1009 汽勤甲 夜輔 解答

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1009 汽勤甲 夜輔 姓名 座號

一、單選題 (20 題 每題 5 分 共 100 分)

( )1.設 0    ,且 2sin2  11cos  7  0,則  (A) 6  (B) 3  (C)2 3 (D) 3 4 【093 年歷屆試題.】 解答 B

解析 2sin2 11cos 7  0  2(1  cos2 )  11cos 7  0

 2cos2

11cos 5  0  (2cos 1)(cos 5)

 0 1 cos 2    (∵  1  cos 1) 又 0  ∴ 3   ( )2.若 f(x)  4|x  1|  3|2x  1|,則 f(x)的最小值為何? (A)3 (B)4 (C)6 (D)9 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 f(x) 4|x  1|  3|2x  1| ∵ f(  1)  4  0  3  3  9, ( )1 4 3 3 0 6 2 2 f      ∴ f(x)的最小值為 6 ( )3.設 a 與 b 為兩向量, a ( , )x y ,x、y 為實數,且 | a | 13, b (3, 2) ,則 a 與 b 之內積的最大 值為何? (A) 13 (B) 65 (C)13 (D)65 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題目中,| a | 13, b (3, 2) 2 2 | b | 3 ( 2) 9 4 13        所求 ab 的內積:

| | | | cos 13 13 cos 13cos

abab         ∵  1  cos 1(最大) 故當 cos 1 代入 13cos 得 13,是為最大內積 ( )4.已知直線 L 過點(1,5),且垂直於直線 2x  3y  6  0, 則 L 與 x 軸的交點坐標為何? (A)( 13, 0) 2  (B)( 7, 0) 3  (C)(13, 0) 3 (D) 17 ( , 0) 2 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題目中,L 2x 3y  6  0 故可設 L:3x 2y k  0 L 過點(1,5)代入: 3  1  2  5  k  0  13  k  0  k  13 得 L:3x 2y  13  0 L 與 x 軸之交點令為(x,0) y 0 代入 L:3x  0  13  0 13 3 x   ( )5.試問 sin310與下列哪一個三角函數值相等? (A)cos40 (B)sin50 (C)sin130 (D)cos220

【092 年歷屆試題.】 解答 D

解析 sin310 sin(360 50)  sin50 cos40 cos(90 50)  sin50 sin130 sin(180 50)  sin50 cos220 cos(270 50)  sin50 ∴ sin310 cos220 ( )6.已知 A(1,  1)與 B(  2,3)為平面上的兩點,設長度為 3 的向量 v ( , )a b 與向量 AB 同方向,則 2a  b  (A)  3 (B) 6 5  (C)6 5 (D)3 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 AB  ( 2 1,3 ( 1))   ( 3, 4) 又 2 2 |AB| ( 3) 4 5  AB之單位向量 3 4 ( , ) 5 5 u AB   ∵ v ( , )a bAB同方向且長度為 3 3 4 9 12 3 3( , ) ( , ) 5 5 5 5  vABu     即 9 5 a  , 12 5 b ∴ 2 2( 9) 12 6 5 5 5 a  b    ( )7.設 A(  4,4)與 B(1,  1)為坐標平面上之兩點,若點 C 在 AB 上且 2AC3BC,則點 C 的坐標為何? (A)(  3,3) (B)(  2,2) (C)(  1,1) (D)(0,0) 【094 年歷屆試題.】

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- 2 - 解答 C 解析 ∵ C 在AB上且2AC3BCAC BC: 3 : 2 設點 C 坐標為(x,y) 則 2( 4) 3 1 1 3 2 x       , 2 4 3( 1) 1 3 2 y      ∴ 點 C 的坐標為(  1,1) ( )8.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD(按順序)中,若 (4,8) AB 、AD(1, 4),則|AC||BD| (A) 4 5 17 (B)18 (C) 8 5 2 17 (D)36 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD ABAD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13, 2 2 |BD| ( 3)  ( 4) 5 故|AC||BD| 13 5 18   故選(B) ( )9.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形 如圖所示,則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四 象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y ax2 bx c 的圖形 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c  0 與 x 軸有 2 個交點 b2 4ac 0

