小六學生不同代數表徵的解題表現、教師布題順序與代數教學信念之研究

《當代教育研究》季刊 第二十卷第二期· 2012 年 6 月，頁 93-133

小六學生不同代數表徵的解題表

現、教師布題順序與代數教學信念

之研究

劉家樟*

楊凱琳**

許慧玉*抖

摘要 本研究主要探討三個問題，包括:第一是臺灣國小六年級學生在不同代 數試題表徵(故事、文字、符號)的解題表現;第二是國小數學教師對這三類 試題表徵的教學布題序列及背後的教學信念;第三是學生的解題表現與教師信 念間之一致性檢驗。研究結果發現:一、在相同數學內涵之下，國小六年級學 生在符號題表現最好，故事題表現最差。但進一步分析後發現，學生雖在符號 題的答題較佳，代數思維的發展仍未臻成熟。二、約80%國小數學科教師的布 題順序為符號、文字、故事，且具有符號優先教學觀(

symbol-precedence

view) 。這些教師認為，學生在符號題表現較好，文字題應直接教導正確解題 *劉家棒，中壢國小數學教師 電子郵件:

[email protected]

"楊凱琳，國立臺灣師範大學數學系助理教授 電子郵件:

[email protected]

"許慧玉，國立臺灣師範大學數學系博士後研究(通訊作者) 電子郵件:

hsu.huiyu@gmai

l.

com

本文像由劉家棒2006年中原大學教育研究所碩士班論文資料分析改寫。 投稿日期: 2011 年9 月 16 日;修正日期: 2011 年 11 月 9 日;接受日期: 2012年5 月 24 日

94

{當代教育研究〉季刊第二十卷第三期 法或先熟悉、符號操作過程，也較贊同代數方程式是解決故事或文字題最有效的 方法。剩下20%的教師則是認為，應、先教學生故事題，其教學信念明顯偏向非 符號(憂先與非示範解題法的教學觀。三、進一步比較教師布題順序及代數教學 信念與學生解題表現間的一致性，結果發現，教師無法完全準確地預測學生的 答題表現。更有甚者，教學信念、偏向非符號優先與非清楚示範解題法的教師， 預測學生的答題表現最不準確 o 關鍵詞:符號優先教學觀、代數教學信念、符號題、文字題、故事題

熱 劉家棒、楊凱琳、許麓玉

芳:你寄~ljtiItJll~盡刮起草還圈閥圓的關

Contemporary Educationa! Research

Quarter!γ

June/

2.

012./

Vo

l.2.

0 No勾 pp 呵呵3

95

The Study of Six Graders' Problem-Solving

Performance

,

Teachers' Problem Posing

and Teaching Beliefs in Different Algebra

Problems

Chia-Chang Liu*

Kai-Lin Yang**

Abstract

Hui-Yu

Hsu叫

This paper presents three investigations related to algebra problems: (I)

Taiwanese sixth graders' problem-solving performance on story problems

,

word-equation problems

,

and equation problems; (2) Taiwanese mathematics teachers'

posing sequences towards these problems and their hidden teaching beliefs; and

(3)

the relationship between students' performance and teachers' beliefs. These analyses

revealed that sixth graders performed the best on equation problems and the worst on

story problems. Further investigation indicated that although students performed

• Chia-Chang Liu

,

Mathematics Teacher

,

Chung-Li Elementary School

E-mail: [email protected]

.. Kai-Lin Yang

,

Assistant Professor

,

Mathematics Department

,

National Taiwan Normal

University

E-mail: [email protected]

**Hui-Yu Hsu

,

Post-doc fellow

,

Mathematics Department

,

National Taiwan Normal

University

,

Correspondence Author

E-mail: hsu.huiyu@gmai

l.

com

96

<當代教育研究〉季刊第二十卷第二期

~fl"i"iT;Y…

better on equation problems

,

their algebraic thinking was still not well-developed.

Second

,

about 80% mathematics teachers posed problems with the sequences of

equation problems

,

word-equation problems

,

and story problems

,

respectively; they

preferred the symbol-precedence view. They thought equation problems were easiest

for students

,

and that word-equation problems should teach students how to directly

find algebraic solutions and the procedures of algebraic operations. They also agreed

that algebraic equations were the most effective way to solve story problems and

word-equation problems. The remaining teachers

,

who expressed a

non-symbol-precedence view

,

believed that story problems should be taught firs

t.

Third

,

the

comparisons showed the inconsistency between students' performance and teachers'

predictions

,

especially those teachers with a non-symbol-precedence belief made the

worst predictions.

Keywords: symbol-precedence view

,

teaching beliefs in algebra

,

equation

problems

,

word-equation problems

,

st。可 problems

劉家梅、楊凱琳、許蠶玉 2嗎?當忍耐

壹、緒論

97

代數教學強調培養學生有意義地理解符號式于及式于背後的抽象意義， 以避免學生機械式地背誦規則與程序 (Kieran ，

1992

,

2007) 。基於此，教師應

從具體情境脈絡中培養學生量化推理能力 (quantitative

reasoning) (Thompson

,

1993 )

，瞭解脈絡中元素之間的關係並建構學生「去情境化」

( decontextualized

)的心智表徵(

Piaget & Inhelder

,

1967) 。而此脈絡關係的推 論過程逐漸轉換成可操作的抽象代數式子，進一步將多個代數操作規則濃縮成

單一規則的能力，最後具體化(

reification

)成抽象的代數意義 (Sfard，

1991;

Sfard & Linchevski

,

1994) 。

為瞭解學生代數思維與算術思維的發展，尤其是情境如何橋接兩種思 維，數學教育學者從學生在不同表徵試題的解題表現出發，試圖分析出情境

與兩種思維之間的關聯性。其中，以 Koedinger

W

Nathan 的研究最為著稱

(Koedinger & Nathan

,

2004; Nathan & Koedinger

,

2000a

,

2000b)

0 Koedinger與

Nathan設計具相同數學內涵(例如數字、四則運算)的試題組，並控制其他干 擾變項，直接探討情境故事、文字及符號等三種表徵對學生解題表現的影響。 其中，故事題定義為以真實情境故事表徵數學的應用問題;文字題是指一般單 純口語敘述問題的數學應用題;符號題則是以數字、數學符號或文字符號等所

列的方程式。@研究發現，美國已學習代數的學生在以情境脈絡為主的故事題

或是描述性的文字題，答題均顯著優於符號題。換句話說，情境脈絡的故事題 @茲將相同數學內涵但三種不同試題表徵舉例如下:故事題: r 小明從大賣場買了 8 盒 面紙回家後，他將每盒面紙的價錢乘以 8' 然、後加上錢包內的 72 元，發現他原來有 200 元，請問每盒面紙的價錢是多少? J 文字題: r 某數乘以 8 再加上 72 ，得到的答 案是200 '這個數是多少? J 符號題:

r

X

x 8

+

72

=

200

J 。

98

(當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 柯悶柯m叮而京叩吋司U圳M川[卜叫川川川.句仙叫叫f ， T川E江品τ早.仆恥1 較能促成學生解題表現;而代數抽象符號試題對美國學生則較困難。但此研究 結果似乎不同於臺灣。之前有研究提出臺灣學生在代數題表現較好(黃明瑩，

2000)

，且國中教科書代數單元設計起始於文字題，然後再大量地讓學生熟悉 抽象符號操作。而情境題則當成應用練習題，目的在使學生能靈活地以代數式 解不同情境脈題。對比於臺灣學生和西方學生解題表現的可能差異，以及考量 臺灣考試導向教育環境(Lin

&

Tsao

,

1999; Lin

&

Yang

,

2005)

，學生在這三類 試題表徵的解題表現值得進一步探討。 除分析學生的解題表現外，本研究也探究臺灣教師在三類試題表徵的布 題順序及其背後的代數教學信念，同時，亦比較教師的布題順序與學生實際答 題表現的一致性，以瞭解教師信念與布題順序如何影響臺灣學生的解題表現。 許多研究者指出，教學知識與信念明顯影響教師解讀與執行課程內容(

Ball

,

1988; Borko et a

1.,

1992; Raymond

,

1997) 。特別是教師面對教學「關鍵時刻」 的判斷時，標準通常取決於教師個人數學信念和從前的學習經驗(

Shroyer

,

1978 )

，且此將進而影響學生的學習成效。在代數教學信念， Nathan 與

Koedinger

(2000a) 發現，高中教師及數學教育研究者普遍存在符號優先教學 觀點 (symbol-precedence

view)

，認為教學應先由代數符號解題再轉為故事 題，此觀點與代數認知發展的研究相違背。NathanWPetrosino (2003) 發現， 尤其是數學專業背景的職前教師，其因自身學科學習經驗，反倒容易錯誤地預

測學生的學習表現。他們稱此現象為專家盲點(

expert blind

spot) 。

為深入瞭解臺灣學生的代數認知發展、教師代數教學與本身信念及其學 生學習的關係，本研究提出三個研究問題敘述如下:

1.在相同數學內涵之下，臺灣國小六年級學生在故事、文字及符號等三種 不同試題表徵的解題表現為何?

