通訊作者：袁媛，e-mail：yuanyuan@mail.ntcu.edu.tw 收稿：2020 年 9 月 14 日；
接受刊登：2020 年 10 月 23 日。
蔡曉回、袁媛（2020）。
國小二年級學生在古氏積木、錢幣、櫻桃表徵物問題下的位值概念研究。
臺灣數學教育期刊，7（2），25-44。
doi: 10.6278/tjme.202010_7(2).002
國小二年級學生在古氏積木、錢幣、櫻桃表徵物問題下的 位值概念研究
蔡曉回1 袁媛2
1桃園市中壢區中平國民小學
2國立臺中教育大學數學教育系
本研究以桃園市與新北市四所國小之 431 位二年級學生為研究對象，並以自編的位值概念測驗
（個位問題18 題，十位問題 18 題）為研究工具，探討二年級學生在三種表徵物（古氏積木、
錢幣與櫻桃）問題下的位值概念發展及表現。根據學生的測驗結果，本研究將題目依難易度排 序後，以通過個位、十位題目之五分之四為判斷通過的標準，將學生的位值發展分為三個層次：
（一）渾沌期；（二）建構期；（三）理解期，接著以變異數分析考驗學生在不同表徵物問題表現 的差異。本研究的主要發現為：（一）63.6%的國小二年級學生已建構二位數位值概念，達層次 三「理解期」，24.6%的學生在「建構期」，而 11.8%的學生還在層次一「渾沌期」；（二）學生在 三種表徵物的個位問題並未出現表現差異，但在十位問題上，錢幣表徵問題的表現優於古氏積 木表徵，且古氏積木表徵優於櫻桃表徵；（三）學生在非例行性十進位及一個一個數的十位問題 表現不如例行性十進位問題。
關鍵字：古氏積木、位值概念、表徵、例行性十進位
Corresponding author：Yuan Yuan，e-mail：yuanyuan@mail.ntcu.edu.tw Received：14 September 2020;
Accepted：23 October 2020.
Tsai, H. H., & Yuan, Y. (2020).
Second graders’ concepts of place value represented by problems involving cuisenaire rods, coins, and cherries.
Taiwan Journal of Mathematics Education, 7(2), 25-44.
doi: 10.6278/tjme.202010_7(2).002
Second Graders’ Concepts of Place Value Represented by Problems Involving Cuisenaire Rods, Coins, and Cherries
Hsiao-Hui Tsai 1 Yuan Yuan 2
1 Chung-Ping Elementary School, Taoyuan
2 Department of Mathematics Education, National Taichung University of Education
The objective of this study was to examine students’ developmental levels and performance in relation to the topic of place value. Accordingly, questions featuring three mathematical representations were used: cuisenaire rods, coins, and cherries. A total of 431 second-grade students were enrolled from four elementary schools in Taoyuan and New Taipei City. The research tool was a self-developed test with 18 questions on place value for units and tens. On the basis of the students’ test results, questions were sorted according to difficulty, and four-fifths of the questions on ones and tens were used as the criteria to create three levels for classifying students’ development in relation to place value: chaos level, construction level, and understanding level. The main findings of this study are outlined as follows: (1) 64.6% of the second-year elementary school students constructed a two-digit place value concept and reached the “understanding level,” 24.6% were at the “construction level,” and 11.8% remained at the
