得到如图4所示的图象.

1 3 2

-1 -2 -3 -2

-4 -3 -1 1 2 3 4 5 -5

y = x-1 y = x-2 y = x-3

y = x-4 y = x-5 y = x-6

1 3 2

-1 -2 -3 -2

-4 -3 -1 1 2 3 4 5 -5

y = x1 y = x2 y = x3

y = x4 y = x5 y = x6

图4暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋图5

把k=-1,-2,-3,-4,-5,-6时反比例函数y=kx的图象画在同一直角坐标 系中,就可以得到如图5所示的图象.

从图4和图5中的图象你还能发现什么规律? 在同一直角坐标系中,随着|k|的增大, 反比例函数y=kx图象的位置相对于坐标原点是越来越远还是越来越近?

26灡2 实际问题与反比例函数

前面我们结合实际问题讨论了反比例函数,看到了反比例函数在分析和解决 实际问题中的作用.下面我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.

d

例1暋市煤气公司要在地下修建一个容积 为10⁴m³的圆柱形煤气储存室.

(1)储存室的底面积S (单位:m²)与其 深度d (单位:m)有怎样的函数关系?

(2) 公 司 决 定 把 储 存 室 的 底 面 积 S 定 为 500m²,施工队施工时应该向地下掘进多深?

(3)当施工队按 (2)中的计划掘进到地下15m 时,公司临时改变计划, 把储存室的深度改为15m.相应地,储存室的底面积应改为多少 (结果保留 小数点后两位)?

解:(1)根据圆柱的体积公式,得 Sd=10⁴, 所以S 关于d 的函数解析式为

S=10d .⁴ (2)把S=500代入S=10d⁴,得

500=10d⁴,

解得 d=20(m)灡

如果把储存室的底面积定为500m²,施工时应向地下掘进20m 深.

(3)根据题意,把d=15代入S=10d⁴,得

S=1015⁴, 解得 S曋666灡67(m²)灡

当储存室的深度为15m 时,底面积应改为666灡67m².

例2暋码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8 天时间.

(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v (单位:吨/天)与卸 货天数t之间有怎样的函数关系?

(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均 每天至少要卸载多少吨?

分析:根据 “平均装货速度暳装货天数=货物的总量暠,可以求出轮船装 载货物的总量;再根据 “平均卸货速度=货物的总量暵卸货天数暠,得到v关 于t的函数解析式.

解:(1)设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件得 k=30暳8=240,

所以v关于t的函数解析式为

v=240t .暋 (2)把t=5代入v=240t ,得

v=2405 =48(吨).

从结果可以看出,如果全部货物恰好用5天卸载完,那么平均每天卸载 48吨.对于函数v=240t ,当t>0时,t越小,v 越大.这样若货物不超过5

天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨.

给我一个支点,我可以撬动地球!

———阿基米德

公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发 现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量 成 反 比, 则 杠 杆 平 衡.后 来 人 们 把 它 归 纳 为

“杠杆原理暠.通俗地说,杠杆原理为:

阻力暳阻力臂=动力暳动力臂 (图26灡2灢1).





  

图26灡2灢1

例3暋小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0灡5m.

(1)动力F 与动力臂l有怎样的函数关系? 当动力臂为1灡5m 时,撬动石 头至少需要多大的力?

(2)若想使动力F 不超过题 (1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加 长多少?

解:(1)根据 “杠杆原理暠,得

Fl=1200暳0灡5, 所以F 关于l 的函数解析式为

F=600l . 当l=1灡5m 时,

F=6001灡5=400(N).

对于函数F=600l ,当l=1灡5 m 时,F=400N,此时杠杆平衡.因此, 撬动石头至少需要400N 的力.

(2)对于函数F=600l ,F 随l的增大而减小.因此,只要求出F=200N 时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.

当F=400暳12=200时,由200=600l 得

暋暋用反比例函数 的知 识 解 释:在我 们使 用 撬 棍 时,为 什么动 力 臂 越 长 就 越省力?

l=600200=3(m), 3-1灡5=1灡5(m).

对于函数F=600l ,当l>0时,l越大,F 越 小.因此,若想用力不超过400N 的一半,则动 力臂至少要加长1灡5m.

电学知识告诉我们,用电器的功率P(单位:W)、两端的电压U(单位:V) 及用电器的电阻R(单位:毟)有如下关系:PR=U²灡 这个关系也可写为 P=

,或R= .

