2018澳洲AMC中學高級組參考解法

(1)

允許學生個人、非營利性的圖書館或公立學校合理使用

本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載

而不須申請。

重版、系統地複製或大量重製這些資料的任何部分，必

須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許

可。

申請此項授權請電郵

ccmp@seed.net.tw

Notice:

Individual students, nonprofit libraries, or schools are

permitted to make fair use of the papers and its

solutions. Republication, systematic copying, or

multiple reproduction of any part of this material is

permitted only under license from the Chiuchang

(2)

高級卷

1-10 3 1. 中 P QRS ∠XP Y 小 (A) 25◦ (B) 30◦ (C) 35◦ (D) 40◦ (E) 45◦ P Q R S X Y 25◦ 25◦ P 90◦ ∠XP Y = 90◦− 50◦ = 40◦ : (D) 2. 250 km 8 (A) 15 km (B) 20 km (C) 30 km (D) 40 km (E) 80 km 8× 30 = 240 30 km : (C)

(3)

3. 32 (A) 16 (B) 32 (C) 64 (D) 128 (E) 256 64 128 : (D) 4. (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 3 5 (E) 4 5 2 3

(4)

5. 9× 1.2345 − 9 × 0.1234 (A) 9.9999 (B) 9 (C) 9.0909 (D) 10.909 (E) 11.1111 9× 1.2345 − 9 × 0.1234 = 9 × (1.2345 − 0.1234) = 9 × 1.1111 = 9.9999 : (A) 6. 20− 18 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 10 20 = 1 18 = 1 20− 18 = 0 : (A) 7. 1000% 100 (A) 0.1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) 1000 1000% = 10× 100% 1000% 10 100 10 : (C)

(5)

8. $60 (A) $140 (B) $200 (C) $245 (D) $350 (E) $420 4 $60 ÷ 3 = $20 1 1 $20÷ 4 = $5 7 7 $5× 7 × 7 = $245 : (C) 9. ABC 中 M AB 中

(A) ∠CAM = ∠ACM (C) AC = 2 BC (B) ∠CMB = 2 ∠CAM (D) CM = BC (E) △AMC =△MBC A B C M C √ 5 √ 5 中 AM = M B = 1 M C = 2 AB⊥ MC AC = BC =√5 (C) (D) AM ̸= CM △ACM ∠CAM ̸=

(6)

10. 1 100 5050 101 200

(A) 15 050 (B) 50 500 (C) 51 500 (D) 150 500 (E) 505 000 1 + 2 +· · · + 100 101 + 102 +· · · + 200 100× 100 = 10000 101 + 102 +· · · + 200 = 5050 + 10000 = 15050

(7)

11-20 4 11. 小 ( ) (A) 14 (B) 20 (C) 25 (D) 28 (E) 30 1 1 30 30 = 14 + 1 + 14 + 1 14 1 14 1 28 14 14 : (D) 2 10× 3 = 30 n 3n n− 1 2 3n− 2(n − 1) = n + 2 n + 2 = 30 28 : (D)

(8)

12. 中 C A B D E ∠BCD = 200◦ _{∠DCA = x}◦ _{∠BCA =} 3x◦ ∠DAC : ∠BAC (A) 3 : 1 (B) 5 : 2 (C) 8 : 3 (D) 7 : 4 (E) 7 : 3 200◦ x◦ 3x◦ A B C D E x + 3x + 200 = 360 x = 40

△ACD 中 _{∠ACD = 40}◦ _{∠DAC = ∠CDA} 180◦ = 40◦ + 2∠DAC ∠DAC = 70◦

△ABC 中 ∠BAC = ∠ABC = 1

2(180◦− 120◦) = 30◦

∠DAC : ∠BAC = 70◦ _{: 30}◦ _{= 7 : 3}

(9)

13. 4 330 小 4 330 (A) 220 (B) 990 (C) 144 (D) 374 (E) 176 x 4x− 330 = x 4 + 330 16x− 4 × 330 = x + 4 × 330 15x = 8× 330 x = 8× 330 ÷ 15 = 8 × 22 = 176 : (E)

(10)

14. 1 m 中 m2 (A) 1 (B) √2 (C) 2 (D) 3₋√2 (E) 1 + √ 2 2 1 1 1 1 √ 2/2 1 √ 2/2 1 m 高 1 +√2 m 1 2(1 + √ 2) m2 : (E)

(11)

