选 修 2

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选修 2 - 2(理科)

湖南教育出版社

湖南教育出版社选修 理科

经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过

普通高中课程标准实验教科书

2 2

G·4608 定价:11.40 元

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(2)

数 学

Mathematics

湖 南 教 育 出 版 社

普通高中课程标准实验教科书

选修 2 - 2(理科)

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张景中

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黄楚芳 执行主编

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李尚志

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朱华伟

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郑志明

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查建国 文志英

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袁宏喜

普通高中课程标准实验教科书 数!!

选修" #" !理科"

责任编辑# 邹楚林 责任校对# !

湖南教育出版社出版 !长沙市韶山北路$$%"

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"3376月第5!"3594月第"版第9次印刷

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这一段课程, 包括导数及其应用、 推理与证明、

数系的扩充和复数的引入.

微积分的创立是数学发展中的里程碑, 它的发展 和广泛应用开启了向近代数学过渡的新时期, 为研究 变量和函数提供了重要的方法和手段. 运动物体的瞬 时速度, 曲线上一点处的切线斜率, 函数的瞬时变化 率, 到了数学世界本是一回事, 就是导数! 导数的引 入使数学变得更有力更迷人. 回顾过去: 大量的几何 问题和物理问题, 数学家本来要一个一个地辛苦地研 究. 在微积分的方法和工具的威力之下, 这些问题摧 枯拉朽般地被解决. 展望前程: 微积分的出现, 开创 了数学的新时期, 一系列内容丰富、 思想深刻、 应用 广泛的数学分支在微积分的基础上诞生成长.

我们将通过大量的实例, 理解导数思想的奥妙,

感受数学思想的力量, 体会微积分的产生对人类文化 发展的价值.

数学的力量和美, 来自对万物万象冷静的分析、

深入的探究和严谨的思维. 推理与证明, 是数学的基 本思维过程, 也是学习和生活中常用的思维方式. 通 过经验和直觉, 用归纳、 类比的方式来推测和发现有 用的概念或可能的结论, 叫作合情推理. 数学中许多 重大创新, 如导数概念的提出, 定积分概念的提出,

感受数学思维的力与美

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合情推理功不可没. 根 据 已 有 的 事 实 和 正 确 的 结 论

(包括定义、 公理、 定理等), 按照严格的逻辑法则得 到新的结论, 叫作演绎推理. 合情推理和演绎推理紧 密联系, 相辅相成, 使数学生机勃勃, 使数学严谨有 力. 数学欢迎一切有用有趣有创意的概念, 但它归根 结底只接受经过一丝不苟的演绎推理证明了的结论.

数学的正确性必须由逻辑证明来保证. 数学证明的方 法多姿多彩, 有直接证明的分析法、 综合法、 数学归 纳法, 也有间接证明的反证法、 同一法等. 灵活使用 这些方法解决形形色色的数学问题, 往往需要多年的 专业磨练; 而结合学过的知识体会数学证明的特色并 对这些方法有所了解, 则是人人皆有机会体验的美的 享受. 这种感受将留下言之成理、 论证有据的习惯,

使人终生受益.

从自然数到有理数, 从有理数到实数, 数系的扩 充体现了数学的发现和创造过程, 也体现出数学发生 发展的客观需求和背景. 复数的引入, 是数系的又一 次扩充. 这是合情推理与演绎推理在数学中一次成功 的合作. 复数的引入, 为数学增添了一系列华丽、 深 刻、 有用的篇章, 祝愿你将来有更多机会欣赏这人类 文化典藏中的瑰宝!

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导数及其应用

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求积问切难题多,

瞬速极值奈若何.

群贤同趋坎坷路,

双雄竞渡智慧河.

百年寻谜无穷小,

万代受益财富多.

撑起数学参天树,

人类精神奏凯歌.

如何求曲线上任一点处的切线, 如何求运动物体在每 一时刻的瞬时速度, 这些问题好像是无穷无尽, 永远做 不完的. 但是, 用微积分的方法, 成千上万的问题被一举 突破, 一个新的数学领域出现了. 所以恩格斯认为, 微积 分的发现是人类精神的伟大胜利.

