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1009 汽勤甲 夜輔 姓名 座號
一、單選題 (20 題 每題 5 分 共 100 分)
( )1.設 0 ,且 2sin2 11cos 7 0,則 (A) 6 (B) 3 (C)2 3 (D) 3 4 【093 年歷屆試題.】 解答 B
解析 2sin2 11cos 7 0 2(1 cos2 ) 11cos 7 0
2cos2
11cos 5 0 (2cos 1)(cos 5)
0 1 cos 2 (∵ 1 cos 1) 又 0 ∴ 3 ( )2.若 f(x) 4|x 1| 3|2x 1|,則 f(x)的最小值為何? (A)3 (B)4 (C)6 (D)9 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 f(x) 4|x 1| 3|2x 1| ∵ f( 1) 4 0 3 3 9, ( )1 4 3 3 0 6 2 2 f ∴ f(x)的最小值為 6 ( )3.設 a 與 b 為兩向量, a ( , )x y ,x、y 為實數,且 | a | 13, b (3, 2) ,則 a 與 b 之內積的最大 值為何? (A) 13 (B) 65 (C)13 (D)65 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題目中,| a | 13, b (3, 2) 2 2 | b | 3 ( 2) 9 4 13 所求 a 、 b 的內積:
| | | | cos 13 13 cos 13cos
a b a b ∵ 1 cos 1(最大) 故當 cos 1 代入 13cos 得 13,是為最大內積 ( )4.已知直線 L 過點(1,5),且垂直於直線 2x 3y 6 0, 則 L 與 x 軸的交點坐標為何? (A)( 13, 0) 2 (B)( 7, 0) 3 (C)(13, 0) 3 (D) 17 ( , 0) 2 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題目中,L 2x 3y 6 0 故可設 L:3x 2y k 0 L 過點(1,5)代入: 3 1 2 5 k 0 13 k 0 k 13 得 L:3x 2y 13 0 L 與 x 軸之交點令為(x,0) y 0 代入 L:3x 0 13 0 13 3 x ( )5.試問 sin310與下列哪一個三角函數值相等? (A)cos40 (B)sin50 (C)sin130 (D)cos220
【092 年歷屆試題.】 解答 D
解析 sin310 sin(360 50) sin50 cos40 cos(90 50) sin50 sin130 sin(180 50) sin50 cos220 cos(270 50) sin50 ∴ sin310 cos220 ( )6.已知 A(1, 1)與 B( 2,3)為平面上的兩點,設長度為 3 的向量 v ( , )a b 與向量 AB 同方向,則 2a b (A) 3 (B) 6 5 (C)6 5 (D)3 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 AB ( 2 1,3 ( 1)) ( 3, 4) 又 2 2 |AB| ( 3) 4 5 AB之單位向量 3 4 ( , ) 5 5 u AB ∵ v ( , )a b 與AB同方向且長度為 3 3 4 9 12 3 3( , ) ( , ) 5 5 5 5 v ABu 即 9 5 a , 12 5 b ∴ 2 2( 9) 12 6 5 5 5 a b ( )7.設 A( 4,4)與 B(1, 1)為坐標平面上之兩點,若點 C 在 AB 上且 2AC3BC,則點 C 的坐標為何? (A)( 3,3) (B)( 2,2) (C)( 1,1) (D)(0,0) 【094 年歷屆試題.】
- 2 - 解答 C 解析 ∵ C 在AB上且2AC3BC AC BC: 3 : 2 設點 C 坐標為(x,y) 則 2( 4) 3 1 1 3 2 x , 2 4 3( 1) 1 3 2 y ∴ 點 C 的坐標為( 1,1) ( )8.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD(按順序)中,若 (4,8) AB 、AD(1, 4),則|AC||BD| (A) 4 5 17 (B)18 (C) 8 5 2 17 (D)36 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD AB AD AB 而 2 2 |AC| 5 12 13, 2 2 |BD| ( 3) ( 4) 5 故|AC||BD| 13 5 18 故選(B) ( )9.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y ax2 bx c 的圖形 如圖所示,則點 P (b2 4ac , abc)在第幾象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四 象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y ax2 bx c 的圖形 開口向上 a 0 頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b 0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c 0 與 x 軸有 2 個交點 b2 4ac 0
因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限