因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限

( )10.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上,且 滿足 ACBC,則 C 點坐標為何? (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D) 1 (0, ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上,設 C(0,t) ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C( )11.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點,若 AB 在 AC 上的正射影為 AD ,則|AD:| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1) AB(2, 2) , (3, 4) AC  ABAC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD:| |AC||AB AC | |:AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3:  ( 4) ) 14 : 25 ( )12.在坐標平面上,點 A、B、C 的坐標分別為(  1,k)、(1,2)、 (1,1),若向量AC 與 BC 的內積為 0,則 k  (A)  1 (B)0 (C)1 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A( 1,k)、B(1,2)、C(1,1) AC(2,1k), (0, 1) BC  又AC BC 0  2  0  (1  k)  (  1)  0 ∴ k  1 ( )13.設 a (4,3), b ( , )x y 為平面上兩向量,且 x2  y2

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- 3 -  40,則此二向量內積 ab 的最大值為何? (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 bx ybxy   設 ab 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10

aba b      (∵  1  cos 1) 故 ab 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 ab   x yxy 由柯西不等式: (42 32)(x2 y2)  (4x 3y)2  25  40  (4x 3y)2  (4x 3y)2 1000  0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 ab 的最大值為10 10 ( )14.在△ABC 中,若 D 為線段 BC 的中點,且AB9、 5 AC,則向量內積 AD BC  (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BDDC1:1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  ABAC  AB AC   ABAC 1 2 1 2 9 5 28 2 2        故選(A) ( )15.設A

 

0,0 、B

 

2, 2 為平面上二點,若點P m n 在線

,

段 AB 上,且AP PB: 3:1,則 m n 之值為何? (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 點P m n

,

AB上且AP PB: 3:1 ∴ 3 1 3 1 B A P  

   

3 2, 2 0,0 4  

 

6,6 4  3 3, 2 2     故 3 2 m , 3 2 n ,則 3 3 3 2 2 m   n ( )16.若 tan csc    1 6cos,其中為第三象限角,則 tan (A) 2 2 (B) 3 (C) 3 (D) 2 2 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 tan csc   1 6cos  sin 1 1 6cos cos sin        1 1 6cos cos     cos   2 1 cos6cos   2 6cos cos 1 0 

3cos1 2cos



 1

0  cos 1 3   或1 2 ∵  為第三象限角 ∴ cos0 故cos 1 3   用cos 1 3   來作直角三角形 取斜邊3,鄰邊 1 則對邊 2

 

2 3 1 2 2       因此tan 2 2 2 2 1    

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- 4 - ( )17.下列方程式所對應的圖形中,何者恆在x軸的上方? (A)y5x23x1 (B) 2 3 5 1    y x x (C)yx25x3 (D) 2 3 5    y x x 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 四個選項的x2項係數均為正數 ∴ 皆為開口向上的拋物線 (A)( 3) 2     4 5 1 11 0→符合 (B)52    4 3 ( 1) 370 (C)( 5) 2   4 1 3 130 (D)12    4 3 ( 5) 610 ( )18.已知平面三向量 a

 

3, 4 , b

x, 9

8,

c   y 。設 abb// c ,則yx之值為 何? (A) 18 (B) 6 (C) 6 (D)18 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ abab 0 

  

3, 4  x, 9 

0  3x  4

 

9 0  3x360  x12 則 b

x, 9 

 

12, 9

b// cc  

8,y

∴ 12 9 8 y     12y72  y6 故y  x 6 12 6

( )19.設平面二向量 u

2cos ,sin 

v

sin ,2cos 

且其內積 uv 1,若 0 2     ,則 之值可能為 何? (A) 12  (B) 6  (C) 4  (D) 3  【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析

uv

2cos ,sin 

 

 sin , 2cos 

2cos sin  sin 2cos

  

 2 2sin cos  2sin 2

uv 1 ∴ 2sin 2 1  sin 2 1 2  又0 2     2 02  而sin sin5 1 6 6 2  則2 6    或5 6  12   或 5 12 故選(A) ( )20.已知向量 a  

6,8

且與 b 之夾角為 60,則向量 a 在 b 上的正射影長為何? (A) 5 (B) 7 (C) 5 3 (D)10 【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 如圖, ab 上的正射影為 ca

 

6 282 10,則正射影長 1 cos 60 10 5 2 ca      〈另解〉

 

2 2 6 8 10 a     ab 上的正射影長為 cos 60 a b a b b b      cos 60 a b b     cos 60 a    10 1 5 2   

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