應變對三五族半導體能帶結構及傳輸特性

國

立

交

通

大

學

電子物理學系

碩

士

論

文

應 變 對 三 五 族 半 導 體 能 帶 結 構 及 傳 輸 特 性

之影響

Theoretical studies of band structures and transport

properties of strained III-V semiconductors

研 究 生：鄭丞偉

指導教授：鄭舜仁 教授

應 變 對三 五族半 導 體能 帶結構 及 傳輸 特性之 影 響

Theoretical

studies of band structures and transport properties

of strained III-V semiconductors

研 究 生：鄭丞偉 Student：Cheng-Wei Cheng 指導教授：鄭舜仁 教授 Advisor：Prof. Shun-Jen Cheng

國 立 交 通 大 學 電 子 物 理 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Electrophysics College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electrophysics July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

應變對三五族半導體能帶結構及傳輸特性之影響 學生：鄭丞偉 指導教授：鄭舜仁 教授 國立交通大學電子物理研究所碩士班 摘要 在本研究中，我們利用多能帶 k.p 理論來模擬作用於不同晶面上 之應變對三五族半導體能帶結構的影響，並進一步應用於評估高度掺 雜的應變半導體傳輸特性，透過能帶結構計算，可以得到受應變作用 後半導體中載子傳輸時的有效質量，並估算出半導體中溫度及應變對 載子遷移率的影響。且可利用 Slater-orbital 的模型計算晶胞中微觀電 荷密度的分佈，進而解釋載子遷移率的變化。此模擬結果可提供往後 研發高效能半導體元件的參考資訊。

Theoretical studies of band structures and transport properties of strained III-V semiconductors

Student：Cheng-Wei Cheng Advisor：Prof. Shun-Jen Cheng

Department of Electrophysics National Chiao Tung University

ABSTRACT

In this thesis, I present a theoretical investigation of the electronic structures and transport properties of strained InAs bulk semiconductor. The numerical tool is developed within the

framework of the k p _{theory. From the calculated band structures,}

the transport effective masses and the density of states of carriers in the strained semiconductors can be extracted. Then, the mobilities of carriers in the InAs semiconductors under biaxial and uniaxial stresses are evaluated as a function of temperature and strain strength, under the assumption of constant e-phonon scattering time. Moreover, the charge density of fast-varying Bloch function in a crystalline unit cell of a strained semiconductor is modeled by using Slater-orbital model, which provides useful information for gaining

more physical insight into the strain-engineered transport properties. The simulation results provide useful information for seeking for the

致謝

首先，感謝鄭舜仁老師在我兩年的碩士生涯內，不時的討論並指 點我正確的方向，在研究上提供我們充分的資源以及給予細心的指導， 並且培養我們做事情該有的正確態度，使我在這些年中獲益匪淺。感 謝各位口詴委員，陳振芳老師、林浩雄老師、以及柯誌欣博士提供的 寶貴意見，讓我的研究能夠更趨近完備。 在碩士班的日子裡，所結識的夥伴都是幫助我成長的重要人物， 感謝書楷學長讓我學會了很多研究上和生活上的智慧及克銘學長帶 領我作研究紮實的基本功和品嚐收穫的喜悅，也感謝禹淮學長不時的 給予適當的建議。當然，在這過程中也少不了同窗們的互相體諒與幫 忙，我的同學建智、語宸、智豪、力瑋、以理與書瑜在課業與研究上 的討論和幫助，因有你們的陪伴讓研究生活變得絢麗多彩。此外，幸 運的我還要感謝一群老朋友，謝謝他們在各分東西後還能從各方稍來 關心，讓我更有力量。 兩年的碩士生涯，我最要感謝父母為孩子的犧牲與苦心栽培，讓 我有著無後顧之憂的生活，並讓我在徬徨與挫折中找回自信，希望我 的努力能讓你們感到欣慰與驕傲。 對於無法在致謝中一一答謝的親朋好友們說一聲，謝謝你們。

目錄： 中文摘要 ... iii 英文摘要 ... iv 目錄 ... vi 表目錄 ... viii 圖目錄 ... ix 第一章 導論 ... 1 1.1 簡介... 1 1.2 研究動機 ... 2 1.3 章節概要 ... 3 第二章 應變對塊材能帶結構及傳輸性質 ... 4 2.1 k p 法 ... 4 2.1.1 八能帶k p 模型 ... 4 2.1.2 考慮應變時 InAs 的塊材的能帶性質 ... 9 2.2 塊材反轉不對稱 (BIA)[20] ... 12 2.3 應變 ... 14 2.3.1 應變張量與應變矩陣[21](Pikus-Bir Hamiltonian) ... 14 2.3.2 定位(hkl)、晶面方向[hkl]及軸方向<hkl> ... 19 2.3.3 特定應變之應變張量形式 ... 21

2.3.4 考慮 uniaxial Strain <110>時 InAs 的塊材的性質變化26 2.4 Löwdin 微擾理論[22] ... 32 第三章 不同晶面下塊材能帶結構及傳輸性質 ... 39 3.1 晶面轉換[13-16] ... 39 3.2 (110)晶面下 InAs 塊材能帶結構及傳輸性質 ... 43 3.3 (111)晶面下 InAs 塊材能帶結構及傳輸性質 ... 45 第四章 結果與討論 ... 47 4.1 (001)晶面下 InAs 塊材能帶結構及傳輸性質 ... 47 4.2 (110)晶面下 InAs 塊材能帶結構 ... 53 4.3 (111)晶面下 InAs 塊材能帶結構及傳輸性質 ... 55 第五章 結論 ... 57 參考文獻 ... 59 附錄 ... 61 附錄 A、半導體塊材的載子遷移率計算 ... 61 附錄 B、Slater Orbital ... 67 附錄 C、晶胞中微觀電荷密度的分佈 ... 71 附錄 D、Löwdin 微擾理論解析詳解 ... 72

表目錄：

表 2.1.1、Luttinger-Kohn 八能帶模型基底 ... 7

表 2.1.2 InAs 未考慮施加應變於Γ點微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 11

表 2.2.1 Kane 模型線性項至三次項八能帶k p 模型 ... 12

表 2.3.1 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>拉長應變於Γ點微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 27

表 2.3.2 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變於Γ點微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 28

表 2.3.3 InAs 未施加應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖([100]-[010]面) ... 29

表 2.3.4 InAs 未施加應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖([100]-[010]面) ... 29

表 2.3.5 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>拉長應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 30

表 2.3.6 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>拉長應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 30

