苏州大学理工类高等数学（课次练习）下
册解答（2006 版）
苏州大学数学科学学院
丰世富 潘洪亮
2020 年 11 月 4 日
目录
1 多元函数的基本概念 4 2 偏导数、全微分 6 3 多元复合函数的求导法则 8 4 隐函数的求导法则、多元微积分的几何应用 (1) 10 5 多元微积分的几何应用 (2)、方向导数与梯度 12 6 多元函数的极值及其求法 14 7 第八章习题课 17 8 二重积分的概念与性质、二重积分的计算法 (1) 19 9 二重积分的计算法 (1)-续,(2) 23 10 三重积分 (1),(2) 24 1目录 2 11 三重积分 (2)-续 24 12 重积分的应用、第九章习题课 (1) 25 13 第九章习题课 (2) 26 14 对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分 (1) 26 15 对坐标的曲线积分 (2),(3)、格林公式及其应用 (1) 27 16 格林公式及其应用 (2),(3) 28 17 第十章习题课—曲线积分及格林公式 29 18 对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分 (1) 29 19 对坐标的曲面积分 (2),(3)、高斯公式 (1) 30 20 第十章习题课—曲面积分及高斯公式 31 21 常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法 (1) 31 22 常数项级数的审敛法 (2),(3) 32 23 幂级数 33 24 函数展开成幂级数 34 25 傅里叶级数 (1),(2) 34 26 傅里叶级数 (3)、一般周期函数的傅里叶级数 35 27 第十一章习题课 35 28 微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程 37
目录 3 29 齐次方程、一阶线性微分方程 (1) 38 30 一阶线性微分方程 (2)、全微分方程 39 31 可降阶的高阶微分方程 40 32 高阶线性微分方程 40 33 常系数线性微分方程 41 34 常数非齐次线性微分方程 42 35 第十二章习题课 42 36 期末考试模拟试卷 43
1本文档利用 Scientific WorkPlce 5.5 内置的MuPAD或 Maple进行数值计算、符
1 多元函数的基本概念 4
1 多元函数的基本概念
一、 已知 f (x + y,y x) = x 2− y2，求 f (x, y). 解 设 u = x + y, v = y x, 则 x = u 1+v, y = uv 1+v, v̸= −1. 从而 f (u,v) = ( u 1+v) 2− (1+vuv )2= u2 11+v−v, 即 f (x, y) = x2 1−y1+y, y̸= −1. 二、 求下列函数的定义域： 1. z =√1 x+y− 1 √ x−y; 解 由题意，有 { x + y > 0, x− y > 0, 故定义域为{(x,y)|x+y > 0,x−y > 0, x∈ R,y ∈ R}. 2. z = ln(y− x) +√ √x 1−x2−y2; 解 由题意，有 y− x > 0, 1− x2− y2> 0, x⩾ 0, 故定义域为 {(x,y)|x2+ y2< 1, 0⩽ x < y,x ∈ R,y ∈ R}. 3. z = ln((9− x2− y2)(x2+ y2− 1)). 解 由题意，有 (9− x2− y2)(x2+ y2− 1) > 0, 即 1 < x2+ y2< 9, 故定义域 为 {(x,y)|1 < x2+ y2< 9, x∈ R,y ∈ R}. 三、 求下列极限，若不存在，说明理由. 1. lim (x,y)→(0,1) 1−xy x2+y2; 解 lim (x,y)→(0,1) 1−xy x2+y2 = 1−xy x2+y2|x=0,y=1= 1. 2. lim (x,y)→(0,0) 1−cos√x2+y2 x2+y2 ; 解 lim (x,y)→(0,0) 1−cos√x2+y2 x2+y2 = lim (x,y)→(0,0) 2 sin2 √ x2+y2 2 x2+y21 多元函数的基本概念 5 =12 lim (x,y)→(0,0) sin2 √ x2+y2 2 ( √ x2+y2 2 )2 = 12. 或 lim (x,y)→(0,0) 1−cos√x2+y2 x2+y2 = lim (x,y)→(0,0) 1 2(x2+y2) x2+y2 = 12. 3. lim (x,y)→(0,0) x x+y; 解 不存在. 因为令 y = kx(k̸= −1) 时， lim (x,y)→(0,0) x x+y = 1 1+k, 与斜 率 k 有关，故 lim (x,y)→(0,0) x x+y 不存在. 4. lim (x,y)→(0,0) xy √ 1+xy−1. 解 lim (x,y)→(0,0) xy √
1+xy−1 =(x,y)lim→(0,0)
xy(√1+xy+1) (√1+xy−1)(√1+xy+1) = lim (x,y)→(0,0)( √ 1 + xy + 1) = 2. 四、 讨论函数 f (x, y) = { x sin(x−2y) x−2y , x̸= 2y, 0, x = 2y 的连续性. 解 f (0, 0) = 0.x = 2y 时， lim
(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0; x̸= 2y 时， lim(x,y)→(0,0)f (x, y) =
lim
(x,y)→(0,0)
x sin(x−2y)
x−2y = lim
(x,y)→(0,0)x·(x,y)lim→(0,0)
sin(x−2y)
x−2y = 0. 于是 f (x, y) 在点
(0, 0) 处连续. 在 x = 2y 上除点 (0, 0) 外点 (a, b)，f (a, b) = 0, 但 x = 2y 时， lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = 0; x̸= 2y 时， lim(x,y)→(a,b)f (x, y) =(x,y)lim→(a,b)
x sin(x−2y)
x−2y =
lim
(x,y)→(a,b)x·(x,y)lim→(a,b)
sin(x−2y)
x−2y = a̸= 0. 即 f (x,y) 在点 (a,b) 处不连续.
在 x̸= 2y 的点上， f (x,y) = x sin(x−2y)x−2y 显然连续.
五、 设 f (x, y) = sin x，证明：对任意 (x0, y0), x0∈ R,y0∈ R, f (x,y) 在 (x0, y0)
处连续. 证明 因为 lim (x,y)→(x0,y0) f (x, y) = lim (x,y)→(x0,y0) sin x = sin x0= f (x0, y0), 故 f (x, y) = sin x 在 (x0, y0) 处连续.
2 偏导数、全微分 6
2 偏导数、全微分
一、 计算： 1. 设 f (x, y) = xy + x x2+y2, 求 fx′(0, 1), fy′(0, 1); 解 因为 ∂ f∂x = ∂x∂ (xy +x2+yx 2) = y + x2+y2−x×2x (x2+y2)2 = y− x2−y2 (x2+y2)2, ∂ f ∂y = ∂ ∂y(xy +x2+yx 2) = x− x×2y (x2+y2)2 = x− 2xy (x2+y2)2, 故 fx′(0, 1) = ∂ f∂x|(0,1)= (y− x2−y2 (x2+y2)2) x=0,y=1 = 2, fy′(0, 1) = ∂ f∂y|(0,1)= (x− 2xy (x2+y2)2) x=0,y=1 = 0.2. 设函数 z = f (x, y),∂∂y22f = 2, 且 f (x, 0) = 1, fy′(x, 0) = x, 求 f (x, y).
解 因为 fy′(x, 0) = x, 二、 求下列函数的一阶偏导数： 1. u = xyz; 解 因为 u = eyzln x, 故 ∂u ∂x = e yzln x yz x = x yz−1yz; 又因为 u = eez ln yln x,
故∂u∂x= eez ln yln x(ln x)ez ln y zy= xyzyz−1z ln x;∂u∂x= eez ln yln x(ln x)ez ln yln y =
xyzyz(ln x) ln y. 2. F(x, y) =´yxyf (s)ds +´01ex2dx; 解 因为 F(x, y) =´yxy f (s)ds+´01ex2dx =−´0yf (s)ds+´0xyf (s)ds+ ´1 0 e x2dx, 故 ∂F
∂x = 0 + f (xy)y + 0 = y f (xy),∂F∂y =− f (y) + f (xy)x +
0 = x f (xy)− f (y). 3. f (x, y) = x + (y− 1)arcsin√x y. 解 因为 f (x, y) = x+(y−1)arcsin√x y, 故 ∂ f∂x = 1+(y−1) 1 √ 1−xy 1 2√xy 1 y= 1 + |y|(y−1) 2y√xy−x2, ∂ f ∂y = 0+arcsin √ x y+(y−1) 1 √ 1−xy 1 2√xy(− x y2) = arcsin √ x y− x(y−1) 2|y|√xy−x2.