“chaotic level.” (2) No differences existed in students’ performance in the three representations of the problems involving units. However, on the problems involving tens, students performed better in the coin representation problem than they did in the cuisenaire rods representation and better in the cuisenaire rods representation than they did in the cherry representation. (3) For problems involving tens, students performed better in problems represented in routine manners than in non-routine and one- by-one representations.
Keyword: Cuisenaire rods, Place value, Representation, Canonical base 10
壹、緒論
一、研究動機
數與量的概念在國小數學教育中非常重要，兒童在此階段需要養成對數概念的理解，也要 培養演算的能力（教育部，2018）。數概念是抽象的，它是由數符號與位值所組成，才能讓 0-9 的數碼（digit）延伸形成二位數、三位數、多位數……等。對初學數概念的兒童而言，清楚明白 位值概念非常關鍵（Chan, Au, & Tang, 2014; Chan & Ho, 2010），且研究指出兒童對於位值概念 的理解能預測其算術表現（Ho & Cheng, 1997; Laski, Schiffman, Shen, & Vasilyeva, 2016; Moeller, Pixner, Zuber, Kaufmann, & Nuerk, 2011），更有學者指出兒童的位值概念能預測早期的數學成就
（Chan et al., 2014; Miura & Okamoto, 1989），Wong（2018）也研究發現一年級兒童對整數的數 量和位值的理解，會影響四年級理解分數和小數的知識。由此可知，位值的理解對於國小兒童 學習數學乃是重要的基石。
綜觀近年以位值為主題的研究內容，學者主要探討提升學生位值概念的方法，以及學童對 位值的理解與未來數學成就的關係（Chan, Au, Lau, & Tang, 2017; Dietrich, Huber, Dackermann, Moeller, & Fischer, 2016; Fraivillig, 2018; Laski, Ermakova, & Vasilyeva, 2014; Laski et al., 2016; Mix, Prather, Smith, & Stockton, 2014; Moeller et al., 2011; Wong, 2018），也有一些研究者使用不同的教 具教學介入，以探究其對學生學習表現的影響。例如：Mix, Smith, Stockton, Cheng 與 Barterian
（2016）發現 7 歲兒童在學習數的位值概念時，符號式的教學方式適合高能力學生，而積木呈 現的教學方式則適合低能力學生；許舒淳（2013）研究一年級低成就學生在不同虛擬教具教學 下的進步情形，結果顯示虛擬積木組的學生進步效果比虛擬錢幣組好。教具、圖片是作為連結 抽象概念的表徵，可以幫助學生建立數學符號和意義間的連結（Uttal, O’Doherty, Newland, Hand,
& DeLoache, 2009）。由上述研究結果可知，使用不同的教具表徵進行教學，對學生的學習表現 有不同的影響。
教師在進行位值概念的教學時，常使用兩類型教具，一是成比例教具，例如古氏積木、櫻 桃、糖果；二是不成比例的教具，例如錢幣。然而這兩類教具中又可細分出具有十進位結構者，
如古氏積木與錢幣；以及不具十進位結構者，如櫻桃與糖果。傳統上認為具有十進位結構且成 比例的古氏積木，較容易透過教具的操作讓學生明白十進位的位值意涵，不成比例的錢幣則對 學生來說較為抽象（周筱亭，1987）。而生活中常見的具體實物，雖不具十進位結構且成比例，
也被認為是對學生來說較為親切且易於理解的教具。然袁媛、陳國龍和林秀卿（2017）發現低 年級學生在以錢幣與雞蛋表徵的位值概念問題上表現最好，反而在以古氏積木呈現的位值問題 表現較差，顯然對學生來說以錢幣與雞蛋呈現的位值問題較古氏積木表徵簡單。不過在確認此 研究結果前，尚有部分需釐清的地方，例如，該研究所使用的位值概念測驗中，個位、十位題數
不對等、三種問題表徵物呈現順序對結果的影響未加以考量，以及研究設計中的雞蛋表徵存在 可能的十進位結構等，所以獲得學生在錢幣與雞蛋表徵問題的表現比古氏積木好的這個結論，
可能仍需再做確認。考量上述問題，本研究擬重新編修位值概念測驗、修正研究設計的方法，
並以非十單位結構的櫻桃表徵取代雞蛋，以檢視不同表徵物問題對兒童位值概念表現的影響。
二、研究目的與待答問題
根據研究動機，本研究擬發展位值概念的測驗工具，分析學生的作答表現結果，以此評估 二年級學生的位值概念層次發展，並探討學生在不同表徵的位值概念問題表現是否有差異。依 據此研究目的，本研究提出具體問題有二：