表 2.3.7 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 31

表 2.3.8 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖 ... 31

表 4.1.1 八能帶k p 模型常溫(T=300K) InAs 塊材電子遷移率增益表 ... 48

表 4.1.2 Tight-Binding 模型常溫(T=300K) InAs 塊材電子遷移率增益表 ... 48

表 4.1.3 八能帶k p 模型常溫(T=300K) InAs 塊材電洞遷移率增益表 ... 50

表 4.1.4 Tight-Binding 模型常溫(T=300K) InAs 塊材電洞遷移率增益表 ... 50

表 4.1.5 As 原子考慮施加 Uniaxial Strain <110>應變 X-Y 平面微觀電荷密度分佈圖 ... 51

表 4.1.6 As 原子考慮施加 Uniaxial Strain <110>應變 X-Z 平面微觀電荷密度分佈圖 ... 52

表 B.1 主量子數與真實主量子數對照表 ... 67

表 B.2 S 與 P 軌道 Slater Orbital 型式 ... 68

圖目錄：

圖 2.1.1 左圖為未考慮應變作用 InAs 塊材之能帶 ... 9

(a). kx-ky平面導電帶底部之等位面 (b). kx-ky平面價電帶頂部之等位面 ... 9

(c). kx-kz平面導電帶底部之等位面 (d) kx-kz平面價電帶頂部之等位面 ... 9

圖 2.2.1 八能帶k p 模型並加入 S.O.線性項 InAs 塊材之能帶 ... 13

(a) InAs 塊材之能帶 (b)小範圍 InAs 塊材之能帶 ... 13

圖 2.3.1 受應力後形變示意圖 ... 14 圖 2.3.2 一維應變示意圖 ... 14 圖 2.3.3 (a)未受應變的晶格排列 (b)受應變後的晶格排列 ... 15 圖 2.3.4 應變作用於二維平面示意圖 (a)正應變 (b)剪應變... 16 圖 2.3.5 wafer orientation (001) 示意圖 ... 20 且將垂直晶面方向定為 Z 軸[001] ... 20 圖 2.2.6 wafer orientation (110) 示意圖 ... 20 且將垂直晶面方向定為 Z 軸[110] ... 20 圖 2.2.6 wafer orientation (111) 示意圖... 20 且將垂直晶面方向定為 Z 軸[111] ... 20 圖 2.3.7 uniaxial strain [100] 作用於閃鋅結構單位晶胞。 ... 22 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖 ... 22 圖 2.3.8 不考慮材料彈性 uniaxial strain [100] 作用於閃鋅結構單位晶胞。 ... 23 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖 ... 23 圖 2.3.8 不考慮材料彈性 uniaxial Strain <110> 作用於閃鋅結構單位晶胞。 ... 24 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖 ... 24 圖 2.3.9 Biaxial strain 作用於閃鋅結構單位晶胞。 ... 25 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖 ... 25

(a). kx-ky平面導電帶底部之等位面 (b). kx-ky平面價電帶頂部之等位面 ... 26

(c). kx-kz平面導電帶底部之等位面 (d) kx-kz平面價電帶頂部之等位面 ... 26

圖 2.3.11 左圖為考慮 Uniaxial Strain <110>壓縮作用 InAs 塊材之能帶 ... 28

(a).kx-ky平面導電帶底部之等位面 (b) kx-ky平面價電帶頂部之等位面... 28

(c). kx-kz平面導電帶底部之等位面 (d) kx-kz平面價電帶頂部之等位面 ... 28

圖 2.4.1 微擾法的示意圖 ... 33

圖 2.4.2 InAs 施加 Uniaxial Strain <110> 能帶結構示意圖 ... 37

(a)壓縮應變 2% (b)無應變 (c)拉長應變 2% ... 37

圖 2.4.3 原子鍵結示意圖 ... 37

圖 2.4.4 能階分裂示意圖 ... 38

圖 3.4.1 晶體轉軸示意圖 ... 39

圖 4.1.1 八能帶 k p 模型考慮 Uniaxial Strain <110> InAs 塊材之能帶 ... 47

圖 4.1.2 八能帶 k p 模型考慮 Uniaxial Strain <110> InAs 塊材之電子有效質量 ... 48

圖 4.1.3 八能帶 k p 模型考慮 Uniaxial Strain <110> InAs 塊材之電洞有效質量 ... 49

圖 4.2.1 八能帶 k p 模型晶面方向(110)考慮 Biaxial Strain InAs 塊材之能帶 ... 53

圖 4.2.2 八能帶 k p 模型考慮 Biaxial Strain 於晶面(110)上 InAs 塊材之電子有效質量 ... 54

圖 4.2.3 八能帶 k p 模型考慮 Biaxial Strain 於晶面(110)上 InAs 塊材之電洞有效質量 ... 54

圖 4.3.1 八能帶 k p 模型晶面方向(111)考慮 Biaxial Strain InAs 塊材之能帶 ... 55

圖 4.3.2 八能帶 k p 模型考慮 Biaxial Strain 於晶面(111)上 InAs 塊材之電子有效質量 ... 56

圖 4.3.3 八能帶 k p 模型考慮 Biaxial Strain 於晶面(111)上 InAs 塊材之電洞有效質量 ... 56

第一章 導論

1.1 簡介 多年以來，半導體工業的蓬勃發展，使得更小的電晶體得到更便 宜的製造，並且也能產生較佳的性能。他們花費較少的成本來生產， 蓋因為大多數的生產步驟均是整片晶圓的處理。因此，將更多的元件 安置在相同的空間內，能夠減少每個元件的成本。此種便是 Moore's Law[1]定律的精髓。 當金屬氧化物半導體尺寸進入奈米等級時，矽互補型金屬氧化物 半導體(CMOS)的尺寸顯著影響其傳輸性質，為增進元件性能，提昇 載子遷移率，應變工程[2,3](Strain engineering)已漸成為量產的必要技 術。而應變效應主要來自半導體所受的應力(使原子離開其平衡位置， 將造成能帶結構產生變化)，透過操縱應變技術將可進行能帶結構的 設計，進而決定其傳輸性質[4-7]。 然而傳輸性質也受不同的通道方向與晶面方向影響，因此研發的 焦點必然的都放在高遷移率的通道技術上。半導體的研究至今，已有 許多研究[8,9]發現未施加應變時 nMOS 於晶面方向(001)與通道方向 <001>與 pMOS 於晶面方向(110)與通道方向<110>有較佳的傳輸性質， 結合其應變作用，來達到載子遷移率最佳的增益效果。

1.2 研究動機

半導體工業發展至今以有約半世紀，電晶體的尺度也隨著

Moore’s Law 來到了奈米等級，矽互補型金屬氧化物半導體(CMOS) 的傳輸性質與特性已被廣泛的研究。然而，在現今製程遇上瓶頸，人 們開始尋求不同的材料與方法，III-V 族半導體的傳輸性質與特性被 所期待，而投入新的發展需要大量的人力與金錢，為更有效的應用， 模擬計算可提供我們一個很直觀的圖像，去了解應變作用於半導體所 造成的能帶結構變化是如何影響半導體的傳輸性質，促使研發的進行 更有效率。 在此論文工作之中，我們利用k p 理論[10,11]來模擬 InAs 的能帶 結構並分析應變對於 n 型及 p 型載子，再已 STO[12]來模擬基底於真 實空間中的原子軌道分佈，用一簡單圖像解釋其應變作用對傳輸性質 的影響，而不同的通道方向與晶面方向對於半導體的傳輸性質有著絕 對的關係，我們也已旋轉矩陣[13-16]建構出於任意晶面下的k p 模型， 並對(110)、(111)晶面方向的能帶結構與有效質量做計算。藉由這論 文工作，以期對半導體的傳輸性質以及應變作用有著更深一層的認 識。

1.3 章節概要 首先第一章介紹我們對於應變的影響有基本的認識，並了解應變 工程對當代半導體工業的重要性，第二章介紹k p 理論並使用八能帶 k p 模型[17-18]來模擬定位於(001)晶面下，加入應變作用受應變 III-V 族複合半導體的能帶結構與傳輸特性。第三章介紹如何利用旋轉矩陣， 建構出於任意晶面下的 k.p 模型，並且討論其能帶結構與有效質量上 的差異。第四章則是討論應變作用對於 InAs 的等效質量與載子遷移 率的影響，並利用 STO(Slater-Type Orbital)來模擬基底於真實空間中 的原子軌道分佈，解釋傳輸性質的增益情形。第五章對本篇文章做總 結討論，並思考其後續的發展性

