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(1)第 4 章平面任意力系 §4-1 平面任意力系的简化一、力的平移定理在研究平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡问题的基础上，本章将研究平面任意力系的简化与平衡问题，所谓平面任意力系，是各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系。平面任意力系向一点简化的方法是以力的平移定理为基础的，因此，首先介绍这个定理。定理：作用在刚体上的力 F 可以平行移动到任一点 B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力 F 对新作用点 B 的矩。证明：设力 F 作用于 A 点，如图 4-1（a）所示，在刚体上任取一点 B，在 B 点加大小相等、方向相反且与力 F 平行的两个力 F ′ 和 F ′′ ，并使 F ′ = F ′′ = F ，如图 4-1（b），显然，力系（F, F ′ , F ′′ ）与力 F 是等效的，但力系（F, F ′ , F ′′ ）可看作是一个作用在 B 点的力 F ′ 和一个力偶（F, F ′ ），于是原来作用在 A 点的力 F，现在被一个作用在 B 点的力 F ′ 和一个力偶（F, F ′′ ）代替，如图 4-1（c）所示，也就是说可以把作用于 A 点的力 F 的作用线平移到 B 点，但必须同时附加一力偶，此附加力偶的矩为 M = Fd. 图 4-1. 而乘积 Fd 是原力 F 对于 B 点之矩，即 M B ( F ) = Fd.

(2) 因此得 M = M B (F ). 反之，根据力的平移定理可知，在平面内的一个力和一个力偶，也可以用一个力来等效替换。二、平面任意力系向一点简化，主矢与主矩设刚体上作用一平面力系 F1、F2、…、Fn，如图 4-2（a）所示。在力系所在平面内任选一点 O，称为简化中心。根据力的平移定理将各力平移到 O 点，于是得到作用于 O 的力 F1′ 、 F2′ 、…、 Fn′ ，以及相应的附加力偶，它们的力偶矩分别是 M1=F1d1=MO(F1)，M2=F2d2=MO(F2)， L ，Mn=Fndn=MO(Fn) 这样，就把原来的平面力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系，如图 4-2（b）所示然后再分别合成这两个力系。. 图 4-2. 平面汇交力系 F1′ 、 F2′ 、L 、 Fn′ 可按力多边形法则合成为一个合力 FR′ ，也作用于 O 点，等于 F1′ 、 F2′ 、 L 、 Fn′ 的矢量和，因为 F1′ 、 F2′ 、 L 、 Fn′ 各力分别与 F1、F2、 L 、Fn 各力大小相等、方向相同，所以 FR′ = F1 + F2 + L + Fn = ∑ F. （4-1a）. 平面力偶系可以合成为一个力偶，这个力偶矩 MO 等于各附加力偶矩的代数和，即：. 第章 4 平面任意力系. MO=M1+M2+…+Mn =MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn) =∑MO(F) （4-2）由此，可得出如下结论：平面任意力系向作用面内任一点 O 简化，可得一个力和一个力偶。这个力 FR′ 等于原力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对 O 点之矩的代数和，称为该力系对于简化中心的主矩。由于主矢等于各力的矢量和，所以，它与简化中心的选择无关，而主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，取不同的点为简化中心，各力的力臂将有所改变，则各力. 39.

(3) 40. 对简化中心的矩也有所改变，所以在一般情况下主矩与简化中心的选择有关。现在讨论主矢 FR′ 的解析求法，通过 O 点作直角坐标轴 Oxy，如图 4-2（c）所工程力学. 示，则有： FRx′ = Fx1 + Fx 2 + L + Fxn = ∑ Fx FRy′ = Fy1 + Fy 2 + L + Fyn = ∑ Fy. 于是主矢 FR′ 的大小及其与 x 轴正向间的夹角为： FR′ = ( FRx′ ) 2 + ( FRy′ ) 2 = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 ⎫ ⎪⎪ （4-1b） ⎬ ∑ Fy tgθ = ⎪ ∑ Fx ⎪⎭ 下面利用力系向一点简化的方法，分析固定端约束及其反力的表示方法。物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束称为固定端约束，例如，输电线的电杆、固定在刀架上的车刀、夹持在卡盘上的工件等所受的约束都是固定端约束。其简图如图 4-3（a）所示，这种约束不仅限制物体在约束处沿任何方向的移动，也限制物体在约束处的转动，物体在固定端所受到的力是一复杂的平面任意力系，如图 4-3（b）所示，将它们向 A 点简化得到一个力和一个力偶，如图 4-3（c）所示，一般情况下这个力的大小和方向均为未知量，通常用两个正交分力 FAx 和 FAy 来表示，如图 4-3（d）所示。. 图 4-3. 三、简化结果分析，合力矩定理现在进一步讨论平面力系简化的最后结果。（1）若 FR′ =0，MO=0，则力系平衡，将在下节讨论。（2）若 FR′ =0，MO≠0，则原力系简化为一个力偶，其矩 M=MO=∑MO(F)，此时，不论力系向哪一点简化，力偶矩保持不变，即力系的主矩与简化中心的位置无关。（3）若 FR′ ≠0，MO=0，则 FR′ 即为原力系的合力，通过简化中心。（4）若 FR′ ≠0，MO≠0，则力系仍然可以简化为一个合力，如图 4-4 所示，将矩为 MO 的力偶用两个力 FR 和 FR′′ 表示，并令 FR′ = FR = − FR′′ ，于是可将作用于.