U

R

图26灡2灢2

暋暋例4暋一个用电器的电阻是可调节的,其范围 为110~220毟.已知电压为220V,这个用电器的 电路图如图26灡2灢2所示.

(1)功率P 与电阻R 有怎样的函数关系?

(2)这个用电器功率的范围是多少?

解:(1)根据电学知识,当U=220时,得 P=220R .暋暋暋暋暋栙²

(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.

把电阻的最小值R=110代入栙式,得到功率的最大值

暋暋 结 合 例 4,想 一想为 什 么 收 音 机 的音 量、某些台灯 的亮度 以 及 电 风 扇 的转速可以调节. P=220110=440² (W);

把电阻的最 大 值R=220 代入 栙 式,得到功率的 最小值

P=220220=220² (W).

因此用电器功率的范围为220~440 W.

d

(第1题) 1灡 如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L (1L=

1dm³)的圆锥形漏斗.

(1)漏斗口的面积S (单位:dm²)与漏斗的深d (单位:dm) 有怎样的函数关系?

(2)如果漏斗口的面积为100cm²,那么漏斗的深为多少?

2灡 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80km/h的平均速度 用6h到达目的地.

(1)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系?

(2)如果该司机必须在4h之内回到甲地,那么返程时的平均速度不能小于多少?

3灡 新建成的住宅楼主体工程已经竣工,只剩下楼体外表面需要贴瓷砖.已知楼体 外表面的面积为5暳10³m²灡

(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S (单位:m²)有怎样的函数关系?

(2)为了使住宅楼的外观更漂亮,建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖, 每块瓷砖的面积都是80cm²,且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2暶2暶1, 需要三种瓷砖各多少块?



习题 26灡2

1灡 请举出一个生活中应用反比例函数的例子.

2灡 某农业大学计划修建一块面积为2暳10⁶m²的矩形试验田.

(1)试验田的长y (单位:m)关于宽x (单位:m)的函数解析式是什么?

(2)如果试验田的长与宽的比为2暶1,那么试验田的长与宽分别为多少?

3灡 小艳家用购电卡购买了1000kW·h电,这些电能够使用的天数 m 与小艳家平均 每天的用电度数n 有怎样的函数关系? 如果平均每天用4kW·h电,这些电可以 用多长时间?

4灡 已知经过闭合电路的电流I (单位:A)与电路的电阻R (单位:毟)是反比例函 数关系,请填下表 (结果保留小数点后两位):

I/A 1 2 3 4 5

R/毟 20 25 30 50 65 80 90

5灡 已知甲、乙两地相距s (单位:km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的 时间t (单位:h)关于行驶速度v (单位:km/h)的函数图象是 (暋暋).

O t/h

v/(km/h) O t/h

v/(km/h) O t/h

v/(km/h)

v/(km/h) O

t/h

(A) (B) (C) (D)

(第5题)



V/m³

2 4 7

O 5

1 6

4 3 2

7 (kg/m³)

1 3 5

A(5,1.98)

6 /

(第6题) 6灡 密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体

积V (单 位:m³)变 化 时,气 体 的 密 度氀(单位:

kg/m³)随之变化.已知密度氀与体积V 是反比 例函数关系,它的图象如图所示.

(1)求密度氀关于体积V 的函数解析式;

(2)当V=9m³时,求二氧化碳的密度氀.

7灡 红星粮库需要把晾晒场上的1200t玉米入库封存.

(1)入库所需的时间d (单位:天)与入库平

均速度v (单位:t/天)有怎样的函数关系?

(2)已知粮库有职工60名,每天最多可入库300t玉米,预计玉米入库最快可在 几天内完成?

(3)粮库职工连续工作两天后,天气预报说未来几天会下雨,粮库决定次日把剩 下的玉米全部入库,至少需要增加多少职工?



O I/

4 A

9 R/Ω

(第8题) 8灡 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电 流I (单 位:

A)与电阻 R (单位:毟)是反比例函数关系,它的图象如 图所示.

(1)请写出这个反比例函数的解析式.

(2)蓄电池的电压是多少?

(3)完成下表:

R/毟 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A

(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A,那么用电器可变 电阻应控制在什么范围?

