100-3 共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 1 頁
100 學年四技二專第三次聯合模擬考試
共同考科 數學(C)卷 詳解
數學(C)卷
100-3-C
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A C C C A D C
B D B A
A
C
D
A
B
B
B
D D B A C
B
D
1. ΔABC的重心 G 坐標為 ) (2,2) 3 4 1 3 , 3 5 2 1 (− + + − + = ∴AG= (−1−2)2+(3−2)2 = 10 2. AB的中點為 ,1) 2 1 ( ) 2 1 3 , 2 2 1 (− + − = ⇒ − = − − − − = 3 4 2 1 ) 1 ( 3 AB m 垂直平分線斜率 4 3 = m ∴ AB 的垂直平分線方程式為 ) 6 8 5 0 2 1 ( 4 3 1= − ⇒ − + = − x x y y 3. 設 、 的夾角為θ ， 2 1 cos 13 3 cos 3 4 2 42+ × × + 2= ⇒ =− ⇒ θ θ ⇒θ=120° 4. ) 2 (3 3) 2 36 27 1 ( = = = − − − a ， 4 1 3 − = b 1 3 1 3 3 1 3 ) 3 ( 27 − − − = = = c ， 2 1 2 1 1 2 1 3 ) 3 ( ) 3 1 ( − − = = = d ∵ 1 2 1 4 1 6>− >− >− ∴ 2 1 1 4 1 6 3 3 3 3 − − − > > > 即a>b>d>c 5. 解為−1<x<3的不等式為(x+1)(x−3)<0 0 3 2 2− − < ⇒x x ，令a=1、b=−2、c=−3 ∴bx2+ax−c<0⇒−2x2+x+3<0 0 ) 1 )( 3 2 ( 0 3 2 2− − > ⇒ − + > ⇒ x x x x 2 3 > ⇒ x 或x<−1 6. ∵ΔABD和ΔBCD的外接圓相同 ∴由正弦定理 ° = = ° 2 sin60 30 sin 6 CD R 2 1 2 3 6 30 sin 60 sin 6 × = ° ° = ⇒ CD =6 3 7. (A) 2 1 30 sin ) 30 5 180 sin( 870 sin °= °× − ° = °= (B) tan1310°=tan(180°×7+50°) =tan50°>tan45°=1(C) cos(−1900°)=cos1900°=cos(180°×11−80°)
=−cos80°<0 (D) 2 1 60 cos 70 cos ) 70 360 cos( 430 cos °= °+ ° = °< °= 且cos70°>0 ∴(C) 最小 8. 如右圖， 的方向角為 ° = ° − ° 60 300 360 又 (∵OA=4) ∴ )) (2, 2 3) 2 3 ( 4 , 2 1 4 ( × × − = − = 9. f(x)=cos2x+2sinx x x) 2sin sin 2 1 ( − 2 + = 1 sin 2 sin 2 2 + + − = x x 1 2 1 ] ) 2 1 ( sin [sin 2 2 − + 2 + + − = x x 2 3 ) 2 1 (sin 2 − 2+ − = x ∴當 2 1 sinx= 時，f(x)有最大值 2 3 = M 當sinx=−1時， f(x)有最小值 m=−2×(−1)2+2×(−1)+1=−3 10. 如右圖，設AD=x 由餘弦定理 ABD
Δ 中的cosB=ΔABC中的cosB
) 8 7 ( 7 2 13 ) 8 7 ( 7 7 7 2 7 72 2 2 2 2 2 + × × − + + = × × − + ⇒ x 7 7 15 105 7 98 2 ± = ⇒ = = − ⇒ x x (−7不合) 11. 設 f(x)=(x2−1)Q(x)+ax+b ⎩ ⎨ ⎧ − = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = + − = + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = − = ⇒ 2 5 7 3 7 ) 1 ( 3 ) 1 ( b a b a b a f f 故所求餘式為5x−2 12. (1) x−1>0⇒x>1 (2) x+1>0⇒x>−1 (3) log ( 1) log ( 1) 4 1 2 1 x− > x+ log ( 1) log ( 1) ( 1)2 1 4 1 2 4 1 − > + ⇒ − < + ⇒ x x x x ⇒x2−3x<0⇒x(x−3)<0 ⇒0<x<3
100-3 共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 2 頁 由(1)、(2)、(3)可得 如右圖 故1< x<3 13. 100 200 100 200 5 log 27 log 5 27 log = − = x ) 2 log 1 ( 100 3 log 200× 3− × − = 36 . 0 216 36 . 216 6990 . 0 100 4771 . 0 600× − × = = + = x ⇒ 的首數為 216 ∴x 的整數部分為216+1=217位數 14. 設首項為 a，公差為 d (A)、(B) ⎩ ⎨ ⎧ − = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + = = + = 3 50 14 12 44 2 13 3 d a d a a d a a ∴首項為 50，公差為−3 (C) an =a+(n−1)d<0⇒50+(n−1)×(−3)<0 3 2 17 3 53 = > ⇒ n ∴自第 18 項起為負 (D) ∵第 18 項開始等差數列為負 ∴前 17 項之和為Sn之最大值 [2 50 (17 1) ( 3)] 442 2 17 17 = × + − × − = ⇒ S 15. 