99 2 四技二專 數學 C 卷解析

99-2 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十九學年四技二專第二次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

99-2-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C D A B C B D B D B C B A D C A C D D C A A C D 1. ∵A 在BC的垂直平分線上 ∴ 2 2 ) 8 ( ) 2 7 ( + + − ⇒ = AC k AB 2 2 _{( 1 8)} ) 2 ( + + − − = k 3 81 ) 2 ( ) 8 ( 81+ k− 2 = k+ 2+ ⇒k= 2. ∵ f(x)在x=1處有最大值 3 故可設f(x)= xa( −1)2+3，又 f(0)=1⇒a=−2 得f(x)=−2(x−1)2+3=−2x2+4x+1 1 4 2 = = − = ⇒a ，b ，c 3. ∵ 2 )2 2 5 ( ) cos (sin 2 5 cos sinθ+ θ = ⇒ θ+ θ = 4 5 cos cos sin 2 sin2 + + 2 = ⇒ θ θ θ θ 8 1 cos sin 4 5 cos sin 2 1+ = ⇒ = ⇒ θ θ θ θ 又 3 8 1 log cos sin log cos log sin log2 θ+ 2 θ= 2 θ θ = 2 =− 4. ∵θ 為第四象限角 由右圖知 3 ) 3 5 ( ) 3 4 ( csc cotθ+ θ = − + − =−

5. f(θ)=−2sin2θ−4sinθ+5=−2(sinθ+1)2+7

∵ 0 sin 1 6 5 0≤θ≤ π ⇒ ≤ θ ≤ ∴當sinθ =0時，有最大值f(θ)=−2(0+1)2+7=5 當sinθ=1時，有最小值f(θ)=−2(1+1)2+7=−1 得最大值與最小值的和為5+(−1)=4

6. ∵a=sin150°=sin30°，c=tan70°=cot20° 又cot20°>cos20°>cos30°且cos30°>sin30° 故c>b>a 7. 設 AB 邊上的高為 h， 2 15 2 7 5 3+ + ₌ = s 三角形面積由海龍公式得 ) 2 ( 3 2 1 ) 7 2 15 )( 5 2 15 )( 3 2 15 ( 2 15 _{− − − = × × 底×高÷} h 得 2 3 5 = h 8. (A) f(θ)週期為 θ = π =π 2 2 2 cos 週期 (B) −1≤cos2θ≤1⇒−2≤2cos2θ≤2 1 1 2 cos 2 3≤ − ≤ − ⇒ θ (C) f(2)=2cos4−1=2cos229.2°−1<0 (D) 由(B)得最小值為−3 1 2 cos 3 1 2 cos 2 θ− =− ⇒ θ=− 即 2 2θ =π ⇒θ=π 時有最小值 9. =4×(−2)+3×1=−5 5 1 ) 2 (− 2+ 2 = = ∴ 在 上的正射影為 ) 1 , 2 ( ) 1 , 2 )( ) 5 ( 5 ( − ₂ − = − = 10. ∵ 又由餘弦定理知 ∴ 25 2 ) 5 5 ( 5 ) 2 5 ( 2 2 2 − = − + = 11. 由柯西不等式知 2 2 2 2 2 ) 2 ( ] ) 4 ( ) 3 ][( ) 2 ( ) 3 [(x + y + ≥ x+ y 5 2 5 25 ) 2 (x+ y 2≤ ⇒− ≤x+ y≤ 故最大值為 5 12. 2 1 5 1 0 2 5 1+ _{⇒ + = ⇒} 2_{+ − =} − = x x x x 2 9 2 3 3 2 4_{− − + −} x x x x ) 1 2 ( ) 3 4 )( 1 ( 2+ − 2− + + + = x x x x x 【利用分離係數法求商及餘數】 將 2 5 1+ − = x 代入得x4−3x3−2x2+9x−2 5 ) 1 2 5 1 2 ( ) 3 4 )( 0 ( 2− + + ×− + + = = x x 13. 以α 、2 β 為根的新方程式為 2 0 ) ( 2 2 2 2 2_{− α +β +α β =} x x 又由題意得：α+β =3，α×β =−2 【利用根與係數的關係】 商 餘式

