１－１指數

(1)

１－１．指數

計算題　　１.設 6＋4 2 的整數部分為a，小數部分為 b，試求_a_＋2a＋_b_＋1₁＋_a_－7_b_－₁的值。　　２.設 a , b 為兩正數，且滿足₍_a _b ₎₍_a _b ₎₍_a _b2₎ 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 ＋＋－＝2 , 8 1 ab－＝ b3 ．4 b．8 b，試求 a , b 的值。　　３.化簡下列各式﹕(1)643 2 ×( 16 1 )3 1 ÷3 ₄_(2)[( 9 5 ₎ 2 1 ( 15 27 ) 4 1 －10(5－ 3)－1]0 (3)(2－2)－4＋(20－3) 3 2  _＋(64 2 1  ₎ 3 4  ₍₄₎₍₂₊ ₃₎－3_＋(2－ ₃₎－3₍₅₎3 ₅_₂‧6 ₉_₄ ₅ 。　　４.設 20.6_≒1.516，20.03_{≒1.021，求 2}0.66_與₂－1.17_{之近似值。（到小數後第三位）} 　　５.設 A =₁₀a_，B=₁₀b_，C=₁₀c_，又_{a+b+c=0，求 A} c 1 b 1  _×B a 1 c 1  _×C b 1 a1  之值。

　　６.a，b，c 表某三角形之三邊長，且 a+b+c=6，若 9a₊₉b₊₉c₌₃a+b₊₃b+c₊₃c+a_{，求此三角形之面積。}

　　７.設於某實驗中，細菌數 1 日後增加 1 倍。(1)n+5 日後的細菌數是 n+2 日後的細菌數的幾倍？(2)一星期後的細菌數是3 天前的細菌數的幾倍？(3)如果 100 天後會有 N 個細菌，則什麼時候有 4 N _個細菌？　　８.設 17 288 的小數部份為x，求 2 2 x x 4 2 x x x 4 2 x       _之值。　　９.化簡下列各式﹕（a，b>0）(1)( 3 1 a + 3 1 b )( 3 2 a － 3 1 a 3 1 b + 3 2

b ) (2)(a2n－1+a－2n)(5an－3a－n) (3) (16a－3₊ 2 a 6 + a 5 －6)÷(2a－1_－1) 　１０. 3 2 a + 3 2 b =4，x=a+3 3 1 a 3 2 b ，y=b+3 3 2 a 3 1 b ，求(x+y)3 2 +(x－y)3 2 之值。　１１.設 a，b>0 且滿足(a4 1 －b4 1 )(a4 1 +b 4 1 )(a2 1 +b2 1 )=6，ab 8 1  ₌ _b34 _b8 _b_，試求_{a，b 之值。} 　１２.設 2 1 x + 2 1 x =3，求 3 x x 7 x x 2 2 2 3 2 3       之值。　１３.設 53x_=9，477y_=243，求 y 5 x2  之值。　１４.設 a=2x₌₃y₌₅z_且 z 1 y 1 x 1   _{=2，求 a 之值。} 　１５.比較 2 1 ) 2 1 ( ， 3 1 ) 3 1 ( ， 5 1 ) 5 1 ( 的大小﹕ 　１６.化簡 } ) ( 1 { ₁ ₂ 2 2 －－＋＋－     ÷ } ) ( 1 { ₁ ₃ 3 3 －－＋＋－     ＝？

(2)

