101 4 四技二專 數學 C 卷解析

101-4 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

101 學年四技二專第四次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

101-4-C

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9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

D C C B A A B

C D D B

A

D

A

A

D

B

C

A C B D A

B

C

1. (x+1)為f(x)=x3−kx2 +11x+3k的因式 故f(−1)=0，即(−1)3−k×(−1)2+11×(−1)+3k=0 84 18 66 216 216 ) 6 ( 6⇒ = − + + = = ⇒k f 2. 3 2 1 1 1 1 1 2 1 ) 3 ( ) 15 ( ) 10 ( 9 6 3 15 15 15 10 20 10 − − − − × × × = − − − − 900 ) 1 3 ( 450 3 2 1 0 1 0 1 2 1 450 − = × − = − − × = 3. 骰子點數和等於 7 的機率與骰子的顏色無關 若集合 A 表示點數和等於 7 的事件 則A={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)} 6 1 366 = = P 4. 原式 = = (3,1) = 10 5. C₁⇒(x+1)2+(y−2)2 =9⇒R₁=3 4 16 ) 4 ( ) 2 ( 2 2 2 2⇒ x− + y+ = ⇒R = C 4 3 2 1 ₌ ⇒ R R 6. 1 2 5 2 1 2 2 2 2 ] ) 2 [( 2 5 2 5 1 2 2 1 = ⇒ − = + ⇒ = = − + x x _{x x} x x 0 1 log log₂x= ₂ = 7. 將 4 名學生均分成兩組，方法數為 24 2 1 C ，再分配給 6 個班級中的 2 個，分配方法數為 6 2 P ，故符合題意安 排的方法數為 6 2 4 2 2 1 P C 8. 總球數為1+2+3+_LL+7=28 任意取出 1 個球所獲得的期望值為 7 28 7 3 28 3 2 28 2 1 28 1 × + + × + × + × _LL ) 7 3 2 1 ( 28 1 _× 2₊ 2₊ 2_{+ +} 2 = _LL 5 6 ) 1 14 ( ) 1 7 ( 7 28 1 28 1 7 1 2_{= ×} × + × + ₌ × =

∑

= k k 9. (1) 若a>2，左式= (a−2) i a i a × =− − − × − − = (2 ) ( 1)( 2) 右式 ) 2 ( ) 2 ( − × = − × − = i a i a 右式 左式= ，故a>2(合) (2) 若a=2，左式= 0=右式，故a=2(合) (3) 若a<2 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( ) 2 (a− = − −a =i× −a = 左式 i a × − − = (2 ) 右式 ，左式≠右式，故a<2(不合) 由(1)、(2)、(3)可知a≥2 10. 原式 3 2 2 3 2 3 ) 3 5 ( log ) 3 10 ( log ) 9 2 ( log − + = ] ) 3 10 3 5 9 2 [( log ) 3 10 ( ) 3 5 ( ) 9 2 ( log 3 2 2 2 2 3 × = × = 4 3 log ) 9 1 ( log 3 4 2 3 = =− = − 11. 0.3+0.33+0.333+LL+至第n項 ) 999 . 0 99 . 0 9 . 0 ( 3 1 項 至第n + + + + = _LL ] ) 001 . 0 1 ( ) 01 . 0 1 ( ) 1 . 0 1 [( 3 1 項 至第n + + − + − + − = _LL )] 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 ( [ 3 1 _{n− +} 2₊ 3_{+ +} n = _LL ) 10 1 1 ( 27 1 3 ] 1 . 0 1 ) 1 . 0 1 ( 1 . 0 [ 3 1 n n n n = − − − − − = 12. 由圖可知ΔABC內部區域 應在L₁、L₂右方，L₃左方 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − + > + + > + − ⇒ 0 4 2 0 12 3 2 0 1 y x y x y x 13. 169 60 cos sin 60 169 cos sin 1 cot tan + = = ⇒ θ θ= θ θ θ θ