15. P W P W 6 P 7 W 8 P 4 W W (A) 11 (B) 13 (C) 16 (D) 20 (E) 25 1 2 P 3 W 6 P 7 W 6 P 9 W 16 W : (C) 2 p w C C = 6p + 7w 4C = 24p + 28w C = 8p + 4w 3C = 24p + 12w 4C− 3C = 24p + 28w − 24p − 12w C = 16w C 16 W : (C)

(12)

16. P QR P T S P R P Q 中 _{∠QT P = α ∠SRP = β} tan α : tan β (A) 3 : 1 (B) 4 : 1 (C) 5 : 1 (D) 7 : 2 (E) 9 : 2 P Q R S _α T β ∥ ∥ | | P Q R S _α T β q q p p P S = SQ = p P T = T R = q tan α = 2p q and tan β = p 2q tan α : tan β = 2p q : p 2q = 4 : 1, : (B) 17. (A) 1 6 (B) 1 9 (C) 1 27 (D) 7 36 (E) 1 54 63 _{= 216} 123 234 345 456 中 6 24 216 = 1 9 : (B)

(13)

18. 2018 (A) 24 (B) 38 (C) 18 (D) 36 (E) 25 2018 = 218× 1018= 28× 210× 1018≈ 200 × 103× 1018 = 2× 1023 24 2018 ₂₄ 218_{= 2}8× 210_{> 100}× 1000 = 105 ₂18_{= 2}9× 29 _{< 1000}× 1000 = 106 1023< 2018 < 1024 2018 24 : (A) 2018 _{= 262 144 000 000 000 000 000 000}

(14)

19. 中 100 50 111 . . . 111 | {z } 100 − 222 . . . 222_| _{z _} 50 (A) 375 (B) 420 (C) 429 (D) 450 (E) 475 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 − 1 1 1 0 8 8 8 9 = 3× 1 + 3 × 8 + 9 = 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 − 1 1 1 1 0 8 8 8 8 9 = 4× 1 + 4 × 8 + 9 = 45 49×1+0+49×8+9 = 450 : (D) 2 111 . . . 111 | {z } 100 − 222 . . . 222_| _{z _} 50 = 111 . . . 111_| _{z _} 100 − 111 . . . 111_| _{z _} 50 − 111 . . . 111_| _{z _} 50 = 111 . . . 111_| _{z _} 50 000 . . . 000 | {z } 50 − 111 . . . 111_| _{z _} 50 = 111 . . . 110_| _{z _} 50 999 . . . 999 | {z } 50 − 111 . . . 110_| _{z _} 50 = 111 . . . 110_| _{z _} 50 888 . . . 889 | {z } 50 中 1 + 8 50× 9 = 450

(15)

20. 中小 5 1◦ (A) 30 (B) 40 (C) 45 (D) 50 (E) 60 1 小 n n + 5 n (n− 2) × 180◦ 180(n− 2) n ◦ 180[(n + 5)− 2] n + 5 − 180(n− 2) n = 1 180 ( _{n + 3} n + 5 − n− 2 n ) = 1 180 ( _{n(n + 3)}_{− (n − 2)(n + 5)} n(n + 5) ) = 1 180(n2+ 3n− n2− 3n + 10) = n2+ 5n n2+ 5n− 1800 = 0 (n− 40)(n + 45) = 0 n n = 40 n + 5 = 45 : (C) 2 小 θ◦ (θ + 1)◦ 360 θ 360 θ + 1

(16)

3 小 n + 5 n 360◦ 360 n − 360 n + 5 = 1 5× 360 n(n + 5) = 1 n(n + 5) = 1800 n2+ 5n− 1800 = (n + 45)(n − 40) n n = 40 n + 5 = 45 : (C) 21-25 5 21. m n n =√100− m2 _{(m, n)} (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 10 n = √100− m2 ₁₀₀− m2 ≥ 0 _m2 ≤ 100 −10 ≤ m ≤ 10 100− m2 m2 = 02 12 · · · 102 (m, n) (±10, 0) (±8, 6) (±6, 8) (0, 10) (m, n) 7 : (C)

(17)

22. 2 (A) 8 3 (B) 4 (C) 16 3 (D) √6 (E) 8− 2√2 4 2 高 2 4 3 8− 4 ×4 3 = 8 3 : (A)

(18)

23. 5 ×12 中 (A) √60 (B) 8 (C) √65 (D) √68 (E) 9 √ 122_{+ 5}2 ₌√_{169 = 13 cm} 12 13 5 O A B D C P r r r