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41  导数概念

411

问题探索———求自由落体的瞬时速度

  伽利略通过实验和推理发现了自由落体的运动定律物体下落 的距离狊和所用的时间狋的平方成正比. 如果距离单位用米时间单 位用秒实验测出近似地有函数关系

狊=狊狋()=4.9狋

直接让物体从空中下落它落得很快不便观察测量. 伽利略是 让小球从光滑的斜面上滚下来进行观察测量的.

伽利略发现小球在斜面上滚下的距离狊和所用的时间狋 之间有函数关系狊=狊狋()=犪狋这叫作小球的运动方程. 这里犪 是与斜面的坡度有关的常数.

伽利略看到重力作用下在斜面上向下滚的小球每时每刻都 滚得更快. 但是他只知道如何计算在一个时间段里的平均速度却 不知道如何计算小球在某一个时刻的速度即瞬时速度.

    要 计 算 物 体 的 速 就要知道物体在一 段时间里走过的一段距 用时间除距离得到 速度也叫平均速度.

如果只看某一个时刻 物体在这个时刻只有一 个位置时间和距离都 是0通常的速度概念 不是失去了意义吗?

所以伽利略面临 的困难是深刻的是概 念上的困难.

一百多年之后牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法回答 了伽利略的问题.

牛顿是怎么想怎么做的呢?

如果小球在某个斜面上向下滚动的运动方程是 狊()狋=3狋

要计算小球在开始运动2s时的速度不妨先看看它在2s到2.1s之 间的平均速度即在区间 2.1上的平均速度

( )2.1 -狊( )

2.1-2 =13.23-12

0.1 =12.3

同样可以计算出 22.012.001,…上的平均速度 也可以计算出 1.99 1.999,…上的平均速度

第 4

...............................................导数及其应用

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时间区间 间隔s 平均速度/(

2.1 0.1 12.3

2.01 0.01 12.03

2.001 0.001 12.003

2.0001 0.0001 12.0003

2.00001 0.00001 12.00003

时间区间 间隔s 平均速度/( 1.9

0.1 11.7 1.99

0.01 11.97 1.999

0.001 11.997 1.9999

2 0.0001 11.9997 1.99999

2 0.00001 11.99997

  仔细观察时间间隔越来越小的过程中对应的平均速度似乎 越来越接近一个数值就是12ms.

但是时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程. 有限的几次计 算能得出12ms这个确定的结果吗?

用字母代替数可以把问题看得更清楚

设犱是一个绝对值很小的非0的数在 22+犱或 2+2 这 段时间里小球运动的平均速度是

32+-3×2

=34犱+犱

= 12+3

当犱越来越接近于0时这个平均速度确实越来越接近于12ms.

用数学语言来说就是 时间段的长度趋于0时这段时间内的 平均速度以12ms为极限

这个极限数值就叫作小球开始运动后2s时的瞬时速度.

用这个办法不难计算小球在任意时刻狋的瞬时速度先计算出 时刻狋狋+犱之间这个时间段运动的距离除以这个时间段的长度犱 求出平均速度并把结果化简再让犱趋于0就得到时刻狋的瞬时速度.

计算过程是

求平均速度

狊狋( )+犱 -狊狋()

=3( )狋+犱-3狋

=6狋+3犱.

在平均速度表达式6狋+3犱中让犱趋于0得到6狋. 所以 小球在时刻狋的瞬时速度是6狋ms.

类似地从自由落体的运动方程狊狋()=4.9狋 出发可以求出它 下落狋s时的瞬时速度为9.8狋ms.

导数及其应用............................................... 

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例 运动员从10m 高台跳水时从腾空到进入水面的过程中 不同时刻的速度是不同的. 设起跳狋s后运动员相对水面的高度为

犎 狋()=-4.9狋+6.5狋+10

用代数推导方法计算在2s时运动员的速度 瞬时速度),再用数值 计算列表观察检验计算的结果.