設首項為 a，公比為 r ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = = − = ⇒ L L L L 3 4 3 1 2 ar a r a S 0 4 9 9 4 9 ) 1 ( 1 3 4 3 1 =− ⇒ 2− − = − ⇒ − = − ⇒ r r r r ar r a 3 4 0 ) 1 3 )( 4 3 ( − + = ⇒ = ⇒ r r r 或 3 1 − (∵ r <1 ∴ 3 4 不合) 故 3 1 − = r 代入○2， 4 3 4 ) 3 1 (− =− ⇒ = × a a 16. ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 18 18 17 2 i i z z z z z − − − − = − − × = + + + + L i i i i i i i i) ] 1 ( 2) 1 512 1 512 1 [( 1 2 9 9 9 + = + = − − = − − = i i+ = − =1 512 512 ∴a=512、b=−1，a+ b=511 17. 10 10 )]10 6 11 sin 6 11 (cos 2 [ ) 3 ( i π i π z = − = + ) 6 110 sin 6 110 (cos 210 π +i π = ) 3 55 sin 3 55 (cos 210 π +i π = ∵ 3 18 3 55π = π+π ∴ 3 ) (z10 =π Arg 18. L1的斜率 3 2 1= m ，L2的斜率 2 1 2 =− m 4 7 ) 2 1 ( 3 2 1 ) 2 1 ( 3 2 1 tan 2 1 2 1 =± − × + − − ± = + − ± = ⇒ m m m m θ 19. 不等式組的圖解如下： ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 5 5 30 5 15 2 y x y x y x ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 3 9 30 3 15 2 y x y x y x 0 ) 0 , 0 ( = f 24 6 4 0 ) 6 , 0 ( = + × = f 25 5 4 5 ) 5 , 5 ( = + × = f (最大) 21 3 4 9 ) 3 , 9 ( = + × = f 10 ) 0 , 10 ( = f ∴ f(x,y)的最大值為 25 20. (A) 圓 C：(x2−6x+32)+y2=16+9 ⇒(x−3)2+y2 =25 ∴圓心(3,0)，半徑r=5 (B) 圓心和3x− y4 +15=0的距離 = < =r − + + × − × = 5 5 24 ) 4 ( 3 15 0 4 3 3 2 2 ∴圓 C 和3x− y4 +15=0有 2 個交點 (C) 過圓 C 上點(0,4)之切線為 16 0 3 4 16 0 2 0 6 4 0×x+ ×y− × +x− = ⇒ x− y+ = (D) 圓心和直線3x− y4 +26=0的距離 7 5 35 ) 4 ( 3 26 0 4 3 3 2 2+ − = = + × − × = d ∴圓 C 上之點和直線的最短距離 =d−r=7−5=2 21. 如右圖 (A) 開口向左 (B) 對稱軸為y=5 (C) 準線為x=−1 (D) 焦距=1 ∴正焦弦長=4 22. 橢圓Γ： 1 9 ) 3 ( 25 ) 1 ( 2 2 = − + + y x 5 = ⇒ a 、b=3、c= 25−9=4 中心(−1,3)，長軸橫向的橢圓 ⇒長軸頂點為(−1±5,3)=(4,3)、(−6,3)為雙曲線Γ' 的焦點，焦點為(−1±4,3)=(3,3)、(−5,3)為雙曲 線Γ'的頂點 ⇒雙曲線中心(−1,3)、c=5、a=4、 b= 25−16=3，貫軸橫向 ○1 ○2 ○1 ○2
100-3 共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 3 頁 ∴雙曲線Γ'： 1 9 ) 3 ( 16 ) 1 ( 2 2 = − − + y x 令 0 9 ) 3 ( 16 ) 1 ( 2 2 = − − + y x 0 ) 3 ( 16 ) 1 ( 9 + 2− − 2= ⇒ x y 0 )] 3 ( 4 ) 1 ( 3 )][ 3 ( 4 ) 1 ( 3 [ + + − + − − = ⇒ x y x y 0 ) 15 4 3 )( 9 4 3 ( + − − + = ⇒ x y x y ∴斜率為正的漸近線為3x− y4 +15=0 23. 設AB= ，x ΔOAB中， ° = ⇒ ° = 15 sin 15 sin OB x OB x OBC Δ 中， =cos15° OC OB ° ° = ° ° = ° = ⇒ 15 cos 15 sin 15 cos 15 sin 15 cos x x OB OC OCD Δ 中， = °⇒ ° ° =cos30° 12 15 cos 15 sin 30 cos 12 x OC ° ° ° =
⇒x 12sin15 cos15 cos30 =6×(2sin15°cos15°)cos30° 2 3 3 2 3 2 1 6 30 cos 30 sin 6× °× °= × × = = 24. 令x=1+2i⇒x−1=2i⇒(x−1)2=(2i)2 0 5 2 4 1 2 2 2− + =− ⇒ − + = ⇒x x x x ∴以1+2i為一根之二次方程式為x2− x2 +5=0 又x3−4x2+ax+b可被x2− x2 +5整除 ⎩ ⎨ ⎧ − = = ⇒ = − ⇒ 10 9 4 5 b a a ∴a+ b=9+(−10)=−1 25. 設 L： + =1 b y a x (a>0、b>0) ) 4 , 3 ( 代入⇒3+4=1 b a L 和兩坐標軸所圍三角形面積 2 ab = 由算幾不等式 ab b a b a 12 2 1 4 3 2 4 3 ≥ ⇒ × ≥ + ⇒ 24 2 48 12 4 1≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ab ab ab ∴面積最小值p=24
