磁鐵的極強、磁矩與磁場
蔡尚芳
國立臺灣大學 物理系
摘要
國內目前使用的物理教材，有關磁力作 用的部分，在高中階段與大學普通物理學課 程中，通常都先由電流的磁效應切入，指出 載流導線會在空間各處建立磁場，因而可使 在磁場中運動的電荷，感受到磁力。但在國 小與國中階段，則多半是由現象學的觀點出 發，先觀察磁鐵對鐵質物體的吸引作用，再 引進磁場、磁力線與磁力的觀念。至於從電 流磁效應的觀點，要如何描述磁鐵的磁力強 弱，以及其磁場的大小與方向，則各階段的 教材，似乎多略而不提，鮮少詳細加以說明。 基 於 不 同 階 段 教 材 內 容 互 相 銜 接 的 需 要，本文由現代電磁學的觀點，以磁偶極子 為闡釋磁作用與磁現象的基本單元，說明如 何定義磁鐵的磁極強度，並進而建立磁力與 距離平方成反比的重要特性。文中也舉出一 些有關磁鐵與磁力作用的例子，藉以說明此 類的靜磁學問題，確可完全仿照靜電學中有 關庫侖作用力的各種分析與解法，獲得定量 而明確的答案，此外並討論磁矩與磁化強度 的測量方法。磁鐵的極強、磁矩與磁場
如 果 不 計 較 力 的 本 質 ， 則 在 很 多 情 況 下，靜磁力與靜電力極為相似。同樣地，磁 鐵的特性，也與靜電學中的電偶極子極為相 似。由於靜電學的觀念，較易掌握，故以下 首先討論電偶極子的電場。(一)電偶極子的電場
電偶極子 (electric dipole)是由帶正電+q 與 帶 負 電 -q 的 兩 個 非 常 靠 近 的 點 電 荷 形 成 的，其總電量為零 。討論電偶極子的靜電作 用時，由於負電荷到正電荷的位移dr很小， 通常都可將電偶極子視為一點，但因d r 與電 量 q 的乘積pr=qdr，亦即電偶極矩(electric dipole moment)，具有一定的量值，並不隨 d 變小而趨近於零，故電偶極子與其他帶電體 之間，會有靜電力作用，這與完全重合的正 電荷與負電荷，並不相同。 考慮如圖 1 所示的電偶極子 。設取 x 軸 的正方向為由負電荷 A 到正電荷 B，並取 AB 的中點 O 為原點。若點 P 的座標為 (x, y, z)， 則 OP 的長度為r=(x2+ y2+z2)1/2，而電偶 極子在點 P 產生的電場Er，可依重疊原理求 圖 1P = (x, y, z)
x
y
z
-q
+q
O
B=(d/2,0,0)
A=(-d/2,0,0)
r
} ] ) 2 / [( ˆ ˆ ˆ ) 2 / ( ] ) 2 / [( ˆ ˆ ˆ ) 2 / ( { 4 2 / 3 2 2 2 2 / 3 2 2 2 0 z y d x k z j y i d x z y d x k z j y i d x q E + + + + + + − + + − + + − = πε r (1) 依二項式展開定理，當u2<1時，可得 L + + = +u)a 1 au 1 ( ，故如 r 大於 d ，則可將 上式中的分母展開至 d 的一次方，而得 ) 2 3 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ] ) 2 / ( [ 1 2 3 2 / 3 2 3 2 / 3 2 2 / 3 2 2 2 r xd r r xd r xd r d x z y m ≈ ± = ± ≈ ± + + − (2) 由 於 含 d 的 二 次 方 以 上 的 各 項 可 以 忽 略，故綜合以上兩式的結果可得 ) ˆ 3 ( 4 1 ]} ˆ 2 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 3 [ ] ˆ 2 2 ) ˆ ˆ ˆ ( 3 {[ 4 2 3 0 2 2 3 0 i p r r px r i d r k z j y i x xd i d r k z j y i x xd