（一）國小二年級學生的位值概念層次發展為何？
（二）國小二年級學生在古氏積木、錢幣與櫻桃表徵物問題的位值概念表現差異為何？
貳、文獻探討
一、位值概念的數學意涵與兒童位值概念的發展
國小數學基礎教育中，數與量的內容佔了很大的比例，代表數概念是國小數學教育的重點。
數概念是抽象的，它是由約定俗成的數符號，也就是計數系統（numeration system）來表徵數字 的值。計數系統具有四個特性，分別是位置性質、十進性質、乘法性質、加法性質（Ross, 1989）。 因此，位值概念既是計數系統的特性，也是記錄及書寫多位數字的規則（Saxton & Cakir, 2006）。 位值，是指多位數字中每個數碼的值，為它的面值（face value）和其所在十進位位值單位 的乘積所決定（Miura & Okamoto, 2003; Price, 2001）。例如，「89」中 8 所在位置的單位是十位，
因此其位值是 8 和 10 的乘積，即 80。位值概念看似簡單，實則不然，理解位值代表要釐清數 詞、計數符號與數表徵之間的關係。在數概念建立的歷程中，學生一開始視所有數字為一整體，
之後逐步建構成以10 為一單位的內在表徵，接著重複此步驟，依序往上建構百位、千位……等 多位數概念結構（Fuson, 1990; Rogers, 2012; Thomas, 2004）。除此之外，學生還需要理解十進位 系統中，每個數碼的位值單位都是它右邊單位的十倍，此為計數系統中的倍數關係。位值也是 連結數概念與數符號之間的概念，數符號表徵數值的方式有數詞及計數符號。數詞，也就是口 語表達的數量單位，在中文系統中有個、十、百、千……，當我們說七千時，即可知道數量；而 數字的計數符號則會以7000 來表示，在 7 的後面補上三個零，零在個位、十位、百位的位置中 做為佔位符（place holders）。另外，我們也會使用具體物來表徵數值，能夠連結這些表徵數字的 符號和其組成結構，即能清楚理解位值概念（Hiebert & Wearne, 1992）。
1970 和 1980 年代，許多探究兒童如何發展數字系統與二位數位值概念的文獻紛紛出爐。
Kamii（1986）以皮亞傑的理論來檢視兒童位值概念的發展，皮亞傑認為數概念屬於邏輯數學知 識（logico-mathematical knowledge），此知識為兒童在心中建立對概念的理解，非直觀而得。所 以兒童之所以有學習位值概念的困難，肇因於反思抽象（reflective abstraction）的能力不同，也 就是人們在心中對數學概念所建構的意義各有不同。於是 Kamii 根據此理論對兒童進行研究，
他請兒童以十個一數的方式來數塑膠片，結果兒童有四種反應，分別為：層次一，兒童不懂十 個一數；層次二，兒童可以十個一數，但無法保留整體數的概念（認為70 個塑膠片的數量為 7）； 層次三，仍以一個一個數的方式來數十；層次四，可以十個一數，並保留對數字整體的概念。
Ross（1986）認為數字的部分與全體關係（part-whole relationship）是理解位值的先決條件，他 對60 位國小二到五年級的學生（每個年級 15 位學生）做了一系列測驗，並提出兒童位值概念 發展的五個階段：階段一，學生只認識數字的整體；階段二，學生可以分別十位與個位的位置；
階段三，學生認為十位的數碼就是數字的值，即為面值；階段四，學生可以區分個位、十位的數 值意涵，但卻不穩固；階段五，學生已能區分個位、十位的數值，且能以多樣的方式呈現數值。
有鑑於英文和華語數詞表達的差異，對數的兩階結構之表達有不同，例如：英文中「三十五」的 十位數詞讀法（thirty）無法直接像華語數詞（三十）能連結十進位結構，這樣文化環境差異下 兒童的位值概念發展是否有所不同，值得進一步探討。
目前，以我國低年級兒童位值概念發展為主的研究顯示，學童對十位位值概念的掌握尚不 穩固。羅素貞（2005）以高屏地區國小一到三年級學生為研究對象，發現二年級學生對於指認
「個位」數值已十分熟悉，但只有 60%的學生成功指認「十位」數值。袁媛等人（2017）以自 編的位值測驗，檢測桃園市國小一、二年級學生之二位數位值概念發展，其中只有 50%的二年 級學生已達理解個位、十位的階段。由於低年級為建立基礎數概念的關鍵期，課程內容也多著 墨於位值概念的建立，但學生十位位值概念的建立並不理想。
二、表徵物與數學學習表現的關係
表徵為人們溝通數學概念的橋樑，教師為了讓學生學習以抽象符號運思數學概念，會使用 不同的表徵進行教學，如具體物、符號、圖畫、表格……等。過去許多研究也顯示，表徵的運用 及教學使用可能影響學生的學習。例如：黃一泓和謝進泰（2016）研究發現在透過基準量及比 較量關係進行解題時，學生在成比例線段圖的解題表現會優於長度線段圖（圖1）；Schiffman 與 Laski（2018）研究 29 位 6 歲左右的幼稚園學生，分別以不規則排列表徵與線性排列表徵教導學 生數量關係（圖2），結果顯示使用線性排列表徵學習的學生在加法問題的解題正確率提高。因 此，表徵物的使用及教學是會影響學生的學習及表現的。
圖1 長度線段圖與成比例線段圖呈現問題的方式