9灡 某汽车油箱的容积为70L,小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300km 外的 省城接客人,接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题:

(1)油箱加满油后,汽车行驶的总路程s (单位:km)与平均耗油量b (单位:

L/km)有怎样的函数关系?

(2)小王以平均每千米耗油0灡1L 的速度驾驶汽车到达省城,返程时由于下雨, 小王降低了车速,此时平均每千米的耗油量增加了一倍.如果小王始终以此 速度行驶,不需加油能否回到县城? 如果不能,至少还需加多少油?

 

生活中的反比例关系

如果细心观察一下,你会发现,日常生活中的两个量之间,许多具有反比例关系.

你一定熟悉这种现象:生活中常用的刀具,使用一段时间后就会变钝,用起来很费 劲.如果把刀刃磨薄,刀具就会锋利起来.你知道这是为什么吗?

解释这种现象需要考虑压强与受力面积之间的关系.压强不仅与压力的大小有关,还 与受力面积的大小有关.压强就是单位面积上受到的压力,压强的计算公式为

p=FS,

其中p 是压强,F 是压力,S 是受力面积.从上式可以看 出,当压力一定时,压强与受力面积成反比 例 关 系.使 用刀具时,刀刃磨得 越 薄,即 刀 刃 与 物 体 的 接 触 面 积 S 越小,压强p 就会越大,我们就会感觉刀具越锋利.

根据压强 与 受 力 面 积 的 反 比 例 关 系,你能 解 释 为 什 么重型 坦 克、推 土 机 要 在 轮 子 上 安 装 又 宽 又 长 的 履 带, 大型载重卡车装有许多车轮吗?

充满气体的气球能够用脚踩爆,这是为什么呢? 原来 这里涉及气体压强与体积之间的关系.当一个容器装有一 定质量的气体时,运动的气体分子碰撞容器壁会对容器产 生压强.在温度恒定的情况下,气体的压强p 与气体体积 V 成反比例关系,气 体 的 压 强 会 随 气 体 体 积 的 减 小 (增 大)而增大 (减小).当气球充满气体时,如果用脚踩气 球,就会使气球的体积变小,从而使气体的压强增大,导 致气球爆裂.

利用气体压强与体积之间的这种反比例关系,你能解 释为什么超载的车辆容易爆胎吗?

同学们一定有这样的感受:一辆汽车在空载的情况下行驶得很快,但是满载时速度明 显减小了,这是为什么呢?

这里涉及汽车的行驶速度与汽车所受阻力之间的反比例关系.设汽车的功率为P,行 驶速度为v,所受阻力为F,三者之间满足关系

v=PF .

从上面的式子可以看出,当汽车的功率 P 一定时,汽车的负载越大,阻力F 就越大,行 驶速度v 就会越小.

你还能举出生活中可以用反比例关系解释的例子吗?

   



下表是10个面积相等的矩形的长与宽,请补齐表格.

长/cm 1 2 3 4 5

宽/cm 2 5

3 10 7 5

4 10 9 1

设曄A 为这10个矩形的公共角,画出这10个矩形,然后取曄A 的10 个对角的顶点,并把这10个点用平滑的曲线顺次连接起来.

这条曲线是反比例函数图象的一支吗? 为什么?



O L

如右 图,取 一 根 长100cm的 匀 质 木 杆, 用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来.在 中点O 的左侧距离中点O25cm处挂一个重 9灡8N 的物体,在中点 O 右侧用一个弹簧秤 向下拉,使木杆处于水平状态.改变弹簧秤 与中点O 的距离L(单位:cm),看弹簧秤的 示数F (单位:N)有什么变化,并填写下表:

L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40 45 F/N

以L 的数值为横坐标,F 的数值为纵坐标建立直角坐标系.在坐标系 中描出以上表中的数对为坐标的各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点.

这条曲线是反比 例 函 数 图 象 的 一 支 吗? 为什么? 点(50,4灡9)在这条 曲线上吗?

小 暋结

一、本章知识结构图

暋暋暋暋暋暋暋暋暋y=kx

y=kx

二、回顾与思考

本章我们从现实世界中具有反比例关系的实例出发,从函数角度刻画了反 比例关系,认识了反比例函数y=kx .像研究一次函数、二次函数一样,我们 先用描点法画出反比例函数的图象,观察图象得出反比例函数的性质;最后运 用反比例函数解决实际问题.