第二章 應變對塊材能帶結構及傳輸性質

本章節將介紹我們計算塊材所使用的能帶模型-k p 法，探討於 不同基板下，加入不同形式的應變對於閃鋅結構能帶造成的影響，並 且介紹計算加入電場後的載子遷移率的計算方法。 2.1 k p 法 2.1.1 八能帶k p 模型 在固態系統當中，單電子的薛丁格方程式為:

 

 

0 , , , 2 0 ( ) 2 n k n k n k H r E r p H V r m      _  _   (2.1.1) 0 H 為 Hamiltonian，V r

 

為成週期性排列的晶格位能: V r



T



V r

 

， 1 1 2 2 3 3 T n a n a n a 為晶格平移向量，其中a₁、a₂、a₃為原始平移向量， 藉由n1、n2、n3進行平移可描繪整個固態系統。根據 Bloch theorem 當 電子在呈週期性的位能中，它的波函數可以表示成 Bloch’s function， 如(2.1.2)式，

 

 





 

, , , , ik r n k n k n k n k r e u r u r T u r  _    (2.1.2) 其中 ik r e  為電子在晶體中具有平面波的特性，而u_{n k,}

 

r 表示的是電子 局部的波函數，而後我們將(2.1.2)式代入薛丁格方程(2.1.1)式

 

 

2 , , , ( ) 2 ik r ik r n k n k n k p V r e u r E e u r m           (2.1.3)

然後將(2.1.3)式展開，

 

 

2 2 2 , , 2 ( ) 2 ik r ik r n k n k p k p k e u r V r e u r m       _     

 

, , ik r n k n k E e u r  (2.1.4) 可以將(2.1.6)式整理成(2.1.7)式，

 

 

 

 

2 2 2 , , , ( ) , 2 2 ik r ik r ik r ik r n k n k n k n k p k e u r e k p u r e u r V r e u r m m m  _   _  _  _     

 

, , ik r n k n k E e  u r  (2.1.5) 我們把(2.1.7)式兩邊同時消去 ik r e  可得(2.1.8)式，

 

 

2 2 2 , , , ( ) 2 2 ik r n k n k n k p k k p V r u r E e u r m m m             (2.1.6) 方程式中出現了k p 項，所以才稱之k p 法。 接著進一步考率自旋軌道偶合，將我們 Hamiltonian 改寫(2.1.7)式



H0HS O. .

  

n r Enn

 

r 2 0 ( ) 2 p H V r m   (2.1.7) . . 2 2 0 4 S O H V p m c    

(2.1.9)式中 為包利自旋矩陣(Pauli spin matrix)

0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i  _ _  _  _  _ _        (2.1.8) 藉由(2.1.1)式到(2.1.6)式類似的運算步驟，最後我們得到類似(2.1.6) 式的形式，只是多加了考慮自旋角動量的部分，如(2.2.3)式，

 

 

2 2 2 , , , ( ) 2 2 ik r n k n k n k p k k V r u r E e u r m m m             (2.1.9) 2 2 0 4 p V m c      接下來我們考慮將(2.1.6)式並利用 Löwdin 的微擾理論來求得k p 等效的 Hamiltonian，結果如

 





2 2 * 0 0 2 c c E k E k k m m    (2.1.10)   * 2 0 1 2 1 cv g m P m E   (2.1.11) 其中 * m 稱之為等效質量，對於不同的材料中會有不同的等效質量， (2.1.7)式很清楚的表示當k 很接近零時，電子在塊材的行為表現跟在 真空中行的為表現很像，差異是有效質量不同。在真空中 * 1 m  ，而 在許多半導體塊材中 * m 會小於 1，也就是說電子在塊材中如同質量變 小。在(2.1.8)式中pcv  c P vˆ 指的是導帶和價帶之間動量矩陣元素， 而E_g E_cE_v是導電帶與價電帶的能量差。 在本論文中，我們使用八能帶模型(eight-band model)，其推導請 參考[11]，所採取 Luttinger-Kohn 的基底 S 、S  、HH  、LH 、 LH  、 HH  、 SO 、 SO 如表 2.1.1

表 2.1.1、Luttinger-Kohn 八能帶模型基底 分類 Bloch function

 

, _z J j u r 原子對應的軌道形態 電子 Electron 1 1 , 2 2 _c S  _{1/ 2,1/ 2}

 

1 1, 2 2 c c u r  r 1 1 , 2 2 c S    _{1/2, 1/2}

 

1, 1 2 2 c c u _ r  r  重電洞 Heavy hole 1 3 3 ( ) , 2 2 2 v HH    XiY   _3/2,3/2

 

3, 3 2 2 v v u r  r  1 3 3 ( ) , 2 2 2 v HH   XiY    3/2, 3/2  3 3 , 2 2 v v u  r  r  輕電洞 Light hole





1 3 1 ( ) 2 , 2 2 6 v LH   XiY   Z  _3/2,1/2  3 1, 2 2 v v u r  r





1 3 1 ( ) 2 , 2 2 6 v LH  XiY   Z   _{3/2, 1/2}  3, 1 2 2 v v u  r  r  裂帶電洞 Split off





1 1 1 ( ) , 2 2 3 v SO  XiY   Z  _1/2,1/2

 

1, 1 2 2 v v u r  r 





1 1 ( ) , 2 2 3 v i SO  X iY   Z   _{1/2, 1/2}

 

1, 1 2 2 v v u _ r  r  而在此論文中，由於電洞部份會有較明顯混成，當我們判別重電 洞與輕電洞時，將以角動量 j_z來辨別重電動與輕電洞， j_z  3 2稱重 電洞， j_z  1 2稱輕電洞，而當重電洞成份比較多時，我們稱類重電

洞(Heavy hole like)，當輕電洞成份比較多時，我們稱類輕電洞(Light hole like)反之，不以有效質量來區別重電洞與輕電洞。

由表 2.1.1 的所採取 Luttinger-Kohn 的基底，並以 S  、 S  、

HH  、 LH 、 LH  、 HH  、 SO 、 SO 的順序，將k p 以

0 3 2 0 2 0 0 2 3 2 1 3 0 0 2 2 3 2 0 2 2 3 2 0 2 2 1 0 3 0 2 2 1 3 2 2 2 0 2 2 3 1 2 2 2 0 2 2 K LK A V U V U V A V U V V U V P Q S R S R U V S P Q R Q S H V U R P Q S S Q V R S P Q R S U V S Q S R P V U R S Q S P                                                                  _{    }                                        (2.1.12)





2 2 2 2 1 0 2 x y z P k k k m     (2.1.13)





2 2 2 2 2 0 2 2 x y z Q k k k m     (2.1.14)





2 2 2 2 3 0 3 2 2 x y x y R k k i k k m      _   _ (2.1.15)





2 3 0 3 x y z S k ik k m    (2.1.16)





2 2 2 2 0 2 g x y z A E k k k m     (2.1.17) 0 1 3 z U   P k (2.1.18)