r q E − = + + + − − − + + ≈ r r πε πε (3a) 如果以rˆ=rr/r代表 OP 方向的單位長度 向量，並以純量積pr⋅rr表示 px ，則上式可改 寫為 3 0 4 ˆ ) ˆ ( 3 r p r r p E πε r r r ⋅ − = (3b) 上式的結果顯示電偶極子對電荷 Q 的作 用力F QE r r = ，一般並非沿著rˆ(亦即連心線) 的方向，而作用力的大小也與rr和pr的夾角 有關，而不能完全由距離 r 決定，故形式與Fr 相 同 的 作 用 力 ， 特 稱 為 張 量 式 力 (tensor force)。 當 P 點位在 x 軸上時，rˆ=iˆ，故由上式 可看出電場為 3 0 3 0 3 0 4 2 ˆ 4 3 4 ˆ ˆ ) ˆ ( 3 r p i r p p r i p i i p E πε πε πε r r r = − = − ⋅ = (4a) 而當點 P 在 yz 平面上時， pr⋅rˆ=0，故電場 為 3 0 3 0 4 4 ) 0 ( r p r p E πε πε r r r − = − = (4b)
(二)磁偶極子的磁場
考慮一個半徑為 a 、電流為 I 的線圈， 此線圈的面積為 A=πa2。若如圖 2 所示，以 線圈中心 O 為原點，取 x 軸使與線圈平面垂 直，則在 x 軸上一點 P = (x,0,0)之磁場Br，依 必歐 – 沙伐(Biot-Savart)定律，可求得為 i r IA i r I a i r aI B )2 ˆ 4 ( ˆ 2 ) 4 ( ˆ sin 2 ) 4 ( 3 0 3 2 0 2 0 π µ π π µ θ π π µ = = = r ( 5 a ) 當 a 趨近於零時，上式中之 r 即為 OP 之長度。若將電流 I 與面積 A 的乘積以 m 表 示，即m=IA，並定義向量mr =miˆ，則上式 成為 3 0 3 0 2 ) 4 ( ˆ 2 ) 4 ( r m i r m B r r π µ π µ = = (5b) 上式與(4a)式具有相同的形式，如比較 此兩式，可看出靜磁學中的向量 mr，與靜電 學中的電偶極矩 pr互相對應，故 mr稱為磁偶 極 矩 (magnetic dipole moment)， 簡 稱 為 磁 矩。同理，一個面積很小的載流線圈，可視 為 與 電 偶 極 子 對 應 ， 而 可 稱 之 為磁 偶 極 子 (magnetic dipole)。磁偶極子之大小通常雖可 忽略而將其視為一點，但因其電流 I 與面積 圖 2x
y
z
O
I
a
x
P
θr
θ 得為A 的乘積m=IA，具有一定的量值，並不隨 A 變小而趨近於零，故磁偶極子與其他物體 間會有磁力作用。 若 P 點不在 x 軸上，則磁偶極子(或大小 可忽略的載流線圈)所產生的磁場Br，仍可依 必歐 – 沙伐定律求得，其形式一如預期，與 (3b)式相同，即 0)3( ˆ3)ˆ 4 ( r m r r m B r r r ⋅ − = π µ (6)
(三)均勻磁體的磁矩與極強
一 個 均 勻 的磁鐵 或磁體 (magnet)，可視 為是由很多均勻分布的磁偶極子或原子大小 的載流線圈所組成，其橫截面有如圖 3a 所 示。由於任何兩個 相鄰磁偶極子的電流，在 磁體內部會因方向相反，而彼此相消，故均 勻 磁 體 的 內 部 沒 有 淨 電 流 ， 只 有 在 表 面 部 分 ， 才 會 有 電 流 出 現 ， 稱 為 磁 化 電 流 (magnetization current)，換言之，一個均勻的 磁體可視為僅在表面有電流，就像螺線管或 載流線圈一樣，如圖 3b 所示。 一個磁體的總磁矩µr，等於其所含之各 磁偶極子的磁矩的總和。考慮如圖 3b 所示的 均勻磁體，其總長度為 d ，橫截面積為 A， 體積為V =Ad。