(4) 点 O 的力 FR′ 和力偶（ FR , FR′′ ）合成为一个作用在点 O′的力 FR ，如图 4-4（c）所示。这个力就是原力系的合力。合力的大小等于主矢；合力的作用线在点 O 的哪一侧，由主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式算得： M d= O FR′. 图 4-4. 由图 4-4（b）易见，合力 FR 对点 O 的矩为 M O ( FR ) = FR ⋅ d = M O 由力系向一点简化的理论知，原力系的各力（分力）对点 O 的矩的代数和等于主矩，即： ∑ M O (F ) = M O 所以. M O ( FR ) = ∑ M O ( F ). （4-3）. 这就表明：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和，这就是合力矩定理。例 4-1 水平梁 AB 受三角形分布载荷的作用，如图 4-5 所示，分布载荷的最大值为 q（N/m），梁长 l，试求合力的大小及合力作用线的位置。. 第章 4 平面任意力系. 图 4-5. 解：以梁轴线 AB 为 x 轴，在距 A 点 x 处取一微段 dx，由图 4-5 所示几何关系知， 41.

(5) 42. x 处的载荷集度为：工程力学. x q l 则在 dx 长度上的合力的大小为 qxdx。于是整个梁上按三角形分布的线载荷的合力 F 的大小为 l l q 1 F = qx dx = xdx = ql 0 0 l 2 又设合力 F 的作用线距 A 端为 xC，则力 F 对 A 点之矩为： M A ( F ) = F ⋅ xC qx =. ∫. ∫. 根据合力矩定理 l. l. 0. 0. FxC = ∫ qx xdx = ∫. q 2 1 x dx = ql 2 l 3. 故. 将F =. xC =. ql 2 3F. xC =. 2 l 3. 1 ql 代入，则 2. §4-2 平面任意力系平衡方程由上一节讨论得知，当主矢 FR′ =0，主矩 MO=0 时，平面任意力系是平衡力系，所以 FR′ =0、MO=0 是平面任意力系平衡的充分条件。另一方面， FR′ 和 MO 如果有一个不为零，那么力系简化的结果就是力或力偶。因而 FR′ =0，MO=0 也是力系平衡的必要条件。因此，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩都等于零。由（4-2）与（4-3）式得到 ⎫ ⎪ ∑ Fy = 0 ⎬ ⎪ ∑ M O (F ) = 0⎭ ∑ Fx = 0. （4-4）. 即平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个任选的坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零，式（4-4）称为平面任意力系的平衡方程。它有两个投影式和一个力矩式，共三个独立的方程，因此根据它们只能求出三个未知量。应该指出，投影轴和矩心是可以任意选取的。在解决实际问题时适当选择矩.

(6) 心与投影轴可以简化计算，一般来说矩心选在未知力的交点，投影轴尽可能选取与该力系中多数力的作用线平行或垂直。此外，选择适当的平衡方程形式，也可以简化运算。平面任意力系的平衡方程除了由简化结果直接得出的基本形式外，还有其他两种形式，即二力矩式和三力矩式，其形式如下： ∑ Fy = 0 ⎫ ⎪ ∑ M A (F ) = 0⎬ （4-5） ⎪ ∑ M B (F ) = 0⎭ 其中 A、B 两点的连线不能与投影轴 X 轴垂直。 ∑ M A (F ) = 0 ⎫ ⎪ （4-6） ∑ M B (F ) = 0 ⎬ ∑ M C ( F ) = 0 ⎪⎭ 其中 A、B、C 三点不能选在一直线上。读者可以根据简化理论自行论证。在工程中还常遇到平面平行力系问题，所谓平面平行力系，就是各力的作用线都在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况。设物体受平面平行力系 F1、 F2、 L 、Fn 的作用，如图 4-6 所示，若取 Ox 轴与诸力垂直，Oy 轴与诸力平行，则不论平行力系是否平衡，各力在 x 轴上的投影恒等于零，即∑Fx≡0。因此平面平行力系的平衡方程为： ∑ Fy = 0 ⎪⎫ （4-7） ⎬ ∑ M O ( F ) = 0 ⎪⎭. 第章 4. 图 4-6. 平面任意力系. 平面平行力系的平衡方程也可用两个力矩方程的形式，即 ∑ M A (F ) = 0⎫ ⎬ ∑ M B (F ) = 0⎭. （4-8）. 其中 A、B 两点连线不能与各力的作用线平行。平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。 43.