圖 2 兩種不同的表徵(a)不規則排列的表徵(b)線性排列的表徵。引自”Materials count: Linear- spatial materials improve young children's addition strategies and accuracy, irregular arrays don't,” by J. Schiffman and E. V. Laski, 2018, Plos One, 13(12), p.4.
根據目前課程綱要及學校數學教材的內容安排，國小低年級學生需理解位值結構與單位換 算。教師以及教科書在引導低年級學生數數，以及學習一百以內數的位值概念時，常使用冰棒 棍、豆子、古氏積木與錢幣等表徵物做教學。根據這些表徵物的性質，我們可將其分為成比例 與不成比例的表徵兩類。這些表徵物對於兒童學習位值概念都十分重要，若兒童能以豐富且抽 象的方式理解數概念，代表能整合不同表徵之間的關係，從而彈性的解決問題。成比例的表徵 物即為數量和表徵的大小有比例關係，舉櫻桃為例，10 顆櫻桃組成的大小是 1 顆櫻桃的十倍，
所以屬於成比例的表徵物。而不成比例的表徵物則沒有按比例來分數量大小，如錢幣，十元錢 幣和一元錢幣的大小之間沒有 10 倍差距。在九年一貫課程能力指標中（教育部，2009），低年 級數學有強調錢幣的換算，代表不成比例教具在位值理解上的重要性。不只如此，錢幣也是生 活中常見的物品，相關研究指出，使用生活情境的問題或具體物能幫助學生解決數學問題、理 解數學概念（Baranes, Perry, & Stigler, 1989; Carraher, Carraher, & Schliemann, 1985）。
在學校中，古氏積木中的「一和十」是最常使用作為位值概念教學的成比例教具，它含有 十進位結構，白色正方體小積木代表「一」、長條橘色棒子可以看到劃分成十等分的線條，代表
「十」。透過古氏積木所呈現的位值概念，可以讓兒童明白數系統，古氏積木成比例的特性也能 讓兒童明白數系統中的十進位性質（Chan et al., 2017; Hiebert & Carpenter, 1992）。然而，已具備
高層次抽象概念的教師，可以同時明白長條橘色棒子表徵「1 個十」也是「10 個一」，但兒童還 沒建立這樣的概念以前，無法同時並存這兩種想法（Baroody, 1989; Kamii & Housman, 2000）。
若教師在教學時，沒有仔細引導兒童建立此概念，可能會讓兒童處在面值（face value）階段，
即以數字表面的值來理解數字。然而只要運用得當，古氏積木可以是強而有力的支持性表徵，
引導學生思考數符號結構間的關聯，從而建立堅實的表徵系統（Fuson & Briars,1990）。
袁媛等人（2017）以低年級學生為對象，使用 Ross（1986）所區分的三種數字排列方式設 計位值概念測驗，並分別以古氏積木、錢幣與雞蛋三種表徵物呈現問題，分析一、二年級學生 的位值發展現況並予以分類，並比較學生在此三種表徵物問題下的表現差異。其結果發現，大 部分的一年級學生尚不理解位值的意涵，而二年級學生只有一半左右具備二位數位值概念。學 生在三種表徵物問題的表現中，錢幣與雞蛋問題沒有差別，但學生在古氏積木問題的表現是最 差的。此研究結果與傳統認知上的並不相同，一般認為古氏積木的問題對學生來說會感到較容 易，因為它具有十進位結構，而且是成比例的表徵物。而學生會在錢幣的位值問題上感到較困 難，是因為錢幣並非成比例的表徵物。由於過去少有這方面的研究，而且此研究設計還有須要 改進的地方，例如，測驗題本沒有經過對抗平衡設計，固定的表徵物問題順序讓學生可能因練 習效應影響表現。其次，該研究所使用的位值概念測驗裡，個位題目只有 9 題，十位題目卻占 了18 題，整整多了一倍，位值題型所占的比重不同，是否會影響學生在不同表徵物問題下的表 現，此有待商榷。此外，該研究測驗中所選擇的雞蛋表徵，因以十為單位呈現仍具有十進位結 構，所以該研究實際尚未探討到非十單位結構的成比例表徵問題對學生概念表現的影響。
基此，本研究擬修正該研究設計上的不足，以驗證不同表徵物問題對學生位值發展的影響。
首先，本研究將測驗工具修正成個位與十位題目各佔一半，以避免位值題目數影響表現。第二，
將測驗以對抗平衡的方式設計，避免所有學生皆先測古氏積木問題，造成表現失準。第三，研 究對象以二年級學生為主，是因二年級在個位與十位位值學習的時間較長，且作答較穩定，不 易有漏答的情形，造成樣本數的缺失。本研究以櫻桃表徵和古氏積木與錢幣表徵物做比較，主 要是想藉由研究設計的修正，探究非十單位結構表徵物問題對學生位值表現的影響。先前袁媛 等人（2017）的研究結果顯示，學生在雞蛋問題的表現優於古氏積木問題，可能是因雞蛋在生 活中會以十為單位結構做包裝，此特性就如內建的十進位結構，讓學生在作答時感到較容易。
若將非十單位結構的櫻桃加入問題，與古氏積木、錢幣問題作對照，可以拓展不同表徵物問題 影響學生位值概念表現的研究。
參、研究方法
一、研究對象
本研究主要係修正袁媛等人（2017）先前的研究設計，再次檢驗國小二年級學生的位值概 念，考量接受施測者的配合度及與先前研究對象的地區相似度，本研究以方便取樣方式選擇481 位二年級學生作為研究對象。抽樣的學生來自四所國小，其中三所桃園市八德區的國小，各抽4 個班級，合計共311 位學生。另外一所為新北市三峽區的國小，抽樣 7 個班級，共 170 位學生。
新北市三峽區的國小鄰近桃園市八德區，四所皆為市郊小學，住商混合，班級人數在25～29 人 之間。
二、研究工具
為收集學生的位值概念表現，本研究編修位值概念測驗工具，以下針對位值概念測驗之編 製內容及計分方式進行說明。
（一）位值概念測驗