0 1 6 x y V   P k ik (2.1.19) 在上式矩陣中，1、2、3為 Luttinger-Kohn 參數[19]，此參數會依不 同材料而不同。在此模型下可分為導電帶的電子，與價電帶的重電洞、 輕電洞和裂帶電洞，A為對應電子的矩陣元素，U、V為電子與電洞 之間的耦合項， P Q為對應到重電洞的矩陣元素， P Q為對應到 輕電洞的矩陣元素，R、S為重電洞與輕電洞之間的耦合項。

2.1.2 考慮應變時 InAs 的塊材的能帶性質 在此先了解未考慮應變時 InAs 的塊材的能帶性質，以下為利用八 能帶k p 模型計算出的能帶結果。 [100]-[010]平面 [1-10]-[001] 平面 導 電 帶 價 電 帶 圖2.1.1 左圖為未考慮應變作用InAs塊材之能帶 (a). kx-ky平面導電帶底部之等位面 (b). kx-ky平面價電帶頂部之等位面 (c). kx-kz平面導電帶底部之等位面 (d) kx-kz平面價電帶頂部之等位面 其中未加應變時 InAs 塊材的能隙大小為 0.417eV，載子遷移率與有效 質量成反比，我們可利用(2.1.20)式來計算出有效質量。 2 * 2 2 0 1 1 ( ) i i K E K m k _    (2.1.20) 電子於Γ點沿各方向的有效質量為 0.026m0 (m0為電子質量，其值為 31 9.10938188 10  kg)，電洞有效質量不為等向性，Γ點沿[100]，[010]， [001]方向為重電洞有效質量為mhh 0.333m0，輕電洞為mlh 0.014m0， 而沿[110]方向重電洞為mhh 0.514m0，輕電洞為mlh 0.0138m0。由於未 考慮施加應變在Γ點輕重電洞為簡併狀態，故我們需算出平均的有效 質量。

 

d

 

b [110] [1 10] [110] [1 10] [001] [001]

 

a

 

c

我們由算數平均數(2.1.21)式 HH LH avg HH LH n n n m m m (2.1.21) n為態密度(Density of state)，且_n_m32，其 D

m (Density of state Effective

Mass)，則可將(2.1.21)式整理成(2.1.22)式 1 1 2 2 3 3 2 2 1 hh lh avg hh lh m m m m m    (2.1.22) 能算出沿[100]，[010] ，[001]方向為平均有效質量為mhh0.279m0，而 沿[110]方向平均有效質量為mhh 0.443m0。 載子遷移率與有效質量成反比，故能從施加應變後，有效質量變 化的約略估計，來看出載子遷移率的增益情況，但我們也能從微觀的 電子雲分佈方向，來看出施加應變時，晶胞中微觀電荷分佈的情形。 我們利用 STO 如下式(2.1.23)來模擬基底於真實空間中的原子軌 道分佈。

 

* 1 *

 

, Z s r n n nlm r N r e Ylm  _{ }  _   _   (2.1.23)

上式 N 為歸一化常數，n*為真實主量子數(real principle quantum

number)，Z-s 項即等效核電荷(effective nuclear charge)，角度項為球 諧函數(Spherical Harmonic)，相關細節請參照附錄 B、C。

首先我們先觀察未考慮施加應變時晶胞中微觀電荷密度分佈情 形，其深色所畫出的電荷密度分佈為最大值的 60%等位面，淺色所畫 出的電荷密度分佈為最大值的 25%等位面，我們所討論的材料為 InAs， 而閃鋅結構最近臨原子的距離為



1 _, 1 _, 1



4 4 4 a，a為晶格常數(InAs 約 6.0583Å )，在此利用 As 原子來描述晶胞中微觀電荷密度的分佈， 圖中紅點位置為近臨原子位置，如下表 2.1.2 表 2.1.2 InAs 未考慮施加應變於Γ點微觀電荷密度(As)分佈圖 [100]-[010]平面 [1-10]-[001] 平面 電 子 重 電 洞 輕 電 洞 能由圖中我們能看出電子的微觀電荷分佈為一球型，而重電洞電荷為 橫躺於 X-Y 平面上環狀分佈，輕電洞則是沿著 Z 軸的啞鈴形。 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001] 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001] 1 [1 10] [001] 1 [110] [1 10]

2.2 塊材反轉不對稱 (BIA)[20]

由於三五族結構不同於四族有明確的反轉中心，造成塊材反轉不 對稱(bulk inversion asymmetry ; BIA)，而自旋軌道交互作用會造成自 旋的能量匹裂，此效應為自旋軌道偶合的 Dresselhaus 項。 表 2.2.1 Kane 模型線性項至三次項八能帶k p 模型









6 6 2 2 6 6 41 , . . b c c c c x y z x H b k k k  c p







































2 2 8 8 8 8 2 2 8 8 2 2 3 41 42 8 8 2 2 2 2 51 8 8 3 2 2 52 2 , . . 3 , . . , . . , , . . , . . b v v k x x y z v v v v x y z x x y z x v v x y z x y z v v x x y z H C k J J k c p b k k k J c p b k k k J c p b k k k J J J c p b k J J J c p    _   _             









7 87 2 2 7 7 41 , b v v v v x y z x H b k k k  cp





















8 7 2 2 8 7 41 8 7 2 2 8 7 3 51 52 3 . . , . . , . . . . b v v v v k x yz x y z x v v v v x y z yz x yz H i C k U c p b k k k U c p b k k k U c p b k U c p     _  _       

 













6 8 8 2 2 2 2 8 . . 1 1 2 3 b c v v x y z v xx yy z zz x y H iB T k k c p B T T k k T k          _  _  _  _    

 





6 7 7 . . 3 b c v v x y z i H   B  k k c p 其表中6c代表導電帶電子，8v代表重電洞與輕電洞，7v代表裂帶 電洞，由於我們較關心Γ點(k=0)附近的物理特性，因此_k3_項影響較 k 項小很多，故我們只考慮k一次項。

而我們一樣使用表 2.1.1 Luttinger-Kohn 八能帶模型基底作展開， 由表 2.2.1 我們可寫成矩陣形式(2.2.1) 式 2 1 4 4 2 3 4 2 3 4 4 1 2 2 3 4 4 2 3 4 4 4 1 4 2 3 2 4 2 3 4 4 4 1 2 1 1 0 0 ' ' 3 2 6 3 3 1 2 1 1 0 0 ' ' 3 6 2 3 3 1 1 3 1 1 0 ' ' 2 2 2 8 2 2 1 1 3 3 0 0 ' 3 6 2 2 8 1 2 3 6 z z z z z z z z Lin LK z i GF i GF N F GF N F G F G F i N F GF i GF N F GF G F G F GF N F Ck Ck Ck C k C k i GF N F GF Ck Ck Ck C k H GF i GF                               2 2 3 1 2 3 4 4 4 4 4 3 1 3 0 ' 0 2 2 8 1 3 1 1 1 0 ' ' 2 2 2 2 8 1 1 3 1 ' ' ' 0 ' ' 0 0 8 3 3 8 2 1 1 3 1 ' ' ' ' 0 ' 0 0 8 3 3 2 8 z z z z z z z N F Ck Ck Ck C k N F GF Ck Ck Ck C k C k i G F G F C k C k C k i G F G F C k C k C k                                         _{ }                                    (2.2.1) x y k k ik (2.2.2) 1 2 2 2 3 2 z x y F  k k k (2.2.3)