2 偏导数、全微分 7
三、 求下列函数的二阶偏导数： 1. z = x4+ y4− 4x2y2;
解 因为 z = x4+y4−4x2y2, 故 ∂z
∂x= 4x3+0−8xy2= 4x3−8xy2,∂y∂z=
0 + 4y3− 8x2y = 4y3− 8x2y, ∂2z
∂x2 = ∂x∂ (∂z∂x) = 12x2− 8y2,∂ 2z
∂xy = ∂x∂ (∂z∂y) =−16xy,∂ 2z
∂y2 = ∂y∂ (∂z∂y) =
12y2− 8x2. 2. z = xy. 解 因为 z = xy= ey ln x, 故 ∂z ∂x = ey ln x yx = xy−1y,∂z∂y = e y ln xln x = xyln x, ∂2z ∂x2 = ∂x∂ (∂z∂x) = ey ln x( y x) 2+ ey ln x(−y x2) = xy−2y (y− 1), ∂2z ∂xy = ∂x∂ (∂z∂y) = ey ln x y ln xx + e y ln x 1 x = x y−1y ln x + xy−1, ∂2z
∂y2 = ∂y∂ (∂z∂y) = ey ln x(ln x)2= xy(ln x)2.
四、 设 z = e−1x− 1 y, 求证：x2∂z ∂x+ y2∂y∂z= 2z. 解 因为 z = e−1x− 1 y, 故 ∂z ∂x= e− 1 x− 1 y 1 x2,∂z∂y= e −1 x− 1 y 1 y2, x2∂x∂z+y2∂z∂y= 2e −1 x− 1 y= 2z. 五、 求下列函数的全微分： 1. z = exy sin(x + y); 解 因为 z = exy sin(x+y), 故 ∂z
∂x= exy sin(x+y)+exy cos(x+y),∂z∂y= exsin(x + y) + exy cos(x + y),
dz = exy(sin(x + y) + cos(x + y))dx + ex(sin(x + y) + y cos(x + y))dy. 2. u = xxyz;
解 因为 u = xxyz= exyz ln x, 故 ∂u
∂x= exyz ln xyz(ln x +1) = xxyzyz(ln x +
1),∂u∂y = exyz ln xxz ln x = xxyzxz ln x, ∂u
∂z= exyz ln xxy ln x = xxyzxy ln x, du = xxyzyz(ln x+1)dx+xxyzxz(ln x)dy+ xxyzxy(ln x)dz.
3 多元复合函数的求导法则 8 3. z = ln√1 + x2+ y2, 求 dz| (1,1). 解 因为 z = ln√1 + x2+ y2, 故∂u ∂x=√1+x12+y2 1 2√1+x2+y22x = x x2+y2+1, ∂u ∂y = √1+x12+y2 1 2√1+x2+y22y = y x2+y2+1, dz|(1,1)= x2+yx2+1 x=1,y=1dx + y x2+y2+1 x=1,y=1dy = 1 3dx + 1 3dy. 六、 求 f (x, y) =√x2+ y2 在点 (0, 0) 的偏导数. 解 因为 f (x, y) =√x2+ y2, 故 ∂u ∂x = lim△x→0 f (△x,0)− f (0,0)△x = lim△x→0|△x|△x 不存在， 同法，∂u∂y 也不存在.
3
多元复合函数的求导法则
一、 计算： 1. 设 z = xy + x3, 求 ∂z ∂x+∂z∂y; 解 因为 z = xy + x3, 故 ∂z ∂x+∂z∂y = (y + 3x2) + x = 3x2+ x + y. 2. 设 z = f (exsin y,y x), 其中 f (x, y) 可微，求 ∂x∂z. 解 因为 z = f (exsin y,y x), f (x, y) 可微，故 ∂z∂x = ∂ f∂u∂u∂x+∂ f∂v∂x∂v = f1′(exsin y) + f2′(−
y x2) = f1′exsin y− y x2f2′. 二、 设 u = ex2+y2+z2, z = x2sin y, 求 ∂u ∂x,∂u∂y.
解 因为 u = ex2+y2+z2, z = x2sin y, 故 u = ex2+y2+x4sin2y,∂u
∂x= ex
2+y2+x4sin2y
(2x+ 4x3sin2y),∂u∂y= ex2+y2+x4sin2y(2y+x42 sin y cos y) = ex2+y2+x4sin2y(2y+x4sin 2y). 三、 设 u = f (xy, x2+ y2), 且 f 可微，求 ∂u
∂x,∂u∂y.
解 因为 u = f (xy, x2+ y2), 且 f 可微，故 ∂u
3 多元复合函数的求导法则 9
∂u
∂y = ∂ f∂s∂y∂s+∂ f∂t ∂t∂y = f1′x + f2′(2y) = 2y f2′+ x f1′.
四、 设 u = eax(y−z) a2+1 , y = a sin x, z = cos x, 求 dudx. 解 因为 u = eaxa(y2+1−z), y = a sin x, z = cos x, 故 u = eax(a sin x−cosx) a2+1 , du dx = d dx( eax(a sin x−cosx) a2+1 ) =
aeax(a sin x−cosx)+eax(a cos x+sin x)
a2+1 = e axsin x. 五、 已知 z = f (x2y, ln(xy)), 求 ∂z ∂x, ∂ 2z ∂x∂y 解 因为 z = f (x2y, ln(xy)), 故 ∂z
∂x=∂ f∂u∂u∂x+∂ f∂v∂x∂v= f1′(2xy) + f2′(xy1y) =
1
xf2′+
2xy f1′, ∂z
∂y = ∂ f∂u∂u∂y+∂ f∂v∂y∂v = f1′x2+ f2′( 1 xyx) = x 2f′ 1+ 1 yf2′, ∂2z ∂x∂y=∂x∂ (∂z∂y) =∂x∂ (x2f1′+ 1 yf2′) = 2x f1′+x2( 1 xf21′′ +2xy f11′′)+ 1 y( 1 xf22′′ +2xy f12′′) = 2x f1′+ x f21′′ + 2x f12′′ +xy1 f22′′. 六、 设 z = f (u, x, y), u = xey, 其中 f 连续偏导，求 ∂z ∂x,∂y∂z. 解 因为 z = f (u, x, y), u = xey, 其中 f 连续偏导，故 ∂z
∂x = ∂ f∂u∂u∂x+∂ f∂x = fu′ey+ fx′,∂z∂y =∂ f∂u∂u∂y+∂ f∂y = fu′xey+ fy′.
七、 设 u = x f (2x + 3y, ey+z), 求 ∂2u
∂y2.
解 因为 u = x f (2x + 3y, ey+z), 故 ∂u
∂y = x( f1′3 + f2′ey+z) = x(3 f1′+ f2′ey+z), ∂2u
∂y2 =∂y∂ (∂u∂y) = x∂y∂ (3 f1′+ f2′ey+z) = 3x(3 f11′′ + f21′′ey+z)+x( f2′ey+z+ey+z(3 f12′′ +
f22′′ey+z))
= 9x f11′′ + 3xey+zf21′′ + xey+zf2′+ 3xey+zf12′′ + xey+zf22′′.
八、 设函数 u 满足 ∂u∂x+∂u∂y+∂u∂z = 0, 作变换 ξ = x,η = y− x,ζ = z− x, 求证：∂ξ∂u = 0.
4 隐函数的求导法则、多元微积分的几何应用 (1) 10
证明 因为 ξ = x,η= y− x,ζ = z− x, 故 x =ξ, y =η+ξ, z =ζ+ξ, 从而 ∂u
∂ξ = ∂u∂x∂ξdx +∂y∂u∂ξ∂y +∂u∂z∂ξ∂z =∂u∂x× 1 +∂u∂y× 1 +∂u∂z× 1 = ∂u∂x+∂u∂y+∂u∂z = 0.