劉家褲、梅凱琳、許蠶玉 嗨!黎黨專流通且通緝;:1'宙間簡翻翻國

99

而決定三類試題的教學布題順序? 3.教師布題順序及代數教學信念是否與學生解題表現一致?若不一致，有 何差異?

貳、文獻探討

一、不同試題表徵的解題思維 認知心理學定義問題解決為: 個人試著去達成的目標，在沒有立即可甫的答案下，從所給定的條 件狀態著手，將其轉換為應甫的方法，以找出答案。(

Sternberg

,

1994

,

2003 )

而數學解題是指在沒有立即可用的算式、方法及路徑時，必須融合以往 的知識和經驗，運用數學概念、原理、原則及數學方法，以消5耳目前狀態和欲 達到之日標狀態間存有的距離或障礙。 數學一般可分計算題與文字題。計算題只需熟練數學的基本運算規則， 而文字題還需用到語文知識，依照問題的脈絡，將自然語言(

ordinary

language) 轉譯成算術語言 (arithmetic language) 或代數語言(

algebra

language)

，才能依照數學的運算程序獲得答案 (Mayer， 1992) 。因此，數學問 題的呈現直接影響學生思維或解題表現。 Koedinger與Nathan (2004) 就三種 不同試題表徵(故事題、文字題、符號題) ，提出決定學生解題表現三大假 設: (一)符號促成假設 (symbolic

facilitation hypothesis)

，意指符號題因能避 免文字理解及將題日條件轉換數學式子的認知負荷，所以為三種試題中難度最 低的。(二)情境促成假設 (situation

facilitation hypothesis)

，泛指故事情境可 幫助學生擷取先備解題經驗，有效地決定解題執行策略。據此，學生對故事情

100

<當代教育研究〉季刊第二十卷第二期

前m

境的熟悉程度是決定情境促成的主因，且學生在故事題犯錯的比例應比去情境

化的試題低。(三)文字促成假設(verbal

facilitation hypothesis)

，源於代數方

程式認知的困難度對學生在符號題解題表現的影響。在此假設下，學生在故事 題和文字題產生的錯誤應比符號題來得少。 另外，三類試題解題歷程與學生算術思維和代數思維之發展息息相關。 例如解情境題時，學生可避開代數思維，利用算術思維來推論給定情境之間關 係，得到答案。尤其文獻指出，算術表徵解題到代數表徵解題間的轉換是訐多 學生的主要學習困難之一 (Booth，

1984;

Kier妞，

1989)

0 特別是九年一貫數學 領域課程，由六年級開始進入代數的學習，此為算術過渡至代數學習的啟蒙階 段。在此啟蒙階段，學生通常會混淆算術與代數本質上的差異(Booth，

1984;

van Amerom

,

2003)

，常以算術思維理解代數符號與代數運算，造成學習困 難 o 基本上，算術思維著重運用數量的計算求出答案的過程，這個過程是程序 性的、含情境的、具有特殊性的，甚而是建立在直觀上的;相對而言，代數思 維則倚重關係的符號化及其運算，這個運算是結構性的、去情境的、具有一般 性的、形式化的，並且在某種程度上是無法依賴直觀的(Booth，

1984;

Kier妞，

1992

,

2007; Lesh

,

Post

, &

Behr

,

1987)。然而，運用算術思維的解題是在特定的

情境對具體的數量進行推理，解題步，驟較有彈性，而運用代數思維的解題，則 在程序上較為固定。另外，算術的解法為單向前進，較不具一般通用性;而代 數的解法具一般性，且可雙向同時進行。算術解法一般先做實驗歸納的工作， 從而求得解決該類問題的公式，此方法缺乏普遍性;而代數解法的準備工作是 引入未知數符號，把問題中的數量關係，尤其是等量關係用代數方程式表示出 來，然後再利用「運算率」和「等式性質」求出方程式中未知量的值，所以， 代數法直截了當、簡潔明快、具有普遍性，也具有統一i生，故其解法在一般人 眼中優於算術解法。但是否因為代數的解題程序固定，不若算術解題彈性，容

劉家棒、梅凱琳、許黛玉

101

:忙時;;J.[聶葫蟑螂阻隔個閉關 易使學生機械性地記憶解題規則，因此導致解題表現較好，可是，根本上，學 生對於代數式子的理解仍不清楚，則需要進一步探討。

學者也建議，使用情境脈絡的故事題與文字題作為過渡學生算術思維到 代數思維的橋樑 (Koedinger

& Nathan

,

2004) 。例如:文字應用題(

arithmetic

word

problem) 在國小普遍存在於一般的數學課程，且占有重要地位。到了國 小六年級及國中階段，可將之提升至可用假設文字符號的方式來解題的代數文 字題。在解題的思維歷程中，或使用代數思維，或使用算術思維，解題者必須 選擇最容易理解且快速的方法;若題目是單向前進，便不需逆向思考適合算術 思維的解法，例如「每枝鉛筆4 元，買了 5 枝鉛筆後，還剩3 元，問原有多少 錢? j 其算法可單純順向思考，而列出算式: '4X5+3 三 23j ;若題目可雙向 同時進行，或涉及逆向思考時，則以代數思維的解法較為有利，例如「一個數 乘以8再減去斜，得到的答案是200 '這個數字是多少? j 其算法可單純順向思 考，而列出算式:

'X

X

8 - 64

=

200

j ，算式中的 'X

j

代表所要解答的數字， 再利用等量公理或移項法則即可解出X的值。但學生並不一定只用代數思維來 解文字題，如同上述的例子 ， ，每枝鉛筆4元，買了 5枝鉛筆後，還剩3 元，問原 有多少錢? j 其算法亦可列式為: 'X-4x5=3

_j

' 再解出 'X

_j

所代表的解。 而「一個數乘以

8

再減去64 '得到的答案是200 '這個數字是多少? j 的例題亦 可以逆向思考列式為(

200 - 64)

~

8

'進而算出其解為 17 。因此，以國小六 年級的數學課程而言，處於算術解法過渡至代數解法的學習階段，學生的解題 思維，或以代數思維，或以算術思維，尚未有固定的模式，且個人對題目的解 讀及思考差異，亦影響其解題之思考形式，故本研究亦探討未知數位置，包括 「起始未知」及「結果未知」對處於算術過渡至代數階段的國小六年級學生解 題表現及其解題策略的運用與影響。

102

<當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 ~r::TiiT=!可叫

二、數學教學信念

教師的數學教學概念、觀點及信念顯著地影響課室教學行為及決策

(Richardson

,

1996; Thompson

,

1984

,

1992) 。關於數學教學信念的研究，

Raymond ( 1997

)發現，個案教師的數學信念與數學教學實務具有一致性。

Thompson 與Thompson

( 1996

)以及 Swafford 、 Jones !MThomton

(

1997) 的研

究指出，教師對於數學概念所建立的知識基模，是影響其教學設計的潛在動

力。教師如何教導學生學習數學，會受到個人在數學概念理解上的影響。 van

Dooren 、 Verscha位l與Onghena (2002) 研究國小和國中職前教師算術和代數

問題解決的策略和技能發現，國中職前教師喜歡使用代數解題，同時也期許學

生能夠以代數解題，即使那是一個明顯可用算術解決的方法。而大部分的國小

職前教師能因題目的需要而做適當的選擇，只有少\部分小學職前教師傾向使用 算術方法解題，以至於在較複雜的文字問題上容易解題失敗。 當教師教學信念與學生表現有落差時，意昧著教師對學生表現的認知不

足，因而於教學時，極有可能使用錯誤的表徵形式 (forms

of representations)

(

Shu1m妞，

1986)

，而無法有效地幫助學生學習數學o

Nathan

!M

Koedinger

(

2000a) 根據美國數學教育改革(

National Council of Teachers of Mathematics

[NCT間， 1989) 統整出教師在代數教學過程中應幫助學生建立及應用數學想

法和方法的自信，進而建構出學生在數字、符號及程序上的理解，並據此將初 等代數教學信念分為四大面向，包括: (一)結果勝於過程:強調獲得正確答案的重要性，超過學生的推理過 程，而有效的解題方法也許不能得到正確的答案。 (二)學生能發現有效的問題解決策略:此架構又分為教師教學、學生 學習及學習內容三個構念:

劉家棒、楊凱琳、許慧玉 !現?可 _{這;[1撞車主E師范施週瞞替阻個臨團}

103

1.教師應該鼓勵學生發現解題方法(教師教學) :指學生進入數學課室 時，可能擁有依據的推理的模式，並且可自行想出有效的問題解決方法。 2.學生發現的解題方法是有效的(學生學習) :學生能學習並且發現有效 的非正式策略來解決問題，其可能不同於學校所教的正式策略。 3. 代數最好(學習內容) :此意見提出使用代數方程式是解決數學問題 (代數型問題)最有效的方法。 (三)學生自己發明和其他解題方法表示學生知識裡的缺陷:指學生自 己發明的非正式策略，例如猜測和檢驗、算術的方法、非使用代數符號或其他 非正式的策略，表示其數學知識是較差的。 (四)符號優先的觀點:持此觀點者認為，代數的教學應先教方程式或 代數符號，然後再教文字問題;同時也認為，文字問題是比符號方程式困難 的。 教師的數學知識不僅影響他對於數學概念的解釋，而且對教材內容呈現 的方式和師生互動模式也深具有影響(黃幸美，

2000)

0

Simon ( 1995

)認 為，在教學過程中，教師是內容和任務決策者。教師要時常思考著學生接下來 可能會怎麼想，還要預測如何利用學生的想法，幫助學生發展預期達到的數學 概念。為了更仔細地描述教師的角色， Simon 提出了「假設性學習路徑」

(Hypothetical Learning Trajectory

,

HLT) 這個概念。然而，真正的學習路徑並 不可事先預知，個人的學習軌道亦可能有所不同，只不過，由於學習通常會治 著相似的路徑來進行，因此， Simon認為，教師可以根據學生的學習目標、學 習活動及學生的思考和學習等預期路徑，構築出一個假設性學習軌道。而真正 在教室中教學進行的過程，便可以提供教師一個機會去發現學生實際的學習軌 道和假設的學習軌道之間的符合程度。根據這些新的瞭解，可以形成修正過的 假設性學習軌道，作為接下來所進行課程的基礎， Simon稱這個過程是一個

104

{當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 4(':Ti1(:tIlT.!.tl_flil京川 「數學教學環」。 教學環的應用，仰賴教師對於學生學習路徑的瞭解，但是，研究上顯 現，通常教師對學生表現的預期與學生真實表現的落差，將會降低教學的效能 及容易造成學習的不理解。林宏仁(2003 )的研究發現，教師在學生分數概念 學習表現的教學評估與學生在分數概念學習表現上有所不同。林業泰(2004

)

的研究發現，教師對自己預測學生解題表現，最不具信心的問題原因受「教材 不會出現」、「試題複雜困難」與「教師本身欠缺數學知識」等三方面的影響。 謝佳叡 (2001) 和黃淑華 (2002 )的研究發現，教師的數學教學信念與學生學 習信念有某種程度之落差 o Nathan與Koedinger

(2000a

,

2000b) 的研究結果發 現，高中教師對高一學生的解題信念與學生解代數文字及故事表徵的問題與符 號試題表徵的成績表現，是互相矛盾的。 NathanWPetrosino (2003) 更進一步 在探討教師的背景與教學信念的關係時發現，具有較高數學領域知識的數學教 師，傾向於過高估計學生解題的能力。這些落差不但會影響教師在教學過程中 的重要決定，教學過程的序列也可能是之後學生產生迷思概念的重要來源

( Resnick et a

l.,

1989) 。 由上述文獻可知，教師對學生解題表現之信念與學生實際解題表現存在 著差距。也就是說，教師對學生真正的表現並非十分瞭解。這樣的狀況容易讓 教師的教學決策較不利於學生學習。若以 Simon

(1

995)

，-假設性學習路徑」 的觀點來看，教師知識中「對學生知識的假設」將產生錯誤的估計，，-關於學 生學習特定數學內容的知識」也顯得不足，相對地，有可能影響其「對數學教 與學的理論J '進而使其在課堂中使用的「數學活動和表徵的知識」對學生可 能是不恰當的。

劉家棒、楊凱琳、許黛玉

105

你選擇?驗;王軍發路都肇雄蹄帶回IIJ勵一 三、數學教師評估試題難易度研究 本研究另外→個探討的向度是教師如何預期學生的答題表現而決定試題 的教學布題順序。對此， Nathan與Koedinger等人以三種試題表徵與未知數在 式子的前後位置設計出六個試題組，並針對不同受試者進行一系列的研究 O 他 們發現，美國在職教師和教師培育者均預測故事題對學生來說，比文字題和符

號題困難 (Nathan

& Koedinger

,

2000b)

，且在六個題目的排序相當一致。比較

不同教育背景的職前教師研究，Nathan與Petrosino (2003) 提出，具有數學專

業的職前教師較容易認為符號題容易，此印證了所謂的專家盲點(

expert

blind) 。另外， Nathan與Koedinger (2000a) 另一個研究則是針對不同教學年 齡層的教師(例如國小、國中、高中) ，說明教師複雜的排序結果 O 雖然所有 教師在未知數位置和三種試題表徵上具一致性，均認為起始未知試題和故事題 對學生來說比較困難，但六個試題混合評比，國小和高中老師的評比較為接 近，係先考量數學結構，也就是未知數的位置，再考量三種試題表徵;認為最 容易的是結果未知的符號題，而最困難的則是起始未知的符號題。而國中教師 則是數學結構與三種試題表徵混合，認為結果未知的符號題最簡單，而最困難 的包括起始未知的符號題、起始未知的文字題和結果未知的符號題。對此，本 研究試圖針對國小教師，進一步區分不同教學布題序列的群集，並探討不同集 群教師的教學信念與學生的表現之間的關聯性。

參、研究方法

一、研究工真

為了探究學生在故事、文字及符號表徵的解題表現，教師對不同題型的 布題順序，以及自身存在的代數教學的信念，本研究修改Nathan與Koedinger

106

{當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 ~~叩:ITr.rn1川:'lI;開;m怒掉嚼蠟綠豆

(2000a

,

2000b) 發展的「故事、文字、符號表徵測J驗」及「教師代數教學信 念問卷 J '作為主要的研究工具。

(一)故事、文字、符號表徵測驗

「故事、文字、符號表徵測驗」的架構主要參考 Nathan

W Koedinger

(2000b) 的問卷設計，此間卷設計包含兩個維度:第一個維度是未知數在題 目中位置。 Nathan與Koedinger根據代數與算術問題解決困難之文獻，提出未 知數 (unknown quantity) 在問題中的位置及問題的語言表徵'並將未知數區 分為「結果未知」以及「起始未知」。所謂的「品吉果未知J '意指未知數即是試 題裡數學事件或操作下的結果。例如:

(3

5-10)

/5=X式子中，為了得到X答 案，學生必須利用算術規則計算出左邊的算式。因為「結果未知」的試題可直 接利用算術的規則來得到未知數的答案，所以，這樣的問題可歸為算術層次的 問題 (arithmetic-level problems) 。而「起始未知」則是利用未知數來澄清解題 所需的關係式，通常這樣的問題需要使用代數運算的策略或是監控算術計算方 法，因此，這樣的問題可歸類為代數層次的問題(algebra-level

problems)

0 藉 由決定未知數的順序，可以瞭解未知數對於學生在算術過渡至前代數期的解題 表現的影響。 第二個維度是問題的不同表徵，包括故事、文字、符號三種不同類型的 題目，進而探討三種不同試題表徵對學生解題表現的影響。表l 則是參考

N

athanWKoedinger的試題表徵問卷設計形式，選取了「算術平均數」主要數

學內涵。考量這兩個維度及學生在學校情境中每次定期評量計算平均成績情境 為架構，發展出六個測驗題目。其中， PI 、 P2 、 P3 為「起始未知」試題，也 就是所謂的前代數期的問題。而P4 、 P5 、 P6則是「結果未知」試題 o 在題目 表徵上， PI 和P4為故事題; P2和的為文字題; P3和P6則為符號題(方程式)。 如此設計之用意在探討在等同數學結構情況下，操作變項為「有真實情境的故

劉家棒、楊凱瑜、許黛玉

107

咐誤認魂嘴邊揖緝樹闡輛輛虛，目圓 表 l 故事、文字、符號表蝕測驗內容摘要表 數學結構 表徵類型 (未知數) 故事題 _文字題 符號題

PI

:大華第二次月考時，

P2

:把 94 加 96 再加

P3

:解

X

國語考了 94 分，數學 92 ，最後再加某

( 94+96+92+

起始未知 考了 96 分，自然考了 個數後，得到這

x)

-7-

4

=

92 分，社會要考多少 四個數的平均是

95

分，才能使四科平均 坊，我最後加的 95分? 數是多少?