1 2 2 3 3 x y F  k k (2.2.4)





4 2 x z y z F  k k ik k (2.2.5) 2 4 0 2 z x y F k k m  (2.2.6) 接著我們看加上 k 線性項的能帶結果如下圖 2.2.1 圖2.2.1八能帶k p 模型並加入S.O.線性項InAs塊材之能帶 (a) InAs塊材之能帶 (b)小範圍InAs塊材之能帶

由圖所示，雖與未加線性項的結果幾乎沒有差別，但實值上自旋向上 與自旋向下的能帶已造成匹裂，不再是簡併的狀態。

2.3 應變 一般而言晶體受到外加應力作用時，會根據材料的特性，產生對 應的應變。在本論文我們假設應力在晶體均勻分布，其內部所生成的 應力和應變具有線性關係，在此節將討論特定形式的應變對於閃鋅結 構造成的變化。 圖2.3.1受應力後形變示意圖 (a)不考慮彈性 (b)考慮彈性且力均勻分佈 (c)考慮彈性但力不均勻分佈 2.3.1 應變張量與應變矩陣[21](Pikus-Bir Hamiltonian) 圖2.3.2一維應變示意圖 上圖 2.3.1 為一維應變，其中應變量



可以定義為： ' =l l l   (2.3.1) (2.3.1)式中l為受應變前的長度，而l'為受應變之後的長度，從(2.3.1) 式可以了解應變量



是不具單位的，其意義為形變的比例。 接著，我們進一步討論晶格受到外力所產生的形變，圖 2.3.2(a)為原 本晶格排列，圖 2.3.2(b)為原本為週期性排列的晶格受到外力影響， 造成晶格偏移。

圖2.3.3 (a)未受應變的晶格排列 (b)受應變後的晶格排列 我們假設對於某一個晶格位置為

r

，他受到應變後的位置為r '其關 係如(2.3.2)式  





  ˆ' 1 ˆ ˆ ˆ ˆ' ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' 1 ˆ xx xy xz yx yy yz zx zy zz x x y z y x y z z x y z                      (2.3.2) ˆx、 ˆy、ˆz為未受應變時的單位向量，xˆ '、yˆ '、zˆ '為受應變後的單位向 量。 x xx u x    ， y yy u y     ， z zz u z    為正應變(normal strain)，ui為應變後 晶格於i方向的位移量其意義即為(2.3.1)中的l'l。而正應變ii會造成 i方向長度的變化(ix y z, , )其值小於零既為壓縮應變長度將縮短，大 於零為拉長應變長度將伸長如圖 2.3.3(a)。 1( ) 2 y x xy yx u u y x        ， 1 ( ) 2 y z yz zy u u z y        ， 1 ( ) 2 x z xz zx u u z x        則為剪應變(shear strain)， ij  會造成 ij 軸之間的夾角_ij的變化，當值大於零為壓縮應變_ij將會變 小，值小於零為拉長應變_ij將會變大圖 2.3.3(b)。

圖2.3.4 應變作用於二維平面示意圖 (a)正應變 (b)剪應變 最後我們能將應變整理成張量形式(2.3.4)式

 





'

1

r

 



r

(2.3.3) [ ] = xx xy xz xx xy xz yx yy yz xy yy yz zx zy zz xz yz zz                          _              (2.3.4) 接著我們考慮應力與應變關係，若我們知道外力施加的形式，便可將 其表示為一應力張量 [ ] ： [ ] = xx xy xz xx xy xz yx yy yz xy yy yz zx zy zz xz yz zz                          _              (2.3.5) 一般而言，應力與應變的關係遵循虎克定律(Hooke's Law)，且系統為 立方晶體時，我們能用以下的關係式來轉換應力張量及應變張量： 11 12 12 12 11 12 12 12 11 44 44 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 xx xx yy yy zz zz yz yz xz xz xy xy C C C C C C C C C C C C                                                                (2.3.6) 11 C 、C12及C44表示彈性常數，而我們也能由應力轉換為應變如下(2.3.7) 式。

11 12 12 12 11 12 12 12 11 44 44 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 xx xx yy yy zz zz yz yz xz xz xy xy S S S S S S S S S S S S                                                                (2.3.7) 11 S 、S₁₂及S₄₄表示剛性常數，這些常數會根據材料改變而有所不同。 (InAs、GaAs、Si、Ge 等常見材料的彈性常數可參考文獻[])。 而彈性常數C及剛性常數S之間，可透過下式轉換： 11 12 11 2 2 11 11 12 12 12 12 2 2 11 11 12 12 44 44 2 2 1 C C S C C C C C S C C C C S C          (2.3.8)

而我們的應變矩陣(Pikus-Bir Hamiltonian)形式為(2.3.8)式，而基底與 動能量相同如表 2.1.1，其推導方式請參考[11] † † † † † † † † † † † † † † † † 0 3 2 0 2 0 0 2 3 2 1 3 0 0 2 2 3 2 0 2 2 3 2 0 2 2 1 0 3 0 2 2 1 3 2 2 2 * 0 2 2 3 1 2 2 2 0 * 2 2 c c LK a e v u v u v a e v u v v u v p q s r s r u v s p q r q s H v u r p q s s q v r s p q r s u v s q s r a e v u r s q s a e                    _{   }                                                                 (2.3.8)





v xx yy zz pa e e e (2.3.9)





1 2 zz xx yy qb e_  e e _   (2.3.10)





3 2 xx yy xy r b e e ide (2.3.11)



xz yz



s d e ie (2.3.12) xx yy zz ee e e (2.3.13) 0 1 3 j zj j u P



e k (2.3.14)





0 1 v= 6 j xj yj j P



e ie k _(2.3.15) 其中，ac、av、b及d 為形變位能(deformation potential)，其參數值參 考[19]。而我們的 Hamiltonian 將變為 K LK LK HH H 。

2.3.2 定位(hkl)、晶面方向[hkl]及軸方向<hkl> 我們可以選用相互垂直及大小相同的三向量所對應的單元胞建 構出立方晶格，而晶格中的任一特定平面皆會與此三向量形成的軸相 交，將相交的截距大小分別倒數而得密勒指數(hkl)，此可用來描繪特 定平面相對於晶格的關係。 圖 2.3.1 晶格位移圖 一般半導體 wafer 定位於(001)、(110)及(111)三個方向，垂直於(hkl) 面的晶體方向定義為[hkl]而軸方向定義為<001>，例如： 長晶方向為 (110)面時，垂直的晶面方向為[110]而軸方向為<001>。而 wafer 定位 於(001)時，軸方向<hkl>等價於[hkl]。 當製作半導體時，載子通道方向皆在晶圓面上，而我們施加應變 的方向為垂直或平行於通道方向。

圖2.3.5 wafer orientation (001) 示意圖 且將垂直晶面方向定為Z軸[001] 圖2.2.6 wafer orientation (110) 示意圖 且將垂直晶面方向定為Z軸[110] 圖2.2.6 wafer orientation (111) 示意圖 且將垂直晶面方向定為Z軸[111]

