NJ: Princeton University Press. 6. Halliday, Resnick, Walker. (2008)
Fundamentals of Physics,8th ed.
神奇之焦點磁場
蔡玉良 劉家榮 蔡隆翔 黃鐘億 楊淳青
國立彰化師範大學 物理系 摘要：本論文探討圓錐曲線電流，對其焦點 所造成磁場，具有神奇特殊現象。採必歐-沙 伐定律利用極坐標方法，可輕易推出此神 奇理論公式並且進一步設計一些實驗加以驗 證。本方法亦可輕易推出其他各形各色曲線 (如心藏線、多重花辦線、…)電流之磁場， 其 結果亦非常有趣。 關 鍵 詞 ： 圓 錐 曲 線 、 必 歐 - 沙 伐 定 律 （Biot-Savart’s law）壹、圓錐曲線
圓錐曲線為圓錐與平面所截切出來之二 維曲線，如圖 1 所示，以極坐標來表示其曲 線最為方便、統一，其數學試如下：θ
cos
1 e
p
r
+
=
(1) 其中p
為半正焦弦、e為離心率，而e=0 曲線為圓形、0<e<1 曲線為橢圓、e=1 曲 線為拋物線、e>1 曲線為雙曲線。
貳、必歐-沙伐定律利用極坐標之
表象(觀測點與電流共面)
必歐-沙伐定律： 0 34
Id
R
dB
R
µ
π
×
=
v v
v
l
， (2) 如圖 2a，R
v
為電流源到所求位置的距離向 量，若將所求位置定為座標原點，且電流源 上任一點的位置向量為rv
，如圖 2b，則( )
0 0 3 34
4
Id
r
I r d
dB
r
r
µ
µ
π
π
× −
×
=
=
v
v
v
v
v
l
l
， (3) 且( )
( )
ˆ(
ˆ ˆ)
2 ˆ dlv× − = ×rv r dv vl= r r × dr r rd+ θ θ =r d kθ ， 則 必 歐 - 沙 伐 定 律 之 極 坐 標 的 形 式 為k
r
d
I
B
d
ˆ
4
0θ
π
µ
=
v
(4) 即電流源與所求位置(原點)在同一平面上的 磁場大小為B
=
µ
0I d
∫
θ
(5) 圖 1參、理論推導
一、圓形電流(如圖 3)
p
r
=
p d p r dπ
θ
θ
1 2π 2 0 = =∫
∫
p
I
B
2
0µ
=
(6)二、拋物線電流(如圖 4)
1 cos
p
r
θ
=
+
(
)
2 01
2
1 cos
d
d
r
p
p
πθ
=
+
θ θ
=
π
∫
∫
02
I
B
p
µ
=
(7)三、橢圓線電流(如圖 5)
θ
cos
1 e
p
r
+
=
(0< e<1) p d e p r dπ
θ
θ
θ
π 2 ) cos 1 ( 12 0 = + =∫
∫
02
I
B
p
µ
=
(8)四、雙曲線電流(如圖 6)
θ
cos
1 e
p
r
+
=
(e>1) p d e p r dπ
θ
θ
θ
π 2 ) cos 1 ( 1 2 0 = + =∫
∫
02
I
B
p
µ
=
(9) 另法：左雙曲線θ
cos
1 e
p
r
+
=
， 圖 2a 圖 2b 圖3 圖 4 圖5)
(
cos
−1−
−1=
e
α
，∫
+ = αθ
θ
π
µ
0 0 1 2 p (1 ecos )d I B[
cos
(
)
1
]
2
2 1 1 0−
+
−
=
−e
−e
p
I
π
µ
。 右雙曲線θ
cos
1 e
p
r
−
−
=
，β
=
cos
−1(
e
−1)
，∫
+ = βθ
θ
π
µ
0 0 2 2 p (1 ecos )d I B[
cos
(
)
1
]
2
2 1 1 0−
−
=
−e
−e
p
I
π
µ
p
I
B
B
B
2
0 2 1+
=
µ
=
結果與(9)式相同。 綜合(6)~(9)式，我們的新發現：圓錐曲 線 電 流 ( 如 圖 9) 在 焦 點 磁 場 的 統 一 形 式 02
I
B
p
µ
=
，由前面討論可得到一個結論：電 流、半正焦弦相同的圓、橢圓、拋物線、雙 曲線之圓錐曲線電流在焦點產生的磁場相 同，與離心率無關!肆、實驗驗證
一、實驗設備及儀器：
橢圓形模版 2 塊(橢圓 1 -p=7.2cm， e=0.6、橢圓 2- p=4.8cm，e=0.6)、圓形模版 2 圖 6 圖 8塊(圓 1- p=7.2cm、圓 2- p=4.8cm)、漆包線、 可變電阻、有角度刻度指南針、數位電錶、 水平儀、電源供應器
二、實驗步驟：
1. 我們先用漆包線繞行模版 50 圈，其他模 版亦是如此。(如圖 10) 2. 之後留下兩個線頭，並用砂紙將線頭的漆 磨去。(如圖 11) 3. 將模版垂直平放於桌面，並將指南針放入 模版焦點中心的位置。(如圖 12) 4. 再用水平儀，觀察指南針是否水平。 5. 使指南針的指針指向北方。(如圖 13) 6. 將兩端的線頭接上電池與可變電阻，調整 適當指南針上偏轉角度。 7. 觀察通電之後，固定電流值，並紀錄指南 針偏轉角度。(如圖 14) 圖 10 圖 11 圖 12 圖 13 圖 148.依序將其他模版按步驟操作，並紀錄之。
三、實驗結果：
因為電流所產生的磁場(B
i)恰與地磁 (B
e)垂直，因此 e iB
B
=
θ
tan
， 在固定電流 I、固定半正焦弦 p 條件下，不 同模版其指南針偏轉角度θ
幾乎不變，符合 我們之理論推導。我們由實驗與理論順便推 導出彰化地區的地磁約為 3.64×10-5 (T)。伍、其他二維曲線電流
由於篇幅有限，我們列出花瓣線電流 中心點之磁 場計算，花 瓣曲線如 圖 15，( )
cos r a b= + nθ
(a b> ) (n為花瓣數最大 距 離 a+b、 最 小 距 離 a-b) 中 心 點 磁 場 ： 2 2 0 2 0 0 0 2 ) cos( 4 4 a b I n b a d I r d I B − = + = =∫
∫
µ θ θ π µ θ π µ π 結果：中心點之磁場與花瓣數目無關陸、結論
圓錐曲線電流在焦點產生的磁場強度有 神奇、統一的公式，其強度與半正焦弦長成 反比而與離心率無關(如圖八所示)，並且進 一步設計一些實驗加以驗證。由這些結論可 以發現，若我們採取傳統的直角座標方式求 解必歐沙伐定律的問題，勢必會遇到複雜的 積分轉換的問題，但若採取極座標來解決必 歐沙伐定律即可以得到簡單且漂亮的結果。 我們知道特殊導線的磁場在物理學上是相當 重要的，本方法亦可輕易推出其他各形各色 曲線(如心藏線、多重花辦線、…)電流之磁 場，其結果亦非常有趣。本篇論文提供一個 方便、便利的方法。對於學習必歐-沙伐定律 的高中生、大學生、初學者、或老師教學上 有相當大的助益。參考文獻
1. H. D. Young & R. A. Freedman, University
Physics, 12th ed., Pearson (2008).
2. S. T. Thornton, J. B. Marion Classical Dynamics of Particles and Systems, 5th ed. Brooks (2008).