本章我们又一次经历了用函数研究变化规律的过程,用反比例函数刻画具 有反比例关系的两个变量之间的对应关系:在变量y 随变量x 的变化而变化的 过程中,它们的积xy 始终保持不变 (xy=k,k曎0).这也是判断一个问题能 否用反比例函数来刻画的依据.

请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧.

1.举例说明什么是反比例函数.

2.反比例函数y=kx的图象是什么样的? 反比例函数有什么性质?

3.我们知道,函数是描述现实世界中变化规律的数学模型.反比例函数 描述的变化规律是怎样的?

4.与正比例函数、一次函数、二次函数的图象相比,反比例函数的图象 特殊在哪里?

5.你能举出现实生活中几个运用反比例函数性质的实例吗?

6.结合本章内容,请你谈一谈运用数形结合解决问题的体会.



复习题 26

1灡 用解析式表示下列函数:

(1)三角形的面积是12cm²,它的一边a (单位:cm)是这边上的高h (单位:

cm)的函数;

(2)圆锥的体积是50cm³,它的高h (单位:cm)是底面面积 S (单位:cm²) 的函数.

2灡 填空:

对于函数y=3x,当x>0时,y 0,这时函数图象位于第 象 限;对于函

数y=-3x,当x<0时,y 0,这时函数图象位于第 象限. 3灡 填空:

(1)函数y=10x的图象位于第 象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ; (2)函数y=-10x的图象位于第 象限,在每一个象限内,y随x的增大而 . 4灡 下面四个关系式中,y 是x 的反比例函数的是 (暋暋).

(A)y=1x²暋暋 (B)yx=- 3暋暋 (C)y=5x+6 暋暋 (D) x=1y



5灡 在反比例函数y=k-1x 的 图 象 的 每 一 支 上,y 都随x 的增大而减小,求k 的取值 范围.

C B

A

(第6题) 6灡 如图,一块砖的 A,B,C三个面的面积比是4暶2暶1.如果 B

面向下放在地上,地面所受压强为aPa,那么 A 面和 C 面分 别向下放在地上时,地面所受压强各是多少?

7灡 已知某品牌显示器的寿命大约为2暳10⁴h.

(1)这种显示器可工作的天数d 与平均每日工作的小时数t 之间具有怎样的函数 关系?

(2)如果平均每天工作10h,那么这种显示器大约可使用多长时间?

8灡 把下列函数的解析式与其图象对应起来:

(1)y=2x;(2)y= 2|x|;(3)y=-2x;(4)y=- 2|x|.

x 1

4 3 2

-1 -2 -3 -4 -2

-4 O 2 4

y

-3 -1 1 3 x

1 4 3 2

-1 -2 -3 -4 -2

-4 O 2 4

y

-3 -1 1 3

(A)暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (B)暋暋

x 1

4 3 2

-1 -2 -3 -4 -2

-4 O 2 4

y

-3 -1 1 3

x 1

4 3 2

-1 -2 -3 -4 -2

-4 O 2 4

y

-3 -1 1 3

(C)暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (D)暋暋 (第8题)



9灡 两个不同的反比例函数的图象能否相交? 为什么?

10灡 在同一直角坐标系中,若正比例函数y=k1x 的图象与反比例函数y=kx²的图象 没有交点,试确定k1k2的取值范围.

11灡 市政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为10⁶m³,某运输 公司承担了运送土石方的任务.

(1)运输公司平均运送速度v (单位:m³/天)与完成运送任务所需时间t (单位:

天)之间具有怎样的函数关系?

(2)这个运输公司共有100辆卡车,每天可运送土石方10⁴m³,公司完成全部运 输任务需要多长时间?

(3)当公司以问题 (2)中的速度工作了40天后,由于工程进度的需要,剩下的 所有运输任务必须在50天内完成,公司至少应增加多少辆卡车?

第

第二十七章 暋相似

在现实 生 活 中 ,我们经常见到形 状 相 同 的 图 形 .如国旗上 大 小 不 同 的 五 角 星、不 同 尺 寸 同 底 版的相 片 等 .下图中两张大小 不 同 的 万 里 长 城 图 片 ,它们的各部分都是按一定比例对应的.