P4

:大華第二次月考時，

P5

:已知四個數的平

P6

:解 X

: 95x4

四科平均 95 分。國語 均是好，其中一

94 - 96 - 92

結果未知 考了 94 分，數學考了 個是 94 、 96 和

=x

96 分，自然考了 92 92 ，第四個數是 分，請問社會考多少

_多少?

分? 註:試題表徵類型(3層次)和未知值的位置(2 層次)。 事表徵」的數學應用問題，與，----般單純口語敘述的文字表徵」的數學應用題 和「以數字、數學符號或文字符號等所列的方程式」三者不同數學表徵的情境 下，學生的解題表現情況。 本研究採用Nathan與Koedinger (2000b) 已發展的測驗試題，考量臺灣課 程安排、臺灣學生的認知發展和文字理解等層面，我們進一步邀請數學教育專 家、三位國小六年級教師，以及二位國中數學教師逐題審閱修正，一致同意本 研究工具符合測驗操作的未知數位置及三種試題表徵'並符合國小六年級的數 學學習內容，因此，符合專家效度與內容效度。我們亦從三所國中各抽取一班 共87名學生為受試樣本，請學生回答設計出的六個試題，各題難易度百分比分 別為PI=45% 、 P2=5I% 、 P3=55% 、 P4=49% 、 P5=53% 、 P6=67% 。 (二)教師代數教學信念問卷 代數教學信念係指教師在初等代數的教學歷程中，對教學方式、代數在

108

(當代教育研究〉季刊第二十卷第三期 而而而雨雨l r:r.r:'l l:吋械電遮體織是 數學學習的觀點及教師如何教學(符號優先教學觀點或文字優先教學觀點)等 方式所持有且信以為真的觀點與信念。為探討小六學生解題表現與國小教師對 學生解文字題信念之差異，我們參考Nathan與Koedinger (2000a) 所編「教師

對學生非正式策略使用之信念問卷J '以文字題「教」與「學」信念為本，從

「學生能發明有效的問題解決策略」的教學信念抽取出「文字題教學觀」與 「代數地位觀J '前者是有關解文字題教學，後者是有關於教學的內容。最 後，考量教師在代數教學的特徵，而取其「符號優先教學觀點J '構成本研究 問卷設計的基本架構 o 問卷在這三個層面具體包含的因素成分分述於表2 '原始問卷包含40題。 問卷填答與記分，採Likert六點量表記分。填答的方式，由填答者根據自己所 知覺的實際情形，從各選項選擇一個接近的答案作答，答案包括「非常同 意」、「同意」、「有點同意」、「不太同意J ，-不同意」、「非常不同意」六個選 項。 預試以桃園縣參加九年一貫數學領域研習之國中教師及六所國小高年級 教授數學科之導師為樣本，共150人。有效問卷為125份(回收率83%) ，用以 進行問卷信效度分析。效度方面，以試題之間的極端組比較、相關分析及因素 分析(邱皓政，

2002)

，作為檢測與刪題的參考。當試題極端組t檢定未達顯著 者、相關分析係數低於0.3及因素分析之因素負荷量低於.3時，優先刪改題目。

然後進行因素分析，用以檢測問卷「文字題教學觀」、「代數地位觀」及「符號

優先教學觀」是否為問卷的主要因素。最後，問卷總題數為19題。量化分析結 果顯示，各因素層面的題目因素負荷量皆在.40以上。三個因素層面可解釋的 變異量分別為19.70 、 14.18及2 1.的。信度方面，採用Cronbach'sα係數，分別 分析三個因素層面與問卷整體的信度，以確定本問卷的內部一致性。得到之

Cronbachα係數分別為文字題教學觀.845 、代數地位觀760及符號領先觀.867

'

劉家棒、楊凱琳、詩意玉 何?鴻章成躊躇蟬建輝這隔觸即j關 表 2 代數教學信念問卷架構與題目設計一覽表

109

代數 信 '，吉。、、

_取

向 教學信念 因素成分 _認同 不認同 因棄層面 ﹒教師對文字題教學 ﹒教師應直接教導明確 ﹒教師應鼓勵學生的非 文字題教 _{﹒數學理解與應用的}看法 _{﹒懂得如何應用解題法}的解題法 _{﹒數學理解比懂得如何}正式策略 學觀點 看法 比理解問題重要 應用重要 ﹒符號操作的看法 ﹒代數是解代數問題的 ﹒代數只是解代數問題 ﹒關鍵字法 _{最佳工具 的一種方法} ﹒正式策略 ﹒關鍵字的方法是學生 ﹒關鍵字不是解決故事 解決故事型問題的理 型問題的理想模式 代數地位 想模式 ﹒學生已有非正式解題 觀點 _{﹒故事或文字試題表徵} 策略 需轉譯為方程式 ﹒解故事型代數問題的 ﹒代數解題，一定是解 方法有很多 故事型的代數問題所 必需的 ﹒符號試題表徵較容 ﹒符號試題表徵較故事 ﹒故事試題表徵較符號 易 試題表徵容易 試題表徵容易 符號優先 ﹒方程式或符號優先 ﹒符號試題表徵較文字 ﹒文字試題表徵較符號 教學觀點 教學 試題表徵容易 試題表徵容易 ﹒有意義的學習 ﹒先教方程式或符號， ﹒先教故事試題表徵 再教故事問題 ﹒故事問題比方程式更 ﹒符號是有意義的程式 能吸引學生建構意義 量表整體之Cronbachα係數為.885 '本問卷具有高度的內部一致性。最後，正 式問卷內容詳見附件1 0

二、研究對象及實施過程

參與本研究對象之包括國小六年級學生及國小六年級之數學授課教師。

110

<當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 而川…軍軍川 其中，學生樣本從桃園縣兩所國小六年級學生，採叢集抽樣法抽取 10個班級、 共318名學生，請學生回答「故事、文字、符號表徵測驗」。施測兩所學校皆為 都會區學校，其中一所學校六年級班級數為六班，另一所為 10班。此外，考量 學生在解題時的習慣可能影響測驗結果(例如學生可能只寫前面的題目) ，故 將六個試題(如表 1

)

，依表徵類別(代數、文字、情境)及未知數位置('起 始未知」和「結果未知 J) ，排序成六個不同的版本。例如:原版試題排序為 PI 、 P2 、 P3 、 P4 、的、筒，試題表徵變動後之版本可為 P2 、的、 PI 、 P5 、 P6 、 P4 ;未知數位置變動後之版本可為P4 、的、 P6 、 PI 、 P2 、 P3 。並以班級 為單位，隨機將六個版本分派給學生作答。 教師部分，參與的教師為桃園縣近三年有教授六年級之教師，採方便取 樣法實施問卷填答。問卷內容包括: (一)六個試題難易度評分及教學布題活 動排序; (二)教師代數教學信念問卷。問卷內容之試題難易度評分部分，請 受測教師思考自己教授的學生(國小六年級) ，再判斷試題的難易程度來決定 教學的布題順序。此外，考量教師對三種試題表徵名詞不熟悉，影響「代數教 學信念問卷」的回答，問卷開頭提供三種試題表徵解釋(詳見附件一)。教師 教學布題順序與其代數教學信念將與學生實際解題表現作比較，用以推測教師 對於三種不同表徵試題的教學實踐，同時檢測與學生答題表現的一致性。問卷 共寄(送)出 386份，回收332份，回收率為 86.01% '扣除填答不完全者視為 無效問卷共 16份，總計有效問卷316份，有效回收率為8 1. 86% 。有效樣本教師 來自約20所國小，其學校位置大多位於都會區或鄰近都會區，與接受施測學生 的學校性質大致相同。規模在24班以下的學校擔任教師的有8位 (2.5%)

,

25

"'59班的有 192位 (60.8%)

,

60班以上的有 116位( 36.7%) 。

劉家棒、楊凱琳、誨，慧玉

111

嗯?何事[;Im站起步軍官也屬韓國關

三、試題計分方式、編碼及統計分析

學生在「故事、文字、符號測驗」的答題表現計分採對、錯兩種 O 正確

作答者每題 l 分、錯誤者 0分。另外，也以紮根理論 (grounded the。可 approach)