若此磁體每單位體積內之磁 偶極子數為 n ，而每一磁偶極子的磁矩均為 mr，則其每單位體積內之磁矩為 Mr =nmr ， 稱為其磁化強度(magnetization )，而此磁體的 總磁矩則為 µr=VMr =(Ad)Mr (7a) 若 比 照 靜 電 力 的 來 源 為 電 荷 (electric charge)的說法，則靜磁力的來源，可稱為磁 荷(magnetic charge)，而磁體的總磁矩，可視 為 是 因 其 負 磁 荷−qm(即 S 磁 極) 與 正 磁 荷 m q + (即 N 磁 極) 之 間 有 一 位 移 dr=diˆ所造 成。如仿照電偶極矩pr之定義為電荷 q 與位 移d r 的乘積，則磁偶極矩也可定義為磁荷與 位移的乘積，即µr=qmdr=(qmd)iˆ (7b) 綜合以上兩式，並令µr=µ iˆ， i M Mr = ˆ，可得 MA d qm =µ = (7c) 上 式 中 之 磁 荷 qm亦 稱 為 磁 體 的 磁 極 強 度，簡稱極強 (pole strength)。由於磁矩為電 流與面積的乘積，其單位為 2 m A⋅ (即安培 – 公尺2 )，故磁極強度的單位為A⋅m(即安培 – 公尺)。(四)均勻磁體在對稱軸上產生的磁場
如圖 3b 所示的均勻磁體，在其縱向對稱 軸 x 軸上 P 點所產生的磁場，可依以下兩種 方式求得 。(甲)積分法
此磁體中由 x 到 x+dx 的部分，依 (7a)式， 具有磁矩mr=(Adx)Mr，故此部分在 P 點產生 的磁場可依(5b)式求得為 i x L MAdx B d ˆ ) ( 2 ) 4 ( 0 3 − = π µ r (8a) 圖 3aI
S
L
P
圖 3bx
N
d
x dx
而整個磁體產生的磁場則為 2 2 2 0 2 2 0 2 / 2 / 2 0 2 / 2 / 3 0 ) 4 / ( 2 ) 4 ( } ) 2 / ( 1 ) 2 / ( 1 { ) 4 ( ) ( 1 ) 4 ( ) ( 2 ) 4 ( d L Ld A M d L d L A M x L A M x L dx A M B d B d d d d − = + − − = − = − = = − −
∫
∫
r r r r r r π µ π µ π µ π µ 上式可利用(7a)式寫成 µ π µ r r 2 2 2 0 ) 4 / ( 2 ) 4 ( d L L B − = (8c) 或利用(7c)式寫成 i d L q d L q B m m }ˆ ) 2 / ( ) 2 / ( { ) 4 ( 0 2 2 + − − = π µ r (8d)(乙)平方反比定律法
不需運用積分，(8d)式之結果亦可相當 容易地求得如下： 假設磁荷qm對磁荷qm′ 之磁力 Fr為連心 力，且可仿照庫侖靜電力之形式，表示為與 兩磁荷之乘積成正比，而與兩者間距離 r 之 平方成反比，則當以rˆ代表由磁荷qm指向磁 荷qm′ 之單位向量時，磁力之公式可寫成 r r q q F ) m m ˆ 4 ( 0 2′ = π µ r (9a) 若將磁荷qm在某處之磁場Br，定義為每 單位磁荷在該處所受之磁力，即 r r q q F B m m ˆ ) 4 ( 0 2 π µ = ′ = r r (9b) 則(8d)式之結果，顯然可運用上式，將 N 極 磁荷+qm(與 P 點距離為 L-d/2) 與 S 極磁荷 m q − (與 P 點距離為 L+d/2)在 P 點所產生的磁 場相加後求得。(五)均勻磁體在垂直軸上產生的磁場
上述均勻磁體在 y 軸上 P 點(如圖 4)所產 生的磁場，可依以下兩種方式求得。(甲)積分法