2.3.3 特定應變之應變張量形式 本章節中所考慮的應變型式，當我們施加應力於單軸方向上時， 稱為 Uniaxial Strain，而當應力施於雙軸方向且大小相等時，稱為 Biaxial Strain。 在此章節後將會常用到符號來表示應變施加方向與電流流向，在 此先定義符號表示意思，以方便更快明白外加應變形式以及討論的方 向等情形： e e e 表示基板定位於(001)晶面 應變方向: 基板定位方 向: : 表示晶體與外力方向平行的拉長應變 : 表示晶體與外力方向平行的壓縮應變 : 表示晶體與外力方向垂直的拉長應變(自由膨脹)

: 表示晶體與外力方向垂直的壓縮應變(自由壓縮) 載子運動方向: :表示電子在晶體內運動的方向 e e e :表示電洞在晶體內運動的方向

(一) Uniaxial strain along [100] 當應力作用於[100]方向，會在[100]方向產生對應的應變，且相對 於[010]、[001]方向受晶格彈性作用(與材料相關)。 100 0 0 [ ] = 0 0 0 0 0 0             接著，透過(2.3.6)式關係式來轉換應力張量成應變張量，其應變張量 如下 11 100 12 12 0 0 [ ] = 0 0 0 0 S S S               令S11 為(表示將所施加的應力直接考慮為應變的大小)，並將彈性 常數C及剛性常數S之間作轉換，可得到以下形式： 12 100 11 12 12 11 12 0 0 [ ] = 0 0 0 0 C C C C C C               _     _   _    圖2.3.7 uniaxial strain [100] 作用於閃鋅結構單位晶胞。 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖

而在本論文中，為了解基本的物理，忽略材料的彈性效應，使 Uniaxial strain [100] 傴考慮 X 方向上的應變，因此可將應變張量改寫 : 100 0 0 [ ] = 0 0 0 0 0 0             圖2.3.8 不考慮材料彈性uniaxial strain [100] 作用於閃鋅結構單位晶胞。 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖

(二) Uniaxial strain along [110] 當應力作用於[110]方向，會在[110]方向產生對應的應變，且相對 於[110]、[001]方向受晶格彈性作用(與材料相關)。 而我們力用 Uniaxial stress[110] 110 0 2 2 [ ] = 0 2 2 0 0 0                    接著，透過(2.3.6)式關係式來轉換應力張量成應變張量，其應變張量 如下     11 12 44 100 44 11 12 12 1 1 0 2 4 1 1 [ ] = 0 4 2 0 0 S S S S S S S        _       _            而我們不考慮彈性效應，即表示將所施加的應力直接考慮為應變的大 小，使 Uniaxial Strain <110>可以由應力轉直接換成應變張量得到以 下形式： 110 0 2 2 [ ] = _{2 2} 0 0 0 0                    圖2.3.8 不考慮材料彈性uniaxial Strain <110> 作用於閃鋅結構單位晶胞。 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖

(三) Biaxial strain 當外力同時作用於[100]及[010]方向且大小相等，因此[100]及[010]方 向有著相同的應變量，而[001]方向受晶格彈性作用如圖(2.2.8)。因此 稱為 Bi-axial strain，其應力張量形式如下： 0 0 [ ] = 0 0 0 0 0 bi              接著，透過(2.3.6)式關係式來轉換應力張量成應變張量，其應變張量 如下： 11 12 11 12 12 0 0 [ ] = 0 0 0 0 2 bi S S S S S       _        令(S11S12) 為(表示將所施加的應力直接考慮為應變的大小)，為 [100]、[010]方向的形變量，可得到以下形式： 12 11 0 0 [ ] = 0 0 0 0 2 bi C C                        圖2.3.9 Biaxial strain作用於閃鋅結構單位晶胞。 (a)受擠壓(compressive)應變示意圖 (b)受拉長(tensile)應變示意圖 (a) (b)

2.3.4 考慮 uniaxial Strain <110>時 InAs 的塊材的性質變化 透過八能帶k p 模型考慮施加 Uniaxial Strain <110>的拉長應變時 InAs 的塊材性質，其能帶變化如下。 [100]-[010]平面 [1-10]-[001] 平面 導 電 帶 價 電 帶

圖2.3.10左圖為考慮Uniaxial Strain <110>拉長作用InAs塊材之能帶 (a). kx-ky平面導電帶底部之等位面 (b). kx-ky平面價電帶頂部之等位面 (c). kx-kz平面導電帶底部之等位面 (d) kx-kz平面價電帶頂部之等位面 由上圖我們看觀察出施加 uniaxial Strain <110>的拉長應變時， InAs 能隙變小，其值為 0.255eV，而從等位面圖可看出等向性已明顯 被破壞，拉長作用會導致與施力垂直方向[1 10] 與[001]的能帶變化較 為快速，意即該方向的有效質量較小，載子遷移率有較未失加應變時 來的增益。 而當施加應變後，輕電洞與重電洞之間開始混成(由於能隙較大， 未考慮電子與電洞混成)，由上章節提到，我們將以角動量 j_z來辨別 重電動與輕電洞，j_z  3 2稱重電洞，j_z  1 2稱輕電洞，意即由我們 的所算出的本徵態來定義重電洞與輕電洞。

 

a

 

b

 

c

 

d [110] [1 10] [110] [1 10] [001] [001]

再來我們觀察考慮施加 uniaxial Strain <110>的拉長應變時電荷分佈 情形，如下表 2.3.1

表 2.3.1 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>拉長應變於Γ點微觀電荷密度(As)分佈圖

[100]-[010]平面 [1-10]-[001] 平面 電 子 類 輕 電 洞 類 重 電 洞 由圖所示，電子因與電洞之間能隙過大，彼此沒有交互作用，原 子軌道較沒有明顯的改變，而電洞部份因重電洞與輕電洞有耦合作用， Top Band 是以輕電洞成份多，可以看出施加 uniaxial Strain <110>的

拉長應變時，電荷往[1 10]分佈，即表示載子遷移率在[1 10]方向有明 顯增益，而[110]方向則降低。 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001] 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001] 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001]

而 InAs 塊材施加 uniaxial Strain <110>的壓縮作用，其能帶變化如下： [100]-[010]平面 [1-10]-[001] 平面 導 電 帶 價 電 帶

圖2.3.11左圖為考慮Uniaxial Strain <110>壓縮作用InAs塊材之能帶 (a).kx-ky平面導電帶底部之等位面 (b) kx-ky平面價電帶頂部之等位面

(c). kx-kz平面導電帶底部之等位面 (d) kx-kz平面價電帶頂部之等位面

由上圖我們看觀察出施加 uniaxial Strain <110>的壓縮應變時，InAs 能隙變大，其值為 0.491eV，而拉長作用會導致與施力平行方向[110] 的能帶變化較為快速，載子遷移率有較未失加應變時來的增益。 施加 uniaxial Strain <110>的壓縮應變時電荷分佈情形，如下表 2.3.2

表 2.3.2 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變於Γ點微觀電荷密度(As)分佈圖

[100]-[010]平面 [1-10]-[001] 平面 電 子 類 重 電 洞 類 輕 電

 

b

 

d 1 [110] [1 10] 1 [110] 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001] 1 [1 10] [001] 1 [001] [110] [1 10] [110] [1 10] [001] [001]