(Strauss

&

Corbin

,

1998) 進一步分析學生各種解題策略，用以深入瞭解影響

學生解題表現的因素。本研究由第一作者進行初始分析，先不設定編碼系統， 由學生答題內容由下往上( bottom-up) 逐一形成各種不同的解題類型。之 後，再由所有作者討論釐清如何依據算術思維和代數思維的意涵來架構出最後 的編碼系統。例如，學生如何使用算術思維及代數思維進行解題，以及兩種思 維過度之間是否有另類的解題策略。教師代數教學信念問卷計分方式由「非常 同意」到「非常不同意 J '分別以6 、 5 、 4 、 3 、 2 、 l 的分數代表。學生在三種 試題的表現、教師預估學生表現而決定的布題順序及其代數教學信念經過計 分、編碼之後，進一步採用相關統計方法進行分析研究 O

肆、研究分析結果

研究分析結果包含三部分，第一部分依據研究問題一，回答臺灣六年級 學生在三種試題表徵的解題表現。第二部分，以研究問題二為依據，呈現國小 數學教師決定三類試題的布題順序及教學信念。第三部分則是回應研究問題 三，進一步檢驗學生解題表現與教師布題順序及教學信念的一致性。

一、國小六年級學生在三種試題表徵的解題表現

(一)學生三種不同表徵試題的解題表現 表3呈現受試學生在「故事、文字、符號表徵測驗」答題表現，其中可看 出學生在「結果未知」的符號題表現最好 (76 .4%) ，其次是「起始未知」的

112

{當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 何而iT:'f.Tl':TiTI:r:~lr叫什 ;[Ti 川取九 表 3 學生在 PI '"'-'P6 答題正確人數和百分比 題號 答錯 _答對

人數

百分比

_人數

百分比

PI

起始未知故事表徵

l

υ

01

3

1.

8%

217

68.2%

P2

起始未知文字表徵

96

30.2%

222

69.8%

P3

起始未知一一符號表徵

85

26.7%

233

73.3%

P4

結果未知一故事表徵

89

28.0%

229

72.0%

P5

結果未知文字表徵

96

30.2%

222

69.8%

P6

結果未知一符號表徵

75

23.6%

243

76

.4%

符號題， 1 結果未知」故事題排名第三 1 結果未知」與「起始未知」的文字題

(69.8%

)則排名第四;學生在「起使未知」的故事題表現最差。大致上來 說，學生在「結果未知」的表現比「起始未知」試題的表現好。在三種試題表 徵中，符號題的表現最好、文字題居次，故事題的表現最差o 表4則是進一步利用統計方法檢驗學生的表現。由表可知，學生在不同數 學結構 (I 起始未知」與「結果未知J) 的表現上並沒有達到顯著差異(

t=

1.441 ， p>.05)' 但在不同數學表徵類型的解題表現上則存在著顯著差異。尤其 符號題的解題表現顯著優於故事題(t=2.331， p<.05) 及文字題 (t 二 2.568，

p

<

.05) 。而故事題與文字題之間，學生的表現則未達顯著差異( t 二 .1 96，

p

>.05

)。 利用紮根理論，我們進一步分析學生在「故事、文字、符號表徵測驗」 的不同解題策略，主要區分出三種解題類別(前三類型)，包括「算術列式+ 算術解法」、「代數列式+算你珀辛法J '以及「代數列式+代數解法」。而學生解 題的錯誤則可歸類出四類(後四類型)，包括等式的誤用、未加括號、列式錯 誤及沒有計算程序或空白等。三種解題類型及四種錯誤類型的學生範例敘述如

下:

劉家棒、楊凱琳、許翠玉 戶:玄宗紛發1寶安 守、善

113

軍之轟轟錯話嘉浩暑 w眉臨海ilDJ臨團 表 4 學生解題表現成對據本 t 考驗摘要表 (n=3I8

)

平拘數 標準差 平拘數的標準誤 t 自由度 結果末全←

.069

.856

.048

1.

441

317

起始未知 故事表徵一

006

.573

.032

196

317

文字表徵 符號表徵

.094

.722

.040

2.331 *

317

故事表徵 符號表徵一

.1

01

.699

.039

2.568*

317

文字表徵

*p<.05

1.算術列式+算術解法:表示此題學生之解題法以算術方法列式且以算術 方法解題。 例如:

PI

I 起始未知」 故事題

95 x4=380

380 一(

94+96+92) = 98

2.代數列式+算術解法:表示此題學生之解題法以代數方法列式，但計算 程序上以算術的思考方式解題。 例如:

PI

I 起始未知」 故事題

( 94+96+92+X) -;-

4 三 95

95x4=380

380-94-96-92

98

3.代數列式+代數解法:表示此題學生之解題法以代數方法列式且以代數 方法解題。 例如:

(94+96+92+X) -;- 4

95

(94+96+92+X) =380

114

<當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 ~n'i'iT=T耶和帥，叫r:r，r.，1 ;n'“﹒?而

X=380 - 94 - 96 - 92

=98

4.不完整的算術或代數等式運算:學生在計算過程中，不瞭解 '=J 號的 等價性。 f3U女日:

95 x 4-94-96-92

三

380-94 =

286-96 三 190-92

98

其中第一個「三」號之後應該為 '380

- 94 - 96 - 92 J

'第二個

'=J 之後則應為 '286-96-92

_J

0 5.算術或代數解法末加括號。 f3U女口:

94+96+92+X-:--4

二

95··..·· (1)

94+96+92+X三 95

x4

(2)

X=380-282=98

(3)

其中第1.式應該為 (94+96+92+X)

-:--4 -

95 。 6.算術或代數列式錯誤則是發生在學生將故事情境或文字敘述轉換為數學 式于過程中所產生的錯誤 o 7.其他:包括沒有計算程序或空白等。 表5為學生解題策略的統計分析，顯示出:1.學生會因試題表徵的不同， 而使用不同的解題策略。由百分比可以看出學生最主要的三種解題策略為「算 術列式+算術解法」、「代數列式+算術解法」及「代數列式+代數解法」。這 三種試題，無論是「起始末知」還是「結果末知 J '採用算術解法解題的學生 百分比都高於採用代數解法的學生。這表示，即使學生在符號題的解題答對率 比其他兩種試題高，但是，仍有相當高比率的學生還是以算術思維來解題。 2.在故事題和文字題使用代數策略解題的學生，有相當比例未能正確地使 用括號(例如P們1

: 11

式于裡的意義。

盟秘都 dg 留學 d 制啃姆川 m

JJ

凹

學生之解題黨略與答對率;欠數分配表 PI P2 P3 P4 P5 P6 人數(%) 答對(%) 人數(%) 答對(%) _人數(%) 答對(%) _人數(%) 答對(%) _人數(%) 答對(%) _人數(%) 答對(%) (1) 算術列式+ 116 105 96 86 18 16 116 104 142 107 241 199 算補辦法 (36.5%) • (90.5%) •• (30.2%) (89.6%) (5.7%) (88.9%) (36.5%) (89.7%) (39%) (75.3%) (75.8% ) (82.6%) (2) 代數列式+ 33 31 42 37 125 102 42 33 31 25 _{。 。} 算i在辦法 ( 10.4%) (96.7%) ( 13.2%) (88.1%) (39.3%) (81.6%) ( 13.2%) ( 78.6%) (9.7%) (80.6%) (0%) (0%) (3)代數列式+ 60 45 77 64 126 101 68 54 66 55 46 39 代數解法 ( 18.9%) (75%) ( 24.2%) (83.1%) ( 39.6%) (80.2%) (21.4%) (79.4% ) (20.8%) (83.3%) ( 14.5%) (84.8%) (4) 代數解法未 37 25 30 23 6 4 25 21 28 19 _{。 。} 加括號 (11.6%) (67.6%) ( 9.4%) (76.7%) (I 伊Yo) (66.7%) (7.9%) (84%) (8.8%) (67 伊/主) (0%) (0%) (5) 算術或代數 30 2 37 5 _。 28 2 23 3 2 _。 列式錯誤 (9.5%) (6.7%) ( 11.6%) (2.7%) ( 15%) (0%) (8.9%) (71.4%) (7.3%) (13%) (0.6%) (0%) (6) 不完整的代 4 3 8 5 10 8 6 6 5 5 2 2 數等式運算 ( 1.3%) (75%) (2.5%) (62.5%) (3.1%) (80%) ( 1.9%) (100%) ( 1.6%) (100%) (0.6%) (100%) (7)其他解題策 38 6 28 6 28 2 33 9 23 8 39 3 略(含空白 (11.9%) ( 15.8%) (8.8%) (21.4%) (8.8%) (7.1%) ( 10.3%) (27.2%) (7.2%) (34.8%) ( 12.2%) (7.7%) 無算式) 總數 318 217 318 222 318 233 318 229 318 222 318 243 (100%) (68.2%) ( 100%) (69 屆%) (I ∞0/0) (73.3%) ( 100%) (72%) (Iω%) (69.8%) ( 100%) ( 76.4%) 註*括弧內數字表示使用此一解題策略學生占全體學生的百分比。 **括弧內數字表示在此一解題策略之下，答題正確學生數的百分比。 表 5

