100 2 四技二專 數學 C 卷解析

100-2 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

100 學年四技二專第二次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

100-2-C

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B B D D C C A

D D C A

C

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D

A

D

C

C

B B B C B

A

A

2. f(x)=4−cosx−(1−cos2x)=cos2x−cosx+3 4 11 ) 2 1 (cos − 2+ = x ，∵−1≤cosx≤1 當cosx=−1時，f(x)有最大值 5 4 11 ) 2 1 1 (− − 2+ = = M 當 2 1 cosx= 時，f(x)有最小值 4 11 4 11 ) 2 1 2 1 ( − 2+ = = m 3. θ θ θ θ θ sin cos 3 sin 2 cot 3 sin 2 =− ⇒ =− 0 cos 3 sin 2 2 + = ⇒ θ θ 0 ) 2 )(cos 1 cos 2 ( 0 cos 3 ) cos 1 ( 2 − 2θ + θ= ⇒ θ+ θ− = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = ⇒ ) ( 2 cos 2 1 cos 不合 θ θ _，當 2 1 cosθ=− 時， 3 2π θ = 4. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ > − = + 5 2 cos sin ) ( 0 5 cos sin θ θ θ θ θ 兩根積 為銳角 ∵ 兩根和 k ∵ θ θ 2 2θ θ θ 2θ cos cos sin 2 sin ) cos (sin + = + ⋅ + θ θ cos sin 2 1+ ⋅ = 5 9 25 5 2 2 1 ) 5 ( 2 2_{= + × ⇒ =} −k k 5 3 ± = ⇒ k (正不合，∵k<0) 5. tanθ<0，cosθ<0，則θ II ∈ 知x=−4，y=3，r=5，所求 ) 2 4 5 ( 4 ) 5 3 ( 5× + ⋅ − =− = 6. 14 11 ) 7 ( ) 3 ( 2 ) 7 ( ) 3 ( 2 cos 2 2 2 2 2 2 = × × − + ⇒ − + = b ca b a c B 25 2₌ b ，∴b=5 2 1 ) 3 ( ) 5 ( 2 ) 7 ( ) 3 ( ) 5 ( 2 cos 2 2 2 2 2 2 − = × × − + = − + = bc a c b A ∴∠A=120° 7. 37⇒ =37 ⇒ ⇒ = ° × − = ⇒ − = 120 3 2 3 cos 3 θ θ 8. 7 3 25 4 2 25 3 1 7 2 1 = ⇒ = − ⇒ = k k k 或 7 22 − 9. 令 ， 與相反方向之單位向量為 ∴ ) ( 2, 2) 2 ) 1 , 1 ( ( 2 − − = − = 10. 有−1+i之根，另一根為−1−i (實係數方程式虛根成雙) 由根與係數關係知： ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = − − + − − = − − + + − 2 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( b a b i i a i i ∴a− b=2−2=0 11. 設 f(x)=a(x−2)(x+3)+(2x+3) 1 9 ) 3 0 ( ) 3 )( 2 ( 9 ) 0 ( = ⇒a − + + = ⇒a=− f ∴ f(x)=−(x−2)(x+3)+(2x+3) 7 ) 3 ) 1 ( 2 ( ) 3 1 )( 2 1 ( ) 1 (− =− − − − + + − + = ⇒ f 12. 令 +1 = ⇒ 2+ 1₂ =t2−2 x x t x x 18 ) 1 1 )( 1 ( 1 2 2 3 3_{+ = + − ⋅ + =} x x x x x x x x ∵⇒t(t2−3)=18⇒t3−3t−18=0 ) 0 6 3 ( 3 0 ) 6 3 )( 3 ( − 2+ + = ⇒ = 2+ + = 無實根 ⇒ t t t t t t 13. α α α α αβ β α 3 2 0 2 3 2 3 _{2 2} − = − ⇒ = − + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = − = + 同理β2−2=−3β ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − × = − − = − − = = + − = − + − = 18 ) 2 ( 9 ) 3 )( 3 ( ) 2 )( 2 ( 9 ) ( 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 β α β α β α β α 新方程式兩根積 新方程式兩根和 故所求方程式為x2− x9 −18=0 14. 原式 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a − − − − − + − + = + − = 3 8 3 1 3 ) ( − = − = = x −x a a 15. 2 1 3 = a ， 3 2 3 = b ， 4 3 2 = c 底數3>1，log₃x為遞增函數