本研究所編製的「位值概念測驗」修正自袁媛等人（2017）的位值概念測驗，在原來的 27 題測驗中，再增加9 題個位題目，讓個位與十位題目都占 18 題，以平衡測驗的題型。測驗經修 訂後請專家審核並進行預試，最後測驗題目共 36 題，其中 12 題為「古氏積木」、12 題為「錢 幣」、12 題為「櫻桃」。本研究的位值概念測驗內容架構表，見表 1。每種表徵物測驗都有 6 題 個位題目與6 題十位題目，個位題目的數字表徵形式皆為「一個一個數」，而十位題目的數字表 徵形式是根據Ross（1986）的分類，分為「一個一個數」、「例行性十進位」和「非例行性十進位」。 表1
位值概念測驗內容架構表
表徵類型 位值 表徵物 題號 題數
一個一個數
(one-to-one collection)
個位 古氏積木 1, 3, 5, 7, 9, 11 18 錢幣 13, 16, 19, 21, 23, 24
櫻桃 25, 28, 30, 31, 33, 35 一個一個數
(one-to-one collection)
十位 古氏積木 4, 8 18
錢幣 17, 20 櫻桃 27, 32 例行性十進位
(canonical base 10)
古氏積木 2, 12 錢幣 14, 18 櫻桃 26, 34 非例行性十進位
(noncanonical base 10)
古氏積木 6, 10 錢幣 15, 22 櫻桃 29, 36
為建立測驗工具的專家效度，本研究另邀請二位任職於國小的低年級教師針對位值概念測 驗內容進行檢核，主要針對各問題是否符合表 1 的內容架構進行確認及各問題選項的設計進行 修正，例如：將非 1 個的各群數降低至 5 個以下，以避免因數數而造成的解題困難。以下就「古 氏積木」、「錢幣」、「櫻桃」三種表徵物，說明十位題目的三種題型。
1. 古氏積木表徵物題目（測驗第 1 題）
2. 錢幣表徵物題目（測驗第 13 題）
3. 櫻桃表徵物題目（測驗第 25 題）
以下以「古氏積木表徵」來舉例十位題目中數字的三種呈現方式（錢幣與櫻桃表徵的呈現 方式雷同）：
1. 一個一個數：如第 4 題的第 4 個選項所示，20 個積木是一個一個排列。
2. 例行性十進位表徵：如第 2 題的第 4 個選項所示，30 個積木是以 10 個積木為一條，共 3 條 積木來排列的，以此稱為例行性十進位表徵，因其呈現方式和十進位位值相同。
3. 非例行性十進位表徵：如第 6 題的第 2 個選項所示，10 個積木是以兩條 5 個積木來排列，此 排列方式迥異於十進位呈現方式，故稱為非例行性十進位表徵。
（二）計分方式及發展層次判定
位值概念測驗共36 題，答對一題一分，滿分為 36 分。根據兒童在二位數位值概念的發展，
兒童是先發展個位位值，再發展十位位值，因此本研究依據先前文獻（袁媛等人，2017），也將 學生在個位及十位問題的表現分為三個層次。未通過15 題以上個位與十位問題的學生，屬於層 次一「渾沌期」：兒童不理解數字中個別數碼的實質意義；通過 15 題以上個位題，卻沒有達到 十位問題標準的學生，屬於層次二「建構期」: 兒童已理解個位數值的意涵，但尚不清楚十位與 個位數值的差別；皆通過15 題以上個位與十位問題的學生，屬於層次三「理解期」: 兒童已建 構二位數概念結構，清楚明瞭個位與十位在二位數字中的意義。
（三）位值概念測驗的預試與修正
本測驗於2019 年 1 月以桃園市中壢區三個二年級班級共 86 位學生進行預試，回收有效樣 本數為72 位，並以內部一致性係數（Cronbach Alpha）進行信度分析。「古氏積木」題目信度值 為 .86；「錢幣」題目信度值為 .87；「櫻桃」題目信度值為 .87。而在「個位」題目的信度值為 .93；
「十位」題目的信度值為 .97。整份測驗的信度係數值達 .95。吳明隆（2013）指出研究工具的 內部一致性估計值須達 .80 以上，才普遍被接受，因此本測驗工具預試結果的信度值佳。
由於測驗問題內容相似，但只在表徵物上的不同，因此本研究在施測時，將測驗的編排以 對抗平衡方式呈現，即將「古氏積木」、「錢幣」與「櫻桃」題型做成三種順序的測驗卷，並將不 同順序的測驗題本以不同顏色區分，平均發給施測學生，以避免問題呈現的先後順序出現練習 效應而影響表現。
1. A 卷順序（黃卷）：「古氏積木」—「錢幣」—「櫻桃」
2. B 卷順序（藍卷）：「錢幣」—「櫻桃」—「古氏積木」
3. C 卷順序（粉卷）：「櫻桃」—「古氏積木」—「錢幣」
三、施測程序
本研究於 2019 年 4 月底到 5 月初之間進行正式施測，施測前研究者與班級導師說明測驗實 施方式，並由該班導師協助施測，所有接受測驗的學生均在取得測驗卷後兩個星期內完成。測 驗實施時，導師依班級座位排數，一排發一種考卷（A 卷、B 卷或 C 卷），若有餘剩的學生，
則用抽籤來決定何種考卷。學生作答前，老師先說明測驗指導語：「各位小朋友，在這份測驗中 的每一個問題中都會有一個數字，你需要把題目中要你選出的答案填在（ ）中，例如：12 這 個數字中的 1（老師指著數字並圈起來）代表多少？請你把正確的答案寫在（ ）中。有沒有問 題？」在確認學生了解意思後，接著讓學生開始作答，大部分學生均能在 20 分鐘內做完，若未 做完仍給了學生充分時間做答，因此受測學生均有充足的時間做答。
四、資料蒐集與分析
在聯繫學校同意後，共計有四所國小 19 個二年級班級中的 481 位學生接受測驗，經扣除特 殊學生及有漏答的廢卷後，共計回收有效樣本數為 431 份，其中 A 卷有 147 份、B 卷有 145 份、