116

{當代教育研究〉季刊第二十卷第二期

.r:t'It1.. f.1.11. till:r;rrr:r"lr:l'iT=11 ;rnrn:1混

3.分析資料顯示，有相當比例的學生在轉譯故事題和文字題為代數或是算 術式于時，容易發生錯誤 o 4.另一個常見的錯誤是學生不正確地使用等號，將等號當成運算的歷程而 非是代數式子等價的關係 O 這些分析可以推論出學生雖然在符號題的答對率較好，但是有非常大部

分的學生仍是以算術思維來解題，且學生的代數思維還未臻成熟。

為了證實這個論點，我們進一步分析學生在三種解題策略一一「算術列 式十算術解法」、「代數列式十算術解法」以及「代數列式十代數解法」的答題

表現 o 從表6可以看出，以單因于ANOVA分析六個題日之後，在「起始未知」

PI 及 P2 兩題上，三種解題策略分析的 F 值達顯著差異

(PI :

F

(278

,

2)

=5.081 '

p< .01 ; P2 :

F

(288

,

2) =5

.1

92 '

p< .01

)。其餘四個題日統計檢驗則

無差異。事後比較發現，在 PI 試題上，學生使用「代數列式算術解法」之解

題答對率顯著優於「代數解法」及算術解法 o 另在P2試題上，學生使用「代

數列式算術解法」也顯著優於「代數解法」。這個分析結果顯示，雖然學生使 用代數列式，但算術解題能力還是優於代數解題。換句話說，學生的代數思維 發展仍有進步的空間。

二、國小數學教師代數教學信念及其教學布題

(一)教師代數教學信念 教師代數教學信念的分析，則是依據受試教師在「代數教學信念問卷」 的回答 o 如表7所示，國小教師在代數教學信念問卷之總平均得分為 4 .4 1 分，

明顯高於平均值 3.5分 o 由問卷分項來看， ，文字題教學觀」平均為 3.99分，代

數地位觀」平均為 4.63分"符號優先教學觀」的平均最高，為 4.70分。顯示教

師在「文字題教學觀」上較認同文字題的教學應直接教導正確的解題法或先熟

117

劉家棒、榜凱琳、許還玉 表 6 學生解題策略對解題表現之影響差異分析表

題項

|解題策略

人數

平均數標準差

F 值

a. 算術列式 2

142

a

.75

算你請平法 b. 代數列式 算術解法 c. 代數解法 a. 算術列式

112

算術解法 b. 代數列式 算術解法 c. 代數解法

122

.66

.477

註 a: 解題策略分析的依據為測驗卷上學生的列式方法及解題歷程。因此，各策略 學生人數與表 6 呈現有所出入。

**p<.OI

起始未知 故事表徵

(PI)

起始未知

文字表徵

(P2 )

J “說繁育路蟲單:魂;建揖適值霍建祖區喜Z罷蕾帽國nJmlil"• • • • • • • 事後比較

.4

32

46

5.081

**

b>a

b>c

.91

.285

90

.67

.4

74

.78

.4

18

54

.87

.3

39

5

.1

92**

b>c

表 7 教師在代數教學信念總分及平均 分量表總分

27.93

27.78

28.17

83.88

文字題教學觀 代數地位觀 符號優先教學觀 量表總分

激一

7669

2 , 3-11

平均

3.99

4.63

4.70

4

.4

1

練符號操作的過程;國小教師在「代數地位觀」偏向贊同代數方程式是解決語 詞(故事或文字)表徵文字題最有效的方法， ，-符號優先教學觀」則認為符號 題較故事題或文字題容易。

(二)事妞市教學布題之結果分析

教師教學布題分析則是根據教師問卷內教師針對六個試題難易度評分及 教學布題活動之排序。分析方法以階層集群 (hierarchical cluster) 中的Ward's

118

(當代教育研究〉季刊第二十卷第三期 開n， lf·I·Jl·fLI l:r-~lr:li!晶~·m心嘛!你毛 法進行分類。對應六個試題的數學結構 (I 起始未知」與「結果未知 J) 和表徵 類別(情境、文字、符號) ，在參考階層集群分析之樹狀圖之後，將分類集群

數設定為4 ，並經由區別分析 (x

2

_=165.373，

_p<.OI

_{) 確認分類的適切性。茲將集}

群的共同特徵描述如下: l 第一集群(1 18人) :先考慮數學結構再考慮試題表徵。數學結構為「結 果未知」的三個試題優先布題，其中符號題最為優先，其次文字題，最後為故 事題。之後，才以「起始未知」的三個試題布題，且試題表徵的順序大多與 「串吉果未知」題相同。

2.第二集群( 64人) :與第一集群相似，以數學結構為「結果未知」的題

型優先布題，但三種表徵間則以故事題最為優先，其次文字題，最後為符號 題。待「結果未知」的題型先布題後，才以「起始未知」的題型布題，且順序 與「起始未知」題相同。 3. 第三集群( 67人) :先考慮試題表徵再考意數學結構，以符號題最為優 先布題，其中再以「結果未知」然後「起始未知」布題:待符號題先布題後， 其次是文字題，最後是故事題，且數學結構的順序大多與符號題相同。 4.第四集群( 67人) :試題表徵和數學結構是交叉影響的，首先以「結果 未知」符號題優先布題，其次為「起始未知」符號題，接著是「結果未知」文 字題，之後為「結果未知」故事題，再來是「起始未知」文字題，最後則為 「起始未知」故事題。 從上述的分析結果可以得到二點:第一，所有受測教師中，約有的%的教 師(第一、三、四集群)在三種試題布題時，會先從符號題開始教學，然後是 文字題，最後才是故事題。只有大約 20% 的教師會先從故事題開始教學。第 二，有 37% 的教師之布題特徵是先考慮、數學結構再考慮試題表徵;其餘 63% 的 教師則大約平均分布在另外三種布題特徵的集群中。

劉家梅、榜凱琳、許黛玉

119

如數目;已忌諱繡讀怨道緝竭囑萄輛輛翩翩

(三)教學布題排序集群對代數教學信念差異情形之結果分析

由表8 可看出，不同教學布題排序之國小教師代數教學信念有顯著差異。 尤其第二集群的教師(教學考庸、故事題優先)顯著不同於其他三群的教師。以 總問卷來看，第二集群的教師顯著低於其他三群的教師。細部檢驗各分項也得 到相似的結果。在「文字題教學觀 J '第二集群的教師得分也顯著低於第一和 第三集群的教師，亦即第一及第三集群的國小教師比第二集群的國小教師更認 同「文字題的教學應直接教導正確的解題法或先熟練符號操作的過程」。在 「符號優先教學觀」因素層面上，第二集群的教師得分顯著低於其他三個集群 的教師，亦即第一集群、第三集群及第四集群的國小教師比第二集群的國小教 師更認同「符號題較故事題或文字題簡單」的觀點。只有「代數地位觀」分 項，四個集群教師之間無顯著差異 o 上述之研究結果呈現，教學布題順序不同的國小教師其代數教學教學信 念有顯著差異存在，亦即，採用不同教學布題順序的教師其代數教學信念亦有 所不同。尤其是布題以故事表徵試題優先的教師(第二群集) ，在文字題教學 觀和符號優先教學觀的量表上，與其他群教師顯著不同。

三、教師布題順序與代數教學信念、及學生解題表現的一致性檢驗

(一)教師對試題難易度的評分 我們進一步藉由教師的布題順序，分析其對六個試題難易度的評分是否 有差異 o 表 9 為單因子變異數分析結果呈現達顯著差異 (F (316 ， 5) 二

80.381 '

P

<

.001)

，也就是國小數學教師認為這六個試題對學生來說有難易之 別。事後分析顯示，國小教師認為這六個試題由難到易依序為:，-起始未知」 故事題 (PI) 及「起始未知」文字題(P2 )最難，且二者無顯著差異，而與 其他題項均達到顯著差異;其次為「起始未知」符號題(P3 )、「車吉果未知」

120

<當代教育研究〉季刊第十卷第二期 可柯柯何叮訢喃恥恥;π計仙iUT.訂UT.刊叫…f品扣II自 表 8 不同教學布題排序國小教師代數教學信念之單因子變異數分析摘要表

因素層面 I 布題排序

_人數

平昀數

每題平

標準差 F 值 事後比較 集群 均得分 第一集群 所用

>

第

118

29.04

4.15

5.28

文字題教|第二集群

64

25.33

3.62

7.22

7

.4

85***

學觀

第一集群

第二>第

67

29

.4

2

4.20

4.80

第四集群

67

26.97

3.85

6.63

第一集群

118

27.86

4.64

4.50

代數地位|第二集群

64

26.91

4

.4

8

4.98

1.