解 计算步骤是

求 22+犱上的平均速度2+犱-犎( )

=-4.9-13.1犱

=-4.9犱-13.1.

在 平 均 速 度 表 达 式 -4.9犱-13.1 中 让犱趋 于 0得 到

-13.1.所以运动员在2s时的瞬时速度是-13.1ms.

下面是数值计算的结果

时间区间 间隔s 平均速度/(

2.1 0.1 -13.59

2.01 0.01 -13.149

2.001 0.001 -13.1049

2.0001 0.0001 -13.10049

2.00001 0.00001 -13.100049

时间区间 间隔s 平均速度/( 1.9

0.1 -12.61 1.99

0.01 -13.051 1.999

0.001 -13.0951 1.9999

2 0.0001 -13.09951 1.99999

2 0.00001 -13.099951

  从计算结果看出当时间间隔越来越小时运动员的平均速度 趋于-13.1m这和上面的代数推导的结论是一致的.

现在把上面解决问题的思路和方法总结一下

开始提出的问题是知道了运动方程求某个时刻的瞬时速度

但是我们还不知道如何用数学语言描述瞬时速度

所以我们面临两个任务要建立瞬时速度的数学概念并 且找出计算方法

要计算时刻狋的瞬时速度狏狋()先求出时刻和时刻狋+犱 之间这个时间段的平均速度狏狋( )

再在狏狋( )中让犱趋于0得到的极限值就叫瞬时速度狏狋()

  这样既有了瞬时 速度的数学概念又有 了计算它的方法.

若物体的运动方程为狊=犳()则物体在任意时刻的瞬时速度()就是平均速度狏狋( )犱 =犳狋( )犱 -犳()

趋于时的极限

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练  

1. 在本节例题中求出运动员在任意时刻狋的瞬时速度.

2. 在本节例题中求出

运动员起跳时刻的瞬时速度

运动员到达最高点时的瞬时速度

运动员入水时的瞬时速度.

  习题  1

学 而 时 习 之

1. 匀速运动物体的运动方程是狊= ()狊狋 =狊求物体在时刻狋的瞬时速度.

2. 一球沿某一斜面自由滚下测得滚下的垂直距离犺与时间狋之间的函数 关系为犺=狋. 求狋=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

温 故 而 知 新

3. 根据竖直上抛物体的运动方程 ()犺狋 =犺+狏狋-犵狋计算该物体在时刻狋的瞬时 速度. 再应用物理学的能量守恒原理分析运动过程中动能和势能的相互转 说明用数学方法计算出的瞬时速度是否和物理现象相符合.

4. 设犳( )狓 是增函数请分别指出犱>0或犱<0时犳 狓犱 -犳 狓 ( )

的符号.

导数及其应用............................................... 

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412

问题探索———求作抛物线的切线

  自由落体的速度方向总是向下的.

竖直上抛的物体例如跳水运动员跳水的运动过程中速度的 方向开始向上后来向下.

斜抛或平抛的物体例如炮弹的运动过程中速度的方向时时 都在变化. 在物理中知道这时物体运动的轨线是抛物线而速度的 方向线正是抛物线的切线.

但是怎样作出抛物线的切线呢?

  在历史上解析几 何的主要开创人笛卡儿 曾经研究过这个问题.

但他所用的方法比较特 殊. 我们希望寻求更一 般更简便的方法.

遇到一个问题而不 知道如何解答时不妨 想想过去做过的类似的 问题. 看哪些经验适用 于解决新的问题.

过去我们作过圆 的切线.

从 特 殊 过 渡 到 一 是思考数学问题的 好方法.

这样的设想如果成 既建立了一般曲线 的切线的概念又指出 了作切线的途径.

圆的切线垂直于半径这条性质不适用于抛物线.

 图4 1

但是圆的切线和割线之间的某些联 系却对我们富有启发性.

如图4 1是圆周上两点 犃犅可以作一条割线. 当点犅趋于

割线就趋于切线的位置.