如圖 4 所示，此磁體中由 x 到 x+d x 的部 分，與由 – (x+dx )到 – x 的部分，依 (7a)式其磁 矩相同，均為mr=(Adx)Miˆ。此兩部分在 P 點產生的磁場，其和可依(6)式求得為 } ) ( ˆ ) ˆ ( 3 ) ( ˆ ) ˆ ( 3 ){ 4 ( 0 2 2 3/2 2 2 3/2 x L m r r m x L m r r m B d + − ′ ′ ⋅ + + − ⋅ = r r r r r π µ (10a)但因rˆ=−sinθiˆ+cosθ ˆj，rˆ′=sinθiˆ+cosθ jˆ
，故得mr⋅rˆ=−mr⋅rˆ′=−msinθ， i r rˆ−ˆ′=−2sinθˆ，將此結果代入上式，並利 用Ltanθ= x與Lsec2θdθ =dx之關係，可得 2 2 0 2 / 3 2 2 2 0 cos ) 1 sin 3 ( 2 ) 4 ( ˆ ) ( ) 1 sin 3 ( 2 ) 4 ( L d A M i x L m B d θ θ θ π µ θ π µ − = + − = r r (10b) 故如令Ltanα=d/2， 則 整 個 磁 體 在 y 軸上 P 點所產生的磁場為 2 / 3 2 2 0 3 2 0 0 2 2 0 ) 4 / ( ) 4 ( ) sin (sin 2 ) 4 ( ) (sin ) 1 sin 3 ( 2 ) 4 ( sin d L Ad M L A M d L A M B d B + − = − = − = =
∫
∫
r r r r r π µ α α π µ θ θ π µ α 圖 4L
y
P
S
N
d
x
x dx
rˆ
θ
θ
r
ˆ
′
(11a) (8b)上式之結果可利用(7a)式改寫成 µ π µ r r 2 / 3 2 2 0 ) 4 / ( 1 ) 4 ( d L B + − = (11b)
(乙)平方反比定律法
如 利 用 (9b) 式與 (7c)式 ， 則 不 需 運 用 積 分，(11b)式之結果亦可求得如下： µ π µ π µ π µ r r 2 / 3 2 2 0 2 / 3 2 2 0 2 / 3 2 2 2 / 3 2 2 0 ) 4 / ( 1 ) 4 ( ) 4 / ( ˆ ) ( ) 4 ( } ) 4 / ( ˆ ˆ ) 2 / ( ) 4 / ( ˆ ˆ ) 2 / ( { ) 4 ( d L d L i d q d L j L i d d L j L i d q B m m + − = + − = + + − + + − = (11c)(六)均勻磁場對磁針或磁偶矩子的力矩
如圖 5 所示，在沿 x 軸方向的均勻磁場 B 中，有一僅可繞 z 軸轉動的長方形線圈， 其邊長為 a 與 b 。若此線圈上流過之電流為 I，則磁場對其上、下兩邊之磁力，分別為 y IbB y F Fr= ˆ= ˆ與−Fr。當線圈平面與 yz 平 面之夾角為θ時，此兩力至 z 軸的力臂均為 θ sin ) 2 / (a r= ，故磁力對線圈上、下兩邊之 力矩均為rF ˆy。因磁力對線圈前 、後兩邊之 力矩，其和為零，故得線圈所受之總力矩為 z IbBa z rF ˆ sin ˆ 2 θ τr= = (12a) 因線圈磁矩m
r
之大小 m 等於長方形面 積 a b 與電流 I 之乘積，故上式亦可改寫為 B m z mB r r r × = = sinθˆ τ (12b) 如圖 6a 所示之磁針，設其極強在 S 極為 m q − ，在 N 極為qm，由 S 極至 N 極之位移 為d r ，則均勻磁場Br 對其 S 極與 N 極之磁力 分別為−qmBr與qmBr，故針磁所受之力矩為 ) (q B d m r r r × = τ 。因磁針之磁矩為m qmd r r = ，故 對磁針而言， qmd B m B r r r r r × = × =( ) τ ，即(12b) 式之結果亦適用。(七)偏向磁強計( d e f l e c t i o n m a g n e t o m e t e r )