 

a

 

c

 未施加應變(Unstrained) 未施加應變時的能帶與晶胞中微觀電荷密度分佈，如下表 2.3.3、 表 2.3.4。電荷密度分佈圖中紅點位置為臨近原子位置，其距離為



a4 a4 a4



。 表 2.3.3 InAs 未施加應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖([100]-[010]面) [100]-[010]平面 能量等位面 [100]-[010]平面 電荷密度分佈 導 電 帶 重 電 洞 輕 電 洞 表 2.3.4 InAs 未施加應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖([100]-[010]面) [1-10]-[001]平面 能量等位面 [1-10]-[001]平面 電荷密度分佈 導 電 帶 重 電 洞 輕 電 洞 [110] 1 1 1 1 [1 10] [001] [001] [1 10] [001] [1 10] [001] [1 10] [001] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] 1 [110] [1 10] 1 [1 10] [001]

 施加 Uniaxial Strain <110> +2% (Tensile) 施加 Uniaxial Strain <110>拉長應變時的能帶與晶胞中微觀電荷 密度的分佈，如下表 2.3.5、表 2.3.6。電荷密度分佈圖中紅點位置為 臨近原子位置，其距離為





4 4 4 a a a _。

表 2.3.5 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>拉長應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖

[100]-[010]平面 能量等位面 [100]-[010]平面 電荷密度分佈 導 電 帶 類 輕 電 洞 類 重 電 洞

表 2.3.6 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>拉長應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖

[1-10]-[001]平面 能量等位面 [1-10]-[001]平面 電荷密度分佈 導 電 帶 類 輕 電 洞 類 重 電 1 1 1 1 1 1 [110] [1 10] [110] [1 10] [1 10] [001] [1 10] [001] [001] [1 10] [001] [1 10] [001] [1 10] [001] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10]

 施加 Uniaxial Strain <110> +2% (Compressive) 施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變時的能帶與晶胞中微觀電荷密 度的分佈，如下表 2.3.7、表 2.3.8。電荷密度分佈圖中紅點位置為臨 近原子位置，其距離為





4 4 4 a a a _。

表 2.3.7 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖

[100]-[010]平面 能量等位面 [100]-[010]平面 電荷密度分佈 導 電 帶 類 重 電 洞 類 輕 電 洞

表 2.3.8 InAs 考慮施加 uniaxial Strain <110>壓縮應變能帶結構與微觀電荷密度(As)分佈圖

[1-10]-[001]平面 能量等位面 [1-10]-[001]平面 電荷密度分佈 導 電 帶 類 重 電 洞 類 輕 電 洞 1 1 1 1 1 1 [1 10] [001] [1 10] [001] [001] [1 10] [001] [1 10] [001] [1 10] [001] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10] [110] [1 10]

2.4 Löwdin 微擾理論[22] 此章節將利用 Löwdin 微擾理論推導於Γ點(k=0)解析計算的結果， 我們利用四能帶模型探討重電洞與輕電洞在施加應變時，能帶的變化， 其四能帶k p Hamiltonian 形式為(2.4.1)式 0 0 0 0 K LK HH LH LH HH P Q S R S P Q R H R P Q S R S P Q               _{  }            _{   }    (2.4.1)





2 2 2 2 1 0 2 x y z P k k k m     (2.4.2)





2 2 2 2 2 0 2 2 x y z Q k k k m     (2.4.3)





2 2 2 2 3 0 3 2 2 x y x y R k k i k k m      _   _ (2.4.4)





2 3 0 3 x y z S k ik k m    (2.4.5) 而 Strain Hamiltonian 的形式為(2.4.6)式 0 0 0 0 LK HH LH LH HH P q s r s p q r H r p q s r s p q                _{  }            _{   }    (2.4.6)



xx yy zz



pa e e e (2.4.7)





1 2 zz xx yy qb e_  e e _   (2.4.8)





3 2 xx yy xy r b e e ide (2.4.9)



xz yz



s d e ie (2.4.10)

首先我們將主要考慮的部份獨立出來，其它的矩陣元視為微擾項，如 圖 2.4.1 圖2.4.1 微擾法的示意圖 將基底重新排列後，圖 2.4.1 中令 A 屬於重電洞的基底，B 屬於輕電 洞的基底，而利用微擾法(2.4.11)式將 4X4 矩陣縮小，得 2X2 矩陣 H'。 ' ' ' ' ' ' ... ( )( ) B B m n A m n mn mn H H H H H A U H E H E H E H                  





(2.4.11) 接下來計算特徵向量，我們能利用(2.4.12)式，將 2X2 矩陣所計算出 來的特徵向量，擴展回原本 4X4 矩陣的特徵向量。 ( ) 0 , ( ) , ( ) A A mn mn n n A A mn m n n mm U E C m in A U C C m in B E H     





(2.4.12) 由特徵向量，我們可以比較出重電洞與輕電洞的成份比例，並可了解 重電洞與輕電洞混成的情況，而在前面有提過我們定義當重電洞成份 比較多時，我們稱類重電洞(Heavy hole like)，反之，當輕電洞成份比 較多時，我們稱類輕電洞(Light hole like)，由此，我們可得之該能帶 是由何種所主導。

此章節我們傴討論施加 Uniaxial Strain <110> 於Γ點(k=0)的能量 做計算。其 Uniaxial Strain <110>應變張量如下。

110 0 2 2 [ ] = 0 2 2 0 0 0                    (2.4.13) 將應變張量代入微擾所計算出的結果，於Γ點(k=0)的能量可求得一 通式，以重電洞為主，輕電洞與其耦合項視其微擾結果如下。

 

2 ' 2 1 0 2 4 1 0 2 4 v HH v d HH a b b H d a b HH b       _               _{  }   _{   }  _  _{  }    (2.4.14) 2 1 2 4 HH v d E a b b       _{ }  _     (2.4.15) 接著利用(2.4.12)式，計算輕電洞與重電洞的特徵向量，其通式如下。     1 0 0 , 4 0 4 0 1 HH HH HH HH LH LH LH LH HH HH i d b i d b                  _                           (2.4.16) 再來計算以輕電洞為主，重電洞與其耦合項視其微擾結果如下。

 

2 ' 2 1 0 2 4 1 0 2 4 v LH v d LH a b b H d a b LH b       _               _{  }   _{   }  _  _{  }    (2.4.17) 2 1 2 4 LH v d E a b b       _{ }  _     (2.4.18) 接著一樣利用(2.4.12)式，計算輕電洞與重電洞的特徵向量，其通式 如下。     0 4 1 0 , 0 1 0 4 LH LH HH HH LH LH LH LH HH HH i d b i d b                  _           _                (2.4.19)

而電子經施加應變後能量變化如下。

c g c

E E a (2.4.20)

以下我們討論主要的導電帶底部與價電帶 Top Band 的能量，其詳細 的解析結果請參照附錄 D。

 施加 Uniaxial Strain <110> +2% (Compressive) 當施加 2%壓縮應變時，電子的能量變化由(2.4.20)式得   0.519 c E  eV _(2.4.21) 以重電洞為主輕電洞與其耦合項視其微擾所解出的能量變化由 (2.4.15)式得   0.034 HH E  eV _(2.4.22)

可以得知施加 2%壓縮應變時，Top Band 為能量上升 0.034eV，再經 由(2.4.16)式，判別輕電洞與重電洞的特徵向量如下式。     1 0 0 , 2 0 2 0 1 HH HH HH HH LH LH LH LH HH HH i i                                           (2.4.23) 可看出重電洞所佔其比例比輕電洞來的多，因此我們將此 Top Band 定為類重電洞。 由上面所計算的結果，施加 2%壓縮應變時，其能隙大小變化由 未施加應變時的 0.417eV 變為 0.485eV，能隙增大，而 Top Band 為重 電洞為主導。