C 卷有 139 份。研究者回收位值概念測驗後，將學生的答案鍵入 Excel 檔案中，並以資料轉換的 方式算出學生的得分，先以描述性統計呈現學生在各試題的答題表現，據以判定學生的二位數 位值概念發展層次。再依學生在三種不同表徵物問題的得分表現進行相依樣本變異數分析，以 考驗學生在三種問題表徵物問題的表現是否有顯著的差異。
肆、研究結果與討論
一、二年級學生的位值概念發展
本節以描述性統計說明二年級學生在位值概念測驗的作答結果與位值概念發展狀況。
（一）二年級學生的測驗結果
接受施測的學生共計481位，去除特殊學生及有漏答的廢卷後，共計有效樣本數為431位，
學生在36題測驗的答對率，見表2。從表2可知，學生在個位題目的答對率範圍是88.6%至96.1%，
平均答對率為92.8%；十位題目的答對率範圍是65.7%至80.5%，平均答對率為70.0%。從學生在 個位問題及十位問題的各題答對率可看出，每一個個位問題的答對率均高於十位問題，顯見個 位問題對學生而言比十位問題簡單。
表2
二年級學生在位值概念測驗上的答對率 個位問題 古氏積木
題號 1 3 5 7 9 11
答對率 93.3% 92.6% 91.2% 93.7% 92.8% 88.6%
錢幣
題號 13 16 19 21 23 24
答對率 91.9% 91.9% 90.0% 96.1% 91.9% 94.4%
櫻桃
題號 25 28 30 31 33 35
答對率 90.5% 93.7% 94.4% 94.4% 95.8% 92.8%
十位問題 古氏積木
題號 4 8 2 12 6 10
答對率 69.4% 66.6% 71.7% 71.2% 68.4% 69.1%
錢幣
題號 17 20 14 18 15 22
答對率 71.2% 71.9% 77.7% 80.5% 71.2% 68.0%
櫻桃
題號 27 32 26 34 29 36
答對率 67.7% 66.6% 66.1% 65.7% 68.9% 68.2%
（二）二年級學生的位值概念發展層次
為了解目前國小二年級學生在個位、十位位值概念的發展情形，本研究依據學生在位值概 念測驗試題的表現情形做位值概念層次的分類。位值概念測驗共分兩類題目：18題個位問題及 18題十位問題。首先，研究者以題目數的五分之四（80%）為通過標準（Usiskin, 1982），分別 探討二年級學生在個位與十位問題上的發展情形，並將學生分為三個發展層次。未通過15題以 上個位與十位問題的學生，屬於層次一「渾沌期」；通過15題以上個位題，卻沒有達到十位問題 標準的學生，屬於層次二「建構期」；皆通過15題以上個位與十位問題的學生，屬於層次三「理 解期」。從這個層次分類的標準中，可以知道達到層次三的學生只能在十位問題中錯3題以內，
因此這些學生在十位題目的三種表徵形式（一個一個數、例行性十進位和非例行性十進位）已 能掌握及了解。
在分析樣本資料的過程中，發現其中有四位學生通過十位位值題目的標準，卻沒通過個位 位值題目的標準。詳細查看這四位學生的作答狀況，發現其中一位答對全部的積木問題與錢幣 問題，唯獨答錯櫻桃問題中的個位題目，另一位答錯位值概念測驗中所有的個位題目。剩下的 兩位學生分別答錯了五題與八題個位位值題目，檢查這兩位學生的選擇的答案皆是以群集作為 單位數量，無法分清楚位值意涵。舉例來說，學生認為36中的6代表6條以5為單位的積木所組成。
就如同Kamii（1986）所說的，無法分割10與1個概念。也處在Ross（1989）提出的「建構期」中，
面對「十」與「一」的概念還是暫時性的，容易因外在物的不同而混淆觀念。綜觀這四位學生的 作答情形，發現學生雖然只答錯2題十位位值題目，卻在個位位值題目上出現混淆的情形。因此，
研究者將這四位學生歸類為層次一，尚不理解個位與十位位值。431位二年級學生中，屬於層次 三「理解期」的學生有274位，占63.6%；層次二「建構期」的學生數為106位，占24.6%；層次 一「渾沌期」的學生數有51位，占11.8%。二年級學生位值概念的層次百分比，見表3。
表3
二年級學生位值概念發展層次之次數與百分比
層次 次數 百分比 累計百分比
層次一 渾沌期 51 11.8% 11.8%
層次二 建構期 106 24.6% 36.4%
層次三 理解期 274 63.6% 100.0%
Ross（1989）發現二年級學生答對6題數字對應測驗題目的人數為0，沒有答對任何一題的人 數為8人（總人數15人），占53.33%。與本研究相比，我國二年級學生的位值概念發展比該研究 的學生（美國加州）好。這有可能如Miura與Okamoto（1989）所述，亞洲語系兒童因數字語言 與十進位結構相仿，所以學生在學習位值時較能得心應手。袁媛等人（2017）發現二年級學生 約半數達到層次三，本研究一開始也是以答對題目的80%作為通過標準，而二年級學生達到層次 三的有63.6%，略高於袁媛等人的研究結果。由於後者的研究對象有較多的新住民與原住民學生
（約十分之一），而本研究對象雖為同地區學校之學生，然新住民學生身份比例較少（每班1～
2人），因此可能造成表現上的差異。另一方面，兩個研究的施測時間點也有不同，袁媛等人的 研究收集資料在4月初，而本研究在4月底至5月初，因二年級學生在課程安排上也正加強學習數 的位值概念建立，一個月左右的時間差也可能造成兩次測驗結果略有不同。
二、二年級學生在三種表徵物問題上的表現差異
（一）學生在三種表徵物問題上的表現差異