对于一般曲线也可以照此办理.

图4 2是曲线狔( )狓 的图象. 犘

是曲线上的两个点直线犘犙是曲线的割线. 让点犙趋于割线 犘犙如果趋于一条直线这条直线不就是曲线在点犘处的切线吗?

下面回到作抛物线切线的具体问题上来图4 2 用实际操作检验我们 的设想是否有效.

第 4

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图4 3是抛物线狔=犳( )狓 =狓 的图象.犘( )1 是图象上的一 个点. 为了过点犘作出该抛物线的切线只要求出这条切线的斜率 就可以了.

  有时候解题的困 在于不知道要求的 东西究竟是什么也就 是问题没有说清楚. 把 问题说清楚了往往就 有了解决的办法.

图4 3

在抛物线上再取一个点犙1+犱1+犱作割线犘犙. 当犱 趋于0时点犙趋于点割线犘犙趋于所要作的切线割线犘犙 斜率也就趋于切线的斜率.

过犙轴的平行线轴的平行线两线交于点 则在 Rt△犙犚犘斜边犘犙的斜率就是∠犙犘犚的正切

犘犚犙犚= 1+-1

=2+ 让犱趋于0得到过点犘的切线的斜率为2.

根据直线的点斜式方程得到切线方程为 狔=2狓-1 这说明我们的设想是对的.

同样的方法可以求出这条抛物线上任一点犘狌处的切线的 斜率. 具体的步骤为

取不同于犘的点犙 狌+犱狌+犱根据两点坐计算出直线犘犙的斜率为狌+犱-狌

狌+

-狌 =2狌+犱

导数及其应用............................................... 

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在犘犙的斜率2狌+犱中让犱趋于0得到点犘 狌处切 线斜率为2狌.

所以过点犘 狌的切线的方程为=2狌狓-狌

  在解决上述问题的 过程中我们实际上得 到了根据函数的解析式 计算函数曲线上任一点

处切线斜率的途径. 因此对函数狔( )的曲线上的任一点犘 狌( )求点犘 处切线斜率的方法是

在曲线上另取一点犙 狌+犱犳狌+犱计算直线犘犙 斜率

犽狌=犳狌-犳( )

在所求得的犘犙的斜率的表达式犽 狌中让犱趋于0如 果犽狌趋于确定的数值( )( )就是曲线在点处的切线 的斜率.

例1 求二次函数狔( )狓 =犪狓+犫狓+犮为常数犪≠ 0图象上点犘 狌( )处切线的斜率.

在图象上取另一点犙 狌+犱犳狌计算直线犘犙 的斜率

犽狌=犳狌-犳( )

=2犪狌+犱犪+犫.

在所求得的斜率表达式中让犱趋于0表达式趋于2犪狌+犫. 所以所求的切线的斜率犽( )狌 =2犪狌+犫.

例2 初速大小为狏 的炮弹如果发射方向和地面所成的 角为θ则炮弹所经过的曲线在不计空气阻力时为抛物线. 以炮弹到 发射点的水平距离为自变量狓),炮弹到发射点的垂直距离狔 可以看成是狓的函数其表达式为( )狓 =狓tanθ 犵狓

2狏cosθ 中犵=9.8m是重力加速度. 根据例1的结果求犳( )的曲线上 任一点))处切线的斜率.

解 对照例1犪= -犵

2狏cosθ犫=tanθ狌=狓故所求斜率为( )狓 = -犵狓

cosθ+tanθ.

第 4

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练  

1. 判断曲线狔=2狓在点犘 1( )2 处是否有切线如果有求出切线的方程.

2. 设犘 狓是曲线狔=3-狓上的一点写出曲线在点犘 处的切线的方程.

  习题  2

学 而 时 习 之

1. 求曲线狔=狓+1在点犘 1( )2 处的切线的斜率.

2. 计算抛物线狔=狓-3狓+2上任一点犘 狌( )狏 处的切线的斜率并求出抛物线 顶点处切线的方程.