在 “全等 三 角 形暠一 章 中,我 们 研 究 了 形 状 和大小完全相同的两个三角 形 的 性 质 和 判 定 方 法 . 类似 地 ,两个形状相同、大小不同 的 三 角 形,它 们的边和角有什么关系 ? 对应线段 (如高、中线和 角平分 线 等 )和面积有什么关系? 如何判断两个 三角形 的 形 状 是 否 相 同 ? 如何按要求放大或缩小 一个图形呢 ?

要回答上面的问题 ,就进入这一章的学习吧! 在

实验 、探索和论证之后,你就能得到问题的答案.

27灡1 图形的相似

暋暋你能再举出一 些 相 似 图 形 的 例 子吗?

图27灡1灢1中有汽车和它的模型,也有大小不 同的足球,还有同一张底版洗出的不同尺寸的照 片,以及排版印刷时使用不同字号排出的相同文 字.所有这些,都给我们以形状相同的形象.我 们把形状 相 同 的 图 形 叫 做相 似 图 形 (similarfig灢 ures).

  

  

  

  

图27灡1灢1

两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.例 如,放映电影时,投在屏幕上的画面就是胶片上图形的放大;用复印机把一个 图形放大或缩小后所得的图形,都与原来的图形相似.图27灡1灢2中有4对图 形,每对图形中的两个图形相似.其中较大 (小)的图形可以看成是由较小 (大)的图形放大 (缩小)得到的.

图27灡1灢2



图27灡1灢3是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这 些镜中的形象相似吗?

图27灡1灢3

012345678910

1112

(第1题)

(c)

(f) (e)

(d)

(b) (1) (a)

(2)

(第2题)

1灡 如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?

2灡 如图,图形 (a)~ (f)中,哪些与图形 (1)或 (2)相似?

暋 暋 对 于 四 条 线 段a, b,c,d,如果其中两条

线段的比 (即它们长度 的比)与另两条线段的 比相等,如ab =c

d (即 ad=bc),我们就说这四

条线段成比例. 下面我 们 研 究 特 殊 的 相 似 图 形———相 似 多 边

形.两个边数相同的多边形,如果它们的 角 分 别 相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相 似 多 边形 (similarpolygons).相似多边形对应边的比 叫做相似比 (similarityratio).

例如,图27灡1灢4中的两个大小不同的四边形 ABCD 和四边形A1B1C1D1 中,

曄A = 曄A1, 曄B = 曄B¹, 曄C= 曄C¹, 曄D

=曄D1,

暋暋两个大小不同 的 正 方 形 相 似 吗? 为什么?

AAB1B1= BCB1C1= CDC1D1= DAD1A1, 因此四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1相似.

A

B C

D A1

B₁ C1

D1

暋暋暋暋暋暋图27灡1灢4

由相似多边形的定义可知,相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

例暋如 图 27灡1灢5,四 边 形 ABCD 和 EFGH 相 似,求 角毩,毬 的 大 小 和 EH 的长度x.

A

B C

18 21

78e 83e

β D

H

α 24

E

F G

118e x

图27灡1灢5

解:因为四边形ABCD 和EFGH 相似,所以它们的对应角相等,由此可得 毩=曄C=83曘,曄A=曄E=118曘.

在四边形ABCD 中,

毬=360曘-(78曘+83曘+118曘)=81曘.

因为四边形ABCD 和EFGH 相似,所以它们的对应边成比例,由此可得

AD =EH EF

AB,即x 21=24

18.

解得 x=28.

1灡 在比例尺为1暶10000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30cm,求两地 的实际距离.

2灡 如图所示的两个三角形相似吗? 为什么?

10 10

5 5 3

c d

5 2 b

a 6

9

7.5

(第2题) (第3题)

3灡 如图所示的两个五边形相似,求a,b,c,d 的值.



习题 27灡1

A y

7

C B

12

8 x

E

F 4

D

(第3题) 1灡 两地的实际距离是2000m,在地图上量得这两地的

距离为2cm,这幅地图的比例尺是多少?

2灡 任意两个矩形相似吗? 为什么?

3灡 如图,曶ABC 与曶DEF 相似,求x,y 的值.



4灡 如图,试 着 在 方 格 纸 中 画 出 与 原 图 形 相 似 的 图 形.

你用的是什么方法? 与同学交流一下.

(第4题)

5灡 如图,DE曃BC.(1)求ADAB,AEAC,DEBC 的值;(2)证明曶ADE 与曶ABC 相似.