913

N.S

觀

第一集群

67

28.72

4.79

3.84

第四集群

67

27.51

4.58

4.38

第一集群 弟卅

>

第

118

28.81

4

.1

2

4.23

符號優先 I 第二集群

64

25.14

3.59

6

.4

1

教學觀

第一集群

10.834* 料第二>第

67

29.76

4.25

3.62

第四集群 第四>第

67

28.34

4.05

5.77

第一集群

第

>

第

118

85.72

4.29

1

1.1

6

第二集群

64

77.38

3.87

15

.1

3

量表糖、分 1_.第一集群

9.841 叫*第三>第

67

87.90

4.39

9.74

第四集群 第四>第

67

82.82

4.14

12.19

註: N.S 表無顯著差異。

***p<.OOI

故事題 C P4) 及「結果未知」文字題 CP5) ，三者之間無顯著差異，與其他題 項均達顯著差異;最後為「串吉果未知」符號題 C

P6)

，與其他各題項均達到顯

劉家棒、楊凱琳、許怠玉 -tm RUEng

121

川口

!

!!

!

斜 WU 幣

;

游“叭 叭 “州發 、 表 9 教師之試題難易度評分單因子變異數分析摘要表 題項 個數

_平均數

標準差 F 值 事後比較

p<.05

PI

316

4

.3

1

1.509

Pl>P3>P6

P2

316

4.01

1

.3

23

PI >P4>P6

P3

316

3

.3

5

1.631

Pl>P5>P6

P4

316

3

.3

4

1

.4

71

80

.3

81

***

P2>P3>P6

P5

316

3.09

1.247

P2>P4>P6

P6

316

2.19

1.

616

P2>P5>P6

***p<.OOI

著差異。由此可知，在國小教師對試題難易度排序的信念裡，1 起始未知」試 題難度明顯高於「結果未知」試題，而無論是「起始未知」或「結果未知J ' 國小教師均認為符號題較簡單，顯示其具有符號優先教學之觀點。

(二)教師試題難易度評分與學生解題表現之差異比較

表 10則進一步呈現教師對學生的試題難易度的評分及學生實際解題表現 的分析。由表可知，學生解題表現最佳 (P6

:

1 結果未知」符號題)和最差

(PI:

1 起始未知」故事題)以及第三順位(P4

:

1 結果未知」故事題)三 題，教師的評估順序與學生解題表現完全相同 O 其他各題則略有出入，但以

P2

(I 起始未知」文字題)的評估較為相近，而 P3 (I 起始未知」符號題)和 的的評估則較差。整體而言，國小教師對學生解測驗的六個試題難易度評分 與學生實際解題表現比較，在最難與最易的試題上相同，其他的試題則稍有差 異。

(三)不同教學布週 II頁序的教師在試題難易度評分與學生實際解題表現之

差異

我們進一步分析不同教學布題順序集群之教師，欲瞭解不同集群教師是

122

{當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 開叮叮rr;TlI'I

:r:

Im;1… l:rrR叫咱恥付之機鑼船主 表 10 教師對學生的試題難易度評分與學生解題表現分析表 學生解題表現 教師難易度評分 數學結構 表徵類型

(n=318)

(n=316)

平均

排序

_平均

排序

故事表徵 (PI)

.68

6

4

.3

1

6

起始末知 _{文字表徵 (P2}

₎

_.70

₄

_4.01

₅

符號表徵 (P3

)

.73

2

3.35

4

故事表徵 (P4

)

_.72

₃

3.34

3

結果末知 文字表徵 (P5

)

.70

4

3.09

2

符號表徵 (P6)

.76

2.19

註:1.排序 1 分表示最容易， 6 分表示最難，餘類推。 2. 學生的解題表現平均愈高，表示題目較容易;教師難易度評分的平均愈高表示 題目較難。 否在試題難易度評分與學生實際解題表現的比較上存在差異 O 表 11 呈現第三集 群的國小教師有四項排序與學生解題表現相同，第一集群及第四集群的國小教 師則有三項排序與學生解題表現相同，且此三者能有效地掌握學生解題表現中 最簡單及最困難的題型;而第二集群的國小教師則在六個題型上均無法有效地 掌握學生的解題表現。由上述分析結果可知，國小教師對學生解題表現的評估 最為準確的是第三集群的教師，是以符號題優先布題，其次為文字題，最後為 故事題;在數學結構上則以「結果未知」試題先於「起始末知」試題;而對學 生解題表現的評估最差的，則是第二集群教師，布題以「結果未知」題型優 先;三種試題表徵則以故事題最為優先，其次文字題，最後為符號題，待「結 果未知」的題型布題後，才以「起始未知」的題型布題。 伍、討論 針對第一個研究問題，分析結果顯示國小六年級學生在三種試題表徵的

劉家糖、梅凱琳、許蠶玉

憔悴鵑花飄擺點島國間翩翩

表 11 不同集群教師教學布題順序與學生解題表現分析表

123

學生解題表現 教師難易度評分 未知數 表徵類型 第一集群 第二集群 第三集群 第四集群 位置 平掏 平掏 平掏

平均

平詢(排序) (排序) (排序) (排序) (排序) 起始 故事表徵 (PI)

.68 (6)

4.68 (6)

3.58 (4)

4.84 (6)

3.82 (6)

未知 文字表徵 (P2

)

.70 (4)

4.25 (5)

3.63 (5)

4.28 (4)

3.67 (5)

符號表徵 (P3

)

.73 (2)

3.81 (4)

4.02 (6)

2.00 (2)

3.25 (2)

結果 故事表徵 (4)

.72

(3)

2.95

(3)

2.70 ( I )

4

.4

0 (5)

3.60 (4)

未知 文字表徵 (P5

)

70 (4)

2.78 (2)

3.02 (2)

3

.4

8

(3)

3.31

(3) 符號表徵 (P6

)

.76

(1 ) 1.

84 ( I )

3.17

(1) 1.

70 (I )

2.36

(1) 表現，符號題的答對率顯著高於故事題及文字題，而故事題和文字題之間則無 顯著差異。此結果呼應之前臺灣本土性的研究(黃明瑩，

2000)

，但不DNathan

與Keodinger的研究結果相反 (Koedinger

&

Nathan

,

2004; Nathan

&

Koedinger

,

2000a

,

2000b)

0 Koedinger與Nathan研究發現，即使選修過代數課程的高中學 生在故事題和文字題的表現上都顯著高於符號題。

進一步分析解題策略發現，雖然國小六年級學生在符號題表現較佳，但

是，採用算術思維解題學生比例高於採用代數思維解題的學生，且以算術策略 解題的答對率明顯高於代數策略。此結果顯示，學生代數思維的發展還是有其 限制 o 以 Koedinger與Nathan (2004) 的三大假設解釋，臺灣學生的答題表現

較符合符號促成假設 (symbolic

facilitation hypothesis)

，也就是說，學生在符

號題答對率較高，是因符號題能避免文字理解及題目條件轉換成數學式子的認 知負荷，而非學生代數符號運算能力發展得比較好。

支持此一論點的另一證據是學生解題策略分析呈現的代數迷思概念，包 括學生以代數策略解題時，並未意識到括號在式子中代表的意義，進而省略括 號。另一迷思概念則是將等號當成是運算的結果，而非代數式子等價意義。換

124

(當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 相同=lTI叭rr.r.tlr.r.r:﹒11; 川怕是FJE嗎?按: 句話說，學生仍以程序性( procedural) 算術思維來處理代數符號問題，將代 數符號當作數字處理 (Kieran， 1992)' 而未從結構性( structural) 來思考括號 及等號對於代數式子結構性的意義與影響。因此，六年級學生雖然能正確解出 符號題，但代數思維的發展還是有其侷限。學生既未建構出「去情境化」的心

