排列、 組合
精選例題 邏輯、 集合與計數原理 例題1 設集合 A = {2, 4, a2 − 2a − 3}, B = {−4, a + 1, a + 4} , 若 A ∩ B = {5} 求 A ∪ B [Ans: {2, 4, 5, −4, 8}] 例題2 從1到30 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans:22個] 由1到150 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans: 22 × 5 個] 例題3 某校舉行親子日, 某班有35位同學, 已知父親出席者有18位, 母親出席者有 25位, 父母皆出席者有12位, 試問班上有幾位同學家長沒出席親子日? [Ans:4位] 例題4 英國溫布頓網球公開賽, 在男子單打方面有64 名選手參賽, 採單淘汰賽 (任一隊 只要輸一場比賽就被淘汰出局), 共要比賽幾場才能產生單打冠軍? [Ans:32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 例題5 從1到120的正整數中, 與120互質的數有幾個? [Ans:32個] 例題6 展開 (a + b + c + d)(x + y)(p + q + r) 共有幾個相異項? [Ans:24] 例題7 求 360 的正因數個數有多少個? [Ans:24 個] 例題8 甲與乙兩人分別叫出一個小於10的正整數, 求此兩數乘積大於25的情形有幾種? [Ans:32種] 例題9 書架上有 3 本不同的中文書、5 本不同的英文書、4 本不同的數學書; 今某人甲欲從 書架上選取一本書共有多少種選法? 若甲改由書架上三種類型的書各取一本則共 有多少種選法? Ans: 12; 60 排列與組合 例題1 男性4人, 女性3人排成一列, (1) 若任意排列, 有幾種排法? (2) 若同性要排在一 起, 有幾種排法? (3) 若女性完全分開, 有幾種排法? [Ans:(1)7! = 5040 (2) 4!3!2! = 288 (3) 4!P5 3 = 1440 ] 例題2 由 0, 1, 2, · · · , 9 這10個數字中, 任選3個相異數字排成三位數, 共有少種排法? Ans: 9 · 9 · 8 = 648 = P10 3 − P 9 2 例題3 一樓梯共有7級, 今有一人上樓, 若每步只能走一級或二級, 則上樓有幾種方法? [Ans: 討論 x + 2y = 7 共21 種或遞迴關係式 an = an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2] 1https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題4 將5本不同的書分給甲, 乙, 丙三人, (1) 若全部任意分給三人, 有幾種分法? (2) 若全部給三人且甲至少得1本, 有幾種分法? (3) 若全部給三人且甲恰得1本, 有 幾種分法? (4) 若每人恰得一本書, 有幾種分法? [Ans:(1) 35 = 243 (2) 35 − 25 = 211 (3) 5 · 24 = 80 (4) P5 3 = 60] 例題5 甲、 乙兩人負責7天假期到公司值班, 其中甲值班4天, 乙值班3天, 問此7天假期 值班的安排共有多少種? [Ans:(4 + 3)!4!3! ] 例題6 任意 n 邊形的對角線有幾條? [Ans:Cn 2 − n = n(n − 3) 2 ] 例題7 從10名男生,5名女生中選出一個五人小組。 若規定男女生至少各2人, 則有多少種 選法? Ans: C10 3 C 5 2 + C 10 2 C 5 3 = 1650 例題8 將 6 本不同的書, 依照 (1) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各二本, 有幾種分法? (2) 裝 入 3個相同的箱子, 每箱裝 2本, 有幾種裝法? (3) 三個相同箱子分別裝入1本,1 本,4本, 有幾種裝法? [Ans:(1) C6 2C 4 2C 2 2 = 90 (2) 903! = 15 (3) C 6 1C 5 1C 4 4/2! = 15] 例題9 考慮方程式 x + y + z = 20 依 (1) 方程式非負整數解個數? (2) 方程式正整數 解個數? (3) 滿足 x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4 的正整數解個數? [Ans:C203+20−1 = 231; C173+17−1 = 171; C 3+11−1 11 = 78] 例題10 以下敘述的分法數為 H3 5有哪些選項? (1) 從學校體育室中的籃球, 排球, 棒球三 種球中選取5球。 (2) 三元一次方程式 a + b + c = 5 的非負整數解。 (3) 將5支 相同的筆全部分給甲, 乙, 丙三人。 (4) 不等式 x + y ≤ 5 中, x, y 的非負整數解 。 (5) 將5支不同的筆, 分裝入三個相同箱子 。 [Ans:1,2,3,4] 二項式定理 例題1 求 (x − 2y)7 的展 開式中 x4 y3 項的係數? [Ans:-280] 例題2 求 (x2 + 2x + 3)3 除以 (x + 1)2 的 餘式? [Ans:8] 例題3 求 (x2 + x + 1)3 展 開式中的 x2 項的係數? Ans: 6 例題4 對任一正整數 n , 求 Cn 0 + 2C n 1 + 4C n 2 + · · · + 2 n Cn n 的值? [Ans:3 n ] 例題5 求 (x − 2 x)10 展開式中 x6 項的係數與常數項? Ans: a6 = 180, a0 = −8064 例題6 求 C4 4 + C 5 4 + · · · + C 12 4 的值? [Ans:C 13 5 = 1287] · 2 · ∼順伯的窩 ∼