( )10.平面上兩點 A(5, 1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上,且 滿足 ACBC,則 C 點坐標為何? (A)(0, 1) 10 (B)(0, 1) 15 (C)(0, 1) 15 (D) 1 (0, ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上,設 C(0,t) ∵ ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0) ( 1 t) (3 0) (4t) (5 0)2 ( 1 t)2 (3 0)2 (4 t)2 1 10 t 故 (0, 1) 10 C ( )11.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點,若 AB 在 AC 上的正射影為 AD ,則|AD:| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1) AB(2, 2) , (3, 4) AC AB在AC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC ∴ 2 2 2 |AD:| |AC||AB AC | |:AC| | 2 3 ( 2)( 4) | (3: ( 4) ) 14 : 25 ( )12.在坐標平面上,點 A、B、C 的坐標分別為( 1,k)、(1,2)、 (1,1),若向量AC 與 BC 的內積為 0,則 k (A) 1 (B)0 (C)1 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A( 1,k)、B(1,2)、C(1,1) AC(2,1k), (0, 1) BC 又AC BC 0 2 0 (1 k) ( 1) 0 ∴ k 1 ( )13.設 a (4,3), b ( , )x y 為平面上兩向量,且 x2 y2
- 3 - 40,則此二向量內積 a b 的最大值為何? (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3) | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 b x y b x y 設 a 與 b 的夾角為 則
| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10
a b a b (∵ 1 cos 1) 故 a b 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 a b x y x y 由柯西不等式: (42 32)(x2 y2) (4x 3y)2 25 40 (4x 3y)2 (4x 3y)2 1000 0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0 10 10 4x 3y 10 10 故 a b 的最大值為10 10 ( )14.在△ABC 中,若 D 為線段 BC 的中點,且AB9、 5 AC ,則向量內積 AD BC (A) 28 (B) 14 (C)14 (D)28 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BD:DC1:1 1 1 2 2 AD AB AC BCBA AC AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC AB AC AB AC AB AC 1 2 1 2 9 5 28 2 2 故選(A) ( )15.設A
0,0 、B
2, 2 為平面上二點,若點P m n 在線
,
段 AB 上,且AP PB: 3:1,則 m n 之值為何? (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 點P m n
,
在AB上且AP PB: 3:1 ∴ 3 1 3 1 B A P
3 2, 2 0,0 4
6,6 4 3 3, 2 2 故 3 2 m , 3 2 n ,則 3 3 3 2 2 m n ( )16.若 tan csc 1 6cos,其中為第三象限角,則 tan (A) 2 2 (B) 3 (C) 3 (D) 2 2 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 tan csc 1 6cos sin 1 1 6cos cos sin 1 1 6cos cos cos 2 1 cos6cos 2 6cos cos 1 0
3cos1 2cos
1
0 cos 1 3 或1 2 ∵ 為第三象限角 ∴ cos0 故cos 1 3 用cos 1 3 來作直角三角形 取斜邊3,鄰邊 1 則對邊 2
2 3 1 2 2 因此tan 2 2 2 2 1 - 4 - ( )17.下列方程式所對應的圖形中,何者恆在x軸的上方? (A)y5x23x1 (B) 2 3 5 1 y x x (C)yx25x3 (D) 2 3 5 y x x 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 四個選項的x2項係數均為正數 ∴ 皆為開口向上的拋物線 (A)( 3) 2 4 5 1 11 0→符合 (B)52 4 3 ( 1) 370 (C)( 5) 2 4 1 3 130 (D)12 4 3 ( 5) 610 ( )18.已知平面三向量 a
3, 4 , b
x, 9
,
8,
c y 。設 a b 且 b// c ,則yx之值為 何? (A) 18 (B) 6 (C) 6 (D)18 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ a b ∴ a b 0
3, 4 x, 9
0 3x 4
9 0 3x360 x12 則 b
x, 9
12, 9
∵ b// c 且 c
8,y
∴ 12 9 8 y 12y72 y6 故y x 6 12 6( )19.設平面二向量 u
2cos ,sin
, v
sin ,2cos
且其內積 u v 1,若 0 2 ,則 之值可能為 何? (A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 3 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析u v
2cos ,sin
sin , 2cos
2cos sin sin 2cos
2 2sin cos 2sin 2
∵ u v 1 ∴ 2sin 2 1 sin 2 1 2 又0 2 2 02 而sin sin5 1 6 6 2 則2 6 或5 6 12 或 5 12 故選(A) ( )20.已知向量 a