A

B C

9 E D

5 2 2.5

3 4

(第5题) (第6题)

6灡 如图,矩形草坪长30m、宽20m.沿草坪四周有1 m 宽的环行小路,小路内外 边缘形成的两个矩形相似吗? 说出你的理由.

7灡 如果两个多边形仅有角分别相等,它们相似吗? 如果仅有边成比例呢? 若不一定 相似,请举出反例.



8灡 如图,将一张矩形纸片沿较长边的中点对折,如果得到的两个矩形都和原来的矩 形相似,那么原来矩形的长宽比是多少? 将这张纸如此再对折下去,得到的矩形 都相似吗?

(第8题)

27灡2 相似三角形

C

A B B

C

A

图27灡2灢1

27灡2灡1暋相似三角形的判定

暋暋在相似多边形中,最简单的就是相似三 角 形(similartriangles). 如 图 27灡2灢1, 在 曶ABC和曶A曚B曚C曚中,如果

暋 暋 如 果 k =1, 这两个 三 角 形 有 怎 样的关系?

曄A=曄A曚,曄B=曄B曚,曄C=曄C曚, A曚B曚=AB BC

B曚C曚=AC A曚C曚=k,

暋 暋 曶A曚B曚C曚与 曶ABC 的相似比为1

k.

即 三 个 角 分 别 相 等,三 条 边 成 比 例,我 们 就 说 曶ABC 与曶A曚B曚C曚相似,相似比为k.相似用符 号 “曌 暠 表 示, 读 作 “相 似 于 暠. 曶ABC 与 曶A曚B曚C曚相似记作 “曶ABC曌曶A曚B曚C曚暠.

判定两个 三 角 形 全 等 时,除了可以验证它们 所有的角和边 分 别 相 等 外,还可以使用简便的判 定 方 法 (SSS,SAS,ASA,AAS).类似地,判 定两个三角形 相 似 时,是不是也存在简便的判定 方法呢? 我们先来探究下面的问题.



A

B E

C F

D l₁ l₂

l₃ l4

l₅

图27灡2灢2

如图27灡2灢2,任意画两条直线l¹,l2,再画三 条与l1,l2 都 相 交 的 平 行 线l3,l4,l5.分别度量 l3,l4,l5 在l1上截得的两条线段AB,BC 和在l2

上截 得 的 两 条 线 段DE,EF 的长度,ABBC与DE EF相 等吗? 任意平移l5,ABBC与DE

EF还相等吗?

暋暋 可 以 发 现, 当 l³曃l⁴曃l⁵ 时, 有 ABBC =DE

EF,BCAB =EF

DE,ABAC =DE DF, AC=BC EF

DF等.

一般地,我们有平行线分线段成比例的基本事实:

两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中,会出现下面两种情况 (图27灡2灢3).

A

B

E

C D

l₁ l2

l3

l4

l5

A

B E

C D l₁ l2

l3

l4

l5

暋暋暋 (1)暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (2) 图27灡2灢3

在图27灡2灢3 (1)中,把l⁴看成平行于曶ABC 的边BC 的直线;在图27灡2灢3 (2)中,把l³看成平行于曶ABC 的边BC 的直线,那么我们可以得到结论:

平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线),所得的对应线 段成比例.



D E

B C

图27灡2灢4

如图27灡2灢4,在曶ABC 中,DE曃BC,且 DE 分别交AB,AC 于点D,E,曶ADE 与 曶ABC 有 什么关系?

直觉告诉我们,曶ADE 与曶ABC相似,我们通过相似的定义证明它,即证明 曄A=曄A,曄ADE=曄B,曄AED=曄C,ADAB =AE

AC=DE

BC.由前面的结论可得, AB=AD AE

AC.而DEBC中的DE 不在曶ABC 的边BC 上,不能直接利用前面的结论.但 从要证的AEAC=DE

BC可以看出,除 DE 外,AE,AC,BC 都在曶ABC 的边上,因此

只需将DE 平移到 BC 边上去,使得 BF=DE,再证明AEAC =BF

BC就 可 以 了 (图 27灡2灢5).只要过点E 作EF曃AB,交BC 于点F,BF 就是平移DE 所得的线段.

先证明两个三角形的角分别相等.

如图27灡2灢5,在曶ADE 与曶ABC 中,曄A=曄A.