4 隐函数的求导法则、多元微积分的几何应用 (1)
1. 设 ey+ sin(x + y)− x2= 0, 求 dy dx. 解 令 F(x, y) = ey+ sin(x + y)− x2, 则 dy dx =− Fx Fy =− cos(x+y)−2x ey+cos(x+y). 2. 设 x + y + z = √xyz, 求 ∂z∂x,∂z∂y. 解 令 F(x, y, z) = x+y+z−√xyz, 则 ∂z∂x=−Fx Fz =− 1−2√1xyzyz 1−2√1xyzxy=− 2√xyz−yz 2√xyz−xy, ∂z ∂y =− Fy Fz =− 1−2√1xyzxz 1−2√1xyzxy =− 2√xyz−xz 2√xyz−xy. 3. 设 x2+ z2= yφ(z y), 其中 φ 可微，求 ∂y∂z. 解 令 F(x, y, z) = x2+ z2− yφ(z y), 则 ∂z∂y =− Fy Fz =− −φ(z y)−yφ′( z y)(− z y2) 2z−yφ′(zy)1y = yφ(zy)−zφ′(yz) 2yz−yφ′(zy) . 4. 设 F(x + y, x− y,xy) = 0,F 可微，求 dxdy. 解 F1′(1 + y′) + F2′(1− y′) + F3′(y + xy′) = 0,dydx = y′= F1′+F2′+yF3′ F2′−F1′−xF3′. 5. 设 z3− 2xz + y = 0, 求 ∂2z ∂x∂y,∂ 2z ∂x2. 解 令 F(x, y, z) = z2− 2xz + y, 则 F x=−2z,Fy= 1, Fz= 3z2− 2x, ∂z ∂x =−FFxz = 2z 3z2−2x,∂z∂y =− Fy Fz = 1 2x−3z2, ∂2z ∂x∂y= ∂x∂ (∂z∂y) = ∂x∂ (2x−3z1 2) =− 2−6z( 2z 3z2−2x) (2x−3z2)2 = 6z 2+4x (3z2−2x)3, ∂2z ∂x2 =∂x∂ (∂x∂z) =∂x∂ (3z22z−2x) = 2( 2z 3z2−2x)(3z 2−2x)−2z(6z( 2z 3z2−2x)−2) (2x−3z2)2 =− 16xz (3z2−2x)3.4 隐函数的求导法则、多元微积分的几何应用 (1) 11 6. 设 { ax + by + cz = 0, x2+ y2+ z2= 1, 求 dz dy dx dy. 解 令 F(x, y, z) = ax+by+cz, G(x, y, x) = x2+ y2+ z2−1, 则 F x= a, Fy= b, Fz= c, Gx= 2x, Gy= 2y, Gz= 2z, dz dy = Fx Fy Gx Gy Fz Fx Gz Gx = FFxGy−FyGx zGx−GzFx = ay−bx cx−az, dx dy = Fy Fz Gy Gz Fz Fx Gz Gx = FyGz−FzGy FzGx−FxGz = bz−cy cx−az. 7. 证明由方程 f (cx− az,cy − bz) = 0( f 可微) 可微确定的函数 z = z(x,y) 满足：a∂z∂x+ b∂y∂z = c. 解 因为 ∂x∂z =− f1′c f1′(−a)+ f2′(−b) = c f1′ a f1′+b f2′,∂z∂y =− f2′c f1′(−a)+ f2′(−b) = c f1′ a f1′+b f2′, 故 a∂z∂x+ b∂z∂y = a c f1′ a f1′+b f2′ + b c f1′ a f1′+b f2′ = c. 8. 求曲线 x = a cost, y = a sint, z = bt 在 t = π4 处的切线和法平面方程. 解 因为 dx dt|t=π4 =−asint|t=π4 =− √ 2 2 a, dy dt|t=π4 = a cost|t=π4 = √ 2 2 a, dz dt|t=π4 = b, 故切线方程为 x− √ 2 2 a −√2 2 a =y− √ 2 2 a √ 2 2 a = z−πb4 b , 即 x−√2 2 a −a = y− √ 2 2 a a = z−πb 4 √ 2b. 法平面方程为 (x−√2 2 a)(− √ 2 2 a) + (y− √ 2 2 a)( √ 2 2 a) + (z−πb4 )b = 0, 即 −ax + ay +√2zb− √ 2 4 πb 2= 0. 9. 求曲线 { x2+ y2+ z2= 6, x + y + z = 0 在点 M(1,−2,1) 处的切线和法平面方程. 解 Fy Fz Gy Gz = FyGz−FzGy= 2y−2z, Fz Fx Gz Gx =FzGx−FxGz= 2z−
5 多元微积分的几何应用 (2)、方向导数与梯度 12 2x, Fx Fy Gx Gy =FxGy− FyGx= 2x− 2y, 在点 M(1,−2,1) 处的值分别为 −6,0,6, 从而切线方程为 −−1x−1 = y+20 = z−11 , 即 { x + z− 2 = 0, y =−2. 法平 面方程为 (x− 1)(−1) + (z − 1) = 0, 即 x − z = 0.
10. 求曲线 x = sin2t, y = sint cost, z = cos2t 在点 M(0.5, 0.5, 0.5) 处的切线
和法平面方程.
解 x = sin2t, y = sint cost, z = cos2t 在点 M(0.5, 0.5, 0.5) 处时 t = π4,
故 dx dt|t=π4 = 2 sint cost|t=π4 = 1, dy dt|t=π4 = cos2t− sin2t t=π 4 = 0,dzdt|t=π 4 = −2sint cost|t=π4 =−1, 故切线方程为 x−0.51 = y−0.5 0 =z−0.5−1 , 即 { x + z− 1 = 0, y = 12. 法平面方程为 x− z = 0.
或由 x = sin2t, y = sint cost, z = cos2t 消去 t 得
{ x + z = 1, y2− xz = 0. 因为 Fy Fz Gy Gz = FyGz−FzGy=−2y, Fz Fx Gz Gx =FzGx−FxGz=−z+x, Fx Fy Gx Gy =FxGy− FyGx= 2y, 在点 M(0.5, 0.5, 0.5) 处的值分别为 −1,0,1, 故切线方程为 x−0.5 −1 = y−0.50 = z−0.5 1 , 即 { x + z− 1 = 0, y =12. 法平面方程为 x− z = 0.
5
多元微积分的几何应用 (2)、方向导数与梯度
1. 求曲面 xy = z2 在点 (1, 4, 2) 处的切平面方程及法线方程. 解 令 F(x, y, z) = xy−z2, 则 F x(1, 4, 2) = y|y=4= 4, Fy(1, 4, 2) = x|x=1= 1, Fz(1, 4, 2) =−2z|z=2=−4, 故切平面方程为 4(x − 1) + (y − 4) − 4(z − 2) = 0, 即 4x + y− 4z = 0, 法线方程为 x−14 = y−41 = z−2−4. 2. 求曲面 x2+ y2+ 2z2= 4 上平行于平面 x + 2y− z = 1 的切平面方程.5 多元微积分的几何应用 (2)、方向导数与梯度 13 解 令 F(x, y, z) = x2+y2+2z2−4, 则 F x(x, y, z) = 2x, Fy(x, y, z) = 2y, Fz(x, y, z) = 4z, 设所求平面与已知曲面的切点为 (x0, y0, z0), 则 x20+ y20+ 2z20= 4 且 2x0 1 = 2y0 2 = 4z0 −1, 得 x0=±2 √ 22 11 , y0=± 4√22 11 , z0=∓ √ 22 11 , 故切平面方程 为 (x∓2√22 11 ) + 2(y∓ 4√22 11 )− (z ± √ 22 11 ) = 0, 即 x + 2y− z ∓ √ 22 = 0. 3. 求函数 u = xyz 在点 (5, 1, 2) 处，沿从点 P(5, 1, 2) 到 Q(9, 4, 14) 的方 向的方向导数. 解 ∂u
∂x = yz,∂u∂y = xz,∂u∂z = xy, 在点 (5, 1, 2) 处的值分别为 2, 10, 5, 又 −→ PQ = (9, 4, 14)−(5,1,2) = (4,3,12), −→PQ −→PQ = (4,3,12) ∥(4,3,12)∥ = (134, 3 13, 12 13), 则所 求的方向导数为 2× 4 13+ 10× 3 13+ 5× 12 13 = 98 13. 4. 求函数 u = 2xy− z2 在点 (2,−1,1) 处方向导数的最大值.
解 ∂u∂x = 2y,∂u∂y = 2x,∂u∂z =−2z, 在点 (2,−1,1) 处的值分别为 −2,4,−2, 故函数在该点的梯度为 gradu = (−2,4,−2), 方向导数的最大值为 gradu 的模，即 ∥gradu∥ = ∥(−2,4,−2)∥ = 2√6. 5. 设 v =√x2+ y2+ z2，求 gradv. 解 因为 ∂v∂x = √ x x2+y2+z2, ∂v ∂y = √x2+yy2+z2, ∂v ∂z = √x2+yz 2+z2, 故 gradv = 1 √ x2+y2+z2(x, y, z) = 1 √ x2+y2+z2(x − → i + y−→j + z−→k ) 6. 求 u = x + xy + xyz 在点 (1, 2,−1) 处的梯度，并求该梯度方向的方向 导数.