(7) 44. 工程力学. 例 4-2 图示悬臂式简易起重机，AB 是吊车梁，BC 是钢索，A 端为铰链支座，已知重物重 P1=10kN，梁自重 P2=4kN， θ =30°，求钢索 BC 和铰链 A 的约束反力。解：（1）选取梁 AB 与重物一起为研究对象。（2）画受力图。梁上除了受已知梁的重力 P2 和重物的重力 P1 外，还受钢索拉力 FT 和 A 点铰链约束反力 FAx 和 FAy 作用。受力图如图 4-7（b）所示。. 图 4-7. （3）列平衡方程，取坐标轴如图所示。 ∑ Fx = 0， FAx − FT cos 30° = 0. ①. ∑ Fy = 0， FAy + FT sin 30° − P2 − P1 = 0. ②. ∑ M A ( F ) = 0， FT ⋅ AB ⋅ sin 30° − P2 ⋅ AE − P1 ⋅ AD = 0. ③. （4）求未知量。由式③可解得：. FT=17.33kN 将 FT 值代入①、②，可得. FAx=15.01kN FAy=5.33kN 例 4-3 试求图 4-8（a）所示悬臂梁固定端 A 处的约束反力，其中 q 为均布载荷集度，即单位长度上的受力。设集中力 F=ql，力偶矩 M=ql2。解：（1）取 AB 梁为研究对象。（2）受力分析，画受力图。AB 梁 A 端是固定端约束，其约束反力为 FAx、FAy 和 MA。（3）取坐标如图 4-8（b）所示，应用平面任意力系平衡方程，得： ① ∑Fx=0，FAx =0 ∑Fy=0，FAy+F–q ⋅ 2l =0 ②.

(8) ∑MA(F)=0，MA–q ⋅ 2l ⋅ l+M+F ⋅ 2l=0. ③. 图 4-8. （4）求未知量。由平衡方程解得： FAx=0，FAy=ql，MA= –ql2 MA 计算结果为负值，说明实际转向与图不相反，为顺时针。例 4-4 绞车通过钢丝绳索引小车沿斜面轨道匀速上升。已知小车重 P=10kN，绳与斜面平行，θ =30°，a=0.75m，b=0.3m，不计摩擦，求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束反力。解：（1）取小车为研究对象。（2）受力分析，画小车的受力图如图 4-9（b）所示。. ∑ Fy = 0， FA + FB − P cos θ = 0. ②. ∑ M O ( F ) = 0， 2 FB a − Pa cos θ − Pb sin θ = 0. ③. 平面任意力系. （3）选未知力 FT 与 FA 的交点 O 为坐标原点，建立坐标系 Oxy，列平衡方程。 ∑ Fx = 0， − FT + P sin θ = 0 ①. 第章 4. 图 4-9. （4）求未知量。由式①及③可得 FT = P sin θ = 5kN 45.

(9) 46. FB = P 工程力学. 将 FB 之值代入②得. a cos θ + b sin θ = 5.33kN 2a. FA = P cos θ − FB = 3.33kN. 例 4-5 边长为 a 的等边三角形平板 ABC 在铅垂平面内，用三根沿边长方向的直杆铰接，如图 4-10（a）所示，BC 边水平，三角形平板上作用一已知力偶，其力偶矩为 M，三角形平板重为 P，略去杆重，试求三杆对三角形平板的约束反力。解：（1）取三角形平板 ABC 为研究对象。（2）受力分析，画受力图如图 4-10（b）所示。. 图 4-10. （3）列平衡方程，由于三个未知力 FA、FB、FC 的分布比较特殊，其特点是 A、 B、C 三点分别是两个未知约束反力的汇交点，为避免解联立方程组，本题宜用三矩式的平衡方程求解。 3 a × FC − M = 0 2 3 a ∑ M B ( F ) = 0， a × FA − M − P × = 0 2 2 3 a ∑ M C ( F ) = 0， a × FB − M + P × = 0 2 2 （4）求解未知量。分别解上述三个方程得： ∑ M A ( F ) = 0，. FC =. 2 3M 3 a. FA =. 2 3M P + 3 a 3. ① ② ③.