温 故 而 知 新

3. 已知曲线狔=2狓+1试在曲线上找一点犘 狓使得曲线在点犘 处的切 线平行于直线狔=6狓+1.

4. Z+Z超级画板或具有类似功能的作图软件取适当的单位和比例 计算机屏幕上作出例2中的抛物线在抛物线上任取一点犘使用例2中求出 的斜率作过犘 的直线如图4 4所示. 拖动点犘 或改变炮弹的出射角观察 直线与曲线是否相切.

图4 4

导数及其应用............................................... 

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413

导数的概念和几何意义

  前面我们研究了两类问题一类问题来自物理学涉及平均速 度和瞬时速度另一类问题来自几何学涉及割线斜率和切线斜率.

两类问题来自不同的学科领域但却有着相同的数学模型.

两类问题都涉及下列几件事

一个函数犳( )可以是运动方程也可以是曲线方程.

函数犳( )狓=狌处步长为的差分犳狌+犱-犳( )可以是 物体在某个时段中运动的距离也可以是曲线上两点纵坐标的差.

上述差分和步长犱的比犳 狌-犳( )

可以是物体在某个 时段的平均速度也可以是过曲线上两点的割线的斜率.

从数学上看它是函数犳( )狓 在两点处的函数值之差和对应的自 变量之差的比通常叫作犳( )狓=狌处步长为 差商

上述差商在步长趋于0时如果趋于一个确定的数值这个 数值在前一类问题中就是运动物体在时刻狌的瞬时速度在后一类 问题中就是曲线在点( )处切线的斜率.

  在研究函数的增减 性 时多 次 用 到 函 数 ( ) 的差分犳 狌( ) (). 那时为了方便

曾约定>0.这样差分 犳 狌( ) () 可以看 成是函数( ) 在区间

上的改变量.

这 里 用 到 的 差 分 犳 狌() 步长 可正可负. 当<0时

要考 虑 的 其 实 是 函 数 ( ) 上的 改 变 量 () 犳 狌对 应 的 自 变 量 的 改 变 量 就 是

=-. 两个改 变 量 的 比 等 于 () 犳 狌

犳 狌() . 由此 可见不论步长是正 数还是负数差商的表 达式都一样都可以写 犳 狌()

在前面研究过的具体情形差商可能是平均速度或割线的斜率.

一般地差商表示的是函数在自变量的某个区间上的平均变化率 它反映了自变量在某个范围内变化时函数值变化的总体的快慢.

在各种实际问题中常常用函数的平均变化率对事物的发展过 程进行评价.

图4 5

例1 某市环保局在规定的排污达 标的日期前对甲乙两家企业进行检 查其连续检测结果如图4 5所示 图 中犠()()分别表示甲乙企业在 时刻狋的排污量. 试问哪个企业治污效 果较好?

第 4

...............................................导数及其应用

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(20)

解 在时刻狋虽然( ) =犠( ) 即排污量相等但是 考虑到一开始有犠( ) >犠( ) 所以有

( ) -犠( )

-狋 ( ) -犠( )-狋

( ) -犠( )

-狋 ( ) -犠( )-狋

这说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大. 若照此趋势 发展下去企业甲很可能较快地达到规定的排污标准.

在上面的问题解答中平均治污率的表达式也可以使用前面使 用的函数的差商的表达式. 例如记犱=狋-狋=狋+犱

( ) -犠( )

-狋 +犱-犠( )

当然如果让狋=狋-犱则有( ) -犠( )

-狋 ( ) -犠-犱

这些表达式尽管形式不同实际的意义并无区别都是函数的差分 和对应的步长的比.

图4 6

例2 投石入水水面会产生圆形波纹区 且圆的面积随着波纹的传播半径狉的增大而增大

如图4 6.计算

半径狉增加到犪+犺圆面积相对 于狉的平均变化率

半径狉=犪圆面积相对于狉的瞬时变化率.

解  半径狉增加到犪+犺圆的面积从π犪 增加到 π犪+犺其改变量为 π犪+犺-犪而半径的改变量为犺.