解 因为 ∂u∂x = 1 + y + yz,∂u∂y = x + xz,∂u∂z = xy, 在点 (1, 2,−1) 处的值分 别为 1, 0, 2, 故 gradu = (1, 0, 2), 在该梯度方向的方向导数即为该梯度 的模，∥gradu∥ =√5. 7. 求 z = 1−(x2+y2 a2+b2) 在点 ( a √ 2, b √ 2) 处沿曲线 x2 a2+ y2 b2 = 1 的内法向量的方 向导数.
解 因为 ∂u∂x =−2xa2,∂u∂y =− 2y b2, 在点 ( a √ 2, b √ 2) 处的值分别为− √ 2 a ,− √ 2 b , 曲线 x2 a2 + y2 b2 = 1 在该点的内法向量的方向即为 z = 1− ( x2+y2 a2+b2) 的等
6 多元函数的极值及其求法 14 值线 x2 a2 + y2 b2 − 1 = 0 在该点的法线方向，从而所求的方向导数即为 ∥gradz∥ = √2(a2+b2) ab . 8. 设 −→n 是曲面 2x2+ 3y2+ z2= 6 在点 P(1, 1, 1) 处指向外侧的法向量， 求函数 u = √ 6x2+8y2 z 在点 P 处沿 −→n 方向的方向导数. 解 令 F(x, y, z) = 2x2+ 3y2+ z2− 6, 则 F x = 4x, Fy = 6y, Fz = 2z, 在 点 P(1, 1, 1) 处的值分别为 4, 6, 2, 故 −→n = (4, 6, 2),∥−−→→nn∥ = ∥(4,6,2)∥(4,6,2) = ( √ 14 7 , 3√14 14 , √ 14 14 ). 又 ∂u∂x = 6x z√6x2+8y2, ∂u ∂y =z√6x8y2+8y2, ∂u ∂y =− √ 6x2+8y2 z2 , 在 点 P(1, 1, 1) 处的值分别为 √6 14, 8 √ 14, −√14, 从而 ∂−∂u→n|(1,1,1)=√614× √ 14 7 + 8 √ 14× 3√14 14 + (− √ 14)× √ 14 14 = 11 7. 9. 试证：曲面 xyz = a2 上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体 积为常数. 证明 令 F(x, y, z) = xyz−a2, 则 F
x= yz, Fy= xz, Fz= xy, 在曲面 xyz = a2
上任意一点 P(x0, y0z0) 处的切平面方程为 (x− x0)y0z0+ (y− y0)x0z0+ (z−z0)x0y0= 0, 其中 x0y0z0= a2. 切平面方程可化简为 y0z0x + x0z0y + x0y0z−3a2= 0, 与坐标轴 x, y, z 的交点为 (3a 2 y0z0, 0, 0), (0, 3a2 x0z0, 0), (0, 0, 3a2 x0y0). 从而所求的四面体体积为 V = 1 3( 1 2 3a2 y0z0 × 3a2 x0z0) 3a2 x0y0 = 9a6 2x20y20z20 = 9a2 2 , 是一 个常数.
6
多元函数的极值及其求法
1. 求 f (x, y) = xy− xy2− x2y 的极值.解 因为 fx= y−y2−2xy, fy= x−2xy−x2, 解方程组
{ y− y2− 2xy = 0, x− 2xy − x2= 0, 得驻点为 (1 3, 1 3), (0, 1), (0, 0), (1, 0). 又 A = fxx=−2y,B = fxy= 1− 2y − 2x,C = fyy=−2x,∆(x,y) = AC − B2= 4xy− (1 − 2y − 2x)2. 由于 ∆(1 3, 1 3) = 4xy− (1 − 2y − 2x) 2 x=13,y=13 = 1 3 > 0, A =− 1 3 < 0, 故有
6 多元函数的极值及其求法 15 极大值. f (1 3, 1 3) = xy− xy 2− x2y x=13,y=13 = 1 27; ∆(0,1) = 4xy − (1 − 2y − 2x)2 x=0,y=1=−1 < 0, 故没有极值； ∆(0,0) = 4xy − (1 − 2y − 2x)2 x=0,y=0=−1 < 0, 故没有极值； ∆(1,0) = 4xy − (1 − 2y − 2x)2 x=1,y=0=−1 < 0, 故没有极值. 2. 求 f (x, y) = (x2+ 2x + y)e2y 的极值点与极值. 解 因为 fx= (2x + 2)e2y, fy= e2y+ 2(x2+ 2x + y)e2y, 解方程组 { (2x + 2)e2y= 0, e2y+ 2(x2+ 2x + y)e2y= 0, 得驻点为 (−1, 1 2). 又 A = fxx= 2e2y, B = fxy= (4x + 4)e2y,C = fyy= 2e2y+ 2e2y+ 4(x2+ 2x + y)e2y,∆(x,y) = AC −
B2 = 8(y− (x + 1)2). 由于 ∆(−1,21) = 8(y− (x + 1)2) x=−1,y=1 2 = 4 > 0, A = 2e > 0, 故有极小值 f (−1,12) = (x2+ 2x + y)e2y x=−1,y=1 2 =−e2. 3. 求 z = xy 在条件 x + 2y = 1 下的极值.
解 由条件 x + 2y = 1 得 x = 1− 2y, 故 z = xy = y(1 − 2y) = −2(y − 1 4)2+ 1 8⩽ 1 8, 当 y = 1 4, x = 1 2 时取等号. 即所求极大值为 1 8. 或用拉格朗日方法：设 L(x, y,λ) = xy +λ(x + 2y−1), 则令 Lx= y +λ= 0, Ly= x + 2λ = 0, 再与 x + 2y− 1 = 0 联立，得 y +λ = 0, x + 2λ = 0, x + 2y− 1 = 0 的 解 λ =−14, x = 12, y = 14, 故所求的极值为 18. 4. 设 u = x + y + z，求 u 在 z = 2x2+ y2 条件下的极值. 解 设 L(x, y, z,λ) = x + y + z +λ(2x2+ y2− z), 则令 Lx = 1 + 4λx = 0, Ly = 1 + 2λy = 0, Lz = 1−λ = 0, 再与 2x2+ y2− z = 0 联立，得 1 + 4λx = 0, 1 + 2λy = 0, 1−λ = 0, 2x2+ y2− z = 0 的解λ = 1, x =−14, y =−12, z = 38, 故所求的极值为 −3 8.
6 多元函数的极值及其求法 16 5. 设 u = x− x2− y2，求 u 在区域 D ={(x, y)|x2+ y2⩽ 1} 上的最大值与 最小值. 解 ux = 1− 2x,uy=−2y, 解方程组 { 1− 2x = 0, −2y = 0, 得驻点为 ( 1 2, 0). 由于 (1 2, 0)∈ D,A = uxx=−2,B = uxy= 0,C = uyy=−2,∆(x,y) = AC − B2 = 4 > 0, A = −2 < 0, 故最大值为 14. 在边界 x2+ y2 = 1 上，设 L(x, y,λ) = x−x2−y2+λ(x2+ y2−1), 则令 Lx= 1−2x +2λx = 0, Ly= −2y + 2λy = 0, 再与 x2+ y2− 1 = 0 联立，得 1− 2x + 2λx = 0, −2y + 2λy = 0, x2+ y2− 1 = 0 的 解 λ = 12, x = 1, y = 0, 或 λ = 32, x =−1,y = 0, 故所求的最小值为 −2. 6. 求曲线 { z = x2+ y2, xy = 1 上到 xOy 坐标面距离最短的点. 解 等价于求 z = x2+ y2 在条件 xy = 1 下取最小值时的点. 由 xy = 1 得 y = 1 x, 从而 z = x 2+ y2= x2+ 1 x2 ⩾ 2, 当且仅当 x = ±1,y = ±1 时取 等号. 故所求的点为 (1, 1, 2), (−1,−1,2). 7. 求内接于椭球面 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 且棱平行坐标轴的体积最大的长方 体. 解 设所求长方体的一个顶点坐标为 (x, y, z), 其中 x > 0, y > 0, z > 0, 故长方体的体积为 V = 2x·2y·2z = 8xyz, 设 L(x,y,z,λ) = 8xyz +λ(x2
a2+ y2 b2+ z2 c2−1), 则令 Lx= 8yz + 2λx a2 = 0, Ly= 8xz + 2λy b2 = 0, Lz= 8xy + 2λz c2 = 0, 再与 x2 a2+ y2 b2+ z2 c2−1 = 0 联立，得 8yz +2λx a2 = 0, 8xz +2λy b2 = 0, 8xy +2λz c2 = 0, x2 a2+ y2 b2 + z2 c2− 1 = 0 的解λ = −4√3 3 abc, x = √ 3 3 a, y = √ 3 3 b, z = √ 3 3 c, 故所求的最大值为 8√3 9 abc. 8. 求周长为 2p 的三角形的最大面积.