智表徵 (Piaget

& Inhelder

,

1967)' 也缺乏對抽象符號操作背後意義的理解。

這樣的學習狀態將不利於發展多個代數操作規則濃縮成單一規則，具體化

( reification

)成抽象代數意義 (Sfard，

1991; Sfard & Linchevski

,

1994

)。 就第二研究問題探討國小數學教師代數教學信念，問卷分析結果顯示， 國小教師普遍存在代數導向的教學信念。在「文字題教學觀」上，較認同文字 題的教學應直接教導正確的解題法或先熟練符號操作的過程。在「代數地位 觀」上，較贊同代數方程式是解決語詞(故事或文字)表徵文字題最有效的方 法。在「符號優先教學觀」上，則認為符號題較故事題或文字題容易，所以， 教學應先教學生解符號題。 就第三研究問題探討教師布題順序及教學信念與學生解題表現的一致 性 O 雖然本研究方法不是直接研究施測學生的代數解題表現與該班級數學教師 的代數教學信念，而是採用大樣本的問卷瞭解國小數學教師的布題順序及代數 教學思維，進而比較教師對三種表徵試題的布題順序與學生答題表現。研究結 果顯示，臺灣教師無法準確地預估學生的答題表現。教師除了能較準確地預估 最困難與最容易的題目外，介於此二者間的題目，教師的預期及布題順序與實 際學生的答題表現有落差存在。另一個重要的發現則是代數教學信念偏向非符 號優先教學觀及非直接示範解答的教學觀教師，其布題順序與學生答題表現的 落差最大 o

劉家樟、楊凱恥、詩意玉

125

轍爾關通緝獵樹闡簡個體~11li

陸、結論與建議

根據臺灣六年級學生在三種試題表徵的解題表現(符號題表現優於故事 題和文字題) ，筆者對代數課程之安排提出進一步的疑慮。西方數學教育改革 不斷呼應代數學習應該從情境出發，培養學生推論情境中資訊問之關係，逐漸 地將關係抽象化，進而型塑出學生代數思維 (Kieran，

1992; NCTM

,

1989

,

2000

)。但研究顯示，學生在代數發展上仍有其不足之處。即使高中生選修過 代數課程，解題還是偏向算術思維，且代數運算的能力還是不佳 (Koedinger

&

Nathan

,

2004

)。而本研究顯示，在東方代數教育的觀點下，即使學生在符號 題的表現較佳，代數思維的發展亦有其侷限。從國小課程安排來看，依據九年 一貫課程數學領域綱要(教育部， 2003) 強調培養學生在現實情境之下，能推 論不同未知數之間的關係，並逐漸將此關係一般化。坊間審核通過的國小教科 書應符合其精神，但是，國中課程則是從文字符號切入，直接進行抽象代數的 學習。例如國一初始之代數學習是從文字題開始，進而以大量的符號表徵練 習，然後才是代數符號運算在情境的應用題。 從本研究中學生解題表現來看，在國小階段幫助學生從情境建構關係經 驗仍顯不足，之後又立刻接著以抽象符號操作為主的國中課程，學生在國中發 生代數學習困難，是可預期的。對此，值得探討的接續研究應包含:一、全面 性地檢測臺灣國中小的代數課程如何鷹架學生從情境的算術思維進展到抽象的 代數思維。二、實際分析國小課室教師如何提供學生從情境中建構出抽象關係 的學習機會;是否教師本身的符號(憂先教學觀，剝奪了學生建構代數抽象意義 的機會。三、考量國際數學評比上臺灣學生的代數表現明顯高於西方國家(例 如美國、英國)

(Mullis

,

Martin

, &

Foy

,

2008; Organisation for Economic

Co-operation and Development [OECD]

,

2004)

，研究方向應放在具體情境關係建立

126

(當代教育研究〉季刊第二十卷第二期 ~r:Ti自T… 轉換到抽象符號操作，進一步分析東方與西方代數課程設計與教學。 針對臺灣國小教師代數導向的教學信念來說，促成此教學觀點與信念的 原因有許多(例如教科書編排的影響、教師個人數學學習經驗及學生學習反應 的察覺等) ，需進一步釐清。但此代數導向的教學信念，與國內外數學教育課 程改革提出的培養學生從情境中瞭解代數意義之觀點相背馳(教育部，

2003 ;

NCTM

,

1989

,

2000) 。尤其教學信念對教學行為深具影響，性(方吉正，

1998 ;

Clark

&

Peterson

,

1986; Thompson

,

1984)

，教師代數教學信念如何影響學生代 數學習不容小獻。從分析數據顯示，國小課室的代數教學可能偏向規則熟練與 機械式的運算，教師可能將學生能計算符號題當成學生代數思維發展成熟。然 而，獨尊代數策略解題且偏重代數規則熟識的教學方式，會造成學生代數意義 的不理解且不利於抽象代數思維的發展。 就臺灣教師無法準確地預估學生的答題表現來看，教師錯誤預估學生的 表現可能源自於本身教學內容知識，亦可能源自於教師的學科內容知識，或受 到數學教學的課程和專業標準，以及教課書的架構和內容的影響(Nathan

&

Koedinger

,

2000a

,

2000b) 。若單看解題表現，臺灣學生在符號題之表現顯著優 於文字題和故事題，這似乎意味著持有符號優先教學觀點的教師與學生表現比 較一致。但若深入分析學生的解題策略和錯誤類型，在學生代數思維未發展完 成前，非符號優先教學觀點的教師較能提供學生建構代數意義的學習機會

(opportunity to

learn) 。對此，進一步的研究問題應是:一、對大部分 (80%) 持有符號優先教學觀點的數學教師，師培教育與專業發展如何改變其 代數教學觀點與信念;二、對少部分 (20%) 非符號優先教學觀點的教師，他 們在課室裡如何能夠藉由情境來診斷及澄清學生的代數學習困難(例如等式意 義不清) ，以幫助學生建構完整的代數意義。這些研究問題值得進一步探究。

顯靈i蓮持滋躇舖蟬嘉措揖聞欄區別卸 j廿三月靈丹

127

劉家棒、梅凱琳、許鐘玉

參考文獻

方吉正(1 998 )。教師信念研究之回顧與整合 六種研究取向。教育資料與研究，

20 '

36-44 。

[Fung

,

1.-Z.

(1

998). Review and synthesis on teacher belief-Six research approaches. Journal

ofEducational Resources and Research

,

20

,

36-44.]

林宏仁 (2003 )。國小教師數學教學信念及其教學評估之研究:以高年級學生分數概

念學習表現為例。屏東縣:國立屏東教育大學。

[L血，

H.-R. (2003). Elementary school teachers' teaching

beliφ and

their teaching

evaluation: Using upper graders' learning of fraction concepts as an

叫ample.

PingTung

,

Taiwan: National Pingtung University ofEducation.]

林業泰 (2004 )。國小教師對高年級學生分數概念的暸解。臺北市:國立臺北教育大 學。

[Lin

,

Y.-T.

(2004). Elementary school teachers' understanding ofupper graders 'performance

on}去'action

concepts. Taipei

,

Taiwan: National Taipei University ofEducation.]

邱皓政 (2002 )。量化研究與統計分析一-SPSS中文視窗版資料分析範例解析。臺北

市:五南。

[Chou

,

H.-Z. (2002). Quantitative research and statistics analysis-SPSS Chinese windows

data analysis examples.

Taip剖，

Taiwan: Wu-Nan.]

教育部 (2003 )。九年一貫課程數學領域綱要。臺北市:作者。

[Ministry ofEducation (2003). Grade 1-9 curriculum guidelines.

Tai悶，

Taiwan: Author.]

黃幸美 (2000 )。教師的數學教學知識與其對兒章數學知識認知之探討。教育與，[;-理

研究季刊，

23

(1 ) ,

73-98 。

[Huang

,

H.

-M. (2000). Teachers' mathematical knowledge for teachign and its influence on

children's cognition of mathematics knowledge. Education

&

Psyhcology Research

,

23

(1),

73-98.]

黃明瑩 (2000 )。探討幾何問題中的情境及相關鹽因對解題影響之研究 O 臺北市:國

立臺灣師範大學。

個U組g，

M.-

I.

(2000). Investigating the

i~月uence

ofproblem contexts and

related}的ors

on

students' problem solving

p。而rmance. Taip剖，

Taiwan: National Taiwan Normal

University. ]