101-4 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 169 49 169 60 2 1 cos sin 2 1 ) cos (sinθ− θ 2 = − θ θ= − × = 13 7 cos sin − =± ⇒ θ θ ，但已知 4 0<θ<π 故 13 7 cos sin cos sinθ< θ⇒ θ− θ=− 14. 4 :5: 6 10 1 : 12 1 : 15 1 1 : 1 : 1 : : = = = c b a h h h c b a 設a=4k、b=5k、c=6k(k>0) 8 1 ) 5 )( 4 ( 2 ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( 2 cos 2 2 2 2 2 2 = − + = − + = k k k k k ab c b a C

15. cos2012°=cos(2012°−1800°)=cos212° ° = ° − ° = ° cos(2010 1800 ) cos210 2010 cos 0 210 cos 212 cos 210 cos 212 cos °> °⇒ °− °> ° = × ° − ° = ° tan(1000 180 5) tan100 1000 tan ° = × ° − ° = ° cot(1180 180 6) cot100 1180 cot 0 1 1180 cot 1000 tan °× °= > 故 P 點在第一象限 16. 依題意，x2+ y2=4之半徑r=2 ， θ θ 4cos cos 2 2× × = = 當θ= 180°時，內積有最小值=4×(−1)=−4 17. 原式 2 6 4 3 6 3 2 3 2 + − + + + = 2 6 ) 2 6 ( 4 3 6 ) 3 6 ( 3 2 3 ) 2 3 ( 2 − − − − − + − − = 2 3 ) 2 6 ( 3 6 ) 2 3 ( 2 − + − − − = − = 18. 由柯西不等式可知 2 2 2 2 2 2 2 ) 5 4 3 ( ] 5 ) 4 ( 3 )[ (a +b +c + − + ≥ a− b+ c 1 ) ( ) 2 5 ( 50 ) ( 2+ 2+ 2 × ≥ 2⇒ 2+ 2+ 2 ≥ ⇒ a b c a b c 故最小值為 1 19. A(a,0)、B(b,2)中點為 ,1) 2 (a+b 又 ,1) 2 (a+b 必過垂直平分線3x+ y4 =10 4 10 1 4 ) 2 ( 3× + + × = ⇒ + = ⇒ a b a b 20. 1000 0.16 160 2 % 68 1 1000× − = × = 21. 若 1 6 ) 6 ( 2 ) 2 ( 2 2 ₌ − − + + + k y k x 圖形為橢圓 則k+2>0，6− k >0且k+2≠6−k 6 2< < − ⇒ k 且k≠2 5 , 4 , 3 , 1 , 0 , 1 − = ⇒ k (k 取整數)，共 6 個 22. 原式⇒(4x−1)2 =(3y)2+144 漸近線方程式為(4x−1)2±(3y)2=0 0 ) 3 ( ) 1 4 ( − + = ⇒ x y 、(4x−1)−(3y)=0 0 1 3 4 + − = ⇒ x y 、4x− y3 −1=0 23. 原式 ) 1 )( 6 ( 18 3 lim ) 1 )( 6 ( ) 4 )( 1 ( ) 22 2 lim 2 6 6 − − − − = − − − − + − ( = → → x x x x x x x x x x x 5 9 ) 1 ( ) 3 ( lim ) 1 )( 6 ( ) 3 )( 6 ( lim 6 6 − = + = − − + − = → → x x x x x x x x 24. 所圍面積 3 14 ) 1 8 ( 3 2 3 2 4 1 2 3 4 1 = − = = =

∫

x dx x 25. (A) f(x)=(2x+3)(4x+5) ) 5 4 )( 3 2 ( ) 5 4 ( ) 3 2 ( ) ( = + ′ + + + + ′ ′ ⇒ f x x x x x 22 16 4 ) 3 2 ( ) 5 4 ( 2× + + + × = + = x x x (B) f(x)=x+ x 2 1 2 1 2 1 1 ) ( 1 ) ( = + ′= + − ′ ⇒ f x x x (C) ( )= 2 +1=2+x−1 x x x f ( ) 2 ₂1 x x x f′ =− = − ⇒ − (D) f(x)= x(3 +4)2⇒ f′(x)=2(3x+4)×3=6(3x+4)