如圖 6a 所示1，一均勻磁鐵棒之棒軸沿 東西向，長度為 d，磁矩為µ。棒軸上距離其 中心 L 處，有一磁矩為 m 的小磁針，僅能在 水平面自由轉動。 設於磁針所在處之地球磁場，其水平分 量為 BH (向北)，而磁鐵之磁場為B r (向東)， 則當此磁針靜止於φ 角時，上述二磁場對其 作用之力矩和必須為零，故由(12b)式得 0 cos sinφ mB− φ= mBH (13a) 利用(8c)式之結果，上式亦可寫成 ) ( ) 4 / ( 2 ) 4 ( tan 0 2 2 2 H H L d B L B B µ π µ φ − = = (13b)東
φ
北
南
西
N
S
N
B
B
H 圖 6aS
d
L
B
r
θ
m
r
a
b
z
y
F
r
-
F
r
x
圖 5I
θ
同理，如圖 6b 所示，將小磁針放置於磁 鐵垂直軸上離中心 L 處，則利用(11c)式之結 果可得 ) ( ) 4 / ( 1 ) 4 ( tan 0 2 2 3/2 H H L d B B B µ π µ φ + = = (13c) 若量出φ 角、L 與 d，則不論由(13b)或(13c) 式，均可求得磁鐵磁矩µ 與地磁水平分量 BH 之比。
(八)振動磁強計(vibration magnetometer)
設 均 勻 磁 鐵 棒 之 磁 矩 為µ， 以 垂 直 懸 線，將磁鐵棒自中心吊起，使棒軸只能在一 水平面內轉動。當 磁鐵棒沿南北向靜懸時， 使 其 略 微 偏 轉 一 小 角 度 ， 則依 (12b) 式 之 結 果 ， 磁 鐵 棒 因 地 磁 之 作 用 ， 受 到 回 復 力 矩 φ µBHsin ，將作簡諧振動，如圖 7 所示。設 磁鐵棒繞通過其中心之垂直軸的轉動慣量為 CI
，其角加速度為φ&&，則其做小角度轉動的 運動方程式為 φ µ φ µ φ H H C B BI &&=− sin ≅− (14a)
故得角頻率為 ω = µBH /IC (14b) 上式中磁鐵棒之轉動慣量，視其形狀與 大小而定 。若棒之質量為 m，長度為 d ，則 沿棒軸方向之線密度為λ =m /d。設棒之截 面為長方形，邊長為 a 與 b，則如圖 8 所示， 磁 鐵 棒 位 於 y 至 y+dy 部 份 之 質 量 為 dy dm=λ ，其轉動慣量 d I 為 ) 12 / ( ) ( ) ( 2 2 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 b y dm dx x y b dm dm b dx x y dI b b b b + = + = + =
∫
∫
− − (14c) 故整條磁鐵棒之轉動慣量為 ) ( 12 ) 12 ( ) 12 ( 2 2 2 / 2 / 2 2 2 2 b d m dy b y dm b y dI I d d C + = + = + = =∫
∫
∫
− λ (14d) 利用 (14b)與 (14d) 之 結 果 ， 配 合 (13b) 或 (13c)式，可看出由 角頻率之測量，可測得磁 鐵棒之磁矩µ 與地磁之水平分量BH 。(九)磁化強度之測量
如圖 9 所示1，將兩個完全相同的螺線 圈，使其軸線沿東西向成一直線，並在兩者 中點處置一偏向磁強計。將兩螺線圈串聯， 並接通電源，使其產生相反之磁場B0，則在 地磁水平分量BH的作用下，磁強計之磁針指東
φ
北
南
西
N
S
N
B
B
H 圖 6bS
L
d
東 φ 北 南 西 N BH S 圖 7 圖 8 y a z x y x d b向北，其偏角φ為零。注意：若電流為 I，每 單 位 長 度 之 線 圈 匝 數 為 n ， 則 可 得 知 nI B0=µ0 。 若於左邊螺線圈內，插入一長度為 d 、 截面積為 A、且完全去磁的鐵棒，則在磁場 0