曔暋DE曃BC,

曕暋曄ADE=曄B,曄AED=曄C.

再证明两个三角形的边成比例.

A

D E

B F C

图27灡2灢5

过点E 作EF曃AB,交BC 于点F.

曔暋DE曃BC,EF曃AB, 曕暋ADAB =AE

AC,BFBC=AE AC.

曔暋四边形 DBFE 是平行四边形, 曕暋DE=BF.

曕暋DEBC =AE AC.

曕暋ADAB =AE AC=DE

BC .

这样,我 们 证 明 了 曶ADE 和 曶ABC 的 角 分 别 相 等,边 成 比 例,所 以 曶ADE曌曶ABC.因此,我们有如下判定三角形相似的定理:

平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

A B

E F

C D

G

(第1题)

A

B C

D E

(第2题)

1灡 如图,AB曃CD曃EF,AF 与BE 相交于点G,且 AG=2,GD=1,DF=5, 求BCCE的值.

2灡 如图,在曶ABC 中,DE曃BC,且 AD=3,DB=2.写出图中的相似三角形, 并指出其相似比.

暋暋类似于判定三角形全等的 SSS方法,我们能不能通过三边来判定两个三 角形相似呢?



任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形 各边长的k倍.度量这两个三角形的角,它们分别相等吗? 这两个三角形 相似吗? 与同学交流一下,看看是否有同样的结论.

可以发现,这两个三角形相似.我们可以利用上面的定理进行证明.

如 图 27灡2灢6, 在 曶ABC 和 曶A曚B曚C曚中, ABA曚B曚 = BC

B曚C曚 = AC

A曚C曚, 求 证 曶ABC曌曶A曚B曚C曚.

A

B C

D E

C

A

B

图27灡2灢6

*证 明:在 线 段 A曚B曚(或 它 的 延 长 线) 上 截 取A曚D=AB, 过 点 D 作 DE曃B曚C曚,交 A曚C曚于点E.根据前面的定理,可得曶A曚DE曌曶A曚B曚C曚.

暋暋曶A曚DE 是证明的 中 介, 它 把 曶ABC 与 曶A曚B曚C曚联系起来.

曕暋A曚DA曚B曚=DE

B曚C曚=A曚E A曚C曚.

又暋 ABA曚B曚=BC

B曚C曚=AC

A曚C曚,A曚D=AB, 曕暋 DEB曚C曚=BC

B曚C曚,A曚EA曚C曚=AC A曚C曚.

曕暋DE=BC,A曚E=AC.

曕暋曶A曚DE曊曶ABC.

曕暋曶ABC曌曶A曚B曚C曚.

由此我们 得 到 利 用 三 边 判 定 三 角 形 相 似 的 定

*相似三角形判定定理的证明都是选学内容.

理 (图27灡2灢7):

A

B

C

C

A

B

图27灡2灢7

A曚B曚=AB BC

B曚C曚=AC A曚C曚 炘

曶ABC曌曶A曚B曚C曚

三边成比例的两个三角形相似.

类似于判定三角形全等的SAS方法,能不能通过两边和夹角来判定两个三角形 相似呢? 事实上,我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理 (图27灡2灢8):

A

B

C

C

A

B

图27灡2灢8

A曚B曚=AB AC

A曚C曚,曄A=曄A曚 炘

曶ABC曌曶A曚B曚C曚 暋暋两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

怎样证明这个定理呢? 它的证明思路与证明前面定理的思路类似.先用同 样的方法作一个与曶A曚B曚C曚相似的三角形,再用相似三角形对应边成比例和 已知条件证明所作三角形与曶ABC 全等.



对于曶ABC 和曶A曚B曚C曚,如果 ABA曚B曚=AC

A曚C曚,曄B=曄B曚,这两个三 角形一定相似吗? 试着画画看.

例1暋根据下列条件,判断曶ABC 与曶A曚B曚C曚是否相似,并说明理由:

(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,

A曚B曚=12cm,B曚C曚=18cm,A曚C曚=24cm;

(2)曄A=120曘,AB=7cm,AC=14cm,

曄A曚=120曘,A曚B曚=3cm,A曚C曚=6cm.

暋暋这两个三角形 的相似比是多少? 解:(1)曔暋 ABA曚B曚=4

12=1 3, B曚C曚=BC 6

18=1 3, A曚C曚=AC 8

24=1 3, 曕暋 ABA曚B曚=BC

B曚C曚=AC A曚C曚.