二年級學生在三種表徵物問題表現上的描述性統計與變異數分析摘要表，詳見表4。學生在 古氏積木問題的平均得分為9.69（標準差SD = 3.05）；錢幣問題的平均得分為9.97（SD = 2.83）；
櫻桃問題的平均得分為9.65（SD = 2.88）。為了進一步了解三種表徵物問題的差異情形，以重複 量數變異數分析檢定三種表徵物問題平均分數上的差異顯著性，結果F(2 , 860) = 11.53，p < .001，
2 = .03，代表三種表徵物問題的平均數之間有顯著差異存在。以Scheffe法進行事後比較，發現 國小二年級學生在古氏積木問題的平均得分與櫻桃問題無顯著差異，而兩者得分均顯著低於錢 幣問題。
表4
三種表徵物問題之變異數分析摘要表
測驗項目 平均數（M） 標準差（SD） F值 事後比較
1.古氏積木問題 9.69 3.05
11.53*** 2 > 1 = 3
2.錢幣問題 9.97 2.83
3.櫻桃問題 9.65 2.88
*** p < .001
袁媛等人（2017）發現低年級學生在錢幣問題的表現比古氏積木問題佳，原本研究者認為 可能是因題本設計的順序影響學生的作答表現，然而經過修改測驗表徵物問題的呈現順序並隨 機配發試卷後，仍然發現學生在錢幣問題上的表現比古氏積木佳，代表錢幣問題較簡單。錢幣 屬於生活上常見的物品，學生可能有相關的經驗，所以會在問題情境中有較佳的表現（Baranes et al., 1989; Carraher et al., 1985），而古氏積木並非生活上常見的物品，且Cobb（1987）認為這 些教具並不會自動傳遞數學概念，所以學生將此表徵內化的過程可能需要花較長的時間。本研 究將袁媛等人所使用的雞蛋表徵改成櫻桃表徵後，結果發現其表現比錢幣問題差，然雞蛋問題 在袁媛等人的研究中是和錢幣問題沒有差別的，推測會有這樣的差異結果，可能因為雞蛋是生 活中的常見實物，且在該研究中試題的呈現具有十單位結構所致。
（二）十位題目中三種表徵物問題之表現差異
依據位值概念測驗內容架構表，本研究進一步將測驗問題分為個位題目與十位題目來分析。
學生在三種表徵物問題的個位題目上並無統計考驗之差異。然在十位題目中，三種表徵物問題 之統計考驗則有差異，其描述性統計與變異數分析摘要表，詳見表5。學生在古氏積木問題的平 均得分為4.16（SD = 2.46）；錢幣問題的平均得分為4.41（SD = 2.28）；櫻桃問題的平均得分為4.03
（SD = 2.42）。以重複量數變異數分析，考驗三種表徵物問題平均數的差異顯著性，結果F(2, 860)
= 21.55，p < .001，2＝.05，顯示在十位題目中三種表徵物問題的平均數之間有顯著差異存在。
隨後以Scheffe法進行事後比較，發現國小二年級學生在位值概念測驗中的十位題目中，錢幣問 題表現最佳，其次為古氏積木問題，櫻桃問題表現最差。
表5
十位題目之三種表徵物問題之變異數分析摘要表
測驗項目（十位） 平均數（M） 標準差（SD） F值 事後比較
1.古氏積木問題 4.16 2.46
21.55*** 2 > 1 > 3
2.錢幣問題 4.41 2.28
3.櫻桃問題 4.03 2.42
*** p < .001
本研究進一步探討學生在何種問題上受到表徵物影響，結果在例行性十進位題目中出現錢 幣問題優於古氏積木，且古氏積木問題優於櫻桃問題的現象，F(2, 860) = 47.78，p < .001，2
= .10。學生在十位題中的一個一個數題目上，則是錢幣問題表現最優異，古氏積木與櫻桃問題 沒有表現上的差異，F(2, 860) = 6.12，p = .002，2 = .01。而學生在十位問題中的非例行性題目 上，則是三種表徵物均沒有出現差異。另外，學生在例行性十進位的題目表現上比一個一個數 以及非例行性十進位的題目好，然而一個一個數與非例行性十進位題目兩者之間沒有差異，F(2, 860) = 13.67，p < .001，2 = .03。
林晉如（2006）曾以一年級學生為對象，請學生觀察以例行性排列的糖果、古氏積木與錢 幣，並回答數量是多少、有幾個十、幾個一。結果學生在錢幣上的正確率最高，古氏積木次之，
糖果最差。林晉如認為是因錢幣有明顯的「十」可供觀察，所以學生在回答有幾個十的時候，較 容易反應。本研究結果顯示二年級學生在例行性十進位與一個一個數的錢幣問題上表現最好，
有可能是當學生具有十位位值的概念時，例行性排列的錢幣問題會以清楚可辨識的1個十呈現在 學生眼前，學生內心不再需要將10個一湊成1個十來回答問題，直觀便能正確反應。而一個一個 數的錢幣問題，則是1元硬幣的組合，學生在此問題形式上有好表現，可能是因生活上常有數錢 的經驗所致。學生在例行性十進位的古氏積木問題表現比櫻桃問題優異，然而在一個一個數以 及非例行性十進位的題目上，兩種表徵並沒有出現任何差異。因課本及學校教學的學具使用，
學生多很熟悉例行性排列的古氏積木形式，而且也可以藉由此種排列的方式選擇正確的位值。
但是沒有十單位結構的櫻桃，就算排列方式是例行性的，學生仍感到較困難。低年級學生在例 行性十進位的題目中表現比非例行性以及一個一個數的題目佳，表示學生習慣例行性的數字排 列方式。
本研究發現學生在三種表徵的例行性十進問題表現有差異，但非例行性表現差異未顯著。
可能因為題目設計中知覺干擾的因素，例如非例行性的積木表徵中，「十」並不是以一個「十」