(10) 2 3M P − 3 a 3 例 4-6 图 4-11（a）是桥式吊车简图。重物重量 P1=30kN，横梁 AB 为工字钢， l 横梁单位长度重 q=4.2N/cm，l=5m。试求当 x = 时，A 与 B 支座的约束反力。 4 解：根据题意，桥式吊车可以简化为如图 4-11（b）所示的情况。 FB =. 图 4-11. （1）选横梁为研究对象。（2）受力分析，画受力图。梁的重力为均布载荷，其合力大小为 P2=ql，作用在梁的中点。由于无水平方向的主动力，所以属平面平行力系的平衡问题。（3）列平面平行力系平衡方程。 ① ∑ Fy = 0，FA + FB − P1 − P2 = 0 l ∑ M A ( F ) = 0，FB ⋅ l − P2 ⋅ − P1 ⋅ x = 0 2. Px 1 1 30 ql + 1 = × 0.42 × 5 + = 8.55kN l 2 2 4. 平面任意力系. FB =. 第章 4. （4）求未知量。由式②解得：. ②. 将 FB 值代入式①得： FA = P1 + P2 − FB = 30 + 0.42 × 5 − 8.55 = 23.55kN. 47.

(11) 48. §4-3 物体系统的平衡工程力学. 一、静定与静不定问题. 从前面讨论中可以看到，每一种力系平衡方程的数目都是一定的，平面任意力系有三个，平面汇交力系和平面平行力系各有两个，平面力偶系则只有一个。因此，对每一种力系来说，能求解的未知量的数目也是一定的，如果所研究的问题的未知量的数目等于对应的平衡方程的数目时，则未知量就可全部由平衡方程求得。这类问题称为静定问题。前面列举的各例都是静定问题。在工程实际中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常常增加多余的约束，因而使这些结构的未知约束反力的数目多于平衡方程的数目，这类问题就称为静不定问题，对于静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，列出补充方程才能求解。静力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形，显然静不定问题已超出刚体静力学的范围，将在后面的材料力学部分讨论。如图 4-12（a）、（c）、（e）所示，未知约束反力的数目等于平衡方程的数目，是静定问题；如图 4-12（b）、（d）、（f）所示，未知的约束反力的数目多于平衡方程的数目，因此是静不定问题。. 图 4-12. 二、物体系统的平衡. 前面我们研究了单个刚体的平衡问题，但在工程实际中常需要解由若干刚体.

(12) 通过约束所组成的物体系统的平衡问题。这时，既可选系统整体为研究对象，也可选局部或单个刚体为研究对象，既可以求出物体间相互作用的内力，也可以求出系统所受的未知外力。在一般情况下，对于系统中的每个刚体，都可以写出三个平衡方程，若物体系由 n 个刚体组成，则可写出 3n 个独立的平衡方程，因而可以求解 3n 个未知量，如果未知量多于 3n 个时，那就是静不定问题了，需要说明的是，在本书的理论力学部分所出现的问题均属静定问题。在求解物体系统的平衡问题时，研究对象的确定和平衡方程的选择都比较灵活，为避免求解联立方程，应使每个平衡方程中的未知量尽可能地少，最好只含一个未知量。下面举例说明物体系统平衡问题的解法。例 4-7 AC 杆和 BD 杆在 O 点用铰链连接，如图 4-13（a）所示，已知圆柱重 P=100N，∠AOB=60°，AE=EO=OC=BF=FO=OD，不计杆重和摩擦，求 A、B 两点的反力和绳子 EF 的拉力。. 图 4-13. 第章 4 平面任意力系. 解：首先以整体为研究对象。受力如图 4-13（a）所示，为一平面平行力系。列平衡方程有 ∑Fy=0，FA + FB – P=0 ① AB ∑ M A ( F ) = 0，FB ⋅ AB − P ⋅ =0 ② 2 由式②得 P FB = = 50N 2. 49.