7 第八章习题课 17 解 设三边长为 x, y, z, 则 x+y+z = 2p, 三角形的面积为 S =√p(p− x)(p − y)(p − z). 由于 S 与 S2 同取最大值，故可求 S2= p(p− x)(p − y)(p − z) 在条件 x + y + z = 2p 下的最大值. 设 L(x, y, z,λ) = p(p−x)(p−y)(p−z)+λ(x + y + z−2p), 则令 Lx=−p(p−y)(p−z)+λ = 0, Ly=−p(p−x)(p−z)+ λ = 0, Lz=−p(p − x)(p − y) +λ = 0, 再与 x + y + z− 2p = 0 联立，得 −p(p − y)(p − z) +λ = 0, −p(p − x)(p − z) +λ = 0, −p(p − x)(p − y) +λ = 0, x + y + z− 2p = 0 的解 λ = p93, x = 2p3, y = 2p3 , z = 2p3, 故所 求 S2 的最大值为 p4 27, 从而所求三角形的最大面积为 √ 3 9 p 2.
7 第八章习题课
1. 求偏导数： (1) z =√ln(xy); (2) u = arctan(x− y)z. 解 (1) zx= ∂x∂ ( √ ln(xy)) = 1 2x√ln xy, zy= ∂ ∂y( √ ln(xy)) = 1 2y√ln xy.(2) zx=∂x∂ (arctan(x−y)z) = z (x−y)
z−1
(x−y)2z+1, zy= ∂
∂y(arctan(x−y)z) =−z (x−y)
z−1 (x−y)2z+1. 2. 已知 z = (x2+ y2)e−arctanyx, 求 dz. 解 zx=∂x∂ ((x2+ y2)e−arctan y x) = e−arctan 1 xy(2x + y) , zy=∂y∂ ((x2+y2)e−arctan y x) =−e−arctan 1 xy(x− 2y),dz = zxdx+zydy = e−arctan 1 xy((2x + y) dx− (x− 2y)dy). 3. 设 z = 1 xf (xy) + yφ(x + y), 其中 f ,φ 具有 2 阶连续导数，求 ∂ 2z ∂x∂y. 解 ∂z∂x =−1 x2f (xy) + y xf′(xy) + yφ′(x + y), ∂2z
∂x∂y = ∂y∂ (∂z∂x) =−xx2f′(xy) + 1
xf′(xy) + y
x· x f′′(xy) +φ′(x + y) + yφ′′(x +
7 第八章习题课 18 4. 设 y = f (x, z), 而 z = z(x, y) 由方程 F(x, y, z) = 0 确定，其中 f , F 一阶 连续可导，求 dy dx. 解 y = f (x, z(x, y)),dydx = fx+ fz·(∂z∂x+∂z∂ydydx) = fx+ fz·(−FFxz−FFyzdydx), 解 得 dy dx = fxFz− fzFx Fz+ fzFy .
5. 设 u = f (x, xy, xyz), f (x, y, z) 二阶可导，求 ∂u∂x,∂x∂y∂2u,∂x∂z∂2u.
解 ∂u∂x = f1′+y f2′+yz f3′,∂x∂y∂2u =∂y∂ (∂u∂x) = x f12′′ +xz f13′′ + f2′+xy f22′′ +xyz f23′′ +
z f3′+ xyz f32′′ + xyz2f33′′. ∂2u ∂x∂z =∂z∂ (∂u∂x) = xy f13′′ + xy2f23′′ + y f3′+ xy2z f33′′. 6. 设 u = x2− xy + y2,−→l ={cosα, sinα} 及点 P 0(1, 1),(1) 试求 ∂u ∂−→l ;(2) 若 ∂u ∂−→l 在 P0 处取最大值，求α.
解 (1)ux= 2x−y,uy=−x+2y, ∂u
∂−→l |(1,1)= ux|(1,1)cosα+ uy|(1,1)sinα= cosα+ sinα; (2) 因为 ∂u ∂−→l 在 P0处取最大值，故最大值即是样梯度的模|gradu||(1,1)= −→i +−→j =√2, 即 cosα+ sinα =√2, 从而 α =π4. 7. 设 z = z(x, y) 满足方程 2z− ez+ 2xy = 3，且 z(1, 2) = 0, 求 dz| (1,2). 解 因为 2zx− ezzx+ 2y = 0, 2zy− ezzy+ 2x = 0, 从而 zx = ez2y−2, zy = 2x ez−2, zx|(1,2)=−4,zy|(1,2)=−2, 故 dz|(1,2)= zx|(1,2)dx+zy|(1,2)dy =−4dx− 2dy. 8. 证明：锥面 z = 1 +√x2+ y2 上任一点的切平面都经过其顶点. 解 令 F(x, y, z) = 1 +√x2+ y2− z, 则 F x = ∂x∂ (1 + √ x2+ y2− z) = x √ x2+y2, Fy= ∂ ∂y(1 + √ x2+ y2−z) = √ y x2+y2, Fz= ∂ ∂z(1 + √ x2+ y2−z) = −1, 对于锥面上的任一点 P(x0, y0, z0), 切平面方程为 √ x x2+y2|(x0,y0,z0)(x− x0) +√ y x2+y2|(x0,y0,z0)(y− y0)− (z − z0) = 0, 通过锥面顶点 (0, 0, 1). 9. 求周长为定值 2p 的三角形，使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体 体积最大者.
8 二重积分的概念与性质、二重积分的计算法 (1) 19 解 设三角形的三边长为 a, b, c, m 不妨设绕 c 边旋转产生的旋转体 体积为最大，则体积 V = 1 3πh 2c, 其中 h 是 c 边上的高，由海伦公式 有 √p(p− a)(p − b)(p − c) = 12ch, 从而 h = 2c√p(p− a)(p − b)(p − c). 于是 V = 4π p(p−a)(p−b)(p−c)3c , 求在条件 a + b + c = 2p 下的极值. 设 L(a, b, c,λ) = 4π p(p−a)(p−b)(p−c)3c +λ(a + b + c− 2p), 令 La=−4π p((p−b)(p−c)3c +λ= 0, Lb=−4π p((p−a)(p−c)3c +λ= 0, Lc=−4π p 2((p−a)(p−b) 3c2 + λ = 0, 再与 x + y + z− 2p = 0 联立，得 −4π p((p−b)(p−c) 3c +λ = 0, −4π p((p−a)(p−c) 3c +λ = 0, −4π p2((p−a)(p−b) 3c2 +λ = 0, x + y + z− 2p = 0 的解 λ = π p62, a = b =3p4, c = 2p, 故所求 V 的最大值为 π p123.
8 二重积分的概念与性质、二重积分的计算法 (1)
1. 利用二重积分的几何意义计算： (1) ¨ x2+y2⩽a2 √ a2− x2− y2dσ; 解 即求球 x2+ y2+ z2= a2 的上半球的体积：V = 1 2· 4 3πa3= 2 3πa3. (2) D 由 x + y = 1, x− y = 1,x = 0 所围成，求 ¨ D ydσ. 解 ¨ D ydσ = ˆ 1 0 dx ˆ 1−x x−1 ydy = 12 ˆ 1 0 ((1− x)2− (x − 1)2)dx = 0.8 二重积分的概念与性质、二重积分的计算法 (1) 20 -4 -2 2 4 -6 -4 -2 2 4 6 x y 2. 利用估值定理估计下列积分的值： (1) ¨ x2+y2⩽1 (x2+ 4y2+ 1)dxdy; 解 因为 x2+ y2 ⩽ 1, 故 1 ⩽ x2+ 4y2+ 1 ⩽ 3y2+ 2 ⩽ 5, 从而 π ⩽ ¨ x2+y2⩽1 (x2+ 4y2+ 1)dxdy⩽ 5π. (2) ¨ 0⩽x⩽1 0⩽y⩽1 xy(x2+ y2)dxdy. 解 因为 0⩽ x ⩽ 1,0 ⩽ y ⩽ 1, 故 0 ⩽ xy(x2+y2)⩽ 2, 从而 0 ⩽ ¨ 0⩽x⩽1 0⩽y⩽1 xy(x2+ y2)dxdy⩽ 2. 3. 比较下列积分的大小： (1) ¨ 0⩽x⩽1 0⩽y⩽1 (x2+ y2)dxdy, ¨ 0⩽x⩽1 0⩽y⩽1 (x3+ y3)dxdy; 解 因为 0 ⩽ x ⩽ 1,0 ⩽ y ⩽ 1, 故 x2 ⩾ x3, y2 ⩾ y3, 从而 ¨ 0⩽x⩽1 0⩽y⩽1 (x2+
8 二重积分的概念与性质、二重积分的计算法 (1) 21 y2)dxdy > ¨ 0⩽x⩽1 0⩽y⩽1 (x3+ y3)dxdy. (2) ¨ D1 f (x, y)dxdy, ¨ D2 f (x, y)dxdy, f (x, y) > 0, D1⊂ D2. 解 因为 f (x, y) > 0, D1⊂ D2, 故 ¨ D1 f (x, y)dxdy < ¨ D2 f (x, y)dxdy. 4. 计算： (1) ¨ |x|⩽1,|y|⩽1 (x2+ 4y2+ 1)dσ; 解 ´−11 dx´−11 (x2+ 4y2+ 1)dy =´−11 (2x2+143)dx =323. (2) ¨ 0⩽x⩽π 0⩽y⩽x x cos(x + y)dσ.