100-2 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 ∵ 2 1 3 2 > ，∴ 2 1 3 2 3 3 > ，⇒b>a……(1) 又 4 1 4 1 2 2 1 9 ) 3 ( 3 = = = a ， 4 1 4 1 3 4 3 8 ) 2 ( 2 = = = c c a> ⇒ ……(2) 由(1)、(2)得c<a<b 16. log(x+1)+log(x−2)=log10

10 log ) 2 )( 1 log( + − = ⇒ x x 0 12 10 2 2 2_{− − = ⇒ − − =} ⇒x x x x 4 0 ) 3 )( 4 ( − + = ⇒ = ⇒ x x x 或x=−3 ∵真數>0，∴x=4(合)，x=−3(不合) ∴所有解之和為 4 17. ∵2.1<logA<2.2 6 . 6 log 3 3 . 6 log 3 logA3= A⇒ < A< 3 log A 之首數為 6，∴A 為6+1=7位數 18. 72 2 ) 16 ( 15 660 2 ) ( 15 1 1 15 1 15 ⇒ = + = ⇒ + = a a a a S 4 1 15 1 15 ₌₋ − − = ⇒d a a 0 ) 1 ( 4 72 ) 1 ( 1+ − = − − < =a n d n a_n 19 4 76 76 4 > ⇒ > = ⇒ n n ，n 取 20 19. 公比 3 1 9 1 729 3 9 1 3 1 ₋ ⋅ = ⇒ = ÷ = n r 9 3 3 3= 6 ⇒ = ⇒ n− n 20. 設D(x,y)，有三種可能性 ○1 _當A+B=C+D時， ) 8 , 10 ( 8 10 2 6 4 4 ) 2 ( 8 D y x y x ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ + = + + − = − + ○2 _當A+_C=_B+_D時， ) 0 , 6 ( 0 6 6 2 4 2 ) 4 ( 8 D y x y x ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ + = + + − = − + ○3 _當B+_C=_A+_D時， ) 4 , 14 ( 4 14 4 2 6 8 ) 4 ( ) 2 ( − ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ + = + + = − + − D y x y x 21. 5 3 2 sin 4 3 2 tan θ= ⇒ θ=

所求=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ

5 8 5 3 1+ = = 22. 令t=sinx+cosx⇒− 2≤t≤ 2 1 cos sin 2 2 sin ) cos (sin 2 2 2_{= + ⇒ = = −} t x x x x x t 2 ) 1 ( 1 2 cos 2 sin 2 2 sin ) (x = x+ x+ x=t2+ t− = t+ 2− f 當t= 2時，f(x)有最大值2 2+ 1 23. 原式 i i i i i i i 2 5 2 1 1 1 2 3 2 3 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 2 3 ( 2 2₊ = + − + + = + − + + = ∴ 2 1 = a ， 2 5 = b ，所求 2 2 5 2 1_{− =−} = −b a 24. 原式 ) 6 8 )( 1 ( ) 1 ( ) 4 3 ( 2 3 i i i i + + − − = 5 10 2 ) 2 ( 5 6 8 1 1 ) ) 1 ( 1 ( ) ) 4 ( 3 ( 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ = + ⋅ + − + ⋅ − + = 25. )] 2 1 ( 2 1 [ ) 1 ( 1 1−i= 2+ − 2 + − i ， 2 1 cosθ = 4 2 1 sinθ=− ⇒取θ=−π )] 4 sin( ) 4 [cos( 2 1−i= −π +i −π