(13) 50. 代入式①得工程力学. P = 50N 2 再以圆柱为研究对象。受力如图 4-13（b）所示，为一平面汇交力系，列平衡方程，有 ∑ Fx = 0，FD′ cos 30° − FC′ cos 30° = 0 ③ ∑ Fy = 0，FD′ sin 30° + FC′ sin 30° − P = 0 ④ FA =. 由式③、④联立解得： FC′ = FD′ = P = 100N. 最后以 AC 杆为研究对象。受力如图 4-13（c）所示，为一平面任意力系，因仅需要计算绳子 EF 的拉力 FT 值，选力矩方程如下： ∑ M O ( F ) = 0，− FC ⋅ OC + FT ⋅ EO ⋅ cos 30° − FA ⋅ ( AE + EO) ⋅ sin 30° = 0 ⑤ 由式⑤解得 FT=173.2N 例 4-8 如图 4-14（a）所示，水平梁由 AC 和 CD 两部分组成，在 C 处用铰链相连，梁的 A 端固定在墙上，B 处由活动铰支座支承。已知：P2=10kN，P1=20kN，均布载荷 p=5kN/m，在 BD 段受线性分布载荷，在 D 端为零，在 B 处达最大值 q=6kN/m，试求 A 和 B 处的约束反力。. 图 4-14. 解：选整体为研究对象，水平梁受力如图 4-14（a）所示，注意到三角形分布载荷 1 1 的合力作用在离点 B 的 BD 处，它的大小等于 q × 1 。列平衡方程有： 3 2 ∑ Fx = 0，FAx = 0 ① 1 ∑ Fy = 0，FAy + FB − P1 − P2 − p × 1 − q × 1 = 0 ② 2 1 1 ∑ M A ( F ) = 0，M A − FB ⋅ 3 − P1 × 0.5 − P2 × 2.5 − p × 1× 1.5 − q × 1× (3 + ) = 0 ③ 2 3 以上三个方程包含四个未知量，故再选梁 CD 为研究对象，受力如图 4-14（b）所示。列平衡方程如下：.

(14) 1 1 ∑ M C ( F ) = 0，FB × 1 − q × 1× (1 + ) − P2 × 0.5 = 0 2 3. ④. 解得. FB=9kN 代入前面三个方程，解得： FAx=0，FAy=29kN，MA=25.5kN·m 如果需要，可由∑Fx=0 和∑Fy=0 两个平衡方程求出 C 处的铰链反力 FCx 和 FCy。例 4-9 如图 4-15（a）所示结构，由不计重量的直杆铰接组成（在工程上称为平面桁架）。已知各杆长度都等于 1m，在节点 E 和 G 上作用载荷 F1=10kN， F2=7kN。试计算杆 1、2 和 3 的内力。. 图 4-15. 解：先求桁架的支座反力。以整体为研究对象，受力如图 4-15（a）所示，列出平衡方程，即 ∑ Fx = 0，FAx = 0 ①. ∑ Fy = 0，FAy + FB − F1 − F2 = 0. ②. ∑ M B ( F ) = 0，F1 × 2 + F2 × 1 − FAy × 3 = 0. ③. 解得 FAx = 0，FAy = 9kN，FB = 8kN. 平面任意力系. 3 × 1 − FAy × 1 = 0 2 ∑ Fy = 0，FAy + FDE sin 60° − F1 = 0. ∑ M E ( F ) = 0，− FCD. 第章 4. 为求杆 1、2 和 3 的内力，可作一截面 m-n 将三杆截断。选取桁架左半部为研究对象，假定所截断的三杆都受拉力，则这部分桁架的受力图如图 4-15（b）所示，列平衡方程，即 ④ ⑤. 51.

(15) 52. 1 3 ∑ M D ( F ) = 0，F1 × + FEG × × 1 − FAy × 1.5 = 0 2 2. ⑥. 工程力学. 解得 FCD = −10.4 kN（压力）， FDE = 1.16kN （拉力）， FEG = 9.8kN （拉力）. 如选取桁架的右半部为研究对象，可得同样的结果，上述方法称为截面法。计算桁架杆件内力亦可以逐个地取节点为研究对象，称为节点法。下面举例说明节点法的方法和步骤。例 4-10 平面桁架的尺寸和支座如图 4-16（a）所示，在节点 D 处受一集中载荷 P=10kN 的作用，试求桁架各杆件所受的内力。. 图 4-16. 解：首先求支座反力。以桁架整体为研究对象，受力如图 4-16（a）所示。列平衡方程。即 ∑ Fx =0，FBx =0 ∑ M A ( F ) = 0，FBy × 4 − P × 2 = 0 ∑ M B ( F ) = 0，P × 2 − FA × 4 = 0. 解得 FBx = 0，FA = FBy = 5kN. 其次，求各杆内力。为求各杆内力，应设想将杆件截断。取出每个节点来研究。桁架的每个节点都在外载荷、支座反力和杆件内力的作用下平衡。因此，求桁架的内力就是求解平面汇交力系的平衡问题，可逐次按每个节点用两个平衡方程来求解。解题时一般先假定各杆都受拉力，各节点的受力图如图 4-16（b）所示。为计算方便，最好逐次列出只含两个未知力的节点的平衡方程。在节点 A，杆的内力 F1 和 F2 未知，列平衡方程，即 ∑ Fx = 0，F2 + F1 cos 30° = 0.