的積木加以表徵，而是由二個「五」表徵之，其中包含了知覺線索上的干擾，增加了學生的認知 負荷；而錢幣以非例行性十進位方式排列時，學生的表現也沒有和其他兩種表徵有差異，這顯 示非例行性的問題仍是學生不熟的數表現方式。
伍、結論與建議
一、結論
（一）六成以上的國小二年級學生已能掌握十位數字的意義，並能正確選出代表其數值的不同 表徵形式
本研究的研究對象在接受測驗之時，已學習到百位位值，本研究在分類層次是以通過 80%
的題目數為標準，其中有 63.6%的學生已經達到層次三「理解期」，這些學生只能在十位問題中
錯 3 個問題以內，在十位問題的三種表徵形式（一個一個數、例行性十進位和非例行性十進位）
多能掌握，顯見其位值概念清楚穩固。
（二）二年級學生在錢幣表徵物問題上有最佳的表現
在三種表徵物問題中，本研究發現二年級學生較能掌握不成比例的錢幣表徵，所以答題正 確率都比古氏積木與櫻桃問題好，而在古氏積木及櫻桃表徵問題上則未有表現上的差異。若進 一步以個位及十位問題分析，則學生在三種表徵的個位問題上並無差異，但十位問題則出現錢 幣問題表現最佳，其次是古氏積木問題，最差則為櫻桃問題，顯示二年級學生在錢幣表徵的位 值問題上有最佳的表現。
（三）學生在例行性十進位櫻桃表徵物問題表現較差
針對十位題目所設計的三種表徵物類型（一個一個數、例行性的十進位及非例行性十進位）
問題，研究結果顯示在非例行性十進位問題上，學生在三種表徵物問題上並未出現差異；在一 個一個數的問題，則是錢幣表徵最好，古氏積木及櫻桃表徵問題並未出現表現差異；在例行性 的十進位問題，則出現錢幣問題表現最佳，其次是古氏積木問題，最差則為櫻桃問題。在 18 個 十位題目中，2 個例行性櫻桃問題（26 題及 34 題）的難度也是所有題目中最難的，顯示例行性 十進位櫻桃表徵是學生最感困難的問題。
（四）學生在非例行性十進位及一個一個數的十位問題表現不如例行性十進位問題
學生較容易回答以例行性十進位排列的問題，然而非例行性十進位以及一個一個數的問題 形式對學生來說較困難。一個一個數的排列方式與非例行性十進位排列方式相似，都不是以十 單位為基準排列，若受到練習影響或仍停留在面值階段的學生，就容易出現這個現象（Ross, 1986），顯示學生不習慣以非例行性十進位及一個一個數的方式表現一個數。
二、建議
（一）位值概念教學需善用及考量表徵物的特性引導學生學習，並強調數值的意涵
本研究發現學生能藉由錢幣的特性順利回答十位的位值問題，而且表現比古氏積木佳。可 能由於十元錢幣是已經將 10 個一換成 1 個十的單位，所以學生不需自行合成十的結構，直接觀 察外顯的十元硬幣即可得知十位位值，而且錢幣也有生活化的優勢。然而對剛學習十位位值的 學生來說，需要先建立 10 個一是 1 個十的概念，但因錢幣是不成比例的表徵物，學生較難以錢 幣理解此數概念，所以還需古氏積木作為搭配。教師可透過古氏積木蘊藏十進位結構的特性，
引導學生理解十位的合成過程，並讓學生將經驗內化後，再以錢幣加強 10 為新單位的概念。
而本研究也發現，學生在櫻桃問題上的表現較差，顯然沒有十單位結構的櫻桃對學生來說 較難以和位值做連結。但位值概念穩固的學生，是能順利回答不管是以古氏積木、錢幣或是櫻
桃來呈現的位值問題。所以，教師在教學時，應著重在引導學生發現數值的意涵，並透過多元 表徵強化此抽象概念，讓學生將位值概念轉化為內在表徵，並能靈活的運用。
（二）教師在做位值教學時可補強非例行性的表徵物排列方式
學生在例行性十進位的題目中有最佳的表現，可是卻不熟悉非例行性的表徵物排列。Price
（2001）指出能以非例行性方式排列數字的學生，其位值概念是良好的。但學校教學所使用的 古氏積木或實物教具，通常為了教學生數字的十進位系統，會強調例行性排列的表徵，練習題 也多以此種型式出現，例如：問 78 有幾個十，幾個一。教科書和教師會傾向強調學生要以例行 性十進位方式呈現，如：7 個十，8 個一，這會無意間讓學生產生迷思，以為數字只有例行性的 表示方式。另外，在一年級數學教材中有「分與合單元」，它是介紹加減法的前置經驗。但它隱 含的概念是數字有多元的組合和分解方式，可惜教材中較強調 10 以內的分與合。所以學生在之 後學到加減法進退位問題等需要以非例行性位值概念思考數字時，就會流於機械式運算。只知 操作卻不知其運算模式是因數字的組合方式多元。所以建議教科書編輯者在編審時，可設計將
「分與合單元」與「位值」教學做融合，讓位值教學不再只強調例行性的表示方式，也讓學生在 學習以分與合為基礎的加減法進退位單元時，能融會貫通數字的多元呈現方式。除此之外，教 師在以多元表徵，如古氏積木、錢幣、花片……等呈現數字時，應注意不要只是強調例行性的 表示方式，也應讓學生理解非例行性的表示方式亦是正確的，避免讓學生產生迷思概念。
（三）未來可進一步探究學生在錢幣表徵物表現較佳的可能原因
本研究以櫻桃、古氏積木及錢幣分別代表成比例不具十進結構、成比例具十進結構、以及 不成比例具十進結構的表徵來探討學生的位值概念，結果發現學生在錢幣表徵的位值問題上有 最佳的表現。但學生為何在錢幣表徵的位值問題上表現較好，是否因為學生有使用錢幣的生活 經驗，或是錢幣的面值表徵清楚（幣面上有 10），或是有其它的可能原因，本研究設計並無法 解釋此原因，此為本研究的限制，未來可以進一步地探究。
誌謝
本研究感謝科技部計畫（MOST 107-2511-H-007-002）經費支助，也同時感謝四所同意參與 研究計畫的老師及學生。
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