两者的比就是所求的圆面积相对于半径狉的平均变化率 π犪+犺-犪

=π2犪犺+犺

=π2犪+犺

在上面得到的平均变化率表达式中让狉的改变量趋于得到半径狉=犪圆面积相对于狉的瞬时变化率为2π犪.

企业的平均治污率圆面积相对于半径狉的平均变化率还有前

导数及其应用............................................... 

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面讨论过的运动物体的平均速度以及函数曲线的割线的斜率从 数学上看无非都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比 即差商因此它可以看成是函数在某个区间上的平均变化率.

让所考虑的区间的一个端点犪固定当区间的长度趋于0时如 果平均变化率趋于一个极限值这个极限值便可看成是函数在点犪 处的瞬时变化率.

这样看来瞬时速度切线的斜率以及例2中所求的圆面积相对 于半径的瞬时变化率都是函数的瞬时变化率.

函数的瞬时变化率数学上叫作函数的导数或微商.

定义 设函数犳( )在包含 的某个区间上有定义如果比值 犳狓-犳狓( )

犱趋于0时 犱≠0趋于确定的极限值则称此极 限值为函数犳( )狓=狓处的导数 derivative或微商记作犳′狓( )

这时我们就说犳( )在点处的导数存在或者说( )在点 可导或可微.

  用更多的符号代替语言上述定义可以简单地表述为

犳狓+犱-犳狓( )

犳′狓( )   犱→0. 这个表达式读作 犱趋于0时犳狓+犱-犳狓( )

趋于犳′狓( )

注意到狓( )狓 的定义区间中的任意一点因此也可以就是狓 犳′( )也是的函数叫作( )导函数 derivedfunction或一阶导数.

导函数犳′( )也是函数如果犳′( )处又可导则它的导数叫作( )的二阶导数记作犳″( )狓. 类似地可以定义三阶导数犳( )狓 等等.

例3 在初速度为零的匀加速直线运动中路程狊和时间的关系为 狊=狊()狋=犪狋

2.

求狊关于的瞬时变化率并说明其物理意义

求运动物体的瞬时速度关于狋的瞬时变化率说明其物理意义.

解  关于的瞬时变化率就是函数()狋=犪狋

2的导数狊′()狋. 按

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(22)

定义计算有 狊狋( )+犱 -狊狋()

犪狋( )+犱 2 -犪狋

犱 2犪狋犱

( )

+犱 犪狋犪犱2.

当犱→0时犪狋+犪犱

2→犪狋因此狊′狋()=犪狋.

从物理上看关于的瞬时变化率犪狋就是运动物体的瞬时速度.

运动物体的瞬时速度关于狋的瞬时变化率承上就是函数 狊′狋()=犪狋的导数狊″狋(). 按定义计算有

狊′狋( )+犱 -狊′狋()

犪狋( )+犱 -犪狋 犱 犪犱

犪.

当犱→0时还是所以狊″狋()=犪.它是运动物体的加速度.

练  

1. 求函数狔=狓-3狓在区间 -1 1 上的平均变化率.

2. 设质点做直线运动已知路程狊关于时间狋的函数为狊=3狋+2狋+1. 求从狋=2 到狋=2+犱之间的平均速度并求出当犱=1犱=0.1与犱=0.01时的平均速 再求在狋=2时的瞬时速度.

  习题  3

学 而 时 习 之

1. 求一次函数狔=犽狓+犫的瞬时变化率.

2. 在初速为狏的匀加速直线运动中路程犔和时间狓的关系为犔= ()犔 狓 =狏狓+犪狓2.

求犔关于狓 的瞬时变化率并说明其物理意义

求运动物体的瞬时速度关于狓的瞬时变化率说明其物理意义.

3. 当圆的半径狉变化时圆面积犛关于狉的瞬时变化率有什么几何意义?

当圆的直径犇 变化时圆周长犆关于犇 的瞬时变化率有什么几何意义?

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