(16) ∑ Fy = 0，FA + F1 sin 30° = 0 代入 FA 的值后，解得：. F1= –10kN（压力） F2=8.66kN（拉力）在节点 C，杆的内力 F3 和 F4 未知，列平衡方程，即： ∑ Fx = 0，F4 cos 30° − F1′cos 30° = 0 ∑ Fy = 0，− F3 − ( F1′ + F4 ) sin 30° = 0 代入 F1′ =F1= –10kN 值后，解得：. F4= –10kN（压力） F3=10kN（拉力）在节点 D，只有一个杆的内力 F5 未知，列平衡方程，即 ∑ Fx = 0，F5 − F2′ = 0 代入 F2′=F2 值后，得. F5=8.66kN（拉力）. §4-4 考虑摩擦的平衡问题摩擦是一种普遍存在于机械运动中的自然现象，人行走、车行驶、机械运转无一不存在摩擦。但是前面几章所讨论的平衡问题均未考虑摩擦，即假设物体之间的接触是完全光滑的，这是对实际问题的一种理想化。然而在工程实际中，摩擦力对物体的平衡与运动有着重要的影响，例如，机床的卡盘靠摩擦带动夹紧的工件，制动器靠摩擦刹车等，都是依靠摩擦力来进行工作的，这是摩擦有利的一面。另一方面由于摩擦的存在给各种机械带来多余的阻力，从而消耗能量，降低效率。我们研究摩擦，就是充分利用有利的一面，而减少其不利的一面。本节仅研究考虑摩擦时物体的平衡问题。这不仅是对前述理想约束的一种补充，也是平面力系平衡理论的一个重要的应用。一、滑动摩擦. 第章 4 平面任意力系. 两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或者有相对滑动趋势时，在接触面之间就产生了彼此阻碍运动的力，这种阻力就称为滑动摩擦力。 1．静滑动摩擦力图 4-17（a）所示实验，物体重为 P，放在水平面上，并由绳子系着，绳绕过滑轮，下挂砝码，显然绳子对物体的拉力 F 的大小等于砝码的重量，从实验中可以看到，当砝码重量较小时，物体并不滑动，仍处于平衡状态。这时阻止物体滑动的力 Fs，就称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。它的方向与物体滑动趋势方向相反，大小可根据平衡方程求得，如图 4-17（b）所示。由∑Fx=0 可得 Fs=F。. 53.

(17) 54. 工程力学. 图 4-17. 2．最大静摩擦力如果逐渐增加砝码重量，即增大力 F，当力 F 增加到某个值时，物体处于将动而未动的临界状态，这时摩擦力达到最大值称为最大静摩擦力，以 Fmax 表示。静滑动摩擦定律：大量实验证明，最大静摩擦力的大小与法向反力成正比。即 Fmax=fs FN （4-9）式中比例常数 fs 称为静滑动摩擦系数，fs 的大小与接触物体的材料、接触面的粗糙程度等情况有关，其值可在机械工程手册中查到。由上述可见，静摩擦力随着主动力的不同而改变，它的大小由平衡方程确定，介于零和最大值之间，即 0≤Fs≤Fmax 3．动滑动摩擦力显然，当力 F 增加到略大于 Fmax 时，最大静滑动摩擦力已不足以阻碍物体滑动，物体相对滑动时出现的摩擦力，称为动滑动摩擦力，它的方向与两物体间相对速度的方向相反，由动滑动摩擦定律知，其大小为： F′ = f N （4-10）式中 f 称为动滑动摩擦系数，在一般工程中，精确度要求不高时可近似认为动摩擦系数与静摩擦系数相等。二、考虑摩擦时的平衡问题举例. 求解考虑摩擦的物体平衡问题与求解忽略摩擦的物体平衡问题，基本方法是相同的，即都必须满足力的平衡条件。不同的是，对考虑摩擦的平衡问题，进行受力分析时，要画上摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，在解题过程中，除了列出平衡方程外，可考虑临界平衡状态，增加补充方程 Fmax=fs FN。下面结合例题进行讨论。例 4-11 用绳拉一重 P=500N 的物体，拉力 F=100N，物体与地面间的摩擦系数 fs=0.2，绳与水平面的夹角 θ =30°，如图 4-18（a）所示。试求：（1）当物体处于平衡状态时，摩擦力 Fs 的大小；.