　１７.設 a＞0，x、y、z



Q，則₍_ax₎y－z_₍_ay₎z－x_₍_az₎x－y_{之值為何？} 　１８.設 x＞0， 2 1 2 1 x x ＋－＝3，則 7 x x 12 x x 2 2 2 3 2 3 －＋＋＋－－的值為何？　１９.設 17＋ 288 的小數部分為a，求 _a_＋₂_－ ₄_a_＋_a2 ÷ _a_＋₂_＋ ₄_a_＋_a2 的值？　２０.設 (10 10 ) 2 1 a n 1 n 1 _－＋＝，

n



N，求₍_a_＋ _a2_－₁₎n_的值。　２１.4x_＝8y_＝16z_＝32_(x、y、z



_Q)，求_x2_＋_y2_＋_z2_－₂_xy_＋₂_yz_－₂_zx_的值。　２２.設a＝ 5， 3 1 9 b＝， 4 1 26 c＝，則a、b、c 之大小順序為何？　２３.設 a＞0 且 a≠1，求 ₃ 1 1 1 3 1 3 2 3 2 ) a a )( a a )( 1 a a ( _＋－_＋ _－－ _－－－的值？　２４.設 2 3 2 3 2 3 3 a＝－＋－， 2 3 2 3 2 3 3 b＝－－－，求a4＋a2b2＋b4的值？　２５.設 a＞0，b＞0， 3 2 3 2 b a ＋＝3， 3 2 3 1 b a 3 a x＝＋， 3 1 3 2 b a 3 b y＝＋，求 3 2 3 2 ) y x ( ) y x ( ＋＋－的值。

　２６.一等比數列中，其第 1 項為 a，第 m 項 b，第 n 項 c，(a，b，c 為正數)，試求(m-n)loga+(n-1)logb+(1-m)logc 之值。 [單選題][１－１．指數] 　　１.試估算 5 3 2 最接近下列哪一個數？ (A)2 1 (B)1 (C) 2 3 (D)2 (E) 2 5 。　　２.設

n



N 且 n 1 3 1 3 2 ＞， 3 1 2 1 n 3 ＞，則n＝ (A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7。　　３.下列敘述何者為真？ (A)₍ ₈₎3 ₂ 1 ＝－－ (B)(3＋i)0＝1 (C)5－2＝₂₅1 (D)42 8 3 ＝ (E) 3 3 ) 3 ( 2 9 3 ＝。　　４.設 2 1 5 27 9 a_{＝ } －， 3 3 2 ) 3 ( b＝－， 5 1 1 ) 3 ( c_＝－，_d_{＝，}₃₃2 3 2 ) 9 1 ( e＝－則a，b，c，d，e 五數中，最小者為 (A)a (B)b (C)c (D)d (E)e。　　５.設 3 4 a＝， 6 5 ) 2 1 ( b＝－， 4 ) 3 2 1 (

c   ，則下列何者為真？ (A)b＞c＞a (B)a＞c＞b (C)c＞a＞

b (D)c＞b＞a (E)a＞b＞c。

　　６.設 a , b  Q , 9a_＝27b_{＝243，則 (A)a：b＝2：3 (B)2a＋3b＝5 (C)6a＋6b＝10 (D)6a－3b＝10}

(E)3a＋2b＝5。　　７.下列各敘述何者為真？ (A)₍ ₂₇₎3 ₃ 1 ＝－－ (B)8 3 2 1 ＝－－ _(C) 625 ) 125 ( 3 4 ＝ (D)3 －8＝ 6 ₍_－₈₎2 _(E) 3 4 7－＝ 3－2。　　８.設 x , y 為異於 1 的兩正數，且 x4_＝y6_＝ ₎n y x ( _，則_{n＝ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (E)14。}

(3)

(D)b＞a＞c (E)c＞a＞b。　１０.分式 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x y x         可表為 (A) 1 y x y x 2 2 2 2    (B) 1 y x y x 2 2 2 2   (C) 1 y x y x 2 2 2 2   (D) 1 y x y x 2 2 2 2   (E) _xyx_y₁ 。 [填充題][１－１．指數] 　　１. ＋ 2 －4＝ 1 0 ₍₂ ₎ ) 4 3 ( 。　　２. 2_＝ 11 2 1 3 2 _[( ₃₎ _] ₍ ₃₎ ) 3 (     。　　３.3 ₃_ ₁₁_3 ₃_ ₁₁ 。　　４.設