解 ´0πdx´0xx cos(x + y)dy =´0π(x sin 2x− xsinx)dx = −32π.
5. 画出积分区域，并计算： (1) ¨ D yexydxdy, 其中 D 由 xy = 1, x = 1, x = 2, y = 2 所围成. 解 xy = 1, x = 1, x = 2, y = 2
8 二重积分的概念与性质、二重积分的计算法 (1) 22 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y ´2 1 dx ´2 1 x ye xydy =´2 1 e2x 2xx−12 dx = 1 2e4− e2. (2) ¨ D
(x2+ y2)dxdy, 其中 D ={(x,y)||x| + |y| ⩽ 1}.
解 因为 |x| + |y| ⩽ 1, 故 y = 1 − x,y = 1 + x,y = −1 + x,y = −1 − x
-4 -2 2 4 -6 -4 -2 2 4 6 x y
9 二重积分的计算法 (1)-续,(2) 23 6. 交换积分次序： (1) ´01dy´y1f (x, y)dx; 解 (2) ´01dy´yy2 f (x, y)dx; 解 (3) ´02dy´yy+22 f (x, y)dx. 解
9
二重积分的计算法 (1)-续,(2)
1. 画出下列积分区域 D, 并将化为极坐标系下的二次积分： (1) D ={(x,y)|a2⩽ x2+ y2⩽ b2, 0 < a < b}; (2) D ={(x,y)|2x ⩽ x2+ y2⩽ 4x}. 2. 将下列二次积分并化为极坐标形式，并计算： (1) ´01dx´01(x + y)dy; (2) ´01dx´1+ √ 1−x2 1−√1−x2 xydy. 3. 利用极坐标计算： (1) ¨ 1⩽x2+y2⩽4 ln(x2+ y2)dxdy; (2) ¨ x2+y2⩽4x (x + y)dxdy. 4. 计算二重积分： (1) ¨ D (x2+ y2)dσ, D 是由 x =−√1− y2, 直线 y =−1,y = 1,x = −2 围 成.10 三重积分 (1),(2) 24 (2) ¨ D x+y x2+y2dxdy, 其中 D 为 x 2+ y2⩽ 1,x + y ⩽ 1. 5. 求圆锥体 z⩾√x2+ y2 被柱面 z2= 2x 所截下部分的体积. 6. 用二重积分表示由三个坐标平面及 x + 2y + 3z = 6 所围立体的体积， 并计算之.
10
三重积分 (1),(2)
1. 化三重积分 I = ˚ Ω f (x, y, z)dxdydz 为三次积分，其中积分区域 Ω 分 别为： (1) 由双曲抛物面 xy = 2z 及平面 x + y− 1 = 0,z = 0 所围成的闭区域； (2) 由曲面 z = 2x2+ 3y2 及 z = 3− x2 所围成的闭区域. 2. 计算 ˚ Ω xy2z3dxdydz, 其中 Ω 为 a ⩽ x ⩽ b,c ⩽ y ⩽ d,l ⩽ z ⩽ m. 3. 计算 ˚ Ω dxdydz (2+x+y+z)3, 其中 Ω 为平面 x = 0,y = 0,z = 0,x + y + z = 1 所 围成的四面体. 4. 利用三重积分计算由曲面 z = 6− x2− y2 及 z =√x2+ y2 所围成的立 体的体积.11
三重积分 (2)-续
1. 利用柱面坐标计算下列三重积分： (1) ˚ Ω zdv, 其中Ω 是由曲面 z =√3− x2− y2 及 2z = x2+ y2 所围成 的闭区域；12 重积分的应用、第九章习题课 (1) 25 (2) ˚ Ω (x2+ y2)dv, 其中Ω 是由曲面 x2+ y2= 2z 及平面 z = 8 所围成 的闭区域. 2. 利用球面坐标计算下列三重积分： (1) ˚ Ω (x2+ y2+ z2)dv, 其中 Ω 是由曲面 x2+ y2+ z2= 2 所围成的闭 区域； (2) ˚ Ω zdv, 其中闭区域 Ω 是由不等式 x2+ y2+ (z− 2a)2⩽ 4a2, x2+ y2⩽ z2 所确定. 3. 利用三重积分计算由曲面 z =√5− x2− y2 及 x2+ y2= 4z 所围成的立 体的体积.
12 重积分的应用、第九章习题课 (1)
1. 求底圆半径相等的两个柱面 x2+ y2= R2 及 x2+ y2= R2 所围成立体 的表面积. 2. 求球面 x2+ y2+ z2= R2 含在圆柱面 x2+ y2= Rx 内部的那部分面积. 3. 计算下列二重积分： (1) ¨ D (x2− y2)dσ, 其中 D ={(x,y)|0 ⩽ y ⩽ sinx,0 ⩽ x ⩽π}; (2) ¨ D √ a2− x2− y2dσ, 其中 D 是由圆周 x2+ y2= ax 所围成的闭区 域； (3) ¨ D (x2+ 4x− 8y + 6)dσ, 其中 D ={(x,y)|x2+ y2⩽ R2}.13 第九章习题课 (2) 26
13 第九章习题课 (2)
1. 交换下列二次积分的积分次序： (1) ´01dx´xx32 f (x, y)dy; (2) ´−11 dx´−1−x√2 1−x2 f (x, y)dy. 2. 将 ´02dx´ √ 3x x f ( √ x2+ y2)dy 化为极坐标形式. 3. 计算 ¨ Dxecos xysin xydxdy, 其中 D ={(x,y)||x| + |y| ⩽ 1}.
4. 求曲面 az = xy 包含在圆柱 x2+ y2= a2 内那部分的面积. 5. 设 f (x) 可微，且 f (0) = 0, 求 lim t→0+ 1 πt3 ¨ D f (√x2+ y2)dxdy, 其中 D = {(x,y)|x2+ y2⩽ t2}. 6. 计算下列三重积分： (1) ˚ Ω x2dxdydz, 其中Ω 是 x2+y2+z2⩽ R2与 x2+y2+z2⩽ 2Rx(R > 0) 的公共部分； (2) ˚ Ω x sin(x2+y2+z2+1) x2+y2+z2+1 dxdydz, 其中 Ω 是由球面 x 2+ y2+ z2= R2 所围 成的闭区域； (3) ˚ Ω (x2+ y2)dxdydz, 其中 Ω 是由曲面 z2= 9(x2+ y2) 及平面 z = 3 所围成的闭区域.
14 对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分 (1)
1. 计算下列对弧长的曲线积分：15 对坐标的曲线积分 (2),(3)、格林公式及其应用 (1) 27 (1) ˛ L (x2+ y2)nds, 其中 L 为 { x = R cost, y = R sint (0⩽ t ⩽ 2π); (2) ˛ L x2ds, 其中 L 为由 x2+ y2+ z2= 1 与 x + y + z = 0 所表示的圆的 一周； (3) ´ Γ 1 x2+y2+z2ds, 其中Γ 为曲线 x = e tcost, y = etsint, z = et 上相应于 t 从 0 变到 2π 的一段弧； (4) ˛ L (x43+ y 4 3)ds, 其中 L 为内摆线 x 2 3+ y 2 3 = a 2 3. 2. 设 L 为双钮线：(x2+ y2)2= a2(x2− y2) (a > 0), 求 ´ Γ |y|ds.