99-2 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 所以α2+β2=(α+β)2−2αβ=32−2×(−2)=13 4 ) 2 ( ) ( 2 2 2 2_{×β = αβ = − =} α 得新方程式為x2− x13 +4=0 14. 同乘以(x−1)(x2+2) ) 1 )( ( ) 2 ( 1 2x+ = A x2+ + Bx+C x− 令x=1得A=1 比較 2 x 項係數⇒0=1+B，得B=−1 比較常數項係數⇒1=2−C，得C=1 故A+B+2C=1−1+2=2 15. 複數相等，則實部=實部，虛部=虛部 即 4 0 2 3 5 2 = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − a b a a ，b=2，故a×b=4×2=8 16. 2 3 1 ) 3 )( 3 ( ) 3 ( 3 3 2 i i i i i i Z = − − + − = + − = 3 5 sin 3 5 cos π +i π = ，所以 3 5 ) (Z = π Arg 且 2 3 1 i Z= + 1 2 2 3 3 = = + − = i i Z Z 之平方根 2 2 3 5 sin 2 2 3 5 cos π π π π k i k Z_k + + + = (k=0,1)，即Z i i 2 1 2 3 6 5 sin 6 5 cos 0 + − = + = π π i i Z 2 1 2 3 6 11 sin 6 11 cos 1= + = − π π 17. 由極式乘除運算 θ θ θ θ θ θ sin cos ) 6 sin 6 )(cos 3 sin 3 (cos i i i − + + ) sin( ) cos( ) 6 sin 6 )(cos 3 sin 3 (cos θ θ θ θ θ θ − + − + + = i i ) 6 3 sin( ) 6 3 cos(θ+ θ+θ + θ+ θ+θ = i θ θ sin10 10 cos +i = 又 15 π θ= ，得cos10θ+isin10θ i i 2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos + =− + = π π 18. ∵a2x= 7+4 3 = 7+2 12 =2+ 3 3 2 3 2 1 2 _{= −} + = ⇒_a− x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a − − − − − + + − + = + + 3 ( )( 2 1 2 ) 3 3 3 2 1 3 2 1 2 2 _{− + = + − + − =} =_a x _a− x 19. 9x−4⋅3x+1+27=0⇒(3x)2−12⋅3x+27=0 0 ) 9 3 )( 3 3 ( x− x− = ，3x=3或3x=9⇒x=1或x=2 故所有解的和為1+2=3

20. (log₂25+log₄5)(log₁₂₅8+log₅32)

) 2 log 2 )(log 5 log 5 (log 5 5 3 5 2 2 2 + 2 3 + = ) 2 log 5 2 )(log 5 log 2 1 5 log 2 ( ₂ + _{2 5} + ₅ = 15 6 2 5 ) 2 log 6 )( 5 log 2 5 ( 2 5 = × = = 21. 真數>0⇒x>0……(1) 1 0 log₄ > ⇒ > ⇒ x x ……(2) 2 log 1 1 ) (log log 0< 2 4x < ⇒ < 4x< 16 4 4 41< < 2⇒ < < ⇒ x x ……(3) 由(1) (2) (3)得解為4< x<16 故整數解有16−4−1=11 22. (92 23) (32 23) 3 1 9 1 9 4 − − − = − =

∑

∑

∑

= = = i i i i i i a a a 72 3 92− 2 = = 【∵ 2 23 1 − =

∑

= n a n i i 】 23. 原式可重新整理為 ) 3 7 3 7 3 7 3 7 ( + ₂ + ₃+_LL+ _n +_LL ) 5 1 5 1 5 1 5 1 ( + ₂ + ₃+LL+ +LL − n 4 13 4 1 2 7 5 1 1 5 1 3 1 1 3 7 = − = − − − = 【利用無窮等比級數和公式 r a − 1 1 _】 24. 利用複數絕對值性質： 4 ) 5 ( ) 20 ( ) 5 ( 5 2 1 2 4 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 = × = + − × + − = × i i i i Z Z 25. ∵除以x+2之餘式為6⇒ f(−2)=6【餘式定理】 6 ) 2 ( 4 ) 2 ( ) 2 ( 2⋅ − 3+ − 2− − + = ⇒ m n 14 4 + = ⇒ m n ……(1) 又x−1為f(x)之因式⇒ f(1)=0【因式定理】 2 0 ) 1 ( 4 ) 1 ( 1 2⋅ 3+ ⋅ 2− ⋅ + = ⇒ + = ⇒ m n m n ……(2) 由(1) (2)式得m=4，n=−2，故m− n=4−(−2)=6