 施加 Uniaxial Strain <110> +2% (Tensile) 再來我們討論當施加 2%拉長應變時，能帶結構上的變化，電子的能 量變化由(2.4.20)式得   0.315 c E  eV _(2.4.26) 以輕電洞為主重電洞與其耦合項視其微擾所解出的能量變化由 (2.4.18)式得   0.074 LH E  eV _(2.4.29)

得知施加 2%拉長應變時，Top Band 能量上升 0.074eV，再經由(2.4.19) 式，判別輕電洞與重電洞的特徵向量如下式。     0 2 1 0 , 0 1 0 2 LH LH HH HH LH LH LH LH HH HH i i             _                              (2.4.30) 可看出輕電洞所佔其比例比重電洞來的多，因此我們將此 Top Band 定為類輕電洞。 由上面所計算的結果，施加 2%拉長應變時，其能隙大小變化由 未施加應變時的 0.417eV 變為 0.241eV，能隙變小，而 Top Band 為輕 電洞為主導。

圖(2.4.2)為塊材 InAs 施加 Uniaxial Strain <110>簡單示意能帶圖。 圖2.4.2 InAs施加Uniaxial Strain <110> 能帶結構示意圖 (a)壓縮應變2% (b)無應變 (c)拉長應變2% 圖(2.4.2)可明顯看出E_g的變化，而我們能由原子鍵結與原子間距 來解釋能隙的變化。鍵結與反鍵結指的是鍵結(bonding)軌域與反鍵結 (antibonding)軌域，這是分子軌域理論解釋化學鍵所提出的概念。以 氫分子為例，當氫原子由逐漸接近，在氫原子上的兩個 1s 原子軌域 開始重疊，產生兩個分子軌域，其中一個能量較低，且不含節點(node) 的分子軌域，稱為鍵結軌域，另一個分子軌域能量較原來的原子軌域 高，含有一個節點，是所謂的反鍵結軌域，如圖(2.4.3)所示。 圖2.4.3 原子鍵結示意圖

0









0





0

我們再次考慮周期性排列的原子，而且每個原子包含一個以上的 電子，當原子間距離非常大時，則相鄰原子不會互相作用，因此每個 電子會會佔據系統的能階。而當原子拉近時，原子間會開始互相作用， 能階會分裂成能帶，而當原子繼續縮小時，能帶會繼續分裂成兩個能 帶，形成導電帶(conduction band)及價電帶(valence band)，如圖 2.4.4。

圖2.4.4 能階分裂示意圖 0 a 為原子平衡的距離，而我們能由圖 2.4.3 與圖 2.4.4 得知電子於導電 帶反鍵結軌域，並且能由圖 2.4.4 得知當施加壓縮應變時，原子間距 離縮小導電帶能量往上升，反之，當施加拉長應變時，原子間距離變 長，導電帶能量往下降，與我們利用 Löwdin 微擾理論所計算的結果 相符，解釋了能隙施加應變時，所造成的變化。

第三章 不同晶面下塊材能帶結構及傳輸性質

3.1 晶面轉換[13-16] 當製作半導體長晶方向不同時，可能會使半導體的傳輸性質而有 所不同，而我們能由原本於(001)晶面的k p 模型，利用旋轉矩陣(3.1.1) 式改變k p 的基底r'Rr和k'Rk ，轉成我們所需的任意晶面方向。 圖3.4.1 晶體轉軸示意圖  

cos cos cos sin sin

, sin cos 0

sin cos sin sin cos

R                    _  _     (3.1.1) 而我們將旋轉矩陣的角度透過密勒指數(hkl)轉換(3.1.2)式成我們較容 易計算的形式，以方便我們做轉晶面的計算。 2 2 tan h k , tan k l h     (3.1.2) 將(3.1.2)式代入我們的旋轉矩陣(3.1.1)式可得我們用密勒指數表示的 旋轉矩陣(3.1.3)式。



2 2



1 1 1 0 2 2 3 3 3 hkl C lh C lk C h k R C k C h C h C k C l  _{ }                  (3.1.2) 1 _{2 2 2 2 2 2 2} 1 ( ) C l h l k h k     (3.1.3) 2 _{2 2} 1 C h k   (3.1.4) 3 _{2 2 2} 1 C h k l    (3.1.5) 由上章所介紹k p Hamiltonian 的晶圓定位於(001)上，而我們能 把k p Hamiltonian 寫成通式(3.1.6)。



' ' '



' ' '



' ' '



( ) ( ) ( ) , ', ', ' ', ', ' , , , , hkl x y z hkl hkl x y z x y z x y z H k k k k D  k F k V k k k    







 (3.1.6) 我們可由以 X ,Y , Z 展開的k p Hamiltonian，且電子與電洞的耦合 項為(3.1.7)式。 0 x y z P  S p X  S p Y  S p Z (3.1.7) 其k p Hamiltonian 形式如(3.1.8)、(3.1.9)式

 













2 2 2 (001) 2 2 2 2 2 2 x y z x y x z XYZ y x y x z y z z x z y z x y Lk M k k Nk k Nk k D k Nk k Lk M k k Nk k Nk k Nk k Lk M k k                _{ }    (3.1.8)

 

(001) 0 0 0 XYZ x y z F k  P k P k P k _ (3.1.9)   2 1 2 0 4 2 L m     (3.1.10)   2 1 2 0 2 2 M m     (3.1.11) 2 3 0 6 2 N m   (3.1.12)

介由轉k p 基底的方式k'Rk，來得到任意晶面方向的以 X' ,Y' , Z' 基底所展開的k p Hamiltonian。 ' 1 001 ' ' hkl F D R _{ }   



_(3.1.11) ' ' 1 ' 001 ' ' ' hkl D R_D  R_{ }    



_(3.1.12) 而後得到以新基底 X' , Y' , Z' 展開的k p Hamiltonian，並根據 Luttinger-Kohn (LK)的基底如表 2.1.1，夾出完整的8 8 LK Hamiltonian。

 

c

 

_†

_{ }

K v H k C H k C H k          (3.1.13) 式中Hc

 

k 為2 2 導電帶項，Hv

 

k 6 6 價電帶項，而 C 為電子與電 洞的耦合項。 接著我們討論應變的 Hamiltonian，與動能項一樣的作法，我們可 由以 X ,Y , Z 所展開的應變 Hamiltonian 其形式如(3.1.15)式













s xx s yy zz s xy s xz XYZ s yx s yy s xx zz s yz s zx s zy s zz s xx yy l m n n D n l m n n n l m                                    (3.1.15) 2 s l   a b (3.1.16) s m   a b (3.1.17) 3 s n  d (3.1.18) 接著介由(3.1.11)、(3.1.12)式來旋轉成我們所需要的晶面方向，並根

據 Luttinger-Kohn (LK)的基底，如同動能項夾出完整的8 8 應變 Hamiltonian。 0 0 c LK v H H H           (3.1.19) 而應變 Hamiltonian 電子與電洞的耦合項很小，我們呼略其耦合作用。 再來我們旋轉我們的應變張量，其旋轉張量公式如下式(3.1.20) ' ij R Ri j     (3.1.20) 介由(3.1.20)式我們能將特定應變張量，旋轉成我們任意晶面方向的 應變張量。