(18) （2）如使物体产生滑动，求拉动此物体所需的最小力 Fmin。. 图 4-18. 解：（1）取物体为研究对象。（2）受力分析，受力图如图 4-18（b）所示。由于物体有向右滑动趋势，所以摩擦力 Fs 的方向向左，FN 为法向反力。（3）列平衡方程，求未知量。 ∑ Fx = 0，F cos θ − Fs = 0. 可得此时摩擦力的大小为. Fs=F cosθ = 100×cos30°=86.7N 为求拉动此物体所需最小力 Fmin，需要考虑临界平衡情况，按图 4-18（c）列平衡方程及摩擦定律关系式： ∑ Fx = 0，Fmin cos θ − Fmax = 0 ① ∑ Fy = 0，Fmin sin θ − P + FN = 0 Fmax = f s FN. ② ③. 联立①、②、③式可解得 fs P 0.2 × 500 = = 103N Fmin = cos θ + f s sin θ cos 30° + 0.2sin 30°. 第章 4 平面任意力系. 例 4-12 制动器的构造和主要尺寸如图 4-19（a）所示，制动块与鼓轮表面间的摩擦系数为 fs，试求制动鼓轮转动所需的最小力 F。解：先取鼓轮为研究对象，受力图如图 4-19（b）所示，鼓轮在拉力 FT 作用下，有逆时针方向转动的趋势，因此摩擦力 Fs 向左。为保持鼓轮平衡，应满足方程： ∑ M O ( F ) = 0，FT ⋅ r − Fs ⋅ R = 0 ①. 解得 r r FT = P R R 再取杠杆 OAB 为研究对象，受力图如图 4-19（c）所示，可列力矩方程 ∑ M O1 ( F ) = 0，Fa + Fs′c − FN′ b = 0 Fs =. ② 55.

(19) 56. 工程力学. 图 4-19. 此外有补充方程 ′ = f s FN′ Fmax ′ ′ 将 Fs 的值代入，注意到 Fs = Fs ， FN = FN ，解得. ③. Pr ⎛ b ⎞ − c⎟ aR ⎜⎝ f s ⎠ 上面所解得的 F 值应为最小值，因为当 F 值增大时，闸块给鼓轮的正压力也随之 ′ 也增大。增大，摩擦力 Fmax F=. 习题 4-1 矩形板受四个大小都等于 F 的力和一个力偶矩 M=Fa 的力偶作用，如题 4-1 图所示，试求这个力系向原点 O 的简化结果。. 题 4-1 图.

(20) 2 Fa 2 求题 4-2 图示刚架的支座反力，长度单位为 m。. ′ = 2 F ，MO= − 答： FRO. 4-2. 题 4-2 图. 答：（1）FAx=0，FAy=17kN，MA=33kN ⋅ m （2）FAx=3kN，FAy=5kN，MB= − 1kN ⋅ m 4-3 水平梁的支承和载荷如题 4-3 图所示，已知力 F、力偶矩为 M 的力偶和强度为 p 的均布载荷，求支座 A 和 B 处约束反力。. 题 4-3 图. 第章 4 平面任意力系. 1 M 1 M 答：（1） FAx = 0，FA y = − ( F + ) ， FB = (3F + ) 2 2 a a 1 M 5 （2） FAx = 0，FAy = − ( F + − pa ) ， a 2 2 1 M 1 FB = (3F + − pa ) a 2 2 4-4 简易起重机自身重 P1=10kN，可绕铅直轴 AB 转动，重物重 P2=40kN，尺寸如题 4-4 图所示，求止推轴承 A 和向心轴承 B 处的约束反力。答：FAx=31kN，FAy=50kN，FB= − 31kN 4-5 如题 4-5 图所示，发动机的凸轮转动时，推动杠杆 AOB 来控制阀门 C 的. 57.

(21) 58. 工程力学. 启闭，设压下阀门需要对它作用 400N 的力，θ=30°，求凸轮对滚子 A 的压力 F。图中尺寸单位为 mm。答：F=277N. 题 4-4 图. 题 4-5 图. 4-6 如题 4-6 图所示，梁 AB 长 10m，重 30kN，起重机重 50kN，其重心在铅直线 CD 上。起重载荷 P=10kN 求当起重机的伸臂和梁在同一铅直面内时，支座 A 和 B 的反力。. 题 4-6 图. 答：FA=53kN，FB=37kN 4-7 如题 4-7 图所示，水平梁 AB 由铰链 A 和杆 BC 支持，在梁上 D 处用销子安装半径为 r=10cm 的滑轮，有一跨过滑轮的绳子，其一端水平地系于墙上，另一端悬挂有重 P=1800N 的重物，如 AD=20cm，BD=40cm，θ=45°，且不计梁、杆、滑轮和绳的重量，试求铰链 A 和杆 BC 对梁的反力。答：FBC=848N，FAx=2400N，FAy=1200N.