15 对坐标的曲线积分 (2),(3)、格林公式及其应用
(1)
1. 计算下列对坐标的曲线积分： (1) ˛ L xyds, 其中 L 为 (x− R)2+ y2= R2 (R > 0) 及 x 轴所围成的在 第一象限内的区域的逆时针方向绕行的整个边界； (2) ˛ L (x+y)dx−(x−y)dy x2+y2 , 其中 L 为逆时针方向绕行的圆周 x2+ y2= R2; (3) ´ Γ 2xdx + 3ydy + (x− y + 2)dz, 其中 Γ 为从点 (1,1,1) 到点 (2,3,4) 的一段直线； (4) ´ Γ(x3−2xy2)dx + (2y2−xy)dy, 其中 L 为 y = x2上从点 (−1,1) 到点 (1, 1) 的一段弧.
2. 将对坐标的曲线积分 ´
L
P(x, y)dx + Q(x, y)dy 化为对弧长的曲线积分，
16 格林公式及其应用 (2),(3) 28 (1) 在 xOy 平面内从点 (0, 0) 到点 (1,√3) 的直线段. (2) 沿 x2+ y2= 2x 的上半部分从点 (0, 0) 到点 (1, 1). 3. 利用曲线积分计算星形线 x23+ y 2 3 = a 2 3 所围成的图形的面积. 4. 利用格林公式计算下列曲线积分： (1) ˛ L (x−2y+4)dx+(3x+5y−7)dy, 其中 L 为三顶点分别为 (0,0),(3,0) 和 (3, 2) 的三角形正向边界； (2) ˛ L ydx−xdy 4(x2+y2), 其中 L 为 (x− 2) 2+ y2= 9, 且为逆时针方向.
16 格林公式及其应用 (2),(3)
一、 验证下列曲线积分与路径无关，并求积分值： 1. ´(0,0)(1,1)(x− y)(dx − dy). 2. ´(2,1)(1,2)ydx−xdy x2 沿在右半平面的路线. 二、 利用格林公式计算曲线积分 ´ L(sin y− y)dx + (xcosy − 1)dy, 其中 L 为 圆周 x2+ y2= 2x 上从点 O(0, 0) 到点 A(1, 1) 的一段弧.
三、 验证下列 P(x, ydx + Q(x, y)dy 是一函数 U(x, y) 的全微分，并求这样的 一个 U(x, y)：
1. (x2+ 2xy− y2)dx + (x2− 2xy − y2)dy;
2. (2x + sin y)dx + x cos ydy.
四、 在过点 O(0, 0) 与 A(π, 0) 的曲线族 y = a sin x (a > 0) 中，求一条曲 线 L, 使沿该曲线从 O 到 A 的积分 ´
L
17 第十章习题课—曲线积分及格林公式 29 五、 求可微函数 f (x), 使关系式 ˛ L f (x)(ydx− xdy) = 0 成立，其中 L 为与 y 轴不相交的任何闭曲线.
17 第十章习题课—曲线积分及格林公式
一、 计算 ˛ L (x + y)ds, 其中 L 为连续点 (0, 0), (1, 0), (0, 1) 的闭折线. 二、 计算 ˛ L e √ x2+y2 ds, 其中 L 为圆周 x2+ y2= a2, 直线 y = x 和 y = 0 在 第一象限内围成扇形的边界. 三、 计算´ L xy2dy−x2ydx, L 是从 A(1, 0) 沿 y =√1− x2到 B(−1,0) 的圆弧. 四、 计算曲线积分 I = ˛ L ydx−(x−1)dy (x−1)2+y2 , 其中 (1) 为圆周 x2+ y2− 2y = 0 的正向； (2) L 为椭圆 4x2+ y2− 8x = 0 的正向. 五、 设曲线积分 ´ L xy2dx + yφ(x)dy 与路径无关，其中 φ 具有连续的导数， 且 φ(0) = 0, 计算 I =´(0,0)(1,1)xy2dx + yφ(x)dy. 六、 设曲线 L 是正向圆周 (x−a)2+ (y−a)2= 1,φ(x) 是连续的正函数，证 明： ˛ L x φ(y)dy− yφ(x)dx⩾ 2π.18 对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分 (1)
一、 计算下列对面积的曲面积分：19 对坐标的曲面积分 (2),(3)、高斯公式 (1) 30 1. ˜ Σ (x + y + z)dS, 其中 Σ 是上半球面 x2+ y2+ z2= a2, z > 0; 2. ˜ Σ dS x2+y2, 其中Σ 为柱面 x 2+ y2= R2 被平面 z = 0, z = h 所截部分. 3. ˜ Σ xyzdS, 其中 Σ 为平面 x + y + z = 1 在第一卦限的部分. 二、 求面密度 ρ= z 为的抛物面壳 z = 12(x2+ y2) (0⩽ z ⩽ 1) 的质量. 三、 如 Σ 是坐标平面 xOy 内的一个闭区域，曲面积分 ˜ Σ R(x, y, z)dxdy 与 二重积分有什么关系？
19 对坐标的曲面积分 (2),(3)、高斯公式 (1)
一、 计算下列对坐标的曲面积分： 1. ˜ Σ yzdzdx, 其中 Σ 是球面 x2+ y2+ z2= 1 的上半部分并取外侧； 2. ‚ Σxyzdydz + yzdzdx + zxdxdy, 其中 Σ 是由平面 x = y = z = 0 和 x + y + z = 1 所围的四面体表面并取外侧为正向. 二、 求流速场 −→v = x−→i + y2−→k 穿过曲面 z = x2+ y2 与平面 z = 1 所围成的 立体表面的流量. 三、 试将对坐标的曲面积分 ˜ Σ P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy 化为对面积的曲面积分，其中 Σ 是平面 3x + 2y + 2√3z = 6 在第一卦 限的部分的上侧. 四、 利用高斯公式计算曲面积分 ‚ Σ
y(x− z)dydz + x2dzdx + (y2+ xz)dxdy， 其中 Σ 是 x = 0,x = a,y = 0,y = a,z = 0,z = a 所围正方体表面的外侧.
20 第十章习题课—曲面积分及高斯公式 31
20 第十章习题课—曲面积分及高斯公式
一、 计算 ‚ Σ 1 xdydz + 1 ydzdx + 1 zdxdy, 其中 Σ 为球面 x 2+ y2+ z2= R2 的外 侧. 二、 设 Σ 是球面 x2+ y2+ z2= a2 的外侧，求曲面积分 ‚ Σ zdxdy. 三、 计算 ˜ Σ (y− z)dydz + (z − x)dxdz + (x − y)dxdy,Σ 为 z2= x2+ y2 (0⩽ z⩽ h) 的下侧. 四、 求曲面积分 ‚ Σ (x2+ y2)ds,Σ 为锥面 z =√x2+ y2 与平面 z = 1 所围成 的区域曲面. 五、 利用高斯公式计算曲面积分 ‚Σ xdydz + ydzdx + zdxdy, 其中 Σ 为介于 z = 0 和 z = 3 之间的圆柱体 x2+ y2⩽ 9 的整个表面的外侧.
六、 计算对坐标的曲面积分 I =‚
Σ
f (x)dydz + g(y)dzdx + h(z)dxdy, 其中 Σ
是平行六面体 0⩽ x ⩽ a,0 ⩽ y ⩽ b,0 ⩽ z ⩽ c 的表面并取外侧，f(x),g(y),h(z) 为 Σ 上的连续函数.
21 常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛
法 (1)
一、 根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的收敛性： 1. 1 1×6+ 1 6×11+··· + 1 (5n−4)(5n+1); 2. ∑∞ n=1 (√n + 2− 2√n + 1 +√n). 二、 判别下列级数的收敛性：22 常数项级数的审敛法 (2),(3) 32 1. 3 2+ 4 3+ 5 4+··· + n+1 n ; 2. 82 9 + 83 92 + 84 93 +··· + 8n+1 9n +··· ; 3. (1 3+ 1 1) + ( 1 32 +12) + (313+31) +··· + (31n+1n) +··· . 三、 若级数 ∑∞ n=1 un 收敛于 1, 求级数 ∞ ∑ n=1 (un+ un+2) 的和. 四、 求级数数 ∑∞ n=1 2n+1 n2(n+1)2 的和. 五、 判别下列级数的收敛性： 1. ∑∞ n=1 1+n 2+n3; 2. ∑∞ n=1 1 nsin 1 n; 3. ∑∞ n=1 2ntan31n; 4. ∑∞ n=1 1 1+an (a > 0).