x



Q 且(32)X _ ( 2)3 _2，則x＝。　　５.設a2x_＝5_，則 _＝＋＋－－ x x x 3 x 3 a a a a 。　　６.設 a＞0，a2 4 3 ＝，則－4_＝ 9 a 。　　７.設 x＞0，x2_＋x－2_＝7_，則_x_＋_x－1_＝_。　　８.4x_{－ }7 2x_－8_＝0_，

x



_{Q，則 x＝。} 　　９.設ax_－a－x_＝4_，則_a3x_－_a－ x3 _＝_。　１０. 2 3 16－ , 5 2 32－ , 4 5 ) 64 ( ＝　　　　　　　　。　１１.6 3 ₁₁_－3 ₃．6 3 ₁₂₁_＋6 ₃₃_＋6 ₉ ＝　　　　　　　　。　１２.(12x－3_－x－2_－7x－1_{＋2) ÷ (3x}－1_{－1)＝　　　　　　　　。}

　１３.設 a＞0 , a3_＋a－3_{＝52，則 a＋a}－1_{＝　　　　　　　　。}

　１４.設 x , y , z  Q－{0}，且 x＋y＋z＝0 , a＝10x_{, b＝10}y_{, c＝10}z_，則 z 1 y 1 a ＋ , x 1 z 1 b ＋ , y 1 x 1 c ＋＝　　。　１５.設 f(x)＝axn_{＋b , (a , b  Q , n  N)，若 f(2)＝23 , f(4)＝519 , f(8)＝16391，則 n＝} , f(1)＝　　　　　　　　。　１６.設 a＞0 , x＝ (a a ) 2 1 _n1 n 1 －－ , n  N，則(x＋ ₁_＋_x2 )n＝　　　　　　　　。　１７.設 a>0，若7 4 3 _a2 a a =ax_值，則_{x= 。} 　１８.設 2x₌₄y₌₈z_{=16，則 x+y+z=　　。} 　１９.設 4x_=5，則 X x x 3 x 3 2 2 2 2     =　　； 3_xx 3_xx 2 2 2 2     =　　　。　２０.設 a3x_+a－3x_{=52，a>0，則 a}x_+a－x_{= ；a}x_=　　。　２１.若 8x₌₉y₌₆z_，若 x 2 + 3_y = z k _，則 k 之值= 。

(4)

　２２.設 0<a≠1，令 A=3 _a2 ，B=4 _a3 ，C=5 _a4 _，若a>1，A，B，C 三數之大小順序為。若 0<a<1，A，B，C 三數之大小順序為。 　２３.解方程式xlogx _106x_，得_{x= 。} 　２４. 20₄₀ 9 5 _{以小數表示時，小數點後第} n 位開始出現不為 0 數字 k，求 n= 及 k= 。　２５.4 _a20_3 _a12 = 。　２６. 3 2.5 2 25 . 0 ₎ ₍₀_.₂₅₎ 27 8 ( ) 16 81 (  _x  _x  ______ 　２７.a+b= 3 3 2,a-b= 3 2 3 則a4a2b2b4 ______ 　２８.4x _5_,則₈x ______ 　２９. 6,3 ₁₅_, ₁₉ _{的大小順序是。} 　３０.a=₅0.6_、b=₅0.03_{,以 a 和 b 表示}₅1.54 ______ 　３１.₁₃2x_=11,_{11 =13,則 xy}3y ______ 　３２.₆₇x_=27,₆₀₃y_=81,則 y 4 x 3  _______ 　３３.₄₂₃x_=27,₄₇y_=27,則 y 1 x 1  _______ 　３４.f