△ADB 30 _{△AOB △DOA △BOD}

12r 2 + 5r 2 + 13r 2 = 15r r = 2 2 8 2 2 1 2 O A B D C P √ √

(19)

24. √√ . . .√256 | {z } 60 = 2(8x) x (A) ₋₁₇ (B) ₋₁₉ (C) ₋₂₁ (D) ₋₂₃ (E) 16 √√ . . .√256 | {z } 60 = (· · · ((28)12) 1 2 · · · ) 1 2 | {z } 60 = 28·(1/2)60 = 22−57 = 2(23)−19 = 28−19 : (B)

(20)

25. 3 4 5 中 (A) 18 7 (B) 54 25 (C) 8 3 (D) 27 17 (E) 96 41 4 3 5 1 C B A E D BDCE 中 △ABC △CBD △DCE DE DC = AC AB = 4 5 △DCE △CBD (4₅)2 = 16 25 △DCE BDCE 16 41 ( 中 ) △ABC △ABC 16₄₁ 16 41× 6 = 96 41

(21)

2 x 6− x 6 3 5 (₃ 5 )2 × 6 = 54₂₅ 6−54 25 = 96 25 中 x 96 25 − x 中 6− x x = x 96 25 − x x2 = (6− x)(96 25 − x) 25x2 = (6− x)(96 − 25x) = 25x2− 246x + 576 x = 576 246 = 96 41 : (E) 3 ( _{· · · ) 中} 3 4 5 r = 16 25 6 = a + ar + ar2+ ar3+· · · = a

(22)

中級 B 中 S = 6 r = 16 25 B = r 1 + rS = 16 25 41 25 × 6 = 96 41 : (E)

(23)

26-30 000-999 26 6 27 7 28 8 29 9 30 10 26. A 9 2018 B A C B C A 9 9 B C 9 A 2018 B < 2018× 9 6 19999 C 6 1 + 4 × 9 = 37 C 9 18 27 36 C A B C 90000000 . . . 0000000 9 9 99999999999 | {z } 11 00 . . . 00 99 18 9999 . . . 9999 | {z } 111 00 . . . 00 999 27 9999 . . . 9999 | {z }00 . . . 00 9999 36

(24)

27. ABCD 中 AB = 100 BC = 130 CD = 150 DA = 120 A D Q 4 中 AQ A B C D Q A B C D Q P E F G H R ABCD 120 2 × (100 + 150) = 15000 小 3750 中 E F G H R Q AD EG Q EG P EG 中 AEP H 中 AE = 50 AH = 60 HP = 125 2 = 62.5 AEP H 60 2 × (50 + 62.5) = 3375 △HP Q 3750− 3375 = 375 HR = h △HP Q 高 375 = 1 2 × 125 2 h =⇒ h = 12 AR = 60 + 12 = 72 RQ = 50 + 72 × 25 120 = 65 AQ = √ 652_{+ 72}2 ₌√_{9409 = 97} : (097)

(25)

28. 小小小 1 6×5×4×3×2×1 = 720 中中中小 720× 1 2 × 1 2 × 1 2 = 90 : (090) 2 BL BR RL RR 4 中 (₄ 2 ) = 6 WL WR (₆ 2 ) = 15 小 6× 15 = 90 : (090)

(26)

29. n≥ 3 n 1 中 n n = 7 60 n A O B C A 中 O ABC ∠BAC = 360◦ n ∠ABC = ∠ACB = 1 2 ( 180◦− 360 ◦ n ) = 90◦− 180 ◦ n ∠AOC = 2∠ABC = 180◦₋ 360◦ n AOC = 180◦+ 360◦ n = (₁ 2 + 1 n ) × 360◦ 1 2 + 1 n 1 2 + 1 n n (₁ 2 + 1 n ) = n 2 + 1 = 60 n 2 = 59 n = 118 : (118)

(27)

30. 1 2 · · · n2 _n× n • 小 • 小 3× 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 1 2 3 4 5 6 7 8 8 6 7 9 1 2 3 4 5 20000 n× n 小 n n× n 1 n− 1 1 n− 2 1

(28)

2n− 1 初 1 1 2 2 2 n− 2 (n− 2) + 1 = n − 1 2 n− 1 初 lcm(2n_{− 1, n − 1)} 初 2n − 1 n − 1 1 S = (2n− 1)(n − 1) 20000 S 2n2 2n2 ≈ 20000 n2 ≈ 10000 n ≈ 100 n = 100 S = 199× 99 < 20000 n = 101 S = 201× 100 = 20100 : (101)