22 常数项级数的审敛法 (2),(3)
一、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性： 1. ∑∞ n=1 n3 2n; 2. ∑∞ n=1 nn 2n·n!; 3. ∑∞ n=1 (n + 1) sin2πn. 二、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性： 1. ∑∞ n=1 1 4n(1 +1n)n 2 ;23 幂级数 33 2. ∑∞ n=1 (3n2n−1)n2; 3. ∑∞ n=1 (ae n) n, 其中 lim n→∞an= a > 0. 三、 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 1. ∑∞ n=1 (−1)n 12n; 2. ∑∞ n=1 (−1)n n22n; 3. ∑∞ n=1 (−1)n(n2−1)2 n2 n! . 四、 设 ∑∞ n=1 a2n 收敛，证明 ∑∞ n=1 an n 绝对收敛.
23 幂级数
一、 求下列幂级数的收敛域： 1. ∑∞ n=1 (−1)n x√nn; 2. ∑∞ n=1 2nxn n ; 3. ∑∞ n=1 (−1)n 3nnxn; 4. ∑∞ n=1 (−1)n x2n+12n ; 5. ∑∞ n=1 (x+2)n n . 二、 设级数 ∑∞ n=1 an(x− 1)n 在 x =−2 处收敛，讨论此级数在 x = √ 5 +√3 处的收敛性. 三、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：24 函数展开成幂级数 34 1. ∑∞ n=1 x2n+1 2n+1; 2. ∑∞ n=1 (n + 1)xn−1. 四、 求级数 ∑∞ n=1 2n−1 2n x2n−2 的和函数，并求出级数 ∞ ∑ n=1 2n−1 2n 的和.
24
函数展开成幂级数
一、 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： 1. 2 + cos2x; 2. (1 + x) ln(1 + x); 3. sin(x +π4); 4. ´0xsint t dt. 二、 将下列函数展开成 (x− 1) 的幂级数，并求展开式成立的区间： 1. ln(a + x) (a > 0); 2. 1 x(x+1). 三、 将函数 f (x) = √ x x2−4x+5 展开成 (x− 2) 的幂级数，并求展开式成立的 区间.25 傅里叶级数 (1),(2)
一、 设周期函数 f (x) 的周期为 2π, 证明： f (x) 的傅里叶系数为 an = 1 π ´2π 0 f (x) cos nxdx, bn= 1 π ´2π 0 f (x) sin nxdx (n = 0, 1, 2,···). 二、 设周期 f (x) 函数的周期为 2π, 且在 [−π,π] 上 f (x) = x2, 将 f (x) 展 开成傅里叶级数，并求 ∑∞ n=1 1 n2.26 傅里叶级数 (3)、一般周期函数的傅里叶级数 35 三、 将周期为 2π 的函数 f (x) = x, −π⩽ x < 0, 1, x = 0, 2x, 0 < x⩽π m 展开为傅里叶级 数，并讨论其收敛情况. 四、 将下列函数展开为傅里叶级数： 1. f (x) =π−x2 (0⩽ x ⩽π); 2. f (x) = { −π, −π⩽ x < 0, x, 0⩽ x ⩽π.
26
傅里叶级数 (3)、一般周期函数的傅里叶级数
一、 将函数 f (x) = x2 4 −πx2 在 [0,π] 上分别展开为正弦级数和余弦级数. 二、 证明：当 0⩽ x ⩽π 时，有 ∑∞ n=1 cos nx n2 = 1 12(3x 2− 6πx + 2π2). 三、 将下列各周期函数展开为傅里叶级数： 1. f (x) = { 2x + 1, −3 ⩽ x < 0, 1, 0⩽ x < 3; 2. f (x) = x2 (−1 ⩽ x ⩽ 1), 并求 ∑∞ n=1 (−1)n+1 n2 的和. 四、 将函数 f (x) = x− 1 (0 ⩽ x ⩽ 2) 展开为周期为 4 的余弦函数.27 第十一章习题课
一、 对于正项级数 ∑∞ n=1 un： 1. 若 un+1> un, n = 1, 2,··· , ∞ ∑ n=1 un 是否一定发散？27 第十一章习题课 36 2. 若 un+1< un, n = 1, 2,··· , ∞ ∑ n=1 un 是否一定收敛？ 二、 设正项数列 {an} 单调减少，并且 ∑∞ n=1 (−1)nan 发散，判别 ∞ ∑ n=1 (1+a1 n) n 的敛散性. 三、 判别下列级数的收敛性： 1. ∑∞ n=1 1 n√nn; 2. ∑∞ n=1 (1− cosπn); 3. ∑∞ n=1 nn (n!)2; 4. ∑∞ n=1 n sin2 n√π 2 2n . 四、 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性： 1. ∑∞ n=1 (−1)n−1lnn+1n ; 2. ∑∞ n=1 1 √ nsin(nπ+πn). 五、 求下列幂级数的收敛性： 1. ∑∞ n=1 4n√−3n n x n; 2. ∑∞ n=1 (x+1)n n−2n . 六、 求级数 ∑∞ n=1 (−1)n n+1n! 的和. 七、 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： 1. (x + 1) arctan x; 2. 2x (1+x2)2.
28 微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程 37
28 微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程
一、 判别下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 1. dydx =−ycotx2, y =1−cosx1 ; 2. y′′= 1 + y2, y = C1− lncos(x +C2). 二、 确定下列各题的函数关系式中的参数，使函数满足所给条件的初始值： 1. x2− 2y2= C, y| x=0= 3; 2. y = C1cos x +C2sin x, y|x=π2 = 1, y′|x=π2 = 2. 三、 设曲线在点 (x, y) 处切线的斜率等于该点纵坐标的立方，写出该曲线 满足的微分方程. 四、 求下列微分方程的通解： 1. (xy2+ x)dx + (y− x2y)dy = 0; 2. (1 + x2)y′= 1 + y2;3. sec2x tan ydx + sec2y tan xdy = 0;
4. (1 + x)dy + (1− 2e−y)dx = 0. 五、 求下列微分方程满足初始条件的特解： 1. (1 + ex)yy′= ex, y| x=1= 1; 2. (1 + x2)y′= arctan x, y| x=0= 0. 六、 一曲线过点 (2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点平分，求此 曲线方程.
29 齐次方程、一阶线性微分方程 (1) 38
29 齐次方程、一阶线性微分方程 (1)
一、 求下列齐次方程的通解： 1. xy′− xsinyx= y; 2. (x + y cosyx)dx− xcosyxdy = 0. 二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解： 1. xydydx = x2+ y2, y|x=e= 2e; 2. x2dy + (xy− y2dx) = 0, y| x=1= 1.三、 设有连结点 O(0, 0) 和 A(1, 1) 的一段向上凸的曲线弧 cOA, 对于弧 cOA
上任一点 P(x, y), 曲线弧 cOP 与直线段 OP 所围图形的面积为 x2, 求 曲线弧 cOA 的方程. 四、 求下列微分方程的通解： 1. xy′+ y = xex; 2. y′+ y tan x = sin 2x; 3. y′+1xy = sin xx ; 4. dydx = y x+y3ey. 五、 求下列微分方程满足初始条件的特解： 1. y′cos y + sin y = x, y|x=0= π4; 2. (2x + 1)eyy′+ 2ey= 4, y| x=0= 0.
30 一阶线性微分方程 (2)、全微分方程 39
30
一阶线性微分方程 (2)、全微分方程
一、 已知 f (π) = 1, 曲线积分 ´ L (sin x− f (x))yxdx + f (x)dy 与路径无关，求 函数 f (x). 二、 质量为 M0 克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以 每秒 m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比. 若开始下 落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系. 三、 求下列伯努利方程的通解： 1. y′+1xy = x2y3; 2. xy′+ y− y2ln x = 0. 四、 求下列方程的通解：1. (cos(x + y2) + 3y)dx + (2y cos(x + y2) + 3x)dy = 0;
2. (x cos y + cos x)y′− ysinx + siny = 0; 3. eydx + (xey− 2y)dy = 0. 五、 利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其特解： 1. ydx− xdy + y2xdx = 0; 2. y(2xy + ex)dx− exdy = 0. 六、 设 (xy(x + y)− f (x))dx + ( f (x) + x2y)dy = 0 为全微分方程，其中函数 f (x) 连续可微， f (0) = 0, 试求函数 f (x), 并求该方程的通解.