曕暋曶ABC曌曶A曚B曚C曚.

暋 (2)曔暋 ABA曚B曚=7

3, ACA曚C曚=14 6=7

3, 曕暋 ABA曚B曚=AC

A曚C曚.

又暋曄A=曄A曚,

曕暋曶ABC曌曶A曚B曚C曚.

B

A 54 C

E

D 45

36 45 30

27 36

20 25 15

暋暋暋暋 (1)暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋 (2) (第2题)

1灡 根据下列条件,判断曶ABC 与曶A曚B曚C曚是否相似,并说明理由:

(1)曄A=40曘,AB=8cm,AC=15cm, 曄A曚=40曘,A曚B曚=16cm,A曚C曚=30cm;

(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,

A曚B曚=16cm,B曚C曚=12灡8cm,A曚C曚=25灡6cm.

2灡 图中的两个三角形是否相似? 为什么?

3灡 要制作 两 个 形 状 相 同 的 三 角 形 框 架, 其 中 一 个 三 角 形 框 架 的 三 边 长 分 别 为 4cm,5cm 和6cm,另一个三角形框架的一边长为2cm,它的另外两条边长

应当是多少? 你有几种制作方案?

观察两副三角尺 (图27灡2灢9),其中有同样两个锐角 (30曘与60曘,或45曘 与45曘)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

图27灡2灢9暋

一般地,我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理 (图27灡2灢10):

A

B

C

C

A

B

图27灡2灢10

曄A=曄A曚,曄B=曄B曚 炘

曶ABC曌曶A曚B曚C曚

两角分别相等的两个三角形相似.

这个定理的证明方法与前面两个定理的证明方法类似.试一试,如何完成 证明.

例2暋如 图27灡2灢11,Rt曶ABC 中,曄C=90曘,AB=10,AC=8.E 是 AC 上一点,AE=5,ED曂AB,垂足为 D.求 AD 的长.

A B

C

D E

暋图27灡2灢11

解:曔暋ED曂AB, 曕暋曄EDA=90曘.

又暋曄C=90曘,曄A=曄A, 曕暋曶AED曌曶ABC.

曕暋ADAC =AE AB.

曕暋AD=AC·AE

AB =8暳5 10 =4.

由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等,或两 组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似.



我们知道,两个直角三角形全等可以用 “HL暠来判定.那么,满足 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗?

A

B C C

A

B

暋暋图27灡2灢12

事实上,这 两 个 直 角 三 角 形 相 似.下 面 我们给出证明.

如图27灡2灢12,在 Rt曶ABC 和Rt曶A曚B曚C曚 中,曄C=90曘,曄C曚=90曘, ABA曚B曚=AC

A曚C曚.求 证 Rt曶ABC曌Rt曶A曚B曚C曚.

分析:要证Rt曶ABC曌Rt曶A曚B曚C曚,可设 法证 BC

B曚C曚=AB

A曚B曚=AC

A曚C曚.若设 AB

A曚B曚=AC

A曚C曚=k,则只需证 BCB曚C曚=k.

*证明:设 ABA曚B曚=AC

A曚C曚=k,则 AB=kA曚B曚,AC=kA曚C曚.

由勾股定理,得BC= AB²-AC²,B曚C曚= A曚B曚²-A曚C曚². 曕暋 BCB曚C曚= AB²-AC²

B曚C曚 = k²·A曚B曚²-k²·A曚C曚²

B曚C曚 =k·B曚C曚 B曚C曚 =k.

曕暋 BCB曚C曚=AB

A曚B曚=AC A曚C曚.

曕暋Rt曶ABC曌Rt曶A曚B曚C曚.

A B

C

暋 (第2题)D 1灡 底角相等的两个等腰三角形是否相似? 顶角相等的两

个等腰三角形呢? 证明你的结论.

2灡 如图,Rt曶ABC 中,CD 是 斜 边 AB 上 的 高.求 证:

(1)曶ACD曌曶ABC;(2)曶CBD曌曶ABC.

3灡 如果 Rt曶ABC 的两条直角边分别为3和4,那么以3k和

4k (k是正整数)为直角边的直角三角形一定与 Rt曶ABC相似吗? 为什么?