 

x ₌ x x x x a a a a     ,若f

 

b _=3,f

 

c _=4,則 f



bc



______ 　３５._x2_{ x}3 _1_0_,則



₃ _₃



1  x x +



_x_{ x}1 



2 ______ 　３６.₂x _₄y _₈z _₁₆3_,則_x2__y2__z2_₂_xy_₂_yz_₂_zx__{_____}_ 　３７.axby bxcy cxay abc1,_{則 x+y}______ 　３８. 3x 2x _x 3 3 27 ) 3 (   _{,則 x}______ 　３９.方程式 _x2 8 = 2 1 x 2 4  之解為______

　４０.A、b、c 為△ABC 之三邊長,9a9b9c3ab3bc3ca,_a_b_c6_{,求△ABC 面積}______

　４１. a

z y x

a_₂x _₃y _₅z_,_且1_ 1_1 _₁_,_則 _______

　４２.x,y 為實數,x+y=3,若₃x_{ 3}y _k_,且₃x_₃y _₆_{,則 x=_____,y=______,k=_____。} 　４３.指數方程式₃2x__a_₃x__a2_{=0 在 0 與} 2 1 之間有一解,則正整數 a 之值為______ 　４４.a 為實數,方程式 2a 5 1 a 2 5x_ _x _ 有實數解,求 a 之範圍______ 　４５.m 為實數,方程式32x_2



m_1



3x_(m_1)_0_{有兩個相異實根,求 m 之範圍}______ 　４６.4x_4y _48,2xy _32_{,則 x= ,y=} 　４７.x 的二次方程式



xlog2a



2 16x有兩相異實根，則a 的範圍為_______。 　４８.方程式





2 2x log

(5)

 ______  [證明題][１－１．指數] 　　１.設 a＞0，r，s



Q，試證：_ar__as_＝_ar＋s_。　　２.設 a＞0，r, s  Q，試證：(ar₎s_＝_ars_。

(6)

[計算題][１－１．指數]

　　１．6　　２．a＝4 , b＝2　　３．(1)4 (2)1 (3)672 (4)52 (5)1　　４．1.580，0.444　　５．10－3 ６． ₃_{７．(1)8 (2)1024 (3)98 天後　　８．} ₂_₁_９．(1)a+b－1_(2)5a3n_－8an_+8a－n_－3a－ 3n_(3)8a－2_+7a－1_{+6　１０．8　１１．a=9，b=3　１２．}

2 1 　１３．－2　１４．a= 30 　１５． 5 1 ) 5 1 ( > 2 1 ) 2 1 ( > 3 1 ) 3 1 ( 　１６． 3 2 　１７．1　１８． 4 3 　１９． 2－1　２０．10　２１． 144 25 　２２．c＞a＞b　２３．₍_a_－_a－1₎0_２４．₄ ₆_{２５．6　２６．0} [單選題][１－１．指數] 　　１．C　　２．C　　３．A　　４．B　　５．A　　６．D　　７．C　　８．C　　９．E　１０．B [填充題][１－１．指數] 　　１． 4 5 　　２．3　　３．－2　　４． 4 15 　　５． 5 21 　　６． 8 1 　　７．3　　８．3　　９． 76　１０． 2 2 _１１． 2　１２．4x－2＋x－1－2　１３．4　１４． 1000 1 　１５．n＝ 5，f(1)＝ 2 15 　１６．a　１７． 12 1 　１８． 3 22 　１９． 5 21 , 10 63 　２０．4, 2± 3　２１．6 ２２．A<B<C，A>B>C　２３． 100 1 1000或　２４．N=25 K=6　２５．_a7_{２６．48　２７．} 6 4 　２８． 25 5 _２９．

19

6

15

3

_

_３０．₅_ab2_３１． 6 1 　３２． 　３３．2 3 2 _３４．_無解_３５． 36 5 　３６．484　３７．3　３８．1　３９． 1 3 1 或　４０． 3 ４１．30　４２．x=2,y=1,k=12　４３．2　４４． 2 1 a 　４５．0m1　４６．x 3,y=2 ４７．0<a<16　４８．_4x2_-9x+4=0 [證明題][１－１．指數] 　　１．略　　２．略