(22) 4-8 如题 4-8 图所示，三铰拱由两半拱和三个铰链 A、B、C 构成，已知每半拱重 P=300kN，L=32m，h=10m。求支座 A、B 的约束反力。答：FAx=FBx=120kN，FAy=FBy=300kN. 题 4-7 图. 题 4-8 图. 4-9 题 4-9 图示汽车地秤简图，BCF 为整体台面，杠杆可绕 O 轴转动，B、C、 D 均为光滑铰链，DC 杆处于水平位置，试求平衡时砝码的重量 P1 与被称汽车重量 P2 之间的关系。 P a 答： 1 = P2 l 4-10 如题 4-10 图所示结构，已知 AB=BC=1m ， DK=KE ， P1=1732kN ， P2=1000kN，各种重量略去不计，试求 A、E 点的约束反力。答：FAx=0，FAy=2000kN，MA=3000kN·m，FEx=866kN，FEy=500kN. 平面任意力系. 题 4-10 图. 第章 4. 题 4-9 图. 4-11 如题 4-11 图所示组合梁（不计自重）由 AC 和 CD 铰接而成。已知： F=20kN，均布载荷 q = 10kN/m ， M = 20kN ⋅ m ， l = 1m 。试求固定端 A 及滚动支座 B 的约束力。答：FAx=32.89kN，FAy= –2.32kN，MA=10.37kN·m 4-12 试求题 4-12 图示结构中 AC 和 BC 两杆所受的力，不计杆重，q=2kN/m。 59.

(23) 60. 答：FAC=8kN，FBC=－6.93kN 工程力学. 题 4-11 图. 题 4-12 图. 4-13 气动夹具如题 4-13 图所示，已知气体作用在活塞上的总压力 F=3500N， θ=20°，A、B、C、O 处均为铰链，尺寸如图示，不计各杆自重，求杠杆压紧工件的压力。答：FD=8030N. 题 4-13 图. 4-14. 如题 4-14 图示铸工造型机的翻台机构，由翻台 CDB、曲杆 EOD 和连.

(24) 杆 AB 组成。已知：CD=OE=40cm，BD=30cm、OD=100cm，OD⊥OE，翻台重量 P=500N，重心在点 C；曲杆 EOD 和连杆 AB 自重略去不计，在图示位置中杆 AB 铅直且 AB⊥BC，问保持平衡时力 F 应多大？并求连杆 AB 和铰链 D、O 处所受的力。答：F=1688N，FAB=667N，FD=1167N，FOx=1460N，FOy=323N. 题 4-14 图. 4-15 AB、AB、DE 三杆连接如题 4-15 图所示，DE 杆上有一插销 F 套在 AC 杆的导槽内，求在水平杆 DE 的一端有一铅垂力 F 作用时，AB 杆上所受的力，设 AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有杆重均不计。答：FAx=－F，FAy=－F，FBx=－F，FBy=0，FDx=2F，FDy=F 4-16 计算题 4-16 图所示桁架 1、2、3 杆的内力。答：F1= –125kN，F2=53kN，F3= –87.5kN. 第章 4 平面任意力系. 题 4-15 图. 题 4-16 图. 4-17 如题 4-17 图示屋架为锯齿形桁架。P2=P3=20kN，P1=P4=10kN，几何尺寸如图所示，试求各杆内力。答：F1=13kN，F2=－26kN，F3=17.3kN F4=–25kN，F5=–17.3kN，F6=30.3kN，F7=–35kN 61.

(25) 62. 工程力学. 4-18 梯子 AB 重 P1，上端靠在光滑的墙上，下端搁在粗糙的地板上，如题 4-18 图所示，摩擦系数为 f，试问当梯子与地面间之夹角 θ 为何值时，体重 P2 的人才能爬到梯子的顶点？ P + 2 P2 答： tgθ ≥ 1 2 f ( P1 + P2 ). 题 4-17 图. 题 4-18 图. 4-19 如题 4-19 图所示，在闸块制动器的两个杠杆上，分别作用有大小相等的力 F1 和 F2。试问这些力应为多大，方能使受到力偶作用的轴处于平衡？设力偶矩 M=160N·m，摩擦系数为 0.2，尺寸如图所示。答：F≥800N 4-20 起重用的夹具由 ABC 和 DEF 两个相同的弯杆组成，并由杆 BE 连接， B 和 E 都是铰接，尺寸如题 4-20 图所示。试问要能提起重物 P，夹具与重物接触面处的摩擦系数 f 应为多大？答：f≥0.15. 题 4-19 图. 题 4-20 图.

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